BAB 5 DIFFERENSIASI NUMERIK 5.1. Permasalaan Differensiasi Numerik Sala satu peritungan kalkulus yang banyak digunakan adala differensial, dimana differensial ini banyak digunakan untuk keperluan peritungan geometrik.dan peritungan-peritungan yang berubungan dengan perubaan nilai per-satuan waktu atau jarak.secara kalkulus, differensial didefinisikan sebagai perbandingan perubaan tinggi (selisi tinggi) dan perubaan jarak, dan dituliskan dengan : dy lim y = ax 0 dx x Hampir semua fungsi kontinu dapat diitung nilai differensialnya secara muda, seingga dapat dikatakan metode numerik dianggap tidak perlu digunakan untuk keperluan peritungan differensial ini.masalanya seiring dengan perkembangannya pemakaian komputer sebagai alat itung dan pada banyak permasalaan differensial adala sala satu bagian dari penyelesaian, sebagai conto metode newton rapson memerlukan differensial sebagai pembagi nilai perbaikan errornya, seingga metode newton rapson ini anya bisa dilakukan bila nilai differensialnya bisa diitung. Conto lainnya adala penentuan titik puncak kurva y = f(x) yang dinamakan titik maksimal dan titik minimal, juga memerlukan titik differensial sebagai syarat apaka titik tersebut sebagai titik puncak.dimana didefinisikan bawa suatu titik dy dinamakan titik puncak bila differensial pada titik tersebut adala 0. dx Pada beberapa permasalaan, nilai differensial dapat diitung secara manual.misalkan diketaui f xe -x + cos x maka differensialnya adala F 1 (1-x) e -x sin x.tetapi pada permasalaan lain nilai fungsi sulit diselesaikan secara manual.terutama jika fungsinya anya diketaui berupa nilai atau grafis. Misalkan mengitung puncak distribusi data yang berupa distribusi poisson. m x e m f x! Mengitung differensial ini tidak muda, disinila metode numerik dapat digunakan. Hubungan antara nilai fungsi dan perubaan fungsi untuk setiap titiknya didefinisikan dengan : y = f(x) + f 1 (x).(x) dan F 1 (x) didefinisikan dengan : f 1 lim f ( x + ) f ( x) 0 Dari formulasi ini dapat diturunkan beberapa metode differensiasi numerik, antara lain : *. Metode Selisi Maju *. Metode Selisi Tengaan Metode Numerik Sebagai Algoritma Komputasi 45
5.. Metode Selisi Maju Metode selisi maju merupakan metode yang mengadopsi secara langsung definisi differensial, dan dituliskan : f f ( x + ) f ( x) Pengambilan diarapkan pada nilai yang kecil agar errornya kecil, karena metode ini mempunyai error sebesar : 1 E(f) = f 11 ( x) Conto 5.1: Hitung differensial f(x)=e -x sin(x)+1 dari range x=[0,1] dengan =0.05 X f(x) f (x) eksak error 0 1-1 - 0.05 1.04754 0.950833 0.90499 0.0483341 0.1 1.09033 0.85587 0.809984 0.0458431 0.15 1.186 0.76579 0.741 0.0433711 0. 1.1666 0.68068 0.639754 0.04098 0.5 1.1968 0.600434 0.561911 0.03858 0.3 1.1893 0.54967 0.488804 0.036163 0.35 1.4164 0.454185 0.4039 0.033856 0.4 1.6103 0.387978 0.356371 0.0316077 0.45 1.7735 0.367 0.96804 0.0948 0.5 1.9079 0.688 0.41494 0.073059 0.55 1.30156 0.1556 0.1903 0.05606 0.6 1.30988 0.166361 0.143071 0.03898 0.65 1.31594 0.11053 0.099657 0.013958 0.7 1.31991 0.0794806 0.0599004 0.019580 0.75 1.3198 0.0414863 0.0364 0.0178443 0.8 1.333 0.00691036-0.00978 0.0161887 0.85 1.3111-0.044081-0.039018 0.0146137 0.9 1.31848-0.05630-0.065749 0.013119 0.95 1.31458-0.077916-0.089604 0.011704 1 1.30956-0.10045-0.110794 0.0103684 Rata-rata error adala 0.0737486 5.3. Metode Selisi Tengaan Metode selisi tengaan merupakan metode pengambilan perubaan dari dua titik sekitar dari titik yang diukur.peratikan selisi maju pada titik x- adala : 1 f ( ) ( x) f ( x ) f1 x = Dan selisi maju pada titik x adala : 1 f ( ) ( x + ) f ( x) f x = Metode selisi tengaan merupakan rata-rata dari dua selisi maju : f 1 1 1( x) f 1 ( x) + f Metode Numerik Sebagai Algoritma Komputasi 46
Atau dituliskan : f 1 f ( x + ) f ( x ) Kesalaan pada metode ini adala : 111 E(f) = ( η) 6 f Metode selisi tengaan ini yang banyak digunakan sebagai metode differensiasi numerik. Conto 5. : Hitung differensial f(x)=e -x sin(x)+1 dari range x=[0,1] dengan =0.05 x f(x) f (x) eksak error 0 1 1.00083 1 0.00083315 0.05 1.04754 0.90333 0.90499 0.000831131 0.1 1.09033 0.810809 0.809984 0.00085373 0.15 1.186 0.7337 0.741 0.00081638 0. 1.1666 0.640558 0.639754 0.000804089 0.5 1.1968 0.56701 0.561911 0.00078973 0.3 1.1893 0.489576 0.488804 0.00077113 0.35 1.4164 0.4108 0.4039 0.00075913 0.4 1.6103 0.357103 0.356371 0.00073196 0.45 1.7735 0.97514 0.96804 0.000709519 0.5 1.9079 0.418 0.41494 0.000685839 0.55 1.30156 0.190961 0.1903 0.00066115 0.6 1.30988 0.143707 0.143071 0.000635667 0.65 1.31594 0.10067 0.099657 0.000609585 0.7 1.31991 0.0604834 0.0599004 0.000583086 0.75 1.3198 0.041983 0.0364 0.000556336 0.8 1.333-0.00874888-0.0097837 0.00059485 0.85 1.3111-0.0385191-0.039018 0.00050671 0.9 1.31848-0.06573-0.065749 0.000476018 0.95 1.31458-0.0891708-0.089604 0.000449637 1 1.30956-0.11037-0.110794 0.0004368 Rata-rata error = 0.000665659 5.4. Differensiasi Tingkat Tinggi Defferensiasi tingkat tinggi merupakan proses pendefferensialan secara terusmenerus, ingga tingkatan yang ditentukan. (1) Differensial tingkat adala : f "( x) = f '{ f '( x) } () Differensial tingkat 3 adala : (3) f ( x) = f '{ f "( x) } (3) Differensial tingkat n adala : ( n )( ) 1 n 1 f x = f { f ( x ) } Dapat dituliskan : Metode Numerik Sebagai Algoritma Komputasi 47
n n 1 d f d d f = n n 1 dx dx dx Untuk mengitung differensial tingkat tinggi ini dapat digunakan metode differensiasi yang merupakan pengembangan metode selisi tengaan yaitu : Differensiasi tingkat f ( ) ( x ) f ( x) + f ( a + ) f " x = Untuk mengitung differensial tingkat ini maka diambil yang kecil, karena error dari metode ini : ( 4 Ε ( f ) = ) ( η) 1 f Kesalaan ini dinamakan kesalaan diskritisasi. Conto 5.4: Hitung differensial kedua dari f(x)=e -x sin(x)+1 dari range x=[0,1] dengan =0.05 x f(x) f (x) eksak error 0 1 - - 1.38889e-007 0.05 1.04754-1.9001-1.90008 3.94861e-005 0.1 1.09033-1.80071-1.80063 7.5155e-005 0.15 1.186-1.7019-1.7009 0.000107067 0. 1.1666-1.60496-1.6048 0.000135436 0.5 1.1968-1.50934-1.50918 0.000160461 0.3 1.1893-1.41564-1.41546 0.00018341 0.35 1.4164-1.3413-1.3393 0.0000171 0.4 1.6103-1.3503-1.3481 0.00017443 0.45 1.7735-1.14853-1.1483 0.0003104 0.5 1.9079-1.0648-1.06456 0.000448 0.55 1.30156-0.983979-0.98378 0.0005135 0.6 1.30988-0.906166-0.905908 0.0005817 0.65 1.31594-0.831448-0.831184 0.000631 0.7 1.31991-0.759885-0.759619 0.00066538 0.75 1.3198-0.691519-0.69151 0.0006871 0.8 1.333-0.6637-0.66101 0.00068564 0.85 1.3111-0.564441-0.564173 0.00067551 0.9 1.31848-0.50571-0.505456 0.0006536 0.95 1.31458-0.450184-0.44991 0.00061 1 1.30956-0.39779-0.39753 0.00057939 Rata-rata error = 0.00001003 5.5. Pemakaian Differensiasi Untuk Menentukan Titik Puncak Kurva Sala satu pemakaian differensial yang paling banyak dibicarakan adala penentukan titik puncak kurva, dimana titik puncak (tertinggi atau terenda) diperole dengan memanfaatkan nilai differensial dari kurva pada setiap titik yang ditinjau. Metode Numerik Sebagai Algoritma Komputasi 48
Peratikan kurva y = f(x) seperti gambar berikut : 0.8 P P 5 3 exp(-(x-1)**)*sin(5*x) 0.6 0.4 0. 0 P 1 P 7-0. -0.4 P P 6-0.6-0.8 P 4-1 - -1 0 1 3 4 Kurva tersebut mempunyai 7 titik puncak, yaitu p 1, p, p3, p4, p5, p6 dan p 7.Titik puncak p 1, p3, p5 dan p 7 dinamakan titik puncak maksimum.titik puncak p, p 4 dan p dinamakan titik puncak minimum. 6 Untuk menentukan titik puncak peratikan definisi berikut : Definisi 5.1. Suatu titik a pada kurva y = f(x) dinamakan titik puncak bila dan anya bila : f 1 (a) = 0. Definisi 5.. Sebua titik puncak a dikatakan titik maksimum pada kurva y = f(x) bila : f 11 (a) < 0. Definisi 5.3. Sebua titik puncak a dikatakan titik minimum pada kurva y = F(x) bila : f 11 (a) > 0. Dari definisi-definisi di atas, maka untuk menentukan titik puncak kurva y = f(x) secara numerik adala menentukan titik-titik dimana f 0, kemudian diitung apaka f (x)>0 atau f (x)<0 untuk menentukan apaka titik tersebut titik puncak maksimal atau titik puncak minimal. Conto 5.5. Tentukan titik-titik puncak dari kurva y = x 3 -x -x dengan mengambil range [ 1,1 ] x f(x) f (x) f (x) -1-1.8736 3.75537 -.93548-0.95-1.1036 3.6068-3.00637-0.9-0.96673 3.4555-3.056-0.85-0.757731 3.30168-3.08679-0.8-0.596505 3.1470-3.09977-0.75-0.44309.991-3.09677 Metode Numerik Sebagai Algoritma Komputasi 49
x f(x) f (x) f (x) -0.7-0.9795.8377-3.0793-0.65-0.15959.68449-3.0489-0.6-0.088457.5331-3.00686-0.55 0.0940508.38407 -.95453-0.5 0.09561.3787 -.8931-0.45 0.317838.09495 -.838-0.4 0.419056 1.95567 -.74764-0.35 0.513405 1.8033 -.66566-0.3 0.601089 1.689 -.57881-0.5 0.6837 1.5655 -.48795-0. 0.757345 1.44051 -.39391-0.15 0.86378 1.33 -.9743-0.1 0.889667 1.1081 -.1991-0.05 0.947458 1.10333 -.09987 0 1 1.00083-0.05 1.04754 0.90333-1.9001 0.1 1.09033 0.810809-1.80071 0.15 1.186 0.7337-1.7019 0. 1.1666 0.640558-1.60496 0.5 1.1968 0.56701-1.50934 0.3 1.1893 0.489576-1.41564 0.35 1.4164 0.4108-1.3413 0.4 1.6103 0.357103-1.3503 0.45 1.7735 0.97514-1.14853 0.5 1.9079 0.418-1.0648 0.55 1.30156 0.190961-0.983979 0.6 1.30988 0.143707-0.906166 0.65 1.31594 0.10067-0.831448 0.7 1.31991 0.0604834-0.759885 0.75 1.3198 0.041983-0.691519 0.8 1.333-0.008748-0.6637 0.85 1.3111-0.038519-0.564441 0.9 1.31848-0.06573-0.50571 0.95 1.31458-0.0891708-0.450184 1 1.30956-0.11037-0.39779 Terliat bawa nilai puncak terjadi antara 0.75 dan 0.8, karena nilai f (x) mendekati nol. Pada nilai tersebut terliat nilai f (x)<0 maka nilai puncak tersebut adala nilai puncak maksimum. 5.6. Tugas 1. Tentukan titik maksimal dan titik minimal dari fungsi : x e f ( x) = + sin(x) pada range [1,10] dengan =0.1 dan =0.01. Tentukan differensial pertama dari sinyal AM dengan frekwensi informasi 10 Hz dan frekwensi pembawa 10 Hz pada range [0,0.1] dengan =0.001 Fungsi sinyal AM dengan frekwensi informasi f dan frekwensi pembawa f s adala : Metode Numerik Sebagai Algoritma Komputasi 50
{ 1 a sin( )} y( t) = sin(π f st) + πft dimana a adala konstanta modulasi, untuk soal ini a=0.5 1.5 sin(*pi*10*x)*(1+0.5*sin(*pi*10*x)) 1 0.5 0-0.5-1 -1.5 0 0.01 0.0 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 3. Tentukan titik-titik puncak pada sinyal AM di atas, bedakan antara titik puncak maksimal dan titik puncak minimal. Hitung berapa jumla titik puncak maksimal dan titik puncak minimal. Untuk titik puncak maksimal, bandingkan asilnya dengan fungsi : y( t) = 1+ 0.5sin(πft) dimana f adala frekwensi sinyal informasi Metode Numerik Sebagai Algoritma Komputasi 51