. Peubah Acak (Random Variable) EL00-Probabilitas dan Statistik Dosen: Andriyan B. Suksmono
Isi 0. Review dari EL009 KonsepPeubahAcak Sebaran Peluang Diskrit Sebaran Peluang Kontinyu Sebaran Empiris Sebaran Peluang Gabungan NilaiHarap Hukum Nilai Harap SifatVariansi Teorema Chebyshev
Konsep Pubah Acak Eksperimen statistik dipakai untuk menyatakan proses dimana pengukuran peluang dilakukan. Seringkali, yang lebih penting bukanlah detail dari hasil eksperimen, tetapi gambaran numerik terkait eksperimen tsb. Contoh: pelantunan koin 3 kali memberikan hasil S {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT} Gambaran umum mengenai jumlah H yang muncul dapat dilakukan jika nilai-nilai 0,,, atau 3 bisa dikaitkan dengan hasil diatas. Hal ini dilakukan melalui konsep peubah acak (random variable).
Definisi Def..: Suatu fungsi yang nilainya berupa bilangan riil yang ditentukan oleh setiap anggota dari ruang cuplikan disebut sebagai peubah acah (random variable). S Random variable R - 0 Peubah acak dinyatakan dengan huruf besar, misalnya X, sedangkan nilainya dengan huruf kecil-nya, yakni x untuk kasus ini. Untuk kasus pelantunan koin tsb diatas, X akan bernilai untuk peristiwa: E {HHT, HTH, THH}
Contoh Contoh. Dua bola diambil berturutan secara acak, tanpa penggantian, dari suatu wadah yang berisi empat bola merah (R) dan tiga bola hitam (B). Hasil dapat muncul dan nilai y dari peubah acak Y, dimana Y menyatakan banyaknya bola merah adalah Peristiwa y RR RB BR BB 0
Contoh.: Petugas penyimpanan helm mengembalikan helm dari tiga orang pegawai Smith, Jones, dan Brown dalam urutan spt itu. Jika helm diambil acak dan dikembalikan sesuai urutan pegawai diatas, dan m menyatakan jumlah helm yang kembali ke pemilik sebenarnya, kemungkinan berikut bisa terjadi: Peristiwa m SJB 3 SBJ JSB JBS 0 BSJ 0 BJS
Peubah acak diskrit dan kontinyu Def..: Ruang cuplikan yang mengandung sejumlah berhingga titik cuplikan, atau sejumlah tak berhingga titik sebanyak seluruh bilangan bulat, disebut sebagai ruang cuplikan diskrit, dan peubah acak yang didefinisikan dalam ruang ini disebut sebagai peubah acak diskrit. Def..3: Ruang cuplikan yang mengandung sejumlah takberhingga titik cuplikan, sebanyak seluruh titik dalam segmen garis, disebut sebagai ruang cuplikan kontinyu, dan peubah acak yang didefinisikan dalam ruang ini disebut sebagai peubah acak kontinyu.
Sebaran Peluang Diskrit
Sebaran peluang diskrit Dalam kasus pelantunan koin tiga kali, peubah X yang menyatakan banyaknya H muncul akan memberikan peluang 3/8 untuk x. Untuk kasus pengembalian helm, peluang tidak satupun pegawai mendapatkan helm yang benar, yakni m0, adalah /6/3. Kita bisa membuat tabel berikut: m 0 3 P(Mm) /3 / /6 Nilai m menyatakan semua kasus yang mungkin terjadi, sehingga seluruh peluang akan berjumlah. Seringkali lebih praktis menyatakan semua kemungkinan peubah acak X kedalam formula. Jadi kita tuliskan f(x) P(Xx), misalnya f(3) P(X3)
Fungsi atau sebaran peluang Def..4: Fungsi f(x) adalah suatu fungsi peluang atau sebaran peluang dari peubah acak X jika, untuk setiap hasil yang muncul x berlaku:. f(x) 0. Σ x f(x) 3. P(X x) f(x) Contoh.3: Tentukan sebaran peluang dari jumlah sepasang mata dadu jika dilantunkan. Jawab: Andaikan X peubah acak yang nilainya x merupakan jumlah pasangan mata dadu. Maka x akan bernilai dari sampai. Sepasang dadu akan memiliki kombinasi muncul sebanyak 6 6 36 cara, masing-masing dengan peluang /36.
.. Mata Dadu 3 4 5 6 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 X x 3 4 5 6 7 8 9 0 f(x) /36 /36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 /36 /36
Sebaran kumulatif Def..5: Sebaran kumulatif F(x) dari peubah acak diskrit X dengan sebaran peluang f(x) adalah F(x) P(X x) Σ t x f(t) Contoh.4 dan.5: Suatu koin dilantunkan empat kali. Tentukan: ) formula sebaran peluang munculnya H yaitu f(x), dan ) sebaran kumulatif F(x) nya. Jawab:. Jumlah titik cuplikan ada 4 6. Jika x menyatakan banyaknya muncul H, akan ada kombinasi sebanyak C(4,x). Dengan demikian f(x) C(4, x)/6, dimana x 0,,, 3, 4 f(0) (4!/4!)/6 /6 ; f()(4!/3!)/6 4/6; f() (4!/(!!))/6 6/6; f(3) f(); f(4) f(0);. Berdasarkan Def..5, diperoleh : F(0) f(0) /6; F() f(0) + f() 5/6;... dst
F Dengan demikian ( x) 0, untuk x < 0 6, untuk 0 x < 5 6, untuk x < 6, untuk x < 3 5 6, untuk 3 x < 4, untuk x 4 3/4 / /4 F(x) 0 3 4 x Sebarang kumulatif diskrit
Sebaran peluang dlm bentuk grafis Dari contoh.4: f(x) C(4, x)/6 X 0 3 4 f(x) /6 4/6 6/6 4/6 /6 6/6 5/6 f(x) 6/6 5/6 f(x) Luasf(x) 4/6 4/6 3/6 3/6 /6 /6 /6 /6 0 3 Bar-chart 4 x 0 3 Histogram peluang 4 x
.3 Sebaran peluang kontinyu
Arti kerapatan peluang (kontinyu) Tinjau sebaran tinggi badan dari orang berumur thn. Antara sebarang dua nilai, mis. 63.5 64.5, ada tak hingga macam tinggi badan. Peubah acak kontinyu memiliki peluang nol untuk suatu nilai eksak dari peubah acak ini. P(a<X b) P(a<X<b) + P(Xb) P(a<X<b) + 0 Jadi, tidak ada bedanya mengikutkan titik ujung dalam perhitungan ini ataupun tidak. Peubah acak kontinyu tidak dapat ditampilkan secara tabular, namun bisa dinyatakan dalam rumus. Peubah acak kontinyu dinyatakan dalam suatu fungsi rapat peluang f(x)
Fungsi rapat peluang kontinyu Suatu fungsi rapat peluang dibentuk sedemikian hingga integrasi daerah dibawah kurva ke seluruh X memberikan luas sebesar satu. f(x) P a b x ( a < X < b) f ( x) b a dx Penentuan nilai peluang dalam rentang peubah acak antara a dan b.
Def. fungsi rapat peluang kontinyu Def..6: Suatu fungsi f(x) adalah fungsi rapat peluang untuk peubah acak kontinyu X yang didefinisikan ke seluruh himpunan bilangan riil R, jika. f(x) 0 untuk semua x R. - f(x) dx. 3. P(a<X<b) b a f(x) dx Contoh: andaikan peubah acak X memiliki fungsi rapat peluang: f(x) x /3; -<x< dan f(x)0 selain itu. Tentukan: () kondisi pada Def..6, dan () Tentukan P(0< X ) Jawab: ) - f(x) dx - (x /3)dx x 3 /9 - (8/9) + (/9) ) P(0< X ) 0 (x /3)dx x 3 /9 0 /9
Sebaran peluang kumulatif kontinyu Def..7: Sebaran peluang kumulatif F(x) dari suatu peubah acak kontinyu X dengan fungsi kerapatan f(x) diberikan oleh F ( x) P( X x) f ( t) Ada dua hasil langsung dari Def..7, yaitu: ) P(a<X<b) F(b) F(a) ) f(x) df(x)/dx x dt
Contoh Soal: Untuk fungsi pada contoh.6., tentukan F(x) dan gunakan untuk menghitung P(0< X ) Jawab: F(x) - f(t) dt x - (t /3)dt t 3 /9 x - (x3 +)/9 Oleh karena itu, P(0< X ) F() F(0) (/9) (/9) /9
.4 Sebaran Empiris
Sebaran frekuensi relatif Dalam percobaan, seringkali fungsi rapat peluang f(x) untuk peubah acak kontinyu X tidak diketahui. Pemilihan f(x) harus mempertimbangkan setiap informasi yang tersedia dari data. Tinjau sebaran frekuensi relatif dari 40 buah umur batere mobil dalam Tabel.. Pabrik menjamin umur batere adalah 3 tahun. Tabel.. Umur batere dalam tahun. 4. 3.5 4.5 3. 3.7 3.0.6 3.4.6 3. 3.3 3.8 3. 4.7 3.7.5 4.3 3.4 3.6.9 3.3 3.9 3. 3.3 3. 3.7 4.4 3. 4..9 3.4 4.7 3.8 3..6 3.9 3.0 4. 3.5
Lanjutan Andaikan diambil 7 kelas, dng demikian besar interval adalah (max-min)/kelas (4.7-.6)/70.443. Tabel. menunjukkan sebaran frekuensi relatif-nya. Tabel. Interval Kelas Titik tengah kelas Frekuensi (f) Frekuensi relatif.5 -.9.7 0.050.0 -.4. 0.05.5.9.7 4 0.00 3.0 3.4 3. 5 0.375 3.5 3.9 3.7 0 0.50 4.0 4.4 4. 5 0.5 4.5 4.9 4.7 3 0.075
Histogram dan estimasi fungsi rapat peluang 0.375 0.50 f(x) 0.5.7..7 3. 3.7 4. 4.7 Bentuk kurva: lingkaran? Hiperbola? Elips? Parabola f(x) ax + bx + c, untuk a, b, c tertentu? Banyak fungsi kerapatan peluang yang dapat dinyatakan dalam kurva berbentuk lonceng (Gaussian).
Skewness dari data Sebaran bersifat simetrik (setangkup) atau tak simetrik (skewed). Skew ke kanan setangkup Skew ke kiri
Sebaran kumulatif Berdasarkan Tabel., kita dapat membuat sebaran frekuensi kumulatif dari umur batere, spt pada Tabel.3 dan estimasi F(x). Batas kelas Frekuensi kumulatif relatif <.45 0.000 <.95 0.050 <.45 0.075 <.95 0.75 < 3.45 0.550 < 3.95 0.800 Frekuensi kumulatif relatif.000 0.750 0.500 0.50 < 4.45 0.95 < 4.95.000 * * * * F(x) decile ke tujuh ~3.70 Kuartil pertama ~3.05 * * *.45.45 3.45 4.45 * Umur batere
.5 Sebaran Peluang Gabungan
Peluang gabungan diskrit Jika dimensi ruang cuplikan lebih dari satu, misalnya hasil pengukuran dua besaran P dan V yng dinyatakan sbg (p, v), kita sebut sebaran peluangnya sebagai sebaran peluang gabungan. Def..8: Fungsi f(x,y) adalah fungsi peluang gabungan dari dua peubah diskrit X dan Y jika. f(x,y) 0 untuk seluruh (x,y). x y f(x,y) 3. P[(X,Y) A] A f(x,y) untuk sebarang daerah A dalam bidang xy.
Contoh.8 Soal: Suatu kotak berisi tiga refil (tinta isian) berwarna biru, dua refil merah, dan 3 refil hijau. Akan diambil dua refil secara acak dari kotak tsb. Jika X menyatakan jumlah refil biru, dan Y jumlah refil merah, tentukan: () fungsi peluang gabungan f(x,y), dan () P[(X,Y) A], dimana A adalah daerah {(x,y) x + y }. Jawab: pasangan (x,y) yang dapat muncul adalah (0,0), (0,), (,0), (,), (0,), dan (,0). Tinjau f(0,) yang menyatakan peluang terpilihnya refil merah dan hijau (karena refil biro nol). Jumlah total kombinasi terpilihnya dua refil dari delapan buah refil yang ada di dalam kotak adalah C(8,) 8!/(6!)(!)8 7/8. Cacah kombinasi terpilihnya satu dari dua refil berwarna merah dan satu dari tiga refil hijau adalah C(,) C(3,) (3!/!) 6. Dengan demikian, f(0,) 6/8 3/4. Dengan cara yang sama, nilai f(x,y) untuk seluruh rentang nilai diskrit x dan y yang mungkin dapat ditentukan. Hasilnya ditampilkan pada Tabel.4 berikut ini.
Tabel.4 Sebaran peluang gabungan y x 0 0 3/8 9/8 3/8 3/4 3/4 - /8 - - ). P[(X,Y) A] P(X + Y ) f(0,0) + f(0,) + f(,0) 3/8 + 3/4 + 9/8 9/4
Peluang gabungan kontinyu Def..9: Suatu fungsi f(x,y) adalah fungsi kerapatan gabungan dari peubah acak kontinyu X dan Y jika. f(x,y) 0 untuk semua (x, y). - f(x,y) dxdy 3. P[(X,Y) A] A f(x,y) dx dy Contoh.9: Tinjau fungsi rapat peluang berikut f(x,y) x(+3y )/4; 0<x<, 0<y< 0, lainnya. Periksa kondisi pada Def..9. Tentukan P[(X,Y) A] dimana A adalah daerah {(x,y) 0<x<, ¼ <y< ½}
( ) ( ) 3 8 3 8 4 3, 0 3 0 0 0 0 0 + + + + + y y dy y dy y x x dxdy y x dxdy y x f x x ( ) [ ] ( ) ( ) 5 3 5 3 64 6 8 8 8 3 8 8 3 8 4 3, 0, 4 3 4 4 0 4 0 4 + + + + + + < < < < y y dy y dy y x x dxdy y x Y X P A Y X P x x () ()
Sebaran peluang marjinal Jika f(x,y) adalah sebaran gabungan dari peubah acak X dan Y, maka sebaran peluang untuk masing-masing peubah acak X dan Y (sebaran marjinal) adalah: Diskrit: g(x) y f(x,y) h(y) x f(x,y) Kontinyu: g(x) - f(x,y) dy h(y) - f(x,y) dx
Fungsi g(x) dan h(y) disebut sebagai sebaran marjinal dari X dan Y. Bahwa masing-masing benar berupa fungsi sebaran dapa diperiksa berdasarkan Def..4. dan Def..6. Sbg contoh, untuk kasus kontinyu: dan - g(x) dx - - f(x,y) dy dx P(a<X<b) P(a<X<b, - <Y< ) ab - f(x,y) dy dx ab g(x) dx
Sebaran bersyarat diskrit Kembali ke definisi peluang bersyarat: P(B A) P(A B)/P(A), P(A)>0 Jika A dan B adalah peristiwa yang dimana Xx dan Yy, P(Yy Xx) P(Xx,Yy)/P(Xx) f(x,y)/g(x) ; g(x) >0 untuk peubah acak diskrit X dan Y. Dapat ditunjukkan bahwa fungsi f(x,y)/g(x) memenuhi syarat sebagai sebaran peluang dan akan dituliskan sebagai f(y x), yakni: f(y x) f(x,y)/g(x), g(x)>0 dan disebut sebagai sebaran bersyarat dari peubah acak diskrit Y, diberikan Xx. Dengan cara sama, sebaran bersyarat f(x y) dari peubah acak X jika diberikan Yy dapat dituliskan sebagai f(x y) f(x,y)/h(y), h(y)>0
Sebaran bersyarat kontinyu Perdefinisi, sebaran rapat peluang bersyarat dari peubah acak kontinyu X, jika diberikan Yy adalah f(x y) f(x,y)/h(y), h(y)>0 sedangkan sebaran rapat peluang bersyarat untuk peubah acak kontinyu Y, diberikan Xx, adalah f(y x) f(x,y)/g(x), g(x)>0 Peluang dari peubah acak kontinyui X yang terletak antara a dan b, jika diketahui Yy, dapat dihitung sbb: P(a<X<b Yy) ab f(x y) dx
Contoh.0 Soal: Mengacu ke contoh.8 tentang pengambilan refil tinta, tentukan f(x ) dan P(X0 Y). Jawab: f(x ) f(x,)/h(), tentukan tlbh dulu h() h() x0 f(x,) (3/4)+(3/4)+0 3/7 Karena itu f(x ) (7/3) f(x,), untuk x0,,. Karena itu f(0 ) (7/3) f(0,) (7/3)(3/4) ½ f( ) (7/3) f(,) (7/3)(3/4) ½ f( ) (7/3) f(,) (7/3) (0) 0 dan sebaran bersyarat untuk X, diberikan Y adalah x 0 f(x ) ½ ½ 0 Akhirnya, P(X0 Y) f(0 ) /
Contoh. Soal:Fungsi kerapatan gabungan dari peubah acak X dan Y dinyatakan sebagai f(x,y) 8xy; 0<x<, 0<y<x 0; selain itu Tentukan g(x), h(y), f(y x), dan P(Y</8 X/) Jawab: Berdasarkan definisi, kita peroleh hasil-hasil berikut ini: g(x) - f(x,y) dy x 0 8xy dy 4xy x y0 4x3 ; 0<x< h(y) - f(x,y) dx y 0 8xy dx 4x y y x0 4y3 ; 0<y<x Selanjutnya f(y x) f(x,y)/g(x) 8xy/4x 3 y/x ; 0<y<x dan P(Y</8 X/) 0 /8 (y/x ) x/ dy 0 /8 8y dy 4y 0 /8 /6
Kebebasan Statistik Contoh.: Tinjau kasus fungsi kerapatan bersama pada Contoh.9. Tentukan g(x), h(y), f(x y), dan P(/4<X</ Y/3) Jawab: Berdasarkan definisi kita peroleh g(x) - f(x,y) dy 0 x x(+3y )/4 dy x/; 0<x< h(y) - f(x,y) dx 0 y x(+3y )/4 dx (+3y )/ ; 0<y< Akibatnya f(x y) f(x,y)/h(y) {x(+3y )/4}/{(+3y )/} x/ ; 0<x< dan P(/4<X</ Y/3) / /4 (x/) y/3 dx3/64 Contoh ini memperlihatkan peluang bersyarat f(x y) tidak bergantung pada y. Untuk kasus demikian, dapat ditunjukkan bahwa i) f(x y) g(x), dan ii) f(x,y) g(x) h(y).
Bukti: substitusikan f(x,y) f(x y)h(y) ke sebaran marjinal dari X, yakni g(x) - f(x,y) dy - f(x y)h(y) dy Karena f(x y) tdk bergatung y, maka peluang bersyarat ini bisa dikeluarkan dari integral. Akibatnya g(x) f(x y) - h(y) dy f(x y) f(x y) Oleh karena itu g(x) f(x y) dan f(x,y) g(x) h(y) Hasil ini dirangkum dalam definisi berikut
Def. Kebebasan Statistik Def..0: Andaikan X dan Y dua peubah acak, baik diskret maupun kontinyu, dengan sebaran peluang gabungan f(x,y) dan sebaran marjinal g(x) dan h(y). Peubah acak X dan Y disebut bebas secara statistik, jika dan hanya jika, f(x,y) g(x) h(y) untuk semua nilai (x,y) Peubah acak kontinyu pada contoh. adalah bebas secara statistik Peubah acak kontinyu pada contoh. tidak bebas statistik Berdasarkan contoh.8: f(0,) 3/4 g(0) y0 f(0,y) 3/8 + 3/4 + /8 5/4 h() x0 f(x,) 3/4 +3/4 + 0 3/7 Jelas bahwa f(0,) g(0) h(), dengan demikian X dan Y dalam contoh.8 tidak bersifat bebas secara statistik
Generalisasi ke n-buah peubah acak Hasil-hasil yang diperoleh dari -buah peubah acak dapat digeneralisasi ke n-buah peubah acak. Tinjau fungsi peluang bersama f(x, x,, x n ) dari peubah acak X, X,, X n. Sebaran marjinal untuk X diberikan oleh diskrit: g(x ) x xn f(x, x,, x n ) kontinyu: g(x ) - - f(x, x,, x n )dx dx n Sebaran marjinal gabungan φ(x, x ) diskrit: φ(x, x ) x3 xn f(x, x,, x n ) kontinyu: φ(x, x ) - - f(x, x,, x n )dx 3 dx n Sebaran gabungan bersyarat X, X, X 3 diberikan X 4 x 4, X 5 x 5,, X n x n adalah f(x, x, x 3 x 4, x 5,, x n ) f(x, x,, x n ) /g(x 4, x 5,, x n )
Generalisasi kebebasan statistik Def..: Andaikan X, X,, X n adalah n-buah peubah acak, diskrit atau kontinyu, dengan sebaran peluang bersama f(x, x,, x n ) dan sebaran marjinal f (x ), f (x ),, f n (x n ). Peubah acak X, X,, X n disebut saling bebas secara statistik jika dan hanya jika f(x, x,, x n ) f (x ) f (x ) f n (x n ) Contoh.3: Andaikan X, X, dan X 3 adalah tiga peubah acak yang saling bebas secara statistik dan andaikan masing-masing memiliki fungsi rapat peluang: f(x) e -x, x>0 0, selain itu Tentukan P(X <, <X <3, X 3 >) Jawab: Fungsi rapat peluang bersama dari X, X, dan X 3 adalah f(x, x, x 3 ) f(x ) f(x ) f(x 3 ) e -x e -x e -x3 exp(-x - x - x 3 ), x >0, x >0, x 3 >0 maka P(X <, <X <3, X 3 >) 3 0 exp(-x - x - x 3 ) dx dx dx 3 ( - e - ) (e - -e -3 ) e - 0.0376
Latihan Peluang marjinal: 3 dan 4 Peluang bersyarat: 7 dan 8 Kebebasan statistik: 9, 30 Joint PDF: 3
.6 Nilai Harap dari Peubah Acak
Konsep dan Definisi Jika dua buah koin dilantunkan 6 kali dan X menyatakan jumlah munculnya sisi H per-lantunan, maka X dpt bernilai 0,, atau. Jika eksperimen ini menghasilkan 4 lantunan tanpa H, 7 lantunan dengan H, dan 5 lantunan dengan H, maka rata-rata jumlah H perlantunan dari dua koin adalah: (0 4 + 7 + 5)/6.06 Nilai rata-rata dari peubah acak yang demikian disebut sebagai nilai harap (expected value). Def..: Andaikan X suatu peubah acak dengan sebaran peluang f(x). Nilai harap dari X adalah E(X) x x f(x) ; untuk X diskrit - x f(x)dx ; untuk X kontinyu
Contoh.4 Soal: Hitung nilai harap dari jumlah Kimiawan dalam seleksi suatu Komite yang terdiri dari tiga orang, berdasarkan 4 kandidat Kimiawan dan 3 kandidat Biologiwan Jawab: Jika X menyatakan banyaknya Kimiawan dalam Komite, maka sebaran peluang dari X akan diberikan oleh f(x) C(4, x) C(3, 3-x)/C(7,3); x0,,, 3 ------------------------------------------------------------------ {kombinasi x dari 4 Kimiawan} * {kombinasi (3-x) dari 3 angg. komite} yakni f(0)/35, f()/35, f()8/5, dan f(3)4/35. Oleh karena itu: E(X) 0 (/35)+ (/35)+ (8/35)+3 (4/35) /7.7
Contoh Soal: Andaikan X peubah acak yang menyatakan waktu hidup lampu tabung dalam jam. Fungsi kerapatan peluangnya dinyatakan sebagai: f(x) 0.000/x 3, x>00 0, selain itu Tentukan nilai harapan hidup dari tabung jenis ini. Jawab: Berdasarkan Def.., maka E(X) 00 x (0.000/x3 )dx 00 (0.000/x )dx 0.000 (-x - ) 00 0+00 00
Nilai harap g(x) Tinjau fungsi g(x) dari peubah acak X. Sbg contoh untuk X diskrit dengan sebaran peluang f(x), dimana x-, 0,, dan g(x)x, maka P[g(X)0] P(X0) f(0) P[g(X)] P(X-)+P(X) f(-)+f() P[g(X)4] P(X) f() Perdefinisi., E[g(X)] g(x) g(x)p[g(x)g(x)] 0 P[g(X)0] + P[g(X)]+4 P[g(X)4] 0 f(0) + [f()+f(-)] +4 f() x g(x) f(x) Hasil ini diformulasikan sebagai Teorema.
Nilai harap dari g(x) Teorema.: Andaikan X suatu peubah acak dengan sebaran peluang f(x). Nilai harap dari fungsi g(x) adalah E[g(X)] x g(x) f(x) ; jika X diskrit - g(x) f(x)dx ; jika X kontinyu Contoh.7: Andaikan X adalah peubah acak dengan sebaran peluang berikut x 0 3 ---------------------------------------------- f(x) /3 ½ 0 /6 Tentukan nilai harap dari Y (X-) Jawab: Berdasarkan Teorema., nilai harap dari Y adalah E[(X-) ] 03 (x-) f(x) (-) f(0) + (0) f() + () f() + () f(3) () (/3) + (0) (/) + () (0) + (4) (/6)
Nilai harap dari g(x,y) Def..3: Andaikan X dan Y peubah acak dengan sebaran peluang bersama f(x,y). Nilai harap dari fungsi g(x,y ) adalah E[g(X,Y)] x,y g(x,y) f(x,y) ; jika X dan Y diskrit - - g(x,y) f(x,y)dxdy ; jika X dan Y kontinyu y x 0 0 3/8 9/8 3/8 3/4 3/4 - /8 - - Contoh.9: Andaikan X dan Y dua peubah acak dengan sebaran peluang spt pada Tabel.4 (lihat sebelah). Tentukan nilai harap g(x,y)xy! Jawab: Perdefinisi.3, kita dapat menyatakan E(XY) x0 y0 xy f(x,y) 0 0 f(0,0) + 0 f(0,) + 0 f(0,) + 0 f(,0) + f(,) + 0 f(,0) 0 + 0 + 0 + 0 + f(,) + 0 f(,)
.7 Hukum Nilai Harap
Teorema Teorema.: Jika a dan b konstanta, maka E(aX + b) ae(x) + b Corollary : Dengan membuat a0, maka E(b) b Corollary : Dengan membuat b0, maka E(aX) ae(x)
Teorema Teorema.3: Nilai harap dari jumlah atau perbedaan dari dua atau lebih fungsi dari peubah acak X adalah jumlah atau perbedaan dari nilai harap fungsinya. Yakni E[g(X) ± h(x)] E[g(X)] ± E[h(X)] Contoh.: Dalam contoh.7, kita dapat menuliskan E[(X-) ] E(X X +) E(X ) -E(X) + E() Dari Corollary, E(), Sehingga E(X) 0 (/3) + (/) + (0) + 3 (/6) E(X ) 0 (/3) + (/) + 4 (0) + 9 (/6) (/) +.5 Dengan demikian E[(X-) ] - + x 0 3 ----------------------------------------------------------- f(x) /3 ½ 0 /6
Teorema Teorema.4: Nilai harap dari jumlah atau perbedaan dari dua atau lebih fungsi dari peubah acak X dan Y adalah jumlah atau perbedaan dari nilai harap fungsinya. Yakni E[g(X,Y) ± h(x,y)] E[g(X,Y)] ± E[h(X,Y)] Corollary: Dengan membuat g(x,y) X dan h(x,y) Y diperoleh E[X ± Y] E[X] ± E[Y] Teorema.5: Andaikan X dan Y dua peubah acak yang saling bebas. Maka E[X Y] E[X] E[Y]
Contoh.3 Andaikan X dan Y dua peubah acak yang saling bebas dengan sebaran peluang f(x,y) x(+3y )/4 ; 0<x<, 0<y< 0 ; selain itu Periksa berlakunya Teorema.5 untuk kasus ini. ( ) ( ) ( ) ( ) 6 5 3 3 3 4 3 0 0 0 3 0 0 + + + dy y y dy y y x dxdy y y x XY E x x ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 3 3 3 4 3 0 0 0 3 0 0 + + + dy y dy y x dxdy y x X E x x ( ) ( ) ( ) ( ) 8 5 3 8 3 4 3 0 0 0 0 0 + + + dy y y dy y y x dxdy y xy Y E x x Terlihat bahwa, E(X) E(Y)(4/3) (5/8) (5/6) E(XY)
.8 Ekspektasi Khusus Momen ke-k dan variansi
Momen ke-k Jika g(x) X k, Teorema. akan menghasilkan nilai yang disebut sebagai momen ke-k dari titik asal dari peubah acak X, yang dinyatakan sebagai μ k. Karena itu μ ' k E ( k ) k X x f ( x) x x k f ( x) dx ; X diskrit ; X kontinyu Jikak0, kita dapatkan E() karena μ 0 E() x f(x) ; X diskrit - f(x) dx ; X kontinyu Jikak, kita dapatkan μ E(X), yaitu nilai harap peubah acak X. Momen pertama juga disebut mean dari peubah acak μ, jadi μ μ E(X)
Momen ke-k thd mean, variansi Jika g(x) (X-μ) k, Teorema. menghasilkan momen kek terhadap mean dari peubah acak X, yang dilambangkan sebagai μ k. Dengan demikian: μ k E [( ) ] k k X μ ( x μ) f ( x) ( ) k x μ f ( x ) x dx ; X diskrit ; X kontinyu Momen kedua terhadap mean, μ, memberikan ukuran keragaman (variability) hasil pengamatan terhadap mean. μ disebut juga sebagai variansi dari peubah acak X, dinyatakan sebagai σ. σ μ E[(X-μ ) ] Akar kuadrat positif dari variansi disebut sebagai simpangan baku (standard deviation).
Variansi Teorema.6: Variansi dari peubah acak X diberikan oleh σ E(X ) - μ Bukti: σ E[(X-μ) ] E(X -μx+μ ) E(X ) - μe(x) + E(μ ) E(X ) - μ μ + μ E(X ) - μ
Contoh.4 Soal: Hitung variansi dari X, dimana X adalah banyaknya Kimiawan dalam komite yang terdiri dari 3 orang dan dipilih dari 4 Kimiawan dan 3 Biologiwan Jawab: Dalam contoh.4 sudah didapatkan μ /7. Selanjutnya E(X ) 0 (/35) + (/35) + (8/35) + 3 (4/35) 4/7 Oleh karena itu σ 4/7 (/7) 4/49
Contoh.5 Soal: Tentukan mean dan variansi dari peubah acak X, dimana X memiliki fungsi kerapatan f(x) (x-), <x< 0, selain itu Jawab: ( X ) x( x ) 5 3 μ E dx E ( ) X x ( x ) dx 7 6 Oleh karena itu: σ (7/6) (5/3) /8
Kovariansi Jika g(x,y) (X-μ X )(Y-μ Y ), dimana μ X E(X) dan μ Y E(Y), Def..3 akan menghasilkan nilai harap yang disebut kovariansi dari X dan Y, yng dilambangkan sebagai σ XY atau cov(x,y). σ XY E x [( X μ )( Y μ )] y X ( x μ )( y μ ) f ( x, y) ; X dany diskrit ( x μ )( y μ ) f ( x, y) dx dy ; X dany kontinyu X X Y Y Y
Kovariansi positif: Sifat-sifat Kovariansi tingginya nilai X berasosiasi dengan tingginya nilai Y, dan rendahnya nilai X berasosiasi dengan rendahnya nilai Y Kovariansi negatif: tingginya nilai X berasosiasi dengan rendahnya nilai Y, atau sebaliknya Jika X dan Y saling bebas secara statistik, maka kovariansi akan bernilai nol. Hal sebaliknya tidak berlaku, kovariansi nol tidak berarti X dan Y saling bebas statistik.
Kovariansi.. Teorema.7 Kovariansi dari dua buah peubah acak X dan Y dengan mean masing-masing μ X dan μ Y adalah σ XY E(XY) - μ X μ Y Bukti: σ XY E[(X - μ X )(Y - μ Y )] E(XY- μ X Y- μ Y X+ μ X μ Y ) E(XY)- μ X E(Y)- μ Y E(X) +E(μ X μ Y ) E(XY) - μ X μ Y - μ Y μ X + μ X μ Y E(XY) - μ X μ Y
Contoh.6 Tinjau sebaran peluang bersama pada contoh.8. dan perhitungan.9 yang menghasilkan E(XY) 3/4. y x 0 0 3/8 9/8 3/8 3/4 3/4 - /8 - - g(x) 0/8 5/8 3/8 h(y) 5/8 /8 /8 μ X E(X) x0 y0 xf(x,y) x0 xg(x) 0(0/8)+(5/8)+(3/8) /83/4 Sedangkan μ Y E(Y) x0 y0 yf(x,y) y0 yh(y) 0(5/8)+(/8)+(/8) 4/8 ½ Akibatnya σ XY E(XY) - μ X μ Y 3/4 (3/4)(/) -9/56
.9 Sifat-Sifat Variansi
Sifat-sifat variansi Teorema.8: Andaikan X suatu peubah acak dengan sebaran peluang f(x). Variansi dari fungsi g(x) adalah σ g(x) E[{g(X) - μ g(x) } ] Teorema.9: Jika X suatu peubah acak dan b konstanta, maka σ X+b σ X σ Teorema.9: Jika X suatu peubah acak dan a konstanta, maka σ ax a σ X a σ
Sifat-sifat variansi Teorema.: Jika X dan Y peubah acak dengan sebaran peluang gabungan f(x,y), maka σ ax+by a σ X + b σ Y + abσ XY Corollary : Jika X dan Y peubah acak yang saling bebas, maka σ ax+by a σ X + b σ Y Corollary : Jika X dan Y peubah acak yang saling bebas, maka σ ax-by a σ X + b σ Y
Contoh.8 Soal: Jika X dan Y peubah acak dengan variansi σ X, σ Y 4 dan kovariansi σ XY -, tentukan variansi dari peubah acak Z 3X - 4Y + 8 Jawab: σ Z σ 3X - 4Y + 8 σ 3X-4Y ; T..9 9σ X + 6σ Y -4σ XY ; T.. 9 + 6 4-4 (-) 30
.0 Teorema Chebyshev
Teorema Chebyshev dan Bukti Teorema Chebyshev: Peluang sebarang peubah acak X jatuh dalam rentang k kali simpangan baku dari mean sekurangkurangnya adalah ( - /k ). Yakni P(μ-kσ<X< μ+kσ) /k σ E [( ) ] X μ ( x μ) f ( x) μ kσ μ kσ μ + kσ ( x μ) f ( x) dx + ( x μ) f ( x) dx + ( x μ) f ( x) ( x μ) f ( x) dx + ( x μ) f ( x) μ kσ μ + kσ dx dx μ + kσ Karena integral kedua bernilai tak negatif. Selanjutnya, karena x - μ kσ berarti x μ+kσ atau x μ-kσ, diperoleh (x - μ) k σ dx
( ) ( ) + + σ μ σ μ σ σ σ k k dx x f k dx x f k ( ) ( ) + + σ μ σ μ k k k dx x f dx x f Akibatnya Dan bahwa ( ) ( ) k dx x f k X k P k k + < < + σ μ σ μ σ μ σ μ Oleh karena itu Terbukti
Konsekuensi Teorema Chebyshev Untuk k, teorema ini menyatakan bahwa peubah acak X memiliki peluang sedikitnya -(/) ¾ untuk masuk dalam rentang dua kali simpangan baku dari mean. σ σ μ+ kσ ( ) f(x) f x μ kσ dx μ-σ μ μ+σ
Contoh.30 Soal: Suatu peubah acak X memiliki mean μ8, variansi σ 9 dan (fungsi) sebaran peluang yang tak diketahui. Tentukan: () P(-4<X<0) dan () P( X-8 6). Jawab: simpangan baku σ 9 3, μ8. P(-4<X<0) P[8-(4)(3)<X<8+(4)(3)] P[μ - (4)(σ)<X< μ + (4)(σ)] 5/6 ; (-/k )-/6. P( X-8 >6) -P( X-8 6) P(-6<X-8<6) - P[μ -()(σ)<x<μ +()(σ)] ¼(<?) ;{ -/ 3/4}
Sekian