SAMPLE SPACE, SAMPLE POINTS, EVENTS Sample space,ω, Ω adalah sekumpulan semua sample points,ω, ω yang mungkin; dimana ω Ω Contoh 1. Melemparkan satu buah koin:ω={gambar,angka} Contoh 2. Menggelindingkan dadu: Ω={1,2,3,4,5,6} Contoh 3. Jumlah pelanggan dalam antrian: Ω={0,1,2, } Contoh 4. Waktu pendudukan panggilan (call holding time): Ω={x R x>0} Events A,B,C, Ωadalah himpunan bagian dari sample space Contoh 1. Angka genap pada sebuah dadu:a={2,4,6} Contoh 2. Tidak ada pelanggan yang mengantri : A={0} Contoh 3. Call holding time lebih dari 3 menit. A={x R x>3} Event yang pasti : sample space Ω Event yang tidak mungkin : himpunan kosong ( ) 2 1
KOMBINASI EVENT Union (gabungan) : A atau B : A B={ω Ω ω A atau ω B} Irisan: A dan B : A B={ω Ω ω A dan ω B} Komplemen : bukan A :A c ={ω Ω ω A} Event A dan B disebut tidak beririsan (disjoint) bila : A B= Sekumpulan event {B1,B2, } merupakan partisi dari event A jika (i) B i B j = untuk semua i j (ii) i B i =A 3 PROBABILITAS (PELUANG) Back to Six Probabilitas suatu event dinyatakan oleh P(A) P(A) [0,1] Sifat-sifat peluang 4 2
CONDITIONAL PROBABILITY (PELUANG BERSYARAT) Asumsikan bahwa P(B)>0 Definisi : Conditional probability dari suatu event A bila diketahui event B terjadi didefinisikan sebagai berikut Dengan demikian 5 TEOREMA PROBABILITAS TOTAL Bila {B i } merupakan partisi dari sample space Ω Lalu {A B i } merupakan partisi dari event A, maka berdasarkan sifat probabilitas yang ketujuh pada slide nomor 4 Kemudian asumsikan bahwa P(B i )>0 untuk semua i. Maka berdasarkan uraian pada slide nomor 5 dapat didefinisikan teorema probabilitas total sbb 6 3
TEOREMA BAYES Bila {B i } merupakan partisi dari sample space Ω i Asumsikan bahwa P(A)>0 dan P(B i )>0 untuk semua i. Maka berdasarkan uraian pada slide nomor 5 Kemudian, berdasarkan teorema probabilitas total, kita peroleh Ini merupakan teorema Bayes Peluang P(B i ) disebut peluang a priori dari event B i Peluang P(B i A) disebut peluang a posteriori dari event B i (bila diketahui event A terjadi) 7 KESALINGBEBASAN STATISTIK DARI EVENT (STATISTICAL INDEPENDENCE OF EVENT) Definisi : Event A dan B saling bebas (independent) jika Dengan demikian Demikian pula 8 4
PEUBAH ACAK (RANDOM VARIABLES) Definisi : Peubah acak X (yang merupakan bilangan riil [real-valued]) adalah fungsi bernilai riil dan dapat diukur yang didefinisikan pada sample space Ω;X: Ω R Setiap titik sample (sample points) ω Ω dihubungkan dengan sebuah bilangan riil X(ω) Dengan kata lain : memetakan setiap titik sample ke sebuah bilangan riil menggunakan peubah acak X 9 CONTOH Sebuah koin dilempar tiga kali; setiap lemparan akan menghasilkan head (H) atau tail (T) Sample space: Misalnya peubah acak X merupakan jumlah total tail (T) dalam ketiga eksperimen pelemparan koin tersebut, maka : 10 5
PROBABILITY DISTRIBUTION FUNCTION (PDF) Definisi : PDF dari suatu peubah acak X adalah fungsi F X : R [0,1] ]yang didefinisikan sebagai berikut PDF menentukan distribusi dari peubah acak Sifat 11 KESALINGBEBASAN STATISTIK DARI PEUBAH ACAK (STATISTICAL INDEPENDENCE OF RANDOM VARIABLES) Definisi : Peubah acak X dan Y saling bebas jika untuk semua x dan y Definisi : Peubah acak X 1,,X n saling bebas jika untuk semua i dan x i 12 6
PEUBAH ACAK DISKRIT Definisi : himpunan A R disebut diskrit bila Terbatas : A={x 1,,x n }, atau Tak terbatas : A={x 1,x 2, } Definisi : peubah acak X disebut diskrit bila terdapat sebuah himpunan diskrit S x R sedemikian hingga Maka P{X=x} 0 untuk semua x S x P{X=x} = 0 untuk semua x S x Himpunan S x disebut himpunan nilai (value set) 13 PELUANG TITIK (POINT PROBABILITIES) Misalkan X adalah peubah acak diskrit Distribusi X ditentukan oleh peluang titik p i Definisi : probability mass function (pmf) dari X adalah merupakan fungsi p X : R [0,1] yang didefinisikan sbb Pada kasus ini, PDF merupakan fungsi step 14 7
CONTOH 15 KESALINGBEBASAN PEUBAH ACAK Peubah acak diskrit X dan Y dikatakan saling bebas jika dan hanya jika untuk semua x i S X dan y j S y 16 8
EKSPEKTASI (HARAPAN,RATAAN) Definisi : Harga ekspektasi (rata-rata/mean value) dari X dinyatakan oleh Sifat-sifat 17 VARIANCE Definisi : Variance dari X didefinisikan sbb Rumus yang bermanfaat Sifat-sifat 18 9
COVARIANCE Definisi : Covariance antara X dan Y didefinisikan sbb Rumus yang bermanfaat Sifat-sifat 19 PARAMETER LAIN YANG BERHUBUNGAN DENGAN DISTRIBUSI Deviasi standard dari X Momen ke-k dari X 20 10
DISTRIBUSI BERNOULLI Menyatakan suatu eksperimen acak dengan dua keluaran yang mungkin Sukses (1) Gagal (0) Nilai 1 berpeluang p (nilai 0 berpeluang (1-p)) 21 DISTRIBUSI BINOMIAL Menyatakan jumlah sukses dalam sejumlah eksperimen acak yang saling bebas (masingmasing eksperimen bersifat Bernoulli); 22 11
DISTRIBUSI GEOMETRIK Menyatakan jumlah sukses yang terjadi sampai didapatkan kegagalan yang pertama dari sejumlah eksperimen acak yang saling bebas (masing-masing eksperimen bersifat Bernoulli) p = peluang sukses dalam suatu eksperimen 23 DISTRIBUSI POISSON Limit dari distribusi binomial dimana n dan p 0, sedemikian hingga np a 24 12
CONTOH Asumsikan 200 pelanggan terhubung ke sentral lokal Trafik setiap pelanggan adalah 0.01 Pelanggan saling bebas Maka jumlah panggilan yang aktif X ~ Bin(200,0.01) Pendekatan Poisson X Poisson(2,0) Peluang titik 25 PEUBAH ACAK KONTINU Definisi : peubah acak X kontinu jika terdapat fungsi yang dapat diintegralkan f X :R R +, sedemikian hingga untuk semua x R Fungsi f X disebut probability density function (pdf) Himpunan S X, dimana f X >0 disebut value set Sifat-sifat 26 13
CONTOH 27 EKSPEKTASI DAN PARAMETER LAIN Ekspektasi (nilai rata-rata/mean value) dari X didefinisikan sbb Note 2: Jika, maka Sifat sama dengan distribusi diskrit Parameter distrubusi lainnya didefinisikan dan memiliki sifat yang sama seperti pada distribusi diskrit 28 14
DISTRIBUSI UNIFORM (X~U(A,B), A<B) 29 DISTRIBUSI EKSPONENSIAL (X~EXP(Λ), Λ>0) Versi kontinu dari distribusi geometrik (peluang gagal λdt) 30 15
LATIHAN 1. Diketahui peubah acak kontinue memiliki pdf sbg berikut fx(x)=cx -3. 1.Hitunglah c. 2.Mean dari peubah acak tsb. 3.Fx(X) 2. Ukuran paket data pd internet dapat dimodelkan sbg peubah acak pareto yang 1 memiliki persamaan, Fx ( x) = Pr ( X x) = 1, x 1, a > 0 a x 1.Tentukan pdf dr peubah acak x 2.Tentukan expected value dari x. 3.Tentukan rentang nilai a agar expected value memiliki harga. 31 16