Modul 1 Mtriks Dr. Whyu Widyt, M.Ec. S PENDAHULUAN ering kli kit berhdpn dengn mslh mencri solusi dri sistem persmn linier, tu mslh optimissi sutu fungsi dengn jumlh vribel yng bnyk. Mslh-mslh tersebut dpt dibntu pemechnny dengn menggunkn mtriks. Sistem persmn linier tersebut dpt ditulis lebih singkt dengn menggunkn mtriks dn solusiny dpt diperoleh dengn metode Crmer tu menggunkn invers dri mtriks. Dengn menggunkn mtriks, mk penyelesin sutu mslh ternyt kn menjdi lebih mudh. Selin itu, pengethun tentng mtriks dpt jug dipliksikn di dlm ekonomi dn bisnis pd bnyk hl. Optimissi sutu fungsi dengn bnyk vribel kn diperoleh pemechn dengn menggunkn mtriks. Mslh input-output untuk perencnn ekonomi jug memerlukn mtriks. Tnp menggunkn mtriks, mk mslh-mslh seperti yng disebutkn di ts menjdi sngt sulit tu mungkin tidk kn memberi hsil pemechn. Oleh sebb itu, konsep mtriks seperti yng kn dijelskn muli modul ini merupkn konsep penting yng hrus diphmi dengn bik. Mengingt pentingny mtriks dlm kehidupn sehri-hri, mk setelh mempeljri modul ini And dihrpkn mmpu untuk menggunkn konsep mtriks untuk memechkn mslh ekonomi dn bisnis tertentu. Setelh mempeljri modul ini And dihrpkn mmpu untuk: 1. menjelskn konsep mtriks; 2. menghitung penjumlhn dn pengurngn mtriks; 3. menghitung perklin mtriks; 4. menghitung trnspose dri mtriks; 5. menghitung determinn mtriks; 6. menghitung kr persmn dengn kidh Crmer.
1.2 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis Kegitn Beljr 1 Konsep Mtriks A. PENGERTIAN MATRIKS Sutu mtriks dpt didefinisikn sebgi sutu susunn ngk-ngk yng disebut elemen dn bentuk umumny disusun sebgi berikut. 11 12 13... 1n 21 22 23... 2n A........... m1 m2 m3 mn mxn tu dpt jug ditulis: A......... : : : : :... 11 12 13 1n 21 22 23 2n 31 32 32 3n m1 m2 m3 mn mxn Simbol untuk mtriks ditulis dengn huruf besr (huruf kpitl) dn dicetk tebl (bold), sedngkn 11 12... mn dlh elemen-elemen digunkn untuk simbolsimbol bilngn riil. Elemen-elemen mtriks ditulis di ntr du tnd kurung ( ) tu dpt jug tnd kurung [ ]. Perhtikn indeks yng diberikn untuk setip elemen. Secr umum elemen dpt diberi simbol ij. Untuk elemen 23 mislny, dpt dirtikn i bernili 2 dn j bernili 3. Lebih lnjut dpt diliht bhw i menunjukkn bris dn j menunjukkn kolom. Dlm hl i 2 dn j 3, mk elemenny dlh 23 dn letkny dlm mtriks dpt seger dikethui, yitu pd bris kedu dn kolom ketig pd mtriks. Kren ij merupkn simbol dri elemen sutu mtriks, dklny sutu mtriks A dilukiskn sebgi: ( ij ) tu [ ij ]
ESPA4222/MODUL 1 1.3 Sutu mtriks yng mempunyi bris sebnyk m dn jumlh kolomny n sering disebut dengn mtriks m x n yng dibc "m kli n" tu mtriks berdimensi m x n. Dimensi tu ukurn mtriks ini ditulis di sebelh knn bwh kurung tutupny. Contoh: A 2 3-1 5 1 2 4 3 5 0 3 1 3x4 Mtriks di ts jumlh brisny 3 dn jumlh kolomny 4. Dimensi mtriks A dlh 3 x 4. Bil m n, mtriksny disebut dengn mtriks bujur sngkr. Contoh 1.1: 2 1 B 0 3 2x2 Dimensi mtriks B dlh 2 x 2 dn mtriks B dlh mtriks bujur sngkr. Contoh mtriks bujur sngkr dengn dimensi 3 x 3 1-2 3 C 0 0 4 2 1 6 3x3 Sutu mtriks dengn dimensiny sering disimbolkn sebgi A mxn tu ( ij ) mxn. Contoh 1.2: 2 0 6 A 2x3 4 1 8 2x3 Sebenrny, tnp ditulis dimensiny pun kit bis meliht lngsung berp jumlh bris dn kolomny, sehingg penulisn mtriks jug dibenrkn pbil dimensiny tidk ditulis.
1.4 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis Contoh 1.3: 2 0 6 A 4 1 8 Du buh mtriks diktkn sm bil kedu mtriks tersebut mempunyi dimensi yng sm dn elemen pd bris dn kolom yng sm berelemenkn sutu nili yng sm. Contoh 1.4: 3-3 A -3 3 3-3 B -3 3 3-3 3-3 C -3 3-3 3 D 3-3 A C kn tetpi A B, A D, B C, B D dn C D. Bis terjdi, sutu mtriks hny memiliki stu kolom tu stu bris sj. Mtriks yng hny memiliki stu kolom disebut dengn vektor kolom dn ditulis. U1 U1 U 2 2 U U U 3 tu U U 3 : : U m U m U 1, U 2... U m disebut dengn komponen vektor. Sutu vektor kolom yng terdiri ts m buh bris disebut vektor komponen m tu vektor bris dimensi m. Sutu mtriks yng hny terdiri ts stu bris sj disebut vektor bris dn dpt ditulis seperti:
ESPA4222/MODUL 1 1.5 V V (V 1, V 2... V n ) tu V, V,........., V 1 2 n V 1, V 2... V n merupkn komponen vektor. Sutu vektor bris yng terdiri ts n buh kolom disebut vektor komponen n tu vektor bris dimensi n. Contoh 1.5: 2 1 dlh mtriks dimensi 2 x 1 tu vektor kolom 2 dimensi. Contoh 1.6: 1 2 1 dlh mtriks dimensi 5 x 1 tu vektor kolom 5 dimensi. 2 3 Contoh 1.7: [1, 5, 2] dlh mtriks dimensi 1 x 3 tu vektor bris 3 dimensi. Perhtikn, ntr elemen yng stu dengn yng lin dipishkn dengn kom untuk menghindri slh penfsirn sebgi sutu mtriks yng hny memiliki stu elemen seperti [152]. Contoh 1.8: -1, 1, -1, 1, -1 dlh mtriks dimensi 1 x 5 tu vektor bris 5 dimensi. Du buh vektor bris diktkn sm hny jik kedu vektor mempunyi jumlh kolom yng sm dn elemen-elemen yng sepdn di kedu vektor jug sm. Contoh 1.9: U 2, 3, 1 W 2, 3, 1 U W
1.6 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis Du buh vektor kolom diktkn sm hny jik kedu vektor mempunyi jumlh bris yng sm dn elemen-elemen yng sepdn di kedu vektor jug sm. Contoh 1.10: 1 X 0 1 Y 1 0 1 X Y B. BENTUK MATRIKS Pd bgin ini kit kn membhs tig bentuk mtriks, yitu mtriks digonl, mtriks identits, dn mtriks nol. 1. Mtriks Digonl Mtriks digonl dlh mtriks bujur sngkr yng elemen-elemenny bernili nol keculi elemen-elemen yng terletk di digonl utm, yitu digonl dri kiri ts ke knn bwh, dn pling sedikit stu elemen tidk bernili nol. Jdi: 11 12... 1n 21 22... 2n A... ij nxn... n1 n2... nn merupkn mtriks digonl hny jik: ij 0 untuk i j ij 0 untuk pling sedikit stu i j. Contoh 1.11: Mtriks-mtriks berikut dlh mtriks digonl. A 3 0 0 1 B 0 0 0 1
ESPA4222/MODUL 1 1.7 C 5 0 0 0 2 0 0 0 1 D 3 0 0 0 0 0 0 0 0 2. Mtriks Identits Mtriks identits dlh mtriks digonl yng elemen-elemen digonlny bernili stu, jdi: A......... 11 12 1n 21 22 2n n1 n2 nn nxn merupkn mtriks identits hny jik: ij 0 untuk i j ij 1 untuk i j mtriks identits bisny diberi simbol I Contoh 1.12: 1 0 0 I 3 0 1 0 0 0 1 I 3 merupkn mtriks identits dimensi 3 x 3. Contoh 1.13: 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 I 5 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 I 5 merupkn mtriks identits dimensi 5 x 5.
1.8 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis 3. Mtriks Nol Mtriks nol dlh mtriks dengn dimensi m x n yng semu elemenny bernili nol dn diberi simbol 0. Contoh: O 2 x 3 0 0 0 0 0 0 LATIHAN Untuk memperdlm pemhmn And mengeni mteri di ts, kerjknlh ltihn berikut! 1) Bil dikethui : A 3 0 1 2 4 3 B 1 1 3 0 2 2 0 1 3 Dri mtriks di ts, tentuknlh: ) Dimensi mtriks A. b) Bentuk mtriks B. c) Jenis mtriks C. d) Jenis mtriks D. C 1 2 4 0 D 5 2 0 3 2) Bil dikethui: 0 3 2 0 0 0 D 1 0 5 E 0 0 0 8 2 0 0 0 0 Dri mtriks di ts, tentuknlh: ) Bentuk mtriks D. b) Bentuk mtriks E. c) Bentuk mtriks F. d) Bentuk mtriks G. 0 0 0 F 0 0 0 0 0 1 1 0 0 G 0 1 0 0 0 1
ESPA4222/MODUL 1 1.9 Petunjuk Jwbn Ltihn 1) ) Mtriks A dimensiny 2 x 3. b) Mtriks B dlh mtriks bujur sngkr berdimensi 3 x 3. c) Mtriks C dlh vektor bris. d) Mtriks D dlh vektor kolom 2) ) Bentuk mtriks D dlh bujur sngkr. b) Mtriks E dlh mtriks nol. c) Mtriks F dlh mtriks digonl. d) Mtriks G dlh mtriks identits. RANGKUMAN Sutu mtriks dpt didefinisikn sebgi sutu susunn ngk-ngk yng terdiri dri bris dn kolom. Sutu mtriks yng mempunyi bris sebnyk m dn jumlh kolom n disebut dengn mtriks berdimensi m x n. Mtriks bujur sngkr dlh mtriks yng jumlh brisny sm dengn jumlh kolomny. Mtriks yng hny memiliki stu bris sj disebut dengn vektor bris, dn mtriks yng hny memiliki stu kolom sj disebut dengn vektor kolom. Mtriks digonl dlh mtriks bujur sngkr yng elemen-elemenny bernili nol keculi elemen-elemen yng terletk di digonl utm, yitu digonl dri kiri ts ke knn bwh, pling sedikit stu elemen tidk bernili nol. Mtriks identits dlh mtriks digonl yng elemen-elemen digonlny bernili stu. Mtriks nol dlh mtriks dengn dimensi m x n yng semu elemenny bernili nol dn diberi simbol 0. TES FORMATIF 1 Pilihlh stu jwbn yng pling tept! 1 0 1) Mtriks A 0 1 dlh... A. mtriks bis B. mtriks nol C. mtriks identits D. mtriks digonl
1.10 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis 4 3 2 1 2) Mtriks B 3 4 3 2 dlh... 2 3 4 33x4 A. mtriks bujur sngkr B. mtriks bis dengn dimensi 3 x 4 C. mtriks identits D. mtriks digonl 0 1 1 3) Mtriks C 1 0 1 1 1 0 A. mtriks identits B. mtriks digonl C. mtriks nol D. mtriks bis 0 0 0 4) Mtriks D 0 0 0 0 0 0 A. mtriks identits B. mtriks digonl C. mtriks nol D. mtriks bis dlh... dlh... 11 12... 1n 21 22... 2n 5) Mtriks E dlh... n1 n2... nn nxn A. mtriks digonl hny jik ij 0 untuk i j dn ij 1 untuk i j B. mtriks identits hny jik ij 0 untuk i j dn ij 1 untuk i j C. mtriks nol hny jik ij 0 untuk i j dn ij 1 untuk i j D. bukn mtriks bujur sngkr jik ij 0 untuk i j dn ij 1 untuk i j
ESPA4222/MODUL 1 1.11 11 12... 1n 21 22... 2n 6) Mtriks F dlh... n1 n2... nn nxn A. mtriks digonl hny jik ij 0 untuk i j dn ij 0 untuk pling sedikit stu i j B. mtriks identits hny jik ij 0 untuk i j dn ij 0 untuk pling sedikit stu i j C. mtriks nol hny jik ij 0 untuk i j dn ij 0 untuk pling sedikit stu i j D. bukn mtriks bujur sngkr jik ij 0 untuk i j dn ij 0 untuk pling sedikit stu i j 0 1 7) Mtriks G 0 merupkn... 1 0 A. vektor bris dengn dimensi 1 x 5 B. vektor bris dengn dimensi 5 x 1 C. vektor kolom dengn dimensi 1 x 5 D. vektor kolom dengn dimensi 5 x 1 8) Mtriks A 2, 3, 1 dlh... A. vektor bris dengn dimensi 1 x 3 B. vektor bris dengn dimensi 3 x 1 C. vektor kolom dengn dimensi 1 x 3 D. vektor kolom dengn dimensi 3 x 1 0 0 0 9) Mtriks A 0 1 0 dlh... 0 0 0 A. mtriks identits B. mtriks digonl C. mtriks nol D. mtriks bis
1.12 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis 2 3-1 5 10) Mtriks A 1 2 4 3 5 0 3 1 A. mtriks identits B. mtriks digonl C. mtriks nol D. mtriks bis 3x4 dlh... Cocokknlh jwbn And dengn Kunci Jwbn Tes Formtif 1 yng terdpt di bgin khir modul ini. Hitunglh jwbn yng benr. Kemudin, gunkn rumus berikut untuk mengethui tingkt pengusn And terhdp mteri Kegitn Beljr 1. Tingkt pengusn Jumlh Jwbn yng Benr 100% Jumlh Sol Arti tingkt pengusn: 90-100% bik sekli 80-89% bik 70-79% cukup < 70% kurng Apbil mencpi tingkt pengusn 80% tu lebih, And dpt meneruskn dengn Kegitn Beljr 2. Bgus! Jik msih di bwh 80%, And hrus mengulngi mteri Kegitn Beljr 1, terutm bgin yng belum dikusi.
ESPA4222/MODUL 1 1.13 Kegitn Beljr 2 Opersi Mtriks A. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN Sutu mtriks dpt diopersikn secr ritmtik, yitu ditmbh, dikurngi, dibgi, tu diklikn. Selin itu sutu mtriks dpt jug diopersikn tetpi tidk terdpt pd opersi ritmtik, yitu trnspose, determinn, dn invers. Kren umumny mtriks bukn merupkn ngk tunggl, mk opersi ritmtikny berbed dengn opersi pd bilngn-bilngn rel. Du buh mtriks dpt dijumlhkn hny jik kedu mtriks tersebut mempunyi dimensi yng sm dn hsilny dlh mtriks lin yng setip elemenny merupkn hsil penjumlhn elemen-elemen yng letkny sesui. Mksud dri letk yng sesui dlh, kedu elemen tersebut terletk di bris dn kolom yng sm. Jdi jik d du mtriks: A 11 12 13 21 22 23 dn B b b b b b b 11 12 13 21 22 23 mk: A + B + b + b + b + b + b + b 11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23 Du buh mtriks dpt dikurngkn hny jik kedu mtriks tersebut memiliki dimensi yng sm hsilny dlh mtriks lin yng setip elemenny merupkn hsil pengurngn elemen-elemen yng letkny sesui. Mislny d du buh mtriks, yitu: C c c c c c c c c c 11 12 13 21 22 23 31 32 33 dn D d d d d d d d d d 11 12 13 21 22 23 31 32 33 mk:
1.14 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis C D 11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33 - - - c d c d c d - - - c d c d c d - - - c d c d c d Contoh 1.14: 1 0 3 2 1-2 3 0-1 + 1 5-5 -2 2 3 4 0 1 2 5-2 0 3 1 7 0 0 Contoh 1.15: 2 1 4 3 0 2 1 2 2-0 2-1 1 5 0-2 1 1 2-1 5 2-5 2 3 1 1 Contoh 1.16: [4, 12, 6] - [3, 2, -1] [1, 10, 7] Contoh 1.17: [-1, 3, 2] + [-2, 1, 3] [-3, 4, 5] Contoh 1.18: 1 1 1 2 + 0 1 1 0 1 2 2 2 Contoh 1.19: 3 1-2 0 + 1 2 0 1-4 4 2 3 0-1 -4-2
ESPA4222/MODUL 1 1.15 Contoh 1.20: 2 6 3 4-3 7 1 2 + 4 0 2 3 3-1 4 5 Contoh 1.21: [3, 4] + [2, 1] + [1, 3] - [5, 8] [1, 0] Contoh 1.22: 2 4 2 + 2 2 3-2 0 4 + -4-4 -1 0 0 0 Contoh 1.23: 1 0 2 7 3 11-4 2 3 2 1 3 + 1 5 4 4 2 3-4 -7-5 1 0 5 Sutu mtriks yng ditmbh tu dikurngi dengn mtriks nol niliny tidk kn berubh, jdi: A mxn + 0 mxn A mxn Contoh 1.24: 0 1 0 A 2x3 9 0 5 A 2x3 0 2x3 0 1 0 9 0 5 0 0 0 0 0 0 0 1 0 9 0 5
1.16 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis B. PERKALIAN MATRIKS Sutu bilngn sklr dpt diklikn dengn sutu mtriks dimensi berp pun, dn hsilny dlh mtriks lin yng elemen-elemenny merupkn hsil perklin bilngn sklr dengn elemen mtriks wlny. Contoh 1.25: 2 2 2 2-1 4 4 5 5 0 0 Contoh 1.26: -1 2 4 5-3 6 12 15 3 5 3 1 2 15 9 3 6 Contoh 1.27: C 1, 0, 0, 0, 2 C, 0, 0, 2C Contoh 1.28: b b b 2 b b 2 b Pd contoh-contoh perklin sklr dengn mtriks di ts, sklr dpt diklikn dengn mtriks berp pun dimensiny. Lin hlny klu kit kn menglikn mtriks dengn mtriks. Perklin ntr du buh mtriks dpt dilkukn klu dipenuhiny sutu syrt tertentu. Mislkn d du mtriks yitu A dn B yng dikethui dn kit ingin mencri hsil perklinny. Syrt yng hrus dipenuhi gr du buh mtriks dpt diklikn dlh jumlh kolom mtriks A hrus sm dengn jumlh bris mtriks B. Jdi sendiny: A 1x2 [ 11 12 ]
ESPA4222/MODUL 1 1.17 B 2x3 b b b b b b 11 12 13 21 22 23 Perklin A dn B dpt dilkukn kren mtriks A mempunyi du kolom dn mtriks B mempunyi du bris. Hsil perklinny yitu AB merupkn sutu mtriks yng dimensiny 1 x 3. Jdi: A 1x2. B 2x3 [AB] 1x3 Bil kemudin dimislkn bhw [AB] 1x3 C 1x3 dn C 1x3 [C 11. C 12. C 13 ], mk: [AB] 1x3 C 1x3 [C 11, C 12, C 13 ]. Sekrng kit kn menentukn prosedur perklin, ketig elemen mtriks C merupkn jumlh hsil perklin bris mtriks A dengn kolom mtriks B dengn mengikuti prosedur berikut ini: C 11 11 b 11 + 12 b 21 (bris 1 mtriks A kli kolom 1 mtriks B). C 12 11 b 12 + 12 b 22 (bris 1 mtriks A kli kolom 2 mtriks B). C 13 11 b 13 + 12 b 23 (bris 1 mtriks A kli kolom 3 mtriks B). Perhtikn bhw indeks pd C ij menunjukkn bhw indeks pertm dlh bris pd mtriks A dn indeks kedu menunjukkn kolom pd mtriks B. Jdi, sendiny C 11 hrus merupkn jumlh hsil perklin elemen-elemen pd bris pertm mtriks A dn kolom pertm mtriks B, dn C 12 hrus merupkn jumlh hsil perklin elemen-elemen pd bris pertm mtriks A dn kolom kedu mtriks B. Bil bris dn kolom telh dipilih, mk elemen yng d di dlmny diklikn secr berpsngn secr urut. Dengn menggunkn gmbr, jumlh hsil perklin untuk mengisi elemen C ij dpt ditunjukkn sebgi berikut:
1.18 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis Untuk C 11 : Psngn pertm 11 12 b b 11 12 Psngn kedu Untuk C 12: Psngn pertm 11 12 b b 12 22 Psngn kedu Untuk C 11, pd psngn pertm 11 diklikn dengn b 11 dn pd psngn kedu 12 diklikn dengn b 12 sehingg C 11 11 b 11 + 12 b 12. Untuk C 12, pd psngn pertm 11 diklikn dengn b 12 dn pd psngn kedu 12 diklikn dengn b 22 sehingg C 12 11 b 12 + 12 b 22. Dengn cr yng sm mk dpt diperoleh C 13 11 b 13 + 12 b 23. Contoh 1.29: A [1, 2] 1x2 B A x B [1, 2] 1 5 3 2 1 5 3 2 2 x 2 [1x1 + 2x3, 1x5 + 2x2] 1x2 [1 + 6, 5 + 4] 1x2 [7, 9] 1x2
ESPA4222/MODUL 1 1.19 Contoh 1.30: -1 3 A 2 1 2 x 2 B 0-2 1 4 2 x 2 A x B -1 3 2 1 0-2 1 4-1 x 0 + 3 x 1-1 x - 2 + 3 x 4 2 x 0 + 1 x 1 2 x - 2 + 1 x 4 3 14 1 0 2 x 2 2 x 2 Contoh 1.31: 5 4 A -1 0 0 3 3 2 B 0 5-4 -1 3 2 2 x 3 AB 5 4-1 0 0 3 0 5-4 -1 3 2 A x B 5 x 0 + 4 x -1 5 x 5 + 4 x 3 5 x - 4 + 4 x 2-1 x 0 + 0 x -1-1 x 5 + 0 x 3-1 x - 4 + 0 x 2 0 x 0 + 3 x -1 0 x 5 + 3 x 3 0 x - 4 + 3 x 2-4 37-12 0-5 4-3 9 6 3 3 3 x 3
1.20 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis Contoh 1.32: 2 V -1 2 x 1 2 x 3 2 x - 2 V x U -1 x 3-1 x - 2 6-4 -3 2 2 x 2 U [3, -2] 1x2 2 x 2 Contoh 1.33: U [1, 3] 1x2 V 5 2 2 x 1 U x V [1 x 5 + 3 x 2] 1x1 [5 + 6] 1x1 [11] 1x1 11 Pd contoh di ts dpt diliht bhw perklin ntr vektor bris dengn kolom kn menghsilkn sklr. Jdi secr umum dpt ditulis: v1 U [u1,... un] 1xn dn V v mk: U 1xn V nx1 W sklr. di mn W u 1 v 1 + u 2 v 2 +... + u n v n n n x 1 Dlm perklin mtriks, urut-urutn mtriks yng diklikn hrus diperhtikn kren A x B hsilny berbed dengn B x A. Bil dimensi A dlh m x n dn B dlh n x m mk A x B dimensiny dlh m x m dn B x A berdimensi n x n. Jdi secr umum A x B B x A. Contoh 1.34: Bil A 4 0 1-1 2 3 2 x 3 B 1 3-1 6 2 0 3 x 2
ESPA4222/MODUL 1 1.21 mk: A x B 4 x 1 + 0 x -1 + 1 x 2 4 x 3 + 0 x 6 + 1 x 0-1 x 1 + 2 x -1 + 3 x 2-1 x 3 + 2 x 6 + 3 x 0 4 + 0 + 2 12 + 0 + 0-1- 2 + 6-3 +12 + 0 6 12 3 9 2 x 2 2 x 2 2 x 2 1 3 B x A -1 6 2 0 3 x 2 4 0 1-1 2 3 2 x 3 1 x 4 + 3 x -1-1 x - 0 + 3 x 2 1 x 1 + 3 x 3-1 x 4 + 6 x -1-1 x - 0 + 6 x 2-1 x 1 + 6 x 3 2 x 4 + 0 x -1 2 x 0 + 0 x 2 2 x 1 + 0 x 3 4-3 0 + 6 1 + 9-4 - 6 0 +12-1 + 18 8-0 0 + 0 2 + 0 1 6 10-10 12 17 8 0 2 3 x 3 Sutu mtriks jik diklikn dengn mtriks identits tu mtriks identits yng diklikn dengn sutu mtriks hsilny dlh sm dengn mtriks itu sendiri. Jdi: A mxn I m A mxn A mxn I n A mxn Contoh 1.35: 4 0 3 Bil A 1 3 2 mk: 2x3 3 x 3 3 x 3
1.22 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis I.A A.I 1 0 0 1 4 0 3 1 3 2 2x2 2x3 4 0 3 1 3 2 4 0 3 1 3 2 4 0 3 1 3 2 2x3 2x3 2x3 A 1 0 0 0 1 0 0 0 1 A 3x3 Sift khusus mtriks identits dlh dlm sutu proses perklin dpt disisipkn (tu dihpus) mtriks identits tnp mempengruhi hsilny, jdi: A mxn I nxn B nxp (AI) B A mxn B nxp menunjukkn bhw d tidkny I, hsil perklin mtriksny tidk kn terpengruh. Sutu mtriks yng diklikn dengn mtriks nol tu seblikny mtriks nol diklikn dengn sutu mtriks kn menghsilkn mtriks nol, jdi: 0 kxm A mxn 0 kxn A mxn 0 nx1 0 mx1 Contoh 1.35: 1-1 -2 4 A 2x4 3 2-4 1 O 3x2 A 2x4 0 0 0 0 0 0 3x2 0 0 0 0 0 0 0 0 1-1 -2 4 3 2-4 1 3x4 O 3x4 2x4
ESPA4222/MODUL 1 1.23 A 2x4 O 4x2 1-1 -2 4 3 2-4 1 0 0 0 0 2x2 O 2x2 2x4 0 0 0 0 0 0 0 0 4x 2 C. KAIDAH MATRIKS Di dlm mempeljri ljbr untuk bilngn riil, dipeljri beberp kidh seperti: Kidh jumlh komuttif: + b b + Kidh perklin komuttif: b b Kidh jumlh sositif: (+b) + c + (b + c) Kidh perklin sositif: (b)c (bc) Kidh distribusi: (b+c) b + c Hmpir semu dri kidh-kidh tersebut dpt diterpkn dlm opersi mtriks. Hny kidh perklin komuttif yng menjdi perkeculin dn kidh itu tidk dpt diterpkn dlm opersi mtriks. Penjumlhn mtriks dpt dilkukn secr komuttif mupun sositif. And telh mempeljri bhw penjumlhn du buh mtriks dilkukn dengn menjumlhkn elemen-elemen yng berkitn dri du mtriks. Pengurngn yng opersiny A - B dpt dinggp sm dengn opersi penmbhn A + (-B) sehingg tidk diperlukn penmbhn yng terpish. Kidh komuttif dn sositif dpt ditentukn sebgi berikut: A,B b dn C c ij Bil ij ij mk: 1. Kidh Jumlh Komuttif A + B B + A Bukti: A + B ij b ij
1.24 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis B + A bij ij b b, mk A + B B + A. kren ij ij ij ij Contoh 1.36: 0 3 4 7 A 1 2 B 5 6 mk: A + B B + A 4 10 6 8 2. Kidh Jumlh Asositif (A + B) + C A + (B + C) Bukti: (A + B) + C [ ij + b ij ] + c ij [ ij + b ij +c ij ] A + (B + C) ij +[ b ij + c ij ] [ ij + b ij +c ij ] Jdi: (A + B) + C A + (B + C) [ ij + b ij + c ij ] Contoh 1.37: 4 V 1 0 3 V 2 1 9 2 V 3 2-1 6 (V 1 - V 2 )+ V 3 4-1 0-9 3-2 + 2-1 6 3 2-9 + -1 1 6
ESPA4222/MODUL 1 1.25 5-10 7 Jwbn di ts sm dengn: 4 1-2 V 1 - (V 2 -V 3 ) 0-9 - (-1) 3 2-6 4-1 0-10 3-4 5-10 7 3. Perklin Mtriks Perklin mtriks tidk komuttif berrti: AB BA Bil AB dpt ditentukn mk belum tentu BA ditentukn dn bil BA dpt ditentukn mk kidh umum dlh AB BA Contoh 1.38: Bil A -1 0 2 1 B 3-1 -2 0-1 x 3 + 0 x - 2-1 x -1 + 0 x 0 AB 2 x 3 + 1 x - 2 2 x -1 + 1 x 0-3 1 4-2
1.26 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis 3 x -1 + (-1) x 2 3 x 0 + (-1) x 1 BA -2 x -1 + 0 x 2-2 x 0 + 0 x 1-5 -1 2 0 Jdi ternyt AB BA Perklin ntr sklr dn mtriks mengikuti hukum komuttif, tu bil k dlh sklr mk: k.a A.k. Contoh 1.39: 1 5 Bil: k 5 dn A 3 7 mk: 5.1 5.5 k.a 5.3 5.7 5 25 15 35 dn 1.5 5.5 A.k 3.5 7.5 5 25 15 35 4. Kidh Asositif (AB)C A(BC) Apbil dimensi mtriks A dlh m x n dn C dlh p x q, mk perklin ABC dpt dilkukn bil dimensi B dlh n x p. A mxn B nxp C pxq Contoh 1.40: 0-1 -2 A [1,4] 1x2 B 1 3 C 2 2x2 0-1 AB [1,4] 1 3 [0 + 4, -1 + 12] [4, 11] (AB) C [4, 11] -2 2 2X1 [-8 + 22] 14 2x1
ESPA4222/MODUL 1 1.27 BC 0-1 -2 1 3 2 0 +(-2) -2-2 6 4-2 A (BC) [1, 4] 4 [-2 + 16] 14 Jdi (AB) C A (BC) 5. Kidh Distributif A (B + C) AB + AC dn (B + C) BA CA Contoh 1.41: -3 4 A 1-2 B 3 1 C -2 4-3 4 1 A(B+C) 1-2 5-3 +(20) 1-10 17-9 -3 4 3 AB 1-2 1-9 +4 3-2 -5 1-3 4-2 AC 1-2 4 6 +16-2 - 8 22-10
1.28 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis -5 22 AB + AC 1 + -10 Jdi A (B+C) AB + AC D. TRANSPOSE 17-9 Trnspose sutu mtriks diperoleh dengn menukrkn kolom menjdi bris tu seblikny. Jdi, dengn trnspose mislny, bris pertm sutu mtriks diubh menjdi kolom pertm dn bris kedu menjdi kolom kedu dn seterusny. Simbol yng digunkn untuk trnspose mtriks A dlh A' tu A T. Contoh 1.42: Bil dikethui : 3 1 8 A 2 0 9 mk: 3 2 A' 1 0 8 9 Contoh 1.43: Bil dikethui: 0 4 B 2 5 mk: 0 2 B' 4 5 Sutu mtriks A yng berdimensi m x n mempunyi trnspose A' yng dimensiny n x m. Bil m n tu mtriksny dlh mtriks bujur sngkr, mk mtriks sliny mupun trnsposeny mempunyi dimensi yng sm, Jdi, jik:
ESPA4222/MODUL 1 1.29 A mxn 11 12... 1n 21 22... 2n : : :... m1 m2 mn mxn ( ij ) mxn dn trnspose mtriks A dlh: 11 21... m1 12 22... m2 A' n x m : : : 1n 2n... mn ( ji ) nxm ( ij )' mxn Berikut ini dlh contoh trnspose dri mtriks, Contoh 1.44: 2 1 3 0 Bil A 4 5-2 4 7 3 5x2, mk A' 2 3 4-2 7 1 0 5 4 3 2x5 Contoh 1.45: Bil A [1, 3, 2, 7, 6]1x5, mk A' 1 3 2 7 6 5x1 Contoh 1.46: 12-3 4 Bil A 4 0 6 0 5 7 3x3, mk A' 12 4 0-3 0 5 4 6 7 3x3
1.30 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis Contoh 1.47: 6 10 3 11 2 7 1-1 9 6 A -2-7 2 0 7 5 9 4 3 7 0 8 4 5 8 5x5, mk A' 6 7-2 5 0 10 1-7 9 8 3-1 2 4 4 11 9 0 3 5 2 6 7 7 8 5x5 Contoh 1.48: 4 1 Bil A 3 2 0 5x1, mk A' 4 1 3 2 0 1x5 Bil sutu mtriks dn trnsposeny bernili sm, yitu ij ji untuk semu i dn j, mk mtriks itu dinmkn mtriks simetris terhdp digonl utm. Contoh 1.49: 1 4 7 1 4 7 Bil A 4 0 2, mk A' 4 0 2 7 2 3 7 2 3 3x3 Kren A A', mk A disebut mtriks simetris. Contoh 1.50: 2 1 3 4 1 1 4 5 Bil A 3 4 0 7 4 5 7 0 4x4, mk A' Kren A A', mk A dlh mtriks simetris. 3x3 2 1 3 4 1 1 4 5 3 4 0 7 4 5 7 0 4x4
ESPA4222/MODUL 1 1.31 Contoh 1.51: 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 Bil I 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 5x5, mk I' 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 5x5 Dri contoh di ts dpt diliht bhw I n I' n dn seblikny I' n I n Sutu mtriks simetris yng diklikn dengn mtriks itu sendiri dn hsilny sm dengn mtriks itu sendiri, mk mtriks disebut mtriks idempoten. Jdi, sutu mtriks A diktkn mtriks idempoten bil: A' A dn AA A Contoh 1.52: Mtriks identits untuk semu dimensi merupkn mtriks idempoten kren I' n I n dn I n I n I n Contoh 1.53: 3 6 15 15 Mtriks merupkn mtriks idempoten kren 6 12 15 15 3 6 3 6 15 15 15 15 6 12 6 12 15 15 15 15
1.32 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis 3 6 15 15 6 12 15 15 3 6 15 15 6 12 15 15 3 6 15 15 6 12 15 15 Sift-sift sutu trnspose: 1. Trnspose dri trnspose dlh mtriks slny, tu (A')' A Contoh 1.54: 3 1 A 8 0 A' 3 8-9 1 0 4 9 4 3 1 (A')' 8 0-9 4 2. Trnspose sutu jumlh merupkn jumlh dri sutu trnspose, jdi: (A + B)' A' + B' Contoh 1.55: 2 4 Bil A 3 1 6 2 A + B 3 3 2 4-2 dn B 0 2 6 3 (A + B)' 2 3 3 A' B 4 0 4 1 2 2 6 3 A'+ B' 2 3 Jdi, ternyt benr bhw (A + B)' A' + B'
ESPA4222/MODUL 1 1.33 Contoh 1.56: Dri contoh di ts : 2 6 A - B 3 1 2 3 A'- B' 6 1 Jdi (A - B)' A'- B' (A - B)' 2 3 6 1 3. Trnspose dri stu perklin dlh produk perklin dri trnspose yng urut-urutn perklinny diblik, jdi: (A mxn B nxp ) B pxn A nxm Contoh 1.57: Bil dikethui : 1 2 0 1 A 3 4 dn B 6 7, mk 12 13 12 24 AB 24 25 dn (AB)' 13 25 0 6 1 3 12 24 B'A' 1 7 2 4 13 25 Jdi (AB)' B' A'. LATIHAN Untuk memperdlm pemhmn And mengeni mteri di ts, kerjknlh ltihn berikut! 4 2 1) Bil dikethui A 3 1 dn B 2 2 3 0, mk ) berpkh A - B? b) berpkh A + B?
1.34 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis c) berpkh A x B? d) berpkh B x A? 0 2 3 2) Bil dikethui C 3 1-2 2 0 4 ) berpkh C + D? b) berpkh C - D? c) berpkh C x D? d) berpkh D x C? e) berpkh C? dn D 1 5 0 2 2 3 1 0 4, mk 0,2 0,4 3) Bil dikethui E 0, 4 0,8 mk berpkh E x E? Petunjuk Jwbn Ltihn 1) Dikethui A 4 2 3 1 dn B 2 2 3 0, mk ) A B 4 ( 2) 2 2 33 10 6 0 0 1 b) A + B 4 ( 2) 2 2 33 10 2 4 6 1 c) A x B 4 2 3 1 x 2 2 4.( 2) 2.3 4.2 2.0 3 0 3.( 2) 1.3 3.2 1.0 2 8 3 6 2 2 d) B x A 3 0 x 4 2 ( 2).4 2.3 ( 2).2 2.1 3 1 3.4 0.3 3.2 0.1 2 2. 12 6
ESPA4222/MODUL 1 1.35 2) Dikethui C 0 2 3 3 1-2 2 0 4 dn D 1 5 0 2 2 3 1 0 4, mk ) C + D 0 2 3 3 1-2 2 0 4 + 1 5 0 2 2 3 1 0 4 1 7 3 5 3 1 2 0 8 b) C D 0 2 3 3 1-2 2 0 4-1 5 0 2 2 3 1 0 4 1 3 3 1 1 5 1 0 0 c) C x D 0 2 3 3 1-2 2 0 4 x 1 5 0 2 2 3 1 0 4 d) D x C 0.1 2.2 3.1 0.5 2.2 3.0 0.0 2.3 3.4 3.1 1.2 ( 2).1 3.5 1.2 ( 2).0 3.0 1.3 ( 2).4 2.1 0.2 4.1 2.5 0.2 4.0 2.0 0.3 4.4 7 4 18 3 17-5 6 10 16 1 5 0 0 2 3 2 2 3 x 3 1-2 1 0 4 2 0 4 1.0 5.3 0.2 1.2 5.1 0.0 1.3 5.( 2) 0.4 2.0 2.3 3.2 2.2 2.1 3.0 2.3 2.( 2) 3.4 1.0 0.3 4.2 1.2 0.1 4.0 1.3 0.( 2) 4.4
1.36 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis 15 7 7 12 6 14 8 2 19 0 2 3 e) C 3 1-2, C 2 0 4 ' 0 3 2 2 1 0 3 2 4 0,2 0,4 3) Dikethui E 0, 4 0,8 mk E x E 0,2 0,4 0, 4 0,8 RANGKUMAN Kidh-kidh yng berlku pd mtriks dlh : 1. Kidh jumlh komuttif : A+B B+A 2. Kidh jumlh sositif : (A+B) A(B+C) 3. Kidh perklin sositif : (AB) C A(BC) 4. Kidh distributif : A(B+C) AB+AC Sedngkn pd perklin komuttif AB BA. TES FORMATIF 2 Pilihlh stu jwbn yng pling tept! Bil dikethui: 3 1 2 A 0 3 0 0 2 1 B 1 1 3 0 2 2 0 1 3 C 0 5 1 2 1 3 0 0 2
ESPA4222/MODUL 1 1.37 1) Tentukn (A + B) + C A. 4 0 1 0 1 2 0 3 4 B. 1 5 2 2 3 5 0 1 5 C. 4 5 0 2 0 5 0 3 6 D. 3 4 3 2 2 3 0 2 3 2) Tentukn (A B) + C A. 1 2 5 0 5 2 0 1 2 B. 2 3 6 2 4 5 0 1 0 C. 1 4 4 2 1 5 0 1 1 D. 1 4 4 2 1 5 0 1 0 3) Tentukn AB A. 3 3 1 0 6 6 0 5 1
1.38 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis B. C. D. 3 10 1 0 10 2 0 3 3 3 3 1 0 10 2 5 0 1 3 0 0 3 6 5 1 6 1 4) Tentukn AI 3 A. 1 0 0 0 1 0 0 0 1 B. 3 1 2 3 6 5 1 6 1 C. 3 0 0 1 3 2 0 2 1 D. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5) Tentukn O 3 C A. 0 5 1 2 1 3 0 0 2 B. 1 0 0 0 1 0 0 0 1
ESPA4222/MODUL 1 1.39 C. D. 0 2 0 5 1 0 1 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Cocokknlh jwbn And dengn Kunci Jwbn Tes Formtif 2 yng terdpt di bgin khir modul ini. Hitunglh jwbn yng benr. Kemudin, gunkn rumus berikut untuk mengethui tingkt pengusn And terhdp mteri Kegitn Beljr 2. Tingkt pengusn Jumlh Jwbn yng Benr 100% Jumlh Sol Arti tingkt pengusn: 90-100% bik sekli 80-89% bik 70-79% cukup < 70% kurng Apbil mencpi tingkt pengusn 80% tu lebih, And dpt meneruskn dengn Kegitn Beljr 3. Bgus! Jik msih di bwh 80%, And hrus mengulngi mteri Kegitn Beljr 2, terutm bgin yng belum dikusi.
1.40 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis Kegitn Beljr 3 Opersi Khusus A. DETERMINAN Determinn sutu mtriks dlh bilngn sklr yng diperoleh dri pengopersin elemen-elemen mtriks secr spesifik. Simbol yng digunkn untuk menunjukkn determinn dri sutu mtriks dlh, mislny mtriks A mk determinnny ditulis A. Determinn hny dpt dihitung dri mtriks bujur sngkr. Metode untuk memperoleh determinn sutu mtriks dlh sebgi berikut: Mislkn kit mempunyi sutu mtriks dengn dimensi 2 x 2: A 11 12 21 22 mk determinnny dlh: A 11 22-12 21 bilngn sklr Contoh 1.58: 1 3 1 3 Jik A 2 4, mk A 1.4-3.2-2 2 4 Tnd titik (.) pd contoh di ts digunkn untuk mewkili tnd perklin. Contoh 1.59: 2 0 Jik B 4 3, mk B 2 0 4 3 (-2).3-0.4-6 Dri contoh-contoh di ts dpt diliht bhw determinn mtriks bujur sngkr dimensi 2 x 2 diperoleh dengn menglikn elemen-elemen pd digonl utm dn kemudin dikurngi dengn hsil kli kedu elemen yng lin. Kren dimensi dri mtriks yng dihitung tersebut dlh 2 x 2, mk determinnny disebut determinn tingkt du.
ESPA4222/MODUL 1 1.41 Pd penulisn determinn dpt diliht bhw sutu determinn dipit oleh du gris tegk dn nili sutu determinn merupkn sklr (ngk). Jdi sutu determinn dpt disusut menjdi sutu bilngn. Berbed dengn mtriks yng tidk dpt disusut menjdi bilngn lin. Bgimn dengn determinn sutu mtriks yng berdimensi 3 x 3. Mislkn d sutu determinn yng dimensiny 3 x 3 berikut: mk determinnny kn bernili: A 11 12 13 21 22 23 31 32 33 A 11 12 13 21 22 23 31 32 33 22 23 21 23 11-12 + 13 32 33 31 33 21 22 31 32 11 22 33-11 23 32 + 12 23 31-12 21 33 + 13 21 22-13 22 31 ( sklr) Dri mn hsil tersebut diperoleh? Dengn meliht hsil khir yng diperoleh, nili A merupkn penjumlhn dri enm suku hsil kli dengn tig di ntrny didhului tnd minus dn tig yng lin dengn tnd plus. Hsil semcm itu sulit memng untuk dipikirkn jik kit hny meliht hsil khirny sj. Dlm modul ini dijelskn du cr untuk menghitung determinn tingkt tig, yitu metode short cut dn metode urin Lplce. B. METODE SHORT CUT Cr yng memudhkn dlm mencri psngn-psngn elemen yng hrus diklikn, yitu dengn menggunkn gmbr seperti ditunjukkn pd gmbr berikut ini.
1.42 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis Pd gmbr di ts, setip elemen telh dihubungkn dengn du elemen linny oleh gris pnh yng tidk terputus-putus dn gris yng terputus-putus. Cob sekrng ikuti rh gris penghubungny dengn cermt. Elemen-elemen yng dihubungkn dengn gris yng tidk putus dlh 11 22 33, 12 23 31 dn 13 32 21. Setip elemen yng dihubungkn dengn tnd pnh dpt diklikn dn hsil kliny merupkn bgin dri enm suku tersebut. Suku-suku hsil perklin tig elemen ini diberi tnd plus di depn. Pd pihk lin, setip elemen yng d di bris ts dihubungkn dengn elemen-elemen lin oleh gris yng pth-pth, yitu 11 32 23, 12 21 33 dn 13 22 31. Tig elemen dri msing-msing hubungn ini kemudin diklikn dn diwli tnd minus. Jumlh dri tig suku yng bertnd plus dn tig suku terkhir yng bertnd minus merupkn nili determinn. Untuk mengingt-ingt, perhtikn gmbr pnh-pnh tersebut! Nmpk seperti gmbr jntung hti. Ini kn memudhkn kit untuk menentukn psngn elemen-elemenny. Contoh 1.60: 1 3 2 5 2 0 1 6 4 (1)(2)(4) + (-3)(0)(-1) + (2)(6)(5)-(2)(2)(-1) - (-3) (5) (4) - (1)(6)(0) 8 + 0 + 60 + 4 + 60-0 132
ESPA4222/MODUL 1 1.43 Contoh 1.61: 1 2 3 4 5 6 0 1 2 (1)(-5)(2) + (2)(-6)(0) + (3)(-1)(-4)-(3)(-5)(0)-(2)(-4)(2)-(1)(-1)(6) -10-0 + 12-0 + 16-6 12 Contoh 1.62: 9 0 0 0 1 0 0 0 2 (9)(1)(2) + (0)(0)(0) + (0)(0)(0) - (0)(1)(0) - (0) (0) (2) - (9)(0)(0) 18 + 0 + 0-0 - 0-0 18 Contoh 1.63: 1 2 3 2 4 6 3 6 5 (1)(4)(5) + (2)(6)(3)+ (3)(6)(2) - (3)(4)(3) - (2)(2)(5) - (1) (6) (6) 20 + 36 + 36-36 - 20-36 0 Alterntif linny dlh dengn jln menuliskn kembli kolom pertm dn kedu di sebelh knn gris tegk, kemudin elemen-elemen dihubungkn dengn pnh seperti gmbr berikut ini: 11 12 13 21 22 23 31 32 33 11 12 21 22 31 32 - - - + + + Elemen-elemen yng dihubungkn oleh gris yng turun dri kiri ts ke knn bwh kemudin diklikn dn msing-msing suku diberi tnd plus.
1.44 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis Elemen-elemen yng dihubungkn oleh gris yng turun dri knn ts ke kiri bwh diklikn dn diberi tnd minus. Keenm hsil perklin kemudin dipindhkn dn merupkn nili dri determinn, yitu: D 11 22 33 + 12 23 31 + 13 21 32-13 22 31-11 23 32-12 21 33 Contoh 1.64: Berpkh determinn dri: 1 2 8 A 3 4 7 5 6 9 1 2 8 1 2 3 4 7 3 4 5 6 9 5 6 (1)(4)(9) + (2)(7)(5) + (8)(3) (6) -(8)(4)(5) - (1)(7)(6) -(2)(3)(9) 36 + 70 + 144-160 - 42-54 -6 Apbil menghitung determinn seperti yng dilkukn pd contoh di ts, dihitung lgi dengn cr sebelumny, mk sudh brng tentu hsilny kn sm. Cr yng mn yng kn And gunkn untuk menghitung determinn, nntiny diserhkn pd And sendiri. Tentuny, yng sebikny And gunkn dlh yng cr yng menurut And pling mudh. C. URAIAN LAPLACE Kedu cr yng dibhs di ts dlh cr mencri nili determinn tingkt tig. Bil And kn mencri nili determinn tingkt yng lebih tinggi, mk cr di ts tidk dpt diterpkn. Sebgi gntiny dpt digunkn cr Lplce yng bis disebut dengn urin Lplce. Cr ini dpt digunkn untuk determinn tingkt tig mupun tingkt yng lebih tinggi. Sebgi wl dri urin, mrilh kit bhs pengertin Lplce dri sutu determinn tingkt tig. Perhtikn determinn berikut:
ESPA4222/MODUL 1 1.45 A 11 12 13 21 22 23 13 32 33 Determinn A di ts dpt dipndng sebgi jumlh dri tig suku yng msing-msing suku merupkn hsil perklin ntr elemen bris pertm dengn sutu determinn tingkt du. Proses pengurin dri A inilh yng melukiskn pengurin Lplce dri sutu determinn. Determinn tingkt du yng disebutkn di ts tidk ditetpkn secr sembrng tetpi ditetpkn dengn menggunkn kidh tertentu. Determinn tingkt du yng pertm dlh 22 23 32 33 merupkn determinn bgin dri A yng didpt dengn menghilngkn bris pertm dn kolom pertm dri A. Bgin ini disebut minor dri elemen 11, yitu elemen bris dn kolom yng dihilngkn dn ditulis M 11. Simbol M ij dpt jug digunkn untuk menytkn minor yng diperoleh dengn cr menghilngkn bris ke i kolom ke j. Dengn demikin, tentu bis ditebk bhw du determinn tingkt du linny dlh minor M 12 dn minor M 13, tu: M 11 22 23 32 33 M 12 21 23 31 33 M 13 21 22 31 32 Konsep lin yng mempunyi hubungn ert dengn minor dlh kofktor. Kofktor ditulis dengn C ij dn didefinisikn sebgi minor dengn diserti tnd ljbr tertentu (mungkin minus tu plus). Aturn pemberin tnd dlh sebgi berikut. Jik jumlh indeks i dn j pd M ij genp, mk tnd pd kofktor sm dengn tnd minor. Jdi C ij M ij. Akn tetpi jik jumlh ntr i dn j gnjil, mk tnd pd kofktor kn berlwnn dengn tnd pd minor. Jdi C ij - M ij. Penentun tnd pd kofktor dpt dirumuskn menjdi: C ij (-1) i+j M ij Di sini dpt diliht bhw (-1) i+j kn positif bil i+j genp dn kn negtif bil i + j gnjil.
1.46 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis Contoh 1.65: Pd determinn M 12 1 9 6 7 4 3 2 1 5 9, minor dri elemen 3 dlh 6 8 7 7-54 -47 Kofktor dri elemen 3 dlh: C 12 (-1) 1+2 M 12 Kren i + j 1 + 2 3 dlh gnjil, mk kofktor: C 12 - M 12 47 Kofktor elemen bris pertm yng lin dlh C 11 M 11 5 9 8 7 35-72 -37, dn C 13 M 13 1 5 6 8 8-30 -22 Dengn menggunkn cr Lplce, sutu determinn tingkt tig dpt diurikn menjdi: A 11 M 11-12 M 12 + 12 M 13 11 C 11 + 12 C 12 + 13 C 13 ij C ij Nili determinn di ts didpt dengn mengurikn bris pertm dn menglikn elemen-elemen pd bris pertm dn kofktor psngnny.
ESPA4222/MODUL 1 1.47 Perbedn tnd yng d pd mislny suku 12 C 12 dn 13 C 13 dlh kren perbedn lebih elemen tersebut. Bil dikehendki, bris yng diurikn tidk hrus bris stu tetpi dpt jug bris kedu tu yng lin bhkn dpt pul yng diurikn dlh kolomny, yitu kolom stu tu kolom du tu kolom yng lin. Penulisn bris tu kolom mnpun yng kn diurikn kn memberikn hsil yng sm. Contoh 1.66: Determinn A 1 2 1 3 4 5 2 0 3 dpt dikerjkn dengn: 1. Mengurikn bris pertm: A 1 4 5-2 3 5 0 3 2 3-1 3 4 2 0-12 - 0-2 (-9-10) - 1(0-8) -12 + 18 + 20 + 8 34 2. Mengurikn bris kedu: A -3 2 1 + 4 1 1 0 3 2 3-5 1 2 2 0-3 (-6-0) + 4(-3 + 2) - 5(0-4) 18-4 + 20 34 3. Mengurikn kolom pertm: A 1 4 5 0 1-3 2 1 + 2 2 1 0 3 4 5-12 - 0-3(-6-0) + 2 (10 + 4) -12 + 18 + 28 34
1.48 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis Jdi dengn mengurikn kolom tu bris yng mnpun kn didpt nili determinn yng sm. Contoh 1.67: Nili determinn A mengurikn bris pertm: 3 10 2 4 0 5 6 0 7 A 3 0 5 0 7-10 4 5 6 7 + 2 4 0 6 0 0-280 + 300 + 0 20 dengn Hsil yng sm dpt diperoleh dengn mengurikn kolom kedu: A -10 4 5 6 7 + 0 3 2 6 7-0 3 2 4 5-280 + 300 + 0-0 20 Dri contoh di ts, kit meliht sutu kenytn bhw kit mempunyi kebebsn untuk memilih bris tu kolom yng "mudh" untuk diurikn. Sutu bris tu kolom yng mengndung elemen-elemen yng pling bnyk bernili 0 tu 1 dlh yng disuki untuk tujun penghitungn determinn. Elemen yng bernili 0 bil diklikn dengn kofktorny kn sm dengn nol dn elemen yng niliny stu diklikn dengn kofktorny hsilny jels dlh kofktor itu sendiri. Dengn demikin kit dpt melkukn penghemtn dlm melkukn perklin. Pengurin Lplce dpt jug digunkn untuk menghitung determinn tingkt empt tu tingkt yng lebih tinggi lgi. Dlm sutu determinn tingkt empt B mislny: B b b b b 11 12 13 14 b b b b 21 22 23 24 b b b b 31 32 33 34 b b b b 41 42 43 44
ESPA4222/MODUL 1 1.49 Bris pertm memut empt elemen, yitu b 11, b 12, b 13, dn b 14. Seperti telh kit peljri, minor dri elemen b 11 dlh determinn B yng dihilngkn bris dn kolom pertmny. Kren minor bertingkt 3, mk kofktor jug bertingkt tig. Secr umum kit dpt menytkn bhw dengn pengurin Lplce, determinn tingkt n kn diciutkn menjdi n kofktor yng msing-msing bertingkt (n-1). Kemudin pengurin selnjutny kn membw determinn ke tingkt yng lebih rendh. Demikin seterusny sehingg khirny kn didpt determinn-determinn tingkt du yng dpt dihitung dengn mudh. Contoh 1.68: Berpkh nili determinn: 1 8 0 7 A 4 3 7 6 3 5 0 1 0 6 0 8 Untuk menghitung nili determinn A, mk sebikny kit memilih kolom 3 untuk diurikn kren pd kolom tersebut bnyk mengndung elemen yng bernili 0. Jdi, 4 3 6 1 8 7 1 8 7 1 8 7 A 0 3 5 1-7 3 5 1 + 0 4 3 6-0 4 3 6 0 6 8 0 6 8 0 6 8 3 5 1 1 8 7-7 3 5 1 0 6 8 Kemudin determinn pngkt tig di ts diurikn lgi, mislny: 1 8 7 C 3 5 1 kemudin bris pertm diurikn 0 6 8
1.50 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis C 1 5 1 3 1 3 5-8 + 7 6 8 0 8 0 6-40 + 7-8(24 + 0) + 7(18-0) -40 + 6-192 + 126-100 Jdi A 7 C -100 7(-100) -700 D. SIFAT-SIFAT DETERMINAN Sekrng kit kn membhs sift-sift determinn. Ad 8 sift yng kn dibhs di sini, yitu: Sift 1: Nili sutu determinn tidk kn berubh bil brisny dignti dengn kolom tu seblikny kolom dignti bris. Pdhl kit sudh mempeljri bhw mtriks yng ditukr brisny dengn kolom tu seblikny merupkn trnspose dri mtriks tersebut. Jdi sift ke-1 ini dpt diktkn pul bhw determinn dri sutu mtriks A mempunyi nili yng sm dengn determinn dri trnspose-ny, A' tu A A' Contoh 1.69: 9 5 4 3 9 4 5 3 7 Contoh 1.70: b c d c d bc b d
ESPA4222/MODUL 1 1.51 Contoh 1.71: 0 1 1 2 1 3 2 0 4 0 2 2 1 1 0 1 3 4 0 + 0 + 6 + 2-8 - 0 0 Sift 2: Jik dlm sutu bris (kolom) dri mtriks semu elemen niliny nol, mk nili determinn itu jug sm dengn nol. Contoh 1.72: 0 0 0.9-0.1 0 1 9 Contoh 1.73: 0 2 3 0 1 4 0 3 5 0 1 4 3 5-0 2 3 3 5 + 0 2 3 1 4 0 +0 + 0 0 Contoh 1.74: 9 8 6 0 0 0 3 1 2 9 0 0 1 2-0 8 6 1 2 + 3 8 6 0 0 0-0 + 0 0. Sift 3: Jik setip elemen pd sutu bris (kolom) dri sutu determinn diklikn dengn bilngn sklr k, mk nili determinn kn menjdi k kli nili determinn semul.
1.52 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis Contoh 1.75: 1 2 1 A 0 3 1 2 3 4 12-4 + 0 + 6 + 0-3 11 Bil B dlh determinn A yng bris pertmny diklikn 5, mk: 5 10 5 B 0 3 1 2 3 4 60-20 + 0 + 30 + 0-15 55 mk B 5 A Bil B dlh determinn A yng kolom keduny diklikn tig, mk: 1 6 1 B 0 9 1 2 9 4 36-12 - 0 + 18 + 0-9 33 mk B 3 A Contoh 1.76: 0 1 2 A 1 2 3 0 2 3 4 Bil A * dlh determinn A yng bris pertmny diklikn 4, mk: 0 4 8 A 1 2 3 0 2 3 4 Jdi A 4 A 0
ESPA4222/MODUL 1 1.53 Bil A * dlh determinn A yng kolom ketigny diklikn 2, mk 0 1 4 A 1 2 6 0 2 3 8 Jdi A 2 A 0 Dri contoh-contoh di ts dpt diliht bhw perklin ntr sklr dengn sutu mtriks berbed dengn perklin ntr sklr dn determinn. Pd perklin sklr dengn mtriks, mk semu elemen pd mtriks hrus diklikn dengn sklr tersebut. Akn tetpi, pd determinn seperti yng And liht, perklin sklr dengn determinn hny dilkukn dengn menglikn sebuh bris tu kolom dengn sklr. Sift ini dpt digunkn untuk mengelurkn pembgi persekutun yng terdpt dlm sutu bris tu kolom. Contoh 1.77: 4 8 4(1) 4(2) 3 5 3 5 1 2 4 3 5 4 (5-6) -4 Contoh 1.78: 15 7 5 7 3 12 2 4 2 3(2) 5 7 2 1 6 (5-14) - 54
1.54 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis Sift 4: Bil du buh bris tu kolom dri sutu determinn ditukr temptny, mk tnd determinn kn berubh. Akn tetpi, nili mutlkny tetp sm. Contoh 1.79: 1 3 2 A 0 4 1 2 1 5 20-6 + 0 + 16-0 - 1 29 Sekrng bris ke-2 ditukr temptny dengn bris ke-3 1 3 2 * A 2 1 5-29 0 4 1 Jdi A - A * Contoh 1.80: 1 3 2 B 0 4 1 2 1 5 29 Sekrng kolom ke-2 ditukr dengn kolom 1, mk: 3 1 2 B 4 0 1 1 2 5 0 + 1-16 - 0-20 + 6-29
ESPA4222/MODUL 1 1.55 Contoh 1.81: 5 2 3 A 1 0 6 1 2 4 0-12 + 6-0 + 8-60 -58 Bil bris pertm ditukr dengn bris ketig, mk: A 1 2 4 1 0 6 5 2 3 0 + 60-8 - 0-6 + 12 58 Sift 5: Jik pd sutu determinn, elemen-elemen du bris tu du kolomny sm, mk nili determinnny sm dengn nol. Contoh 1.82: 1 2 3 A 1 2 3 4 6 5 10 + 24 + 18-24 - 10-18 0 Contoh 1.83: 4 1 1 A 6 0 0 5 1 2 0 + 0 + 12-0 - 0-12 0 Kren du bris tu kolom yng sm dri sutu determinn kn menyebbkn nili determinnny nol, mk ini jug berrti bhw sutu
1.56 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis determinn dengn bris tu kolom yng nili elemen-elemenny merupkn keliptn bris tu kolom yng lin kn memberikn nili determinn yng sm dengn nol. Hl itu mudh dimengerti kren bil keliptnny dikelurkn dri bris tu kolom kn menyebbkn kedu bris tu kolom menjdi sm. Sift nomor 5 menytkn bhw nili determinn itu sm dengn nol. Contoh 1.84: 2 2b A b bris ke stu merupkn 2x bris kedu 2 b b 0 Contoh 1.85: 3c d B bris pertm sm dengn bris kedu 3c d 3 c d c d 0 Contoh 1.86: 4 6 8 A 2 3 4 bris pertm merupkn 2x bris kedu 2 0. 1 0 2 2 3 4 2 3 4 1 0 2 Contoh 1.87: 1 3 1 A 2 6 4 kolom kedu merupkn 2x kolom 1 3 9 2
ESPA4222/MODUL 1 1.57 2 1 1 1 2 2 4 3 3 2 Sift 6: Sutu determinn niliny tidk kn berubh bil elemen-elemen pd sutu bris tu kolom diklikn dengn sutu bilngn konstn kemudin ditmbhkn tu dikurngkn pd elemen-elemen dlm bris tu kolom yng lin. Contoh 1.88: b A c d d - bc Bris pertm diklikn k dn ditmbhkn pd bris kedu, mk: b c k d kb (d + kb) - b(c + k) d + kb - bc - kb d - bc A Contoh 1.89: 1 3 A 4-15 -11 5 4 Bris pertm diklikn stu kemudin untuk mengurngi bris ke du 1 3 4 1 1-12 - 11
1.58 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis Contoh 1.90: 1 3 3 A 2 0 1 1 4 2 0-3 - 24-0 + 12-4 -19 Bris kedu diklikn 2 dn ditmbhkn pd bris ketig 1 3 3 2 0 1 3 4 0 0 + 9-24 - 0-4 -19 Contoh 1.91: 1 4 7 A 2 8 4 3 2 1 8 + 48 + 28-168 - 8-8 -100 Bris pertm diklikn 2 kemudin untuk mengurngi bris kedu 1 4 7 0 0 10 3 2 1 Bris ketig diklikn 2 kemudin untuk mengurngi bris pertm 5 0 5 0 0 10 3 2 1
ESPA4222/MODUL 1 1.59 Bris ketig diklikn 2 kemudin untuk mengurngi bris pertm 5 0 5 0 0 10 3 2 1 Kolom pertm ditmbhkn ke kolom 3 5 0 0 0 0 10-100 3 2 4 Sift ke-6 ini ters pentingny jik kit kn mengurikn sutu determinn dengn cr Lplce. Elemen-elemen dlm stu bris tu kolom jik mungkin dijdikn nol dengn sift ke-6 ini. Semkin bnyk elemen yng bernili nol, mk pekerjn menghitung perklin menjdi lebih sedikit. Sift 7: Determinn dri perklin du buh mtriks sm dengn hsil kli determinn mtriks-mtriks tersebut, tu AB A B Contoh 1.92: Mislkn A B 2 3 1 5 4 2 2 6 2 3 A 7 1 5 4 2 B 20 2 6 A B 2 3 4 2 1 5 2 6 8 6 4 18 14 22 4 10 2 30 14 32
1.60 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis 14 22 AB 14 32 Sift ke-6 digunkn, bris kedu dikurngi bris pertm 14 22 AB 0 10 140-0 140. Pdhl A B 7 X 20 140 Jdi AB A B Sift 8: Determinn dri mtriks digonl dlh hsil kli elemen-elemen digonlny. 0 0 A 0 b 0 bc 0 0 c Contoh 1.93: 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 A 0 0 4 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 3 (1)(2)(4)(5)(3) 120 E. KAIDAH CRAMER Dlm mencri titik ekstrem sutu fungsi bisny kit terlibt pd pekerjn menyelesikn persmn linier secr serempk. Bil jumlh vribel yng dihdpi bnyk, mk penyelesin secr serempk persmnpersmn tersebut kn menjdi mslh tersendiri. Untuk mengtsi mslh
ESPA4222/MODUL 1 1.61 tersebut biklh kit gunkn kidh Crmer. Bil kit menghdpi n buh persmn linier dengn n peubh yng bentuk umumny dpt ditulis: 11 x 1 + 12 x 2 + 13 x 3 +... + 1n x n c 1 11 x 1 + 22 x 2 + 23 x 3 +... + 2n x n c 2........ n1 x 1 + n2 x 2 + n3 x 3 +... + nn x n c n Dengn menggunkn mtriks, persmn-persmn di ts dpt ditulis menjdi: 11 12 13... 1n x1 c1 21 22 23... 2n x 2 c 2.................. n1 n2 n3... nn x n c n Nili x 1, x 2... x n dpt dicri dengn menggunkn rsio dri determinn: c... x 1 1 12 13 1n c... 2 22 23 2n.............................. c... n n2 n3 nn A c... 11 1 13 1n c... 21 2 23 2n.............................. c... x2 A n1 n n3 nn
1.62 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis x n... c 11 12 13 1n... c 21 22 23 2................................. c n1 2n n3 n A... 11 12 1n... 21 22 2n............ di mn A........................... n1 n2 nn Untuk setip x i pd i 1, 2,... n, pembilngnny merupkn sutu determinn dri mtriks koefisien dengn kolom ke i dignti oleh konstn c yng d di sebelh knn tnd sm dengn pd persmn. Bil persmn tidk d penyelesinny mk A kn sm dengn nol. Contoh 1.94: Berpkh nili x dn y yng memenuhi persmn: x + 2y 1 3x + 4y 2 Dlm bentuk mtriks, persmn di ts dpt ditulis: 1 2 x 1 3 4 y 2 1 2 A -2 3 4 x 1 2 2 4 2 0-2 0
ESPA4222/MODUL 1 1.63 y 1 1 3 2 2-1 -2 1 2 Contoh 1.95: Berpkh x 1,x 2 dn x 3 dri persmn-persmn berikut: 3x 1 + x 2 - x 3 2 x 1-2x 2 + x 3-9 4x 1 + 3x 2 + 2x 3 1 Bentuk dlm mtriks, persmn di ts dpt ditulis: 3 1 1 x1 2 1 2 1 x 2 9 4 3 2 x 3 1 3 1 1 A 1 2 1-30 4 3 2 x 1 2 1 1 9 2 1 1 1 2 30-30 -30 1 x 2 3 2 1 1 9 1 4 1 2 30-90 -30 3 x 3 3 1 2 1 2 9 4 3 1 30 60-30 -2
1.64 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis Contoh 1.96: Selesikn persmn berikut ini: x - 5y + 6z 7 3x + 3y - z 8 2x + 8y - 7z 1 Dlm bentuk mtriks, persmn di ts dpt ditulis: 1 5 6 x 7 3 3 1 y 8 2 8 7 z 1 1 5 6 A 3 3 1 0 2 8 7 Kren A 0, mk persmn tersebut tidk d penyelesinny. LATIHAN Untuk memperdlm pemhmn And mengeni mteri di ts, kerjknlh ltihn berikut! Hitung determinn dri mtriks berikut ini: 7 1 1) 2 5 2) 4 4 6 9 3) 3 9 12 2 4 1 1 3 16
ESPA4222/MODUL 1 1.65 4) 3 1 5 13 0 4 6 2 10 5) 1 0 4 2 5 1 0 3 0 2 4 0 1 3 2 1 Gunkn kidh Crmer untuk mendptkn kr-kr dri persmn berikut: 6) 3x + 2y 7 x + 3y 10 7) 2x 3y 4 x + 2y 9 8) x + 2y + 3z 10 2x + 3y + z 13 x + y + 10z 15 9) x + 2y + 3z 14 x y 3z 0 2x 4y - 4z 2 10) x + y 8 y - z 2 x + 3z 10 Petunjuk Jwbn Ltihn 1) 7 1 35 2 33 2 5 2) 4 4 36 24 12 6 9
1.66 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis 3) 4) 5) 3 9 12 2 4 1 1 3 16 3 9 12 2 4 1 1 3 16 3 9 2 4 1 3 3.4.16 + 9.1.1 + 12.2.3 1.4.12 3.1.3 16.2.9-72 3 1 5 13 0 4 6 2 10 Jik elemen-elemen pd bris pertm diklikn 2, mk nili elemen-elemenny menjdi sm dengn bris ketig, mk determinnny dlh 0. 1 0 0 2 1 0 3 5 0 3 5 1 3 5 1 0 5 1 0 3 1 2 4 4-0 0 4 4 +0 0 2 4-2 0 2 4 0 2 4 4 3 2 1 1 2 1 1 3 1 1 4 2 1 3 2 1 (-4+0-12-36+8-0) 0 + 0 2(-20-4+0 0 80 0) -44 + 208 164 6) 3x + 2y 9 x + 3y 10 Persmn dpt ditulis menjdi x 9 2 10 3 27 20 7 3 2 9 2 7 1 1 3 3 9 1 10 y 30 9 3 2 9 2 1 3 Jdi, x 1; y 3 21 7 3 3 2 1 3 x y 9 10
ESPA4222/MODUL 1 1.67 7) 2x 3y 4 x + 2y 9 Persmn dpt ditulis menjdi x 4 3 9 2 8 27 2 3 4 3 1 2 35 7 5 2 3 x 1 2 y 4 9 2 4 1 9 y 18 4 14 2 3 4 3 7 2 1 2 Jdi, x 5; y 2 8) x + 2y + 3z 10 2x + 3y + z 13 x + y + 10z 15 1 2 3 x 10 Persmn dpt ditulis menjdi 2 3 1 y 13 1 1 10 z 15 10 2 3 13 3 1 15 1 10 x 300 30 39 135 260 10 36 3 1 2 3 30 2 6 9 40 1 12 2 3 1 1 1 10
1.68 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis y 1 10 3 2 13 1 1 15 10 130 10 90 39 200 15 24 2 1 2 3 30 2 6 9 40 1 12 2 3 1 1 1 10 1 2 10 2 3 13 1 1 15 z 45 26 20 30 60 13 12 1 1 2 3 30 2 6 9 40 1 12 2 3 1 1 1 10 Jdi, x 3; y 2; z 1 9) x -3y + 3z 10 x y 3z 0 2x 4y - 4z 2 Persmn dpt ditulis menjdi 1 3 3 1 1 3 2 4 4 x 10 y 0 z 2 x 10 3 3 0 1 3 2 4 4 40 18 0 6 0 120 1 3 3 4 18 12 6 12 12 1 1 3 2 4 4 56 8 7
ESPA4222/MODUL 1 1.69 y 1 10 3 1 0 3 2 2 4 0 60 6 0 40 6 1 3 3 4 18 12 6 12 12 1 1 3 2 4 4 8 8 1 1 3 10 1 1 0 2 4 2 z 2 0 40 20 6 0 1 3 3 4 18 12 6 12 12 1 1 3 2 4 4 Jdi, x 7; y 1; z 2 16 8 2 10) x + y 8 y - z 2 x + 3z 10 Persmn dpt ditulis menjdi 1 1 0 0 1 1 1 0 3 x 8 y 2 z 10 x 8 1 0 2 1 1 10 0 3 24 10 0 0 6 0 8 1 1 0 31 0 0 0 0 2 4 0 1 1 1 0 3
1.70 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis y 1 8 0 0 2 1 1 10 3 6 8 0 0 0 10 8 1 1 0 31 0 0 0 0 2 4 0 1 1 1 0 3 1 1 8 0 1 2 1 0 10 10 2 0 8 0 0 4 1 1 0 31 0 0 0 0 2 2 0 1 1 1 0 3 Jdi, x 4; y 4; z 2 RANGKUMAN Sift-sift determinn 1. A A' 2. Jik dlm sutu bris tu kolom elemen sutu mtriks bernili nol semu, mk nili determinn itu jug sm dengn nol. 3. Jik setip elemen pd sutu bris tu kolom dri sutu mtriks determinn diklikn dengn sutu skl k, mk nili determinn kn menjdi k kli nili determinn semul. 4. Bil du buh bris tu kolom dri sutu determinn ditukr temptny, mk determinn kn berubh kn tetpi nili mutlkny tetp sm. 5. Jik du bris tu kolom sutu determinn sm elemen-elemenny, mk nili determinn sm dengn nol. 6. Sutu determinn niliny tidk kn berubh bil elemen-elemen pd sutu bris tu kolom diklikn dengn sutu konstn kemudin ditmbhkn tu dikurngkn pd elemen-elemen dlm bris tu kolom yng lin.
ESPA4222/MODUL 1 1.71 7. Determinn dri perklin du buh mtriks sm dengn hsil kli determinn mtriks-mtriks tersebut gr AB A B. 8. Determinn dri mtriks digonl dlh hsil kli elemen-elemen digonlny. TES FORMATIF 3 Pilihlh stu jwbn yng pling tept! 1) Determinn dri 4 1 dlh... 2 0 A. 8 B. 2 C. 0 D. -2 2) Determinn dri A. 33 B. 27 C. 9 D. 0 3) Determinn dri A. 60 B. 39 C. 15 D. 0 1 9 12 0 0 1 dlh... 4 3 15 3 1 15 13 70 39 dlh... 6 2 18
1.72 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis 4) Akr dri persmn: 3x + 5y 32 4x + 2y 26 dlh... A. x 5; y 4 B. x 4; y 5 C. x -1; y 7 D. x 7; y -1 5) Akr dri persmn: 2x + 2y + z 17 x + 3y + 4z 18 y + 10z 13 dlh... A. x 5; y 4; z 1 B. x 3; y 5; z 2 C. x 5; y 3; z 1 D. x 4; y 1; z 3 Cocokknlh jwbn And dengn Kunci Jwbn Tes Formtif 3 yng terdpt di bgin khir modul ini. Hitunglh jwbn yng benr. Kemudin, gunkn rumus berikut untuk mengethui tingkt pengusn And terhdp mteri Kegitn Beljr 3. Tingkt pengusn Jumlh Jwbn yng Benr 100% Jumlh Sol Arti tingkt pengusn: 90-100% bik sekli 80-89% bik 70-79% cukup < 70% kurng Apbil mencpi tingkt pengusn 80% tu lebih, And dpt meneruskn dengn modul selnjutny. Bgus! Jik msih di bwh 80%, And hrus mengulngi mteri Kegitn Beljr 3, terutm bgin yng belum dikusi.
ESPA4222/MODUL 1 1.73 Kunci Jwbn Tes Formtif Tes Formtif 1 1) D 2) B 3) D 4) C 5) B 6) A 7) D 8) A 9) B 10) D Tes Formtif 2 1) C 2) B 3) A 4) B 5) D Tes Formtif 3 1) D 2) A 3) D 4) B 5) C
1.74 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis Dftr Pustk Bldni, Jeffrey, Jmes Brdfield, nd Robert Turner. Mthemticl Economics. The Dryden Press, Hrcourt Brce College Publisher. Dowling, Edwrd T. Introduction to Mthemticl Economics 2 nd. Schum s Outline Series, McGrw-Hill. Heussler, Ernest F., nd Richrd S. Pul. Introductory Mthemticl Anlysis for Bussiness Economics nd The Life Socil Science. Eight Edition. Prentice Hll Internsionl, Inc. Hoy, Michel, John Livernois, Chris McKenn, Ry Rees, nd Thnsis Stengos. Mthemtics for Economics. Addison-Wesley Publisher Limited. Jcques, In. Mthemticl for Economics nd Business. Second Edition. Addison-Wesley Publishing Compny. Weber, Jen D. Mthemticl Anlysis: Business nd Economic Apliction. New York: Hrper & Row, Inc.