bab 1 Logika MATEMATIKA, RINGKASAN MATERI A. PERNYATAAN DAN INGKARANNYA Pengertian Pernyataan Pernyataan adalah kalimat yang bernilai benar atau salah saja. Pernyataan biasanya dinotasikan dengan huruf kecil. = Presiden RI ertama adalah IR. Soekarno. (Meruakan ernyataan yang bernilai benar) r = Bandung ada di ulau Sumatra. (Meruakan ernyataan yang bernilai salah) Pengertian Kalimat Terbuka Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum diketahui nilai kebenarannya. 2x + 10 = 20 Semoga besok tidak turun hujan. Ingkaran atau Negasi Suatu Pernyataan Ingkaran atau negasi adalah lawan dari nilai kebenaran ernyataan semula. Negasi ernyataan ditulis ~ atau. = Ibu ergi ke asar ~ = Ibu tidak ergi ke asar = Dona adalah seorang ramugari ~ = Dona bukan seorang ramugari LATIHAN SOAL Kerjakan soal-soal berikut! 1. Dari kalimat-kalimat berikut, manakah yang termasuk ernyataan dan kalimat terbuka! a. Pilkada dilaksanakan ada tanggal 9 Desember 2015. b. Sari adalah anak Pak Rendy. c. Haus aan tulis itu! d. 2 adalah bilangan ganjil. e. Aakah hari ini hujan? 2. Tentukan nilai kebenaran dari ernyataan berikut! a. Kambing berkaki 3. b. Dua uluh satu habis dibagi tujuh. c. Ikan bernaas dengan insang.
d. Solo adalah ibukota Provinsi Jawa Tengah. 3. Tentukan negasi atau ingkaran dari ernyataan berikut! a. y = Jajar genjang memiliki 2 sumbu simetri. ~y b. t = Bilangan 56 habis dibagi 3. ~t c. g = Inggris ada di Benua Eroa ~g d. j = 2 adalah faktor dari 60. ~j RINGKASAN MATERI B. PERNYATAAN MAJEMUK DAN PERNYATAAN BERKUANTOR Pernyataan Majemuk Pernyataan majemuk adalah gabungan dari beberaa ernyataan yang dihubungkan dengan tanda hubung logika. Tanda hubung logika yaitu konjungsi, disjungsi, imlikasi dan biimlikasi. Tabel nilai kebenaran negasi, konjungsi, disjungsi, imlikasi dan biimlikasi Q NEGASI (bukan/tidak) ~ KONJUNGSI (dan) Λ DISJUNGSI (atau) V IMPLIKASI (jika maka ) BIIMPLIKASI ( jika dan hanya jika ) B B S B B B B B S S S B S S S B B S B B S S S B S S B B Konjungsi meruakan kalimat majemuk dengan kata hubung dan. Dinyatakan dengan Λ dibaca dan. Menentukan nilai kebenaran a. Pulau Jawa lebih luas dariada ulau Paua dan dua adalah bilangan gena. Karena Λ = Λ maka nilai kebenarannya b. Singaura berada di benua Amerika dan Ruiah adalah mata uang negara Indonesia. Karena Λ = Λ maka nilai kebenarannya c. Semarang adalah ibukota rovinsi Jawa Barat dan ayam berkaki 4. Bentuk konjungsi Λ daat juga dibaca sebagai: dan tetai meskiun walauun
Karena Λ = Λ maka nilai kebenarannya Disjungsi Disjungsi meruakan kalimat majemuk dengan kata hubung atau. Dinyatakan dengan V dibaca atau. Menentukan nilai kebenaran a. Presiden ertama RI adalah Soekarno atau mobil beroda 2. Karena V = V maka nilai kebenarannya b. 3 adalah bilangan keliatan 2 atau manusia tidak erlu makan. Karena V = V maka nilai kebenarannya Imlikasi Imlikasi meruakan kalimat majemuk dengan kata hubung Jika maka. Dinyatakan dengan Menentukan nilai kebenaran dibaca Jika maka. a. Jika kucing daat melahirkan maka ayam daat jika maka bertelur. hanya jika jika syarat cuku bagi syarat erlu bagi Karena = maka nilai kebenarannya b. Jika 3 bilangan ganjil maka Sydney ada di Indonesia. Karena = maka nilai kebenarannya Biimlikasi Biimlikasi meruakan kalimat majemuk dengan kata hubung jika dan hanya jika. Dinyatakan dengan Menentukan nilai kebenaran a. 2 + 5 = 7 jika dan hanya jika 2 3 = 8. dibaca jika dan hanya jika. Karena = maka nilai kebenarannya b. Komodo adalah hewan khas ulau Komodo jika dan hanya jika mobil adalah transortasi laut. Karena = maka nilai kebenarannya c. Ikan arwana daat hidu di darat dalam waktu lama jika dan hanya jika kambing bertelur. Karena = maka nilai kebenarannya Bentuk imlikasi juga dibaca sebagai: daat
Pernyataan Berkuantor Suatu kalimat terbuka daat diubah menjadi ernyataan dengan menambahkan tanda kuantor. Ada 2 macam tanda berkuantor: Kuantor Universal ( ) x, (x) dibaca untuk semua/setia x berlaku sifat (x) x bilangan gena, x habis dibagi 2 (B) x bilangan ganjil, x habis dibagi 3 (S) Kuantor Eksistensial ( ) x, (x) dibaca ada/terdaat/beberaa x yang memenuhi sifat (x). x bilangan gena, x habis dibagi 5 (B) x bilangan ganjil, x habis dibagi 4 (S) LATIHAN SOAL Kerjakan soal-soal berikut! 1. Diketahui ernyataan-ernyataan tunggal berikut: : Nilai Santi tertinggi di kelas : Santi juara kelas r : Orang tua Santi senang Nyatakan ernyataan majemuk berikut: a. Λ : b. V r : c. r : d. ~ Λ ~: e. ( Λ ) r : f. ~( Λ ) ~r : 2. Buatlah tabel kebenaran dari ernyataan majemuk berikut. a. V ~ ~ V ~
b. ( Λ ~) ~ Λ ~ ( Λ ~) c. ( ~) (~ Λ ) P ~ ~ ~ ~ Λ ( ~) (~ Λ ) RINGKASAN MATERI C. PERNYATAAN MAJEMUK YANG EKUIVALEN DAN INGKARAN/NEGASINYA Ingkaran/negasi ernyataan majemuk ~( V ) ~ Λ ~ ~( Λ ) ~ V ~ ~( ) ~ V ~( ) ~ ~ Ibu ergi ke asar atau ayah ergi bekerja Ingkaran/negasinya : ibu tidak ergi ke asar dan ayah tidak ergi ke kantor Kakak belajar dan adik bermain Ingkaran/negasinya : Kakak tidak belajar dan adik tidak bermain Jika hari ini hujan maka jalanan macet Ingkaran/negasinya : Hari ini tidak hujan atau jalanan macet Farah menjadi juara kelas jika dan hanya jika Farah belajar dengan giat Ingkaran/negasinya : Farah menjadi juara kelas jika dan hanya jika Farah tidak belajar dengan giat Farah tidak menjadi juara kelas jika dan hanya jika Farah belajar dengan giat Ingkaran/negasi ernyataan berkuantor ~( x, (x)) x, ~(x) ~( x, (x)) x, ~(x) Semua mamalia berkaki 4
Ingkaran/negasinya : Beberaa mamalia tidak berkaki 4/Ada mamalia yang tidak berkaki 4 Beberaa anak memakai toi Ingkaran/negasinya : Semua anak tidak memakai toi Pernyataan majemuk yang ekuivalen Λ Λ V V ( Λ ) Λ r Λ ( Λ r) ( V ) V r V ( V r) Λ ( V r) ( Λ ) V ( Λ r) V ( Λ r) ( V ) Λ ( V r) ~ ~ ~ V ( ) Λ ( ) (~ V ) Λ (~ V ) 1. Buktikan ekuivalen ernyataan majemuk berikut: a. V ( V ~) b. ( V r) ( ) V ( r) Jawab: a. V ( V ~) ~ V V ~ ( V ~) B B S B B B B S B B B B S B S B S B S S B S B S Ekuivalen b. ( V r) ( ) V ( r) r V r ( V r) r ( ) V ( r) B B B B B B B B B B S B B B S B B S B B B S B B B S S S S S S S S B B B B B B B S B S B B B B B S S B B B B B B S S S S B B B B Ekuivalen 2. Tentukan ingkaran/negasi dari ernyataan majemuk berikut. a. Kubus memiliki 6 sisi dan 12 rusuk b. Jika harga barang naik maka daya beli masyarakat menurun Jawab: a. Kubus tidak memiliki 6 sisi atau tidak memiliki 12 rusuk
b. Harga barang naik dan daya beli masyarakat tidak menurun (meningkat) 3. Tentukan ernyataan yang ekuivalen dengan Jika Andre mengantuk maka ia malas belajar! Jawab: Jika Andre tidak malas belajar maka ia tidak mengantuk Andre tidak mengantuk atau ia malas belajar LATIHAN SOAL Kerjakan soal-soal berikut! 1. Tunjukkan bahwa ~ V Q ~ V 2. Tentukan ingkaran/negasi dari ernyataan berkuantor berikut. a. Semua emuda memunyai restasi b. Setia bilangan real memunyai lawan bilangan c. Ada hewan mamalia yang hidu di air a. b. c. 3. Tentukan ingkaran/negasi dari ernyataan majemuk berikut. a. Jika guru tidak hadir maka semua murid bahagia b. Siska ergi ke Jakarta atau Leli Pergi ke Bali c. 2 adalah bilangan gena dan bukan bilangan rima a. b. c. 4. Buatlah ernyataan majemuk yang ekuivalen dengan ernyataan berikut. a. Jika anen melimah maka harga beras murah b. Jika sungai banyak ikan yang mati maka sungai tercemar limbah a. b.
RINGKASAN MATERI D. KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI Misalkan terdaat suatu imlikasi. Maka daat dibentuk ernyataan baru seerti berikut: 1. Konvers : ernyataan berbentuk 2. Invers : ernyataan berbentuk ~ ~ 3. Kontraosisi : ernyataan berbentuk ~ ~ Tabel nilai kebenaran konvers, invers, dan kontraosisi Q ~ ~ Imlikasi Konvers Invers Kontraosisi ~ ~ ~ ~ B B S S B B S S B S S B B S B S S B B B Jika langit mendung maka akan turun hujan = langit mendung ~ = langit tidak mendung = akan turun hujan ~ = tidak akan turun hujan Konvers = jika akan turun hujan maka langit mendung Invers ~ ~ = jika langit tidak mendung maka tidak akan turun hujan Kontraosisi ~ ~ = Jika tidak akan turun hujan maka langit tidak mendung E. PENARIKAN SIMPULAN Aturan dasar enarikan simulan dalam logika matematika sebagai berikut. Modus Ponens Premis 1 : Premis 2 Premis 1 Premis 2 : : : Jika hari ini hujan maka aku membawa ayung : hari ini hujan : aku membawa ayung Modus Tollens Premis 1 Premis 2 : : ~ : ~
Premis 1 Premis 2 Silogisme Premis 1 Premis 2 : Jika harga bensin naik maka rakyat bersedih : rakyat tidak bersedih : harga bensin tidak naik : : r : r Premis 1 Premis 2 : Jika libur anjang maka aku ergi berlibur : Jika aku ergi berlibur maka aku senang : Jika libur anjang maka aku senang LATIHAN SOAL Kerjakan soal-soal berikut! 1. Tentukan konvers, invers, dan kontraosisi dari ernyataan berikut. a. Jika Jono lulus kuliah maka ia akan bekerja b. Jika adik menangis maka ibu sedih a. Jika Jono lulus kuliah maka ia akan bekerja : : ~ : ~ : Konvers :.. Invers : Kontraosisi : b. Jika adik menangis maka ibu sedih : : ~ : ~ : Konvers : Invers : Kontraosisi : 2. Tentukan simulan dari remis-remis berikut. a. Premis 1 : Jika hewan itu emakan daging maka hewai itu karnivora Premis 2 : Singa emakan daging : b. Premis 1 : Jika hari ini hujan lebat maka listrik adam
Premis 2 : Listrik tidak adam : 3. Premis-remis berikut benar. i. Jika si A selalu berkata jujur maka orang lain ercaya ada si A ii. Jika orang lain ercaya ada si A maka segala urusan si A lebih mudah iii. Jika segala urusan si A lebih mudah maka kehiduan si A menyenangkan iv. Anwar selalu berkata jujur Tulislah simulan yang sah dari keemat remis tersebut! 4. Tentukan ingkaran atau negasi dari simulannya i. Jika aku berolahraga maka badanku sehat ii. Jika badanku sehat maka aku bisa belajar dengan baik iii. Jika aku belajar dengan baik maka aku bisa lulus dengan nilai yang memuaskan
ULANGAN HARIAN A. Pilihlah jawaban yang teat! 1. Di bawah ini yang meruakan ernyataan adalah a. Pindahkan meja itu! d. Soni berbadan kurus b. Untuk x = 2, beraa nilai 3x + 27 e. Carilah nilai y ada ersamaan 4y + c. 100 habis dibagi 5 3 = 10 2. Pernyataan Jika hari ini hujan maka sungai melua ekuivalen dengan a. Hari ini hujan dan sungai melua b. Hari ini tidak hujan dan sungai tidak melua c. Jika sungai melua maka hari ini hujan d. Jika sungai tidak melua maka hari ini tidak hujan e. Jika hari ini tidak hujan maka sungai tidak melua 3. Pernyataan saya tidak sedih atau bahagia ekuivalen dengan a. Saya sedih dan tidak bahagia b. Saya sedih dan bahagia c. Jika saya sedih maka saya bahagia d. Jika saya tidak sedih maka saya bahagia e. Jika saya bahagia maka saya tidak sedih 4. Ingkaran/negasi dari Heri memakai baju berwarna ink atau ungu adalah a. Heri memakai baju berwarna ink dan ungu b. Heri tidak memakai baju berwarna ink dan tidak ungu c. Heri tidak memakai baju berwarna ink atau tidak ungu d. Heri tidak memakai baju berwarna ink dan ungu e. Heri memakai baju ungu 5. Ingkaran dari semua bilangan gena habis dibagi 2 adalah a. Beberaa bilangan gena habis dibagi 2 b. Beberaa bilangan tidak gena habis dibagi 2 c. Setia bilangan gena tidak habis dibagi 2 d. Ada bilangan habis dibagi 2 yang bukan bilangan gena e. Ada bilangan gena uang tidak habis dibagi 2 6. Kontraosisi dari Jika Ali lulus ujian maka ia membeli motor adalah a. Jika Ali membeli motor maka ia lulus ujian b. Jika Ali lulus ujian maka ia tidak membeli motor c. Jika Ali tidak lulus ujian maka ia membeli motor d. Jika Ali tidak lulus ujian maka ia tidak membeli motor e. Jika Ali tidak membeli motor maka ia tidak lulus ujian 7. Invers dari Jika ayah ergi maka ibu tinggal di rumah adalah a. Jika ayah tidak ergi maka ibu tidak tinggal di rumah b. Jika ibu tinggal di rumah maka ayah ergi c. Jika ibu tidak tinggal di rumah maka ayah tidak ergi d. Jika ayah ergi maka ibu tidak tinggal di rumah e. Jika ibu ergi maka ayah tinggal di rumah 8. Diketahui dua remis sebagai berikut.
Premis 1 : Jika Uik seorang enyanyi maka suara Uik merdu Premis 2 : Suara Uik tidak merdu : Uik bukan seorang enyanyi Prinsi enarikan simulan tersebut adalah a. Modus onen c. Silogisme b. Modus tollen d. Negasi 9. Diketahui dua remis sebagai berikut. Premis 1 : Jika Merry rajin belajar maka ia andai Premis 2 : Jika Merry andai maka ia lulus UN Simulan yang sah dari remis-remis tersebut adalah a. Merry rajin belajar tetai tidak andai b. Merry rajin belajar dan lulus UN c. Merry andai dan lulus Un d. Merry tidak andai e. Jika Merry rajin belajar maka ia lulus UN 10. Diberikan ernyataan-ernyataan sebagai berikut. i. Jika enguasaan matematika rendah maka sulit untuk menguasai IPA ii. Jika IPA sulit dikuasai maka IPTEK tidak berkembang iii. Jika IPTEK tidak berkembang maka Negara semakin tertinggal Simulan dari tiga ernyataan di atas adalah a. Jika enguasaaan matematika rendak maka Negara semakin tertinggal b. Jika enguasaaan matematika rendah maka IPTEK berkembang c. IPTEK dan IPA berkembang d. IPTEK dan IPA tidak berkembang e. Sulit untuk memajukan negara e. Argumentasi B. Kerjakan soal-soal berikut! 1. Diketahui ernyataan-ernyataan berikut. : 5 2 > 2 5 : 12 adalah keliatan 5 r : 19 bilangan rima Tentukan nilai kebenaran ernyataan-ernyataan majemuk berikut. a. Λ ~ b. ~ V r c. ~r d. ( V ) r 2. Buatlah tabel kebenaran ernyataan majemuk ( Λ ~)! ~ Λ ~ ( Λ ~)
3. Tentukan ingkaran/negasi dari ernyataan berikut. a. Ada keliatan 4 yang tidak habis dibagi 2 b. Semua bilangan rima adalah bilangan ganjil c. Jika ayah berangkat ke kantor maka adik menangis d. 27 habis dibagi 3 dan 21 habis dibagi 6 e. Semua bilangan asli adalah bilangan cacah atau 14 adalah bilangan ganjil a. b. c. d. e. 4. Tentukan konvers, invers, dan kontraosisi dari ernyataan Jika ΔPQR sama kakai maka sisinya sama anjang! Konvers : Invers : Kontraosisi : 5. Tentukan ingkaran/negasi dari simulan ernyataan berikut. i. Jika angin bertiu kencang maka daun-daun beterbangan ii. daun-daun tidak beterbangan : Negasi konklusi :