Matematika Dasar VOLUME BENDA PUTAR

Transkripsi

1 OLUME BENDA PUTAR Ben putr yng seerhn pt kit mil ontoh lh tung engn esr volume lh hsilkli lus ls ( lus lingkrn ) n tinggi tung. olume ri en putr ser umum pt ihitung ri hsilkli ntr lus ls n tinggi. Bil lus ls kit nytkn engn A(x) n tinggi en putr lh pnjng selng [, ] mk volume en putr pt ihitung menggunkn integrl tentu segi erikut : = A( x) x Untuk menptkn volume en putr yng terji kren sutu erh iputr terhp sutu sumu, ilkukn engn menggunkn u uh metoe yitu metoe krm n kulit tung. Metoe Ckrm Misl erh itsi oleh y = f(x), y =, x = n x = iputr engn sumu putr sumu X. olume en pejl/pt yng terji pt ihitung engn memnng hw volume en pt terseut merupkn jumlh tk erhingg krm yng erpust i titik-titik p selng [,]. Misl pust krm ( x o, ) n jri-jri r = f(x o ). Mk lus krm inytkn : A( x o ) = π f (x o ). Oleh kren itu, volume en putr : = π [ f ( x ) ] x Seng il grfik fungsi inytkn engn x = w(y), x =, y = n y = iputr mengelilingi sumu Y mk volume en putr :

2 = π [ w ( y ) ] y Bil erh yng itsi oleh y = f(x), y = g(x) { f(x) g(x) untuk setip x [,] }, x = n x = iputr engn sumu putr sumu X mk volume : ([ ] [ ] ) = π f x g x x Bil erh yng itsi oleh x = w(y), x = v(y) { w(y) v(y) untuk setip y [, ] }, y = n y = iputr engn sumu putr sumu Y mk volume : ([ ] [ ] ) = π w y v y y Hitung olume en putr il erh yng itsi oleh : y = x n y = 8x iputr mengelilingi. Sumu X.. Sumu Y Jw : Keu kurv erpotongn i (, ) n (,4 ).. P selng [, ], 8x x. olume en putr = 48 ( 8x ) ( x ) = π = π x y. P selng [,4 ], y. olume en putr = 8 5

3 4 = π y 8 7 ( ) y y = π 5 Hitung volume en putr il erh yng itsi oleh : y = - x, y = -x n sumu Y il iputr mengelilingi gris y = - Jw : Keu kurv erpotongn i ( -, ) n (,- ). P selng [ -, ] erlku - x -x. Jrk kurv y = - x n y = -x terhp sumu putr ( gris y = - ) pt ipnng segi jri-jri ri krm, erturut-turut lh ( 4 - x ) n ( - x ). Oleh kren itu, volume en putr : = π 36 ( 4 x ) ( x) x = π 5 Metoe Kulit Tung Metoe erikut segi lterntif lin lm perhitungn volume en putr yng mungkin leih muh iterpkn il kit ningkn engn metoe krm. Ben putr yng terji pt ipnng segi tung engn jri-jri kulit lur n lmny ere, mk volume yng kn ihitung lh volume ri kulit tung. Untuk leih memperjels kit liht urin erikut. Pnng tung engn jri-jri kulit lm n kulit lur erturut-turut r n r, tinggi tung h. Mk volume kulit tung lh : ( ) = πr πr h = πrh r engn : r r = r (rt rt jri jri ), r r = r Bil erh yng itsi oleh y = f(x), y =, x = n x = iputr mengelilingi sumu Y mk kit pt memnng hw jri-jri r = x, r = x n tinggi tung h = f(x). Oleh kren itu volume en putr =

4 = π x f ( x ) x Misl erh itsi oleh kurv y = f(x), y = g(x) { f(x) g(x), x [,] }, x = n x = iputr mengelilingi sumu Y. Mk volume en putr = = π x[ f ( x ) g ( x ) ] x Bil erh itsi oleh grfik yng inytkn engn x = w(y), x =, y = n y = iputr mengelilingi sumu X, mk volume = = π y w ( y ) y Seng untuk erh yng itsi oleh x = w(y), x = v(y) { w(y) v(y), y [, ]}, y = n y = iputr mengelilingi sumu X. Mk volume en putr = = π y [ w ( y ) v ( y ) ] y Hitung volume en putr il erh yng terletk i kurn pertm iwh prol y = - x n i ts prol y = x iputr mengelilingi sumu Y. Jw : Keu prol erpotongn i ( -, ) n (, ). P selng [, ], x x. Bil igunkn metoe kulit tung, volume = [( x ) x ] π = π x x =

5 Bil kit gunkn metoe krm, mk erh kit gi menji u gin yitu : p selng y itsi x = y n sumu Y seng p selng y itsi x = y n sumu Y. Oleh kren itu volume = ( y ) y + π ( y ) y π = π = Hitung volume en putr il erh D yng itsi oleh y = - x, sumu X n sumu Y il iputr mengelilingi gris x = Jw : Misl i mil semrng nili x p erh D mk iptkn tinggi en pejl, ( - x ) n jri-jri ( jrk x terhp sumu putr / gris x = ), ( + x ). Oleh kren itu, volume en putr : = π 5 6 ( + x)( x ) x = π Sol Ltihn ( Nomor s 8 ) Hitung volume en putr il erh erikut iputr engn sumu putr sumu X.. y = x, x =, x =, y = 5. y = sin x, y = os x, x =, x = π/4. y = /x, x =, x = 4, y = 6. y = x +, y = x y = 9 - x, y = 7. y = x, y = x 4. y = x, y = 4x 8. y = x, y = x 3. ( Nomor 9 s 5 ). Hitung volume en putr il erh erikut iputr mengelilingi sumu Y. 9. x = -y, x = π. x = os y, y =, y =, x =. y = /x, y =, y = 3, x =

6 . y = x -, x =, y = 3. y = x, x = y. 4. x = y, x = y + 5. x = - y, x = + y, y = -, y = 6. Hitung volume en putr ri erh yng terletk i kurn pertm yng itsi oleh y = x 3, gris x = 4 n sumu X. Bil iputr mengelilingi. Gris x = 4. Gris y = 8 7. Hitung volume en putr ri erh yng terletk i kurn pertm yng itsi oleh y = x 3, gris y = 8 n sumu Y. Bil iputr mengelilingi. Gris x = 4. Gris y = 8 ( Nomor 8 s ) Hitung volume en putr engn sumu putr sumu Y untuk erh yng itsi oleh: 8. y = os x, y =, x =, x = ½ π,. x = y, y = x. 9. y = x -, y = -x + 3, x = 3. y = x - x, y = ( Nomor s 5 ) Hitung volume en putr engn sumu putr sumu X untuk erh yng itsi oleh: 6. y = x, y =, x = 7. x = y, y =, y = 3, x = 8. y = x, x =, y = 9. xy = 4, x + y = 5

7 ( Nomor 6 s 9 ) Gmr n rsir erh D n hitung volume en putr yng terji il erh D n sumu putrny ierikn erikut : 6. y = x, x = 4, y = ; gris x = 4 7. y = - x ( x ), x =, y = ; gris x = 8. x = y, y =, x = ; gris y = 9. x = y +, y =, x =, y = ; gris y = 3