TUGAS 1 KULIAH KOMBINATORIKA. Oleh Nama : Iden Rainal Ihsan NIM :

Transkripsi

1 TUGAS 1 KULIAH KOMBINATORIKA Oleh Nama : Iden Rainal Ihsan NIM : PROGRAM STUDI MAGISTER PENGAJARAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG 2013

2 Sifat Simetris Kombinasi Tunjukan dengan beberapa metode bahwa Jawab: Untuk menunjukan kesamaan tersebut, diberikan penjelasan sebagai berikut: A. Menjabarkan Kombinasi Kesamaan pada soal dapat ditunjukkan dengan menjabarkan kombinasi pada ruas kiri dan kanan. Pertama ruas kiri dijabarkan sebagai berikut Kemudian penjabaran tersebut dikalikan dengan, didapat Berdasarkan definisi faktorial, kita dapat menuliskan ( ) ( ), ke dalam bentuk yang lebih sederhana yaitu n!. Begitu pula dengan penyebut, kita dapat menuliskannya dalam notasi faktorial. Sehingga penjabaran dapat ditulis Untuk melihat kesamaan, dengan langkah yang sama dengan penjabaran ruas kiri, ruas kanan dijabarkan sebagai berikut

3 Kemudian penjabaran tersebut dikalikan dengan, didapat Penjabaran ruas kiri dan ruas kanan memiliki hasil yang sama yaitu. Dari hasil yang sama tersebut dapat disimpulkan bahwa benar B. Penggunaan Koefisien Binomial Koefisien binomial dapat digunakan untuk menunjukkan kesamaan pada soal ini. Pada penjabaran kita dapat mengetahui koefisien dari setiap variabel yang ada dengan menggunakan prinsip kombinasi. Contoh apabila kita ingin mengetahui koefisien dari maka sama halnya dengan kita memasangkan 2 buah x. karena pada penjabaran ada x sebanyak n buah, jadi jika kita akan memasangkan 2 buah x untuk mendapatkan, maka sama saja kita mengambil 2 buah x dari n buah x yang ada atau.dari persepsi tersebut, dapat dijabarkan menjadi seperti berikut

4 Kombinasi k dari n dapat kita tentukan dengan menggunakan koefisien binomial dengan menentukan koefisien dari pada. Kesamaan pada soal dapat ditunjukkan dengan membandingkan koefisien pada dengan koefisien pada. Alasan digunakannya adalah untuk memunculkan pangkat negatif sehingga memungkinkan muncul variabel. Berikut adalah penjabaran dari [ ] Apabila kita memperhatikan koefisien dari pada dengan koefisien pada, maka kita bisa menemukan kesamaan. Baik pada maupun pada, memiliki sebagai koefisiennya. Dari kesamaan tersebut dapat dikatakan bahwa benar C. Ilustrasi Cerita Metode selanjutnya yang digunakan untuk menunjukkan persamaan adalah ilustrasi cerita. dapat kita artikan banyaknya cara memilih k orang dari n orang yang ada. Untuk menjelaskannya dapat menggunakan cerita, misalnya di Gebung BSc A ITB terdapat n mahasiswa yang akan masuk ke lab untuk praktikum. Lab yang digunakan

5 hanya cukup maksimal untuk k orang. Pelaksanakan praktikum akan dimulai dengan k mahasiswa yang akan praktikum di kesempatan yang pertama. Pada pemilihan k orang mahasiswa misalnya bisa dilakukan secara acak dan bebas tanpa memperhatikan NIM, nama, jam kedatangan, nilai, jenis kelamin, atau aspek pembeda lainnya. Pada pemilihan tersebut dapat dengan cara memilih k mahasiswa dari n mahasiswa yang ada untuk masuk, atau memilih (n-k) mahasiswa untuk tetap menunggu di luar lab. Dari kesamaan cara tersebut dapat dikatakan memilih k mahasiswa dari n mahasiswa sama saja dengan memilih mahasiswa sebanyak (n-k) dari n mahasiswa yang ada. Pada cerita lain misalnya lab cukup untuk (n-k) mahasiswa. Pemilihan akan dilakukan dengan memilih mahasiswa sebanyak (n-k) dari n mahasiswa untuk masuk. Cara lain bisa saja kita memilih k mahasiswa dari n mahasiswa untuk tetap menunggu di luar lab. Dari cerita tersebut dapat dikatakan bahwa cara memilih (n-k) mahasiswa dari n mahasiswa akan sama dengan cara memilih k mahasiswa dari n mahaiswa yang ada. Dari kedua cerita ilustrasi terdapat kesamaan. Kesamaan tersebut dapat menunjukkan bahwa benar. Dari ketiga metode yang telah dipaparkan, dapat kita simpulkan bahwa benar