SEMESTER 3 ANALISIS VEKTOR PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SURAKARTA
Sks : 2 sks Dosen : Sri Rejeki Nomor Telepon: 085725313171 E mail : sri.rejeki@ums.ac.id Website : http//www.srirejeki171.wordpress.com
MANFAAT MATAKULIAH Setelah mempelajari matakuliah ini, mahasiswa diharapkan dapat menerapkan konsep vektor dan kalkulus fungsi vektor dalam memecahkan masalah terkait dalam kehidupan seharihari. DESKRIPSI MATAKULIAH Matakuliah ini berbobot 2 sks yang diberikan pada Semester III, Materi pokok matakuliah ini meliputi : konsep vektor dan skalar, operasi dasar vektor, hukum-hukum dalam aljabar vektor, fungsi vektor, limit fungsi vektor turunan dalam vektor, medan vektor dan gradien dari medan vektor, integral garis dan integral kurva, integral permukaan, Teorema divergensi Gauss, Teorema Green, menentukan luas daerah tertentu, Teorema Stokes, aplikasi teorema Stokes, dan koordinat kurvilinear.
CAPAIAN PEMBELAJARAN 1. Memiliki motivasi dan gambaran yang jelas mengenai materi analisis vektor 2. Mnerapkan konsep skalar dan vektor 3. Menerapkan turunan fungsi vektor dalam pemecahan masalah 4. Menentukan medan vektor dan gradien 5. Menggunakan integral garis 6. Menerapkan integral permukaan 7. Menerapkan Teorema Divergensi Gauss 8. Menerapkan Teorema Stokes 9. Mengenali koordinat kurvilinear
SUMBER BELAJAR Janich, K. 2000. Vektor Analysis. Springer: New York. James, S. 2012. Multivariable Calculus 7 th Edition. Sukirman. 2007. Analisis Vektor. Universitas Terbuka: Jakarta. Spiegel, M. R. 1991. Analisis Vektor. Seri Buku Schaum. Erlangga: Jakarta.
PENILAIAN 5 P + 30 T + 30 UTS + 35 UAS Nilai Akhir = 100 Nilai : skor >= 77 A 70 =< skor < 77 AB 63 =< skor < 70 B 56 =< skor < 63 BC 50 =< skor < 56 C 35 =< skor < 50 D skor < 35 E
RENCANA PEMBELAJARAN MINGGU 1 2 3 4 5 6 7 KEGIATAN PEMBELAJARAN Kuliah awal MATERI KULIAH DAN BENTUK KEGIATAN Kontrak perkuliahan Konsep vektor dan skalar Hasil kali titik dan Hasil kali silang Persamaan Garis dan Persamaan bidang Silinder dan Permukaan-permukaan kuadrik Fungsi vektor dan kurva ruang Panjang busur dan kelengkungan Turunan dan integral fungsi vektor UTS
RENCANA PEMBELAJARAN MINGGU 8 9 10 11 12 13 14 KEGIATAN PEMBELAJARAN MATERI KULIAH DAN BENTUK KEGIATAN Medan vektor dan gradien Integral garis atau Integral kurva Integral permukaan Teorema Green Curl dan divergensi Teorema Stokes Koordinat kurvilinear. UAS
KONTRAK PERKULIAHAN 1. Kegiatan pemebelajaran dimulai pada jam yang telah disepakati, toleransi keterlambatan tidak terbatas. 2. Selama proses pembelajaran berlangsung HP dimatikan/disilent. 3. Pengumpulan tugas ditetapkan sesuai jadwal dan dilakukan sebelum pembelajaran dimulai. Bagi yang mengumpulkan tugas pada hari terakhir pengumpulan tugas, nilai maksimal C. 4. Aturan jumlah minimal presensi dalam perkuliahan tetap diberlakukan (75%), termasuk aturan cara berpakaian atau bersepatu. 5. Bagi mahasiswa yang terbukti melakukan kecurangan pada saat UTS atau UAS, pekerjaan UTS atau UAS tersebut tidak akan dikoreksi dan otomatis akan mendapatkan nilai 0.
BAB 1 VEKTOR DAN SKALAR Definisi Vektor adalah suatu kuantitas yang mempunyai besar dan arah. Contoh: perpindahan, kecepatan, dan percepatan Skalar adalah suatu kuantitas yang mempunyai besar tetapi tanpa arah. Contoh: massa, panjang, waktu, suhu Aljabar Vektor merupakan operasi-operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian dalam aljabar dari vektor-vektor.
Notasi : Vektor bidang : a = a 1, a 2 Vektor ruang : a = a 1, a 2, a 3 Bilangan-bilangan a 1, a 2, dan a 3 disebut komponen-komponen a. Representasi dari vektor a = a 1, a 2 adalah ruas garis lurus AB dari sembarang titik A(x, y) ke titik B(x + a 1, y + a 2 ). Representasi khusus dari a adalah ruas garis lurus OP dari titik asal ke titik P(a 1, a 2 ). Dalam hal ini a disebut vektor posisi dari titik P(a 1, a 2 ). B(x+a 1, y+ a 2 ) y Contoh P(a 1, a 2 ) Carilah vektor yang dinyatakan oleh ruas garis dengan titik awal A(2, -5, 0) A(x, y) O x dan titik akhir B(-3, 1, 1).
Panjang vektor a = a 1, a 2 adalah a a a 2 2 1 2 Panjang vektor a = a 1, a 2, a 3 a Penjumlahan Vektor a a a 2 2 2 1 2 3 y Jika a = a 1, a 2 dan b = b 1, b 2, maka a + b didefinisikan oleh a +b a b, a b 1 1 2 2 a + b Untuk vektor ruang didefinisikan dengan cara a serupa. O x b
Perkalian Vektor dengan Skalar Jika c skalar dan a = a 1, a 2, maka vektor ca didefinisikan oleh ca ca, ca 1 2 Untuk vektor ruang didefinisikan dengan cara serupa. Contoh Jika a = 4, 0,3 dan b = -2, 2, 5, carilah vektor a + b, 3b, 2a+ 5b, dan 2a + 5b. Jawab:
Sifat-Sifat Vektor Jika a, b, dan c adalah vektor pada ruang yang sama, dan k dan l adalah skalar, maka 1. a + b = b + a 5. k(a + b) = ka + kb 2. a + (b + c) = (a + b) + c 6. (k + l)a = ka + la 3. a + 0 = a 7. (kl)a = k(la) 4. a + (-a) = 0 8. 1a = a Vektor Basis baku z i = 1, 0, 0 j = 0,1, 0 k= 0, 0, 1 x i k j y
Jika a = a 1, a 2, a 3, maka dapat kita tuliskan a = a 1, a 2, a 3 = a 1, 0, 0 + 0, a 2, 0 + 0, 0, a 3 = a 1 1, 0, 0 + a 2 0, 1, 0 + a 3 0, 0, 1 a = a 1 i + a 2 j + a 3 k Contoh Jika a = i + 2j 3k dan b = 4j + 5k, nyatakan 2a + 5b dalam i, j, dan k. Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya 1. Misalnya, i, j dan k. Jika a vektor tak nol, maka vektor satuan yang searah a adalah 1 a u = a = a a
Contoh Carilah vektor satuan dalam arah vektor 2i + j 2k.
LATIHAN 1. Nyatakan manakah yang merupakan vektor dan merupakan skalar: berat, kalor jenis, kerapatan, volum, kecepatan, kalori, momentum, energi, jarak, harga tiket bioskop, arus sungai, jalur penerbangan dai Solo ke Medan, populasi dunia. 2. Sebuah mobil bergerak ke arah utara seauh 3 km, kemudian 5 km ke arah timur laut. Gambarkan perpindahan ini secara grafis dan tentukan vektor perpindahan resultannya secara grafis dan secara analitis. 3. Perlihatkan bahwa penjumlahan vektor adalah assosiatif. 4. Diketahui a = 3, -2, 1, b = 2, -4, -3, c = -1, 2, 2 carilah besarnya a, a+b+c, dan 2a-3b-5c. 5. Diketahui a = 2, -1, 1, b = 1, 3, -2, c = -2, 1, -3, dan d = 3, 2, 5 carilah skalar-skalar k, l, m sehingga d=ka+lb+mc