ESTIMASI PARAMETER DAN PENGUJIAN HIPOTESISMODEL REGRESI BURRTIGA PARAMETER TIPE XII

Prosdg Semar Nasoal Matematka, Uverstas Jember, 19 November 2014145 ESTIMASI PARAMETER DAN PENGUJIAN HIPOTESISMODEL REGRESI BURRTIGA PARAMETER TIPE XII Rzwa Arsad 1, Purhad 2 1,2 Jurusa Statstka FMIPA ITS Surabaya, Idoesa 16680 E-mal: 1 rzwaarsad@rocketmal.com 2 purhad@statstka.ts.ac.d Abstrak Aalss regres adalah metode statstk yag bergua utuk memerksa da memodelka hubuga datara varabel-varabel respo da predktor. Model regres pada umumya dbagu berdasarka asums bahwa data megkut dstrbus Normal, amu terbatasya jumlah data dalam aalss da pemodela data statstka membuat asums keormala tdak tepat dguaka karea mugk saja dstrbus data bersfat meceg (asmetr) da bahka bsa juga berekor lebh tebal atau berekor lebh tps dar dstrbus ormal (eo ormal). Ada beberapa dstrbus data yag relaksasya mampu meagkap pola kemecega da ketebala pada ekor dataya salah satuya adalah dstrbus Burr.Ketka pola data meceg atau berekor tebal, pemodela da pegolaha data harus dlakuka secara hat-hat. Aalss klask terutama dega feres statstkya terhadap parameter model tdak aka memberka hasl yag lebh bak, oleh sebab tu dstrbus Burr dracag utuk megatas pola data yag sedkt mrg atau tdak smetr karea dstrbus ddesa sebaga dstrbus yag fleksbel da adaptf. Utuk estmas parameter regres Burr megguaka metode maxmum lkelhood estmato (MLE), amu hasl yag dperoleh tdak close form sehgga secara umerk dguaka metode teras Newto-Raphso. Dalam peguja hpotess megguaka maksmum lkelhood Rato test (MLRT). Uj yag dguaka adalah uj seretak da parsal yag dlakuka dega statstk uj yag berdstrbus ch-square. Peelta megkaj estmas parameter da uj hpotess model regres Burr tga parameter tpe XII. Hasl peelta pada estmas parameter dbawah populas yatu θ θ 0, θ 1, θ 2,..., θ J,, da parameter d bawah H 0 yatu, serta perbadgka la llkelhood d bawah H 0 dega llkelhood d bawah populas atau dega perumusa l L ω L Ω, pada peguja hpotess. Kata Kuc: dstrbus Burr tga parameter tpe XII, model regres Burrmaxmum lkelhood estmato(mle) Abstract Regresso aalyss s a statstcal method that s useful to exame ad model the relatoshp betwee the varables ad predctors of respose. Regresso models are geerally bult o the assumpto that the data follow the ormal dstrbuto, but the lmted amout of data statstcal aalyss ad data modelg makes the assumpto of ormalty s ot approprate to be used as the data mght be skewed dstrbuto (asymmetry) ad that t s also a tal thcker or ther taled from a ormal dstrbuto (eo ormal). There are several relaxato data dstrbuto s able to capture the patter of skewess ad the thckess of the tal

Rzwa A da Purhad Estmas Parameter da Peguja Hpotess... 146 of the dstrbuto of the data oe s Burr. Whe the data patter s skewed or heavy-taled, modelg ad data processg must be doe carefully. Classcal aalyss of the statstcal ferece, especally wth the model parameters wll ot gve better results, ad therefore the dstrbuto of weeks to resolve Burr desged data patters slghtly slated or symmetry because ths dstrbuto s desged as a flexble ad adaptve dstrbuto. Burr regresso for parameter estmato usg the method of maxmum lkelhood estmato (MLE), but the results are ot so umercally close form used Newto-Raphso terato method. I the hypothess testg usg maxmum lkelhood rato test (MLRT). Test used s the smultaeous ad partal test statstcs were performed wth ch-square dstrbuto. Ths study exames the parameter estmato ad hypothess testg Bur regresso models wth three-parameter of type XII.The results of the study o the populato sθ θ 0,θ 1,θ 2,...,θ J,, below the parameter estmates ad the parameters uder H 0 Whchλ, β,ad the comparso wth the value llkelhood uder populato or to the formulato l L ω L Ω, the test hypothess. 1. PENDAHULUAN Aalss regres adalah metode statstk yag bergua utuk memerksa da memodelka hubuga datara varabel-varabel respo da predctor Gujarat (2004).Aalss terhadap dstrbus data adalah bdag aalss yag palg petg dalam statstka, terbatasya jumlah data dalam aalss da pemodela data statstka membuat asums keormala tdak tepat dguaka.secara aaltk asums o-ormaltas serg dhadap da sult utuk memlh represetas dstrbus yag mampu mewakl betuk stadar yag tepat da memeuh kadah yag dharuska dalam aalss. Model regres pada umumya dbagu berdasarka asums bahwa data megkut dstrbus Normal, tap pada praktkya secara emprk, asums tdak selalu tepat karea mugk saja dstrbus data bersfat meceg (asmetr) da bahka bsa juga berekor lebh tebal atau berekor lebh tps dar dstrbus ormal (eo ormal). Ada beberapa dstrbus data yag relaksasya mampu meagkap pola kemecega da ketebala pada ekor dataya salah satuya adalah dstrbus Burr. Pola data memlk skewess da kurtoss yag berbeda dega dstrbus ormal, dega kata la, data megkut dstrbus yag berekor tebal (heavy-taled dstrbuto) dstrbus Burr, Burr (1942). Oleh sebab tu apabla data daalss sesua dega karakterstk data aslya aka mampu memberka formas yag lebh bak dar data tersebut, dbadgka apabla

Prosdg Semar Nasoal Matematka, Uverstas Jember, 19 November 2014147 data harus daals dega cara meyesuaka dataya utuk memeuh asums yag d syaratka dalam teor aalssya. Ketka pola data meceg atau berekor tebal, pemodela da pegolaha data harus dlakuka secara hat-hat. Aalss klask terutama dega feres statstkya terhadap parameter model tdak aka memberka hasl yag lebh bak, oleh sebab tu dstrbus Burr dracag utuk megatas pola data yag sedkt mrg atau tdak smetr karea dstrbus ddesa sebaga dstrbus yag fleksbel da adaptf, dega demka pedekata yag lebh efse da tdak memerluka peormala data dapat dperoleh Wllams (1959). Persamaa regres yag dguaka utuk membuat taksra megea la varabel terkat dsebut persamaa regres estmas, yatu suatu formula matemats yag meujukka hubuga keterkata atara satu atau beberapa varabel yag laya sudah dketahu dega satu varabel yag laya belum dketahu.sfat hubuga atar varabel dalam persamaa regres merupaka hubuga sebab akbat. Ada beberapa metode yag dapat dguaka dalam peaksra parameter regres yatu maxmum lkelhood methods, oteratve weghted least square, da dscrmat fugto aalyss methods. Salah satu metode yag lebh umum da dguaka sebaga besar paket program computer adalah maxmum lkelhood estmato (MLE).Metode dapat dguaka utuk meaksr la parameter bla dstrbus populas dketahu, oleh sebab tu metode dguaka utuk megestmas parameter pada regres Burr. Beberapa peelta yag membahas tetag dstrbus Burr telah dlakuka.dstrbus Burr pertama kal d perkealka oleh Burr (1942). Dubey (1972, 1973)membahas keguaa da sfat-sfat dstrbus Burr duaparameter (c,k) sebaga suatu model kegagala, Evas dasmos (1975) membahas lebh lajut sfat-sfat dstrbusburr (c,k) sebaga suatu model kegagala da mereka jugameuruka maksmum lkelhood estmator (MLE),pemodela regres ler pada data radate pe compressvestregth yag dguaka dalam Wllams (1959), data retursaham hara Abbey Natoal yag dguaka dalam Buckle (1995) da Feradez (1998).Berdasarka papara peelta d atas padapeelta mecoba megkaj tetag estmasparameter dega metode

Rzwa A da Purhad Estmas Parameter da Peguja Hpotess... 148 maksmum lkelhoodestmato (MLE) da peguja hpotess dega metode (MRLT) pada model regres Burr tga parameter tpe XII. 2. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Aalss Regres Dalam statstka regres berart metode utuk meduga la-la dalam suatu set data berdasarka la satu atau atau lebh data yag la. Nla yag dduga dsebut varabel respo atau varabel tak bebas basaya dsmbolka dega (Y) da la yag dguaka utuk meduga dsebut varabel predktor atau varabel bebas basaya dsmbolka dega (X), Draper & Smth (1981).Betuk umum dar persamaa regres ler sederhaa adalah. Y = β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 + β 3 X 3 + + β X + ε (1) dmaa: 0, 1, 2, 3,, p x 1, x 2, x 3,, x p atau dalam betuk matrks dtuls adalah parameter model adalah varabel bebas adalah error y X β ε dmaa ~ N (0, 2 I) (2) Estmas koefse regres β p dapat megguaka Metode Kuadrat Terkecl. Metode estmas dlakuka dega memmumka ε ε terhadap β p da da meyamakaya dega ol sehgga dperoleh estmator, β = X X 1 X y Dalam aalss regres ler, sasara utama kta adalah mejelaska perlaku suatu varabel (yak, varabel tak bebas) sehubuga dega perlaku satu atau lebh varabel la (dalam hal, varabel bebas), dega memperhtugka fakta bahwa hubuga atara semua varabel tersebut bersfat tdak past, Gujarat (2004). 2.2 Dstrbus Burr Dstrbus Burr pertama kal dperkealka oleh Irvg W. Burr pada tahu 1941. Meggat yag berhubuga dega fugs kepadata mempuya betuk varas yag luas, system saagat bergua utuk memperkraka hstogram, khususya ketka struktur matematka yag sederhaa utuk fugs dstrbus

Prosdg Semar Nasoal Matematka, Uverstas Jember, 19 November 2014149 komulatf (cdf) yag cocok dbutuhka. Pegguaa la termasuk smulas, memperkraka dstrbus, da membetuk kurva yag tdak ormal. Sejumlah teor stadar tetag dstrbus adalah betuk terbatas dar dstrbus Burr. Fugs g(x,y) harus postf utuk 0 y 1 da x sebaga pedukug F x. Perbedaa memlk la g(x,y) memuculka beberapa pemecaha masalah yag berbeda-beda dar F(x); msalka ketka g x,y = g(x) F x = exp x 1 g u du + 1 3 Peyelesaadar F(x); megguaka persamaa dferesal dar Burr dapat dklasfkaska berdasarka betuk fugsya, yag setap fugs tersebut membetuk tpe cdf dstrbus Burr. Datar tpe-tpe, tpe XII adalah fugs yag palg meark utuk membuat model statstc da yag dpelajar atau djelaska secara rc oleh Burr. Fugs kepadata peluamh (pdf) dar dstrbus Burr tpe XII dega tga parameter ddefska oleh Berlat. J (1998) sebaga berkut: (4) dega mea, sehgga betuk tpe cdf dstrbus Burr dega dega tga parameter yatu: (6) kut adalah kurva dstrbus Burr tga parameter pada Gambar 2.1, 2.2, da 2.3Berkut adalah kurva dstrbus Burr tga parameter dtujuka pada Gambar 2.1, 2.2, da 2.3 (5) (4) (4) Ber

Rzwa A da Purhad Estmas Parameter da Peguja Hpotess... 150 Gambar 2.1 Betuk kurva dstrbus Burr 3 parameter dega berbaga macam la λ Gambar 2.1 datas merupaka kurva fugs kepadata peluag dstrbus Burr 3 parameter dega la parameter lokas (β) da parameter skala (τ) yag tetap utuk berbaga macam la parameter kemrga (λ). Semak kecl la λ betuk kurva dar dstrbus Burr 3 parameter aka semak mrg meceg ke kaa da ekor kurva semak meebal. Gambar 2.2 Betuk kurva dstrbus Burr 3 parameter dega berbaga macam la β Gambar 2.2 datas merupaka kurva fugs kepadata peluag dstrbus Burr 3 parameter dega la parameter kemrga (λ) da parameter skala (τ) yag tetap utuk berbaga macam la parameter lokas (β). Semak besar la β maka betuk kurva dstrbus Burr 3 parameter aka semak bergeser ke kaa.

Prosdg Semar Nasoal Matematka, Uverstas Jember, 19 November 2014151 Gambar 2.3 Betuk kurva dstrbus Burr 3 parameter dega berbaga macam la τ Gambar 2.3 datas merupaka kurva fugs kepadata peluag dstrbus Burr 3 parameter dega la parameter kemrga (λ) da parameter lokas (β) yag tetap utuk berbaga macam la parameter skala (τ). Semak kecl la τ maka betuk kurva dar dstrbus Burr 3 parameter aka semak lada. Melalu kurva dstrbus Burr datas dperoleh kesmpula bahwa dstrbus tersebut mampu megakomodas adaya fksbltas kemrga da meagkap ketebala da ketpsa pada ekor yag maa pola dataya tdak sesua dega dstrbus ormal. 2.3 Model Regres Burr Tga Parameter Tpe XII Model regres Burr tga parameter tpe XII dtulska pada persamaa berkut Berlat.J (1998). y x ~ Burr (,, ) τ exp θ' x dega X adalah varable bebas atau varable predktor yag dotaska dega x x 1, x 2,..., x k θ adalah parameter regres Burr yag dotaska sebaga berkut: y x ~ Burr (,, ) θ θ 0, θ 1,..., θ k Berdasarka defs fugs kepadata peluag dstrbus Burr tga parameter yatu:

Rzwa A da Purhad Estmas Parameter da Peguja Hpotess... 152 maka fugs lkelhood dar sampel berukura sampel pegamata dberka oleh: L ( ) f ( y ) da logartma fugs lkelhood dberka oleh: ll ( ) l f(y ) 1 dar fugs LLkelhood pada persamaa d atas dapat dperoleh turua pertama utuk masg-masg parameter dalam model regres Burr tga parameter amu persamaa tersebut kemugka tdak dapat dselesaka secara aalts utuk medapatka hasl eksplst utuk estmator maksmum lkelhood (MLE). Namu dapat dselesaka secara umerk, msalya dega prosedur Newto-Raphso. Turua parsal uruta kedua dar fugs LLkelhood selajutya dguaka utuk membetuk suatu matrks Hesse (H) yag bers turua parsal kedua dar fugs LLkelhood tersebut. Matrks Hesse lah yag selajutya dguaka dalam proses teras Newto-Raphso. Dega H, adalah matrks yag berukura ( j + 3) x (j + 3). 2.4 Peguja Dstrbus Data Uj goodess of ft dstrbus data varabel depede dapat dlakuka dega beberapa pedekata atara la uj Kolmogorov Smrof, uj Aderso- darlg, da Uj Ch-Square. Meurut Stephes (1974), uj Aderso Darlg dguaka sebaga uj keormala atau kebaka sesua (goodess offt) utuk varabel kuattatf. Aderso Darlg Test bsa dguaka utuk meguj keormala berbaga macam sebara data yag berdstrbus kotu da berlaku utuk sembarag

Prosdg Semar Nasoal Matematka, Uverstas Jember, 19 November 2014153 ukura sampel (), peguja tersebut dguaka utuk megetahu dstrbus yag palg sesua (Law da Kelto, 2000). Berkut adalah statstk ujya: Statstk uj : dega uj hpotess yag dguaka adalah H0: data Y adalah varabel radom depede yag berdstrbus sesua dega dstrbus F(y), H1 : data Y adalah varabel radom depede yag tdak berdstrbus sesua dega dstrbus F(y), Daerah peolaka H0: Tolak H0 jka la A>AD Dmaa AD adalah la dar tabel Aderso Darlg, F merupaka fugs dstrbus kumulatf (CDF) dar dstrbus tertetu serta y merupaka data yag telah durutka.semak kecl la statstk Aderso-Darlg yag dperoleh maka data megkut dstrbus tertetu. 2.5 Metode Estmas Parameter Bermacam- macam metode yag dapat dguaka utuk pegaplkasa dstrbus Burr pada data frekues salah satuya adalah metode Maxmum lkelhood estmator (MLE).Sebaga tambaha utuk megaplkaska data frekues.dstrbus Burr sagat bermafaat dalam peyelesaa sebuah problema statstk dmaa kelas dstrbus dega peyederhaaa fugs da betuk kepadata yag berbeda-beda dbutuhka.sebaga lustras meggat dstrbus Burr tpe XII dapat dbalk dalam betuk tertutup maka dapat dguaka dalam pekerjaa smulas da memperkraka dstrbus secara teor yag momemomeya dketahu, tetap betuk-betuk fugsya tdak dapat dyataka secara lagsug. 2.6 Maxmum Lkelhood Estmator Salah satu metode palg popular dalam memperoleh suatu estmator jka dstrbus data dketahu adalah maxmumlkelhood yag d defeska sebaga berkut. Defs: Ba da Egelhardt, (1992). Msalka Y1, Y2,, Y3,,Y adalah sampel radom d dar popolas dega pdf f(y/ λ1, λ2, λ3,, λ) maka fugs

Rzwa A da Purhad Estmas Parameter da Peguja Hpotess... 154 lkelhood adalah: L(λ/y) = L(λ1, λ2, λ3,, λ Y1, Y2, Y3,, Y)= f y λ 1,λ 2,, λ k ) Defs: Estmator ) dsebut MLE dar λ jka L λ y = sup λ Y 1,Y 2, Y 3,., Y N ), λ eleme dar Ω. Bla fugs lkelhood terdefereslka dalam λ maka la dar λ 1,λ 2, λ 3,, λ k dperoleh dega meyamaka turua parsal dar fugs kemugka atau fugs logartmaya atau logartma aturalya dega ol da mecar akar-akar da syarat pecapaa maxmum duj dega turua keduaya.dalam kasus turua parsal tdak memlk peyelesaa, maka estmator maxmum lkelhoodyadperoleh melalu argumetas. Maxmum lkelhood estmator (MLE) dar parameter λ, β, da θ yag berdasarka pada sampel berukura N, yag berdstrbus Burr (λ, β, da θ) tpe XII dega tga parameter yag tdak dketahu, mempuya fugs kepadata peluag (pdf) dalam betuk: f y y = λ β λ τ y τ 1 β +y τ λ +1 utuky > 0 dega τ = exp (θ x ) da fugs dstrbus kumulatf (cdf) dalam betuk: F y y = 1 β β +y λ λ utuky > 0 adalah: L λ, β, θ y = λ β λ exp θ x y exp θ x 1 β + y exp θ x λ+1 da l L λ, β, θ y = l λ + λ l β + θ x + exp θ exp θ x 1 l(y ) λ + 1 l β + y x (7) 2.7 Metode Newto Raphso Apabla lagkah megestmas parameter megguaka metode maksmum lkelhood meghaslka persamaa yag tdak closed form, maka peyelesaaa persamaa tersebut utuk memperoleh la estmas parameterya

Prosdg Semar Nasoal Matematka, Uverstas Jember, 19 November 2014155 dguaka metode ewto raphso (Rao, 1997). Metode ewto raphso adalah salah satu metode utuk mecar akar peyelesaa dar f(x) = 0 melalu perhtuga yag teratve, sehgga lebh mudah jka dkerjaka dega batua program computer. Meurut chapra da caale (1988) ddasarka pada deret taylor sebaga berkut. Persamaa lkelhood dega parameter θ dapat dselesaka sehgga memperoleh la estmator dega megguaka metode ewto raphso. Rumus estmas utuk parameter pada teras ke- (t+1) dalam proses teras (t = 0, 1, 2, ) dtulska dalam teorema sebaga berkut: θ t+1 = θ t D θ t 1 d(θ t ) dmaa: = estmas parameter θ pada teras ke- (t+1) = estmas parameter θ pada teras ke t = matrks turua pertama dar fugs lkelhood sehgga etr dar d(θ) adalah D ( ) = matrks turua kedua fugs lkelhood ataumatrks Hesa sehgga etr dar D (θ) adalah Meurut Motgomery da peck (1992), prosesteras dega megguaka metode ewto raphsosehgga ddapatka laθ yag koverge yatu sampa θ t +1 θ t θ t <δ, dega δ blaga yag sagat kecl tetap > 0. 2.8 Peguja Hpotess Uj Hpotess adalah metode pegamblakeputusa yag ddasarka dar aalsa data.keputusadar uj hpotess hampr selalu dbuat berdasarkapeguja hpotess ol. Peguja statstk utukmejawab pertayaa yag megasumska hpotess oladalah bear da dguaka utuk meetuka apakahvarabel yag terdapat dalam model memlk kotrbusyag yata dega varabel respoya.peguja hpotess selajutya dlakuka dega peguja hpotess secaraseretak da secara parsal.

Rzwa A da Purhad Estmas Parameter da Peguja Hpotess... 156 3. METODOLOGI PENELITIAN Pada baga aka dsajka lagkah lagkahdalam meyelesaka masalah peelta gua utukmecapa tujua peelta yatu meetuka peaksrparameter regres burr, meetuka statstk uj padapeguja hpotess model regres burr. Metode AalssUtuk meyelesaka peelta dlakukalagkahlagkah sebaga berkut : 1. Meetuka parameter pada model regres burr degametode Maxmum Lkelhood Estmato (MLE). Tahapa peaksra parameter: a. Meetapka fugs lkelhood dbawah populas. b. Meetapka logartma atural dar fugs lkelhood ll(ω). c. Mecar turua parsal pertama dar fugslogartma atural lkelhood dbawah populas. d. Mecar turua parsal kedua dar fugs logartmaatural lkelhood dbawah populas. e. Meetuka peaksra parameter dega metodeteras Newto-Raphso. 2. Meguj hpotess pada model regres burr degamegguaka metode Maxmum Lkelhood Rato Test (MLRT). Tahapa peguja hpotess yag dlakuka. Peguja seretak:. Meetapka hpotess H 0 :θ 1 = = θ j = 0 H 1 : mmal ada satu θ j 0. Membuat hmpua parameter dbawah populas (Ω) Ω = {θ 0, θ 1, θ 2,, θ j, α, β }. Membuat hmpua parameter d bawah H 0 (ω) ω = {α, β} v. Meerapka fugs lkelhood d bawah populas L Ω = f y y

Prosdg Semar Nasoal Matematka, Uverstas Jember, 19 November 2014157 v. Meerapka fugs lkelhood d bawah H 0 L Ω = f y y v. Meetuka peaksr parameter dega metode Maxmum Lkelhood Estmato (MLE) da dega metode teras Newto-Rapso sehgga dperoleh (Ω)da (ω) v. Meetuka L(Ω)=max Ω L Ω da L ω = max ω L ω v. Mecar raso lkelhood L(Ω) L ω x. Meetuka daerah peolaka hpotess p Peguja pasrsal. Meetuka hpotess H 0 :θ j = 0 H 1 :θ j 0. Meetuka Statstk Uj θ j 2 W = var θ ~ χ 2 α,1 j. Meetuka daerah peolaka hpotess 4. HASIL DAN PEMBAHASAN Pada bab membahas estmas parameter dstrbus Burr 3 parameter tpe XII dega megguaka metode Maxmum Lkelhood Estmato (MLE). Parameter yag aka destmas atara la : adalah parameter skala betuk da lokas. 4.1 Estmas Parameter Dstrbus Burr 3 Parameter Tpe XII Utuk memperoleh peaksr parameter dastatstk uj pada peguja hpotess model regres Burrhal utama yag dlakuka dalam megestmas parameterdega metode Maxmum Lkelhood Estmato (MLE)adalah memaksmumka fugs lkelhood yagmerupaka fugs peluag bersama dar y1, y2,..., y.berkut adalah Probablty Dstrbuto Fucto (PDF)utuk dstrbus Burr. Lagkah pertama yag dlakuka adalahmembetuk fugs lkelhood dar

Rzwa A da Purhad Estmas Parameter da Peguja Hpotess... 158 sampel y1, y2,..., y.utuk setap fugs dar dstrbus Burr, sehgga fugslkelhood yag dperoleh adalah. L Ω = f(y ) L Ω = dperoleh log L Ω = λ β λ τ y τ 1 β + y τ λ+1 = 1, 2, 3,..., Lagkah selajutya adalah membetuk fugs loglkelhood sehgga log λ βλ τ y τ 1 β + y τ λ+1 = log λ βλ τ 1 τ y τ β + y λ +1 = log λ β λ τ y τ 1 log β + y τ λ+1 = log λ + log β λ + log τ + log y τ 1 = log λ + λ log β + log τ + log y τ 1 λ + 1 log β + y τ λ + 1 log β + y τ Karea τ = exp (θ x ), maka fugs log lkelhood mejad = log λ + log β λ + log exp θ x + log y τ 1 λ + 1 log β + y τ = log λ + λ log β + + log y τ 1 λ + 1 log β + y τ Lagkah selajutya adalah melakuka peaksra parameter pada model regres Burr dega cara mecar turua pertama secara parsal terhadap masgmasg parameter yag destmas kemuda dsamaka dega ol. Turua parsal pertama terhadap λ adalah sebaga berkut.

Prosdg Semar Nasoal Matematka, Uverstas Jember, 19 November 2014159 logl Ω λ = log λ + λ log β + θ x + exp θ exp θ x 1 log y λ + 1 log β + y x = λ + log β log β + y exp θ x Turua parsal pertama terhadap β adalah sebaga berkut Turua parsal pertama terhadap β adalah sebaga berkut 10 λ logl Ω β log λ + λ log β + = = λ β λ + 1 logl Ω θ θ x + exp θ exp θ x 1 log y λ + 1 log β + y x log β + y exp θ x Turua parsal pertama terhadap θ adalah sebaga berkut 1 = log λ + λ log β + θ x + exp θ exp θ x 1 log y λ + 1 log β + y x θ = x j + exp θ x x j logy λ + 1 dmaaj = 0, 1, 2,, p 1 β exp θ y x log y exp θ x exp θ β + y x x j (12) (11) Berdasarka persamaa (10), (11), da (12) meujukka bahwa turua pertama fugs l lkelhoodterhadap masg-masg parameter meghaslka betuktdak closed form, oleh karea tu tdak dapat daalss secaraaaltk, utuk medapatka hasl yag eksplst sehggaharus d teraska dega megguaka metode umerkyatu metode Newto-Raphso utuk medapatka estmasparameter. Persamaa teras Newto-Raphso adalah sebagaberkut. θ t +1 = θ t D θ t 1 d θ t 13

Rzwa A da Purhad Estmas Parameter da Peguja Hpotess... 160 Lagkah pertama adalah membuat turua kedua l fugs lkelhood terhadap masg-masg parameter da kombas masg-masg parameter utuk medapatka matrks Hesa Haslya sebaga berkut. Turua parsal kedua terhadap α adalah sebaga berkut. 2 logl Ω λ 2 log λ + λ log β + = = λ 2 14 θ x + exp θ exp θ x 1 log y λ + 1 log β + y x λ 2 2 logl Ω β 2 Turua parsal kedua terhadap β adalah sebaga berkut. log λ + λ log β + = θ x + exp θ exp θ x 1 log y λ + 1 log β + y x β 2 = λ β2 (λ + 1) β + y exp θ x 2 Turua parsal kedua terhadap θ adalah sebaga berkut. 15 dmaa j,k=0,1,2,,p-1 Turua parsal pertama terhadap λ kemuda dturuka lag terhadap β adalah sebaga berkut.

Prosdg Semar Nasoal Matematka, Uverstas Jember, 19 November 2014161 Turua parsal pertama terhadap λ kemuda dturuka lag terhadap θ adalah sebaga berkut. Turua parsal pertama terhadap β kemuda dturuka lag terhadap θ adalah sebaga berkut. Selajutya mecar la θyag koverge yatu sampa θ t +1 θ t θ t dega δ blaga yag sagat kecl tetap > 0. 4.2 Uj Hpotess Model Regres Burr 3 Parameter Tpe XII <δ, Lagkah selajutya yatu melakuka peguja hpotess dmaa peguja hpotess terdr atas dua baga yatu peguja hpotess secara seretak da peguja hpotess secara parsal.peguja hpotess tersebut

Rzwa A da Purhad Estmas Parameter da Peguja Hpotess... 162 dguaka utuk meetuka apakah varable bebas yag terdapat pada model regres memlk kostrbus yag yata atau sgfka terhadap varable respo. Lagkah-lagkah peguja hpotess secara seretak dlakuka sebaga berkut: H 0 : θ 1 = = θ J = 0 H 1 : mmal ada satu θ J 0 Setelah meetuka hpotess lagkah selajutya yatu meetuka statstk uj dega membadgka la maksmum dar fugs lkelhood hmpua parameter dbawah populas dega la maksmum dar fugs lkelhood hmpua parameter dbawah H 0. Msalya Ω dmaa Ω=(θ 0, θ 1, θ 2,, θ J, λ, β)dega fugs lkelhood adalah: L(Ω) = f y y 1, dmaa f y y = λ β λ τy r 1 (β +y r ) λ +1 da msalka pula ωhmpua parameter dbawah H 0 dmaa ω = λ, β dega fugs lkelhoodya adalah: L ω = f y (y ), dmaa f y (y ) = λβ λ (β +y ) λ +1 Setelah meetuka fugs lkelhoodya maka selajutya adalah dega meetuka θ = θ 0, θ 1, θ 2,, θ j, λ, βyag memaksmumka fugs Log lkelhood Lagkah selajutya adalah membetuk fugs log lkelhood sehgga dperoleh, log L(Ω) = 1 log = [log λβλ r 1 τy β + y r λ+1) = log λ + log β λ ( λβλ τy r 1 (β + y r ) λ+1 + log τ + log y r 1 λ + 1 log( β + y r ) = log λ + λlog β + log τ + log y r 1 λ + 1 log (β + λ r ) Karea τ = exp θ x, maka fugs log lkelhood mejad

Prosdg Semar Nasoal Matematka, Uverstas Jember, 19 November 2014163 = log λ + log β λ + log(exp(θ x )) + log y (exp θ x 1) λ + 1 log( β + y exp θ x ) = log λ + λ log β + θ x + exp(θ x 1) log y λ + 1 log( β + y exp θ x ) Sehgga dperoleh L Ω = max Ω L(Ω)dega masg-masg la parameter yag dperoleh dar teras Newto Raphso. Utuk L ω = max Ω L(ω)dega λ, βyag memaksmumka fugs Log lkelhood dsajka sebaga berkut: Sehgga dperoleh L Ω = max Ω L(Ω) dega masg-masg la parameter yag dperoleh dar teras Newto Raphso.Berkut dtulska turua parsal pertama utuk parameter H 0 yatu parameter λ, β yag dsama degaka dega ol utuk memperoleh la setap parameterya. Turua parsal pertama terhadap λ adalah sebaga berkut. Turua parsal pertama terhadap β adalah sebaga berkut.

Rzwa A da Purhad Estmas Parameter da Peguja Hpotess... 164 Dar hasl peurua parsal utuk turua ke dua dar fugslogartma lkelhoodmodel regres Burr dperoleh D(ω t )sebaga berkut: Selajutya mecar la ω t yag koverge yatu sampa ω t+1 ω t ω t dega δ laga yag sagat kecl tetap > 0 atau koverge. < δ, Setelah memperoleh turua parsal fugs logartma lkelhood lagkah selajutya adalah meetuka statstc uj dega megguaka rumus sebaga berkut: dmaag 2 megkut dstrbus c square sehgga sehgga krtera pegujaya adalah tolak H 0 jka G 2 > χ 2 α,p. Selajutya meguj hpotess secara parsal, dmaa uj dguaka utuk megetahu parameter yag berpegaruh secara yata atau sgfka terhadap varable respo Lagkah pertama utuk peguja hpotess yatu meetapka hpotes, dmaa hpotessya H 0 : j 0 H 1 : j 0 Lagkah selajutya yatu meetuka statstk uj. Statstk uj yag dguaka adalah degaw megkut dstrbus ch-square sehgga krtera pegujaya adalah tolak H 0 jka W > χ 2 α,p.

Prosdg Semar Nasoal Matematka, Uverstas Jember, 19 November 2014165 Dmaa θ j merupaka peaksra parameter dar θ j da stadar error dperoleh dar SE θ j = var (θ j ) dega var (θ j ) merupaka eleme dagoal utama matrks Iformas (I) yatu I=-(D) dega matrks. 5. KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesmpula Dar hasl aalss maka dapat dambl kesmpula adalah sebaga berkut : Berdasarka hasl yag telah dperoleh, estmas parameter model regres Burr dega megguaka metode maksmumlkelhood (MLE).Hasl yag dperoleh dar estmasparameter tersebut tdak close form sehgga perlu dlakuka dega metode teras Newto-Raphso. Estmas parameter d bawah populas meghaslka yag melput θ θ 0, θ 1, θ 2,..., θ J,,, sedagka hasl utuk estmas parameter d bawah H0 meghaslka parameter atara la,. Haslestmas parameter selajutya dperoleh suatu la llkelhood dbawah populas da llkelhood d bawah H0 yag daalss pada peguja hpotess dega megguaka metode maksmum lkelhood raso test(mlrt) dega membadgka la atara llkelhood d bawah H 0 da llkelhood dbawah populas atau dega perumusa L ω L Ω. Peguja hpotess sedr dlakuka dega 2 baga yatu secara seretak da secara parsal. 5.2 Sara Dharapka dapat memodelka berbaga ukurapada dstrbus yag asmetrsdalam hal Dstrbuto Burrtpe laya. DAFTAR PUSTAKA [1] Burr, I.V. 1942. Cumulatve frequecy fuctos. Aalsof Mathematcal Statstcs 13, 215-232. [2] Ba, L. J., & Egelhard, M. 1992. Itruducto ToProbablty Ad Mathematcal Statstc, Duxbury Press,Belmot, Calfora. [3] Box, G.E.P. & Cox, D.R. 1964 Aalyss of Trasformato, Joural Of Royal Statstcal Socety, Ser B (Methodologcal), 26(2) 211-252 [4] Chapra, S. C., & Caale, R. P. 1998. Numercal Methods. New York.

Rzwa A da Purhad Estmas Parameter da Peguja Hpotess... 166 Publshg Corporato. [5] Draper, N & Smth, H. 1981. Appled Regresso Aalyss.Secod Edto. New York [6] Gujarat, D. N.(2004), Basc Ecoometrcs 4 th edto, The Mc Graw Hll Compaes, New York. [7] Ja, B. et al. 1998. Burr Regresso ad Portfolo Segmetato. Joural Mathematcs ad Ecoomcs. Vol. 23. o 231-250.Elsever. [8] Law, AM., & Kelto, D.W. 2000. Smulta Modellg Aalyss 3 th edto, New York: MacGraw-Hll. [9] Motgomery, D. C. ad Peck, E. A. 1992. Itroducto ToLer Regresso Aalyss. Secod Edto. USA. Johwlley ad Sos. [10] Rao, Podur. 1997. Varace Compoets Estmato,Mxed Models, Methodologes ad Applcatos. NewYork. Chapma Hall. [11] Stephes, M.A. 1997. EDF Statstcs For Goodess Of Ft ad Some Comparsos, Joural of AmercaStatstcal Assocato, Vol 69, 730-737. [12]Wllams, E. J., (1959). Regresso Aalyss, Joh Wley & Sos, New York.