Sistem Persamaan Linier (SPL) Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Agustus 2015 MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 1 / 27
Acknowledgements Slide ini disusun berdasarkan materi yang terdapat pada sumber-sumber berikut: 1 Aplikasi Matriks dan Ruang Vektor, Edisi 1 2014, oleh Adiwijaya. 2 Elementary Linear Algebra, 10th Edition, 2010, oleh H. Anton dan C. Rorres. 3 Slide kuliah Aljabar Linier di Telkom University oleh Jondri. Beberapa gambar dapat diambil dari sumber-sumber di atas. Slide ini ditujukan untuk keperluan akademis di lingkungan FIF Telkom University. Jika Anda memiliki saran/ pendapat/ pertanyaan terkait materi dalam slide ini, silakan kirim email ke <pleasedontspam>@telkomuniversity.ac.id. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 2 / 27
Bahasan 1 Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)? 2 Solusi dari Persamaan Linier (PL) 3 Sistem Persamaan Linier (SPL) 4 Solusi dari SPL 5 Jenis-jenis Solusi SPL MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 3 / 27
Bahasan Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)? 1 Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)? 2 Solusi dari Persamaan Linier (PL) 3 Sistem Persamaan Linier (SPL) 4 Solusi dari SPL 5 Jenis-jenis Solusi SPL MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 4 / 27
Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)? Persamaan Linier di Sekolah Dasar Di sekolah dasar, mungkin Anda pernah melihat ekspresi matematika berikut 2 ( ) + 5 = 11, atau mungkin MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 5 / 27
Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)? Persamaan Linier di Sekolah Dasar Di sekolah dasar, mungkin Anda pernah melihat ekspresi matematika berikut 2 ( ) + 5 = 11, atau mungkin 2x + 5 = 11. (1) MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 5 / 27
Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)? Persamaan Linier di Sekolah Dasar Di sekolah dasar, mungkin Anda pernah melihat ekspresi matematika berikut 2 ( ) + 5 = 11, atau mungkin 2x + 5 = 11. (1) Ekspresi (1) merupakan contoh persamaan linier satu peubah (variabel). Peubah yang ditinjau dalam hal ini adalah x. Secara umum, persamaan linier satu peubah berbentuk MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 5 / 27
Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)? Persamaan Linier di Sekolah Dasar Di sekolah dasar, mungkin Anda pernah melihat ekspresi matematika berikut 2 ( ) + 5 = 11, atau mungkin 2x + 5 = 11. (1) Ekspresi (1) merupakan contoh persamaan linier satu peubah (variabel). Peubah yang ditinjau dalam hal ini adalah x. Secara umum, persamaan linier satu peubah berbentuk ax + b = c, dengan a, b, c R dan a 0. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 5 / 27
Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)? Persamaan Linier di Sekolah Dasar Di sekolah dasar, mungkin Anda pernah melihat ekspresi matematika berikut 2 ( ) + 5 = 11, atau mungkin 2x + 5 = 11. (1) Ekspresi (1) merupakan contoh persamaan linier satu peubah (variabel). Peubah yang ditinjau dalam hal ini adalah x. Secara umum, persamaan linier satu peubah berbentuk ax + b = c, dengan a, b, c R dan a 0. Simbol x menyatakan peubah pada persamaan linier (PL) tersebut. Suatu bilangan real t merupakan solusi dari PL ax + b = c apabila MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 5 / 27
Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)? Persamaan Linier di Sekolah Dasar Di sekolah dasar, mungkin Anda pernah melihat ekspresi matematika berikut 2 ( ) + 5 = 11, atau mungkin 2x + 5 = 11. (1) Ekspresi (1) merupakan contoh persamaan linier satu peubah (variabel). Peubah yang ditinjau dalam hal ini adalah x. Secara umum, persamaan linier satu peubah berbentuk ax + b = c, dengan a, b, c R dan a 0. Simbol x menyatakan peubah pada persamaan linier (PL) tersebut. Suatu bilangan real t merupakan solusi dari PL ax + b = c apabila at + b = c. Sebagai contoh, 3 merupakan solusi dari PL (1) karena 2 (3) + 5 = 11. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 5 / 27
Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)? Persamaan Linier di Sekolah Menengah Di sekolah menengah, Anda mulai diperkenalkan dengan bentuk ekspresi matematika berikut MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 6 / 27
Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)? Persamaan Linier di Sekolah Menengah Di sekolah menengah, Anda mulai diperkenalkan dengan bentuk ekspresi matematika berikut 2x + 3y = 11. (2) Ekspresi (2) merupakan contoh PL dua peubah, yaitu x dan y. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 6 / 27
Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)? Persamaan Linier di Sekolah Menengah Di sekolah menengah, Anda mulai diperkenalkan dengan bentuk ekspresi matematika berikut 2x + 3y = 11. (2) Ekspresi (2) merupakan contoh PL dua peubah, yaitu x dan y. Sebelum Anda berkuliah, tentulah Anda pernah melihat bentuk ekspresi matematika berikut MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 6 / 27
Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)? Persamaan Linier di Sekolah Menengah Di sekolah menengah, Anda mulai diperkenalkan dengan bentuk ekspresi matematika berikut 2x + 3y = 11. (2) Ekspresi (2) merupakan contoh PL dua peubah, yaitu x dan y. Sebelum Anda berkuliah, tentulah Anda pernah melihat bentuk ekspresi matematika berikut 2x + 3y + 4z = 31. (3) Ekspresi (3) merupakan contoh PL tiga peubah, yaitu x, y, dan z. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 6 / 27
Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)? Persamaan Linier di Sekolah Menengah Di sekolah menengah, Anda mulai diperkenalkan dengan bentuk ekspresi matematika berikut 2x + 3y = 11. (2) Ekspresi (2) merupakan contoh PL dua peubah, yaitu x dan y. Sebelum Anda berkuliah, tentulah Anda pernah melihat bentuk ekspresi matematika berikut 2x + 3y + 4z = 31. (3) Ekspresi (3) merupakan contoh PL tiga peubah, yaitu x, y, dan z. Pada kuliah ini kita akan meninjau PL dengan n peubah untuk suatu n N. PL n Peubah MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 6 / 27
Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)? Persamaan Linier di Sekolah Menengah Di sekolah menengah, Anda mulai diperkenalkan dengan bentuk ekspresi matematika berikut 2x + 3y = 11. (2) Ekspresi (2) merupakan contoh PL dua peubah, yaitu x dan y. Sebelum Anda berkuliah, tentulah Anda pernah melihat bentuk ekspresi matematika berikut 2x + 3y + 4z = 31. (3) Ekspresi (3) merupakan contoh PL tiga peubah, yaitu x, y, dan z. Pada kuliah ini kita akan meninjau PL dengan n peubah untuk suatu n N. PL n Peubah Persamaan linier n peubah x 1,..., x n adalah persamaan matematika berbentuk a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = c, dengan a 1,..., a n R, c R, dan tidak semua a 1,..., a n bernilai nol. Syarat tidak semua a 1,..., a n bernilai nol perlu ditulis, karena jika tidak, kita bisa mendapatkan ekspresi matematika 0 = c, ini tidak menarik untuk dikaji. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 6 / 27
Bahasan Solusi dari Persamaan Linier (PL) 1 Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)? 2 Solusi dari Persamaan Linier (PL) 3 Sistem Persamaan Linier (SPL) 4 Solusi dari SPL 5 Jenis-jenis Solusi SPL MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 7 / 27
Solusi dari Persamaan Linier (PL) Solusi dari PL (1) Solusi dari PL n Peubah Diberikan persamaan linier n peubah x 1,..., x n berikut a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = c, suatu n-tupel (t 1, t 2,..., t n ) dikatakan solusi untuk PL tersebut apabila MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 8 / 27
Solusi dari Persamaan Linier (PL) Solusi dari PL (1) Solusi dari PL n Peubah Diberikan persamaan linier n peubah x 1,..., x n berikut a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = c, suatu n-tupel (t 1, t 2,..., t n ) dikatakan solusi untuk PL tersebut apabila a 1 t 1 + a 2 t 2 + + a n t n = c. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 8 / 27
Solusi dari Persamaan Linier (PL) Solusi dari PL (1) Solusi dari PL n Peubah Diberikan persamaan linier n peubah x 1,..., x n berikut a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = c, suatu n-tupel (t 1, t 2,..., t n ) dikatakan solusi untuk PL tersebut apabila a 1 t 1 + a 2 t 2 + + a n t n = c. Diberikan PL 2x + 3y = 11, kita melihat bahwa (1, 3) adalah MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 8 / 27
Solusi dari Persamaan Linier (PL) Solusi dari PL (1) Solusi dari PL n Peubah Diberikan persamaan linier n peubah x 1,..., x n berikut a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = c, suatu n-tupel (t 1, t 2,..., t n ) dikatakan solusi untuk PL tersebut apabila a 1 t 1 + a 2 t 2 + + a n t n = c. Diberikan PL 2x + 3y = 11, kita melihat bahwa (1, 3) adalah solusi dari PL ini karena MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 8 / 27
Solusi dari Persamaan Linier (PL) Solusi dari PL (1) Solusi dari PL n Peubah Diberikan persamaan linier n peubah x 1,..., x n berikut a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = c, suatu n-tupel (t 1, t 2,..., t n ) dikatakan solusi untuk PL tersebut apabila a 1 t 1 + a 2 t 2 + + a n t n = c. Diberikan PL 2x + 3y = 11, kita melihat bahwa (1, 3) adalah solusi dari PL ini karena 2 (1) + 3 (3) = 11. Selain itu, (4, 1) MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 8 / 27
Solusi dari Persamaan Linier (PL) Solusi dari PL (1) Solusi dari PL n Peubah Diberikan persamaan linier n peubah x 1,..., x n berikut a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = c, suatu n-tupel (t 1, t 2,..., t n ) dikatakan solusi untuk PL tersebut apabila a 1 t 1 + a 2 t 2 + + a n t n = c. Diberikan PL 2x + 3y = 11, kita melihat bahwa (1, 3) adalah solusi dari PL ini karena 2 (1) + 3 (3) = 11. Selain itu, (4, 1) juga solusi dari PL ini karena 2 (4) + 3 (1) = 11. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 8 / 27
Solusi dari Persamaan Linier (PL) Solusi dari PL (1) Solusi dari PL n Peubah Diberikan persamaan linier n peubah x 1,..., x n berikut a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = c, suatu n-tupel (t 1, t 2,..., t n ) dikatakan solusi untuk PL tersebut apabila a 1 t 1 + a 2 t 2 + + a n t n = c. Diberikan PL 2x + 3y = 11, kita melihat bahwa (1, 3) adalah solusi dari PL ini karena 2 (1) + 3 (3) = 11. Selain itu, (4, 1) juga solusi dari PL ini karena 2 (4) + 3 (1) = 11. Diberikan PL 2x + 3y + 4z = 31, kita melihat bahwa (1, 3, 5) adalah MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 8 / 27
Solusi dari Persamaan Linier (PL) Solusi dari PL (1) Solusi dari PL n Peubah Diberikan persamaan linier n peubah x 1,..., x n berikut a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = c, suatu n-tupel (t 1, t 2,..., t n ) dikatakan solusi untuk PL tersebut apabila a 1 t 1 + a 2 t 2 + + a n t n = c. Diberikan PL 2x + 3y = 11, kita melihat bahwa (1, 3) adalah solusi dari PL ini karena 2 (1) + 3 (3) = 11. Selain itu, (4, 1) juga solusi dari PL ini karena 2 (4) + 3 (1) = 11. Diberikan PL 2x + 3y + 4z = 31, kita melihat bahwa (1, 3, 5) adalah solusi dari PL ini karena MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 8 / 27
Solusi dari Persamaan Linier (PL) Solusi dari PL (1) Solusi dari PL n Peubah Diberikan persamaan linier n peubah x 1,..., x n berikut a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = c, suatu n-tupel (t 1, t 2,..., t n ) dikatakan solusi untuk PL tersebut apabila a 1 t 1 + a 2 t 2 + + a n t n = c. Diberikan PL 2x + 3y = 11, kita melihat bahwa (1, 3) adalah solusi dari PL ini karena 2 (1) + 3 (3) = 11. Selain itu, (4, 1) juga solusi dari PL ini karena 2 (4) + 3 (1) = 11. Diberikan PL 2x + 3y + 4z = 31, kita melihat bahwa (1, 3, 5) adalah solusi dari PL ini karena 2 (1) + 3 (3) + 4 (5) = 31. Selain itu, (4, 1, 5) MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 8 / 27
Solusi dari Persamaan Linier (PL) Solusi dari PL (1) Solusi dari PL n Peubah Diberikan persamaan linier n peubah x 1,..., x n berikut a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = c, suatu n-tupel (t 1, t 2,..., t n ) dikatakan solusi untuk PL tersebut apabila a 1 t 1 + a 2 t 2 + + a n t n = c. Diberikan PL 2x + 3y = 11, kita melihat bahwa (1, 3) adalah solusi dari PL ini karena 2 (1) + 3 (3) = 11. Selain itu, (4, 1) juga solusi dari PL ini karena 2 (4) + 3 (1) = 11. Diberikan PL 2x + 3y + 4z = 31, kita melihat bahwa (1, 3, 5) adalah solusi dari PL ini karena 2 (1) + 3 (3) + 4 (5) = 31. Selain itu, (4, 1, 5) juga solusi dari PL ini karena 2 (4) + 3 (1) + 4 (5) = 31. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 8 / 27
Solusi dari PL (2) Solusi dari Persamaan Linier (PL) Jika solusi dari suatu PL n peubah ditinjau pada R, maka PL tersebut bisa jadi memiliki tak hingga banyaknya solusi. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 9 / 27
Solusi dari PL (2) Solusi dari Persamaan Linier (PL) Jika solusi dari suatu PL n peubah ditinjau pada R, maka PL tersebut bisa jadi memiliki tak hingga banyaknya solusi. Sebagai contoh, pada PL 2x + y = 5, semua pasangan bilangan real berbentuk MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 9 / 27
Solusi dari PL (2) Solusi dari Persamaan Linier (PL) Jika solusi dari suatu PL n peubah ditinjau pada R, maka PL tersebut bisa jadi memiliki tak hingga banyaknya solusi. Sebagai contoh, pada PL 2x + y = 5, semua pasangan bilangan real berbentuk (t, 5 2t)dengan t R merupakan solusi dari PL tersebut karena MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 9 / 27
Solusi dari PL (2) Solusi dari Persamaan Linier (PL) Jika solusi dari suatu PL n peubah ditinjau pada R, maka PL tersebut bisa jadi memiliki tak hingga banyaknya solusi. Sebagai contoh, pada PL 2x + y = 5, semua pasangan bilangan real berbentuk (t, 5 2t)dengan t R merupakan solusi dari PL tersebut karena kita memiliki 2 (t) + (5 2t) = 5. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 9 / 27
Solusi dari PL (2) Solusi dari Persamaan Linier (PL) Jika solusi dari suatu PL n peubah ditinjau pada R, maka PL tersebut bisa jadi memiliki tak hingga banyaknya solusi. Sebagai contoh, pada PL 2x + y = 5, semua pasangan bilangan real berbentuk (t, 5 2t)dengan t R merupakan solusi dari PL tersebut karena kita memiliki 2 (t) + (5 2t) = 5. Kita juga dapat mengatakan ( bahwa solusi PL tersebut adalah pasangan bilangan real berbentuk 5 t 2, t) karena 2 ( ) 5 t 2 + t = 5. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 9 / 27
Solusi dari PL (2) Solusi dari Persamaan Linier (PL) Jika solusi dari suatu PL n peubah ditinjau pada R, maka PL tersebut bisa jadi memiliki tak hingga banyaknya solusi. Sebagai contoh, pada PL 2x + y = 5, semua pasangan bilangan real berbentuk (t, 5 2t)dengan t R merupakan solusi dari PL tersebut karena kita memiliki 2 (t) + (5 2t) = 5. Kita juga dapat mengatakan ( bahwa solusi PL tersebut adalah pasangan bilangan real berbentuk 5 t 2, t) karena 2 ( ) 5 t 2 + t = 5. Latihan Tentukan semua tupel bilangan real yang merupakan solusi dari PL 1 x + 2y = 8 2 x + y + z = 8 Solusi: MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 9 / 27
Solusi dari PL (2) Solusi dari Persamaan Linier (PL) Jika solusi dari suatu PL n peubah ditinjau pada R, maka PL tersebut bisa jadi memiliki tak hingga banyaknya solusi. Sebagai contoh, pada PL 2x + y = 5, semua pasangan bilangan real berbentuk (t, 5 2t)dengan t R merupakan solusi dari PL tersebut karena kita memiliki 2 (t) + (5 2t) = 5. Kita juga dapat mengatakan ( bahwa solusi PL tersebut adalah pasangan bilangan real berbentuk 5 t 2, t) karena 2 ( ) 5 t 2 + t = 5. Latihan Tentukan semua tupel bilangan real yang merupakan solusi dari PL 1 x + 2y = 8 2 x + y + z = 8 Solusi: 1 Solusi dari PL tersebut berbentuk (8 2t, t), dengan t R, MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 9 / 27
Solusi dari PL (2) Solusi dari Persamaan Linier (PL) Jika solusi dari suatu PL n peubah ditinjau pada R, maka PL tersebut bisa jadi memiliki tak hingga banyaknya solusi. Sebagai contoh, pada PL 2x + y = 5, semua pasangan bilangan real berbentuk (t, 5 2t)dengan t R merupakan solusi dari PL tersebut karena kita memiliki 2 (t) + (5 2t) = 5. Kita juga dapat mengatakan ( bahwa solusi PL tersebut adalah pasangan bilangan real berbentuk 5 t 2, t) karena 2 ( ) 5 t 2 + t = 5. Latihan Tentukan semua tupel bilangan real yang merupakan solusi dari PL 1 x + 2y = 8 2 x + y + z = 8 Solusi: 1 Solusi dari PL tersebut berbentuk (8 2t, t), dengan t R, karena 8 2t + 2t = 8. Jawaban lain adalah tupel ( ) t, 8 t 2. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 9 / 27
Solusi dari PL (2) Solusi dari Persamaan Linier (PL) Jika solusi dari suatu PL n peubah ditinjau pada R, maka PL tersebut bisa jadi memiliki tak hingga banyaknya solusi. Sebagai contoh, pada PL 2x + y = 5, semua pasangan bilangan real berbentuk (t, 5 2t)dengan t R merupakan solusi dari PL tersebut karena kita memiliki 2 (t) + (5 2t) = 5. Kita juga dapat mengatakan ( bahwa solusi PL tersebut adalah pasangan bilangan real berbentuk 5 t 2, t) karena 2 ( ) 5 t 2 + t = 5. Latihan Tentukan semua tupel bilangan real yang merupakan solusi dari PL 1 x + 2y = 8 2 x + y + z = 8 Solusi: 1 Solusi dari PL tersebut berbentuk (8 2t, t), dengan t R, karena 8 2t + 2t = 8. Jawaban lain adalah tupel ( ) t, 8 t 2. 2 Solusi dari PL tersebut berbentuk (8 s t, s, t), dengan s, t R, MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 9 / 27
Solusi dari PL (2) Solusi dari Persamaan Linier (PL) Jika solusi dari suatu PL n peubah ditinjau pada R, maka PL tersebut bisa jadi memiliki tak hingga banyaknya solusi. Sebagai contoh, pada PL 2x + y = 5, semua pasangan bilangan real berbentuk (t, 5 2t)dengan t R merupakan solusi dari PL tersebut karena kita memiliki 2 (t) + (5 2t) = 5. Kita juga dapat mengatakan ( bahwa solusi PL tersebut adalah pasangan bilangan real berbentuk 5 t 2, t) karena 2 ( ) 5 t 2 + t = 5. Latihan Tentukan semua tupel bilangan real yang merupakan solusi dari PL 1 x + 2y = 8 2 x + y + z = 8 Solusi: 1 Solusi dari PL tersebut berbentuk (8 2t, t), dengan t R, karena 8 2t + 2t = 8. Jawaban lain adalah tupel ( ) t, 8 t 2. 2 Solusi dari PL tersebut berbentuk (8 s t, s, t), dengan s, t R, karena (8 s t) + s + t = 8. Jawaban lain adalah tupel (s, 8 s t, t) atau (s, t, 8 s t). MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 9 / 27
Bahasan Sistem Persamaan Linier (SPL) 1 Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)? 2 Solusi dari Persamaan Linier (PL) 3 Sistem Persamaan Linier (SPL) 4 Solusi dari SPL 5 Jenis-jenis Solusi SPL MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 10 / 27
Sistem Persamaan Linier (SPL) Sistem Persamaan Linier (SPL) Sistem persamaan linier (SPL) adalah koleksi berhingga banyak persamaan-persamaan linier. Contoh MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 11 / 27
Sistem Persamaan Linier (SPL) Sistem Persamaan Linier (SPL) Sistem persamaan linier (SPL) adalah koleksi berhingga banyak persamaan-persamaan linier. Contoh x + y + z = 12 x + 2y + 3z = 24 Sistem Persamaan Linier a + b = 3 2a + 3b = 4 a + 8b = 12 x 1 +x 2 +x 4 = 3 +x 2 +x 3 = 4 x 1 +x 4 = 5 MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 11 / 27
Catatan: MZI Peubah (FIF Tel-U) juga disebut sebagai unknown SPL karena tidak diketahui Agustus nilainya. 2015 11 / 27 Sistem Persamaan Linier (SPL) Sistem Persamaan Linier (SPL) Sistem persamaan linier (SPL) adalah koleksi berhingga banyak persamaan-persamaan linier. Contoh x + y + z = 12 x + 2y + 3z = 24 Sistem Persamaan Linier a + b = 3 2a + 3b = 4 a + 8b = 12 x 1 +x 2 +x 4 = 3 +x 2 +x 3 = 4 x 1 +x 4 = 5 Sistem persamaan linier dengan m persamaan dan n peubah (variabel/ unknown) x 1,..., x n dapat ditulis sebagai a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 1n x n = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 2n x n = c 2.... a m1 x 1 + a m2 x 2 + a mn x n = c m Dalam SPL di atas, a ij merupakan koefisien untuk x j pada persamaan ke-i. Nilai dari a ij dan c i adalah bilangan real untuk setiap 1 i m dan 1 j n.
Bahasan Solusi dari SPL 1 Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)? 2 Solusi dari Persamaan Linier (PL) 3 Sistem Persamaan Linier (SPL) 4 Solusi dari SPL 5 Jenis-jenis Solusi SPL MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 12 / 27
Solusi dari SPL (1) Solusi dari SPL Kita telah melihat pengertian solusi dari suatu PL. Solusi dari SPL analog dengan solusi dari PL. Solusi SPL Diberikan SPL a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 1n x n = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 2n x n = c 2.... a m1 x 1 + a m2 x 2 + a mn x n = c m (4) Suatu n-tupel (t 1, t 2,..., t n ) dikatakan solusi dari SPL (4) apabila (t 1, t 2,..., t n ) merupakan solusi dari semua PL yang ada pada SPL tersebut. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 13 / 27
Solusi dari SPL (2) Solusi dari SPL Dengan demikian, jika suatu n-tupel (t 1,..., t n ) adalah solusi dari SPL (4) maka kita memiliki bahwa semua ekspresi matematika berikut: bernilai benar. a 11 t 1 + a 12 t 2 + a 1n t n = c 1 a 21 t 1 + a 22 t 2 + a 2n t n = c 2.... a m1 t 1 + a m2 t 2 + a mn t n = c m MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 14 / 27
Solusi dari SPL Solusi SPL: Contoh Pandang SPL berikut x + y + z = 10 (5) x + z = 5 (6) 2x + y + 3z = 15 (7) MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 15 / 27
Solusi dari SPL Solusi SPL: Contoh Pandang SPL berikut x + y + z = 10 (5) x + z = 5 (6) 2x + y + 3z = 15 (7) Apakah (5, 0, 0) merupakan solusi SPL di atas? MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 15 / 27
Solusi dari SPL Solusi SPL: Contoh Pandang SPL berikut x + y + z = 10 (5) x + z = 5 (6) 2x + y + 3z = 15 (7) Apakah (5, 0, 0) merupakan solusi SPL di atas? Tidak, karena kita memperoleh ekspresi 5 + 0 + 0 = 10 pada PL (5) yang bernilai salah. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 15 / 27
Solusi dari SPL Solusi SPL: Contoh Pandang SPL berikut x + y + z = 10 (5) x + z = 5 (6) 2x + y + 3z = 15 (7) Apakah (5, 0, 0) merupakan solusi SPL di atas? Tidak, karena kita memperoleh ekspresi 5 + 0 + 0 = 10 pada PL (5) yang bernilai salah. Apakah (5, 5, 5) merupakan solusi SPL di atas? MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 15 / 27
Solusi dari SPL Solusi SPL: Contoh Pandang SPL berikut x + y + z = 10 (5) x + z = 5 (6) 2x + y + 3z = 15 (7) Apakah (5, 0, 0) merupakan solusi SPL di atas? Tidak, karena kita memperoleh ekspresi 5 + 0 + 0 = 10 pada PL (5) yang bernilai salah. Apakah (5, 5, 5) merupakan solusi SPL di atas? Tidak, karena kita memperoleh ekspresi 5 + 5 = 5 pada PL (6) yang bernilai salah. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 15 / 27
Solusi dari SPL Solusi SPL: Contoh Pandang SPL berikut x + y + z = 10 (5) x + z = 5 (6) 2x + y + 3z = 15 (7) Apakah (5, 0, 0) merupakan solusi SPL di atas? Tidak, karena kita memperoleh ekspresi 5 + 0 + 0 = 10 pada PL (5) yang bernilai salah. Apakah (5, 5, 5) merupakan solusi SPL di atas? Tidak, karena kita memperoleh ekspresi 5 + 5 = 5 pada PL (6) yang bernilai salah. Apakah (5, 5, 0) merupakan solusi SPL di atas? MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 15 / 27
Solusi dari SPL Solusi SPL: Contoh Pandang SPL berikut x + y + z = 10 (5) x + z = 5 (6) 2x + y + 3z = 15 (7) Apakah (5, 0, 0) merupakan solusi SPL di atas? Tidak, karena kita memperoleh ekspresi 5 + 0 + 0 = 10 pada PL (5) yang bernilai salah. Apakah (5, 5, 5) merupakan solusi SPL di atas? Tidak, karena kita memperoleh ekspresi 5 + 5 = 5 pada PL (6) yang bernilai salah. Apakah (5, 5, 0) merupakan solusi SPL di atas? Ya, tinjau bahwa Kita memiliki MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 15 / 27
Solusi dari SPL Solusi SPL: Contoh Pandang SPL berikut x + y + z = 10 (5) x + z = 5 (6) 2x + y + 3z = 15 (7) Apakah (5, 0, 0) merupakan solusi SPL di atas? Tidak, karena kita memperoleh ekspresi 5 + 0 + 0 = 10 pada PL (5) yang bernilai salah. Apakah (5, 5, 5) merupakan solusi SPL di atas? Tidak, karena kita memperoleh ekspresi 5 + 5 = 5 pada PL (6) yang bernilai salah. Apakah (5, 5, 0) merupakan solusi SPL di atas? Ya, tinjau bahwa Kita memiliki 5 + 5 + 0 = 10 pada PL (5), ekspresi ini benar. Kita memiliki MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 15 / 27
Solusi dari SPL Solusi SPL: Contoh Pandang SPL berikut x + y + z = 10 (5) x + z = 5 (6) 2x + y + 3z = 15 (7) Apakah (5, 0, 0) merupakan solusi SPL di atas? Tidak, karena kita memperoleh ekspresi 5 + 0 + 0 = 10 pada PL (5) yang bernilai salah. Apakah (5, 5, 5) merupakan solusi SPL di atas? Tidak, karena kita memperoleh ekspresi 5 + 5 = 5 pada PL (6) yang bernilai salah. Apakah (5, 5, 0) merupakan solusi SPL di atas? Ya, tinjau bahwa Kita memiliki 5 + 5 + 0 = 10 pada PL (5), ekspresi ini benar. Kita memiliki 5 + 0 = 5 pada PL (6), ekspresi ini benar. Kita memiliki MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 15 / 27
Solusi dari SPL Solusi SPL: Contoh Pandang SPL berikut x + y + z = 10 (5) x + z = 5 (6) 2x + y + 3z = 15 (7) Apakah (5, 0, 0) merupakan solusi SPL di atas? Tidak, karena kita memperoleh ekspresi 5 + 0 + 0 = 10 pada PL (5) yang bernilai salah. Apakah (5, 5, 5) merupakan solusi SPL di atas? Tidak, karena kita memperoleh ekspresi 5 + 5 = 5 pada PL (6) yang bernilai salah. Apakah (5, 5, 0) merupakan solusi SPL di atas? Ya, tinjau bahwa Kita memiliki 5 + 5 + 0 = 10 pada PL (5), ekspresi ini benar. Kita memiliki 5 + 0 = 5 pada PL (6), ekspresi ini benar. Kita memiliki 2 (5) + 5 + 3 (0) = 15 pada PL (7), ekspresi ini benar. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 15 / 27
Bahasan Jenis-jenis Solusi SPL 1 Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)? 2 Solusi dari Persamaan Linier (PL) 3 Sistem Persamaan Linier (SPL) 4 Solusi dari SPL 5 Jenis-jenis Solusi SPL MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 16 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL Jenis-jenis Solusi SPL Jika diberikan suatu SPL dengan m persamaan dan n peubah, maka sangat wajar jika kita bertanya, Apakah SPL tersebut memiliki solusi? MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 17 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL Jenis-jenis Solusi SPL Jika diberikan suatu SPL dengan m persamaan dan n peubah, maka sangat wajar jika kita bertanya, Apakah SPL tersebut memiliki solusi? Jika ya, apakah solusinya unik (tunggal)? MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 17 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL Jenis-jenis Solusi SPL Jika diberikan suatu SPL dengan m persamaan dan n peubah, maka sangat wajar jika kita bertanya, Apakah SPL tersebut memiliki solusi? Jika ya, apakah solusinya unik (tunggal)? Jika tidak tunggal, ada berapa banyak solusi yang berbeda? MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 17 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL Jenis-jenis Solusi SPL Jika diberikan suatu SPL dengan m persamaan dan n peubah, maka sangat wajar jika kita bertanya, Apakah SPL tersebut memiliki solusi? Jika ya, apakah solusinya unik (tunggal)? Jika tidak tunggal, ada berapa banyak solusi yang berbeda? Apakah mungkin suatu SPL tidak punya solusi? Untuk menjawab pertanyaan di atas, kita akan mengeksplorasi kemungkinan solusi SPL dari beberapa contoh SPL dengan 2 persamaan dan 2 variabel. Anda diasumsikan sudah memahami metode penyelesaian SPL yang diajarkan di sekolah menengah seperti MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 17 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL Jenis-jenis Solusi SPL Jika diberikan suatu SPL dengan m persamaan dan n peubah, maka sangat wajar jika kita bertanya, Apakah SPL tersebut memiliki solusi? Jika ya, apakah solusinya unik (tunggal)? Jika tidak tunggal, ada berapa banyak solusi yang berbeda? Apakah mungkin suatu SPL tidak punya solusi? Untuk menjawab pertanyaan di atas, kita akan mengeksplorasi kemungkinan solusi SPL dari beberapa contoh SPL dengan 2 persamaan dan 2 variabel. Anda diasumsikan sudah memahami metode penyelesaian SPL yang diajarkan di sekolah menengah seperti metode geometris (menggambar grafik), MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 17 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL Jenis-jenis Solusi SPL Jika diberikan suatu SPL dengan m persamaan dan n peubah, maka sangat wajar jika kita bertanya, Apakah SPL tersebut memiliki solusi? Jika ya, apakah solusinya unik (tunggal)? Jika tidak tunggal, ada berapa banyak solusi yang berbeda? Apakah mungkin suatu SPL tidak punya solusi? Untuk menjawab pertanyaan di atas, kita akan mengeksplorasi kemungkinan solusi SPL dari beberapa contoh SPL dengan 2 persamaan dan 2 variabel. Anda diasumsikan sudah memahami metode penyelesaian SPL yang diajarkan di sekolah menengah seperti metode geometris (menggambar grafik), substitusi, MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 17 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL Jenis-jenis Solusi SPL Jika diberikan suatu SPL dengan m persamaan dan n peubah, maka sangat wajar jika kita bertanya, Apakah SPL tersebut memiliki solusi? Jika ya, apakah solusinya unik (tunggal)? Jika tidak tunggal, ada berapa banyak solusi yang berbeda? Apakah mungkin suatu SPL tidak punya solusi? Untuk menjawab pertanyaan di atas, kita akan mengeksplorasi kemungkinan solusi SPL dari beberapa contoh SPL dengan 2 persamaan dan 2 variabel. Anda diasumsikan sudah memahami metode penyelesaian SPL yang diajarkan di sekolah menengah seperti metode geometris (menggambar grafik), substitusi, eliminasi, MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 17 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL Jenis-jenis Solusi SPL Jika diberikan suatu SPL dengan m persamaan dan n peubah, maka sangat wajar jika kita bertanya, Apakah SPL tersebut memiliki solusi? Jika ya, apakah solusinya unik (tunggal)? Jika tidak tunggal, ada berapa banyak solusi yang berbeda? Apakah mungkin suatu SPL tidak punya solusi? Untuk menjawab pertanyaan di atas, kita akan mengeksplorasi kemungkinan solusi SPL dari beberapa contoh SPL dengan 2 persamaan dan 2 variabel. Anda diasumsikan sudah memahami metode penyelesaian SPL yang diajarkan di sekolah menengah seperti metode geometris (menggambar grafik), substitusi, eliminasi, eliminasi-substitusi, atau MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 17 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL Jenis-jenis Solusi SPL Jika diberikan suatu SPL dengan m persamaan dan n peubah, maka sangat wajar jika kita bertanya, Apakah SPL tersebut memiliki solusi? Jika ya, apakah solusinya unik (tunggal)? Jika tidak tunggal, ada berapa banyak solusi yang berbeda? Apakah mungkin suatu SPL tidak punya solusi? Untuk menjawab pertanyaan di atas, kita akan mengeksplorasi kemungkinan solusi SPL dari beberapa contoh SPL dengan 2 persamaan dan 2 variabel. Anda diasumsikan sudah memahami metode penyelesaian SPL yang diajarkan di sekolah menengah seperti metode geometris (menggambar grafik), substitusi, eliminasi, eliminasi-substitusi, atau metode lain (jika sudah pernah belajar). MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 17 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL Contoh SPL dengan Solusi Unik (Tunggal) Latihan Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut x y = 6 (8) 2x + y = 6 (9) MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 18 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL Contoh SPL dengan Solusi Unik (Tunggal) Latihan Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut x y = 6 (8) 2x + y = 6 (9) Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y juga bisa). MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 18 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL Contoh SPL dengan Solusi Unik (Tunggal) Latihan Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut x y = 6 (8) 2x + y = 6 (9) Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y juga bisa). Jika kita kalikan persamaan (8) dengan 2 dan tambahkan hasil tersebut ke persamaan (9), didapatkan SPL baru yang setara, yaitu MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 18 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL Contoh SPL dengan Solusi Unik (Tunggal) Latihan Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut x y = 6 (8) 2x + y = 6 (9) Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y juga bisa). Jika kita kalikan persamaan (8) dengan 2 dan tambahkan hasil tersebut ke persamaan (9), didapatkan SPL baru yang setara, yaitu x y = 6 (10) 3y = 6 (11) MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 18 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL Contoh SPL dengan Solusi Unik (Tunggal) Latihan Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut x y = 6 (8) 2x + y = 6 (9) Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y juga bisa). Jika kita kalikan persamaan (8) dengan 2 dan tambahkan hasil tersebut ke persamaan (9), didapatkan SPL baru yang setara, yaitu x y = 6 (10) 3y = 6 (11) Dari persamaan (11), didapatkan y = 2. Kemudian dengan mensubstitusikan hasil ini ke persamaan (10) diperoleh x = 6 + y = 6 + ( 2) = 4. Jadi solusi dari SPL di atas adalah tupel (4, 2). Lebih jauh, tidak ada tupel lain yang merupakan solusi dari SPL di atas. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 18 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL Representasinya secara Geometris... Solusi SPL x y = 6 dan 2x + y = 6 dapat direpresentasikan secara geometris. Solusi dari SPL tersebut merupakan semua titik pada bidang datar (R 2 ) yang merupakan perpotongan garis l 1 : x y = 6 dan l 2 : 2x + y = 6, yaitu (4, 2). MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 19 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL Representasinya secara Geometris... Solusi SPL x y = 6 dan 2x + y = 6 dapat direpresentasikan secara geometris. Solusi dari SPL tersebut merupakan semua titik pada bidang datar (R 2 ) yang merupakan perpotongan garis l 1 : x y = 6 dan l 2 : 2x + y = 6, yaitu (4, 2). y 4 2 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 2 x 4 MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 19 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL Contoh SPL Tanpa Solusi Latihan Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut x + y = 4 (12) 3x + 3y = 6 (13) Berikan argumen jika SPL di atas tidak punya solusi. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 20 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL Contoh SPL Tanpa Solusi Latihan Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut Berikan argumen jika SPL di atas tidak punya solusi. x + y = 4 (12) 3x + 3y = 6 (13) Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y juga bisa). MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 20 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL Contoh SPL Tanpa Solusi Latihan Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut Berikan argumen jika SPL di atas tidak punya solusi. x + y = 4 (12) 3x + 3y = 6 (13) Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y juga bisa). Jika kita kalikan persamaan (12) dengan 3 dan tambahkan hasil tersebut ke persamaan (13), didapatkan SPL baru yang setara, yaitu MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 20 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL Contoh SPL Tanpa Solusi Latihan Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut Berikan argumen jika SPL di atas tidak punya solusi. x + y = 4 (12) 3x + 3y = 6 (13) Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y juga bisa). Jika kita kalikan persamaan (12) dengan 3 dan tambahkan hasil tersebut ke persamaan (13), didapatkan SPL baru yang setara, yaitu x + y = 4 (14) 0 = 6 (15) MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 20 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL Contoh SPL Tanpa Solusi Latihan Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut Berikan argumen jika SPL di atas tidak punya solusi. x + y = 4 (12) 3x + 3y = 6 (13) Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y juga bisa). Jika kita kalikan persamaan (12) dengan 3 dan tambahkan hasil tersebut ke persamaan (13), didapatkan SPL baru yang setara, yaitu x + y = 4 (14) 0 = 6 (15) Persamaan (15) merupakan sebuah kontradiksi. Jadi SPL di atas tidak punya solusi. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 20 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL Contoh SPL Tanpa Solusi Latihan Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut Berikan argumen jika SPL di atas tidak punya solusi. x + y = 4 (12) 3x + 3y = 6 (13) Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y juga bisa). Jika kita kalikan persamaan (12) dengan 3 dan tambahkan hasil tersebut ke persamaan (13), didapatkan SPL baru yang setara, yaitu x + y = 4 (14) 0 = 6 (15) Persamaan (15) merupakan sebuah kontradiksi. Jadi SPL di atas tidak punya solusi. Kita juga dapat memeriksa hal ini dengan mengalikan persamaan (12) dengan 3, sehingga didapatkan 3x + 3y = 4. Akibatnya, dari persamaan (13), diperoleh ekspresi 4 = 3x + 3y = 6, atau 4 = 6, suatu kontradiksi. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 20 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL Representasinya secara Geometris... Solusi SPL x + y = 4 dan 3x + 3y = 6 dapat direpresentasikan secara geometris. Solusi dari SPL tersebut merupakan semua titik pada bidang datar (R 2 ) yang merupakan perpotongan garis l 1 : x + y = 4 dan l 2 : 3x + 3y = 6. Karena kedua garis tersebut tidak memiliki titik potong, maka SPL yang bersesuaian tidak punya solusi. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 21 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL Representasinya secara Geometris... Solusi SPL x + y = 4 dan 3x + 3y = 6 dapat direpresentasikan secara geometris. Solusi dari SPL tersebut merupakan semua titik pada bidang datar (R 2 ) yang merupakan perpotongan garis l 1 : x + y = 4 dan l 2 : 3x + 3y = 6. Karena kedua garis tersebut tidak memiliki titik potong, maka SPL yang bersesuaian tidak punya solusi. y 4 2 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 2 x 4 MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 21 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL Contoh SPL dengan Banyak (Tak Hingga) Solusi Latihan Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut 4x 2y = 1 (16) 16x 8y = 4 (17) MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 22 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL Contoh SPL dengan Banyak (Tak Hingga) Solusi Latihan Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut 4x 2y = 1 (16) 16x 8y = 4 (17) Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y juga bisa). MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 22 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL Contoh SPL dengan Banyak (Tak Hingga) Solusi Latihan Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut 4x 2y = 1 (16) 16x 8y = 4 (17) Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y juga bisa). Jika kita kalikan persamaan (16) dengan 4 dan tambahkan hasil tersebut ke persamaan (17), didapatkan SPL baru yang setara, yaitu MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 22 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL Contoh SPL dengan Banyak (Tak Hingga) Solusi Latihan Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut 4x 2y = 1 (16) 16x 8y = 4 (17) Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y juga bisa). Jika kita kalikan persamaan (16) dengan 4 dan tambahkan hasil tersebut ke persamaan (17), didapatkan SPL baru yang setara, yaitu 4x 2y = 1 (18) 0 = 0 (19) MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 22 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL Contoh SPL dengan Banyak (Tak Hingga) Solusi Latihan Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut 4x 2y = 1 (16) 16x 8y = 4 (17) Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y juga bisa). Jika kita kalikan persamaan (16) dengan 4 dan tambahkan hasil tersebut ke persamaan (17), didapatkan SPL baru yang setara, yaitu 4x 2y = 1 (18) 0 = 0 (19) Persamaan (19) tidak memberikan restriksi apapun pada x dan y. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 22 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL Contoh SPL dengan Banyak (Tak Hingga) Solusi Latihan Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut 4x 2y = 1 (16) 16x 8y = 4 (17) Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y juga bisa). Jika kita kalikan persamaan (16) dengan 4 dan tambahkan hasil tersebut ke persamaan (17), didapatkan SPL baru yang setara, yaitu 4x 2y = 1 (18) 0 = 0 (19) Persamaan (19) tidak memberikan restriksi apapun pada x dan y. Akibatnya solusi SPL sama dengan solusi dari persamaan (18), yaitu solusi PL 4x 2y = 1. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 22 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL Contoh SPL dengan Banyak (Tak Hingga) Solusi Latihan Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut 4x 2y = 1 (16) 16x 8y = 4 (17) Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y juga bisa). Jika kita kalikan persamaan (16) dengan 4 dan tambahkan hasil tersebut ke persamaan (17), didapatkan SPL baru yang setara, yaitu 4x 2y = 1 (18) 0 = 0 (19) Persamaan (19) tidak memberikan restriksi apapun pada x dan y. Akibatnya solusi SPL sama dengan solusi dari persamaan (18), yaitu solusi PL 4x 2y = 1. Dengan menyelesaikan persamaan ini dalam x, diperoleh x = 1+2y 4. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 22 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL Contoh SPL dengan Banyak (Tak Hingga) Solusi Latihan Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut 4x 2y = 1 (16) 16x 8y = 4 (17) Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y juga bisa). Jika kita kalikan persamaan (16) dengan 4 dan tambahkan hasil tersebut ke persamaan (17), didapatkan SPL baru yang setara, yaitu 4x 2y = 1 (18) 0 = 0 (19) Persamaan (19) tidak memberikan restriksi apapun pada x dan y. Akibatnya solusi SPL sama dengan solusi dari persamaan (18), yaitu solusi PL 4x 2y = 1. Dengan menyelesaikan persamaan ini dalam x, diperoleh x = 1+2y 4. Jadi solusi SPL adalah semua pasang ( 1+2t ( ) 4, t) dengan t R, atau dapat pula semua pasang t, 4t 1 2, dengan t R. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 22 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL Contoh SPL dengan Banyak (Tak Hingga) Solusi Latihan Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut 4x 2y = 1 (16) 16x 8y = 4 (17) Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y juga bisa). Jika kita kalikan persamaan (16) dengan 4 dan tambahkan hasil tersebut ke persamaan (17), didapatkan SPL baru yang setara, yaitu 4x 2y = 1 (18) 0 = 0 (19) Persamaan (19) tidak memberikan restriksi apapun pada x dan y. Akibatnya solusi SPL sama dengan solusi dari persamaan (18), yaitu solusi PL 4x 2y = 1. Dengan menyelesaikan persamaan ini dalam x, diperoleh x = 1+2y 4. Jadi solusi SPL adalah semua pasang ( 1+2t ( ) 4, t) dengan t R, atau dapat pula semua pasang t, 4t 1 2, dengan t R. Persamaan berbentuk x = 1+2t 4 dan y = t, dengan t R disebut persamaan parametrik dari garis 4x 2y = 1. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 22 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL Representasinya secara Geometris... Solusi SPL 4x 2y = 1 dan 16x 8y = 4 dapat direpresentasikan secara geometris. Solusi dari SPL tersebut merupakan semua titik pada bidang datar (R 2 ) yang merupakan perpotongan garis l 1 : 4x 2y = 1 dan l 2 : 16x 8y = 4. Karena l 1 dan l 2 berimpit, maka semua titik pada l 1 (dan l 2 ) merupakan solusi SPL yang bersesuaian. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 23 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL Representasinya secara Geometris... Solusi SPL 4x 2y = 1 dan 16x 8y = 4 dapat direpresentasikan secara geometris. Solusi dari SPL tersebut merupakan semua titik pada bidang datar (R 2 ) yang merupakan perpotongan garis l 1 : 4x 2y = 1 dan l 2 : 16x 8y = 4. Karena l 1 dan l 2 berimpit, maka semua titik pada l 1 (dan l 2 ) merupakan solusi SPL yang bersesuaian. y 4 2 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 2 x 4 MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 23 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL Solusi SPL 2 Persamaan dan 2 Variabel Diberikan SPL dengan 2 persamaan dan dua variabel a 1 x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c 2 Banyaknya jenis solusi SPL yang mungkin sama dengan banyaknya jenis perpotongan garis l 1 : a 1 x + b 1 y = c 1 dan l 2 : a 2 x + b 1 y = c 2. Secara geometris, perpotongan antar dua garis tersebut hanya ada tiga macam, yaitu MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 24 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL Solusi SPL 2 Persamaan dan 2 Variabel Diberikan SPL dengan 2 persamaan dan dua variabel a 1 x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c 2 Banyaknya jenis solusi SPL yang mungkin sama dengan banyaknya jenis perpotongan garis l 1 : a 1 x + b 1 y = c 1 dan l 2 : a 2 x + b 1 y = c 2. Secara geometris, perpotongan antar dua garis tersebut hanya ada tiga macam, yaitu l 1 dan l 2 saling sejajar, sehingga tidak memiliki titik potong. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 24 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL Solusi SPL 2 Persamaan dan 2 Variabel Diberikan SPL dengan 2 persamaan dan dua variabel a 1 x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c 2 Banyaknya jenis solusi SPL yang mungkin sama dengan banyaknya jenis perpotongan garis l 1 : a 1 x + b 1 y = c 1 dan l 2 : a 2 x + b 1 y = c 2. Secara geometris, perpotongan antar dua garis tersebut hanya ada tiga macam, yaitu l 1 dan l 2 saling sejajar, sehingga tidak memiliki titik potong. Ini berarti SPL di atas tidak punya solusi. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 24 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL Solusi SPL 2 Persamaan dan 2 Variabel Diberikan SPL dengan 2 persamaan dan dua variabel a 1 x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c 2 Banyaknya jenis solusi SPL yang mungkin sama dengan banyaknya jenis perpotongan garis l 1 : a 1 x + b 1 y = c 1 dan l 2 : a 2 x + b 1 y = c 2. Secara geometris, perpotongan antar dua garis tersebut hanya ada tiga macam, yaitu l 1 dan l 2 saling sejajar, sehingga tidak memiliki titik potong. Ini berarti SPL di atas tidak punya solusi. l 1 dan l 2 berpotongan tepat di satu titik. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 24 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL Solusi SPL 2 Persamaan dan 2 Variabel Diberikan SPL dengan 2 persamaan dan dua variabel a 1 x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c 2 Banyaknya jenis solusi SPL yang mungkin sama dengan banyaknya jenis perpotongan garis l 1 : a 1 x + b 1 y = c 1 dan l 2 : a 2 x + b 1 y = c 2. Secara geometris, perpotongan antar dua garis tersebut hanya ada tiga macam, yaitu l 1 dan l 2 saling sejajar, sehingga tidak memiliki titik potong. Ini berarti SPL di atas tidak punya solusi. l 1 dan l 2 berpotongan tepat di satu titik. Ini berarti SPL di atas punya solusi unik (tunggal). MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 24 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL Solusi SPL 2 Persamaan dan 2 Variabel Diberikan SPL dengan 2 persamaan dan dua variabel a 1 x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c 2 Banyaknya jenis solusi SPL yang mungkin sama dengan banyaknya jenis perpotongan garis l 1 : a 1 x + b 1 y = c 1 dan l 2 : a 2 x + b 1 y = c 2. Secara geometris, perpotongan antar dua garis tersebut hanya ada tiga macam, yaitu l 1 dan l 2 saling sejajar, sehingga tidak memiliki titik potong. Ini berarti SPL di atas tidak punya solusi. l 1 dan l 2 berpotongan tepat di satu titik. Ini berarti SPL di atas punya solusi unik (tunggal). l 1 dan l 2 berimpit, sehingga titik potongnya adalah semua titik pada l 1 (dan l 2 ). MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 24 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL Solusi SPL 2 Persamaan dan 2 Variabel Diberikan SPL dengan 2 persamaan dan dua variabel a 1 x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c 2 Banyaknya jenis solusi SPL yang mungkin sama dengan banyaknya jenis perpotongan garis l 1 : a 1 x + b 1 y = c 1 dan l 2 : a 2 x + b 1 y = c 2. Secara geometris, perpotongan antar dua garis tersebut hanya ada tiga macam, yaitu l 1 dan l 2 saling sejajar, sehingga tidak memiliki titik potong. Ini berarti SPL di atas tidak punya solusi. l 1 dan l 2 berpotongan tepat di satu titik. Ini berarti SPL di atas punya solusi unik (tunggal). l 1 dan l 2 berimpit, sehingga titik potongnya adalah semua titik pada l 1 (dan l 2 ). Ini berarti SPL di atas punya tak hingga banyaknya solusi. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 24 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL Representasinya Secara Geometris... MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 25 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL Jenis-jenis Solusi SPL Definisi (SPL konsisten dan tak konsisten) Suatu SPL dikatakan konsisten jika SPL tersebut memiliki solusi (boleh satu atau lebih). SPL yang tidak punya solusi dikatakan SPL tak konsisten atau SPL inkonsisten. Mengapa disebut SPL inkonsisten? MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 26 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL Jenis-jenis Solusi SPL Definisi (SPL konsisten dan tak konsisten) Suatu SPL dikatakan konsisten jika SPL tersebut memiliki solusi (boleh satu atau lebih). SPL yang tidak punya solusi dikatakan SPL tak konsisten atau SPL inkonsisten. Mengapa disebut SPL inkonsisten? Karena kita dapat memperoleh suatu kontradiksi pada SPL tersebut. Teorema Diberikan suatu SPL, maka hanya ada tiga kemungkinan solusi untuk SPL tersebut, yakni MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 26 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL Jenis-jenis Solusi SPL Definisi (SPL konsisten dan tak konsisten) Suatu SPL dikatakan konsisten jika SPL tersebut memiliki solusi (boleh satu atau lebih). SPL yang tidak punya solusi dikatakan SPL tak konsisten atau SPL inkonsisten. Mengapa disebut SPL inkonsisten? Karena kita dapat memperoleh suatu kontradiksi pada SPL tersebut. Teorema Diberikan suatu SPL, maka hanya ada tiga kemungkinan solusi untuk SPL tersebut, yakni 1 SPL tersebut tidak punya solusi (tidak konsisten), MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 26 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL Jenis-jenis Solusi SPL Definisi (SPL konsisten dan tak konsisten) Suatu SPL dikatakan konsisten jika SPL tersebut memiliki solusi (boleh satu atau lebih). SPL yang tidak punya solusi dikatakan SPL tak konsisten atau SPL inkonsisten. Mengapa disebut SPL inkonsisten? Karena kita dapat memperoleh suatu kontradiksi pada SPL tersebut. Teorema Diberikan suatu SPL, maka hanya ada tiga kemungkinan solusi untuk SPL tersebut, yakni 1 SPL tersebut tidak punya solusi (tidak konsisten), 2 SPL tersebut konsiten dan solusinya tunggal (hanya satu tupel yang memenuhi SPL tersebut), MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 26 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL Jenis-jenis Solusi SPL Definisi (SPL konsisten dan tak konsisten) Suatu SPL dikatakan konsisten jika SPL tersebut memiliki solusi (boleh satu atau lebih). SPL yang tidak punya solusi dikatakan SPL tak konsisten atau SPL inkonsisten. Mengapa disebut SPL inkonsisten? Karena kita dapat memperoleh suatu kontradiksi pada SPL tersebut. Teorema Diberikan suatu SPL, maka hanya ada tiga kemungkinan solusi untuk SPL tersebut, yakni 1 SPL tersebut tidak punya solusi (tidak konsisten), 2 SPL tersebut konsiten dan solusinya tunggal (hanya satu tupel yang memenuhi SPL tersebut), 3 SPL tersebut konsisten dan solusinya tak hingga banyak. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 26 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL SPL Berdasarkan Solusinya MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 27 / 27