Solusi Persamaan Diferensial Biasa

Bab 8 Solusi Pesamaan Difeensial Biasa Penalaan adala metode yang lambat dan beliku-liku dengan mana meeka yang tidak mengetaui kebenaan menemukannya. Hati mempunyai penalaan sendii sedangkan penalaan itu tidak mengetauinya. (Blaise Pascal) Pesamaan difeensial adala gabungan antaa fungsi yang tidak diketaui secaa eksplisit dan tuunan (difeensial)-nya. Dalam kulia Fisika anda tentu masi ingat pesamaan geak sistem pegas. d d m + c + k = 0 (P.8.) dt dt dengan m adala massa pegas, k tetapan pegas, c koefisien edaman, dan posisi sebua titik pada pegas. Kaena adala fungsi dai t, maka pesamaan (P.8.) ditulis juga sebagai m "(t) + c'(t) + k(t) = 0 atau dalam bentuk yang lebi ingkas, m" + c' + k = 0. Pesamaan (P.8.) mengandung fungsi (t) yang tidak diketaui umus eksplisitnya, tuunan petamanya '(t), dan tuunan kedua "(t). Ati fisis difeensial adala laju peubaan sebua peuba teadap peuba lain. Pada pesaman (P.8.), '(t) menyatakan laju peubaan posisi pegas teadap waktu t. Bab 8 Solusi Pesamaan Difeensial Biasa 375

8. Kelompok Pesamaan Difeensial Pesamaan difeensial dapat dibagi menjadi dua kelompok besa, yaitu pesamaan difeensial biasa dan pesamaan difeensial pasial.. Pesamaan difeensial biasa (PDB) - Odinay Diffeential Equations (ODE). PDB adala pesamaan difeensial yang anya mempunyai satu peuba bebas. Peuba bebas biasanya disimbolkan dengan. Conto 8. Conto-conto pesamaan beikut adala pesamaan difeensial biasa (PDB): (i) dy = + y d (ii) y' = + y (iii) dy/d + y - y = 0 (iv) y" + y'cos - 3y = sin (v) y"' - 3y' = - y" Peuba bebas untuk conto (i) sampai (v) adala, sedangkan peuba teikatnya adala y, yang meupakan fungsi dai, atau ditulis sebagai y = g(). Bedasakan tuunan tetinggi yang tedapat di dalam pesamaannya, PDB dapat lagi dikelompokkan menuut odenya, yaitu: a. PDB ode, yaitu PDB yang tuunan tetingginya adala tuunan petama. Conto (i), (ii), dan (iii) di atas adala PDB ode. b. PDB ode, yaitu PDB yang tuunan tetingginya adala tuunan kedua. Conto (iv) adala PDB ode dua. c. PDB ode 3, yaitu PDB yang tuunan tetingginya adala tuunan ketiga Conto (v) di atas adala PDB ode tiga. d. dan seteusnya untuk PDB dengan ode yang lebi tinggi. PDB ode ke atas dinamakan juga PDB ode lanjut.. Pesamaan Difeensial Pasial (PDP) - Patial Diffeential Equations (PDE). PDP adala pesamaan difeensial yang mempunyai lebi dai satu peuba bebas. Tuunan fungsi teadap setiap peuba bebas dilakukan secaa pasial. 376 Metode Numeik

Conto 8. Conto-conto pesamaan beikut adala pesamaan difeensial pasial (PDP): (i) u + y u = 6ye +y (yang dalam al ini, u = g(,y)) (ii) u t = 3sin( + t) + u + ( + ) y u (yang dalam al ini, u = g(, y, t)) Peuba bebas untuk conto (i) adala dan y, sedangkan peuba teikatnya adala u, yang meupakan fungsi dai dan y, atau ditulis sebagai u = g(,y). Sedangkan peuba bebas untuk conto (ii) adala, y, dan t, sedangkan peuba teikatnya adala u, yang meupakan fungsi dai, y, dan t, atau ditulis sebagai u = g(, y, t). Buku ini anya membaas metode-metode numeik untuk menyelesaikan PDB, kususnya PDB ode satu. Pada bagian aki bab akan ditunjukkan bawa PDB ode lanjut dapat dikembalikan bentuknya menjadi sistem PDB ode satu. 8. Teapan Pesamaan Difeensial Pesamaan difeensial bepeanan penting di alam, sebab kebanyakan fenomena alam diumuskan dalam bentuk difeensial. Pesamaan difeensial seing digunakan sebagai model matematika dalam bidang sains maupun dalam bidang ekayasa. Hukum-ukum dasa fisika, mekanika, listik, dan temodinamika biasanya didasakan pada peubaan sifat fisik dan keadaan sistem. Daipada menjelaskan keadaan sistem fisik secaa langsung, ukum-ukum tesebut biasanya dinyatakan dalam peubaan spasial (koodinat) dan tempoal (waktu) [CHA9]. Misalnya ukum Newton II menyatakan pecepatan sebagai laju peubaan kecepatan setiap waktu, atau a = dv/dt, ukum temodinamika (Fluks panas = -k T/, dengan k = konduktivitas panas, dan T = suu), ukum Faaday (Beda tegangan = L di/dt, dengan L = induktansi, dan i = aus). Dengan mengintegalkan pesamaan difeensial, diasilkan fungsi matematika yang menjelaskan keadaan spasial dan tempoal sebua sistem, dinyatakan dalam pecepatan, enegi, massa, atau tegangan. Pesamaan (P.8.) adala teapan PDB dalam bidang fisika. Dalam bidang teknologi pangan, biologi, famasi, dan teknik kimia, dikenal pesamaan yang Bab 8 Solusi Pesamaan Difeensial Biasa 377

menyatakan bawa laju petumbuan baktei pada waktu t sebanding dengan jumla baktei (p) pada saat itu, dp = kp (P.8.) dt dengan k adala tetapan kesebandingan. Dalam bidang kelistikan (elekto), paa ekayasawan-nya tentu mengetaui bena ukum Kicoff untuk sebua angkaian listik sedeana RLC sepeti pada Gamba 8.. Hukum tegangan Kicoff menyatakan bawa jumla aljaba dai peubaan tegangan di sekeliling angkaian tetutup adala nol, di L dt + Ri = C q - E(t) = 0 (P.8.3) dengan L(di/dt) adala peubaan tegangan antaa indukto, L adala induktansi kumpaan (dalam eny), R adala taanan (dalam om), q adala muatan pada kapasito (dalam coulomb), C adala kapasitansi (dalam faad), dan E(t) adala tegangan yang beuba teadap waktu. L E C i R. Gamba 8. Rangkaian listik RLC Bebeapa pesamaan difeensial dapat dicai solusinya secaa analitis dengan teknik integal. Pesamaan (P.8.) misalnya, solusinya dapat ditemukan sebagai beikut: dp/dt = kp dp/p = k dt dp/p = k dt ln(p) + C = kt + C 378 Metode Numeik

ln(p) = kt + (C - C ) = kt + C, dengan C = C - C p = e kt + C = e kt e C = p 0 e kt, dengan p 0 = e C Jadi, solusi analitiknya adala p(t) = p 0 e kt dengan p 0 adala jumla baktei pada waktu t = 0. Bila p 0 = p(0) diketaui, maka solusi yang unik dapat dipeole. Dengan caa yang sama, solusi unik pesamaan (P.8.3) juga dapat diitung secaa analitik bila diketaui besa aus pada t = 0 adala i(0) = 0, yaitu i(t) = (E/R)( - e -Rt/L ) Setela pesamaan i(t) dipeole, besa aus pada sembaang waktu t dapat diitung. Metode numeik untuk pesamaan difeensial memainkan peanan sangat penting bagi ekayasawan, kaena dalam pakteknya sebagian besa pesamaan difeensial tidak dapat diselesaikan secaa analitik. Metode numeik dipakai paa ekayasawan untuk mempeole solusi pesaman difeensial. Bila metode analitik membeikan solusi pesamaan difeensial dalam bentuk fungsi meneus, maka metode numeik membeikan solusi pesamaan difeensial dalam bentuk faik. Upabab beikut ini membaas bebagai metode numeik untuk mengitung solusi PDB ode satu. 8.3 PDB Ode Satu Bentuk baku PDB ode satu dengan nilai awal ditulis sebagai y' = f(, y) dengan nilai awal y( 0 ) = y (P.8.4) Catatan: Kadang-kadang y' ditulis sebagai dy/d. Jadi, y' = dy/d. PDB ode satu yang tidak mengikuti bentuk baku tesebut aus ditulis ulang menjadi bentuk pesamaan (P.8.4), aga ia dapat diselesaikan secaa numeik. Bab 8 Solusi Pesamaan Difeensial Biasa 379

Conto 8.3 Conto-conto pesamaan beikut adala pesamaan difeensial biasa dan tansfomasinya ke dalam bentuk baku PDB ode : (i) y' + y = 00 ; y(0) = Bentuk baku: y' = (00 - y)/ ; y(0) = (ii) -y' + y/ = y' - y ; y() = - Bentuk baku: y' = y / + y + ; y() = - Penyelesaian PDB secaa numeik beati mengitung nilai fungsi di + = +, dengan adala ukuan langka (step) setiap lelaan. Pada metode analitik, nilai awal befungsi untuk mempeole solusi yang unik, sedangkan pada metode numeik nilai awal (initial value) pada pesamaan (P.8.4) befungsi untuk memulai lelaan. Tedapat bebeapa metode numeik yang seing digunakan untuk mengitung solusi PDB, mulai dai metode yang paling dasa sampai dengan metode yang lebi teliti, yaitu. Metode Eule. Metode Heun 3. Metode Deet Taylo 4. Metode Runge-Kutta 5. Metode pedicto-coecto. 8.4 Metode Eule Dibeikan PDB ode satu, Misalkan y' = dy/d = f(, y) dan nilai awal y( 0 ) = y 0 y = y( ) adala ampian nilai y di yang diitung dengan metode Eule. Dalam al ini = 0 +, = 0,,,... n. Metoda Eule dituunkan dengan caa menguaikan y( + ) di sekita ke dalam deet Taylo: 380 Metode Numeik

( ) + y( + ) = y( ) +! ( ) + y'( ) +! y"( ) +... (P.8.5) Bila pesamaan (P.8.5) dipotong sampai suku ode tiga, dipeole ( ) ( + ) + y( + ) y( ) + y'( ) + Bedasakan pesamaan (P.8.4), y'( ) = f(, y ) dan + - = maka pesamaan (P.8.6) dapat ditulis menjadi!! y"(t), < t < + (P.8.6) y( + ) y( ) + f(, y ) + y"(t) (P.8.7) Dua suku petama pesamaan (P.8.7), yaitu y( + ) = y( ) + f(, y ) ; = 0,,,..., n (P.8.8) menyatakan metode Eule atau metode Eule-Caucy. Metode Eule disebut juga metode ode-petama, kaena pada pesamaan (P.8.7) kita anya mengambil sampai suku ode petama saja. Untuk menyedeanakan penulisan, pesamaan (P.8.8) dapat juga ditulis lebi singkat sebagai y + = y + f Selain dengan bantuan deet Taylo, metode Eule juga dapat dituunkan dengan caa yang bebeda. Sebagai conto, misalkan kita menggunakan atuan segiempat untuk mengintegasi-kan f(,y) pada pesamaan difeensial y' = f(, y) ; y( 0 ) = y 0 Integasikan kedua uas dalam selang [, + ]: Bab 8 Solusi Pesamaan Difeensial Biasa 38

+ + y '( ) d = f (, y( )) d Gunakan atuan segiempat untuk mengintegasikan uas kanan, mengasilkan: y( + ) - y( ) = f(, y( )) atau y( + ) = y( ) + f(, y ) yang meupakan metode Eule. 8.4. Tafsian Geometi Metode PDB Pikikanla kembali bawa f(,y) dalam pesamaan difeensial menyatakan gadien gais singgung kuva di titik (,y). Kita mulai menaik gais singgung dai titik ( 0, y 0 ) dengan gadien f( 0, y 0 ) dan beenti di titik (, y ), dengan y diitung dai pesamaan (P.8.8). Selanjutnya, dai titik (, y ) ditaik lagi gais dengan gadien f(, y ) dan beenti di titik (, y ), dengan y diitung dai pesamaan (P.8.8). Poses ini kita ulang bebeapa kali, misalnya sampai lelaan ke-n, seingga asilnya adala gais pata-pata sepeti yang ditunjukkan pada Gamba 8.. y y=f () gadien f( n-,y n- ) L 0 3 L n- n Gamba 8. Tafsian geometi metode PDB 38 Metode Numeik

y y() y + sejati y + y A B C + Gamba 8.3 Tafsian geometi untuk penuunan metode Eule Bedasakan tafsian geometi pada Gamba 8., kita juga dapat menuunkan metode Eule. Tinjau Gamba 8.3. Gadien (m) gais singgung di adala y m = y '( ) = f(, y ) = y + = y + f(, y ) BC y = = + y AB yang tidak lain adala pesamaan metode Eule. 8.4. Analisis Galat Metode Eule Meskipun metode Eule sedeana, tetapi ia mengandung dua macam galat, yaitu galat pemotongan (tuncation eo) dan galat longgokan (cumulative eo). Galat pemotongan dapat langsung ditentukan dai pesamaan (P.8.7), yaitu E p y"(t) = O( ) (P.8.9) Galat pemotongan ini sebanding dengan kuadat ukuan langka seingga disebut juga galat pe langka (eo pe step) atau galat lokal. Semakin kecil nilai (yang beati semakin banyak langka peitungan), semakin kecil pula galat asil peitungannya. Peatikan bawa nilai pada setiap langka (y ) dipakai lagi pada langka beikutnya (y + ). Galat solusi pada langka ke- adala tumpukan galat dai langka-langka sebelumnya. Galat yang tekumpul pada aki langka ke- ini disebut galat longgokan (cumulative eo). Jika langka dimulai dai 0 = a Bab 8 Solusi Pesamaan Difeensial Biasa 383

dan beaki di n = b maka total galat yang tekumpul pada solusi aki (y n ) adala E total n = (/ ) y"( t) = n = ( b a) ( b a) y"( t) = y"( t) = y"( t) (P.8.0) Galat longgokan total ini sebenanya adala E total = y(b) sejati - y( n ) Eule Pesamaan (P.8.0) menyatakan bawa galat longgokan sebanding dengan. Ini beati metode Eule membeikan ampian solusi yang buuk, seingga dalam paktek metode ini kuang disukai, namun metode ini membantu untuk memaami gagasan dasa metode penyelesaian PDB dengan ode yang lebi tinggi. Penguangan dapat meningkatkan ketelitian asil, namun penguangan tanpa penggunaan bilangan beketelitian ganda tidakla menguntungkan kaena galat numeik meningkat disebabkan ole galat pembulatan [NAK93]. Selain galat pemotongan, solusi PDB juga mengandung galat pembulatan, yang mempengaui ketelitian nilai y, y,, semakin lama semakin buuk dengan meningkatnya n (baca kembali Bab Deet Taylo dan Analisis Galat). Pogam 8. Metode Eule function y_eule(0, y0, b, :eal):eal; {mengitung nilai y(b) pada PDB y'=f(,y); y(0)=y0 dengan metode Eule } va, n: intege;, y: eal; begin n:=(b-0)/; {jumla langka} y:=y0; {nilai awal} :=0; fo := to n do begin y:=y + *f(,y); { itung solusi y[] } := + ; { itung titik beikutnya } end; {fo} y_eule:=y; {y(b)} end; 384 Metode Numeik

Conto 8.4 Diketaui PDB dy/d = + y dan y(0) = Gunakan metode Eule untuk mengitung y(0,0) dengan ukuan langka = 0.05 dan = 0.0. Jumla angka bena = 5. Diketaui solusi sejati PDB tesebut adala y() = e - -. Penyelesaian: (i) Diketaui a = 0 = 0 b = 0.0 = 0.05 Dalam al ini, f(, y) = + y, dan peneapan metode Eule pada PDB tesebut menjadi y + = y + 0.0( + y ) Langka-langka: 0 = 0 y 0 = = 0.05 y = y 0 + 0.05( 0 + y 0 ) = + (0.05)(0 + ) =.0050 = 0.0 y = y + 0.05( + y ) =.0050 + (0.05)(0.05 +.0050) =.05775 Jadi, y(0.0).05775. ( Bandingkan dengan nilai solusi sejatinya, y(0.0) = e 0.0-0.0 - =.03 seingga galatnya adala galat =.03 -.05775 = 0.0555 ) (ii) Diketaui a = 0 = 0 b = 0.0 = 0.0 Dalam al ini, f(, y) = + y, dan peneapan metode Eule pada PDB tesebut menjadi y + = y + 0.0( + y ) Langka-langka: Bab 8 Solusi Pesamaan Difeensial Biasa 385

0 = 0 y 0 = = 0.0 y = y 0 + 0.0( 0 + y 0 ) = + (0.0)(0 + ) =.000 = 0.04 y = y + 0.0( + y ) =.000 + (0.0)(0.0 +.000) =.0408 3 = 0.06 y 3 =.064 4 = 0.08 y 4 =.0848 5 = 0.0 y 5 =.08 Jadi, y (0,0).08 ( Bandingkan dengan solusi sejatinya, y (0.0) =.03, seingga galatnya adala galat =.03 -.08 =.08 ) Conto 8.4 mempeliatkan bawa kita dapat menguangi galat dengan mempebanyak langka (mempekecil ). 8.5 Metode Heun (Pebaikan Metoda Eule) Metode Eule mempunyai ketelitian yang enda kaena galatnya besa (sebanding dengan ). Buuknya galat ini dapat dikuangi dengan menggunakan metode Heun, yang meupakan pebaikan metode Eule (modified Eule's metod). Pada metode Heun, solusi dai metode Eule dijadikan sebagai solusi pekiaan awal (pedicto). Selanjutnya, solusi pekiaan awal ini dipebaiki dengan metode Heun (coecto). Metode Heun dituunkan sebagai beikut: Pandang PDB ode satu y'() = f(, y()) Integasikan kedua uas pesamaan dai sampai + : + + f (, y( )) d = y' ( ) d = y( + ) - y( ) = y + - y Nyatakan y + di uas kii dan suku-suku lainnya di uas kanan: y + = y + + f (, y( )) d (P.8.) 386 Metode Numeik

Suku yang mengandung integal di uas kanan, + f (, y( )) d, dapat diselesaikan dengan kaida tapesium menjadi + f (, y( )) d [ f (, y ) + f ( +, y + )] (P.8.) Sulikan pesamaan (P.8.) ke dalam pesamaan (P.8.), mengasilkan pesamaan y + = y + / [f(, y ) + f( +, y + )] (P.8.3) yang meupakan metode Heun, atau metode Eule-Caucy yang dipebaiki. Dalam pesaman (P.8.3), suku uas kanan mengandung y +. Nilai y + ini adala solusi pekiaan awal (pedicto) yang diitung dengan metode Eule. Kaena itu, pesamaan (P.8.3) dapat ditulis sebagai Pedicto : y (0) + = y + f(, y ) Coecto : y + = y + / [f(, y ) + f( +, y (0) +)] (P.8.4) atau ditulis dalam satu kesatuan, y + = y + / [f(,y ) + f( +, y + f(, y )] (P.8.5) 8.5. Tafsian Geometi Metode Heun Metode ini mempunyai tafsian geometi yang sedeana. Peatikanla bawa dalam selang sampai + ½ kita mengampii solusi y dengan gais singgung melalui titik (, y ) dengan gadien f(, y ), dan kemudian meneuskan gais singgung dengan gadien f( +, y (0) +) sampai mencapai + [KRE88] (liat Gamba 8.4 dengan = 0). y y() y y 0 / / 0 Gamba 8.4 Tafsian geometi metode Heun Bab 8 Solusi Pesamaan Difeensial Biasa 387

8.5. Galat Metode Heun Dai pesamaan (P.8.4), suku / [f(,y ) + f( +, y (0) +)] besesuaian dengan atuan tapesium pada integasi numeik. Dapat dibuktikan bawa galat pe langka metode Heun sama dengan galat kaida tapesium, yaitu 3 E p - y"(t), < t < + (P.8.5) = O( 3 ) Bukti: Misalkan, Y + adala nilai y sejati di + y + adala ampian nilai y di + Uaikan Y + di sekita : ( ) + Y( + ) = y( ) + ( ) + 3! = y + y' + 3! y"'( ) + ( ) + y'( ) + 3 y " + 6! y "' + y"( ) + Dengan menyatakan y ' = f(, y ) = f, maka Y + = y + f + f ' + 3 6 f "' + (P.8.6) Dai pesamaan (P.8.4), y + = y + / [f(,y ) + f( +, y (0) +)] uaikan f( +, y (0) +) dengan menggunakan deet Taylo di sekita : f( +, y (0) +) = f( +, y + ) 388 Metode Numeik

( ) + = f(, y ) + + = f + f ' +! f " + ( ) + f '(, y ) +! f "(, y ) seingga pesamaan (P.8.4) dapat ditulis menjadi: y + = y + / [f(,y ) + f( +, y (0) +)] = y + / [f + f + f ' + ½ f " + ] = y + f + f ' + 3 4 f " + (P.8.7) Galat pe langka = nilai sejati - nilai ampian = Y + - y + = ( y + f + 3 f ' + 6 f "' + ) - (y + f + f ' + 3 4 f " + ) = 3 6 3 f "' - 4 f "' + 3 = - f "' + 3 = - f "'(t), < t < + = O( 3 ) Galat longgokannya adala, n 3 E L = y"( t) = - = ( b a) = O( ) y"(t) (P.8.8) Bab 8 Solusi Pesamaan Difeensial Biasa 389

Jadi, galat longgokan metode Heun sebanding dengan. Ini beati solusi PDB dai metode Heun lebi baik daipada solusi dai metode Eule, namun jumla komputasinya menjadi lebi banyak dibandingkan dengan metode Eule. Pebandingan metode Heun dengan metode Eule dilukiskan pada Gamba 8.5. y y + sejati y() y + () y + (0) y Heun Eule + Gamba 8.5 Pebandingan metode Eule dengan metode Heun Pogam 8. Metode Heun function y_heun(0, y0, b, :eal):eal; {mengitung y(b) dengan metode Heun pada PDB } va, n: intege;, y, y_s : eal; begin n:=(b-0)/; y:=y0; :=0; fo := to n do y'=f(,y); y(0)=y0 {jumla langka} {nilai awal} begin y_s:=y; { y dai langka - } y:=y + *f(,y); { y() dengan Eule } y:=y_s + / * ((f(,y_s) + f(+,y)); { y() dengan Heun } :=+; end; y_heun:=y; end; { titik beikutnya} 390 Metode Numeik

Conto 8.5 Diketaui PDB dy/d = + y ; y(0) = Hitung y (0.0) dengan metode Heun ( = 0.0) Penyelesaian: Diketaui f(, y) = + y a = 0 = 0 b = 0.0 = 0.0 maka n = (0.0-0)/0.0 = 5 (jumla langka) Langka-langka: = 0.0 y (0) = y 0 + f( 0, y 0 ) = + 0.0(0 + ) =.000 y () = y 0 + (/) [f( 0,y 0 ) + f(,y (0) )] = + (0.0/) (0 + + 0.0 +.000) =.004 = 0.04 y (0) = y + f(, y ) =.004 + 0.0 (0.0 +.004) =.04 y () = y + (/) [f(,y ) + f(, y (0) )] =.004 + (0.0/) [0.0 +.004 + 0.04 +.04] =.046 5 = 0.0 y (0) 5 = y 4 + f( 4, y 4 ) y () 5 = y 4 + (/) [f( 4,y 4 ) + f( 5,y (0) 5)] =.04 Jadi, y (0.0).04. Bandingkan: Nilai sejati : y(0.0) =.03 Eule (Conto 8.4) : y(0.0) =.08 Heun (Conto 8.5) : y(0.0) =.04 lebi baik dai Eule Bab 8 Solusi Pesamaan Difeensial Biasa 39

8.5.3 Peluasan Metode Heun Metode Heun dapat dipeluas dengan meneuskan lelaannya sebagai beikut: y (0) + = y + f(, y ) y () + y () + y (3) + = y + / [f(, y ) + f( +, y (0) +)] = y + / [f(, y ) + f( +, y () +)] = y + / [f(, y ) + f( +, y () +)]... y (k+) + = y + / [f(, y ) + f( +, y (k) +)] Kondisi beenti adala bila y (k) + - y (k-) + < ε dengan ε adala batas galat yang diinginkan. Jika lelaannya dilakukan satu kali (sampai dengan y () + saja), maka lelaannya dinamakan lelaan satu lempaan (one sot iteation). Metoda Heun adala lelaan satu lempaan. Pogam 8.3: Peluasan Metode Heun function y_heun(0, y0, b, :eal):eal; {mengitung y(b) dengan peluasan metode Heun pada PDB y'=f(,y); y(0)=y0 } const epsilon = 0.000000; va, n: intege;, y, y_s, tampung : eal; begin n:=(b-0)/; {jumla langka} y:=y0; {nilai awal} :=0; fo := to n do begin y_s:=y; { y dai langka - } y:=y + *f(,y); { y() dengan Eule } epeat tampung:=y; y:=y_s + / *((f(, y_s)+ f(+, y)); {y() dengan Heun} until ABS(y-tampung) < epsilon; :=+; { itung titik beikutnya } end; y_heun:=y; end; 39 Metode Numeik

8.6 Metode Deet Taylo Kita suda meliat bawa metode Eule dituunkan dengan menggunakan deet Taylo. Deet Taylo pada penuunan metode Eule dipotong sampai suku ode petama seingga solusinya kuang teliti. Kita dapat meningkatkan ketelitian dengan memotong deet sampaisuku yang lebi tinggi lagi. Metode deet Taylo adala metode yang umum untuk menuunkan umus-umus solusi PDB. Metode Eule meupakan metode deet Taylo yang paling sedeana. Dibeikan PDB Misalkan y'() = f(,y) dengan kondisi awal y( 0 ) = y 0 y + = y( + ), = 0,,,n adala ampian nilai y di +. Hampian ini dipeole dengan menguaikan y + di sekita sebagai beikut: atau ( ) ( + ) + y( + ) = y( ) + y'( ) +! ( ) + y"'( ) + + n! n! y (n) ( ) ( ) + y"( ) + 3! 3 y( + ) = y( ) + y'( ) + y"( ) + 3 6 y"'( ) + + ( n) ( n) y n! (P.8.9) Pesamaan (P.8.9) menyiatkan bawa untuk mengitung ampian nilai y +, kita pelu mengitung y'( ), y"( ),, y (n) ( ), yang dapat dikejakan dengan umus y (k) () = P (k-) f(, y) (P.8.0) yang dalam al ini, P adala opeato tuunan, P = ( + f ) (P.8.) y Bab 8 Solusi Pesamaan Difeensial Biasa 393

Conto 8.3 Diketaui PDB dy/d = ½ - ½ y ; y(0) = Tentukan y(0.50) dengan metode deet Taylo ( = 0.5). Penyelesaian: 0 = 0 y 0 = = 0.5 y =? y( ) = y( 0 ) + y'( 0 ) + 3 y"( 0 ) + 6 y"'( 0 ) + + ( ) n n! y (n) 0 + Misal kita anya mengitung y( ) sampai suku ode ke-4 saja. y'() = ½ - ½ y d y"() = ( ½ - ½ y ) d = ½ + f. (-/) = ½ - ( ½ - ½ y). ½ = ½ - ¼ + ¼ y d y"'() = ( ½ - ¼ + ¼ y) d = -/4 + f. /4 = -/4 + ( ½ - ½ y). ¼ = -/4 + /8 - y/8 Dipeole: seingga y (4) () = d (/4 + /8 - /8 y) d = /8 + f. (-/8) = /8 - (/ - y/). /8 = /8 - /6 + y/6 y( 0 ) = y(0) = y'( 0 ) = y'(0) = ½ 0 - ½ = -/ y"( 0 ) = y"(0) = ½ - ¼ 0 + ¼ = 3/4 y"'( 0 ) = y"'(0) = -/4 + /8 0 - /8 = - 3/8 y (4) ( 0 ) = y (4) (0) = /8 - /6 0 + /6 = 3/6 394 Metode Numeik

Dipeole: Seingga, y( ) = + 0.5 (-/) + ((0.5) /) (3/4) + ((0.5) 3 /6) (-3/8) + ((0.5) 4 /4) (3/6) = 0.897495 = 0.50 y =? y( ) = y( ) + y'( ) + 3 y"( ) + 6 y"'( ) + + y( ) = 0.897495 y'( ) = (/)(0.5) - (/)(0.897495) = -0.337458 y"( ) = ½ - (¼) (0.5) + (/4)(0.897495) = 0.66879 y"'( ) = -/4 + (/8)(0.5) - (/8)(0.897495) = -0.3309634 y (4) ( ) = /8 - (/6)(0.5) + (/6)(.897495) = 0.65468 ( ) n n! y (n) = y = 0.897495 + 0.5 (-0.337458) + (0.5 /)(0.66879) + (0.5 3 /6)(-0.3309634) + (0.5 4 /4)(0.65468) = 0.8364037 Jadi, y(0.50) 0.8364037 (Bandingkan dengan solusi sejati, y(0.50) = 0.836403 ) Galat Metode Deet Taylo Galat pelangka metode deet Taylo setela pemotongan ke-n adala ( n+ ) ( n+ ) f E t ( n + )! = O( n+ ) (t), 0 < t < + (P.8.) Pada Conto 8., galat pe langkanya adala E p 5 5! f (5) (t), 0 < t < 0.50 Kaena t tidak diketaui, kita anya dapat mengitung batas atas dan batas bawa galat E p dalam selang-buka (0, 50). Galat longgokan total metode deet Taylo adala: Bab 8 Solusi Pesamaan Difeensial Biasa 395

E L = ( + ) n ( n + )! f ( n+) (t) = b a ( + ) n ( n + )! f (n+) (t) = (b - a) ( + ) f n ( t) ( n (P.8.3) n + )! = O( n ) 8.7 Ode Metode PDB Ode metode penyelesaian PDB menyatakan ukuan ketelitian solusinya. Makin tinggi ode metode, makin teliti solusinya. Ode metode PDB dapat ditentukan dai pesamaan galat pe langka atau dai galat longgokannya.. Jika galat longgokan suatu metode PDB bebentuk C p, C tetapan, maka metode tesebut dikatakan beode p. Sebagai conto, metode Eule Galat longgokan = ( b a ) ( b a) y"(t) = C, C = y"( t) = O() ode metode Eule = ( b a) metode Heun Galat longgokan = y"(t) = C ( b a), C = y"( t) = O( ) ode metode Heun =. Jika galat pe langka suatu metoda PDB bebentuk B p+, B konstanta, maka metode tesebut dikatakan beode p. Dengan kata lain, jika galat pe langka = O( p+ ) maka galat longgokan = O( p ). Sebagai conto, metode Eule Galat pe langka = ½ y"(t) = B, B = ½ y"(t) = O( ) ode metode Eule = -= 396 Metode Numeik

metode Heun Galat pe langka = - / y"(t) 3 = B 3, dengan B = - / y"(t) = O( 3 ) ode metode Heun =3- = Menentukan Galat pe Langka Metode PDB Galat pe langka metode PDB dipeole dengan bantuan deet Taylo. Kita suda pena menuunkan galat pe langka metode Heun dengan bantuan deet Taylo. Sekaang, posedu untuk menentukan galat pe langka suatu metode PDB dapat ditulis sebagai beikut: () Notasi nilai y ampian di + adala y + () Notasi nilai y sejati di + adala Y + (3) Uaikan y + di sekita (4) Uaikan Y + di sekita (5) Galat pe langka adala = (4) - (3) Conto 8.4 Hitung galat pe langka metode PDB y + = y + f dan tentukan ode metodenya. Penyelesaian: (metode Eule) Hampian : y + = y + f Sejati : Y + Uaikan y + ampian di sekita : Ruas kanan pesamaan y + suda tedefinisi dalam, jadi y + tidak pelu diuaikan lagi. Uaikan Y + di sekita : Y + = Y( + ) = y( ) + ( ) + y'( ) + ( ) = y + y ' +! y " +... = y + f + + y"( ) +...! f ' +... Bab 8 Solusi Pesamaan Difeensial Biasa 397

Galat pe langka E p = Y + - y + = f ' + = = O( ) f '(t), < t < + Ode metode = - = Conto 8.5 Hitung galat pe langka metode PDB y + = y + / (3 f - 6 f - + 5 f - ) dan tentukan ode metodenya. Penyelesaian: Hampian : y + = y + / (3 f - 6 f - + 5 f - ) Sejati : Y + Uaikan y + di sekita : 3 f = 3 f -6 f - = -6 ( f - f ' + ½ f " - 3 /6 f "' + ) 5 f - = 5 ( f - f ' + 4 / f "- 8 3 /6 f "' + ) + 3 f - 6 f - + 5 f - = f + 6 f ' + f " - 4 / 6 3 f "' + Uaikan Y + di sekita : y + = y + / (3 f - 6 f - + 5 f - ) = y + / ( f + 6f ' + f " - 4 / 6 3 f "' + ) = y + f + ½ f ' + / 6 3 f " - / 3 4 f "' +... Y + = y + y ' + / y " + 3 /6 y "' + 4 /4 y (4) + = y + f + / f ' + / 6 3 f " + / 4 4 f "' + Galat pe langka E p = Y + - y + = / 4 4 f "' + / 3 4 f "' +... = 9 / 4 4 f "' +... = 9 / 4 4 f "'(t), - < t < + Ode metode = 4 - = 3 398 Metode Numeik

8.8 Metode Runge-Kutta Penyelesaian PDB dengan metode deet Taylo tidak paktis kaena metode tesebut membutukan peitungan tuunan f(, y). Lagipula, tidak semua fungsi muda diitung tuunannya, teutama bagi fungsi yang bentuknya umit. Semakin tinggi ode metode deet Taylo, semakin tinggi tuunan fungsi yang aus diitung. Kaena petimbangan ini, metode deet Taylo yang beode tinggi pun tidak dapat dapat diteima dalam masala paktek. Metode Runge-Kutta adala altenatif lain dai metode deet Taylo yang tidak membutukan peitungan tuunan. Metode ini beusaa mendapatkan deajat ketelitian yang lebi tinggi, dan sekaligus mengindakan kepeluan mencai tuunan yang lebi tinggi dengan jalan mengevaluasi fungsi f(, y) pada titik tepili dalam setiap selang langka [CON80]. Metode Runge-Kutta adala metode PDB yang paling popupe kaena banyak dipakai dalam paktek. Bentuk umum metoda Range-Kutta ode-n iala: y + = y + a k + a k +... + a n k n (P.8.4) dengan a, a,..., a n adala tetapan, dan k = f (, y ) k = f ( + p, y + q k ) k 3 = f ( + p, y + q k + q k )... k n = f ( + p n-, y + q n-, k + q n-, k +... + q n-, n- k n- ) Nilai a i, p i, q ij dipili sedemikian upa seingga meminimumkan galat pe langka, dan pesamaan (P.8.4) akan sama dengan metode deet Taylo dai ode setinggi mungkin.. Galat pe langka metode Runge-Kutta ode-n : O( n+ ) Galat longgokan metode Runge-Kutta ode-n : O( n ) Ode metode = n Bab 8 Solusi Pesamaan Difeensial Biasa 399

8.8. Metode Runge-Kutta Ode Satu Metode Runge-Kutta ode satu bebentuk k = f (, y ) y + = y + (a k ) (P.8.5) Galat pe langka metode R-K ode satu adala O( ). Galat longgokan metode R-K ode satu adala O(). Yang temasuk ke dalam metode Runge-Kutta ode satu iala metode Eule: k = f (, y ) y + = y + k (dalam al ini a = ) 8.8. Metode Runge-Kutta Ode Dua Metode Runge-Kutta ode dua bebentuk k = f (, y ) k = f ( + p, y + q k ) y + = y + (a k + a k ) (P.8.6) Galat pe langka metode Runge-Kutta ode dua adala O( 3 ). Galat longgokan metode Runge-Kutta ode dua adala O( ). Nilai a, a, p, dan q ditentukan sebagai beikut: Misalkan f = f (,y ) f (, y ) f =, dan f y = f (, y ) y Uaikan k ke dalam deet Taylo di sekita (, y ) sampai suku ode satu saja: k = f ( + p, y + q k ) = ( f + p f + q k f y ) = ( f + p f + q f f y ) = ( f + ( p f + q ff y )) Sedangkan k tidak pelu diuaikan kaena suda beada dalam bentuk (, y ). 400 Metode Numeik

Jadi, y + = y + a k + a k = y + a f + a f + a ( p f + q ff y ) = y + (a + a ) f + a ( p f + q ff y ) (P.8.7) Uaikan Y + sejati di sekita sampai suku ode dua saja: Y + = y + y ' + / y " (P.8.8) Mengingat y ' = f(,y ) = f dan y " = f '(, y ) = = = df f ( y ), d = f + f y f = f + ff y d f + d y dy d maka pesamaan (P.8.8) menjadi y + = y + f + / ( f + f f y ) (P.8.9) Galat pe langka metode adala E p = (P.8.9) - (P.8.7): = { y + f + / ( f + f f y ) } - { y + (a + a ) f + a ( p f + q f f y ) } = { f + / ( f + ff y ) } - { (a + a ) f + a ( p f + q ff y ) } Dengan membuat galat pe langka E p = 0, 0 = { f + / ( f + f f y ) } - { (a + a ) f + a ( p f + q f f y ) } Bab 8 Solusi Pesamaan Difeensial Biasa 40

atau f + / ( f + f f y ) = (a + a ) f + a ( p f + q f f y ) (P.8.30) Aga uas kii dan uas kanannya sama, ausla a + a = a p = / a q = / Kaena sistem pesamaan di atas tedii atas tiga pesamaan dengan empat peuba yang tidak diketaui, maka solusinya tidak unik, dengan kata lain, solusinya banyak. Solusi yang unik anya dapat dipeole dengan membeikan sebua peuba dengan sebua aga. Misalkan ditentukan nilai a = t, t R, maka a = a = t p = q = a a = = t t Kaena kita dapat membeikan sembaang nilai t, beati metode Runge-Kutta Ode dua tidak teingga banyaknya. Conto metode Runge-Kutta ode dua adala metode Heun, yang dalam al ini a = /, a = /, p = q = Dalam bentuk Runge-Kutta ode, metode Heun dapat ditulis sebagai k = f(,y ) k = f( +, y + k ) y + = y + / (k + k ) Pogam Heun suda pena kita tulis (Pogam 8.). Sekaang pogam tesebut kita tulis lagi dalam bentuk Runge-Kutta ode menjadi Pogam 8.4 beikut ini. 40 Metode Numeik

Pogam 8.4 Metode Heun function y_heun(0, y0, b, :eal):eal; {mengitung y(b) dengan metode Heun pada PDB y'=f(,y); y(0)=y0 } va, n: intege;, y, y_s, _s : eal; begin n:=(b - 0)/; {jumla langka} y:=y0; {nilai awal} :=0; fo := to n do begin k:=*f(,y); k:=*f(+, y+k); y:=y + (k + k)/; :=+; end; y_heun:=y; end; Conto metode Runge-Kutta ode dua lainnya iala metode Ralston, yang dalam al ini a = /3 a = /3, p = q = 3/4 seingga metode Ralston dapat ditulis dalam bentuk Runge-Kutta ode dua sebagai k = f (, y ) k = f ( + 3 / 4, y + 3 / 4 k ) y + = y + ( / 3 k + / 3 k ) (P.8.3) Sepintas, metode Runge-Kutta tampaknya umit, tapi sebenanya metode Runge- Kutta muda dipogam. Dengan peitungan tangan, seingnya mengitung f(, y) meupakan pekejaan yang melelakan. Tetapi dengan kompute, al ini tidak menjadi masala. Bab 8 Solusi Pesamaan Difeensial Biasa 403

8.8.3 Metode Runge-Kutta Ode Tiga Metode Runge-Kutta yang tekenal dan banyak dipakai dalam paktek adala metode Runge-Kutta ode tiga dan metode Runge-Kutta ode empat. Kedua metode tesebut tekenal kaena tingkat ketelitian solusinya tinggi (dibandingkan metode Runge-Kutta ode sebelumnya, muda dipogam, dan stabil (akan dijelaskan kemudian). Metode Runge-Kutta ode tiga bebentuk: k = f (, y ) k = f ( + /, y + / k ) k 3 = f ( +, y - k + k ) y + = y + / 6 ( k + 4k + k 3 ) (P.8.3) Galat pe langka metode R-K ode tiga adala O( 4 ). Galat longgokan metode R-K ode tiga adala O( 3 ). Pogam 8.5 Metode Runge-Kutta Ode 3 function y_rk3(0, y0, b, :eal):eal; {mengitung y(b) dengan metode Runge-Kutta ode tiga pada PDB y'=f(,y); y(0)=y0 } va, n: intege;, y, k, k, k3: eal; begin n:=(b - 0)/; {jumla langka} y:=y0; {nilai awal} :=0; fo := to n do begin k:=*f(, y); k:=*f( + /, y + k/); k3:=*f( +, y - k + *k); y:=y + (k + 4*k + k3)/6 { nilai y() } :=+; { titik beikutnya} end; y_rk3:=y; end; 404 Metode Numeik

8.8.4 Metode Runge-Kutta Ode Empat Metode Runge-Kutta ode empat adala k = f (, y ) k = f ( + /, y + / k ) k 3 = f ( + /, y + / k ) k 4 = f ( +, y + k 3 ) y + = y + / 6 (k + k + k 3 + k 4 ) (P.8.33) Galat pe langka metode Runge-Kutta ode empat adala O( 3 ). Galat longgokan metode Runge-Kutta ode empat adala O( ). Pogam 8.6 Metode Runge-Kutta Ode 4 function y_rk4(0, y0, b, :eal):eal; {mengitung y(b) dengan metode Runge-Kutta ode empat pada PDB y'=f(,y); y(0)=y0 } va, n: intege;, y, k, k, k3, k4: eal; begin n:=(b - 0)/; {jumla langka} y:=y0; {nilai awal} :=0; fo := to n do begin k:=*f(, y); k:=*f( + /, y + k/); k3:=*f( + /, y + k/); k4:=*f( +, y + k3); y:=y + (k + *k + *k3 + k4)/6 { nilai y() } :=+; { titik beikutnya} end; y_rk4:=y; end; Bab 8 Solusi Pesamaan Difeensial Biasa 405

Conto 8.6 Diketaui PDB = dy + y d ; y(0) = 0 Tentukan y(0.0) dengan metode Runge-Kutta ode tiga. Gunakan ukuan langka = 0.0. Penyelesaian: Diketaui a = 0 = 0 b = 0.0 = 0.0 maka n = (0.0-0)/0.0 = (jumla langka) Langka: 0 = 0 y 0 = 0 = 0.0 y =? k = f( 0, y 0 ) = (0.0) ( + 0 ) = 0.0 k = f( 0 + /, y 0 + / k ) = (0.0) ( + 0.05 ) = 0.005 k 3 = f( 0 +, y 0 - k + k ) = (0.0) ( + 0.005 ) = 0.00 y = y 0 + / 6 ( k + 4k + k 3 ) = 0 + / 6 (0.0 + 4 0.005 + 0.00) = 0.0034 = 0.0 y =? k = f(,y ) = (0.0)( + 0.0034 ) = 0.00 k = f( + /, y + / k ) = (0.0)( + 0.50845 ) = 0.08 k 3 = f( +, y - k + k ) = (0.0) ( + 0.0389 ) = 0.046 y = y + / 6 (k + 4k + k 3 ) = 0.0034 + / 6 (0.00 + 4 0.08 + 0.046) = 0.07 Jadi, y(0.0) 0.07. Nilai sejati y(0.0) = 0.07. Metode Runge-Kutta ode yang lebi tinggi tentu membeikan solusi yang semakin teliti. Tetapi ketelitian ini aus dibaya dengan jumla komputasi yang semakin banyak. Jadi ada timbal-balik (tade-off) dalam memili suatu metode Runge-Kutta. 406 Metode Numeik

8.9 Ekstapolasi Ricadson Ekstapolasi Ricadson dapat diteapkan untuk mempebaiki solusi PDB dan mempekiakan galatnya, asal kita mengetaui ode metode PDB. Mula-mula solusi PDB diitung dengan ukuan langka. Kemudian solusinya diitung lagi tetapi dengan ukuan langka. Maka, solusi yang lebi baik adala y() = y(; ) + [ y(; ) - y(; )] (P.8.34) p yang dalam al ini, y(; ) = solusi PDB di dengan ukuan langka y(; ) = solusi PDB di dengan ukuan langka y() = solusi PDB yang lebi baik. p = ode metode PDB yang digunakan taksian galatnya adala ε = p [ y(; ) - y(; )] (P.8.35) Bila kita tidak mengetaui p, maka nilai pekiaan ketiga, y(; 4) memungkinkan kita menggunakan ekstapolasi Aitken sebagai pengganti ekstapolasi Ricadson. Liat kembali Bab Integasi Numeik. 8.0 Metode Banyak-Langka Sampai sejau ini kita tela mengenal metode Eule, metode Heun, metode deet Taylo, dan metode Runge-Kutta. Semua metode tesebut dikelompokkan ke dalam metode satu-langka (one-step), sebab untuk menaksi nilai y( + ) dibutukan satu bua taksian nilai sebelumnya, y( ). Kelompok metode PDB yang lain iala metode banyak-langka (multi-step). Pada metode banyak-langka, pekiaan nilai y( + ) membutukan bebeapa taksian nilai sebelumnya, y( ), y( - ), y( - ),.... Yang temasuk ke dalam metode banyak-langka adala metode pedicto-coecto. Metode Heun adala metode pedicto-coecto, namun metode Heun bukanla metode banyak-langka, sebab taksian nilai y( + ) anya didasakan pada taksian y( ). Bab 8 Solusi Pesamaan Difeensial Biasa 407

Tujuan utama metode banyak-langka adala menggunakan infomasi dai bebeapa titik sebelumnya, y, y -, y -,..., untuk mengitung taksian nilai y + yang lebi baik. Bebeapa metode pedicto-coecto (P-C) yang temasuk ke dalam metode banyak-langka. Pada metode) P-C, kita menaksi nilai y + dai y, y -, y -,..., dengan pesamaan pedicto, dan kemudian menggunakan pesamaan coecto untuk mengitung nilai y + yang lebi baik (impove). pedicto : Menaksi y + dai y, y -, y -,... coecto : Mempebaiki nilai y + dai pedicto Metode P-C yang banyak ditulis dalam liteatu dan kita baas di sini adala:. Metode Adams-Basfot-Moulton.. Metode Milne-Simpson 3. Metode Hamming 8.0. Metode Adams-Basfot-Moulton Tinjau PDB ode satu y'() = f(, y()) Integasikan kedua uas pesamaan dai sampai + : + f (, y( )) d = + y ' ( ) d = y() + = y( + ) - y( ) = y + - y Nyatakan y + di uas kii pesamaan dan suku lainnya di uas kanan: y + = y + + f (, y( )) d (P.8.34) Pesaman (P.8.34) ini adala teoema dasa kalkulus (liat Bab, Integal), yang meupakan dasa penuunan pesamaan pedicto dan pesamaan coecto. 408 Metode Numeik

Bab 8 Solusi Pesamaan Difeensial Biasa 409 Pesamaan Pedicto [MAT93] Pesamaan pedicto dipeole dengan mengampii fungsi f(, y()) ke dalam polinom intepolasi deajat tiga. Untuk itu, dipelukan empat bua titik yang bejaak sama, yaitu: ( -3, f -3 ), ( -, f - ), ( -, f - ), (, f ). Peatikan Gamba 8.6. + - - -3 Gamba 8.6 Pembentukan pesaman pedicto Dai empat bua titik tesebut, bentukla polinom intepolasi Lagange deajat tiga: f(, y()) ( )( )( ) ( )( )( ) f 3 3 3 3 + ( )( )( ) ( )( )( ) f 3 3 + ( )( )( ) ( )( )( ) f 3 3 + ( )( )( ) ( )( )( ) 3 3 f

3 6-3 ( - - )( - - )( - ) f -3 + 3 ( - -3 )( - - )( - ) f - + 3 ( - -3 )( - - )( - ) f - ( - -3 )( - - )( - - ) f (P.8.35) Sulikan (P.8.35) ke dalam pesamaan (P.8.34). Hasil integasi pesamaan (P.8.34) membeikan: y * + = y + ( -9f-3 + 37 f - -59 f - + 55 f ) 4 (P.8.36) yang meupakan pesamaan pedicto. Pesamaan Coecto [MAT93] Pesamaan coecto dibentuk dengan caa yang sama sepeti pada pesamaan pedicto. Tetapi, titik-titik yang dipelukan untuk pembentukan polinom intepolasi (Gamba 8.7) iala ( -, f - ), ( -, f - ), (, f ), dan titik bau ( +, f * + ) = ( +, f( +, y* + )) - - + Gamba 8.7 Pembentukan pesaman coecto 40 Metode Numeik

Dai empat bua titik tesebut, bentukla polinom intepolasi Lagange deajat tiga. Kemudian, integasikan polinom intepolasi tesebut dalam selang [, + ], untuk membeikan y + = y + ( f- - 5 f - + 9 f + 9f * +) (P.8.37) 4 yang meupakan pesamaan coecto. Jadi, metode Adams-Basfot-Moulton dapat diingkas sebagai beikut: pedicto : y * + = y + / 4 ( -9f -3 + 37 f - -59 f - + 55 f ) coecto : y + = y + / 4 ( f - - 5 f - + 9 f + 9f * +) (P.8.38) (P.8.39) Galat pe langka metode Adams-Basfot-Moulton adala dalam ode O( 5 ), yaitu: pedicto : E p = Y + - y* + 5 / 70 5 y (5) (t), -3 < t < + coecto : E p = Y + - y + -9 / 70 5 y (5) (t), -3 < t < + dan galat longgokan adala dalam ode O( 4 ). Kaena itu, metode Adams-Basfot- Moulton di atas dinamakan juga metode Adams-Basfot-Moulton ode-4. Metode yang lebi enda adala metode Adams-Basfot-Moulton ode-3: pedicto : y* + = y + / (3 f - 6 f - + 5f - ) coecto : y + = y + / ) (5 f* + + 8 f - f - ) Pada waktu penuunan pesamaan pedicto Adams-Basfot-Mouton ode-3 ini, polinom intepolasinya memelukan tiga bua titik, yaitu ( -, f - ), ( -, f - ), (, f ), sedangkan pada waktu penuunan pesamaan pedicto, polinom intepolasinya memelukan titik-titik ( -, f - ), (, f ), ( +, f * +). Galat pe langkanya adala dalam ode O( 4 ), yaitu: pedicto : E p = Y + - y* + 9 / 4 4 y"(t), - < t < + coecto : E p = Y + - y + - / 4 4 y"(t), - < t < + dan galat longgokan adala dalam ode O( 3 ). Bab 8 Solusi Pesamaan Difeensial Biasa 4

Caa menuunkan pesamaan galat metode pedicto-coecto sama sepeti caa yang suda dijelaskan sebelumnya. Misalnya kita akan menuunkan pesamaan galat metode Adams-Basfot-Moulton ode-3 sebagai beikut: Uaikan pesamaan pedicto, coecto dan y + sejati di sekita. Pedicto Hampian : y* + = y + / (3 f - 6 f - + 5 f - ) = y + / [3 f - 6( f - f ' + / f " - / 6 3 f "' + ) + 5(f - f ' + f " - 8 / 6 3 f "' + )] = y + / [f + 6f ' + f " - 4 3 f "' + ] = y + f + / f ' + / 6 3 f " - / 3 4 f "' + Sejati: Y + = y + y' + / y " + / 6 3 y "' + / 4 4 y (4) + Galat pe langka pedicto: = y + f + / f ' + / 6 3 f " + / 4 4 f "' + E p = sejati - ampian = / 4 4 f "' + / 3 4 f "' + = 9 / 4 4 f "' = 9 / 4 4 y"(t), - < t < + = O( 4 ) Coecto Hampian : y + = y + / (5f* + + 8f - f - ) = y + / [5( f + f ' + / f " + / 6 3 f "' + ) + 8 f ( f - f ' + / f " - / 6 3 f "' + )] = y + / (f + 6f ' + f " + 3 f "' + ) = y + f + / f ' + / 6 3 f " + / 4 f "' + Galat pe langka coecto: E p = sejati - ampian = / 4 4 f "' - / 4 f "' + 4 Metode Numeik

= - / 4 4 f "' = - / 4 4 y"(t), - < t < + = O( 4 ) Ode metode = 4 - = 3. 8.0. Metode Milne-Simpson Metode Milne-Simpson didasakan pada integasi f(, y()) pada selang [ -3, + ]: y( + ) = y( -3 ) + + f (, y( )) d (P.8.40) 3 Pesamaan pedicto dan coecto metode Milne-Simpson adala pedicto : y* + = y -3 + 4 / 3 (f - - f - + f ) (P.8.4) coecto : y + = y - + / 3 ( f - + 4 f + f + ) (P.8.4) dan galat pe langkanya adala dalam ode O( 5 ), yaitu: pedicto : E p = Y + - y* + 8 5 90 y (5) (t) coecto : E p = Y + - y + untuk -3 < t < +. 5 90 y (5) (t) 8.0.3 Metode Hamming Pesamaan pedicto dan coecto metode Hamming adala pedicto : y* + = y -3 + 4 / 3 ( f - - f - + f ) (P.8.43) coecto : y + = y 8 + 9y 8 + 3 (-f- + f + f + ) 8 (P.8.44) Bab 8 Solusi Pesamaan Difeensial Biasa 43

8.0.4 Posedu Pendauluan PDB anya mempunyai satu nilai awal, yaitu y 0 = y( 0 ). Dengan demikian, metode banyak-langka tidak swa-mulai (self-stat), seingga tidak dapat diteapkan langsung, sebab metode tesebut memelukan bebeapa bua nilai awal. Inila kelemaan metode banyak-langka. Misalkan pedicto mempunyai pesamaan y* + = y + / (3f - 6f - + 5f - ) Untuk mengitung y* 3, kita aus mempunyai nilai y 0, y, dan y aga nilai f 0 = f( 0, y 0 ), f = f(, y ), f = f(, y ) dapat ditentukan. Untuk mendapatkan bebeapa nilai awal yang lain, kita aus melakukan posedu pendauluan (stating pocedue) dengan metode PDB yang bebas. Metode PDB yang seing dijadikan sebagai posedu pendauluan adala: - metode Eule - metode Runge-Kutta - metode deet Taylo Jadi, untuk conto pedicto di atas, y dan y diitung telebi daulu dengan sala satu posedu pendauluan. Selanjutnya, metode P-C dapat dipakai untuk mengitung y 3, y 4,..., y n. Pogam 8.7 Metode Adams-Basfot-Moulton function y_adams_basfot_moulton(0, y0, b, :eal):eal; {mengitung y(b) dengan metode Adams_Basfot_moulton pada PDB y'=f(,y); y(0)=y0 } va, n: intege;, y, y0, y, y, y3 : eal; begin n:=(b-0)/; {jumla langka} y0:=y0; {nilai awal dai PDB} {Posedu pendauluan untuk mengitung nilai awal lain, y, y, y3} y:=y_rk3(0, y0, 0+, ); {y()} y:=y_rk3(0, y0, 0+*, ); {y()} y3:=y_rk3(0, y0, 0+3*, ); {y(3)} :=0 + 3*; { 3 } fo :=4 to n do begin y:=y3 + /4*(-9*f(-3*, y0) + 37*f(-*, y) - 59*f(-, y) + 55f(, y3); y:=y3 + /4*(f(-*, y)-5*f(-, y) + 9*f(,y3) + 9*f(+,y); y0:=y; y:=y; 44 Metode Numeik

y:=y3; y3:=y; :=+; ( titik beikutnya } end; y_adams_basfot_moulton:=y; end; 8.0.5 Keidealan Metode Pedicto-Coecto Metode pedicto-coecto dikatakan ideal jika galat pe langka pedicto mempunyai ode yang sama dengan galat pe langka coecto: galat pe langka pedicto : Y + - y * + A p galat pe langka coecto : Y + - y + αa p dengan α adala tetapan yang diketaui. Metode Adams-Basfot-Moulton, metode Milne-Simpson, dan metode Hamming adala metode P-C yang ideal. Metode Heun adala metode P-C yang tidak ideal, kaena galat pe langka pedicto : E p = Y + - y + y" (t) A galat pe langka coecto : E p = Y + - y + - y ''' (t) 3 B 3 Jika sebua metode P-C ideal, kita dapat mempeole nilai y + yang lebi baik (impove) sebagai beikut: y + - y* + = A p (P.8.45) y + - y + = αa p (P.8.46) dengan y + adala taksian yang lebi baik dai pada y +. Rumus y + dapat dipeole dengan membagi pesamaan (P.8.45) dengan pesamaan (P.8.46): y + y + y y * + + = A p αa p = α y + - Y + = α y + - α y* + Bab 8 Solusi Pesamaan Difeensial Biasa 45

y + ( - α) = y + - α y* + y + = y + α y α * + y + = y + α - α y α * + + * α y + α y + ( ) + y = α - α y α * + + y α + ( ) y = α + y + α - α y α * + y + = y + + α α (y + - y* + ) (P.8.47) Suku α / (-α) ( y + - y* + ) pada pesamaan (P.8.47) meupakan taksian galat pe langka untuk mengitung y +, dan menyatakan fakto koeksi teadap nilai y +. Jadi, untuk mendapatkan taksian nilai y + yang lebi baik, tambakan y + dengan fakto koeksi tesebut. Conto 8.7 Tentukan pekiaan galat pe langka untuk nilai y + yang lebi baik dengan metode Adams-Basfot-Moulton. Penyelesaian: galat pe langka pedicto : E p = y + - y * + 5 / 70 y (5) (t) 5 galat pe langka coecto : E p = y + - y + -9 / 70 y (5) (t) 5 Dai pesamaan galat di atas, dipeole A = 5/70 dan αa = -9/70 Nilai α ditentukan sebagai beikut: α A = -9/70 α(5/70) = (-9/70) α = -9/5 46 Metode Numeik

Seingga, y = y + + ( 9/ 5 ) + ( y + - y* + ) + 9/ 5 9 = y + - ( y+ - y* + ) 70 Jadi, taksian galat pe langka untuk nilai y + adala E p -9 / 70 ( y + - y* + ) 8. Pemilian Ukuan Langka yang Optimal Ukuan langka adala pesoalan yang penting pada metode PDB yang bedasakan langka pe langka ini. Jika telalu kecil, jumla langkanya semakin banyak dan galat pembulatannya semakin besa. Sebaliknya, jika telalu besa, galat pemotongannya juga betamba besa kaena galat pemotongan sebanding dengan. Timbul petanyaan: beapaka ukuan langka yang optimal aga galat pe langka metode PDB dapat dipetaankan kuang dai ε? Misalkan kita mengitung solusi PDB dengan metode Runge-Kutta ode-4. Kita ingin galat pe langkanya kuang dai ε. Galat pe langka metode Runge-Kutta ode-4 bebentuk E p () = B 5 (P.8.48) dengan B adala konstanta yang begantung pada soal yang dibeikan. Aga E t () kuang dai ε, B 5 < ε maka ukuan langka ausla < (ε/b) /5 (P.8.49) Konstanta B ditentukan dengan caa pecobaan sebagai beikut:. Hitung y( ) dengan ukuan langka (disimbolkan dengan y( ;). Galat pe langkanya dinyatakan ole pesamaan (P.8.48). Bab 8 Solusi Pesamaan Difeensial Biasa 47

. Hitung kembali y( ) dengan ukuan langka / (disimbolkan dengan y( ;/). Jadi, pelu dua langka untuk mengitung y( ) dengan galat tiap langka pe langka seluunya adala: E p (/) + E p (/) = B(/) 5 + B(/) 5 E p (/) = B(/) 5 = 5 B 6 (P.8.50) 3. Kuangi (P.8.48) dengan (P.8.50): E p () - E p (/) = B() 5 - / 6 B 5 = 5 / 6 B 5 (P.8.5) 4. Ruas kii pesamaan (P.8.5) diitung sebagai E p () - E p (/) = y( ;) - y( ;/) (P.8.5) 5. Samakan pesamaan (P.8.5) dengan pesamaan (P.8.5): 5 / 6 B 5 = y( ;) - y( ;/) seingga dipeole B = 5 6 y( ; ) y( ; / ) 5 (P.8.53) 6. Sulikan nilai B dalam ketidaksamaan (P.8.49) seingga dipeole batas maksimum nilai ukuan langka. Conto 8.8 Dibeikan PDB y' = y/( + ), y(0)= Tentukan ukuan langka aga galat pe langka kuang dai 0.0000. Penyelesaian: 48 Metode Numeik

Diketaui: 0 = 0 y 0 = ε = 0.0000 Dengan ukuan langka = dan = 0.5, metode Runge-Kutta ode-4 mengasilkan y = y (; ) = 0.4566667 y = y (; 0.5) = 0.4559973 Nilai B diitung dengan pesamaan (P.8.53): B = 6 ( 0.4566667 0.4559973) 5 5 = 0.00063 Jadi, ukuan langka yang optimal aga galat pe langka metode Runge-Kutta ode-4 kuang dai ε iala < (0.0000/0.00063) /5 = 0.44 8. Sistem Pesamaan Difeensial Dalam bidang sains dan ekayasa, pesamaan difeensial banyak muncul dalam bentuk simultan, yang dinamakan sistem pesamaan difeensial, sebagai beikut: dy y' = = f (, y, y,, y n ), y ( 0 ) = y 0 d dy y' = = f (, y, y,, y n ), y ( 0 ) = y 0 d M y' n = dy n = fn (, y, y,, y n ), y n ( 0 ) = y n0 (P.8.54) d Sistem pesamaan difeensial tesebut dapat ditulis dalam notasi vekto sebagai beikut: y' = f (, y), y( 0 ) = y 0 (P.8.55) yang dalam al ini, Bab 8 Solusi Pesamaan Difeensial Biasa 49

y y' f y y' f y 0 y =., y' =., f =., y 0 =......... y n y' n f n y y 0 n 0 Semua metode yang tela dijelaskan untuk pesamaan tunggal (Eule, Runge- Kutta, dll.) dapat diteapkan pada sistem pesamaan di atas. Conto 8.9 Diketaui sistem PDB ode- dy = -0.5 y, y(0) = 4 dt dz dt = 4-0.3z - 0. y, z(0) = 6 Hitung y(0.5) dan z(0.5) dengan (a) metode Eule, dan (b) metode Runge-Kutta ode 3. Ambil = 0.5. Penyelesaian: y = y y', y' = z z', f = f f 0.5y = 4 0.3z 0.y y 0 = 4 6 Sistem PDB di atas dapat ditulis menjadi y' = f (t, y), y(t 0 ) = y 0 (a) Dengan metode Eule y + = y + f( t, y ): y + = y + f (t, y, z ) z + = z + f (t, y, z ) t 0 = 0 y 0 = 4 dan z 0 = 6 t 0 = 0.5 y = y(0.5) = y 0 + f (t 0, y 0, z 0 ) = 4 + (0.5){(-0.5)(4)} = 3 z = z(0.5) = z 0 + f (t 0, y 0, z 0 ) = 6 + (0.5){4 - (0.3)(6) - (0.)(4)} = 6.9 40 Metode Numeik

(b) Dengan metode Runge-Kutta ode-3, seingga seingga k = f (t, y ), k = f (t + /, y + k /) k = f (t +, y - k + k ) y + = y + (/6)(k + 4k + k 3 ) t 0 = 0 y 0 = 4 t = 0.5 y =? k = f (t 0, y 0, z 0 ) = 0.5 {(-0.5)(4)} = - k = f (t 0 + /, y 0 + k /, z 0 + k /) = (0.5)f (0.5, 3.5, 5.5) = (0.5){(-0.5)(3.5)} = -0.875 k 3 = f (t 0 +, y 0 - k + k, z 0 - k + k ) = 0.5 f (0.5, 3.5, 6.85) = 0.5{(-0.5)(3.5)} = -0.85 y = y(0.5) = y 0 + / 6 (k + 4k + k 3 ) = 4 + / 6 {- + 4(-0.875) + (-0.85)} = 3.4583 t 0 = 0 z 0 = 6 t = 0.5 z =? k = f (t 0, y 0, z 0 ) = 0.5 {4 - (0.3)(6) - (0.)(4)} = 0.9 k = f (t 0 + /, y 0 + k /, z 0 + k /) = (0.5) f (0.5, 4.45, 6.45) = (0.5){4 - (0.3)(6.45) - (0.)(4.45)} = 0.8 k 3 = f (t 0 +, y 0 - k + k, z 0 - k + k ) = 0.5 f (0.5, 4.7, 6.7) = 0.5{4 - (0.3)(6.7) - (0.)(4.7)} = 0.756 z = z(0.5) = z 0 + (/6)(k + 4k + k 3 ) = 6 + (/6) {0.9 + 4(0.8) + 0.756} = 6.86 Bab 8 Solusi Pesamaan Difeensial Biasa 4

8.3 Pesamaan Difeensial Ode Lanjut Pesamaan diffeensial ode lanjut adala pesaman difeensial dengan ode yang lebi besa dai satu. Pesamaan difeensial ini dapat ditulis kembali sebagai sistem pesamaan difeensial ode-. Misalkan kepada kita dibeikan PDB ode- y" = f(, y, y') dengan nilai awal y( 0 ) = y 0 dan y'( 0 ) = z 0 Untuk menguba PDB ode- tesebut menjadi sistem PDB ode-, misalkan maka y' = z z' = y" = f(, y, y') = f(, y,z) ; y( 0 ) = y 0 dan z( 0 ) = z 0 Dengan demikian, pesamaan y" = f(, y, y') dapat ditulis menjadi sistem pesamaan difeensial biasa: dy = z, y(0 ) = y 0 d dz d = f(, y, y') = f(, y, z), z( 0 ) = z 0 atau dalam notasi vekto: y' = f(, y) ; y( 0 ) = y 0 yang dalam al ini y = y z z, y' = f = f (, y, z) y0, y( 0 ) = z0 Selanjutnya sistem pesamaan difeensial biasa ini sapat diselesaikan sepeti pada Conto 8.9 tedaulu. 4 Metode Numeik

Conto 8.0 Nyatakan PDB ode- beikut: y" - 3y' - y = 0 ; y(0) = dan y'(0) = 0.5 ke dalam sistem pesamaan difeensial biasa ode-. Penyelesaian: Diketaui PDB ode-: y" = 3y' - y = f(, y, y') Misalkan y' = z maka dan z' = y" = f(, y, y') = f(, y, z) = 3z - y y(0) =, z(0) = 0.5; seingga dipeole sistem PDB ode- dy = z, y(0) = d dz d atau dalam notasi vekto: = 3z - y, z(0) = 0.5 y' = f (, y) ; y(0) = y 0 yang dalam al ini, y = y z z, f = 3z y, y 0 = 0.5 Bab 8 Solusi Pesamaan Difeensial Biasa 43

Conto 8. Nyatakan PDB ode-3 beikut: y"' - + y - y' + 3y" = 0 ; y(0) = 0; y'(0) = 0.5, y"(0) = ke dalam sistem pesamaan difeensial biasa ode-. Penyelesaian: y"' = - y + y' - 3y" = f(, y, y', y") Misalkan y' = z dan maka dan y" = z' = t t' = y"' = f(, y, y', y") = f(, y, z, t) = - y + z - 3t y(0) = 0, z(0) = 0.5, t(0) = ; seingga dipeole sistem PDB ode-: dy = z, y(0) = 0 d dz d dt d atau dalam notasi vekto = t, z(0) = 0.5 = - y + z - 3t, t(0) = y' = f (, y), y(0) = y 0 yang dalam al ini, y = y z t, f = y z t + z 3t, y(0) = 0 0.5 44 Metode Numeik

Conto 8. Nyatakan PDB ode- beikut: "(t) - 5'(t) - 3(t) = 45 et, (0.5) = dan '(0.5) = ke dalam sistem PDB ode- Penyelesaian: "(t) = 45 e t 5 3 + '(t) + (t) Misalkan '(t) = z(t) maka 45 z'(t) = "(t) = f(t, (t), z(t)) = e t 5 3 + z(t) + (t) dan (0) =, z(0) = ; seingga dipeole sistem PDB ode-: d = z(t), (0.5) = ; dt dz dt = atau dalam notasi vekto: 45 e t 5 3 + z(t) + (t), z(0.5) = y' = f(t, y), y(0.5) = y 0 yang dalam al ini, y = ( t) z( t), f = 45 e z( t) t 5 3, y (0.5) = + z( t) + ( t) Bab 8 Solusi Pesamaan Difeensial Biasa 45

8.4 Ketidakstabilan Metode PDB Pada bab-bab sebelumnya kita tela menyingggung ketidakstabilan pada metode numeik. Kaena solusi PDB dipeole secaa lelaan, yang setiap lelaan mengasilkan galat pemotongan, maka ada kemungkinan solusi pada lelaan teaki menyimpang cukup beati teadap solusi sejatinya. Untuk jelasnya peatikan metode PDB beikut: y + = y - + f(, y ) (P.8.56) Dengan bantuan deet Taylo, galat pe langka metode ini adala dalam ode O( 3 ), yang beati metode PDB tesebut beode dua. Kesimpulan sementaa kita, metode (P.8.56) mengasilkan solusi yang lebi teliti daipada solusi dengan metoda Eule (yang beode satu). Bila metode (P.8.56) diteapkan pada PDB dy y' = d = - αy, y(0) = y 0 > 0 dan α > 0 kita mempeole asil yang dipeliatkan ole Gamba 8.8. y solusi ampian, y y + f(, y + = solusi sejati, y = y 0 e - ) solusi ampian besesuaian dengan solusi sejati solusi ampian beosilasi Gamba 8.8 Ketidakstabilan metode PDB Peatikan bawa solusi analitik PDB ini adala y = y 0 e -α, yang mendekati nol dengan peningkatan. Tetapi solusi numeiknya menjadi tidak stabil dengan 46 Metode Numeik

peningkatan. Ketidakstabilan ini disebabkan ole penumpukan galat pe langka yang "tumbu" secaa tidak tebatas dengan meningkatnya jumla langka. Untuk jumla langka yang sedikit, solusinya masi stabil. Tetapi dengan meningkatnya jumla langka, solusinya menjadi tidak stabil. Bakan, untuk jumla langka yang tidak teingga, solusinya tumbu secaa tidak tebatas. Jadi, ada metode PDB yang anya baik untuk yang kecil, tetapi buuk untuk yang besa. Ketidakstabilan ditandai ole solusi yang beosilasi, tetapi ini tidak selalu demikian. Dalam paktek, indai penggunaan metode yang tidak stabil. Conto metode PDB yang tidak stabil untuk yang besa adala metode Eule dan metode Milne- Simpson. Metode Heun, metode Runge-Kutta ode-3, metode Runge-Kutta ode-4, dan metode Adams-Basfot-Moulton adala metode PDB yang stabil. 8.5 Conto Soal Teapan Pada angkaian listik, aus yang mengali tidakla tetap, tetapi beuba teadap waktu. Tinjau kembali angkaian RLC pada Gamba 8.. Hukum Kicoff menyatakan bawa jumla aljaba dai peubaan tegangan di sekeliling angkaian tetutup adala nol. Selain dalam bentuk PDB ode- (P.8.3), ukum Kicoff kadang-kadang disajikan dalam bentuk PDB ode-: L d dt q dq + R + q/c - E(t) = 0 dt (P.8.57) yang dalam al ini, L adala induktansi (dalam eny), R adala taanan (dalam om), q adala muatan pada kapasito (dalam coulomb), C adala kapsitasitansi (dalam faad), E(t) adala tegangan yang beuba teadap waktu (dalam volt). Pesamaan (P.8.56) adala PDB ode- yang dapat dipeca menjadi sistem PDB ode-: di dt = - Ri/L - q/cl + E(t)/L, i(0) = 0 dq = i, q(0) = 0 (P.8.58) dt Misalkan L = eny, C = 0.5 coulomb, E(t) = E 0 sin ωt, E 0 = volt, ω =.8708 detik, dan R = 0. Hitungla muatan kapasito setela 0 detik dengan metode Eule dan metode Runge-Kutta ode empat (gunakan ukuan langka = Bab 8 Solusi Pesamaan Difeensial Biasa 47

0. detik). Bandingkan jawaban anda dengan solusi analitiknya yang dituunkan sbb : E 0 ω E0 q( t) = sin pt + sin ωt (P.8.59) L( p ω ) p L( p ω ) dengan p = / (LC). Dengan menyulikan besaan-besaan di atas dipeole pesamaan q(t), yaitu : q(t) = -.8708 sin t + sin (.8708t) Penyelesaian: Pesoalan ini adala pencaian solusi PDB di dt = - Ri/L - q/cl + E(t)/L, i(0) = 0 dq = i, q(0) = 0 dt dengan L = eny, C = 0.5 coulomb, E(t) = E 0 sin ωt, E 0 = volt, ω =.8708 detik, dan R = 0. Diminta menentukan q(0), dalam coulomb, dengan metode Eule dan metode Runge-Kutta ode-4. Solusi dengan kedua metode PDB tesebut dipeliatkan ole tabel beikut: Metode Eule q[0.0000000000] = 0.0000000000 q[0.000000000] = 0.0000000000 q[0.000000000] = 0.0000000000 q[0.3000000000] = 0.008599064 q[0.4000000000] = 0.007374706 q[0.5000000000] = 0.0837503 q[0.6000000000] = 0.0354093809 q[0.7000000000] = 0.06000447 q[0.8000000000] = 0.0994750 q[0.9000000000] = 0.36449743 q[.0000000000] = 0.77380495 q[.000000000] = 0.77863746 Metode Runge-Kutta Ode- 4 q[0.0000000000] = 0.0000000000 q[0.000000000] = 0.00033455 q[0.000000000] = 0.004585603 q[0.3000000000] = 0.008397788 q[0.4000000000] = 0.08785508 q[0.5000000000] = 0.0354437446 q[0.6000000000] = 0.0586868743 q[0.7000000000] = 0.0885456437 q[0.8000000000] = 0.44745566 q[0.9000000000] = 0.6535 q[.0000000000] = 0.095097383 q[.000000000] = 0.54809456 Nilai sejati q[0.0000000000]=0.0000000000 q[0.000000000]=0.000306990 q[0.000000000]=0.0045773 q[0.3000000000]=0.00839630 q[0.4000000000]=0.087873479 q[0.5000000000]=0.035449638 q[0.6000000000]=0.058697609 q[0.7000000000]=0.0885634533 q[0.8000000000]=0.45006 q[0.9000000000]=0.65387640 q[.0000000000]=0.095578 q[.000000000]=0.54868346 48 Metode Numeik

q[.000000000] = 0.806504669 q[.3000000000] = 0.3334003 q[.4000000000] = 0.38460480 q[.5000000000] = 0.44777355 q[.6000000000] = 0.45683853 q[.7000000000] = 0.4758736 q[.8000000000] = 0.4767469470 q[.9000000000] = 0.45894608 q[.0000000000] = 0.49766774 q[.000000000] = 0.35857055 q[.000000000] = 0.74304806 q[.3000000000] = 0.68937454 q[.4000000000] = 0.044384075 q[.5000000000] = -0.09608 q[.6000000000] = -0.48767430 q[.7000000000] = -0.4064879707 q[.8000000000] = -0.564653983 q[.9000000000] = -0.759907450 q[3.0000000000] = -0.853390308 q[3.000000000] = -0.96976675 q[3.000000000] = -.0586764 q[3.3000000000] = -.389644 q[3.4000000000] = -.754730 q[3.5000000000] = -.098779945 q[3.6000000000] = -.04364985 q3.7000000000] = -0.9033509087 q[3.8000000000] = -0.737047750 q[3.9000000000] = -0.586484334 q[4.0000000000] = -0.8345939 q[4.000000000] = -0.008553607 q[4.000000000] = 0.869658080 q[4.3000000000] = 0.5965905 q[4.4000000000] = 0.896873730 q[4.5000000000] =.87033 q[4.6000000000] =.450949350 q[4.7000000000] =.675657455 q[4.8000000000] =.849638856 q[.000000000] = 0.98735039 q[.3000000000] = 0.338509555 q[.4000000000] = 0.3765656 q[.5000000000] = 0.39479864 q[.6000000000] = 0.4046503946 q[.7000000000] = 0.400457674 q[.8000000000] = 0.3799573 q[.9000000000] = 0.34006950 q[.0000000000] = 0.864663543 q[.000000000] = 0.3899765 q[.000000000] = 0.57673604 q[.3000000000] = 0.044007565 q[.4000000000] = -0.087053987 q[.5000000000] = -0.04730558 q[.6000000000] = -0.3476399 q[.7000000000] = -0.44054587 q[.8000000000] = -0.548677875 q[.9000000000] = -0.64355457 q[3.0000000000] = -0.70939 q[3.000000000] = -0.77449968 q[3.000000000] = -0.80437880 q[3.3000000000] = -0.809889 q[3.4000000000] = -0.7693004777 q[3.5000000000] = -0.705864733 q[3.6000000000] = -0.6689854 q[3.7000000000] = -0.488793460 q[3.8000000000] = -0.34048758 q[3.9000000000] = -0.795458 q[4.0000000000] = 0.03545 q[4.000000000] = 0.063354087 q[4.000000000] = 0.40063767 q[4.3000000000] = 0.589740436 q[4.4000000000] = 0.76466403 q[4.5000000000] = 0.98340947 q[4.6000000000] =.043800 q[4.7000000000] =.34908485 q[4.8000000000] =.86645939 q[.000000000]=0.98800746 q[.3000000000]=0.3385889443 q[.4000000000]=0.373530345 q[.5000000000]=0.3947630 q[.6000000000]=0.4047453899 q[.7000000000]=0.40055006 q[.8000000000]=0.380007049 q[.9000000000]=0.34079049 q[.0000000000]=0.86590349 q[.000000000]=0.39435459 q[.000000000]=0.57884744 q[.3000000000]=0.04396093 q[.4000000000]=-0.087086593 q[.5000000000]=-0.047977 q[.6000000000]=-0.3466953 q[.7000000000]=-0.440639808 q[.8000000000]=-0.548805463 q[.9000000000]=-0.6437840 q[3.0000000000]=-0.7047585 q[3.000000000]=-0.77468587 q[3.000000000]=-0.8069378 q[3.3000000000]=-0.8048475 q[3.4000000000]=-0.769473949 q[3.5000000000]=-0.706057456 q[3.6000000000]=-0.680597 q[3.7000000000]=-0.4888787465 q[3.8000000000]=-0.3405979 q[3.9000000000]=-0.7968034 q[4.0000000000]=0.039740 q[4.000000000]=0.06497785 q[4.000000000]=0.40049494 q[4.3000000000]=0.58995040 q[4.4000000000]=0.7648866983 q[4.5000000000]=0.98594483 q[4.6000000000]=.044077838 q[4.7000000000]=.3598384 q[4.8000000000]=.869343067 Bab 8 Solusi Pesamaan Difeensial Biasa 49

q[4.9000000000] =.96489759 q[5.0000000000] =.0056653360 q[5.000000000] =.978947 q[5.000000000] =.860598088 q[5.3000000000] =.66886867 q[5.4000000000] =.398447874 q[5.5000000000] =.05775755 q[5.6000000000] = 0.6538005648 q[5.7000000000] = 0.004759507 q[5.8000000000] = -0.876833746 q[5.9000000000] = -0.79335650 q[6.0000000000] = -.973356744 q[6.000000000] = -.779649 q[6.000000000] = -.97377833 q[6.3000000000] = -.5978659 q[6.4000000000] = -.8953553 q[6.5000000000] = -3.0960040093 q[6.6000000000] = -3.8643306 q[6.7000000000] = -3.56973867 q[6.8000000000] = -3.0065956 q[6.9000000000] = -.7530006 q[7.0000000000] = -.3985855 q[7.000000000] = -.80463663 q[7.000000000] = -.9633539 q[7.3000000000] = -0.504685 q[7.4000000000] = 0.455859 q[7.5000000000] =.004606 q[7.6000000000] =.79643496 q[7.7000000000] =.54086579 q[7.8000000000] = 3.34070736 q[7.9000000000] = 3.83956836 q[8.0000000000] = 4.84555957 q[8.000000000] = 4.60598677 q[8.000000000] = 4.77060509 q[8.3000000000] = 4.754750480 q[8.4000000000] = 4.54945335 q[8.5000000000] = 4.558380966 q[4.9000000000] =.9535358 q[5.0000000000] =.589378 q[5.000000000] =.077038867 q[5.000000000] = 0.9500585 q[5.3000000000] = 0.784363494 q[5.4000000000] = 0.58307578 q[5.5000000000] = 0.349084358 q[5.6000000000] = 0.0953758 q[5.7000000000] = -0.7076406 q[5.8000000000] = -0.4394847308 q[5.9000000000] = -0.700504937 q[6.0000000000] = -0.9435576587 q[6.000000000] = -.5865658 q[6.000000000] = -.33665473 q[6.3000000000] = -.46954464 q[6.4000000000] = -.550843588 q[6.5000000000] = -.575870358 q[6.6000000000] = -.5400309 q[6.7000000000] = -.448885980 q[6.8000000000] = -.98958585 q[6.9000000000] = -.09484879 q[7.0000000000] = -0.84345389 q[7.000000000] = -0.553905585 q[7.000000000] = -0.357893358 q[7.3000000000] = 0.09953599 q[7.4000000000] = 0.439697489 q[7.5000000000] = 0.778465789 q[7.6000000000] =.083067579 q[7.7000000000] =.36095048 q[7.8000000000] =.594399553 q[7.9000000000] =.773070468 q[8.0000000000] =.88903796 q[8.000000000] =.936363 q[8.000000000] =.97479983 q[8.3000000000] =.844898094 q[8.4000000000] =.64667789 q[8.5000000000] =.435709 q[4.9000000000]=.9568999 q[5.0000000000]=.5994575 q[5.000000000]=.07745506 q[5.000000000]=0.95987667 q[5.3000000000]=0.784638 q[5.4000000000]=0.58375738 q[5.5000000000]=0.34908580 q[5.6000000000]=0.0953079874 q[5.7000000000]=-0.7089569 q[5.8000000000]=-0.439683068 q[5.9000000000]=-0.70077773 q[5.9999999999]=-0.943864635 q[6.0999999999]=-.59008396 q[6.999999999]=-.337060507 q[6.999999999]=-.4699308346 q[6.3999999999]=-.5568737 q[6.4999999999]=-.57637307 q[6.5999999999]=-.54335630 q[6.6999999999]=-.44905507 q[6.7999999999]=-.984678 q[6.8999999999]=-.094440534 q[6.9999999999]=-0.84349649 q[7.0999999999]=-0.553897368 q[7.999999999]=-0.356940044 q[7.999999999]=0.09974765 q[7.3999999999]=0.4399587439 q[7.4999999999]=0.778067 q[7.5999999999]=.083509807 q[7.6999999999]=.36534767 q[7.7999999999]=.594873054 q[7.8999999999]=.7735555409 q[7.9999999999]=.889495477 q[8.0999999999]=.93685703 q[8.999999999]=.9564038 q[8.999999999]=.84836870 q[8.3999999999]=.6469470453 q[8.4999999999]=.4333063 430 Metode Numeik

q[8.6000000000] = 3.5803934777 q[8.7000000000] =.836789083 q[8.8000000000] =.9465330 q[8.9000000000] = 0.936863754 q[9.0000000000] = -0.5799770 q[9.000000000] = -.96885068 q[9.000000000] = -.43999003 q[9.3000000000] = -3.53950337 q[9.4000000000] = -4.556863 q[9.5000000000] = -5.4330795579 q[9.6000000000] = -6.4494505 q[9.7000000000] = -6.643853504 q[9.8000000000] = -6.903389587 q[9.9000000000] = -6.9060890 q[0.000000000] = -6.637806 q[8.6000000000] =.377469 q[8.7000000000] = 0.780839 q[8.8000000000] = 0.404539876 q[8.9000000000] = 0.0049393809 q[9.0000000000] = -0.4089585 q[9.000000000] = -0.80365855 q[9.000000000] = -.898763 q[9.3000000000] = -.5359385 q[9.4000000000] = -.8339049 q[9.5000000000] = -.0408457557 q[9.6000000000] = -.956908998 q[9.7000000000] = -.70748 q[9.8000000000] = -.66560433 q[9.9000000000] = -.67358748 q[0.000000000] = -.989800877 q[8.5999999999]=.4573435 q[8.7000000000]=0.7878345 q[8.8000000000]=0.404409900 q[8.9000000000]=0.0047053655 q[9.0000000000]=-0.4035599 q[9.000000000]=-0.804067648 q[9.000000000]=-.8473648 q[9.3000000000]=-.53655367 q[9.4000000000]=-.83963973 q[9.5000000000]=-.0448084 q[9.6000000000]=-.96608590 q[9.7000000000]=-.7586439 q[9.8000000000]=-.633086 q[9.9000000000]=-.67753308 q[0.000000000]=-.9900560 Pebandingan solusi: Eule Runge-Kutta Ode-4 Sejati q(0) -6.637806 -.989800877 -.9900560 Untuk mengitung q(0) dengan = 0. dipelukan sejumla n = (0-0)/0. = 00 langka. Kaena itu, dapatla dimengeti mengapa metode PDB yang beode enda sepeti metode Eule mempeliatkan asil yang sangat menyimpang (divegen) dengan solusi sejatinya ketika jumla langkanya membesa, sedangkan solusi dengan metode Runge-Kutta mempeliatkan kestabilannya pada setiap langka (bandingkan dengan solusi sejati pada setiap langka). Ini disebabkan galat pe langka pada metode Eule semakin menumpuk dengan betambanya jumla langka. Jadi, metode dengan ode tinggi sepeti metode Runge-Kutta ode-4 lebi disukai untuk masala ini. Tidak ada alasan bagi kita meemekan al-al kecil, kaena bukanka sutea itu beasal dai ulat? (Anonim) Bab 8 Solusi Pesamaan Difeensial Biasa 43

Soal Latian. Dibeikan pesamaan difeensial beikut : dy/d = -y, y(0) =. Lakukan peitungan numeik untuk menaksi nilai y pada nilai-nilai dalam selang [0,5] (ambil ukuan langka = 0.) : (a) metode Eule (b) metode Heun (c) metode deet Taylo (d) metode Runge-Kutta ode-3 (e) metode Runge-Kutta ode-4 (f) metode Adams-Basfot-Moulton. Dibeikan pesamaan difeensial beikut : dy/d = y, y() = 0. Tentukan nilai (.4) dengan metode-metode (ambil ukuan langka = 0.) : (a) metode Eule (b) metode Heun (c) metode deet Taylo (d) metode Runge-Kutta ode 3 (e) metode pedicto-coecto Milne 3. Nyatakan dalam sistem pesamaan difeensial biasa ode satu : (a) 4y + 3y + 5y + y = 0 - y ; y() = 0, y ()=y () = (b) Ak d T/d + Pσ(T 4-73 4 ) = Q; T () = 0, T()=0 (c) model matematika angkaian listik : 0.5 d Q/dt + 6dQ/dt + 50Q = 4 sin(0t) dengan Q = 0 dan i=dq/dt = 0 pada t=0. (d) (t) - (t) = 6 cos (t) ; (0) dan (0) = 3 (e) y " + (y ') + y =0, y(0)=0, y '(0) = (f) y "' = -y + y ', y(0) =, y '(0) = y "(0) = 0 4. Peliatkan bawa metode Runge-Kutta beikut ini : k = f(, y ) k = f( + α, y + αk ) 43 Metode Numeik

y + = y + [( - ) k + α k ) ] α adala beode dua untuk sembaang tetapan α (α 0). 5. Ekstapolasi Ricadson yang tela anda kenal di integasi numeik dapat juga diteapkan pada solusi PDB, yang betujuan untuk mempebaiki asil metode Runge-Kutta ode-4. Jika metode Runge-Kutta ode-4 digunakan dengan ukuan langka, maka nilai ampian y() adala: y(; ) = y + C 4 () dan jika digunakan ukuan step, maka nilai ampian y() adala : y() = y(;) + 6C 4 () Peliatkanla bawa ampian y() yang lebi baik (impove) adala : y() = / 5 [6y(;) - y(;)] (3) Kemudian itungla y (.4) menggunakan pesamaan (3) di atas bila PDB yang digunakan adala sepeti soal nomo di atas. 6. Masi bekaitan dengan ekstapolasi Ricadson. Jika metode Heun digunakan dengan ukuan langka, maka nilai ampian y() adala: y() = y + C () dan jika digunakan ukuan step, maka nilai apoksimasi y() adala : y() = y + 4C () Peliatkanla bawa ampian y() yang lebi baik (impove) adala : y() = /3 (4y - y ) (3) Kemudian itungla y (.4) menggunakan pesamaan (3) di atas bila PDB yang digunakan adala sepeti soal nomo di atas. 7. Dengan menggunakan PDB ode pada soal nomo 3(c) di atas, tentukan muatan listik Q dan aus I pada saat t = 0.. Metode yang digunakan : Runge-Kutta ode 3 dan ukuan langka = 0.. Bab 8 Solusi Pesamaan Difeensial Biasa 433

8. (a) Peliatkan galat pe langka metode pedicto-coecto Milne adala : galat pe langka pedicto : y + - y * 8 + 5 y (5) (t) 90 galat pe langka coecto : y + - y + 90 5 y (5) (t) (b) Tentukan ode metode Milne (c) Tentukan taksian y + (yaitu nilai yang lebi baik daipada y + (d) Tentukan galat pe langka untuk y + 7. Dengan mengingat defenisi kalukulus untuk tuunan adala y () = lim 0 y ( + ) y( ) (a) Tuunkan metode Eule dai defenisi tuunan tesebut (b) Bila nilai y diitung pada + dan -, tuunkan metode bau, yaitu metode titik-tenga 0. Tuunkanla pesamaan pedicto pada metode P-C Adams-Basfot- Moulton bila titik-titik datanya diintepolasi dengan polinom Newton- Gegoy mundu. Bila PDB-nya adala sepeti pada soal nomo, tentukan ukuan langka yang optimal aga galat pe langka pada solusi PDB dengan metode Runge-Kutta ode-4 kuang dai 0.00000.. Dibeikan PDB y = -y, y(0) =. Dengan mengambil ukuan langka = 0., peiksa kestabilan metode Eule, metode Runge-Kutta ode-3, metode titiktenga (liat jawaban soal 7b), dan metode Milne pada penaksian nilai y(0) 434 Metode Numeik