12. LUAS DAERAH DAN INTEGRAL 12.1 Lus Derh di Bwh Kurv Mslh menentukn lus derh (dn volume rung) telh dipeljri sejk er Pythgors dn Zeno, pd thun 500-n SM. Konsep integrl (yng terkit ert dengn lus derh) berpijk pd metode exhustion, yng telh dipki oleh Plto dn Eudoxus, dn kemudin oleh Euclid dn Archimedes, untuk menghitung lus derh lingkrn. Pd 1630-n, Pierre de Fermt tertrik untuk menghitung lus derh di bwh kurv. Mislkn f kontinu pd intervl [, b]. Apkh msuk kl untuk membhs lus derh di bwh kurv y = f(x)? Jik y, bgimnkh kit menghitungny? Gmbr 12.1 Derh di bwh kurv y = f(x) Jik memng msuk kl untuk membhs lus derh di bwh kurv y = f(x), mk lus derh ini setidkny mestilh lebih besr dripd L, yng menytkn lus derh yng dirsir pd Gmbr 12.2. 101
102 Hendr Gunwn Gmbr 12.2 Lus derh L Mislkn L menytkn himpunn semu bilngn L yng dpt diperoleh sebgi jumlh lus derh persegi-pnjng kecil sebgimn dlm Gmbr 12.2. Mk lus derh di bwh kurv y = f(x) mestilh lebih besr dripd setip nggot L. Tmpkny msuk kl untuk mendefinisikn lus derh di bwh kurv y = f(x) sebgi bilngn terkecil yng lebih besr dripd setip nggot L, ykni sup L. Contoh 1. Mislkn f(x) = x 2, x [0, 1]. Mk, dengn membgi intervl [0, 1] ts n intervl bgin yng sm pnjng dn menghitung jumlh lus derh persegipnjng yng terbentuk, lus derh di bwh kurv y = f(x) mestilh lebih besr dripd 1 [0 + 12 n n 2 + 22 (n ] 1)2 + + n2 n 2. Jumlh deret ini sm dengn (n 1)n(2n 1) 6n 3. Mengingt (n 1)n(2n 1) 6n 3 1 3 untuk tip n N dn (n 1)n(2n 1) 6n 3 1 3 untuk n, mk bilngn terkecil yng lebih besr dripd (n 1)n(2n 1) 6n 3 tip n N dlh 1 3. Jdi, lus derh di bwh kurv y = f(x) dlh 1 3. untuk
Pengntr Anlisis Rel 103 Sol Ltihn 1. Buktikn bhw (n 1)n(2n 1) sup n N (n 1)n(2n 1) 6n 3 = 1 3. 6n 3 1 3 untuk tip n N, dn simpulkn bhw 2. Tentukn lus derh di bwh kurv y = 1 + x, x [0, 1], dengn cr seperti pd Contoh 1. Apkh hsil yng diperoleh sesui dengn pengethun geometri kit? 12.2 Integrl Mislkn f kontinu pd intervl [, b]. Definisikn prtisi dri [, b] sebgi himpunn P := {x 0, x 1,..., x n } dengn = x 0 < x 1 < < x n 1 < x n = b. Kren f kontinu pd [, b], mk f terbts pd [, b]. sembrng prtisi P := {x 0, x 1,..., x n } dri [, b], kit dpt mendefinisikn m k := inf f(x), x k 1 x x k Jdi, diberikn untuk k = 1, 2,..., n. Dengn demikin, untuk tip prtisi P, kit dpt membentuk deret L(P, f) := n m k (x k x k 1 ). k=1 (Butlh sutu ilustrsi yng menytkn nili L(P, f).) Mislkn f terbts di ts pd [, b], ktknlh f(x) M, x [, b]. Mk n L(P, f) M (x k x k 1 ) = M(b ). k=1 Jdi himpunn bilngn {L(P, f) : P prtisi dri [, b]} terbts di ts oleh M(b ), dn kren itu i mempunyi supremum.
104 Hendr Gunwn Sekrng kit smpi pd definisi integrl. Jik f kontinu pd intervl [, b], mk kit definisikn integrl dri f pd [, b] sebgi f(x) dx := sup L(P, f), P dengn nili supremum dimbil ts semu prtisi P dri [, b]. Dlm hl f(x) 0 untuk setip x [, b], mk f(x) dx dpt diinterpretsikn sebgi lus derh di bwh kurv y = f(x). Sebgi tmbhn, jik < b, mk kit definisikn b f(x) dx := Selin itu, untuk sembrng R, kit definisikn f(x) dx := 0. f(x) dx. Proposisi 2. Mislkn f kontinu pd [, b] dn m f(x) M untuk tip x [, b]. Mk m(b ) f(x) dx M(b ). Proposisi 3. Mislkn f kontinu pd [, b] dn c b. Mk f(x) dx = c f(x) dx + c f(x) dx. Cttn. Bukti Proposisi 3 gk pnjng; liht [2]. Sol Ltihn 1. Buktikn Proposisi 2. 2. Buktikn bhw c dx = c(b ). 3. Dikethui f(x) = x, x [, b]. Buktikn bhw L(P, f) 1 2 (b2 2 )
Pengntr Anlisis Rel 105 untuk sebrng prtisi P dri [, b]. Selnjutny, dengn menggunkn definisi integrl, buktikn bhw f(x) dx = 1 2 (b2 2 ). 12.3 Turunn dri Integrl; Teorem Dsr Klkulus Mislkn f terdefinisi pd (, b). Mislkn F kontinu pd [, b] dn mempunyi turunn pd (, b) dengn F (x) = f(x) untuk tip x (, b). Mk F disebut sebgi nti turunn dri f pd [, b]. Contoh 4. Jik f(x) = x 3, mk fungsi F yng didefinisikn sebgi F (x) = 1 4 x4 + 5 merupkn sutu nti turunn dri f. Secr umum, fungsi G yng didefinisikn sebgi G(x) = 1 4 x4 + C, dengn C konstnt, merupkn nti turunn dri f. Pembc mungkin bertny: p urusnny nti turunn dengn integrl? Untuk menjwb pertnyn ini, mislkn f kontinu pd [, b]. Definisikn F pd [, b] sebgi F (x) := x [, b]. Dlm teorem berikut, kit kn menunjukkn bhw F merupkn sutu nti turunn dri f pd [, b]. Teorem 5 (Teorem Dsr Klkulus I). Mislkn f kontinu pd [, b] dn F didefinisikn pd [, b] sebgi F (x) := x [, b].
106 Hendr Gunwn Mk, F merupkn sutu nti turunn dri f pd [, b]; ykni, F kontinu pd [, b], mempunyi turunn pd (, b), dn F (x) = f(x) untuk tip x (, b). Bukti. Kren f kontinu pd [, b], mk f terbts pd [, b], ktknlh f(t) κ untuk tip t [, b]. Selnjutny, untuk x, c [, b], kit mempunyi sehingg F (x) F (c) = c F (x) F (c) κ x c. Jdi F kontinu pd [, b]. Selnjutny perhtikn bhw untuk x c kit mempunyi F (x) F (c) x c f(c) = 1 x c c [f(t) f(c)] dt. Kren f kontinu di c, kit dpt memilih δ > 0 sedemikin sehingg F (x) F (c) x c f(c) < ɛ, untuk 0 < x c < δ. Ini menunjukkn bhw F (c) = f(c), dn ini berlku untuk setip c [, b]. Teorem 6 (Teorem Dsr Klkulus II). Setip fungsi f yng kontinu pd [, b] mempunyi nti turunn pd [, b]. Jik G dlh nti turunn dri f pd [, b], mk f(t) dt = G(b) G(). Bukti. Definisikn fungsi F pd [, b] sebgi F (x) := x [, b]. Mk, F merupkn sutu nti turunn dri f pd [, b], dn f(t) dt = F (b) = F (b) F ().
Pengntr Anlisis Rel 107 Sekrng, jik G dlh nti turunn dri f pd [, b], mk G(x) = F (x) + C, x [, b], sutu konstnt C. Kren itu, sebgimn yng kit hrpkn. f(t) dt = [F (b) + C] [F () + C] = G(b) G(), Sol Ltihn 1. Buktikn bhw 1 0 x2 dx = 1 3. 2. Mislkn r Q, r 1. Buktikn bhw 1 0 xr dx = 1 r+1. 3. Mislkn f dn g kontinu pd [, b]. Buktikn, dengn menggunkn Teorem Dsr Klkulus II, bhw untuk setip λ, µ R, berlku [λf(x) + µg(x)] dx = λ f(x) dx + µ g(x) dx. 4. Mislkn f dn g kontinu pd [, b]. Buktikn Ketksmn Cuchy-Schwrz: [ ] 2 f(x)g(x) dx [f(x)] 2 dx [g(x)] 2 dx.