BAB VI PROGRAMA LINIER : DUALITAS DAN ANALISIS SENSITIVITAS 6.1 Teori Dualitas Teori dualitas merupakan salah satu konsep programa linier yang penting dan menarik ditinjau dari segi teori dan praktisnya. Ide dasar yang melatarbelakangi teori ini adalah bahwa setiap persoalan programa linier mempunyai suatu programa linier lain yang saling berkaitan yang disebut dual, sedemikian sehingga solusi pada persoalan semula (yang disebut "primal ) juga memberi solusi pada dualnya. Pendefinisian dual ini akan tergantung pada jenis pembatas, tandatanda variabel, dan bentuk optimasi dari persoalan primalnya. Akan tetapi, karena setiap persoalan programa linier harus dibuat dalam bentuk standar lebih dahulu sebelum modelnya dipecahkan, maka pendefinisian dibawah ini akan secara otomatis meliputi ketiga hal di atas. Bentuk umum masalah primal dual adalah sebagai berikut : Primal : Maksimumkan : z = c 1 x 1 + c x +. + c n x n Berdasarkan pembatas : a 11 x 1 + a 1 x +. + a 1n x n b 1 a 1 x 1 + a x +. + a n x n b... a m1 x 1 + a m x +. + a mn x n b m x 1, x,., x n
Dual : Minimumkan : w = b 1 y 1 + b y +. + b m y m Berdasarkan pembatas : a 11 y 1 + a 1 y +. + a m1 y m c 1 a 1 y 1 + a y +. + a m y m c... a 1n y 1 + a n y +. + a mn y m c n y 1, y,., y m Kalau kita bandingkan kedua persoalan di atas, ternyata terdapat korespondensi antara primal dengan dual sebagai berikut : 1. Koefisien fungsi tujuan primal menjadi konstanta ruas kanan bagi dual, sedangkan konstanta ruas kanan primal menjadi koefisien fungsi tujuan bagi dual.. Untuk tiap pembatas primal ada satu variaebl dual, dan untuk setiap variabel primal ada satu pembatas dual. 3. Tanda ketidaksamaan pada pembatas akan bergantung pada fungsi tujuannya. 4. Fungsi tujuan berubah bentuk (maksimasi menjadi minimasi dan sebaliknya). 5. Setiap kolom pada primal berkorespondensi dengan baris (pembatas) pada dual. 6. Setiap baris (pembatas) pada primal berkorespondensi dengan kolom pada dual. 7. Dual dari dual adalah primal.
6. Hubungan Primal Dual Nilai tujuan dalam suatu pasangan masalah primal dan dual harus memenuhi hubungan berikut ini : 1. Untuk setiap pasangan pemecahan primal dual yang layak nilai tujuan nilai tujuan dalam masalah maksimasi dalam masalah min imasi. Di pemecahan optimum untuk kedua masalah nilai tujuan nilai tujuan dalam masalah maksimasi dalam masalah min imasi Untuk menjelaskan hubungan antara primal dan dual, perhatikan ilustrasi berikut ini : Primal Minimumkan : z = 16x 1 + 3x + 36x 3 Berdasarkan pembatas : x 1 + 3x + x 3 6 x 1 + 5x + 3x 3 8 x 1, x, x 3 Soal ini kita selesaikan melalui penyelesaian dualnya, yakni : Maksimumkan : w = 6y 1 + 8y Berdasarkan pembatas : y 1 + y 16 3y 1 + 5y 3 y 1 + 3y 36 y 1, y, y 3
Karena soal ini hanya terdiri dari dua choice variabel sehingga dapat diselesaikan dengan metode grafis, namun soal ini kita selesaikan dengan metode simpleks, sebab dengan cara ini dari tabel akhir dapat kita baca jawaban untuk persoalan primalnya. Untuk ini bentuk constraint di atas diubah dulu menjadi persamaan dengan memasukkan slack variable t 1, t, dan t 3 (untuk primal problem ; slack/surplus variable kita pakai lambang S), yakni : y 1 + y + t 1 = 16 3y 1 + 5y + t = 3 y 1 + 3y + t 3 = 36 Sedangkan fungsi objectivenya ditulis dalam bentuk : w - 6y 1-8y + t 1 + t + t 3 = Dengan demikian penyelesaian dari persoalan diatas adalah sebagai berikut : Basis y 1 y t 1 t t 3 Solusi t 1 1 16 t 3 5 1 3 t 3 3 1 36 w -6-8 t 1 4/5 1 -/5 4 y 3/5 1 1/5 6 t 3 1/5-3/5 1 18 w -1 48 y 1 1 5/4-1/ 5 y 1-3/4 1/ 3 t 3-1/4-1/ 1 17 w 15 1 54
Karena pada tabek di atas tidak terdapat lagi entry negatif pada baris w, maka tabel ini merupakan tabel akhir dan fungsi objective telah mencapai nilai optimal, yakni : w max = 54 untuk y 1 = 5 unit, y = 3 unit dan t 3 = 17 unit, yakni bahan yang tidak terpakai dari konstraint ketiga, sedangkan t 1 = t =. Dari tabel ini dapat kita baca nilai x 1, x, dan x 3 dari primal problem, yakni : x 1 = entry dari kolom t 1 pada baris w, sehingga x 1 = 15 x = entry dari kolom t pada baris w, sehingga x = 1 x 3 = entry dari kolom t 3 pada baris w, sehingga x 3 = Nilai shoice variable dari primal ini kalau kita masukkan pada fungsi objective dari primal harus cocok = 54, yakni : Z = 16x 1 + 3x + 36x 3 = 16 (5) + 3 (1) + 36 () = 54 z min = w max 6.3 Sifat-sifat Primal Dual yang Penting Sifat-sifat primal dua penting untuk dipahami terutama pada saat kita membicarakan masalah analisis sensitivitas. Dengan menggunakan sifat-sifat ini kita dapat menentukan nilai variabel-variabel tertentu dengan cara yang sangat efisien. Ada empat sifat yang perlu diketahui, yaitu : Sifat 1 : Menentukan koefisien fungsi tujuan variabel-variabel basis awal. Pada setiap iterasi solusi simpleks, baik primal maupun dual, koefisien fungsi tujuan variabel-variabel basis awalnya dapat dicari dengan cara :
a. Mengalikan fungsi tujuan yang original dari variabel-variabel basis pada iterasi yang bersangkutan dengan matriks di bawah variabel basis awal pada iterasi yang bersangkutan. Koefisien ini biasa disebut simplex multiplier. koefisien fungsi tujuan yang original dari vari abel basis pada iterasi yang bersangku tan matriks di bawah variabel basis awal pada iterasi yang bersangku tan simplex multiplier b. Kurangi nilai-nilai simplex multiplier ini dengan fungsi tujuan yang original dari variabel-variabel basis awal. Sifat : Menentukan koefisien fungsi tujuan variabel-variabel nonbasis awal. Pada setiap iterasi dari persoalan primal, koefisien fungsi tujuannya dapat ditentukan dengan menyubstitusikan simplex multiplier pada variabelvariabel pembatas dari dual, kemudian mencari selisih antara ruas kiri dan ruas kanan dari pembatas dual tersebut. Sifat 3 : Menentukan nilai ruas kanan (solusi) dari variabel-variabel basis. Pada setiap iterasi, baik primal maupun dual, nilai ruas kanan (kolom solusi) variabel-variabel basis pada iterasi yang bersangkutan dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut : matrikas di bawah variabel basis awal pada iterasi yang bersangku tan matriks kolom ruas kanan original matriks kolom ruas kanan variabel basis
Sifat 4 : Menentukan koefisien pembatas. Pada setiap iterasi, baik primal maupun dual, koefisien pembatas dari setiap variabel dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut : matriks di bawah variabel basis awal pada iterasi yang bersangku tan matriks kolom dari kolom koefisien pembatas yang original matriks kolom dari kolom koefisien pembatas pada iterasi yang bersangku tan Contoh : Maksimumkan : z = 4x 1 + 6x + x 3 Berdasarkan pembatas : 4x 1 4x 5 -x 1 + 6x 5 -x 1 + x + x 3 5 x 1, x, x 3 Salah satu iterasi dari persoalan di atas adalah sebagai berikut : Basis x 1 X x 3 S 1 S S 3 Solusi x 1 j m q 6/ 4/ g x k n r 1/ 4/ h S 3 l p s 5/ 1 i z d e f a b c t Tentukanlah harga-harga a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, dan t dengan menggunakan sifat-sifat primal dual.
Penyelesaian : 1. Sifat 1 : a = 3/ = 3/ b = = c = = 6 / 5/ 4 / 1 4 6 1/ 4 / 3/. Sifat : SM = (3/ ) x 1 : 4y 1 y y 3 4 4 (3/) 4 = d = x : -4y 1 + 6y + y 3 6 e = -4 (3/) + 6 () _ 6 = f = - x 3 : y 3 = - 3. Sifat 3 : 6 / 1/ 5/ 4 / 4 / 1 5 5/ 5 5/ 4 5 5/ 4 g = 5/ h = 5/4
i = 5/4 4. Sifat 4 : 6/ 1/ 5/ 4/ 4/ 1 4 1 1 1 j = 1 k= l = 6/ 1/ 5/ 4/ 4/ 1 4 6 1 1 m = n = 1 p = q = r = s = 1 6 / 1/ 5/ 4 / 4 / 1 1 1 Dengan demikian, t dapat dicari dengan memasukkan harga-harga g, h dan i ke dalam persamaan z, sehingga diperoleh : t = 4 (5/) + 6(5/4) _ (5/4) t = 7/4 6.4 Metode Dual Simpleks
Apabila pada suatu iterasi kita mendapat persoalan programa linier yang sudah optimum (berdasarkan kondisi optimalitas), tetapi belum fisibel (ada pembatas nonnegatif yang tidak terpenuhi), maka persoalan tersebut harus diselesaikan dengan menggunakan metode dual simpleks. Syarat digunakannya metode ini adalah bahwa seluruh pembatas harus merupakan ketidaksamaan yang bertanda ( ), sedangkan fungsi tujuan bisa berupa maksimasi atau minimasi. Pada dasarnya metode dual simpleks ini menggunakan tabel yang sama seperti metode simpleks pada primal, tetapi leaving variable dan entering variable-nya ditentukan sebagai berikut : 1. Leaving variable (kondisi fisibilitas) Yang menjadi leaving variable pada dual simpleks adalah variabel basis yang memiliki harga negatif terbesar. Jika semua variabel basis telah berharga positif atau nol, berarti keadaan fisibel telah tercapai.. Entering variable (kondisi optimalitas) a. Tentukan perbandingan (rasio) antara koefisien persamaan z dengan koefisien persamaan leaving variable. Abaikan penyebut yang positif atau nol. Jika semua penyebut berharga positif atau nol, berarti persoalan yang bersangkutan tidak memiliki solusi fisibel. b. Untuk persoalan minimasi, entering variable adalah variabel dengan rasio terkecil, sedangkan untuk persoalan maksimasi, entering variable adalah variabel dengan rasio absolut terkecil. Contoh : Minimumkan : z = x 1 + x Berdasarkan pembatas : 3 x 1 + x 3
4x 1 + 3x 6 x 1 + x 3 x 1, x Langkah pertama yang harus dilakukan ialah mengubah arah ketidaksamaan pembatas sehingga bertanda ( ), kemudian menambahkan variabel-variabel slack. Diperoleh formulasi baru sebagai berikut : Minimumkan : z = x 1 + x Berdasarkan pembatas : -3x 1 - x + S 1 = -3-4x 1-3x + S = -6 x 1 + x + S 3 = 3 x 1, x, S 1, S, S 3 Tabel simpleks awalnya adalah : Iterasi Basis x 1 x S 1 S S 3 Solusi S 1-3 -1 1-3 S -4-3 1-6 S 3 1 1 3 z - -1 Perhatikan bahwa variabel-variabel basis awalnya tidak memberikan solusi awal yang fisibel (S 1 dan S berharga negatif), tetapi koefisien persamaan z sudah memenuhi kondisi optimalitas. Pada iterasi di atas, S (= -6) terpilih sebagai leaving variable, sedangkan entering variable dipilih berdasarkan : x 1 x S 1 S S 3
Koefisien persamaan z - -1 Koefisien persamaan S -4-3 1 Rasio 1/ 1/3 - - - Dengan demikian, x terpilih sebagai entering variable. Langkah berikutnya dilakukan dengan cara seperti biasa. Iterasi Basis x 1 x S 1 S S 3 Solusi S 1-5/3 1-1/3-1 1 x 4/3 1-1/3 S 3 5/3 /3 1-1 z -/3-1/3 x 1 1-3/5 1/5 3/5 x 1 4/5-3/5 6/5 S 3-1 1 1 z -/5-1/5 1/5 Solusi optimal telah tercapai. Metode dual simpleks ini juga sangat penting untuk digunakan dalam analisis sensitivitas. Sebagai contoh, hal ini akan terjadi apabila suatu pembatas baru ditambahkan ke dalam persoalan semula setelah persoalan itu mencapai solusi optimum. Apabila ternyata bahwa pembatas baru ini tidak terpenuhi oleh solusi optimum yang telah dicapai itu, maka persoalannya akan menjadi optimum, tetapi tidak fisibel, sehingga untuk menyelesaikan ketidakfisibelannya ini perlu digunakan metode dual simpleks. 6.5 Analisis Sensitivitas dengan Tabel Simpleks
Analisis sensitivitas adalah analisis yang dilakukan untuk mengetahui akibat/pengaruh dari perubahan yang terjadi pada parameter-parameter LP terhadap solusi optimal yang telah dicapai. Ada enam tipe perubahan dalam analisis sensitivitas dengan menggunakan tabel simpleks yaitu : 1. Perubahan koefisien fungsi tujuan untuk variabel nonbasis.. Perubahan koefisien fungsi tujuan untuk variabel basis. 3. Perubahan pada ruas kanan suatu pembatas. 4. Perubahan kolom untuk suatu variabel nonbasis. 5. Penambahan suatu variabel atau aktivitas baru. 6. Penambahan suatu pembatas baru. Dalam perubahan kasus-kasus di atas digunakan soal LP berikut : Maksimumkan : z = 6 x 1 + 3 x + x 3 Berdasarkan : 8 x 1 + 6 x + x 3 48 4 x 1 + x + 1,5 x 3 x 1 + 1,5 x +,5 x 3 8 x 1, x, x 3 Tabel optimalnya adalah sebagai berikut : BV x 1 x x 3 S 1 S S 3 Solusi S 1-1 -8 4 x 3-1 -4 8 x 1 1 1,5 -,5 1,5 z 5 1 8 Dari tabel ini dapat didefinisikan beberapa hal sebagai berikut : BV = S, x, x ; NBV x, S S 1 3 1, 3
x BV S1 x 3 ; x x 1 NBV x S S 3 yang merupakan vektor m x 1 1. Perubahan koefisien fungsi tujuan untuk variabel nonbasis. Kasus ini terjadi karena adanya perubahan, baik pada kontribusi keuntungan maupun pada kontribusi ongkos dari kegiatan yang direpresentasikan oleh variabel nonbasis. Pada contoh soal di atas, satusatunya variabel keputusan nonbasis adalah x. Saat ini koefisien fungsi tujuan x adalah c = 3. Jika c berubah, bagaimana pengaruhnya terhadap solusi optimal? Harga-harga c manakah yang menyebabkan BV = S, x x tetap 1 3, optimal? Kita tahu bahwa perubahan c dari 3 menjadi ( 3 + ) tidak mengubah harga B -1 dan b. Karena itu, ruas kanan untuk tabel BV, yaitu B -1 b, tidak akan berubah sehingga BV tetap fisibel. Karena c adalah variabel nonbasis, maka C BV juga tidak akan berubah. Satu-satunya variabel yang koefisien baris -nya akan berubah karena perubahan c ini adalah x. Dengan demikian, BV akan tetap optimal jika c, dan BV akan menjadi suboptimal jika c. Dalam hal terakhir ini, harga z mungkin dapat diperbaiki dengan memasukkan x ke dalam basis. 1 Dari contoh soal, kita tahu bahwa : C BV B 1 sehingga 6 4 1 1 c 1 8,5 1,5 6 1,5 1 1 3 353 5
Agar c dan BV tetap optimal, maka ( 5 - ) harus atau 5. Sebaliknya, harga c akan jika 5 sehingga BV tidak lagi optimal. Artinya, jika harga c naik atau turun sebesar 5 atau kurang, maka BV akan tetap optimal, tetapi jika naik atau turunnya lebih dari 5, maka BV tidak lagi optimal. Misalnya, jika c = 4, solusi basis saat ini akan menjadi suboptimal karena c = -5 sehingga x akan menjadi entering variable. Untuk mengetahui solusi optimal yang baru, lanjutkan perhitungan dengan menggunakan metode simpleks seperti biasa.. Perubahan koefisien fungsi tujuan untuk variabel basis. Mengubah koefisien fungsi tujuan variabel basis artinya mengubah C BV sehingga beberapa koefisien pada baris dari tabel optimal akan berubah. Misalkan c 1 berubah dari 6 menjadi ( 6 + ). Maka C BV yang baru adalah [ (6 + )] sehingga : C a. BV 1 C 1 1 6 1,5 Koefisien baris menjadi : c B BV B a c 8 4,5 1,5 1 1,5 1,5 1 1,5 3 5 1,5 6 1,5 b. Koefisien S = elemen kedua dari C BV B -1 = 1,5 c. Koefisien S 3 = elemen ketiga dari C BV B -1 = 1 + 1,5 Dengan demikian, BV akan tetap optimal jika : 5 + 1,5 atau -4 1,5 atau
1 + 1,5 atau -(/3) Hal ini berarti bahwa solusi basis saat ini akan tetap optimal sepanjang -4,, dan -(/3). Jika digambarkan, daerah harga-harga c 1 yang menyebabkan solusi basis saat ini tetap optimal adalah sebagai berikut : -/3 -(/3) -4-4 Dengan kata lain, solusi basis saat ini akan tetap optimal jika -4. Artinya, jika c 1 turun sebesar 4 atau kurang, atau c 1 naik hingga, maka solusi basis saat ini akan tetap optimal. Atau, sepanjang 56 = (6 4 ) c (6 + ) = 8, solusi basis saat ini akan tetap optimal, tetapi jika c 1 56 atau c 1 8, maka solusi basis saat ini tidak lagi optimal. Jika solusi basis saat ini tetap optimal, maka harga variabel keputusannya juga tidak akan berubah karena B -1 b tidak berubah. Namun, nilai z optimal tentu saja akan berubah. Contoh : jika c 1 = 7, maka z = 7 () + (8) = 3. 3. Perubahan pada ruas kanan suatu pembatas. Dari sifat-sifat primal dual kita tahu bahwa perubahan ruas kanan pembatas ini tidak akan mengubahn baris pada tabel optimal sehingga solusi basis saat ini tidak akan menjadi suboptimal. Yang mungkin berubah adalah ruas kanan pada tabel optimal. Tetapi, sepanjang ruas kanan setiap pembatas pada tabel optimal tetap nonnegatif, solusi basis saat ini tetap fisibel dan optimal. Dalam hal ini, yang perlu kita lakukan adalah menyubstitusikan hargaharga baru dari variabel keputusan ke dalam persamaan garis z sehingga diperoleh harga z yang baru.
Jika perubahan pada ruas kanan ini menyebabkan paling sedikit ada satu ruas kanan pada tabel optimal yang menjadi berharga negatif, maka solusi saat ini tidal lagi fisibel, dan kerananya tidak lagi optimal. Sebagai contoh, jika b berubah dari menjadi ( + ), maka ruas kanan menjadi : B 1 b 1 8 48 4 4 8,5 1,5 8,5 Kita tahu bahwa solusi basis saat ini akan tetap optimal jika : 4 + atau - 1 8 + atau -4,5 atau 4 Dengan kata lain, solusi basis saat ini akan tetap optimal jika - 4 4. Dengan demikian, sepanjang ( 4) b ( + 4) atau 16 b 4, solusi basis saat ini akan tetap fisibel dan optimal. Tetapi, harga z tentu saja akan berubah. Contoh : Jika b =, maka ruas kanan yang baru adalah : S1 x3 B x 1 1 1 8 48 8 b 4 1,5 1,5 8 1 sehingga harg a z yang baru adalah : C BV B 1 b 48 8 1 1 3 Jika kita mengubah ruas kanan pembatas sedemikian sehingga solusi basis saat ini menjadi tidak fisibel lagi, bagaimana kita dapat menentukan solusi optimal yang baru?
Misalkan kita mengubah b menjadi 3. Ruas kanan yang baru adalah sebagai berikut : Karena x 1 = -3, sedangkan koefisien fungsi tujuan untuk baris tidak berubah (tetap memenuhi syarat optimalitas), maka untuk memperoleh solusi optimal yang baru, kita harus mengunakan metode dual simpleks. 4. Perubahan kolom untuk suatu variabel nonbasis. Pada contoh soal, variabel nonbasis adalah x yang mempunyai kolom : 1,5 6 a Apa yang terjadi jika kolom tersebut berubah menjadi : 5 a Kita tahu bahwa perubahan ini tidak akan mengubah baik B ataupun b sehingga ruas kanan tabel optimal juga tidak akan berubah. Yang akan berubah adalah c, yaitu jika c. Tetapi, jika c, maka solusi basis saat ini akan tetap optimal. Dengan berubahnya kolom a, maka : 3 43 5 1 1 c Karena c, maka solusi basis saat ini tidak lagi optimal. Kolom a untuk pembatas pada tabel optimal menjadi : 1 1 8 8 48 1,5,5 4 8 1 1 1 3 1 b B x x S
B 1 a 1,5 8 5 7 4 4 1,5 Karena c, maka x akan menjadi variabel basis pada solusi optimal yang baru. Jika perubahan kolom terjadi pada variabel basis, maka B dan C BV mungkin berubah sehingga baria dan ruas kanan dari tabel optimal juga mungkin berubah. Dalam hal ini, sebaiknya kita memecahkan kembali persoalannya dari awal. 5. Penambahan suatu variabel atau aktivitas baru. Pada situasi tertentu, kita mungkin memproleh kesempatan untuk melakukan satu atau beberapa aktivitas baru. Dalam hal ini, kita harus dapat menentukan apakah aktivitas baru ini sebaiknya dilakukan atau tidak, dengan mempertimbangkan kebaikan/keburukan aktivitas baru tersebut terhadap solusi basis yang telah diperoleh. Sebagai contoh, misalkan akan dibuat produk ke-4 sehingga formula menjadi : Maksimumkan : z = 6 x 1 + 3 x + x 3 + 15 x 4 Berdasarkan : 8 x 1 + 6 x + x 3 + x 4 48 4 x 1 + x + 1,5 x 3 + x 4 x 1 + 1,5 x +,5 x 3 + x 4 8 x 1, x, x 3, x 4 Kita tahu bahwa ruas kanan seluruh pembatas dan koefisien baris untuk variabel yang lama tidak akan berubah. Karena itu, solusi basis saat ini akan tetap optimal jika c 4. Dari formulasi di atas kita peroleh :
c 1 1 1 1 1 15 5 4 Karena c 4, maka solusi basis saat ini tetap optimal sehingga produk ke-4 sebaiknya tidak dibuat. Alasannya adalah karena untuk setiap unit produk ke-4 yang dibuat, kita hanya akan mengeluarkan ongkos sebesar 5, tanpa memperoleh keuntungan apa-apa. 6. Penambahan suatu pembatas baru. Jika suatu pembatas baru ditambahkan, maka kita akan berada pada salah saru dari ketiga kasus berikut ini : Kasus 1 : Solusi optimal saat ini memenuhi pembatas baru. Kasus : Solusi optimal saat ini tidak memenuhi pembatas baru, tetapi persoalan tetap mempunyai solusi fisibel. Kasus 3 : Pembatas baru menyebabkan persoalan tidak mempunyai solusi fisibel. Contoh kasus 1 : Misalkan pada contoh soal ditambahkan pembatas baru x 1 + x + x 3 11. Maka solusi basis saat ini, yaitu x 1 =, x =, x 3 = 8 dan z = 8 akan memenuhi pembatas baru tersebut. Karena solusi basis saat ini tetap fisibel dan z tetap 8, maka solusi ini tetap optimal. Contoh kasus : Misalkan pada contoh soal ditambahkan pembatas x 1. Karena saat ini x =, maka solusi saat ini tidal lagi fisibel. Untuk menentukan solusi optimal yang baru, ubahlah ketidaksamaan x 1 menjadi persamaan x S 4 = 1, kemudian kalikan dengan (-1) sehingga diperoleh x + S 4 = -1. Tambahkan pembatas ini ke dalam tabel sehingga diperoleh :
BV x 1 x x 3 S 1 S S 3 S 4 Solusi S 1-1 -8 4 x 3-1 -4 8 x 1 1 1,5 -,5 1,5 S 4-1 1-1 z 5 1 8 Lakukan dual simpleks sehinga diperoleh tabel optimal : BV x 1 x x 3 S 1 S S 3 S 4 Solusi S 1 1-8 - 6 x 3 1-4 - 1 x 1 1 -,5 1,5 1,5,75 x 1-1 1 z 1 1 5 75 Maka, jika pembatas x 1 ditambahkan terhadap persoalan semula, solusi optimal akan menjadi z = 75, x 3 = 1, x 1 =,75, dan x = 1. Contoh kasus 3 : Misalkan pada contoh soal ditambahkan pembatas x 1 + x 1 sehingga diperoleh x 1 + x S 4 = 1 atau x 1 x + S 4 = - 1. Tabelnya menjadi : BV x 1 x x 3 S 1 S S 3 S 4 Solusi S 1-1 -8 4 x 3-1 -4 8 x 1 1 1,5 -,5 1,5 S 4-1 1-1 z 5 1 8
Agar x 1 tetap menjadi basis, hilangkan x 1 pada baris S 4 dengan cara mengganti baris 4 dengan (baris 3 + baris 4). Hasilnya adalah sebagai berikut : EV BV x 1 x x 3 S 1 S S 3 S 4 Solusi S 1-1 -8 4 x 3-1 -4 8 x 1 1 1,5 -,5 1,5 S 4,5 -,5 1,5 1-1* z 5 1 8 EV BV x 1 x x 3 S 1 S S 3 S 4 Solusi S 1-1 1-4 -16 x 3-1 1 4-3* x 1 1 1-1 1 S -,5 1-3 - z 1 4 8 BV x 1 x x 3 S 1 S S 3 S 4 Solusi S 1-1 1-4 16 X 1-1 - -4 3 X 1 1 1 3 - S -,5 1-4 -4 36 z 1 6 6-4 Perhatikan bahwa pada tabel terakhir kita memperoleh :
x 1 + x 3 + S 3 + 3 S 4 = - Padahal, x 1, x 3, S 3, dan 3S 4 sehingga ruas kiri dari persamaan di atas tidak mungkin. Artinya, jika pada persoalan semula ditambahkan pembatas x 1 + x 1, maka persoalan menjadi tidak mempunyai solusi fisibel. LATIHAN SOAL : 1. Dari suatu persoalan programa linier diperoleh tabel simpleks untuk iterasi awal dan akhir sebagai berikut : Iterasi Awal Basis x 1 x x 3 x 4 S 1 S S 3 Solusi S 1 1 1 1 1 1 15 S 7 5 3 1 1 S 3 3 5 1 15 1 1 z -4-5 -9-11 Iterasi Akhir (optimum) Basis x 1 x x 3 x 4 S 1 S S 3 Solusi x 1 1 5/7-5/7 1/7-1/7 5/7 S -6/7 13/7-61/7 1 4/7 35/7 x 3 /7 1 1/7-3/7 1/7 55/7 z 3/7 11/7 13/7 5/7 695/7 Pertanyaan : a. Buktikan bahawa jawaban optimum di atas tidak berubah sekalipun ditambahkan konstrain baru 4x 1 + 7x - 5x 3 6x 4 5 pada persoalan semula
b. Bagaimana jawaban optimum yang baru jika koefisien ruas kanan persamaan semula diubah 15 dari 1 menjadi 11 1 13 c. Bagaimana jika fungsi objectivenya menjadi z = 6x 1 + 5x + 9x 3 + 1x 4 d. Bagaimanakah jawaban optimum yang baru jika ditambahkan variabel baru x 5 yang mempunyai koefisien sebagai berikut : - dalam fungsi objective = 13? - dalam fungsi konstrain : 1 1 18. Sebuah persoalan diformulasikan sebagai berikut : Maksimumkan : z = x 1 + 4x + x 3 Berdasarkan : x 1 + 3x - x 3 1 x 1 + x + x 3 1 x 1 + x + x 3 16 x 1, x,x 3 Pada suatu iterasi diperoleh keadaan sebagai berikut : Basis x 1 x x 3 S 1 S S 3 Solusi x 1/ 6 S -1/ 1 4 S 3-1 1 4 z
Dengan mempergunakan sifat-sifat primal dual, lengkapilah iterasi di atas, dan lanjutkan untuk mendapatkan nilai z maksimum. Tentukan variabel basis optimum. 3. Perhatikan persoalan di bawah ini : Maksimumkan : z = 3x 1 + x Berdasarkan : x 1 + x 6 x 1 + x 8 -x 1 + x 1 x x 1, x Jika jawaban optimum persoalan di atas adalah : Basis x 1 x S 1 S S 3 S 4 Solusi x 1 1 /3-1/3 4/3 x 1-1/3 /3 1/3 S 3-1 1 1 3 S 4 -/3 1/3 1 /3 z 1/3 4/3 38/3 Bagaimanakah jawaban optimum yang baru jika : a. Ruas kanan dari pembatas ke-1 dan ke- masing-masing menjadi 7 dan 4? b. Ditambahkan pembatas baru x 1 4? c. Fungsi tujuan berubah menjadi z = 3x 1 + x d. Ditambahkan variabel baru x 3 dengan koefisien pada fungsi tujuan sebesar 3/, sedangkan koefisien pada konstrain ke-1, ke-, dan ke-3 masing-masing adalah 3/4, 3/4, dan 1 dimana x
4. Perhatikan persoalan program linier di bawah ini : Maksimumkan : z = 5x 1 + x + 3x 3 Berdasarkan : x 1 + 5x + x 3 = 3 x 1-5x - 6x 3 4 x 1, x,x 3 Jika solusi optimum persoalan di ats adalah : Basis x 1 x x 3 A 1 S 1 Solusi x 1 1 5 1 3 S 1-1 -8-1 1 1 z 3 7 5+M 15 Bagaimanakah persoalan dualnya, dan berapakah solusi optimum variabelvariabel dual tersebut? 5. Formulasi suatu persoalan programa linier adalah sebagai berikut : Maksimumkan : z = ax 1 + bx + cx 3 + dx 4 + ex 5 Berdasarkan : a 1 x 1 + b 1 x + c 1 x 3 + d 1 x 4 + e 1 x 5 F a x 1 + b x + c x 3 + d x 4 + e x 5 G a. Jika iterasi optimum dari persoalan di atas adalah : Basis x 1 x x 3 x 4 x 5 S 1 S Solusi x 5-54/138 3/138 6/138 1 4/138-1/3 114/138 x -15/3 1 16/3 9/3-1/3 6/3 33/3 z 63/138 94/138 36/138 456/138 119/3 4936/138 Bagaimanakah formulasi persoalan ini yang sebenarnya?
b. Jika pada solusi optimum itu ditambahkan konstrain baru 6x 1 + x + x 3 + x 4 + x 5 4 bagaimanakah solusi optimum yang baru? 6. Tentukan dual dari persoalan berikut : Maksimumkan : z = 36x 1 + 8x + 3x 3 Berdasarkan : x 1 + x + 8x 3 3 3x 1 + x + x 3 4 x 1, x,x 3 Kemudian selesaikan soal ini dan tunjukkan marginal value dari bahan baku pada konstraint pertama dan kedua. 7. Tentukan dual dari persoalan berikut : Minimumkan : z = 4x 1 + x + 6x 3 Berdasarkan : x 1 + 4x + 1x 3 4 5x 1 + x + 5x 3 8 x 1, x,x 3 Kemudian selesaikan dualnya dengan metode Simplex dan tunjukkan marginal value dari konstraint pertama dan kedua. 8. Sebuah perusahaan memproduksi jaket dan tas kulit. Sebuah jaket memerlukan 8 meter persegi kulit dan sebuah tas hanya menggunakan 3 meter persegi. Persyaratan kerja untuk kedua produk tersebut masing-
masing adalah 1 jam dan 4 jam. Harga pembelian kulit adalah $8 per meter persegi dan biaya tenaga kerja diperkirakan sebesar $15 per jam. Persediaan kulit mingguan saat ini dan tenaga kerja dibatasi sampai 1 meter persegi dan 18 jam. Perusahaan menjual jaket dan tas masingmasing dengan harga $35 dan $ 1. Tujuannya adalah untuk menentukan jadwal produksi yang memaksimumkan pendapatan bersih. Perusahaan sedang mempertimbangkan untuk mmeperluas produksinya. Berapa harga pembelian maksimum yang harus dibayar perusahaan untuk kulit? Untuk tenaga kerja? 9. Tentukan dual dari persoalan dibawah ini : Minimumkan : z = 1x 1 + 6x + 8x 3 Berdasarkan : x 1 + 6x + 5x 3 4 4x 1 + x + x 3 1 x 1 + x + x 3 6 x 1, x,x 3 1. Tunjukkan bahwa persoalan yang diberikan pada soal No. 9 memiliki nilai optimal yang sama seperti dualnya dengan memecahkan kedua persoalan ini secara langsung.