Matematika diskrit Bagian dari matematika yang mempelajari objek diskrit. Banyak masalah yang dapat diatasi dengan menggunakan konsep yang ada di MATDIS, antara lain : 1. Berapa besar kemungkinan kita menang suatu undian lotere 2. Jalan mana yang paling pendek untuk mencapai sebuah kota tertentu Dalam bidang computer : 1. Apakah dua buah computer dalam sebuah jaringan memiliki hubungan, kalau ya bagaimana jalurnya? 2. Berapa banyak password yang ralid / sah yang bisa diterima oleh suatu system computer? Konsep-konsep yang diajarkan dalam MATDIS ini secara khusus merupakan konsep dasar untuk/dari kuliah/bidang computer lain : Struktur data, basis data, system operasi, teori compiler, system keamanan computer,dll. Bagaimana mempelajari Matdis dengan sukse: pahami teorinya, kerjakan / pahami latihan dan PR nya, semakin banyak semakin baik, belajar kelompok. Logika Proposisi Proposisi : kalimat yang bernilai benar atau salah tapi tidak keduanya. 1. Jakarta ibukota Indonesia 2. Jam berapa sekarang 3. X+1 =2 4. 1+1 = 3 Proposisi biasanya dilambangkan dengan p,q,r,s. Definisi : Bila p proposisi Not p juga proposisi p = hari ini hari Senin. p = hari ini bukan hari Senin. p dan q proposisi maka: 1. p q disebut proposisi conjunction 2. p V q disebut proposisi disjunction 3. p q disebut implikasi Syandra Sari Page 1 of 5 versi 1Maret 2011
4. p q disebut bikondisional Pada p q p disebut antecedent / premise q disebut consequent / konklusi nama lain untuk implikasi: if p then q p implies q If p,q p only if q jika p maka q p mengimplikasikan q jika p,q p hanya jika q p is sufficient for q q if p q whenever p q is necessary for p p syarat cukup untuk q q jika p q ketika p q diperlukan untuk p Konverse dari p q adalah q p Kontra Positif p q dari adalah: q p Merubah dari kalimat alami ke proposisi - Kalimat dianalisa - Tiap bagian diberi sebuah simbol - Dirangkai dengan menggunakan penghubung yang sesuai Kamu dapat mengakses internet dari kampus hanya jika kamu dari jurusan informatika, atau kamu bukan mahasiswa tingkat pertama. Ada tiga kalimat: Kamu dapat mengakses internet dari kampus Hanya jika kamu dari jurusan informatika atau kamu mahasiswa tingkat pertama = r bukan = = p = = q = V Maka kalimat diatas menjadi: (p q) V r Bagaimana bila kalimatnya diubah sedikit seperti berikut: (komanya di pindah menjadi dibelakang kata kampus ) Syandra Sari Page 2 of 5 versi 1Maret 2011
Kamu dapat mengakses internet dari kampus, hanya jika kamu dari jurusan informatika atau kamu bukan mahasiswa tingkat pertama. LOGIC AND OPERASI BIT - Dalam bentuk bit 0/1 - Bit string 0110 bit string ukuan 4 Bitwise operasi untuk bit string dengan ukuran yang sama sesuai dengan posisi. PROPOSITIONAL EKIVALENCE Mengganti sebuah statement dengan statement yang lain yang memiliki table kebenaran / nilai kebenaran yang sama. Definisi : Proposisi gabungan yang selalu bernilai true apapun nilai kebenaran masing-masing proposisi bangunnya disebut TAUTOLOGI Proposisi gabungan yang selalu bernilai false disebut KONTRADIKSI Proposisi gabungan yang dapat true / false disebut CONTINGENCY Mana dari proposisi ini yang tautology, kontradiksi dan kontingensi p or not p, p and not p, p and q Proposisi p dan q disebut logically equivalent jika p q adalah tautology Notasinya: p q Dua buah proposisi dapat dibuktikan logically equivalent dengan dua cara: 1. tabel kebenaran 2. proposisi-proposisi yang sudah terbukti logically equivalent CARA PERTAMA, TABEL KEBENARAN: Berikut 5 buah tabel kebenaran DASAR: Tabel OR, Tabel AND, Tabel Negasi, Tabel Implikasi dan Tabel biimplikasi Syandra Sari Page 3 of 5 versi 1Maret 2011
Tabel Kebenaran: OR (^) AND (V) IMPLIKASI (-> ) p q p ^ q p q p Vq p q p-> q T T T T T T T T T T F F T F T T F F F T F F T T F T T F F F F F F F F T NEGASI ( ) BI-IMPLIKASI ( <-> ) p p p q p <-> q T F T T T F T T F F F T F F F T Bila ada 2 proposisi sederhana yang berbeda maka diperlukan 2 2 baris = 4 baris pada tabel kebenarana Bila ada 3 proposisi sederhana yg berbeda maka diperlukan 2 3 baris = 8 baris pada tabel kebenaran Bila ada n proposisi sederhana yg berbeda maka diperlukan 2 n baris pada tabel kebenaran Buat tabel kebenaran untuk kalimat proposisi berikut: p ^ (q V r) Karena ada 3 buah proposisi sederhana, yaitu p, q, dan r maka tabel kebenarannya akan memiliki 2 3 baris = 8 baris, seperti berikut: p q r q V r p ^ (q V r) T T T T T T T F T T T F T T T T F F F F F T T T F F T F T F F F T T F F F F F F Soal: Dengan menggunakan tabel kebenaran tunjukkan bahwa : jika p maka q logically equivalent dengan not p or q. Syandra Sari Page 4 of 5 versi 1Maret 2011
CARA KEDUA, Menggunakan PROPOSISI yg terbukti EKIVALEN: Proposisi-proposisi yang terbukti logically equivalent : 1. Indentity laws 7. Distributive laws P ^ Q <=> P P V (Q ^ R) <=> (P V Q) ^ (P V R) P V Q <=> P P ^ (Q V R) <=> (P ^ Q) V (P ^ R) 2. Domination laws 8. De morgan s law P V T <=> T ( P ^ Q ) <=> P V Q P ^ F <=> F ( P V Q ) <=> P ^ Q 3.Idempotent laws 9. Implikasi P V P <=> P P -> Q P V Q P ^ P <=> P 10. Bi-implikasi 4. Double negation laws P <-> Q (P -> Q) ^ (Q -> P) ( P) <=> P 11. Tautologi 5. Commutative laws P V P <=> T P V Q <=> Q V P 12. Kontradiksi P ^ Q <=> Q ^ P P ^ P <=> F 6. Associative laws (P V Q) V R <=> P V (Q V R) Keterangan: T= True, F=False (P ^ Q) ^ R <=> P ^ (Q ^ R) Tunjukkan tanpa menggunakan tabel kebenaran bahwa: ( p ( p q)) logically equivalent dengan p q Jawab: ( p ( p q)) p (( ( p q)) Demorgan p (( p) q) Demorgan p ( p q) DoubleNegasi ( p p) ( p q) Distributive F ( p q) Kontradiksi p q Identity ======= Terbukti Soal: Tunjukkan bahwa ( p q) ( p q) adalah Tautologi: Jawab untuk membuktikan pernyataan diatas, maka kita harus membuktikan bahwa proposisi tsb logically equivalent dengan True. Strategi: 1. bila ada (..) gunakan De Morgan 2. bila ada (implikasi) gunakan aturan implikasi Syandra Sari Page 5 of 5 versi 1Maret 2011