TUJUAN EMBELAJARAN Agar pembaca memahami tentang Sistem Koordinat Kartesian beserta fungsinya yaitu titik, jarak dua titik, persamaan bola serta Vektor dalam ruang dimensi tiga beserta aplikasinya yaitu sudut antara dua vektor, persamaan bidang yang dibentuk dari vektor, hasil kali silang beserta penafsiran secara geometri OUTCOME EMBELAJARAN Setelah mempelajari bab ini diharapkan mahasiswa dapat :. Memahami dan mampu menyelesaikan segala permasalahan yang berkaitan dengan koordinat kartesian dalam ruang dimensi tiga, antara lain Titik, Jarak dua Titik, ersamaan Bola, osisi dua buah Bola, ersamaan Bidang secara Geometri dan Aljabar. Memahami dan mampu menyelesaikan ermasalahan yang berkaitan dengan vektor di Ruang Tiga, yaitu ersamaan Bidang. Memahami dan mampu menafsirkan sebuah Hasil Kali Silang dua vektor beserta penerapannya dalam sebuah bidang Geometri dalam Ruang, Vektor 9
4.. Sistem Koordinat Dimensi Tiga ada pembahasan yang telah kita lakukan, kita telah memahami dan belajar pada bidang datar yang dikenal sebagai bidang Euclides atau ruang dimensi dua hal ini telah diterapkan pada fungsi variable tunggal yaitu fungsi yang dapat digambarkan pada bidang datar. Bagaimana jika fungsi yang akan kita pelajari adalah fungsi yang mempunyai variable ganda atau yang sering kita sebut dengan kalkulus peubah ganda, yaitu yang diterapkan pada suatu fungsi yang mempunyai dua peubah atau lebih. Ambil tiga garis koordinat yang saling tegak lurus, misalnya sumbusumbu, dan dengan titik Nol berada pada suatu titik O yang sama.disebut titik asal. Sistem koordinat dimensi tiga dapat digambarkan seperti Gambar 4. O Ketiga sumbu tersebut menentukan tiga bidang, yaitu bidang, bidang dan bidang yang membagi ruang menjadi delapan Gambar 4.. Sistem Koordinat Dimensi y oktan, Jika titik dalam ruang, maka koordinat kartesiusnya dituliskan berupa bilangan ganda tiga yaitu (, y, ) Dalam sistem koordinat dimensi tiga terbagi atas tiga bidang, yaitu :. bidang y yaitu bidang yang tegak lurus sumbu-. bidang yaitu bidang yang tegak lurus sumbu-y. bidang y yaitu bidang yang tegak lurus sumbu- ketiga bidang tersebut dapat digambarkan seperti Gambar 4. berikut y Geometri dalam Ruang, Vektor 0
O O (a) Bidang y (b) Bidang y O (c) Bidang Gambar 4.. Tiga Bidang dalam Koordinat Dimensi Tiga Contoh 4. : Diketahui dua Titik yaitu titik (,, ) dan titik Q (,,4) dimana letak kedua titik tersebut enyelesaian 4. :. Titik (,, ), maka artinya titik terletak pada satuan dari Sumbu, satuan dari Sumbu dan satuan dari Sumbu artinya titik terletak pada Oktan pertama. Titik Q (,,4), maka artinya titik Q terletak pada - satuan Sumbu, - satuan dari Sumbu dan 4 satuan dari Sumbu artinya titik Q terletak pada Oktan ketiga dari Geometri dalam Ruang, Vektor
Jika titik tersebut, titik (, y, ) (, y, ) sebenarnya merupakan jarak dari tiga bidang berarti berjarak dari bidang y, berjarak y dari dan berjarak dari bidang y sehingga jika digambar dalam sistem koordinat dimensi tiga seperti Gambar 4.. O y (,y,) Gambar 4.. Jarak ke tiga bidang Contoh 4. : Diketahui titik ( 4,, 5) gambarkan dalam sistem koordinat dimesi tiga enyelesaian 4. : Gambar titik ( 4,, 5) seperti bangun sebuah balok O -4-5 (-4,,-5) Geometri dalam Ruang, Vektor
4... Jarak Dua Titik Misalnya ada dua titik yaitu, y ruang dimensi tiga dimana dan dalam,, y y dan, dan merupakan titik sudut yang berlawanan didalam suatu balok seperti pada Gambar 4.4., y,, y,, y, Q R Gambar 4.4. Jarak Dua Titik Jika kita letakan sebuah titik Q dan titik R ternyata masing-masing titik mempunyai koordinat Q, y, dan titik R mempunyai koordinat R, y,, karena segiriga Q siku-siku di Q dan segitiga QR siku-siku di, maka akan diperoleh panjang garis dan panjang garis. Q Q Dan. R Q menurut rumus ytagoras yaitu Q QR R sehingga panjang garis Q QR R y y atau y y y y Geometri dalam Ruang, Vektor
Secara umum jika diketahui dua titik, y maka panjang atau jarak antara titik berikut : dan, dan, dirumuskan sebagai y y, y Contoh 4. :,4, Diketahui titik titik Q atau Q Q tentukan jarak titik dan 4,,5 ke enyelesaian 4. : Diketahui,4, dan Q 4,,5 adalah : Q y y Q Q 4 5 ( ) 4 6 7 7 Q 4 6 4 Q 0 Q 0, 95, maka jarak kedua titik itu Contoh 4.4 : Diketahui titik 4, 5, dan,, 7 ke titik Q atau Q Q tentukan jarak titik Geometri dalam Ruang, Vektor 4
enyelesaian 4.4 : Diketahui titik 4, 5, dan titik Q,, 7 titik itu adalah : Q y y Q 4 5 7 ( ) Q 4 4 6 Q 6 4 4 Q 64 Q 8, maka jarak kedua 4... Bola dan ersamaanya ada pembahasan materi sebelumnya, yaitu telah diketahui bahwa dan titik jarak dua buah titik misalnya titik, y,, y, adalah y y karena sebuah bola merupakan himpunan titik y,,, yang berjarak sama atau konstan yaitu atau jari-jari dari suatu titik tetap Q a, b, c sebagai titik pusat bola, maka jarak setiap titik y, Q a, b, c menurut rumus jarak dua titik, ke titik pusat Q a adalah titik Q atau Q Q R y b c, karena jarak titik sama dengan jari-jari sebuah bola, maka a y b c, maka dan karena Q a y b c ke Q R karena Q R, maka didapat Q R, sehingga diperoleh R a y b c maka persamaan bola dapat dirumuskan sebagai berikut : a y b c R Geometri dalam Ruang, Vektor 5
Jika kita gambarkan sebuah bola dengan titik pusat a, b, c dengan jari-jari R seperti pada Gambar 4.5. R a, b, c, y, Jika persamaan a y b c R kita uraikan, maka akan menjadi persamaan : a y b c R a a y by b c c R y y Gambar 4.5. Bola dengan titik pusat (a,b,c) a by c a b c R a by c a b 0 A, B b, C c c R Jika a dan D a b c R, maka persamaan akan menjadi : y A By C D 0 Sehingga persamaan bola dengan titik pusat di a, b, c dengan jarijari R adalah : y A By C D 0 Dengan Catatan : A a B b C c D a b c R Geometri dalam Ruang, Vektor 6
Contoh 4.5 : dengan jari- Tentukan persamaan bola yang berpusat di titik jari 4.,4, enyelesaian 4.5 : Diketahui titik pusat bola,4, persamaanya : a y b c R y 4 4 Sehingga persamaan bolanya adalah : y 4 jari-jarinya 6 R 4, maka Contoh 4.6 : Tentukan persamaan bola yang berpusat di titik 0,0,0 dengan jarijari. enyelesaian 4.6 : Diketahui titik pusat bola,0,0 persamaanya : a y b c R 0 y 0 0 0 jari-jarinya y Sehingga persamaan bolanya adalah : 9 R, maka Contoh 4.7 : y 0 8y 68 Diketahui bola 0, tentukan pusat dan kari-jarinya Geometri dalam Ruang, Vektor 7
enyelesaian 4.7 : Diketahui persamaan bola y 0 8y 68 0, A 0, B 8, maka diperoleh data. a 0. B b 8. C c. D a b c R A a C dan a 5 D 68, karena b b 4 c c 6 68 5 4 6 R R 5 6 6 68 R 9 Sehingga diperoleh kesimpulan bola tersebut mempunyai titik pusat 5,4,6 di titik dengan jari-jari Grafiknya seperti Gambar 4.6 R R 5,4,6 4 5 Gambar 4.6. Bola dengan pusat (5,4,6) dan R= 4... Titik Tengah Hal lain yang berkaitan dengan jarak antara dua titik adalah titik tengah, misalkan diketahui dua titik, y dan, y, Geometri dalam Ruang, Vektor 8, yang masing-masing merupakan titik ujung dari sebuah garis, jika titik tengah dari garis tersebut dituliskan sebagai M m, m m dimana m, m dan m diperoleh dari rumus : y y m m m,,.,
Jika kita gambar, maka seperti Gambar 4.7 y m y, m, y m M m, m m, y,, Gambar 4.7. Titik tengah pada suatu Garis Contoh 4.8 : Tentukan titik tengah antara titik,4, dan titi 6, 4, 8 enyelesaian 4.8 : Diketahui titik,4, dan titik 6, 4, 8 tengahnya adalah M m, m m dimana :..., 6 8 m m 4 y y 4 4 0 m m 0 8 0 m m maka koordinattitik Sehingga titik tengah mempunyai koordinat 4,0, 5 kitagambarkan seperti pada Gambar 4.8 5 M, jika Geometri dalam Ruang, Vektor 9
-4 6, 4, 8 6 M 4,0, 5-5,4, 4 Gambar 4.8. Titik tengah pada suatu Garis Contoh 4.9 : Tentukan persamaan bola yang pusatnya merupakan titik tengah dan titik dari suatu garis yang dibentuk dari dua titik,, 5,,7 enyelesaian 4.9 : ersoalan yang kita hadapi adalah pusat bola belum diketahui, jarijari belum diketahui, maka langkah pertama adalah menentukan pusat bola dan jari-jari.. Koordinat Titik tengah antara titik,, dan titik 5,,7 adalah M m, m m dimana :, 5 4 m m y y 0 m m 0 7 0 m m 5 Jadi titik tengahnya M,0,5 dan titik tengah ini merupakan titik pusat bola Geometri dalam Ruang, Vektor 40
. Jari-jari bola adalah jarak titik tengah M,0,5 ke titik yaitu atau jarak titik ke titik yaitu,, 5,,7 M M M m m y m M 0 5 M M 9 4 4 M 7 Sehingga persamaan bola yang dimaksud adalah : y 0 5 y 5 7 Atau dalam bentuk : y 4 0 0 7 M,0,5 4..4. ersamaan Bidang Datar Grafik dalam ruang dimensi tiga pada prinsipnya sama dengan grafik pada bidang dimensi dua, jika pada dimensi dua berupa garis, maka pada dimensi tiga akan berupa bidang, demikian juga jika pada dimensi dua berupa bidang, maka jika digambar pada dimensi tiga akan berupa ruang. ersamaan linier pada ruang dimensi tiga merupakan sebuah bidang, secara umum persamaan linier dalam ruang dimensi tiga dirumuskan sebagai berikut : A By C D dengan syarat A B C 0 jika suatu bidang S memotong ke tiga sumbu koordinat yaitu sumbu-, sumbu-y dan sumbu-, maka untuk menggambar grafiknya kita tentukan titik potong pada ketiga sumbu tersebut, yaitu titik potong sumbu- yaitu,0,0, titik potong sumbu-y yaitu Q 0, y,0 Geometri dalam Ruang, Vektor 4
dan titik potong sumbu- yaitu R,0, 0, untuk menentukan nilai dan sebagai berikut :. Untuk menentukan nilai, maka kita beri nilai y 0 dan. Untuk menentukan nilai, maka kita beri nilai 0 dan 0. Untuk menentukan nilai, maka kita beri nilai dan y 0, y y 0,0,0 0 Q 0, y,0 Sehingga akan diperoleh ketiga titik potong yaitu, dan R 0,0, Contoh 4.0 : Gambarkan grafik dari persamaan 4y enyelesaian 4.0 : Untuk menentukan ke tiga titik potong terhadap sumbu-sumbu koordinat, maka kita tentukan nilai-nilai dan, yaitu :. Untuk menentukan nilai, maka kita beri nilai y 0 dan 0 dan kita substitusikan ke persamaan 4y, maka diperoleh 4(0) (0) 0 0 4, y sehingga titik potong sumbu- adalah 4,0,0 y. Untuk menentukan nilai, maka kita beri nilai 0 dan kita substitusikan ke persamaan 4y, maka diperoleh (0) 4y (0) 0 4y 0 4y y sehingga titik potong sumbu-y adalah Q 0,,0 Geometri dalam Ruang, Vektor 4 dan 0. Untuk menentukan nilai, maka kita beri nilai 0 dan y 0 dan kitasubstitusikan ke persamaan 4y, maka diperoleh (0) 4(0) 0 0
6 R 0,0,6 sehingga titik potong sumbu- adalah Sehingga kita peroleh titik-titik potong terhadap ke tiga sumbu yaitu 4,0,0, Q 0,,0 dan R 0,0,6 jika kita letakkan ketiga titik tersebut pada sistem koordinat dimensi tiga, maka akan terlihat pada Gambar 4.9 R0,0,6 4 y Q 0,,0 4,0,0 Gambar 4.9. Bidang dari sebuah persamaan Contoh 4. : Gambarkan grafik dari persamaan 4 6y enyelesaian 4. : Karena persamaannya 4 6y dimana tidak mengandung variable, maka grafiknya sebuah bidang yang sejajar dengan sumbu-, artinya tidak memiliki titik potong terhadap sumbu-, Untuk menentukan ke dua titik potong terhadap sumbu-sumbu koordinat, maka kita tentukan nilai-nilai dan y, yaitu :. Untuk menentukan nilai, maka kita beri nilai y 0 dan kita substitusikan ke persamaan 4 6y, maka diperoleh 4 6(0) 4 0 4 sehingga titik potong sumbu- adalah,0,0 Geometri dalam Ruang, Vektor 4
. Untuk menentukan nilai, maka kita beri nilai 0 dan kita substitusikan ke persamaan 4 6y, maka diperoleh 4 6y 4(0) 6y 6y y y Q 0,,0 sehingga titik potong sumbu-y adalah Karena dalam persamaan 4 6y tidak ada variabel, maka berarti bidang datar tersebut sejajar dengan sumbu-, sehingga tidak ada titik potong sumbu-, kita hanya memperoleh titik potong,0,0 terhadap sumbu- yaitu Q 0,,0, dan titik potong sumbu-y yaitu jika kita letakkan kedua titik tersebut pada sistem koordinat dimensi tiga, maka akan terlihat pada Gambar 4.0 4 6y Q 0,,0,0,0 Gambar 4.0. Bidang Sejajar Sumbu- Contoh 4. : 4 Gambarkan grafik dari persamaan 8 enyelesaian 4. : Karena persamaannya 4 8 dimana tidak mengandung variable, maka grafiknya sebuah bidang yang sejajar dengan sumbu- y, artinya tidak memiliki titik potong terhadap sumbu- y, y Geometri dalam Ruang, Vektor 44
Untuk menentukan ke dua titik potong terhadap sumbu-sumbu koordinat, maka kita tentukan nilai-nilai dan, yaitu :. Untuk menentukan nilai, maka kita beri nilai dan kita substitusikan ke persamaan 4 8, maka diperoleh 4(0) 8 0 8 8 4 0 4,0,0. Untuk menentukan nilai, maka kita beri nilai 0 dan kita substitusikan ke persamaan 4 8, maka diperoleh 4 8 (0) 4 8 4 8 sehingga titik potong sumbu- adalah R 0,0, sehingga titik potong sumbu- adalah 4 Karena dalam persamaan 8 tidak ada variabel, maka berarti bidang datar tersebut sejajar dengan sumbu-y, sehingga tidak ada titik potong sumbu-y, kita hanya memperoleh titik potong terhadap sumbu- yaitu 4,0,0 0,0,, dan titik potong sumbu- yaitu R jika kita letakkan kedua titik tersebut pada sistem koordinat dimensi tiga, maka akan terlihat pada Gambar 4. y Q 0,0, 4 8 4,0,0 Gambar 4.. Bidang Sejajar Sumbu Geometri dalam Ruang, Vektor 45
4..5. Soal-Soal Latihan 6,,. Tentukan jarak titik ke titik Q,, 5. Diketahui titik-titik 4,5,,,7, dan,4,5 merupakan titik sudut suatu segitiga, perlihatkan bahwa segitiga tersebut adalah segitiga sama sisi,0,5. Diketahui titik-titik, dan merupakan titiktitik sudut suatu segitiga, perlihatkan bahwa segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku dengan bantuan teorema hytagoras,6,8 7,4, 7 4. Sebuah kotak persegipanjang sisi-sisinya sejajar bidang-bidang koordinat dan sebagai titik ujung diagonal utamanya adalah dan, Gambarkan kotak itu dan cari koordinat ke delapan titik sudutnya 5,,0,,4 5. Tuliskan persamaan bola yang titik pusatnya dan jari-jarinya sebagai berikut :, 6 a.,,4, 5 b.,0,4 c. 6,,, d.,0,0, 6. Cari persamaan bola yang pusatnya,4,5 bidang y dan menyinggung 7. Tentukan pusat bola dan jari-jarinya dari persamaan bola di bawah ini a. y 4y 8 0 y 6y 0 4 b. 0 4 4y 4 4 8y 6 c. 0 y 8 4y 77 d. 0 8. Buatkan sketsa grafik dari persamaan yang diketahui a. 6y b. 4y 4 c. y 6 d. y 6 9. Tentukan persamaan bola yang mempunyai ruas garis yang menghubungkan titi,,6 dan 4,,5 sebagai garis tengah Geometri dalam Ruang, Vektor 46