FUNGTOR KOVARIAN PADA KATEGORI. Soleh Munawir dan Y.D. Sumanto

Transkripsi

1 FUNGTOR KOVARIAN PADA KATEGORI Soleh Munawir YD Sumanto Program Studi Matematika Jurusan Matematika Fakultas Sains Matematika Universitas Diponegoro Jalan Prof H Soedarto, SH Tembalang Semarang solehfarda@yahoocom Abstrak Fungtor kovarian pemetaan dari kategori ke kategori Akibat dari kategori memuat kelas dari obyek-obyek, fungtor kovarian akan memetakan obyek ke obyek ke Di sisi lain, fungtor kovarian juga pemetaan mempunyai sifat-sifat seperti pada pemetaan yakni injektif, surjektif bijektif Untuk fungtor kovarian dengan pemetaan bersifat injektif, surjektif bijektif secara berturut-turut disebut dengan fungtor kovarian faithful, full, fully faithful Kata kunci : obyek, kelas,, kategori, fungtor, fungtor kovarian 1 Pendahuluan Teori kategori mulai berkembang sejak tahun 1944 Pertama kali diperkenalkan oleh Eilenberg Saunders Mac Lane Kategori sendiri memiliki sebuah kelas berisi obyek-obyek himpunan serta memenuhi aksiomaaksioma tertentu Dalam teori kategori juga terdapat fungtor kovarian fungtor kontravarian memetakan kategori ke kategori Adapun definisi fungtor kovarian fungtor kontravarian yakni memetakan setiap obyek ke obyek memetakan ke serta memenuhi aksioma-aksioma tertentu Perbedaannya yaitu pada aksioma berhubungan dengan tersebut Selanjutnya di bawah ini akan diberikan definisi dari kategori 2 Kategori Definisi 21 [2] Berikut ini akan diberikan terlebih dahulu definisi dari kategori sebagai berikut Dalam suatu kategori terdiri dari beberapa bagian yaitu : i Sebuah kelas berisi obyek-obyek, himpunan, di mana untuk setiap pasangan berurutan dari obyek-obyek di misal himpunan himpunan dari ke atau bisa ditulis dengan di ii Aturan komposisi, yaitu untuk setiap obyek-obyek di misal pemetaan : disebut dengan komposisi Jika, maka komposisi nya ditulis dengan 1

2 Untuk, maka obyek disebut domain dari f obyek disebut kodomain dari f Selain berlaku aturan (i) (ii), juga memenuhi aksioma aksioma berikut : iii Himpunan himpunan pasangan obyek saling asing, yaitu jika atau maka iv Aturan komposisi bersifat asosiatif, yaitu jika diberikan,, di mana maka v Aya identitas, yaitu untuk setiap obyek, maka terdapat identitas yakni untuk, berlaku : Selanjutnya akan diberikan contoh dari kategori Contoh 21 1 Kategori kategori himpunan di mana obyek-obyek berupa himpunan berupa fungsi antar himpunan 2 Kategori kategori himpunan relasi di mana obyek-obyek berupa himpunan berupa relasi antar himpunan 3 Kategori kategori grup dengan obyekobyek berupa grup berupa homo grup 4 Kategori kategori grup abelian dengan obyek-obyek berupa grup abelian berupa homo grup Selanjutnya akan diberikan definisi dari iso pada suatu kategori Definisi 22 [3] Diberikan kategori obyek, disebut iso jika terdapat berlaku : Morfisma memenuhi komposisi disebut sebagai invers dari f, dinotasikan dengan sebaliknya f invers dari dinotasikan dengan Dua obyek yakni dikatakan isomorfis jika terdapat iso selanjutnya dinotasikan dengan Setelah diberikan definisi iso, selanjutnya akan diberikan contoh dari iso sebagai berikut Contoh 22 1 Diberikan kategori di mana himpunan bilangan riil positif, serta, secara berturut-turut didefinisikan oleh untuk setiap Untuk 2

3 isomorfis karena 2 Diberikan kategori grup Diberikan dengan didefinisikan untuk setiap Sehingga f iso karena homo bijektif Selanjutnya akan diberikan definisi dari subkategori sebagai berikut Definisi 23 [3] Kategori subkategori dari kategori jika 1 Untuk subkelas dari 2 Untuk setiap pasangan berurutan dari obyek di, subset dari a Untuk setiap obyek, komposisi di memetakan ke b Untuk setiap, Subkategori di disebut subkategori penuh jika memenuhi untuk setiap obyek Selanjutnya akan diberikan contoh contoh dari subkategori berdasarkan definisi di atas yakni sebagai berikut Contoh 23 1 Kategori subkategori tak penuh pada 2 Kategori subkategori penuh dari Selanjutnya akan dijelaskan tentang fungtor beserta teorema contoh-contohnya 3 Fungtor kovarian Definisi 31 [3] Diberikan kategori Fungtor kovarian lebih singkat dikatakan dengan fungtor pemetaan dari obyek Fungtor ini memetakan setiap ke obyek memetakan setiap ke 1 2 Selanjutnya untuk memperjelas definisi fungtor di atas, di bawah ini akan diberikan contoh contohnya Contoh 31 1 Fungtor identitas yakni di mana sebarang kategori 2 Fungtor inklusi dinyatakan dengan di mana subkategori dari kategori 3 Fungtor konstanta di mana, sebarang kategori mana untuk setiap obyek di dipetakan ke obyek tertentu di 4 Fungtor didefinisikan 3

4 berakibat di mana kategori himpunan Teorema 31 [3] Diberikan kategori Jika diberikan fungtor maka komposisi memenuhi definisi fungtor Diberikan fungtor berakibat memetakan ke suatu pemetaan yakni untuk terdapat tunggal hal ini akan mengakibatkan pemetaan untuk, begitu juga memenuhi definisi fungtor Misal diberikan, selanjutnya akan ditunjukkan bahwa yakni berakibat 1, 2 Dengan demikian terbukti bahwa komposisi fungtor Selanjutnya akan diberikan definisi dari iso pada fungtor sebagai berikut Definisi 32 [3] Diberikan kategori Fungtor disebut iso jika terdapat fungtor, Contoh 32 Diberikan kategori iso, fungtor Di bawah ini akan dijelaskan tentang definisi fungtor full, fungtor faithful fungtor fully faithful Definisi 33 [3] Diberikan kategori, fungtor serta pemetaan dengan, 1 Jika pemetaan pemetaan injektif maka disebut fungtor faithful 2 Jika pemetaan pemetaan surjektif maka disebut fungtor full 3 Jika pemetaan pemetaan bijektif maka disebut fungtor fully faithful Teorema 32 [1] Diberikan kategori, fungtor faithful Fungtor memetakan ke injektif jika hanya jika memetakan ke injektif Diberikan fungtor faithful, pemetaan injektif untuk setiap berakibat Misalkan memetakan ke bersifat injektif Diambil sebarang 4

5 dengan Karena maka Untuk kasus 1, yakni jika maka Karena faithful maka berakibat Untuk kasus 2, jika berakibat berarti Karena injektif maka Kemudian,, mana karena Di sisi lain jika serta karena fungtor fungtor faithful maka Jadi untuk memetakan ke injektif Diberikan memetakan ke bersifat injektif Selanjutnya diambil, karena maka Selain itu, karena fungtor memetakan ke bersifat injektif maka Karena serta memenuhi maka di mana ( ) berakibat Teorema 33 [3] Diberikan subkategori dari Subkategori subkategori penuh jika hanya jika fungtor inklusi fungtor full Diberikan subkategori penuh Selanjutnya diambil sebarang, karena maka untuk setiap terdapat, jadi fungtor inklusi fungtor full Diberikan fungtor inklusi full pemetaan surjektif Diambil sebarang pemetaan fungtor full maka ada Jadi, dengan kata lain bahwa Teorema 34 [3] Diberikan kategori, fungtor fully faithful Morfisma iso jika hanya jika iso untuk setiap Diberikan fungtor fully faithful berakibat untuk pemetaan bijektif Diambil, iso berakibat iso terdapat invers yakni berakibat 5

6 Karena fungtor injektif diperoleh Dengan demikian terbukti bahwa jika fungtor iso maka iso Diberikan iso berlaku fungtor iso yakni Jadi iso Teorema 35 [3] Diberikan Jika fungtor fungtor iso maka fungtor fully faithful Fungtor fungtor iso maka terdapat fungtor fungtor fungtor fully faithful yakni pemetaan pemetaan bijektif 1 Diambil sebarang dengan selanjutnya Dengan kata lain bahwa pemetaan memenuhi injektif 2 Untuk setiap, diambil terdapat ( ) dengan kata lain bahwa suryektif Karena memenuhi injektif suryektif maka juga memenuhi bijektif Contoh 33 Diberikan kategori mana serta fungtor inklusi mana fungtor faithfull yakni untuk setiap pemetaan pemetaan injektif, untuk dengan maka berlaku Karena untuk berdasarkan definisi fungtor inklusi maka di mana Sehingga pemetaan injektif dengan kata lain fungtor faithfull 4 PENUTUP Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa sebuah kategori terdiri dari sebuah kelas dari obyekobyek serta memenuhi beberapa aksioma Fungtor pemetaan dari kategori ke kategori berakibat memetakan kelas obyek-obyeknya -nya serta memenuhi aksioma tertentu Pemetaan pada fungtor memiliki sifat-sifat seperti pada pemetaan pada himpunan yakni injektif, surjektif bijektif 6

7 mana berturut-turut disebut faithful, full fully faithful 5 DAFTAR PUSTAKA [1] Flores, Rafael Villaroel 2004 Notes On Category Mexico: Unam [2] Hadiyati 1993 Skripsi Pengantar Teori Kategori Pada Himpunan Semarang: UNDIP [3] Schubert, Horst 1972 Categories Berlin: Springer verlag 7