SISTEM BILANGAN A. Pendahuluan Komputer dibangun dengan menggunakan sirkuit logika yang beroperasi pada informasi yang dipresentasikan dengan dua sinyal listrik. Dua nilai tersebut adalah dan 1. dan jumlah informasi yang dipresentasikan oleh sinyal tersebut sebagai bit informasi, dengan bit adalah singkatan dari binary digit. : B. Sistem Bilangan Ada beberapa sistem bilangan yang digunakan dalam sistem digital, diantaranya yaitu Bilangan Bilangan Biner Bilangan Oktal Bilangan Heksadesimal Bilangan BCD 1. Bilangan Bilangan terdiri atas 1 angka atau lambang,yaitu D =, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Sistem bilangan desimal disebut juga sistem bilangan basis 1 karena mempunyai 1 digit. Ciri suatu bilangan desimal adalah adanya tambahan subskrip des atau 1 di akhir suatu bilangan Contoh: 357des = 3571 = 357 Contoh bilangan : 5736 Artinya : 5736 = 5 + 7 + 3 + 6 = 5. 1 + 7. 1 + 3. 1 + 6. 1 = 5. 1 + 6. 1 3 1 + 7. 1 + 3. 1. Bilangan Biner Digit bilangan biner disebut binary digit atau bit. Empat bit dinamakan nibble. Delapan bit dinamakan byte. Sejumlah bit yang terdiri dari karakter berupa huruf, angka atau lambang khusus dinamakan word. Sistem bilangan biner merupakan sistem bilangan basis dua. Pada sistem bilangan ini hanya dikenal dua lambang, yaitu: B =, 1. 14
Ciri suatu bilangan biner adalah adanya tambahan subskrip bin atau di akhir suatu bilangan Contoh: 1111bin = 1111. a) Biner ke decimal Untuk bilangan biner berbasiskan (X ) menggunakan perpangkatan 3 1 111( ) = (1 x ) + (1 x ) + (1 x ) + ( x ) = 8 + 4 + + = 14 b) Konversi Bilangan Biner ke Misalnya terdapat bilangan 1111 dalam sistem biner, berapakah ekivalennya dalam sistem desimal? x. 7 6 5 4 3 1 Pedoman 18 64 3 16 8 4 1 n Ekivalen 1 1 1 1 Bilangan yang akan dikonversi 64 8 1 Hasil Perkalian 3. Bilangan Oktal Merupakan sistem bilangan basis delapan. Pada sistem bilangan ini terdapat delapan lambang, yaitu: O =, 1,, 3, 4, 5, 6, 7. Ciri sistem bilangan oktal adalah adanya tambahan subskrip okt atau 8 di akhir suatu bilangan. Contoh: 1161okt = 11618. Bilangan oktal adalah bilangan dasar delapan, Karena oktal dan heksa merupakan pangkat dari dua, maka mereka memiliki hubungan yang sangat erat. Oktal berkaitan dengan prinsip biner. a) Konversi Bilangan Oktal ke Contoh bilangan bulat: 1161okt = 65des 15
1161okt = 1 X 8 3 + 1 X 8 + 6 X 8 1 + 1 X 8 = 51+64+48+1 = 65des b) Konversi Bilangan ke Oktal Contoh Bilangan Bulat : 65des = 1161okt 65 / 8 = 78 sisa 1 (MSB) 78 / 8 = 9 6 9 / 8 = 1 1 1 / 8 = 1 (LSB) c) Konversi Bilangan Oktal ke Biner Konversi bilangan oktal ke biner lebih mudah dibandingkan dengan konversi bilangan oktal ke desimal. Satu digit oktal dikonversi ke 3 bit biner Contoh: 1161okt = 1 1 6 1 1 1 11 1 11111bin d) Perubahan dari Oktal ke Biner Ubahlah bilangan oktal 635 menjadi bilangan biner 8 Masing-masing digit oktal diganti dengan ekivalens 3 bit (biner) 16
e) Konversi Bilangan Biner ke Oktal Contoh Bilangan Bulat: 11111bin = 1161okt 1 1 11 1 1 1 6 1 4. Bilangan Heksadesimal Merupakan sistem bilangan basis enam belas. Penerapan format heksadesimal banyak digunakan pada penyajian lokasi memori, penyajian isi memori, kode instruksi dan kode yang merepresentasikan alfanumerik dan karakter nonnumerik. Pada sistem bilangan ini terdapat enam belas lambang, yaitu: H =, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F Ciri bilangan heksadesimal adalah adanya tambahan subskrip heks atau 16 di akhir suatu bilangan. Contoh: 71heks = 7116 Konversi Bilangan Heksadesimal ke 71heks = 65des 71heks = X 16 1 + 7 X 16 + 1 X 16 = 51 + 11 + 1 = 65des a) Konversi Bilangan Bulat ke Heksadesimal Konversi bilangan bulat desimal ke heksadesimal dilakukan dengan membagi secara berulang-ulang suatu bilangan desimal dengan 16. Sisa setiap pembagian merupakan digit heksadesimal yang didapat. Contoh: Konversi 65des ke Heksadesimal 65 / 16 = 39 sisa 1 (LSB) 39 / 16 = 7 / 16 = (MSB) Jadi 65des = 71heks b) Konversi Bilangan Heksadesimal ke Biner Konversi bilangan heksadesimal ke biner lebih mudah dibandingkan konversi bilangan heksadesimal ke desimal. Satu digit heksadesimal dikonversi ke 4 bit biner. Contoh Bilangan Bulat: 71heks = 11111bin 7 1 1 11 1 17
Contoh mengubah bilangan heks ke bilangan biner Ubahlah bilangan heks 5D93 menjadi bilangan biner! 16 Tabel digit heksadesimal Jadi bilangan biner untuk heks 5D93 16 adalah 111111111 Operasi aritmetika pada bilangan Biner : a. Penjumlahan Dasar penujmlahan biner adalah : + = + 1 = 1 1 + = 1 1 + 1 = dengan carry of 1, yaitu 1 + 1 =, karena digit terbesar ninari 1, maka harus dikurangi dengan (basis), jadi = dengan carry of 1 contoh : 18
1111 11 + 111 atau dengan langkah : 1 + = 1 1 + = 1 1 + 1 = dengan carry of 1 1 + 1 + 1 = 1 + 1 = dengan carry of 1 1 1 1 b. Pengurangan Bilangan biner dikurangkan dengan cara yang sama dengan pengurangan bilangan desimal. Dasar pengurangan untuk masing-masing digit bilangan biner adalah : - = 1 - = 1 1-1 = 1 = 1 dengan borrow of 1, (pijam 1 dari posisi sebelah kirinya). 1111 111-11 dengan langkah langkah : 1 1 = 1 = 1 dengan borrow of 1 1 1 = 1 1 = 1 = 1 1 1 19
c. Perkalian Dilakukan sama dengan cara perkalian pada bilangan desimal. Dasar perkalian bilangan biner adalah : x = 1 x = x 1 = 1 x 1 = 1 contoh Biner 14 1 x 8 14 168 + 111 11 x 111 111 + 111 d. pembagian Pembagian biner dilakukan juga dengan cara yang sama dengan bilangan desimal. Pembagian biner tidak mempunyai arti, sehingga dasar pemagian biner adalah : : 1 = 1 : 1 = 1 Biner 5 / 15 \ 5 11 / 111111 \ 111 1-11 - 5 11 5-11 - 11 11 -
3. Bilangan Oktal Sistem bilangan Oktal menggunakan 8 macam symbol bilangan berbasis 8 digit angka, yaitu,1,,3,4,5,6,7. Position value system bilangan octal adalah perpangkatan dari nilai 8. 1 (8) = (1) x 8 = 1 x 8 1 =8 1 Jadi 1 (1) Operasi Aritmetika pada Bilangan Oktal a. Penjumlahan Langkah-langkah penjumlahan octal : - tambahkan masing-masing kolom secara desimal - rubah dari hasil desimal ke octal - tuliskan hasil dari digit paling kanan dari hasil octal - kalau hasil penjumlahan tiap-tiap kolom terdiri dari dua digit, maka digit paling kiri merupakan carry of untuk penjumlahan kolom selanjutnya. Oktal 1 87 + 18 5 17 + 154 5 1 + 7 1 = 1 1 = 14 8 1 + 1 + 1 1 = 5 1 = 5 8 1 1 = 1 1 = 1 8 b. Pengurangan 1
Pengurangan Oktal dapat dilaukan secara sama dengan pengurangan bilangan desimal. Oktal 18 87-1 154 17-5 4 8-7 8 + 8 8 (borrow of) = 5 8 5 8-8 - 1 8 = 8 1 8-1 8 = 8 c. Perkalian Langkah langkah : - kalikan masing-masing kolom secara desimal - rubah dari hasil desimal ke octal - tuliskan hasil dari digit paling kanan dari hasil octal - kalau hasil perkalian tiap kolol terdiri dari digit, maka digit paling kiri merupakan carry of untuk ditambahkan pada hasil perkalian kolom selanjutnya. Oktal 16 14 1 x 14 x 7 8 4 1 x 6 1 = 4 1 = 3 8 14 + 4 1 x 1 1 + 3 1 = 7 1 = 7 8 168 16 14 x 7
16 1 1 x 6 1 = 6 1 = 6 8 1 1 x 1 1 = 1 1 = 1 8 16 14 x 7 16 + 5 7 1 + 6 1 = 13 1 = 15 8 1 1 + 1 1 = 1 = 8 d. Pembagian 1 / 168 \ 14 1-48 48 Oktal 14 / 5 \ 16 14-14 8 x 1 8 = 14 8 11 11-14 8 x 6 8 = 4 8 x 6 8 = 3 8 1 8 x 6 8 = 6 8 + 11 8 4. Bilangan Hexadesimal Sistem bilangan Oktal menggunakan 16 macam symbol bilangan berbasis 8 digit angka, yaitu,1,,3,4,5,6,7,8,9,a,b,c,d,edan F Dimana A = 1, B = 11, C= 1, D = 13, E = 14 dan F = 15 Position value system bilangan octal adalah perpangkatan dari nilai 16. C7 (16) = (1) 7 x 16 = 7 3
C x 16 1 = 19 199 Jadi 199 (1) Operasi Aritmetika Pada Bilangan Hexadesimal a. Penjumlahan Penjumlahan bilangan hexadesimal dapat dilakukan secara sama dengan penjumlahan bilangan octal, dengan langkah-langkah sebagai berikut : Langkah-langkah penjumlahan hexadesimal : - tambahkan masing-masing kolom secara desimal - rubah dari hasil desimal ke hexadesimal - tuliskan hasil dari digit paling kanan dari hasil hexadesimal - kalau hasil penjumlahan tiap-tiap kolom terdiri dari dua digit, maka digit paling kiri merupakan carry of untuk penjumlahan kolom selanjutnya. hexadesimal 989 173 + 46 BAD 431 + FDE D 16 + 1 16 = 13 1 + 1 1 = 14 1 = E 16 A 16 + 3 16 = 1 1 + 3 1 = 13 1 =D 16 B 16 + 4 16 = 11 1 + 4 1 = 15 1 = F 16 b. Pengurangan Pengurangan bilangan hexadesimal dapat dilakukan secara sama dengan pengurangan bilangan desimal. 4
hexadesimal 4833 1575-358 1E1 67 - CBA 16 1 (pinjam) + 1 1-7 1 = 1 1 = A 16 14 1-7 1 - - 1 1 (dipinjam) = 11 1 =B 16 16 1 (pinjam) + 1-6 1 = 1 1 = C 16 1 1 1 1 (dipinjam) 1 = 16 c. Perkalian Langkah langkah : - kalikan masing-masing kolom secara desimal - rubah dari hasil desimal ke octal - tuliskan hasil dari digit paling kanan dari hasil octal - kalau hasil perkalian tiap kolol terdiri dari digit, maka digit paling kiri merupakan carry of untuk ditambahkan pada hasil perkalian kolom selanjutnya. Hexadesimal 17 7 x 14 344 + 4644 AC 1B x 764 C 16 x B 16 =1 1 x 11 1 = 84 16 A 16 x B 16 +8 16 = 1 1 x 11 1 +8 1 =76 16 AC 5
1B x 764 AC C 16 x 1 16 = 1 1 x 1 1 =1 1 =C 16 A 16 x 1 16 = 1 1 x1 1 =1 1 =A 16 AC 1B x 764 AC + 14 6 16 + C 16 = 6 1 + 1 1 = 18 1 =1 16 7 16 +A 16 +1 16 = 7 1 x 1 1 + 1 1 =18 1 = 1 16 D. Pembagian 7 / 4646 \ 17 7-194 189 54 54 hexadesimal 1B / 114 \ AC 1E - 1B 16 xa 16 = 7 1 x1 1 =7 1 = 1E 16 144 144-1B 16 x C 16 = 7 1 x 1 1 = 34 1 =144 16 6