Gomtri Trnsormsi Sjk zmn Eli ( SM) smpi 7 M, gomtri ipljri ri prspkti sntsis, sgi st ilm. Slm 7 sjmlh i r lm mtmtik ikmngkn n itrpkn lm mmpljri gomtri, ngn k ng rsit rolsi. Misln ngn mnrpkn notsi-notsi n konsp ljr k omtri. Frmt ( 6 665 n Rn Dsrts (596 65) mniptkn gomtri nlitik. Dirnsil gomtri ikmngkn sgi st konsp n mnggnkn notsi ri klkls ng ikmngkn olh Nwton n Liniz ipliksikn p gwomwtri. Alm 8 n 9, sjmolh gomtri non Eli ikngkn, mngkitkn rp orng mnji rg pkh gomtri kn trpish ssi ngn tori-tori ng rg st ngn ng lin. Di thn 78, sorng hli mtmtik rsi thn, Fli Klin ( 849 95) mngslkn st prinsip pmrst ntk mngklsiiksikn rgi gomtri n mnjlskn hngnhngn intr mrk. Inti ri ggsn t konsp Klin it lh Gomtri Trnsormsi. Gomtri trnsormsi lh pmtn st- st, ngn mnggnkn hinpnn titiktitik sgi inpt n rtrning points sgi otpt. Untk srhnn, hinpnnhimpnn inpt inmkn ok n otptn ng rs inmkn img. Trgntng ri kontks, trnsormsi-trnsormsi pt ipnng sgi itrpkn p ok-ok gomri ng mm iknl, misln gris, polgon, t polihr tpn p rng imn ok-ok it. Gomtri Trnsormsi mnwrkn pnngn ng lm trhp hkkt ri nk topi trisionl, trmsk kongrnsi, ksngnn, n smtri. Gomtri trnsormsi jg rngsi sgi sis gi nk pliksi kontmporr lm sni, rsitk, ngnring, ilm n tlisi.yng lih rrti lgi lh gimn Fli Klin mmri inisi tntng st gomtri: St gomtr lh st sti tntng sit-sit ri st himpnn S ng ttp tik rh ilmn lmntlmn S itrnsormsikn olh sklompok trnsormsi. Dinisi ini mntpkn gomtri trnsormsi sgi st r mmhmi hngn-hngn intr sm gomtri, Eli n non Eli.
St Mol nlitik ri Bing Eli Mnjikn titik n gris Untk mmhs mol nlitik ri ing Eli, hrs ipilih rp ing i Rng rimnsi. Bnk sisw tlh tris ngn ing -, t z =. Ttpi msih pilihn ng lih ik, it ing z =. Z Z = (,, ) (,,). * O Y X Stip titik i ing ini mmpni koorint (,, ). Gris p ing Eli isikn lm ntk slop intrpt p ing Eli isjikn lm ntk slop intrpt = m + t lm ntk mm lh + = Bntk ini pt isjikn ngn mnggnkn notsi mtri (olh Arthr Cl, 8 895). Dlm notsi mtri st ntk prsmn ljr : + + = itlis sgi ktor-ktor ris [ ] Titik-titik itlis sgi ktor kolom
Dngn mngkominsi k notsi ini, kit prolh st ntk prsmn mtri Jik ntri-ntri ng rkorsponnsi p ris n kolom iklikn n hsiln ijmlhkn, mk iprolh st ntk ljr. Sgi ontoh, prsmn mtriks = lh kiln ngn prsmn + + =. Prsmn-prsmn sprti ini sring ignkn ntk mnjw prtnn titik-titik p p ing ng trltk p gris ini? Ls n kolinr Bgimn ls rh ng itntkn olh tig titik ng tik kolinr? S (, ) III (, ) (, ) I II (,) (,) (,) s
Ls rh sgitig pt intkn lm ntk ls tig rh trpsim Titik-titik trpsim : (,, ), (,, ), (,, ), (,, ) Titik-titik trpsim : (,, ), (,, ), (,, ), (,, ) Titik-titik trpsim : (,, ), (,, ), (,, ), (,, ) Ls sgitig lh = [ ls trpsim ] + [ls trpsim] [Ls trpsim ] = ½[( )( + ) + ( )( + ) ( )( + )] = ½ [ - + + ] Dngn mnggnkn pnktn mtriks, koorint-koorint ri titik-titik p sgitig pt itlis sgi ktor-ktor kolom lm mtriks rikt: Dtrminn ri mtriks ini itlis sgi Dtrminn ini ikspnsikn n mnghsilkn ntk
[ + + ] Yng pt issn kmli sgi rikt: [ + + + ] Dngn mmningkn hsil ini ngn ls rh sgitig, trnt ls rh sgitig ti pt itlis sgi rikt: Ls = (/) s Torm 4..: Jik ikthi tig titik ng non kolinr p ing, mk ls rh ri sgitig itntkn olh ktig titik it intkn ngn rms Ls = (/) s Prsmn gris Gmr n torm mmri i ng rmnt ntk mliht p mslh ng hngnn, it mnmkn prsmn st gris mlli titik ng ikthi i ing Eli. Gmr mngmkkn hw ls rh sgitig rkitn ngn tig titik ng kolinr kn sm ngn nol. K, Torm mngmkkn hw, lm kn trtnt trminn
jg pt sm ngn nol. Dngn mikin, jik ikti titik n, mk sm titik linn ng kolinr ngn k titik ng ikthi it hrs mmnhi prsmn mtriks: = Contoh: Tntkn prsmn st gris ng mmt titik-titik (, 4, ) n (,, ). Jw: Dngn mnliskn titik-titik ti sgi ktor kolom ktor kolom, n ngn mnmhkn st kolom ktig ng mwkili sm titik ng kolinr ngn titik-titik ng ikthi ti, kit prolh st prsmn mtri 4 = Slnjtn trminn kit pnsikn n srhnkn, n kn iprolh
4 = 4 + + + =, t = Torm 4.. Jik ikthi titik n mk prsmn gris ng mmt k titik ini itntkn olh prsmn mtri =
Prpotongn gris Cr mtri pt ignkn ntk mnmkn titik prsktn gris ng rpotongn p ing. Dikthi prsmn-prsmn gris + + = n + + =. Koorint-koorint ri titik prsktn pt itntkn ngn mnggnkn kominsi linr t sstitsi n slnjtn intkn lm notsi mtri sgi rikt: = n = St kkrngn ri pnktn ini lh hw prsmn ini hrs iingt n ilsi sr nr. St pnktn ng lih ik kn mmrlkn hn st prsmn ntk mnjikn k koorint ri titik potong. Dngn mnliskn prmtr-prmtr gris sgi lmn-lmn ris lm prsmn mtri = kn mnghirkn st pnjin/rprsntsi ng lih mh. Dngn mlkkn kspnsi mnrt ris trkhir, mk prsmn ini pt itlis sgi Dngn mmgi olh trminn p sk trkhir, iprolh prsmn rikt: *
Ingt hw n sgi, n itlis lm ntk mtri, mk prsmn its pt isrhnkn Dlm hl ini, ntk ini lih rip ntk mtri mm ntk prsmn st gris, krn prmtr-prmtr gris [ ] lh smrng, n lh koorint-koorint titik potong ri gris-gris ng ikthi + + = n + + =. Hsil ini iormlkn lm torm rikt n skligs ontohn. Torm Jik ikthi prsmn-prsmn gris + + = n + + =, mk titik potong ini Ditntkn olh prsmn Yng iprolh ngn mngkspnsi n mnrhnkn prsmn
= Contoh: Tntknlh koorint ri titik potong ri n. Prsmn mtrin lh : = Dngn mngpnsikn srt mnrhnkn, mk iprolh = =, n ini pt itliskn sgi = Krn ktor kolom kn mntkn titik p ing li z =, mk tip lmn lm ktor ini igi, kn mnghsilkn titik p ing li Slnjtn, stip gris ng mmt titik ini hrs mmnhi prsmn mtri
= Ji, olh krn n mlli titik ini, mk mikin jg sm gris lin kn mmnhi prsmn mtr ini jg. St prn pnting skrng pt it ntr pnggnn notsi rntk. Bil nili-nili ng irprsntsikn olh ktor ris ikthi, n nilinili ng irprsntsikn olh ktor kolom 5 tik ikthi, misln Mk notsi ini ismkn st prsmn gris n isn ignkn ntk mnjw prtnn Titik-titik mnkh ng trltk p ris ini?. Bil sit ilik n nili-nili irprsntsikn olh ktor ris Tik ikthi sngkn nili-nili ng irprsntsikn olh ktor kolom ikthi, misln, mk notsi ini ist st prsmn ri titik n isn ignkn ntk mnjw prtnn Gris-gris mnkh ng mlli titik ini?
Eprsi-prsi ng simtris ini iprolh ngn mnggnti istilh-istilh titik gris iknl ngn nm lits. n Mnjikn Trnsormsi-trnsormsi Linr i Dimnsi ngn mtri Dri sm trnsormsi lm gomtri, isomtri lh pling mnsr. Isomtri rtin rkrn sm. Jik st isomtri itrpkn k st ok, mk ok trst rsrt ngnn mmpni krn linr n krn st ng sm. Trnsormsi iktkn mngwtkn sit-sit ini, n sit-sit it iktkn inrint i wh trnsormsi it. Mngwtkn krn linr n krn st mnjmin hw kliling n jmlh st n ls jg iwtkn. Akitn, ok n imgn lm isomtri ini lh intik t kongrn. Isomtri lm gomtri Eli triri ri ktgori n komposi: trnslsi, rotsi, n rlksi. Dri sm isomtri, trnslsi lh ng pling mh ntk iphmi. Dngn n oprsi trnslsi stip titik ng trpt p ok kn rpinh p jrk ng sm n lm rh ng sm ssi ngn ktor. Di wh oprsi rotsi, stip titik ipinhkn mlli st st ptr rlti trhp pst prptrn. Rlksi mmtkn stip titik k srng gris rlksi sjh st jrk ng sm trhp jrk titik it k gris rlksi. Dinisi: Mislkn A n B lh himpnn-himpnn. St pmtn t ngsi ri A k B lh st trn ng mmsngkn stip A tpt st B n itlis = (). Dinisi: St pmtn ri A k B lh onto jik ntk tip sikit st Asmikin shingg = (). B, trpt pling Dinisi: St pmtn ri A k B lh st st jik ilmn, ( ) ( ) Dinisi: Jik : A B lh st pmtn st-st, mk : B A lh Inrs ri, jik ( * )( ) ntk sm A n ( * )( ) ntk sm B. Dinisi: Bing Eli triri ri sm himpnn ri sm titik X smikin shingg X,, imn i mrpkn nggot ri himpnn ilngn rl, itlis i. Dinisi:Mislkn V lh st Rng ktor p n T lh ngsi ri V k V. T lh st trnsormsi linr ri V, jik T( ) T( ) T( ) ntk sm tor V n V n T ( k) kt( ) ntk sm ktor V n sklr k.
Rprsntsi Trnsormsi Linr ngn Mtri Dinisi: St Trnsormsi Linr T(X) ng pt ilik (inrtil) p ing Eli lh st pmtn st-st, onto ri titik-titik ri ing Eli onto ing Eli. T(X) = A*X, imn A titi n A imn ij Olh n st trnsormsi linr, stip titik p ing (ng mmt) img isosisikn ngn st titik tnggl p ing (ng mmt) ok.tik st titikpn ng iikn, tik st titikpn ng ihilngkn. Bing Eli ttp lngkp slm n stlh trnsormsi. Misln, gmr rikt ini mnnjkkn st st sstm koorint tgklrs p ing Eli slm n stlh trnsormsi. Tnt sj, ktik trnsormsi linr sprti ini itrpkn p ing, sm titik ng p ing kn mnglmi trnsormsi ng sm. Trnsormsi-trnsormsi linr pt ikomposisikn, st mnsl ng lin, lm st skwns (rtn). Sgi ontoh st trnslsi T pt iikti olh st rotsi R. Dlm notsi ngsi, komposisi ng sm itliskn sgi RT Torm: Komposisi ri trnsormsi limr p st ing lh st trnsormsi linr jg p ing it. Mnrt inisi tntng rng ktor, T lh st trnsormsi linr p ing jik T T( ) T( ) n T ( k) kt( ) ntk sm titik, n k lh ilngn rl.
5 O O -5 5-5 Kit inisikn trnsormsi linr T n T sgi rikt: T n T Komposisi T T pt ihitng sgi
T = Mg-mg ng mnnjkkn prklin n jmlh lh sh ilngn rl, tik ng sm. Krn pnjmlhn n prklin lm ilngn rl lh trttp, mk mg-mg ntri ini lh ilngn rl, jik ihitng. Ji komposisi T pt itlis kmli sgi T, imn,,,,, Jik kit mislkn A st-stn srt ng hrs ipnhi lh A. Untk mnnjkkn knrn hl ini iprlkn mniplsi sjmlh smol. Pnglmn-pnglmn ngn trnsormsi linr lm ni nt mnrnkn hw pling sikit rp trnsormsi linr pt ilik. Misln, orng pt mnggsr t mmtrkn st ok, kmin mngmliknn k posisi sml. Dlm mtmtik, pngrtin pngmlin ini (rrsiilit) kiln ngn inrs ri st ngsi n itlis. Jik
A lh st trnsormsi linr, A itlis Torm: Dikthi st trnsormsi linr T, trpt st trnsormsi inrs ng rkorsponnsi ngn T, it T - smikin shingg TT - = T - T = I, imn I lh trnsormsi intits. Dlm Aljr linr kit th hw st mtri A mmpni st inrs jik A. Bngn st titik olh st trnsormsi linr. Dngn mnggnkn notsi mtri, ngn ri st titik ikrnkn st trnsormsi linr ng ikthi iinisikn sgi rikt. Dinisi: Dikthi st trnsormsi linr A ngn ri titik X = olh trnsormsi A isjikn sgi
= = Contoh: Prsmn mtri = Dignkn ntk mnmkn ngn ri st titik ikrnkn st trnsormsi linr. Prsmn ini jg itlis sgi AX = X. Misln, ngn ri titik Olh trnsormsi linr A ihitng sgi = 5 n itlis sgi A = 5 Torm: Dikthi st trnsormsi linr T Dn st titik
X = Inrs ri oprsi T intkn olh T = Dngn mlkkn prklin, iprolh TT - = T - T = I. Contoh: Dikthi Trnsormsi linr T Dngn mnggnkn rms (*) p torm iprolh T - = TT - = = Bngn st gris olh st trnsormsi linr.
Mnmkn ngn ri st gris p st trnsormsi linr mmrlkn prtimngn tmhn n mnimlkn hsil ng mnrik. Torm 4..4 Bngn ri gris olh trnsormsi linr A Dirikn olh prsmn A k St gris pt isjikn lm ntk mtri sgi Bngn ri gris olh trnsormsi linr S pt irprsntsikn sgi S =. Krn S lh trnsormsi linr, i hrs mmpni ntk mm ng sm sprti mtri trnsormsi ntk titik-titik A Argmntsi rikt ini lh mngni mnrnkn S, mtri trnsormsi gris, ng intkn lm A (mtri trnsormsi titik).. Krn n lh gris-gris, X = n X =. Krn it X = X. Krn X lh ngn ri X (olh A), mk AX = X
4. Ssitsi k, kn mnghsilkn (X) = (AX) ( ) X ( A) X 5. Krn it A 6. Klikn k rs prsmn ri slh knn olh A - mnghsilkn A k, k, himpnn ilngn rl. 7. Ji, mtri trnsormsi gris S, lh inrs ri mtri trnsormsi titik, A (trnsormsi trhp gris = trnsormsi trhp tip titik p gris it) Contoh: Dikthi trnsormsi linr T n st gris, tntknlh ngn i wh tnsormsi linr ini. Mnrt torm, ngn ri olh trnsormsi ini itntkn olh k Dngn kt lin, gris ngn prsmn iptkn onto mnji gris ngn prsmn, t st prklin rin.
Eqtion(Lin CE):.5 +. = -.5 Eqtion(Lin FE): +. = -. 5 D -5 - -5 5 C C E E F F -5 Isomtri-isomtri Lngsng: Trnslsi n Rotsi Mrprsntsi Trnslsi Prsmn mtri ntk trnslsi trhp sh titik lh: Gmr 4.. mmprlihtkn rh ri mtri trnslsi. Mg-mg rh mnjikn mkn r mngni hkkt trnsormsi ng ihs n tiltil ng khss mngni grkn/prpinhn ng ikitkn. Dlm hl ini mtri intits i gin pojok kiri ts mnnjkkn hw prgrkn it sm skli tik mngh ntk t orintsi ri ok-ok i ing. Unsr-nsr lm kolom ng irsir isosisikn ngn prpinhn ri koorint n koorint ri titik-titik p ing. Sprti ng trliht p ktor
Koorint- ri stip titik igsrkn sjh nit n koorint igsr sjh nit. Inilh ng orng hrpkn p st trnsormsi trnslsi. Gmr 4.. Sr konsptl, inrs ri trnslsi ng irprsntsikn sgi lh trnslsi it lwn ri mnggsr sh ok sjh n lm rh trtnt hrslh sh gsrn ng rlwnn rh ngn jrk ng sm. Hl ini mnimplkn hw Torm 4.. Dikthi st trnslsi T= Trnsormsi inrsn lh:
T - = Contoh: 4.. Dikthi mtri trnslsi 7 T= Inrs ri trnsl lh: 7 T - = Mtri-mtri ini jik iklikn, kn mnghsilkn mtri intits 7 7 Inrins p Trnslsi Pnglmn-pnglmn lm kshrin mmprlihtkn hw krn-krn pnjng, kliling, st, n ls tik roh olh n trnslsi (inrin). Sitsit linn tik mikin. Misln, jik n mnggsr sh ok i ts mj, n mnggsr kslrhn ok. Jik st titik p ok it ttp (inrin), ngn mminhkn sis lin ri ok it kn mngkitkn pkh n it sok t mlr. Anlisis gomtri mnimplkn hw trnslsi tik mmiliki st titik inrin pn. Pnktn nlitis ng isrkn p ljr mtri pn mmrikn hsil ng sm. Torm 4... Trnslsi-trnslsi ng kn intits tik mmiliki titik inrin. Brsrkn inisi, titik inrin tik rgrk lm st trnsormsi. Dngn kt lin,
= Dlm pngrtin trnslsi, hl ini rrti = Dngn kspnsi n mnrhnkn sk-sk, kit prolh n, n ini rrti n. Akitn, trnslsi ng kn intits tik mmiliki titik inrint. P rp trnsormsi linr, gris-gris iptkn p irin sniri. Dlm hl ini iktkn hw gris-gris it inrint p trnsormsi. Misln, st trnsormsi pt mnggsr titik-titik spnjng st gris ng ikthi ngn jrk trtnt. Titik-titik trst tik inrint, nmn gris ng itntkn olh titik-titik it inrint. P gmr rikt, img ri ABCp trnslsi ng ittpkn olh pnh lh A B C. Gris pts-gris pts ng iprolh ngn r mnghngkn stip titik ngn ngnn lh inrint lm trnslsi ini, sm sprti sm gris ng prll ngn pnh. A A B C E B C D Gmr 4... Mnkl st trnsormsi linr tlh nr-nr iphmi, pnktn sr gomtris isn lih mh srt pt lm mngintiiksikn gris-gris inrint. Bil trnsormsi tik iphmi ngn ik, iprlkn pnktn nlitis ntk mngintiiksikn gris-gris inrint. Torm rikt ini mntpkn st
mto ntk mngintiiksikn gris-gris inrin ng rsosisi ngn st trnsormsi linr. Torm 4..: Stip trnslsi mmpni gris-gris inrint Gris-gris inrint tik rpinh lm st trnsormsi, krn it = k, imn k ntk mmngkinkn ntk-ntk kiln gi gris ng sm. Torm 4..4 n ontoh 4.. mnimplkn hw k Jik ntk ini ipnsikn kmin isrhnkn sk-skn, mk iprolh:. k. k. ( ) k Jik k =, osrsi pt isrhnkn mnji, t Hsil ini mmw kit p ntk solsi rikt Bntk ini itlis kmli sgi rikt Dn itlis lgi lm ntk kmiringn, n titik potong sm, sgi:
ini mnji jls hw sm gris inrint mmpni kmiringn ng sm ngn kmiringn ri pnh. Pilihn lh inpnn trhp, ng mngrh p tk hingg titik-titik potong s lm ntk Dngn mikin pnh n sm gris ng sjjr ngnn inrint p trnslsi. Cttn: Untk mnnjkkn hw trnslsi sll mmpni gris-gris inrin Prikslh grinn. Contoh. Dikthi mtri trnslsi T 7 Tntknlh sm gris inrint p trnsormsi ini. Dngn mnggnkn Torm 4.. 7 Stlh pnsi n mnrhnkn sk-sk, iprolh k 7 k k k Dngn mmilih k =, iprolh hngn 7 Dn ini mnghsilkn gris-gris lm ntk 7 Dngn mnggnkn ntk ljr n ntk =, prsmn gris lh:
7 t 7 7 Dngn mikin sm gris ng prll trhp pnh (sli rrow) lh inrint. Coorint(Point A): (-7.,.) 5 A - -5 5 O -5 Sjmlh sit-sit gomtri ng lin ri titik n gris jg iwtkn lm st trnsormsi linr, trmsk jrk ntr titik-titik, ls rh poligon. Inilh ng ihrpkn lm st trnslsi. Torm 4..4 Jrk inrint lm trnslsi Jrk ntr titik p ing Eli, n, intkn lm Dngn mnghitng jrk ntr ngn-ngn ri titik-titik ini,, mk kn iprolh, n
] [ ] [ [ ] [ Jik prsmn ini isrhnkn, mk kn iprolh Dngn mikin, jrk iwtkn lm trnsormsi Torm 4..5 Ls inrint lm trnslsi Brsrkn Torm 4... ls rh ng itntkn olh tig titik smrng ng tik sgris p ing,,,,,, lh Ls = (/) s Stlh trnslsi, ls rh ng itntkn olh ngn ri ktig titik ini lh: Ls = (/) s ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( Trnt k ls ini kiln. Contoh: Dikthi mtri trnslsi 7 T
Dn titik-titik (,), (,5) n (6,). Tnjkknlh hw ls ng itntkn olh titiktitik ini tik rh olh n trnslsi T. Brsrkn prsmn 4.., ls rh ng itntkn olh ktig titik ini lh s 5 6 9.5 Bngn ri titik-titik ng ikthi olh T iprolh ri 7 5 6 8 9 Ls rh sgitig ng itntkn olh ktig titik ini lh 8 9 s 9.5 Ji ls rh k sgitig it sm. Mrprsntsi Rotsi Prsmn mtri ntk rotsi trhp sh titik ngn pst titik sl n mlli st st lh Dimn st ptr ng rlwnn ngn rh jrm jm lh positi. Mtri p pojok kiri ts rikt ini kn mrorintsikn ok i ing. Kolom ktig p mtri it mntkn titik pst rotsi, it titik sl koorint.
Torm 4..6 Dikthi rotsi p titik sl R Inrs ri R lh R ( ( ) ) ( ( ) ) Contoh: Tntkn ngn ri titik (,) olh rotsi rlwnn ngn ptrn jrm jm rpst i titik sl. Rotsi itntkn olh Bngn ri titik ng ikthi lh Oprsi inrs pt ipliksikn p ngn ri titik ntk mngmliknn p loksi sml lh sgi rikt.
= Inrint p st rotsi Sr gomtri pling sikit st titik inrint lm st rotsi, it titik pst rotsi. Krn tip titik linn mnglmi prhn posisi ng itntkn olh jrk ri titik pst prptrn n st ptr, tik lgi titik-titik lin ng inrint. Fkt ini sr mh pt iprlihtkn sr nlitis. Torm 4..7.Titik pst koorint sgi pst rotsi lh inrint trhp rotsi R Bngn ri titik sl (,) lm rotsi isjikn olh Untk mnnjkkn hw titik sl lh st-stn titik inrint ( il st kliptn, pnsikn prsmn mtri kn Shingg iprolh n. Dngn mnlsikn k prsmn ini ntk mmprolh, =
Dngn mnmkn k prsmn ini n mlkkn prklin mnilng kn iprolh prsmn ( ) ( ). Krn n n positi, st-stn nili ng mmnhi prsmn lh =. Sstitsikn nili ini k lm prsmn ntk mmprolh, itmkn hw =. Ji st-stn titik inrint lh titik sl koorint. Sr gomtri. Stip gris i ing irorintsikn lm st rotsi, shingg tik kn prnh gris inrint slin ri prptrn ngn st ptr lh kliptn 8. Hl ini iprtgs lm torm rikt. Torm 4..8 Rotsi-rotsi ( imn knlh kliptn ) tik mmpni gris inrint. Snin gris inrint, mk gris ini tik rpinh lm st trnsormsi, krn it hrs rlk k, k gr mmngkinkn ntk-ntk qiln gi gris ng sm. Torm 4.. 6 mnimplkn hw k Dngn pnsi n pnrhnn trhp sk-sk, iprolh hsil-hsil rikt:. k. k. k Jik,. Mk hsil pt isrhnkn mnji k, ngn n Dngn mikin iprolh solsi-solsi rntk Koi sk k jls kn st konstnt, shingg ok ng igmrkn ini knlh st gris. Ji tik gris ng iwtkn lm st trnormsi ng mrpkn rotsi.
Rotsi-rotsi lh trnsormsi-trnsormsi ng mm lm khipn kshrin. Pnglmn kmi mnrnkn hw jrk n ls iwtkn jg lm rotsi. Torm-torm rikt ini mmormlkn ksn-ksn trst. Torm 4..9 Jrk lh inrint p rotsi Contoh: Tntkn jrk ntr titik (,) n (,) n ngn p st rotsi 9 srh ngn prptrn jrm jm. Dngn mnggnkn rms jrk, jrk ntr (,) n (,) lh. Bngn ri titik-titik ini olh rotsi itntkn sgi rikt. Dngn mnggnkn rms jrk trhp titik-titik ini jg kn mnghsilkn. Ji jrk ntr titi-titik slm n ssh rotsi ttp sm. Torm 4.. Ls lh inrint trhp rotsi. Contoh: Dikthi mtri rotsi R = n titik (,), (, 5) n (6, ). Prikslh pkh ls rh ng itntkn olh ktig titik ini wt olh n rotsi olh R. Brsrkn prsmn 4., rh ng itntkn olh titik-titik ini itntkn olh 6 s 5 9.5 Bngn ri titik-titik ng ikthi olh n rotsi R, itntkn olh:
6 5 5 6 Ls rh sgitig ng itntkn olh titik-titik ini lh 9.5 6 5 s Ji rh ng itntkn olh k sgitig ini lh sm. Isomtri-isomtri tik lngsng Mrprsntsi rlksi Mtriks rlksi Prsmn mtri ntk rlksi sh titik trhp sm itntkn olh: Dngn n trnsormsi ini, stip titik iptkn onto k titik ng mmpni koorint ng sm, ttpi koorint n rlwnn tn. Akitn, stip titik
i ts sm iptkn k titik ng rkorsponnsi i wh sm, n slikn. Contoh: Tntkn ngn ri titik (, ) olh rlksi trhp sm. Prsmn mtriks n lh: Sr gomtri, olh rlksi, sh ok n ngnn kn kongrn. Akn ttpi st orintsi ng trlik. Dimli ri A, rgrk kliling ok srh ngn ptrn jrm jm, rtn titik-titik st lh A-B-C. Dimli ri A, n mnglngi prosr, rtn titik-titik st lh : A -C -B. Tik kominsi ri trnslsi ng pt mngkitkn hsil ini. m A A B B C C Gmrlh sh sgitig k ng ipotong olh sm rlksi. Tntknlh ngn ok ini olh trnsormsi.
Prn ng jls ntr trnsormsi rlksi ngn trnslsi n rotsi sngt nt. Misln, ik trnslsi mpn rotsi pt islsikn ngn mnggnkn komposisi ri rlksi-rlksi. Gmr rikt mnnjkkn gris rlksi ng prll, j n k,n rtn ri tig sgitig. Jik sgitig ipnng sgi ok, rlk trhp gris j lh sgitig. Rlksi ri sgitig trhp gris k lh sgitig. Jls hw sgitig lh trnslsi ri sgitig. Dngn mnggnkn logik ng sm, sgitig pt ionng sgi ngn ri sgitig olh krn rlksi ng rtrt-trt, ml-ml p gris k n kmin trhp gris j. Trpt st hngn srhn ntr pnjng ri ktor ngn jrk ntr gris-gris rlksi. Untk mnmkn hngn it, lkknlh sgi st ltihn. Gmrlh st sgitig k ng ipotong olh gris rlksi j.tntknlh ngn ri sgitig it olh n komposisi ri trnsormsi-trnsormsi. Gmr rikt ini mnnjkkn gris rlksi ng rpotongn j n k, n srngkin tig h sgitig. Pnng sgitig prtm sgi ok, rlk trhp gris j lh sgitig. Rlksi ri sgitig trhp gris k lh sgitig. Sngt jls sgitig lh rotsi ri sgitig. Dngn mnggnkn logik ng sm, sgitig pt ipnng sgi ngn ri sgitig olh n
rlksi ng rtrtn, ml-ml trhp gris k, kmin trhp gris j. Sm sprti p pnrminn trhp gris ng prll, st rlsi srhn n st ng intk olh gris rlksi. Untk mnmkn hngn it, lkknlh sgi st ltihn. Gmrlh st sgitig k ng ipotong olh gris rlksi j. Tmknlh ngn ri sgitig it olh n komposisi ri trnsormsi-trnsormsi. Kntn hw trnslsi-trnslsi n rotsi-rotsi kn pt itlis sgi komposisi ri rlksi-rlksi, smntr tik kominsi ntr trnslsi n/t rlksi ng ng sm ngn st rlksi, mnmptkn rlksi sgi st tom ri isomtri. Sm isomtri pt itlis sgi st komposisi ri rlksirlksi. Untk lsn ini, sr mtmtik, rlksi lih nmntl rip trnslsi n rotsi. Rlksi-rlksi jg lih mnrik n mnnngkn lm rti prsonl Dngn rpikir sr gomtri, jls hw stip rlksi lh inrs ri irin sniri. Trnsormsi ngn mrlksikn st titik ng ikthi trhp st gris kn itikn ngn r mrlksikn titik it lgi. Torm rikt ini mnjikn st notsi. Torm: Dikthi st rlksi trhp sm
F = Inrs ri F lh Bkti ri torm ini iirkn sgi ltihn. Inrin p Rlksi Eksistnsi titik-titik n gris-gris inrint p st rlksi pt isliiki sr gomtri mpn sr nlitis. Dngn r rpikir gomtri, jlslh hw titik-titik sng trltk p gris rlksi tik rpinh olh n trnsormsi ini. Mrk inrint. Olh krn lm trnsormsi ini, stip titik ng trltk p gris rlksi lh ttp, gris ini inmkn point wis inrint. Dmikin jg, sm gris ng tgklrs trhp gris rlksi lh inrint, sklipn tik point wis inrint. Sgi ontoh, lm kss rlksi trhp sm, ngkn sm titik p gris =, mlnr mlli st ngn linn ktik mrk mlwti sm ntk mnmpti posi ng r, smn kolinr. Ji, ktik titik-titik sr iniil tik inrint, ttpi gris imn titik-titik it trltk tik mnglmi prpinhn. Gris ini inrint. Pnting ntk iingt hw k psngn gris inrint ini orthogonl st trhp linn. Torm: Titik-titik p sm lh inrint p rlksi R = Untk sm titik inrint (,, ) Dngn mlkkn kspnsi n mnrhnkn prsmn, iprolh = n =. Intrprtsi ri tmn ini lh tik trts, ttpi tik trts, ttpi =.
Dngn kt lin, sm titik rntk (,, ) lh inrint. Sm titik sprti it trltk p sm. Torm: Sm rlksi n sm gris ng tgklrs pn lh inrint p R = Gris-gris inrint tik rpinh lm st trnsormsi, shingg [ ] = k [ ] Dngn k ntk mmri plng gi ntk kiln ri gris ng sm. Shingg, [ ] = k [ ] Dngn mngkspnsi n mnrhnkn sk-sk, iprolh hsil rikt ini:. = k. = k. = k. Jik k =, mk osrsi pt isrhnkn mnji =. Dn ini mnghsilkn [ ]
Ini jg pt itlis sgi = - /. Ini lh prsmn ri gris ng tgklrs p sm. Olh krn tik trts, mk prsmn ini mrprsntsikn sm gris ng tgklrs p sm. Jik k =, nlisis ng sm kn mngrh p ntk [ ] ng jg pt itlis sgi =. Prsmn ini lh sm Torm: Jrk lh inrin lm trnsormsi rlksi Torm: Ls lh inrin lm trnsormsi rlksi
KOMPOSISI DAN ANALISIS TRANFORMASI Trnsormsi-trnsormsi ng ipljri smpi p gin ini lh ng spsil: Rotsi ngn titik pst rotsi lh titik sl koorint, n kn rotsi p smrng titik P; rlksi trhp sm, n kn rlksi trhp smrng gris r, st. Mtriks-mtriks ng rkitn ngn hl-hl spsil ini jik iningkn ngn ng linn, lh mtriks mtriks ng srhn. Dlm ini kit sliiki pnggnn mtriks-mtriks srhn sgi iling lok lm mngkonstrksi trnsormsi-trnsormsi ng lih komplks n mtriks-mtriksn. Strtgi ng mm ignkn lh mngngkpkn trnsormsi ng iinginkn sgi st komposisi ri mtriks-mtriks srhn, srt inrsn. Misln, rotsi p ing ngn titik pst rotsi (, ) pt iprolh mlli komposisi ri tig grkn p ing Eli: T: Trnslsikn titik pst rotsi k titik sl. R: Rotsi p pst rotsi ng skrng lh titik sl T - : Trnslsikn titik pst rotsi k lok sml it (, ). Untk st kmpln titik X, komposisi ri mtrik-mriks it pt itlis sgi rikt: T - RTX = X -, t Dngn mlkkn prklin ri kiri k knn, iprolh : ( ) ( ) Ini lh rms mm ntk rotsi ngn pst (,), n iormlkn lm torm rikt. Krn kolom ktig trliht rmit, nk mhsisw mtmtik lih sk mnggnkn komposisi mtriks ntk mntkn rotsi.
Torm: Dikthi titik pst rotsi lh (, ), n st ptr lh rot irikn olh:, trnormsi ( ) ( ) Mnjikn Rlksi sgi komposisi ri mtriks C Eqtion(Lin DB): = -. +. Eqtion(Lin CA): = -. gris ng trtrnslsi D gris ng trotsi s - - - A B - St ptr Pnktn ng sm pt itmph ntk mrprsntsikn st rlksi trhp st gris ng kn sm. Gmr i ts ini mnnjkkn st gris ngn prsmn =-. +.. Ml-ml gris ng ikthi it itrnslsikn olh T smikin shingg ngnn mlli titik sl. Slnjtn ngn ini irotsikn olh R rlwnn ngn rh ptrn jrm jm sp rimpit ngn sm. Stlh mlkkn rlksi F trhp sm, ilkkn lgi rotsi R - n Trnslsi T - ntk mngmlikn gris ng trlksi ti k posi sml. Komposisi ri
trnsormsi-trnsormsi ini pt intkn sgi T - R - F R T X = X. Prsmn mtriks n lh: Dimn st ptr lh = rtn () St mtriks trnsormsi itntkn ntk rlksi trhp gris l [ ], imn l mmotong sm i titik - / ngn kmiringn -/,. Torm: Dikthi gris l [ ], mtriks trnsormsi R ntk rlksi p l itntkn olh ( ) ( ) R, imn Contoh: Tntknlh mtriks trnsormsi ntk st rlksi trhp gris [ - ]. Mislkn = -, =, n =, mtriks trnsorm lh R =.8.6.6.8.6.8 Mnntkn st mtriks ntk trnsormsi linr jik ikthi ok n ngnn St tgs ng trkit ngn ini lh mnntkn mtriks ri st trnsormsi linr jik ikthi ok n ngnn lm trnsormsi ini. Yit, ikthi st kmpln titik X n ngnn X, kit mnntkn st mtriks A smikin shingg AX = X. Is prtm ng hrs iprhtikn lm hl ini lh Brp titik ng iprlkn? Dngn rpikir sr nlitis, prtnn ini pt
intkn sr lin: Jik ikthi nili-nili ri,,, n, pkh nili-nili,,,, n kn sr nik itntkn olh prsmn Sgi ontoh, jik kit mil (,, ) = (,, ) n (,, ) = (,, ), mk prsmn ini kn mnghsilkn ntk ljr + + = n + + =. Jlslh hw nk pilihn ntk nili-nili,,,,,, n ng mmnhi prsmn-prsmn ini. Kit pt mmnng trnslsi T mmtkn (,, ) onto (,, ). Altrnti linn, trnsormsi ng isikn olh mtri Akn mmrikn hsil ng sm. Dngn mikin, jik hn ikthi st titik n ngnn, mk mmng tik kp ntk sr nik mnntkn st trnsormsi linr. Apkh ngn ikthi titik n ngnn, mk kit kp pn inormsi ntk mngtkn hw hn st mtriks? Prsmn mtriks ntk titik n ngnn lh sgi rikt. Untk mngksplor kmngkinn ini, mislkn trnsormsi ini mmtkn titik (,, ) onto (,, ), n titik (,, ) onto (,, ). Pngnin ini mnghsilkn hngn + =, n + =. Olh krn trpt t hingg pnl ntk prsmn-prsmn ini, ngn hn mngnkn titik tik kn mnghsilkn st prsmn linr. Bgimn jik ignkn tig titik? Dngn smsi ini, prsmn mtriks mnji
Prsmn mtriks rntk sprti ini, AX = X, pt islsikn trhp A slkn X. Dlm hl tig titik it tik kolinr, mk X. Jik prsrtn ini trpnhi, solsi ri prsmn mtri ti pt itlis sgi A= X X. Contoh: Tntknlh mtris trnsormsi T ng mmtkn himpnn titik-titik X = mnji himpnn titik-titik X Is prtm lh mnntkn pkh X. Dngn pngkn ng pt pt itmkn hw trminn ini sm ngn -5. Lngkh riktn lh mnntkn inrs ri mtriks X = Inrs ri X lh X 5 5 5 5 5 5 Trnsormsi ng lm ikthi it irikn olh A = X X, t A = 5 5 5 5 5 5 5 5
Gris-Gris Inrint n Vtor-tor Eign Di gin pn ijmpi hw prsmn A k imoiiksi sgi A k ktik kit mnri gris-gris inrin p st trnsormsi linr A. Skrng kit o mngksplor hngn intr A k n hngn mtmtik ng trknl linn, it nili ign t krktristik p prsmn mtriks. Prsmn ign sring itlis sgi T, imn T lh st mtri, n V n V lh st rng ktor. Untk st mtri T ng ikthi, psngn n ng mmnhi prsmn ini rtrt-trt inmkn nili ign n ktor ign. Sr gomtris hngn ini iintrprtsikn sgi rikt: st ktor iskl lgi olh n hn mnglmi prhn srn lm krn pnjng n/t rh ng rlik. Agr hl ini trji, ik tpn ngnn hrs trltk p gris ng sm, l. Akitn, gris l hrs inrint trhp T. Hl ini mnrnkn hw prosr ntk mnntkn nili ign n ktor ign pt itrpkn ntk kprln mnntkn gris inrint trhp st trnsormsi linr. Dngn mmningkn prsmn gris A k n prsmn ign T, jlslh hw nili-nili ng iprolh ntk k p ontoh-ontoh i gin 4. 4.4 ssngghn lh nili-nili ign ng rkitn ngn mtriks trnsormsi A. Prsmn ign T pt itlis lgi sgi T. Dngn mmktorkn ntk ini ngn ktor, n mnglikn ngn mtriks intits I kn mnghsilkn ( T I). Dlm ntk mtriks, ini lh t t t t t t Dpt iprlihtkn hw prsmn ini mmpni pnl ng nontriil jik, t t t t t t =
Dtrminn ini pt isrhnkn n islsikn ntk mmprolh nili. Mnk nili nili ign tlh itntkn, ktor-ktor ign pt iprolh ngn mnsstitsikn nili nili ign ini p prsmn ign. Vktor-ktor ign ini pt ignkn ntk mngintiiksikn gris-gris inrin. Klkltor tp TI-9, Mpl, Mtl pt mnmkn nili ign n ktor ign sr otomtis. Contoh: Tntkn nili ign n ktor ign ng rkitn ngn trnsormsi linr Nili-nili ign ng rtlin ngn mtriks ini iprolh ri prsmn Jik rs kiri ikspnsikn mk kn iprolh prsmn ( )( ). Prsmn ini islsikn kn mnghsilkn nili.tip nili ign ini jik isstitsikn klm prsmn ign T, it. Jik, prsmn ini kn mnghsilkn, n. Intrprtsi, ri hsil ini lh hw ntk kn mnkn n tik trts. Vktor ign ng rkitn ngn nili ign rntk t. Sm gris ini tgk lrs p sm. Jik, prsmn ini kn mnghsilkn, n. Intrprtsi ri hsil ini lh hw, ng mnkn tik trts. Vktor ign rsosisi ngn sm gris rntk t =. Ini lh sm. Prl ipriks hw nili-nili ign ng mngkin ntk st isomtri lh n -.