IT105 MATEMATIKA DISKRIT Ramos Somya, S.Kom., M.Cs.
TUJUAN Mahasiswa Memahami dan menguasai konsep dasar logika matematika Mahasiswa mempunyai daya nalar yang semakin tajam.
POKOK BAHASAN Pernyataan dan Penghubung Pernyataan Konvers, Invers, Kontraposisi, Tautologi & Kontradiksi Ekuivalensi Penarikan Kesimpulan Kalimat berkuantor/kalkulus Predikat Aljabar Boole & Gerbang Logika Bentuk-Bentuk Normal : DNF/Minterm, CNF/Maxterm Program sebagai Logika Instruksi Pengulangan Instruksi Teori Graf
DAFTAR PUSTAKA Prof. Ir. Danny Manongga, M.Sc., Ph.D. (2007). Matematika Diskrit. Fakultas Teknologi Informasi UKSW. Buku-buku yang membahas Matematika Diskrit
PENILAIAN Dosen (75%) Tugas : 30% TTS : 35% TAS : 35% Asistensi: 25%
PENENTUAN NILAI HURUF >= 80 A >= 75 < 80 AB >= 70 < 75 B >= 65 < 70 BC >= 60 < 65 C >= 55 < 60 CD >= 50 < 55 D < 50 E
Aturan Kuliah Dressing Code Kemeja atau Kaos ber-krah, rapi dan bersepatu, tidak bersandal-jepit (wajib dan tidak menerima alasan apapun - jika tidak sesuai, tidak diperbolehkan mengikuti kuliah) Presensi Absen > 3 kali, tanpa alasan yang jelas, Nilai : E Jam Kuliah : Kelas D / Selasa, 09.00 11.00 WIB Mulai 09.10 WIB Dispensasi keterlambatan 10 menit
TOPIK 1 LOGIKA
MATERI 1 PERNYATAAN PENGHUBUNG PERNYATAAN
LOGIKA (1) Logika merupakan studi penalaran (reasoning). Dalam Kamus Besar Bahasa Indonesia disebutkan definisi penalaran : cara berpikir dengan mengembangkan sesuatu berdasarkan akal budi bukan dengan perasaan atau pengalaman. Materi logika difokuskan pada hubungan antara pernyataan-pernyataan (statements).
LOGIKA (2) Perhatikan argumen berikut: Semua pengendara sepeda motor memakai helm. Setiap orang yang memakai helm adalah mahasiswa. Jadi, semua pengendara sepeda motor adalah mahasiswa.
LOGIKA (3) Di dalam matematika, hukum-hukum logika : menspesifikasikan makna dari pernyataan matematis. untuk membedakan antara argumen yang valid dan tidak valid. untuk membuktikan teorema-teorema di dalam matematika. Logika mempunyai aplikasi yang luas di dalam ilmu komputer : dalam bidang pemrograman, analisis kebenaran algoritma, kecerdasan buatan (artificial intelligence), perancangan komputer, dan sebagainya.
PERNYATAAN Adalah kalimat yang mempunyai nilai kebenaran (benar/salah) kalimat deklaratif/proposisi Contoh: UKSW berada di Salatiga. (pernyataan benar) 5+3=9. (pernyataan salah) 100+1=101. (pernyataan, benar/salah tergantung konteks biner/desimal) Meja itu besar. (bukan pernyataan) Apa hobimu? (bukan pernyataan)
PENGHUBUNG PERNYATAAN (1) Untuk membuat pernyataan yang lebih kompleks dari pernyataan-pernyataan yang lebih sederhana dibutuhkan penghubung. Pernyataan-pernyataan yang lebih kompleks ini disebut pernyataan majemuk (compound statement). Jadi pernyataan primer atau atomik adalah pernyataan-pernyataan yang tidak mempunyai penghubung. Dalam pembahasan ini suatu pernyataan akan diberi nama dengan huruf kapital.
PENGHUBUNG PERNYATAAN (2) Negasi Konjungsi Disjungsi Kondisi (Conditional)/Implikasi Kondisi Ganda (Biconditional)/Biimplikasi
NEGASI (1) Notasi: atau ~ atau atau Negasi pernyataan P adalah suatu pernyataan ~P yang mempunyai nilai kebenaran berlawanan dari nilai kebenaran pernyataan semula. Contoh: P : Hari ini hujan. Q : Hari ini panas. Maka pernyataan NOT dari P dan Q adalah ~P: Hari ini tidak hujan. ~Q: Hari ini tidak panas.
Tabel Kebenaran NEGASI (2)
DISJUNGSI (1) Notasi: atau + atau Disjungsi dari dua pernyataan P dan Q adalah suatu pernyataan P Q yang mempunyai nilai kebenaran T jika P atau Q atau keduanya mempunyai nilai kebenaran T, selain itu P Q bernilai F. Contoh: P: Hari ini hujan. Q: Ada 10 kamar dalam rumah ini. P Q: Hari ini hujan atau ada 10 kamar dalam rumah ini.
DISJUNGSI (2) Saya akan menonton pertandingan di tv atau pergi ke lapangan pertandingan. atau dipakai dalam bentuk yang eksklusif untuk memilih salah satu dari dua alternatif tetapi tidak keduanya (P atau Q saja tetapi tidak P dan Q). Ada sesuatu yang salah dengan bolam itu atau dengan pengabelannya. atau dipakai dalam bentuk yang inklusif yaitu bisa salah satu atau kedua alternatif terjadi (P, atau Q atau P dan Q). atau digunakan seperti yang dimaksud (simbol ). Dua atau tiga orang cedera dalam kecelakaan itu. atau tidak ditujukan dalam arti Penghubung yang dimaksudkan tetapi mengenai jumlah orang dalam kejadian itu.
DISJUNGSI (3) Sifat simetri: P Q = Q P. Negasi P Q adalah ~P ~Q. Tabel Kebenaran:
KONJUNGSI (1) Notasi:,.,, atau Konjungsi dari dua pernyataan P dan Q adalah suatu pernyataan P Q yang mempunyai nilai kebenaran T bila P dan Q keduanya mempunyai nilai kebenaran T, selain itu P Q bernilai F. Contoh: P: Hari ini hujan. Q: Ada 10 kamar dalam rumah ini. P Q: Hari ini hujan dan ada 10 kamar dalam rumah ini.
KONJUNGSI (2) Mawar berwarna merah dan kucing berwarna hitam. dan digunakan seperti yang dimaksud (simbol ). Prinsip simetri berlaku. P Q = Q P Inem membuka pintu dan berjalan masuk. dan berarti kemudian karena berjalan masuk terjadi setelah Inem membuka pintu tidak dapat diterjemahkan dengan. Prinsip simetri tidak berlaku. P Q Q P Inem dan Ponim bersaudara. dan bukan penghubung, karena hanya satu kalimat bukan dua kalimat setara yang dihubungkan dengan AND. Bila dipecah, akan menjadi kalimat berita tidak lengkap. Inem bersaudara. Kalimat menjadi tidak lengkap karena bersaudara dengan siapa?.
KONJUNGSI (3) Sifat simetri: P Q = Q P. Negasi P Q adalah ~P ~Q. Tabel Kebenaran:
IMPLIKASI (1) Notasi: Jika P dan Q adalah dua pernyataan, maka implikasi pernyataan P Q dapat dibaca sebagai IF P, THEN Q. P dan Q adalah suatu pernyataan conditional. P disebut proposisi antecedent/premis/kondisi dan Q adalah consequent/konklusi. Implikasi tidak mempunyai sifat simetri dalam arti bahwa P Q tidak sama dengan Q P.
IMPLIKASI (2) Implikasi p q memainkan peranan penting dalam penalaran. Implikasi ini tidak hanya diekspresikan dalam pernyataan standard jika p, maka q tetapi juga dapat diekspresikan dalam berbagai cara, antara lain: Jika p, maka q Jika p, q p mengakibatkan q q jika p p hanya jika q p syarat cukup agar q q syarat perlu bagi p q bilamana p
IMPLIKASI (3) Contoh: P : Langit cerah hari ini. Q: 2+7 >4. P Q : Jika langit cerah hari ini, maka 2+7 >4. P: Ibu ke pasar. Q: Didi ke sekolah. P Q : Jika ibu ke pasar, maka Didi ke sekolah. Tulis dalam bentuk simbolis: Kalau William mengambil Kalkulus atau Harry mengambil Sosiologi, maka Charles akan mengambil Bahasa Inggris. J: William mengambil Kalkulus. K: Harry mengambil Sosiologi. L: Charles mengambil Bahasa Inggris. Hasilnya adalah: (J K) L
IMPLIKASI (4) P Q (ekuivalen dengan) ~P Q. Buktikan dengan tabel kebenaran! ~(P Q) ~(~P Q) P ~Q. Tabel Kebenaran:
IMPLIKASI (5) Proposisi-proposisi berikut adalah implikasi dalam berbagai bentuk: a) Jika hari hujan, maka tanaman akan tumbuh subur. b) Jika tekanan gas diperbesar, mobil melaju kencang. c) Es yang mencair di kutub mengakibatkan permukaan air laut naik. d) Orang itu mau berangkat jika ia diberi ongkos jalan. e) Ahmad bisa mengambil matakuliah Teori Bahasa Formal hanya jika ia sudah lulus matakuliah Matematika Diskrit. f) Syarat cukup agar pom bensin meledak adalah percikan api dari rokok. g) Syarat perlu bagi Indonesia agar ikut Piala Dunia adalah dengan mengontrak pemain asing kenamaan. h) Banjir bandang terjadi bilamana hutan ditebangi.
IMPLIKASI (6) Ubahlah proposisi c sampai h, ke dalam bentuk proposisi jika p, maka q. Penyelesaian: Jika es mencair di kutub, maka permukaan air laut naik. Jika orang itu diberi ongkos jalan, maka ia mau berangkat. Jika Ahmad mengambil matakuliah Teori Bahasa Formal, maka ia sudah lulus matakuliah Matematika Diskrit. Pernyataan yang diberikan ekivalen dengan Percikan api dari rokok adalah syarat cukup untuk membuat pom bensin meledak atau Jika api memercik dari rokok, maka pom bensin meledak Pernyataan yang diberikan ekivalen dengan Mengontrak pemain asing kenamaan adalah syarat perlu untuk Indonesia agar ikut Piala Dunia atau Jika Indonesia ikut Piala Dunia maka Indonesia mengontrak pemain asing kenamaan. Jika hutan-hutan ditebangi, maka banjir bandang terjadi.
Notasi: BIIMPLIKASI (1) Jika P dan Q adalah dua pernyataan, maka biimplikasi pernyataan P Q (dibaca P jika dan hanya jika Q) mempunyai nilai T bilamana baik P dan Q keduanya mempunyai nilai kebenaran yang sama. P Q mempunyai sifat simetri yaitu: P Q = Q P.
BIIMPLIKASI (2) Terdapat sejumlah cara untuk menyatakan bikondisional p q dalam kata-kata, yaitu: p jika dan hanya jika q. p adalah syarat perlu dan cukup untuk q. Jika p maka q, dan sebaliknya.
BIIMPLIKASI (3) P Q (P Q) (Q P) Tabel Kebenaran:
BIIMPLIKASI (4) Proposisi majemuk berikut adalah biimplikasi: 1 + 1 = 2 jika dan hanya jika 2 + 2 = 4. Syarat cukup dan syarat perlu agar hari hujan adalah kelembaban udara tinggi. Jika anda orang kaya maka anda mempunyai banyak uang, dan sebaliknya.
BIIMPLIKASI (5) Tuliskan setiap proposisi berikut ke dalam bentuk p jika dan hanya jika q : a) Jika udara di luar panas maka anda membeli es krim, dan jika anda membeli es krim maka udara di luar panas. b) Syarat cukup dan perlu agar anda memenangkan pertandingan adalah anda melakukan banyak latihan. c) Anda naik jabatan jika anda punya koneksi, dan anda punya koneksi jika anda naik jabatan. d) Jika anda lama menonton televisi maka mata anda lelah, begitu sebaliknya. e) Kereta api datang terlambat tepat pada hari-hari ketika saya membutuhkannya.
BIIMPLIKASI (6) Penyelesaian: a) Anda membeli es krim jika dan hanya jika udara di luar panas. b) Anda melakukan banyak latihan jika dan hanya jika anda memenangkan pertandingan. c) Anda naik jabatan jika dan hanya jika anda punya koneksi. d) Mata anda lelah jika dan hanya jika anda lama menonton televisi. e) Kereta api datang terlambat jika dan hanya jika saya membutuhkan kereta hari itu.
TABEL NEGASI
TABEL SETARA/SENILAI/EKUIVALEN
BEDA INVERSE DENGAN NEGASI
MATERI 2 KONVERS, INVERS, KONTRAPOSISI TAUTOLOGI & KONTRADIKSI
KONVERS, INVERS, KONTRAPOSISI (1) Dari suatu implikasi, bisa dibentuk varian implikasi yang lain, yaitu: Konvers (Q P) Invers (~P ~Q) Kontraposisi (~Q ~P) P Q ~Q ~P Buktikan dengan tabel kebenaran!
KONVERS, INVERS, KONTRAPOSISI (2) Jika A merupakan suatu bujursangkar, maka A merupakan suatu 4 persegi panjang P : A merupakan suatu bujursangkar Q : A merupakan suatu 4 persegi panjang Kn: Q P : Jika A merupakan 4 persegi panjang, maka A adalah suatu bujursangkar In: P Q : Jika A bukan bujursangkar, maka A bukan 4 persegi panjang Kt: Q P : Jika A bukan 4 persegi panjang, maka A bukan bujursangkar Ngs: P Q: A adalah suatu bujursangkar dan A bukan 4 persegi panjang
KONVERS, INVERS, KONTRAPOSISI (3) Jika n adalah bilangan prima > 2, maka n adalah bilangan ganjil. P : n adalah bilangan prima > 2 Q : n adalah bilangan ganjil Kn: Q P : Jika n adalah bilangan ganjil, maka n adalah bilangan prima > 2 In: P Q : Jika n bukan bilangan prima > 2, maka n bukan bilangan ganjil Kt: Q P : Jika n bukan bilangan ganjil, maka n bukan bilangan prima > 2 Ngs: P Q: n adalah bilangan prima > 2 dan n bukan bilangan ganjil
TAUTOLOGI dan KONTRADIKSI (1) Tautologi adalah pernyataan yang nilai kebenarannya selalu benar. Contoh: P ~P (buktikan!) Kontradiksi adalah pernyataan yang nilai kebenarannya selalu salah. Contoh: P ~P (buktikan!)
TAUTOLOGI dan KONTRADIKSI (2) Tunjukkan bahwa kalimat-kalimat di bawah ini adalah Tautologi dengan menggunakan tabel kebenaran.
TAUTOLOGI dan KONTRADIKSI (3)
TAUTOLOGI dan KONTRADIKSI (4)