PROBABILITAS Pengertian Pada awal perkuliahan, sebelum menjelaskan probabilitas, dibahas sepintas sebagai pengantar tentang eksperimen, titik sampel, ruang sampel, dan peristiwa, serta variabel random secara umum. Dasar semua ini, perlu pula diingat kembali teori himpunan. Selanjutnya, dijelaskan materi probabilitas. Definisi.: Jika A suatu peristiwa yang bersesuain dengan suatu eksperimen dan ruang sample berhingga S yang setiap titik sampelnya berpeluang sama terjadi, maka probabilitas peristiwa A, ditulis P(A, didefinisikan: P(A = n ( A n ( S Contoh.: Pada pelantunan sebuah dadu, tentukan probabilitas dari peristiwa A : memuat semua titik sampel gasal B : memuat semua titik sampel prima C : memuat semua titik sampel yang tak kurang dari 3. Jawab: P(A = ½, P(B = /3, dan P(C = ½. Apabila X suatu variabel random yang bersesuaian dengan suatu eskperimen dan ruang sample S, sedangkan peristiwa A berkaitan dengan suatu harga tertentu dari X, yaitu i, maka P(A = P(X = i. Dengan demikian, dapat diperoleh untuk peristiwa-peristiwa lain, sebagai P(B = P(X i atau P(C = P(X ³ i atau P(D = P( i X j, dan seterusnya. Contoh.: Pada pelantunan tiga buah mata uang logam, ditentukan variabel random X : banyaknya ²G² yang nampak. Tentukan: Bahan Ajar Statistika Matematika I
(a P(X = 0 (c P(X = (e P(X 3 (g P(X > (b P(X = (d P(X = 3 (f P(X (h P(X > 3 Jawab: dibiarkan sebagai latihan! Sifat dan Teorema Dasar Probabilitas Definisi probabilitas (probabilitas a priori di atas mempunyai beberapa kelemahan, yaitu (a Tidak berlaku untuk ruang sampel takhingga; (b Persyaratan: ²Setiap titik sampel berpeluang sama untuk muncul² tidak selalu dipenuhi oleh setiap eksperimen. Sehingga untuk mengembangkan teori probabilitas lebih kanjut, disusunlah beberapa sifat berikut:. P(A adalah bilangan real yang non-negatif untuk setiap peristiwa A dalam S, P(A ³ 0. P(S = 3. Jika A, A, merupakan peristiwa-peristiwa yang saling asing di S, A i Ç A j = Æ untuk i ¹ j =,, 3,, maka P(A È A È = P(A + P(A + Dari sifat-sifat di atas dapat diturunkan beberapa teorema berikut: Teorema.: P(A c = P(A Bukti: Karena A Ç A c = Æ dan A È A c = S, maka P(A È A c = P(A + P(A c = P(S =. Jadi P(A c = P(A. Teorema.3: 0 P(A Bahan Ajar Statistika Matematika I
Bukti: P(A ³ 0 jelas. Akan dibuktikan P(A, sebagai berikut: P(A c = P(A atau P(A c = P(A = P(A c Karena P(A c ³ 0 dan P(A ³ 0, maka jelas P(A. Teorema.4: P(Æ = 0 Bukti: Karena A È Æ = A dan A Ç Æ = Æ, sehingga P(A È Æ = P(A + P(Æ = P(A. Jadi P(Æ = 0. Teorema.5: Untuk peristiwa-peristiwa A dan B sebarang, berlaku: P(A È B = P(A + P(B - P(A Ç B Bukti: Dari teori himpunan, diketahui bahwa A È B = A È (A c Ç B, dan A Ç (A c Ç B = Æ. Maka P(A È B = P(A + P(A c Ç B (* Di lain pihak B = S Ç B = (A È A c Ç B = (A Ç B È (A c Ç B. Karena (A Ç B Ç (A c Ç B = Æ, maka P(B = P(A Ç B + P(A c Ç B. (** Dari (* dan (**, diperoleh P(A È B = P(A + P(B - P(A Ç B. Teorema.6: Untuk setiap peristiwa A, B, dan C berlaku P(AÈBÈC=P(A+P(B+P(C P(AÇB P(AÇC P(BÇC+P(AÇBÇC Bukti: P(A È B È C = P((AÈB È C = P(AÈB + P(C - P((AÈB Ç C = P(A + P(B P(A Ç B + P(C P((A Ç C È (B Ç C = P(A + P(B + P(C P(A Ç B [P(A Ç C + P(B Ç C - P((A Ç B Ç C] Bahan Ajar Statistika Matematika I 3
Teorema.7: Jika A Í B, maka P(A P(B Bukti: Karena A Í B berarti A È (B A = B. Sehingga P(B = P(A È (B A = P(A + P(B A P(A Ç (B A = P(A + P(B A P(A Ç (B A = P(A + P(B A P(A Ç B Ç A c = P(A + P(B A P(A Ç A c Ç B ³ P(A Peristiwa-peristiwa Saling Lepas dan Saling Bebas Definisi.8: Dua peristiwa A dan B disebut saling lepas, apabila A Ç B = Æ. Definisi.9: Dua peristiwa A dan B disebut saling bebas jika dan hanya jika P(AÇB = P(AP(B. Definisi.0: Tiga peristiwa A, B, dan C disebut saling bebas, jika dan hanya jika keempat syarat berikut dipenuhi: P(A Ç B = P(AP(B P(A Ç C = P(AP(C P(B Ç C = P(BP(C P(A Ç B Ç C = P(AP(BP(C Contoh.3: Pada pelantunan dua dadu, ditentukan peristiwa-peristiwa berikut: A = {(, y = 5}, B = {(, y y = 4}, C = {(, y > y} (a Tentukan peristiwa-peristiwa yang lepas (b Tentukan dua peristiwa yang bebas. Teorema.: Jika A dan B bebas, maka A c dan B c bebas, A dan B c bebas, serta A c dan B bebas. Bahan Ajar Statistika Matematika I 4
Probabilitas Bersyarat Definisi.: Jika dan A dan B merupakan dua peristiwa di dalam satu ruang sampel S dan P(A ¹ 0, maka probabilitas bersyarat dari B jika A diketahui, ditulis P(B A, didefinisikan sebagai P(B A = P ( A Ç B P ( A Teorema.3: Jika A dan B merupakan dua peristiwa di dalam ruang sampel S dan P(A ¹ 0, maka berlaku P(A Ç B = P(AP(B A Teorema.4: Jika A,B, dan C merupakan tiga peristiwa di dalam ruang sampel S sedemikian hingga P(A ¹ 0 dan P(A Ç B ¹ 0, maka P(A Ç B Ç C = P(AP(B AP(C A Ç B Teorema.5: Jika A dan B dua peristiwa saling bebas, maka P(B A = P(B Bukti: Untuk Teorema.3,.4, dan.5 dibiarkan sebagai latihan Contoh.4: Suatu industri suku cadang pesawat terbang mengetahui dari pengalaman sebelumnya bahwa probabilitas suatu pesanan siap dikapalkan pada waktunya adalah 0.80, dan probabilitas pesanan akan siap dikapalkan dan juga diantarkan pada saatnya adalah 0.7. Carilah probabilitas, bahwa pesanan tersebut akan diantarkan pada saatnya jika diketahui telah dikapalkan pada saatnya. Jawab: Probabilitas yang dicari adalah 0.90. Bahan Ajar Statistika Matematika I 5
Fungsi Distribusi Variabel Random Diskrit Definisi.: Jika X suatu variabel random, dan jika banyak harga-harga yang mungkin dari X adalah berhingga (finite atau takhingga terhitung (countable infinite, denumerable, maka X disebut suatu variabel random diskrit. Jadi hargaharga X tersebut dapat disusun sebagai,,, n, Definisi.: Jika X suatu variabel random diskrit dengan harga-harga,,, maka suatu fungsi f( = P(X = disebut suatu fungsi probabilitas atau fungsi densitas probabilitas (probability density function, disingkat pdf, dari X, apabila memenuhi syarat-syarat: (i f( ³ 0 untuk semua n (ii å f i ( = i Contoh.: Jika X variabel random diskrit dengan harga-harga 0,,,, sedang P(X = k = C k n p k q n k, dengan k, p, dan q non-negatif dan p+q=, maka P(k memenuhi syarat untuk fungsi probabilitas dari X. Variabel Random Kontinu Definisi.3: X disebut suatu variabel random kontinu, jik aterdapat suatu fungsi f, yang disebut fungsi densitas probabilitas (pdf dari X, memenuhi syarat sebagai berikut: (i f( ³ 0, untuk semua (ii ò f ( d = (iii Untuk suatu a, b dengan - < a < b < diperoleh P(a X b = b ò f ( d a Bahan Ajar Statistika Matematika I 6
Contoh.: Tunjukkan bahwa f( yang didefinisikan sebagai ì, 0 f( = í î 0, untuk yang lain merupakan pdf dari variabel random kontinu X. Jawab: (i f( ³ 0 jelas dari fungsi di atas; (ii ò 0 f ( d = ò 0 d + d ò + 0 d = 0 Jadi, terbukti f( merupakan pdf dari X. ò Contoh.3: Jika diketahui X variabel random kontinu dengan pdf ì c, 0 f( = í î 0, untuk yang lain Carilah: (a harga konstanta c (c P(X > (b P(/ < X < 3/ (d Grafik f( Jawab: (a c = ½ (b P(/ < X < 3/ = ½ (c P(X > = ¾ Fungsi Distribusi Definisi.4: Jika X suatu variable random, diskrit atau kontinu, maka fungsi distribusi kumulatif (cummulative distribution function, CDF, ditulis F(, didefinisikan sebagai F( = P(X. Fungsi distribusi kumulatif seringkali disebut fungsi distribusi. Teorema.5: (a Jika X suatu variabel random diskrit dengan fungsi probabilitas f(, maka: n F( = å f ( i di mana i i (b Jika X suatu variabel random kontinu dengan fungsi densitas f(, maka: F( = ò f ( t dt Bahan Ajar Statistika Matematika I 7
Contoh.4: Jika suatu variabel random X mempunyai harga 0,, dan dengan probabilitas berturut-turut /3, /6, dan ½, maka fungsi kumulatifnya adalah ì0, jika 0 / 3, jika 0 F( = í /, jika î, jika ³ Grafik fungsinya adalah: F( 0 3 X Contoh.5: Jika X suatu variabel kontinu dengan fungsi densitas ì, untuk 0 f( = í î 0, untuk yang lain maka fungsi kumulatifnya adalah ì0, jika 0 F( = í, jika 0 î, jika ³ Grafiknya dapat dibuat sebagai latihan. Contoh.6: Sasaran tembak pada suatu latihan menembak, membentuk lingkaran dengan jari-jari R dan berpusat di titik O(0,0. Fungsi distribusi F( untuk variabel random X dapat dicari sebagai latihan. Bahan Ajar Statistika Matematika I 8
3 Distribusi Multivariat Distribusi Bivariat dan Trivariat Definisi 3.: Jika X dan X variabel-variabel random diskrit, maka fu ngsi f(, = P(X =, X = untuk setiap (, dalam X dan X, disebut fungsi probabilitas bersama atau distribusi probabilitas bersama (joint distribution dari X dan X. Teorema 3.: Suatu fungsi bivariat dapat merupakan distribusi probabilitas bersama dari sepasang variabel random diskrit X dan X jika dan hanya jika f(, memenuhi syarat berikut: (i f(, ³ 0 untuk setiap (, dalam domainnya; (ii åå f, =, di mana ;jumlah dobel berlaku untuk semua ( pasangan (, yang mungkin dalam doimainnya. Contoh 3.: Tentukan harga c sedemikian hingga fungsi f(, = c untuk, =,, 3 merupakan distribusi probabilitas bersama. Jawab: Diselesaikan sendiri, sehingga memperoleh c = /36. Definisi 3.3: Jika X dan X merupakan variabel random diskrit, maka fungsi: F(, = P(X, X = åå s t f ( s, t untuk - <, - < ; di mana, f(s, t harga-harga dari distribusi probabilitas bersama dari X dan X pada (s, t; disebut fungsi distribusi bersama, atau distribusi kumulatif bersama dari X dan X. Contoh 3.: Apabila F(, distribusi bersama dari variabel random diskrit X dan X tersebut dalam Contoh 3., maka diperoleh F(, 3 = P(X, X 3 = ½. Bahan Ajar Statistika Matematika I 9
Definisi 3.4: Suatu fungsi bivariat dengan harga-harga f(, yang didefinasikan pada disebut fungsi densitas probabilitas bersama (joint pdf dari variabel random kontinu X dan X jika dan hanya jika P[(X, X Î A] = òò A f (, d d untuk setiap region A pada bidang. Teorema 3.5: Suatu fungai bivariat merupakan suatu fungsi densitas probabilitas bersama dari sepasang variabel random kontinu X dan X, jika harga-harganya f(, memenuhi syarat (i f(, ³ 0 untuk - < <, - < < (ii ò ò f ( d d =, Fungsi densitas probabilitas bersama sering disebut densitas bersama (joint density Contoh 3.3: Jika densitas bersama X dan X adalah sebagai berikut: ì f(, = í î untuk 0, 0, untuk yang lain maka dengan menyelesaikannya, diperoleh fungsi distribusi bersama adalah F(, = ì0, untuk 0, 0 (, untuk 0, 0 í (, untuk, 0 (, untuk 0, î, untuk, Bahan Ajar Statistika Matematika I 0
Distribusi Marginal Definisi 3.6: Jika X dan X merupakan variabel random diskrit dan f(, adalah harga dari distribusi probabilitas bersama di (,, maka fungsi yang diberikan oleh g( = å f (, untuk setiap di dalam range dari X disebut densitas marginal dari X. Demikian pula, fungsi yang dtberikan oleh h( = å f (, untuk setiap di dalam range dari X disebut densitas marginal dari X. Definisi 3.7: Jika X dan X merupakan variabel random kontinu dan f(, adalah harga dari distribusi probabilitas bersama di (,, maka fungsi yang diberikan oleh g( = ò f ( d untuk - < <, - < <, disebut densitas marginal dari X. Demikian pula, fungsi yang dtberikan oleh h( = ò f ( d untuk - < <, - < <, disebut densitas marginal dari X. Contoh 3.4: Jika densitas bersama ì ( 3 f(, = í î0,, untuk 0 untuk,, 0 yang lain maka densitas marginal dari X adalah g( = /3( +, untuk 0 < <, dan densitas marginal dari X adalah h( = /3( + 4, untuk 0 < <. Bahan Ajar Statistika Matematika I
Seperti halnya pada distribusi univariat, di sini didefinisikan pula fungsi distribusi marginal dan fungsi distribusi marginal bersama berikut. Definisi 3.8: Jika F(, adalah harga dari fungsi distribusi bersama dari variabel random X dan X di titik (,, maka fungsi G dengan G( = P(X, X = untuk - < < disebut fungsi distribusi marginal dari X. Demikian pula fungsi H dengan H( = P(X =, X untuk - < < disebut fungsi distribusi Marginal dari X. Definisi 3.9: Jika F(,, 3 merupakan harga dari fungsi distribusi bersama variabel random X, X, dan X 3 di titik (,, 3, maka fungsi G dengan G(, = P(X, X, X 3 =, untuk - < <, - < <. disebut fungsi distribusi marginal bersama dari X dan X. Contoh 3.5: Jika diketahui densitas dari variabel random X, X, dan X 3 berikut 3 ì( e ; 0, 0, 3 0 f(,, 3 = í î 0; yang lain maka fungsi distribusi marginal bersama dari X dan X 3 dengan ì 3 ( ( e ; 0, 0 F(,, 3 = í î0;,, 3 yang lain adalah ì0, ; 0 3 G(, 3 í ( ( e ; 0, 3 0 3 î e ; ³, 3 0 dan fungsi distribusi marginal dari X adalah ì0, ; 0 H( = í ( ; 0 î ; ³, 3 0 Bahan Ajar Statistika Matematika I
Distribusi Bersyarat Definisi 3.0: Jika f(, adalah harga dari distribusi variabel random diskrit X dan X di (, dan h( adalah harga dari distribusi marginal X di, maka f (, fungsi f( =, h( ¹ 0 untuk setiap range dari X (untuk kasus h ( variabel random kontinu, - < <, disebut distribusi bersyarat dari X jika diketahui X =. Demikian pula fungsi W( = f (,, g( ¹ 0, untuk g ( setiap range dari X (untuk kasus variabel random kontinu, - < <, disebut distribusi bersyarat dari X jika diketahui X =, dan g( adalah harga dari distribusi marginal X di. Contoh 3.6: Jika diketahui fungsi densitas variabel random X dan X ì4 ; 0, 0 f(, = í î0;, yang lain maka densitas bersyat dari X jika X = adalah ì ; 0 f( = í î0; yang lain Bahan Ajar Statistika Matematika I 3