VARIABEL RANDOM DAN DISTRIBUSI PELUANG

1 VARIABEL RANDOM DAN DISTRIBUSI PELUANG Dr. Vita Ratnasari, M.Si

Definisi Variabel Random 2 Variabel random ialah Suatu fungsi yang mengaitkan suatu bilangan real pada setiap unsur dalam ruang sampel. Variabel random dinyatakan dengan huruf besar : X Sedangkan nilainya dinyatakan dengan huruf kecil : x

Contoh 1 3 R u a n g s a m p e l Dua bola diambil satu demi satu tanpa dikembalikan dari suatu kantong berisi 4 bola merah dan 3 bola hitam. Bila Y menyatakan jumlah bola merah yang diambil maka nilai y yang mungkin dari variabel random Y adalah: Solusi: Y = jumlah bola merah yang diambil S = {Y y = 0,1,2} MM 2 MH, HM 1 HH 0

Type Variabel Random 4 1. Ruang sampel Diskrit Jika suatu ruang sampel mengandung titik yang berhingga banyaknya atau sederatan anggota yang banyaknya sebanyaknya bilangan bulat. 2. Ruang sampel Kontinou Bila ruang sampel mengandung titik sampel yang tak berhingga banyaknya dan banyaknya sebanyak titik pada sepotong garis.

5 f(x) = p(x) = P(X = x) = fgs dist peluang = fungsi padat peluang = pdf = probability density function F(X = x) = P(X x) f x = cdf = cumulative distribution function dfx dx

Sifat Distribusi peluang variabel random 6 1. 2. 0 f ( x ) 1 f ( x ) i P X i x i i f ( ) 1 x i 3. Variabel random 4. F ( x) P( X x) f ( t) Diskrit i tx 5. f x i 1 Variabel random 6. Kontinou F( x) P( X x) x f x t dt

Contoh 2 7 Sebuah kontraktor mempunyai 4 mesin yang digunakan pada suatu proses produksi. Diramalkan mesin mempunyai rata-rata usia pakai 10 tahun. Tentukan ruang sampel dari variabel random x. Misal: X menyatakan jumlah mesin dalam keadaan baik.

Solusi 8 X: jumlah mesin dalam keadaan baik setelah 10 th S: {X x = 0,1,2,3,4} Kondisi mesin bil real (x) BBBB 4 BBBR, BBRB, BRBB, RBBB 3 BBRR, BRRB, RRBB, RBRB, RBBR, RBRB 2 BRRR, RBRR, RRBR, RRRB 1 RRRR 0

Distribusi Peluang 9 Distribusi peluang suatu variabel random X adalah himpunan nilai peluang variabel random X yang ditampilkan dalam bentuk tabel dan atau gambar. X X 1 X 2... X k Peluang f(x 1 ) f(x 2 )... f(x k )

Distribusi peluang keadaan mesin baik setelah 10 tahun 10 RRRR BRRR RBRR RRBR RRRB BBRR BRBR RBBR RBRB RRBB BRRB BBBR BBRB BRBB RBBB BBBB X 4 3 2 1 0 P(X) 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16

Berdasarkan Contoh 2: 11 a. Tentukan peluang lebih dari 2 mesin yang baik dengan usia lebih dari 10 tahun: 4 1 5 PX ( 2) 16 16 16 b. Tentukan peluang paling banyak 1 mesin baik dengan usia lebih dari 10 tahun: 1 4 5 P( X 1) 16 16 16 c. Tentukan peluang antara 1 sampai 2 mesin baik dengan usia lebih dari 10 tahun: 4 6 10 P( 1 X 2) 16 16 16

Contoh 3 12 Sebuah pengiriman 8 komputer pc yang sama ke suatu toko mengandung 3 yang cacat. Bila suatu sekolah membeli 2 komputer secara random, Tentukan distribusi peluang banyaknya komputer yg cacat. X = banyaknya komputer yang cacat = {0, 1, 2} f(0) = P(X = 0) f(1) = P(X = 1) f(2) = P(X = 2)

13 f C C (0) P( X 0) 3 5 0 2 8 C2 10 28 ; f C C (1) P( X 1) 3 5 1 1 8 C2 15 28 f C C (2) P( X 2) 3 5 2 0 8 C2 3 28 Distribusi Probabilitas X = 0 X = 1 X = 2 f(x) 10 28 15 28 3 28

Contoh 4: Misalkan bahwa galat suhu reaksi, dalam 0 C pada percobaan laboratorium, merupakan variabel random X yang mempunyai fungsi padat peluang: x a. Tunjukkan bahwa P f 2 x, 1 x 2 3 0, lainnya 0 X 1 b. Cari c. Carilah fungsi kumulatifnya f xdx 1 'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 14 2013

Solusi: a. b. 2 2 3 2 x x 8 1 dx 1 3 9 9 9 1 1 1 2 3 x x 1 P0 X 1 dx 3 9 9 1 0 0 'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 15 2013

c. Untuk -1 < x < 2 x 2 3 3 x x t t x 1 F x f tdt dt 3 9 9 1 1 jadi: F x 0 x 1 3 x 1 1 x 2 9 1 x 2 16

Beberapa distribusi peluang Diskrit a.l: 17 1. Distribusi Uniform ialah suatu kejadian yang mempunyai probabilitas yang sama. 1 f x misal: Probabilitas mata dadu keluar angka 5: k 1 6 Probabilitas mata uang keluar muka: 1 2

2. Distribusi Binomial 18 - Peristiwa terjadi n kali percobaan/kejadian. - Tiap peristiwa menghasilkan 2 kemungkinan, sukses (p) or gagal (q). - Tiap peristiwa terjadi saling independen. P n x nx X x C P 1 P x x = 0, 1, 2,, n

Contoh 5: 19 Suatu suku cadang dapat menahan uji goncangan tertentu dengan peluang ¾. Hitunglah a. Peluang bahwa tepat 2 dari 4 suku cadang yang diuji tidak akan rusak. b. Peluang paling banyak 1 yang rusak dari 4 suku cadang yang diujikan. c. Peluang terdapat paling sedikit 3 suku cadang yang baik dari 4 suku cadang yang diujikan.

Solusi: 20 X : Suku cadang yang baik a. P( X = 2) =? B x; n, p C p (1 p) 4 2 4 2 b. P( X 3) = P(X = 3) + P(X = 4) c. P( X 3) = P(X = 3) + P(X = 4) 2 2 42 3 3 3 4 B 2;4, C2 1 4 4 4

3. Distribusi Binomial Negatif 21 Percobaan seperti kejadian pada Binomial, dengan usaha diulang sampai tercapai sejumlah sukses tertentu. Jadi banyaknya usaha X untuk menghasilkan k sukses pada n kejadian adalah Variabel random Binomial Negatif. Distribusi peluangnya disebut distribusi Binomial Negatif.

22 Berapa peluang sukses ke-k akan terjadi pada kejadian ke-n. P X n C n1 p k q nk k k1 Contoh 6: Peluang cacat pembuatan tiang pancang sebesar 0.1. Pada pemeriksaan kualitas dilakukan pengambilan sampel sebanyak 5 item.

23 Berapa peluang pengambilan tiang pancang yang ke-5, adalah pengambilan tiang pancang cacat yang ke-2? Solusi: Kemungkinan yang terjadi: 1. BBBCC P(BBBCC) = (0.9)(0.9) (0.9)(0.1)(0.1) 2. BBCBC P(BBCBC) = (0.9) (0.9)(0.1)(0.9)(0.1) 3. BCBBC P(BCBBC) = (0.1)(0.9) (0.9)(0.9)(0.1) 4. CBBBC P(CBBBC) = (0.1)(0.9)(0.9) (0.9)(0.1)

24 Fungsi dist Binomial Negatif P X 2 5 C2 1 p q 5 1 2 52 4 C P X 2 1 2 3 5 0.1 0.9 0.02916 Jadi peluang pengambilan tiang pancang yang ke-4 adalah pengambilan tiang pancang cacat yang kedua sebesar 2.43 %

4. Distribusi Geometrik 25 Sukses pertama pada kejadian ke-n P n1 X n pq 1 Contoh 7: Pada saat sibuk di suatu sentral telepon mencapai batas daya sambungnya, sehingga orang tidak mendapat sambungan. Andaikan peluang mendapat sambungan selama waktu sibuk adalah 0.05. Berapa peluang diperlukan 6 kali usaha agar sambungan berhasil.

26 X = kejadian sambungan berhasil Diperlukan 6 kali usaha agar sambungan berhasil: GGGGGS P 5 X 6 0.05 0.95 0. 036 1 Jadi peluang yang diperlukan agar 6 kali usaha dalam melakukan sambungan akan berhasil sebesar 3.6 %

5. Distribusi Hypergeometrik Banyaknya sukses dalam variabel random ukuran n sampel yang diambil dari N populasi, yang mengandung k sifat tertentu dari populasi. x = 0, 1, 2,, n n N x n k N x k C C C k n N x h N n k N x n k x ),, ; ( 27

Contoh 8: 28 Suatu kotak berisi 40 suku cadang, dikatakan memenuhi syarat penerimaan bila berisi tidak lebih dari 3 yang cacat. Cara sampling kotak ialah dengan memilih 5 suku cadang secara random. Berapa peluang mendapatkan tepat satu yang cacat dalam sampel berukuran 5? 337 1 4 h( 1;40,5,3) 40 5 0.3011

6. Distribusi Poisson 29 Banyaknya sukses yang terjadi dalam suatu selang waktu atau daerah tertentu. f ( x) e x x! x = 0, 1, 2, e = 2.71828 Sebagai pendekatan untuk distribusi binomial bila n cukup besar dan p kecil (n > 20 dan p < 0.05)

Contoh 9: 30 Dari pengalaman masa lalu selama 20 tahun terakhir, rata-rata terjadi hujan lebat 4 kali per tahun. Berapa peluang tidak terjadi hujan lebat tahun depan? P( X t 0) 4 0 e 0! 4 0.018

Soal-soal 31 1. Seorang petani jeruk mengeluh karena 2 dari panen jeruknya terserang suatu virus. Cari 3 peluangnya bahwa diantara 4 buah jeruk yang diperiksa dari hasil panen ini: a. Semuanya terserang virus tersebut. b. Antara 1 sampai 3 yang terserang virus tersebut. c. Cari distribusi peluangnya

32 2. Dalam pengujian sejenis ban truk melalui jalan yang kasar ditemukan bahwa 25 % truk mengalami kegagalan karena ban pecah. Carilah peluangnya dari 15 truk yang diuji, jika: a. 3 sampai 6 mengalami ban pecah b. kurang dari 4 yang mengalami ban pecah c. lebih dari 5 yang mengalami ban pecah

33 3. Dari kotak berisi 10 peluru, diambil 4 secara acak dan kemudian ditembakkan. Bila kotak itu mengandung 3 peluru yang cacat yang tidak akan meledak, berapakah peluang bahwa: a. keempatnya meledak b. paling banyak 2 yang tidak akan meledak

Rata-rata dan varians dari distribusi peluang 34 Jika X adalah variabel random diskrit dengan distribusi peluang f(x), maka nilai rata-rata X dinyatakan: E(X) = ekspektasi X E X x f x Varians X dinyatakan dgn Var(X) = i i 2 2 i i i 2 E X X f x i 2 2 2 2 E X E X E X 2

Ekspektasi dari Distribusi peluang 35 Diskrit E X x f x E Kontinou E X E gx gx f x x f xdx gx gxf xdx

Sifat-sifat ekspektasi: 36 1. E(ax) = a E(x) 2. E(a + bx 2 ) = a + b E(x 2 ) 3. E(xy) = E(x) E(y)

Standart Deviation 37 Var (X) = E( X μ) 2 = E(X 2 ) μ 2, dimana; μ = E(X) = E(X 2 ) (E(X)) 2 S tan dart Deviasi ( X ) Varians ( X )

Sifat-sifat varians: 38 1. Varians tidak negatif 2. Var (x + a) = Var (x) 3. Var (bx) = b 2 Var (x) 4. Var (a + bx) = b 2 Var (x)

Distribusi Binomial (x; n, p) Nilai Harapan (expected value) i i i E X x f x np Varians X 2 Var( X ) np 1 p 'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 392013

Distribusi Binomial Negatif (x; k, p) Nilai Harapan (expected value) 1 p E X x f x k p Varians X Var( X ) i i i 2 k (1 p) p 2 'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 40 2013

Distribusi Geometrik (x; p) Nilai Harapan (expected value) Varians X i i i E X x f x Var( X ) 2 (1 p) p 2 1 p 'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 41 2013

Distribusi Hipergeometrik (x; N, n, k) Nilai Harapan (expected value) Varians X E X xi f xi n i N 2 N n k k Var( X ) n 1 N 1 N N k 42

Distribusi Poisson (x; ) Nilai Harapan (expected value) E X Varians X Var X 'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 432013

contoh 10 44 Seorang kontraktor memasukkan penawaran tender untuk 3 pekerjaan A, B dan C. Jumlah pesaing untuk mendapatkan pekerjaan A, B dan C masing-masing 4, 3 dan 2. Andaikan peristiwa A, B dan C bebas secara statistik dan X menyatakan jumlah total pekerjaan yang akan dimenangkan kontraktor: a. Tentukan distribusi peluang X b. Tentukan rata-rata X c. Tentukan varians X

Peluang sukses mendapatkan pekerjaan A: Peluang sukses mendapatkan pekerjaan B: Peluang sukses mendapatkan pekerjaan C: X = jumlah total pekerjaan yang akan dimenangkan seorang kontraktor. 1 5 1 4 1 3 4 0. 3 2 4 3 5 4 0 X P 43 0. 3 1 4 3 5 4 3 2 4 1 5 4 3 2 4 3 5 1 1 X P 45

149 0. 3 1 4 1 5 4 3 1 4 3 5 1 3 2 4 1 5 1 2 X P 0167 0. 3 1 4 1 5 1 3 X P X 0 1 2 3 f(x) 0.4 0.43 0.149 0.016 E(x) = x f(x) 0 0.43 0.298 0.348 46

x x f 1.076 1 i i x i Jadi rata-rata hanya satu pekerjaan yang akan dimenangkan oleh seorang kontraktor. X 0 1 2 3 f(x) 0.40 0.43 0.149 0.016 X 2 f(x) 0 0.43 0.596 1.044 'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 47 2013

48 2 2 X x f E 2. 07 Var (X) = E(X 2 ) μ 2 i i x i = E(X 2 ) (E(X)) 2 = 2.07 - (1.076) 2 = 0.91

49 Koefisien Variasi ( δ x ) Kemencengan (θ) x x x E X 3 x x 3

Distribusi Kontinou 50 1. Distribusi NORMAL KARL FRIEDRICH GAUSS f ( x) Simetris Bell shape X N (, 2 ) 2 1 2 e 1 2 x 2 - < x <

51 f(x) x

Transformasi Normal Standart 52 X ~, N 2 Z X (Transformasi) Z ~ N0,1 menggunakan tabel normal standart

Contoh 11: 53 Pendapatan mingguan seorang karyawan di industri kaca berdistribusi normal dengan mean $ 1.000 dan standart deviasi $ 100. 1. Berapa probabilitas karyawan yang berpendapatan paling banyak $ 900 per minggu. 2. Berapa probabilitas karyawan yang berpendapatan paling sedikit $ 1.250 per minggu. 3. Berapa probabilitas karyawan yang berpendapatan antara $ 900 dan $ 1.100 per minggu.

Solusi: 54 X = pendapatan mingguan, = $ 1.000 dan = $ 100 x 1.000 900 1.000 a. P( x < 900) = P 100 10 100 P Z = PZ 1 = 0.1587 100 x 1.000 1.250 1.000 b. P( x > 1.250) = P 100 100 250 P Z = PZ 2.5 100 = 1 PZ 2.5 = 1 0. 9938 = 0.0062 = 0.62 %

55 c. P(900 < x < 1.100) = 900 1.000 x 1.000 P 100 100 1.100 1.000 100 100 100 100 100 = P Z = P 1 Z 1 = Z 1 PZ 1 P = 0.8413-0.1587 = 0.6826 = 68.26 %

Soal 56 1. Diketahui distribusi normal : dgn = 40 dan = 5 Tentukan : a. P(x < 35) b. P(x > 45) c. P(20 < x < 50) d. P(x < k) = 0.05 e. P(x > k) = 0.2578

57 2. Diberikan distribusi normal dengan = 40 dan = 6, dapatkan luasan : a). Di bawah 32 b). Di atas 27 c). Antara 42 dan 51 d). Cari suatu nilai k sedemikian hingga luasan di bawah k = 45% e). Cari suatu nilai k sedemikian hingga luasan di atas k = 13%

58 3. Sebuah perusahaan alat listrik memproduksi bolam yang umurnya berdistribusi normal dengan mean 800 jam dan standart deviasinya 40 jam. Hitung probabilitas sebuah bolam hasil produksinya akan berumur antara 778 dan 834 jam.

59 4. Kekuatan batang baja yang dibuat dengan proses tertentu diketahui kira-kira mendekati distribusi normal dengan mean 24 dan deviasi standart 3. Para konsumen menghendaki bahwa paling sedikit 95% batang tersebut mempunyai kekuatan lebih 20. Apakah kualitas batang baja tersebut sesuai dengan ketetapan konsumen.

60 5. Ukuran mata bor untuk komponen tertentu yang digunakan dalam proses perakitan (assembly) merupakan dimensi (karakteristik) kualitas yang penting. Dari pengamatan tiap jam berukuran 4 sampel selama 25 jam diperoleh : x = 4,3 mm, s = 0,243 mm. Batas spesifikasi mata bor 4,4 0,2 mm. Biaya scrap dan rework tiap unit masing-masing $ 2,40 dan $ 0,75. Produksi 1200 unit. a). Taksir parameter produk yang discrap & rework? b). Taksir biaya total scrap dan rework tiap hari? c). Jika rata-rata proses digeser 4,5 mm, jelaskan dampaknya pada persentase produk yang discrap dan rework serta biayanya?

61 6. Tinjau proses pembuatan coil. Diambil sampel berukuran 5 buah tiap jam dan dicatat tingkat resistensinya (ohm)nya. Data diberikan pada Tabel 1. Andaikan spesifikasi proses 21 3 ohm a. Tentukan persentase produk cacat (tidak memenuhi) spesifikasi bila tingkat resistensi berdistribusi normal. b. Andaikan tiap hari diproduksi 10000 coil dan coil dengan tingkat resistensi kurang dari LSL tidak dapat digunakan, tentukan kerugian bila biaya scrap tiap unit $ 1.

Tabel 1 Sampel 62 ke 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Data 20,22,21,23,22 19,18,20,20,22 25,18,20,17,22 20,21,22,21,21 19,24,23,22,20 22,20,18,18,19 18,20,19,18,20 20,18,23,20,21 21,20,24,23,22 21,19,20,20,20 20,20,23,22,20 22,21,20,22,23 19,22,19,18,19 21,6 19,8 20,4 21,0 21,6 19,4 19,0 20,4 22,0 20,0 21,0 21,0 19,4 Sampel ke 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 x Data 20,21,22,21,22 20,24,24,23,23 21,20,24,20,21 20,18,18,20,20 20,24,22,23,23 20,19,23,20,19 21,21,21,24,22 23,22,22,20,22 21,18,18,17,19 21,24,24,23,23 20,22,21,21,20 19,20,21,21,22 x 21,2 22,8 21,2 19,2 22,4 20,2 22,0 21,8 18,6 23,0 20,8 20,6

63 Tabel 1 mean = 20,816 Standar deviasi = 1,188725

64 Tabel 2 Mean = 37,175 Standar deviasi = 1,678933

65 7. Tingkat ketebalan magnetic coating pada proses pembuatan audio tape merupakan karakteristik kualitas penting. Suatu sampel berukuran 4 unit dipilih tiap jam dan tingkat ketebalannya diukur dengan instrument optik (Tabel 2). Batas-batas spesifikasi proses 38 4,5. Jika tingkat ketebalan proses coating kurang dari batas spesifikasi maka digunakan untuk produk lain dengan melalui proses lain. a). Berapa persen produk tidak memenuhi batas spesifikasi? b). Jika rata-rata proses bergeser menjadi 37,8 berapa persen produk akan diterima?

Tabel 2 66 Sampel ke Sampel ke 1 36,4 11 36,7 2 35,8 12 35,2 3 37,3 13 38,8 4 33,9 14 39,0 5 37,8 15 35,5 6 36,1 16 37,1 7 38,6 17 38,3 8 39,4 18 39,2 9 34,4 19 36,8 10 39,5 20 37,7

THE GOLDEN TRIANGEL 'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 672013