SolusiSistemPersamaanLanjar

SolusiSistemPersmnLnjr (Bgin2) Bhn Kulih IF4058 Topik Khusus Informtik I Oleh; Rinldi Munir(IF-STEI ITB) Rinldi Munir - Topik Khusus Informtik I 1

Pemfktorn dengn Metode Reduksi Crout Meskipun metode LU Guss dikenl pling bik untuk melkukndekomposisilu, terdptmetodelin yng digunkn secr lus, yitu metode reduksi Crout Nm lin: metode reduksi Cholesky tu metode Dolittle Dlm membhs metode reduksi Crout, tinju mtriks 3 3 berikut: 11 12 13 1 0 0 u 11 u 12 u 13 A = 21 22 23 L = l 21 1 0 U = 0 u 2,2 u 23 31 32 33 l 31 l 3,2 1 0 0 u 33 Rinldi Munir - Topik Khusus Informtik I 2

Kren LU = A, mk hsil perklin L dn U itu dpt ditulis sebgi u 11 u 12 u 13 11 12 13 LU = l 21 u 11 l 21 u 12 + u 22 l 21 u 13 +u 23 = A = 21 22 23 l 31 u 13 l 31 u 12 + l 32 u 22 l 31 u 13 + l 32 u 23 + u 33 31 32 33 Dri kesmn du buh mtriks LU = A, diperoleh u 11 = 11, u 12 = 12, u 13 = 13 } Bris pertm U l 21 u 1 = 21 l 21 = l 31 u 11 = 31 l 31 = u u 21 11 31 11 }Kolom pertm L l 21 u 12 + u 22 = 22 u 22 = 22 - l 21 u 12 } Bris kedu U l 21 u 13 + u 23 = 23 u 23 = 23 - l 21 u 13 Rinldi Munir - Topik Khusus Informtik I 3

l 31 u 12 + l 32 u 22 = 32 l 32 = l 32 u 22 31 u 12 Kolom kedu L l 31 u 13 + l 32 u 23 + u 33 = 33 u 33 = 33 - ( l 31 u 13 + l 32 u 23 ) } Bris ketig U Kit perhtikn d urutn pol tertur dlm menemukn elemen-elemen L dn U, yitu: (1)elemen-elemen bris pertm dri U (2)elemen-elemen bris pertm dri L (3)elemen-elemen bris kedu dri U (4)elemen-elemen bris kedu L (5) (6)elemen-elemen bris ke-k dri U (7)elemen-elemen bris ke-k dri L Rinldi Munir - Topik Khusus Informtik I 4

Rumus umum menghitung u dn l untuk sistem dengn mtriks A yng berukurn 3 3 dpt ditulis sebgi berikut: p 1 u pj = pj - k= 1 l pk u kj, p = 1, 2, 3,., n (P.4.13) j = p, p+1,., n dn l iq = q 1 iq k= 1 u qq 1 ik u kq q = 1, 2, 3,., n-1, i = q+1, q+2,., n (P.4.14) dengn syrt u qq 0 Rinldi Munir - Topik Khusus Informtik I 5

Contoh: Selesikn 1 + 2-3 = 1 2 1 + 2 2 + 3 = 5-1 + 2 + 2 3 = 5 dengnmetodedekomposisilu, yng dlmhlinildnudihitungdengn metodereduksicrout. Penyelesin: 1 1-1 1 A = 2 2 1 b = 5-1 1 1 1 Diperoleh: u 11 = 11 = 1 u 12 = 12 = 1 u 13 = 13 = -1 l 21 = 21 /u 11 = 2/1 = 2 l 31 = 31 /u 11 = -1/1 = -1 u 22 = 22 - l 21 u 12 = 2-2 1 = 0 Rinldi Munir - Topik Khusus Informtik I 6

Kren u qq tidk boleh nol, lkukn pertukrn bris, bik untuk mtriks A mupun untuk vektor b: Mtriks A Vektor b R 2 R 3 1 1-1 R 2 R 3 1-1 1 1 1 2 2 1 5 Hitung kembli nili l 21, l 31, dn u 22 (Perhtikn bhw nili u 11, u 12, u 13 tidk berubh) l 21 = 21 /u 11 = -1/1 = -1 l 31 = 31 /u 11 = 2/1 = 2 u 22 = 22 - l 21 u 12 = 1 - (-1)(1) = 1 + 1 = 2 u 23 = 23 - l 21 u 13 = 1 - (-1)(-1) = 1-1 = 0 l 32 = l 32 u 22 31 u 12 = ( ) 2 2 1 2 = 0 Rinldi Munir - Topik Khusus Informtik I 7

Diperoleh L dn U sebgi berikut, 1 1-1 1 0 0 1 U = 0 2 0 L = -1 1 0 dn b = 1 0 0 3 2 0 1 5 Berturut-turut dihitung y dn sebgi berikut: 1 0 0 y 1 1 Ly = b -1 1 0 y 2 = 1 2 0 1 y 3 5 y 1, y 2, dn y 3 dihitung dengn teknik penyulihn mju: y 1 = 1 -y 1 + y 2 = 1 y 2 = 1 + y 1 = 1 + 1 = 2 2y 1 + 0y 2 + y 3 = 5 y 3 = 5-2y 1 = 3 Rinldi Munir - Topik Khusus Informtik I 8

1 1-1 1 1 U = y 0 2 0 2 = 2 0 0 3 3 3 1, 2, dn 3 dihitung dengn teknik penyulihn mundur: 3 3 = 3 3 = 1 2 2 + 0 3 = 2 2 = 1 1 + 2-3 = 1 1 = 1 Jdi, solusi sistem persmn lnjr di ts dlh = (1, 1, 1) T. Rinldi Munir - Topik Khusus Informtik I 9

Jik dimti elemen segitig bwh pd mtriks U semuny bernili nol, sehingg rung yng tidk terpki itu dpt dipki untuk menyimpn elemen mtriksl. Elemen digonl mtriks L seluruhny 1, jdi tidk perlu disimpn(defult). Dengn demikin, penyimpnn elemen LdnUpdstumtriksdptmenghemt penggunnmemori. Selin itu, mtriks A hny dipki sekli untuk memperolehldnu, sesudhitutidkdipkilgi. Dengn demikin, setelh L dn U diperoleh, elemenny dpt dipindhkn ke dlm A. Kren lsn ini, mk metode dekomposisi LU dinmkn jug metode kompksi memori. Rinldi Munir - Topik Khusus Informtik I 10

Determinn Metode eliminsi Guss dpt diterpkn untuk menghitung determinn mtriks n n. Determinnny dpt dihitung setelh i ditrnsformsi menjdi mtriks segitig ts U. Du hukum penting determinn: Hukum1: det(bc) = det(b) det(c) Hukum2: det(m) = hsilkli semuelemendigonl M jik M dlh mtriks segitig ts tu mtriks segitig bwh. Rinldi Munir - Topik Khusus Informtik I 11

Ksus 1: Bil eliminsi Guss tidk menerpkn ttncng pivoting. Jik pivoting tidk diterpkn, determinn mtriks A dlh: det(a) = det(lu) = det(l) det(u) = det(u) = u 11 u 22 u 33... u nn yng dlmhlinidet(l) = 1 sebbsemuelemen digonl Ldlhstu. Rinldi Munir - Topik Khusus Informtik I 12

Ksus 2: Bil eliminsi Guss menerpkn ttncng pivoting. Ttncngpivotingmengkibtknpertukrnbris. Dekomposisi LU dengn pivoting setr dengn mengerjkn du proses terpish berikut: 1. TrnsformsiknmtriksAmenjdimtriksA' dengn cr permutsi bris-bris mtriks(sm dengn menglikn A dengn mtriks permutsi P), A' = PA tusetrdengna= P -1 A' 2. Dekomposisi A' menjdi LU tnp pivoting A' = LU Rinldi Munir - Topik Khusus Informtik I 13

Dri (1) dn(2), LdnUdihubungkndengnAoleh A= P -1 A' = P -1 LU Determinn A dpt ditulis sebgi det(a) = det(p -1 ) det(l) det(u) = det(p -1 ) 1 det(u) = det(p -1 ) det(u) = αdet(u) yng dlmhlini α= det(p -1 ) = -1 tu1 bergntungpd pkhpivotingsejumlhbilngn gnjiltugenp. Rinldi Munir - Topik Khusus Informtik I 14

Jik pivoting dilkukn sejumlh p kli, mk α dpt ditulis sebgi: α= (-1) p α bernili1 untukpgenpdn-1 untukpgnjil. Kren itu, det(a) = (-1) p det(u) = (-1) p u 11 u 22 u 33... u nn Rinldi Munir - Topik Khusus Informtik I 15

Contoh: Hitung determinn mtriks A berikut: Penyelesin: 2 3-1 A = 4 4-3 -2 3-1 2 3-1 R 4 2 - / 2 R 1 2 3-1 R 6 3 - / -2 R 2 2 3-1 4 4-3 R 3 - -2 / 2 R 1 0-2 -1 0-2 -1-2 3-1 1 0-2 0 0-5 Tidk d proses pivoting selm eliminsi Guss, mk det (A) = (2) (-2) (-5) = 20 Rinldi Munir - Topik Khusus Informtik I 16

MetodeLelrnUntukMenyelesiknSPL Metode eliminsi Guss melibtkn bnyk glt pembultn. Glt pembultn yng terjdi pd eliminsi Guss dpt menyebbkn solusiyng diperoleh juh drisolusisebenrny. Ggsn metod lelrn pd pencrin kr persmn nirlnjr dptjugditerpknuntukmenyelesiknspl. Dengn metode lelrn, glt pembultn dpt diperkecil, kren kitdptmenerusknlelrnsmpisolusinysetelitimungkin, sesuidengnbtsgltyng kitperbolehkn. Dengnktlin, besrgltdptdikendliknsmpibtsyng bis diterim Rinldi Munir - Topik Khusus Informtik I 17

Jik metode eliminsi Guss dn vrisi-vrisiny sert metodedekomposisiludinmknmetodelngsung(direct) -kren solusi SPL diperoleh tnp lelrn- mk metode lelrn dinmkn metode tidk lngsung (indirect) tumetodeitertif. Tinju kembli sistem persmn lnjr 11 1 + 12 2 +... + 1n n = b 1 21 1 + 22 2 +... + 2n n = b 2 : : n1 1 + n2 2 +... + nn n = b n Dengnsyrt kk 0, k = 1, 2,..., n, mkpersmn lelrnny dpt ditulis sebgi Rinldi Munir - Topik Khusus Informtik I 18

1 (k+1) = b k 1 12 2... 11 1n n ( k ) 2 (k+1) = M n (k+1) = b ( k ) ( k ) ( k ) 2 211 233... 22 2n ( k ) ( k ) ( k ) bn n1 1 n2 2... nn 1n 1 nn n dengn k = 0, 1, 2, Rinldi Munir - Topik Khusus Informtik I 19

Lelrn dimuli dengn memberikn tebkn wl untuk, 0 = 1 2 M n (0) (0) (0) Sebgi kondisi berhenti lelrnny, dpt digunkn pendektn glt reltif i ( k + 1 ) ( k ) i ( k + 1) i < ε untuk semu i = 1, 2, 3,., n Syrt cukup gr lelrnny konvergen dlh sistem dominn secr digonl: n ii > j= 1, j i ij, i = 1, 2, 3,, n Rinldi Munir - Topik Khusus Informtik I 20

Sebgi contoh, SPL berikut 3 1 + 2-3 = 1 2 1 + 4 2 + 3 = 5-1 + 5 2 + 8 3 = 5 dominn secr digonl, kren 3 > 1 + -1 4 > 2 + 1 8 > -1 + 5 kren itu lelrnny psti konvergen. Ad du metode lelrn yng kn kit bhs di sini: 1. Metode lelrn Jcobi 2. Metode lelrn Guss-Seidel Rinldi Munir - Topik Khusus Informtik I 21

Metode Lelrn Jcobi Persmn lelrnny dlh seperti yng ditulis di ts. Mislkndiberikntebknwl (0) : (0) = ( 1 (0), 2 (0),..., n (0) ) T Prosedur lelrn untuk lelrn pertm, kedu, dn seterusny dlh sebgi berikut: Rinldi Munir - Topik Khusus Informtik I 22

Lelrn pertm: 1 (1) = b ( 0) ( 0) ( 0) 1 12 2 13 3... 11 1n n 2 (1) M = b ( 0) ( 0) ( 0) 2 211 233... 22 2n n n (1) = b n n ( 0) ( 0) ( 0) 1 1 n2 2... nn 1 n nn 1 Rinldi Munir - Topik Khusus Informtik I 23

Lelrn kedu: 1 (2) = b ( 1) ( 1) ( 1) 1 12 2 13 3... 11 1n n 2 (2) M = b ( 1) ( 1) ( 1) 2 211 233... 22 2n n n (2) = b n ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) n1 1 n2 2... nn 1 n 1 nn Rumus umum : i ( k + 1) = b i n ii ij j= 1, j i j ( k ), k = 0,1,2,... Rinldi Munir - Topik Khusus Informtik I 24

Metode Lelrn Guss-Seidel Keceptn konvergen pd lelrn Jcobi dpt diperceptbilsetiphrg i yng brudihsilkn seger dipki pd persmn berikutny untuk menentuknhrg i+1 yng linny. Metode lelrnny dinmkn lelrn Guss-Seidel Rinldi Munir - Topik Khusus Informtik I 25

Lelrn pertm: 1 (1) = b 1 12 2 ( 0) ( 0) ( 0) 13 11 3 14 4 2 (1) = b 1 21 1 ( 1) ( 0) ( 0) 23 22 3 24 4 3 (1) = b 3 31 1 ( 1) ( 1) ( 0) 32 33 2 34 4 4 (1) = b 4 41 1 ( 1) ( 1) ( 1) 42 44 2 43 3 Rinldi Munir - Topik Khusus Informtik I 26

Lelrn kedu: 1 (2) = 2 (2) = b b 1 1 12 21 2 1 ( 1) ( 1) ( 1) 13 11 3 14 ( 2) ( 1) ( 1) 23 22 3 24 4 4 3 (2) = b 3 31 1 ( 2) ( 2) ( 1) 32 33 2 34 4 4 (2) = b 4 41 1 ( 2) ( 2) ( 2) 42 44 2 43 3 Rumus umum: i ( k + 1) = b i n j= 1 ij j ( k + 1) ( k ) n j= i+ 1 ij j, k = 0,1,2,... ii Rinldi Munir - Topik Khusus Informtik I 27

Contoh: TentuknsolusiSPL 4-y+ z= 7 4-8y+ z= -21-2+ y+ 5z= 15 dengnniliwlp 0 = ( 0, y 0, z 0 ) = (1, 2, 2). (Solusisejtiny dlh(2, 4, 3) ) Penyelesin: () Metode lelrn Jcobi Persmn lelrnny: r+1 = y r+1 = z r+1 = 7 + yr zr 4 21+ 4r zr 8 15 + 2r yr 5 Rinldi Munir - Topik Khusus Informtik I 28

Lelrnny: 1 = y 1 = z 1 = 7 + 2 4 2 4( 1) 8 2( 1) 5 21 + + 2 15 + 2 = 1.75 = 3.375 = 3.000 2 = y 2 = z 2 =... 7 + 3.375 3.00 4 ( 3.375) 21+ 4 3.00 8 ( ) 5 15 + 2 1.75 3.375 = 1.84375 = 3.875 = 3.025 19 = 2.00000000 y 19 = 4.00000000 z 19 = 3.00000000 Rinldi Munir - Topik Khusus Informtik I 29

(b) Metode lelrn Guss-Seidel Persmn lelrnny, r+1 = y r+1 = z r+1 = 7 + yr zr 4 21 + 4r zr 8 15 + 2r yr 5 Lelrnny, 1 = y 1 = z 1 = 7 + 2 4 2 ( ) 8 ( ) 5 21 + 4 1.75 + 2 15 + 2 1.75 3.75 = 1.75 = 3.75 = 3.000 Rinldi Munir - Topik Khusus Informtik I 30

2 = y 2 = z 2 = 7 + 3.75 2.95 4 7 + 3.75 8 ( ) 5 2.95 15 + 2 1.95 3.968375... = 1.95 = 3.96875 = 2.98625 10 = 2.00000000 y 10 = 4.00000000 z 10 = 3.00000000 Jdi, solusi SPL dlh = 2.00000000, y = 4.00000000, z = 3.00000000 Rinldi Munir - Topik Khusus Informtik I 31

Contoh Sol Terpn Dlm hl ini, semu rus i yng memsuki simpul dinggp bertnd positif. Sedngkn hukum Ohm menytkn bhw rus i yng mellui sutu thnn dlh : i ij = V V i R ij j yng dlm hl ini V dlh tegngn dn R dlh thnn. i 1 i 2 R ij V i V j i 3 i ij rh rus () (b) Rinldi Munir - Topik Khusus Informtik I 32

Diberikn sebuh rngkin listrik dengn 6 buh thnn seperti pd Gmbr di bwh ini. And dimint menghitung rus pd msing-msing rngkin. 3 R 32 R 2 12 1 i 32 i 12 R 34 i 43 i 52 R 52 i 54 i 65 4 R 45 5 R 65 6 Rinldi Munir - Topik Khusus Informtik I 33

Penyelesin: Arh rus dimislkn seperti dits. Dengn hukum Kirchoff diperoleh persmn-persmn berikut: i 12 + i 52 + i 32 = 0 i 65 - i 52 - i 54 = 0 i 43 - i 32 = 0 i 54 - i 43 = 0 Dri hukumohm didpt: i 32 R 32 -V 3 + V 2 = 0 i 43 R 43 -V 4 + V 3 = 0 i 65 R 65 + V 5 = 0 i 12 R 12 + V 2 = 0 i 54 R 54 -V 5 + V 4 = 0 i 52 R 52 -V 5 + V 2 = 0 Dengn menyusun kesepuluh persmn dits didptkn SPL sbb: Rinldi Munir - Topik Khusus Informtik I 34

i 12 i 52 i 32 i 65 i 54 i 43 V 2 V 3 V 4 V 5 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 i 12 0 0-1 0 1-1 0 0 0 0 0 i 52 0 0 0-1 0 0 0 0 0 0 0 i 32 0 0 0 0 0 1-1 0 0 0 0 i 65 0 0 0 R 32 0 0 0-1 1 0 0 i 54 0 0 0 0 0 0 R 43 0 1-1 0 i 43 = 0 0 0 0 R 65 0 0 0 0 0 1 V 2 V 6 R 12 0 0 0 0 0 1 0 0 0 V 3 V 1 0 0 0 0 R 54 0 0 0 1-1 V 4 0 0 R 52 0 0 0 0 1 0 0-1 V 5 0 Tentukn bil dikethui i 12, i 52, i 32, i 65, i 54, i 13, V 2, V 3, V 4, V 5 R 12 = 5 ohm, R 52 = 10 ohm, R 32 = 10 ohm R 65 = 20 ohm, R 54 = 15 ohm, R 14 = 5 ohm. V 1 = 200 volt, V 6 = 0 volt. Rinldi Munir - Topik Khusus Informtik I 35

Persoln ini diselesikn dengn metode eliminsi Guss. Mtriks wl sebelum proses eliminsi Guss dlh: 1.000 1.000 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000-1.000 0.000 1.000-1.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000-1.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 1.000-1.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 10.000 0.000 0.000 0.000-1.000 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 5.000 0.000 1.000-1.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 20.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 1.000 0.000 5.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 1.000 0.000 0.000 0.000 200.000 0.000 0.000 0.000 0.000 15.000 0.000 0.000 0.000 1.000-1.000 0.000 0.000 10.000 0.000 0.000 0.000 0.000 1.000 0.000 0.000-1.000 0.000 Rinldi Munir - Topik Khusus Informtik I 36

Mtriks khir setelh eliminsi dlh: 1.000 1.000 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000-1.000 0.000 1.000-1.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000-1.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 1.000-1.000 0.000 0.100 0.000 0.000-0.100 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 1.000-1.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 1.000 0.000 0.200-0.200 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000-0.100-0.200 0.200 0.150 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000-0.600 0.600 0.350 40.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.100 0.025 20.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000-0.200-26.667 Dengn teknik penyulihn mundur diperoleh solusiny sebgi berikut: i12 = 4.444 mpere, i52 = -4.444 mpere i32 = 0.000 mpere, i65 = -6.667 mpere i54 = -2.222 mpere, i43 = -2.222 mpere V2 = 177.778 volt, V3 = 177.778 volt V4 = 166.667 volt, V5 = 133.333 volt Rinldi Munir - Topik Khusus Informtik I 37

Rinldi Munir - Topik Khusus Informtik I 38