Aljbr Linier & Mtriks Ttp Muk
Eliminsi Guss-Jordn Sistem persmn linier dengn n vribel dn m persmn secr umum dinytkn sbg: Sistem persmn linier tsb dpt dinytkn dlm bentuk mtriks sbb: A x X = b dengn A dlh mtriks koefisien disebelh kiri tnd smdengn, X dlh vektor vribel x, dn b dlh mtriks koefisien disebelh kiri tnd sm-dengn.
Mk: m m n x n x mn xn b b bm A X b Selnjutny dpt dibentuk mtriks ugmentsi sbb (seperti pd mteri pertemun ) : n b n b m m mn bm prtisi prtisi
Dengn eliminsi Guss, mk mtriks ugmentsi (prtisi ) dibw menjdi mtriks segitig ts tu mtriks segitig bwh m m n n mn b b bm e e c e c c d d d m f f f m
Dengn metode eliminsi Guss-Jordn, sistem persmn linier di ts dpt diselesikn menggunkn opersi bris elementer sehingg diperoleh mtriks yng ekivlen dengn mtriks ugmentsi yng berbentuk sbb: m m n n mn b b bm h h h m Perhtikn bhw mtriks yng terdiri ts koefisien vribel berubh menjdi mtriks identits dimn komponen pd digonl utm niliny dn komponen linny niliny nol (tidk termsuk kolom terkhir). Kolom terkhir menunjukkn nili vribel yng dicri (sesui dengn posisiny) 5
Contoh 6 Selesikn sistem persmn linier berikut ini menggunkn eliminsi Guss dn lnjutkn dengn eliminsi Guss-Jordn. Penyelesin: Mtriks ugmentsi dri sistem persmn linier dlh sbb: 5 6 9 z y x z y x z y x
Penyelesin dengn eliminsi Guss Jumlhkn bris ke- ( ) dgn (-) kli bris pertm ( ) tu ( ) - ( ) sehingg diperoleh mtriks bru sbb: Berdsrkn mtriks yng bru, jumlhkn bris ke- ( ) dengn (-) kli bris pertm ( ) tu ( ) - ( ) sehingg diperoleh mtriks bru sbb: 7
Klikn bris kedu dengn -/ tu (/) sehingg diperoleh mtriks bru sbb: Berdsrkn mtriks yng bru, jumlhkn bris ke- ( ) dengn (-) kli bris pertm ( ) tu ( ) - ( ) sehingg diperoleh mtriks bru sbb: 8
Klikn bris ke- dengn tu ( ) sehingg diperoleh mtriks bru sbb: Mk terliht bhw mtriks ugmentsi telh berbentuk mtriks segitig ts (contoh ini telh dibhs pd pertemun sebelumny). Penyelesin persmn linier dpt diperoleh menggunkn mtriks ini. (Coblh kerjkn dengn membw mtriks ugmentsi menjdi mtriks segitig bwh) 9
Penyelesin dengn eliminsi Guss-Jordn Mtriks terkhir yng diperoleh pd pengerjn menggunkn eliminsi Guss dpt dilnjutkn sehingg mtriks segitig ts (bwh) dpt diubh menjdi mtriks identits. Lngkh penyelesin Jumlhkn bris ke- dengn 7/ kli bris ke- tu +(7/) Kurngi bris ke- dengn kli bris ke- tu - Kurngi bris ke- dengn bris ke- tu Selesikn
Jumlhkn bris ke- dengn 7/ kli bris ke- tu +(7/) sehingg diperoleh mtriks bru sbb: Kurngi bris ke- dengn kli bris ke- tu - sehingg diperoleh mtriks bru sbb: 9
Kurngi bris ke- dengn bris ke- tu sehingg diperoleh mtriks bru sbb: Mk terliht bhw mtriks terkhir yng kit peroleh telh berbentuk mtriks identits (tnp meliht kolom yng terkhir tu kolom pling knn). Lngkh selnjutny dlh membw kembli mtriks yng diperoleh menjdi dlm bentuk persmn linier, yitu x = x = x =
Sol Ltihn Selesikn sistem persmn linier berikut ini menggunkn elminsi Guss-Jordn. x + y + z = 8 x + y z = x y z = Penyelesin: Mtriks ugmentsi 8
8 6 8 7 6 8 6 8 8 / / dn
Mk diperoleh penyelesin untuk sistem persmn linier di ts sbb: x = y = z = 5
Quiz ( minutes) Selesikn sistem persmn linier berikut ini menggunkn elminsi Guss-Jordn. x + x = x x + x = 6x + x x = 5 6
eferensi Aljbr Linier Elementer, Howrd Anton lih bhs Pntur Silbn dkk, Penerbit Erlngg, 98. Elementry Liner Algebr with Applictions 9th Edition, Howrd Anton, John Wiley & Sons, 5. AljbrLinier, Yulint Sibroni, 7