MODUL 4 Materi Kuliah New_S1

Transkripsi

1 MODUL Materi Kuliah New_S KULIAH, TEOREMA : Jika dari vertex ke vertex dari graph G dengan n vertex terdapat suatu lintasan, maka ada lintasan yang panjangnya tidak lebih dari n. Bukti : Misalnya p = (, i,, ) adalah lintasan dari vertex ke yang panjangnya k, maka akan terdapat ( k + ) vertex yang dilalui lintasan tersebut. Misalkan k > n, ini berarti bahwa akan ada vertex j yang muncul lebih dari satu kali pada lintasan tersebut, jadi lintasannya adalah (,, i,, j,, ). Dengan menghapus sisi-sisi pada lintasan dari j kembali ke j, maka panjang lintasan dari ke akan berkurang menjadi k. Bila k > n, maka proses di atas dapat diulang sekian kali sampai panjang lintasan yang tinggal adalah tidak lebih dari n. Teorema : Jika suatu graph mempunyai tepat dua vertex berdegree ganjil maka pasti ada lintasan yang menghubungi kedua vertex tersebut. Bukti : Misalnya semua vertex dari graph G berdegree genap, kecuali vertex dan berdegree ganjil. Berdasarkan teorema sebelumnya yang mengatakan bahwa banyaknya vertex berdegree ganjil di dalam suatu graph adalah genap, maka dan termasuk dalam suatu komponen dari G, (sebab bila termasuk dalam komponen G dan termasuk komponen G, akan mengakibatkan bahwa graph G mempunyai satu vertex berdegree ganjil), sedangkan setiap komponen adalah terhubung, maka ada lintasan dari ke. Teorema : Suatu graph G = (, E ) adalah tidak terhubung jika dan hanya jika dapat dipecah menjadi dua himpunan tidak kosong dan yang saling asing sehingga e menghubungi vertex di dan vertex di. Bukti :

2 Misalnya ada dan saling asing sehingga = U dan tidak e di E sehingga e menghubungi vertex di dan vertex di. Ambil sembarang vertex A di dan vertex B di, maka antara A dan B tidak akan ada lintasan. Jadi G tidak terhubung. Sebaliknya, jika G tidak terhubung. Ambil vertex A di G. Misalnya adalah himpunan semua vertex di G yang dapat dihubungkan sebuah lintasan dengan vertex A tadi. Ambil =, maka tidak kosong dan tidak ada e di E sehingga e menghubungi vertex di G. Penyatuan (Fusion) Sepasang vertex A dan B dalam suatu graph dikatakan disatukan jika dua vertex tersebut tersebut diganti dengan satu vertex baru sehingga setiap sisi yang bertitik ujung A atau B kedua-duanya akan bertitik ujung vertex baru. Contoh : E e A e B e e E e (AB) e e F e e5 e e5 e C e (a) D C e (b) D Contoh Contoh (b) adalah graph yang diperoleh dari graph contoh (a) dengan menyatukan vertex A dan vertex B. Algoritma menentukan keterhubungan suatu graph. Step utama adalah penyatuan dua vertex yang dihubungkan oleh suatu sisi. Mula-mula ambil suatu vertex, lalu satukan semua vertex-vertex yang adjacent dengan vertex tadi.lalu ambil vertex hasil penyatuan tadi dan satukan lagi dengan dengan vertexvertex lain yang dapat disatukan.dalam hal ini, graph yang bersangkutan hanya mempunyai satu komponen atau graph ini terhubung. Jika masih ada vertex yang tinggal,

3 lakukan lagi proses seperti di atas, proses kedua kali ini menentukan komponen kedua dari graph tersebut dan seterusnya. Dengan demikian dapat ditentukan komponenkomponen dari suatu graph. Pada adjacent matrix penyatuan vertex d ke vertex I berarti melakukan operasi OR terhadap baris j dan beris i, dan terhadap kolom j dan kolom i, dengan ketentuan bahwa : + = + = + = dan + = lalu baris j dan kolom j dihapus atau diabaikan. Algoritma di atas dapat dinyatakan dengan flow chart berikut : Intialize : Subgraph g G Komponen ke c Ambil vertex vi di g Satukan semua vertex yang adjacent dengan vi ke vi banyaknya vertex yang tidak adjacent dengan v tetap? N Y Hapus vi dan semua vertex adjacent dengan vi, sisanya sebut g G c + Y apakah ada vertex di g? N cetak setiap komponen Stop

4 Contoh : Tentukan komponen-komponen dari suatu graph G dengan n = vertex jika diketahui adjacent matrixnya sebagai berikut : 5 A = 5 5

5 A = 5 Ambil vertex vertex, periksa baris, a = a =, berarti vertex dan adjacent dengan vertex, maka kerjakan operasi OR terhadap baris,, dan, dpl. Satukan vertex-vertex, dengan vertex dan namakan vertex baru vertex. Sebelum disatukan, banyak vertex yang tidak adjcent dengan vertex ada vertex. Setelah disatukan adjacent matrixnya menjadi matrix A. Dari matrix A, periksa baris lagi, a5 =, banyaknya vertex yang tidak adjacent dengan vertex ada vertex, jadi tidak sama dengan sebelum disatukan. Maka kerjakan pernyataan vertex lagi, yaitu lakukan operasi OR terhadap baris 5 dan, kolom 5 dan kolom, akan didapat matrix A. Dari matrix A, periksa baris lagi, banyaknya vertex yang tidak adjacent dengan vertex ada vertex, jadi tetap sama dengan sebelum pertanyaan vertex,ini berarti sudah tidak ada lagi vertex yang dapat disatukan. Dengan demikian terbentuklah komponen : G = (, E ) dengan = {,,,, 5 } Pada matrix A, periksa baris berikutnya, yaitu baris, ternyata tidak ada elemen yang sama dengan, berarti semua vertex tidak adjacent dengan vertex, didapat komponen kedua : G = (, E ). Dengan = { }. Kemudian lanjutkan ke baris berikutnya lagi, yaitu baris, e, =, dan banyaknya vertex yang tidak adjacent dengan vertex ada buah, lalu kerjakan operasi OR terhadap baris dan, dan kolom dan kolom, akan diperoleh matrix A.

6 5 A = 5 A =

7 A = Dari matrix A, periksa baris, a = a =, banyaknya vertex ada buah, tidak sama dengan sebelum pernyataan vertex, jadi dilakukan lagi operasi OR terhadap baris, dan, akan diperoleh matrix A5. A5 = Dari matrix A5, selidiki baris, = a,, a,, a, =, banyaknya vertex yang tidak adjacent dengan vertex ada, berkurang dari sebelum pernyataan vertex, jadi lakukan operasi OR terhadap baris, dan kolom,, dan, diperoleh oleh matrix A. A = Pada matrix A banyaknya vertex yang tidak adjacent dengan vertex ada buah, tetap banyaknya. Jadi proses pernyatuan vertex telah selesai dan terbentuk komponen ke : G = (, E ) dengan = {,,,, }. Algoritma menentukan suatu lintasan dari vertex vp ke vertex ke vertex vq dari suatu graph berarah G = (, E ) berdasarkan adjacent matrixnya.

8 Step : tentukan subset T dan subset P dari. Dimana T mengandung vertex-vertex yang dapat dicapai dari vp dengan suatu lintasan dan P mengandung initial vertex dari edgeedge yang mempunyai terminal certex di T. Pada awal, ambil T = { p } dan P = { }. Step : Cek elemen-elemen pada setiap baris ke dari adjacent matrixnya, bila di j tidak nol ( j =,,,, n), maka vertex vj dimasukkan ke T dan vi dimasukkan ke P. Pengecekan ini dimulai dengan baris ke dan diulangi terus sampai beris ke n, jika vertex vq termasuk di T, berarti ada lintasan dari vp ke vq, banyaknya vq di T mencerminkan banyaknya lintasan dari vp ke vq atau vq tidak termasuk T, dalam hal ini berarti tidak ada lintasan dari vp ke vq. Step : jika vq termasuk di T, teruskan ke step, jika tidak, stop. Step : Mulai dari vq di T cari vi di P yang korespondensi dengan vq, kemudian cari vi di T dan vj di P yang korenspondeni dengan vi, proses ini diteruskan sampai ketemu vp di P. Dengan demikian akan didapat lintasan dari vp ke vq. Step ini diulang sekian kali, tergantung dari banyaknya vq di T. Contoh : Graph G = (, E ) dengan = { v, v, v, v, v5, v, v }. 5 Dan adjacent matrix dari G adalah : 5

9 A = 5 Contoh. Misalnya ingin dicari litasan dari v5 ke v di graph G pada contoh. Step : T = { 5 }, P = { }. Step : Cek baris ke, elemen a = maka v dimasukkan ke T, dan v dimasukkan ke P, jadi T = { v5, v }, P = {, v } belum ada di t, ulangi step untuk baris ke. Step : Cek baris ke elemen a = maka v dimasukkan ke T dan v dimasukkan ke P, jadi T = { v5, v, v }, P = {, v, v }. belum termasuk di T, jika diinginkan hanya satu lintasan, lanjutkan ke step.jika diinginkan semua lintasan yang ada, ulangi step untuk baris ke,, dan. Step : Cek baris ke, semua elemen nol, maka ulangi step untuk baris ke 5. Step : Cek baris ke 5 elemen a5 = maka vertex v dimasukkan ke T dan v5 dimasukkan ke P, jadi T = { v5, v, v, v, v, v, v }, P = {, v, v, v, v, v, v5 }. Step : Cek baris ke elemen a5 = maka vertex v5 dimasukkan ke T dan v dimasukkan ke P, jadi T = { v5, v, v, v, v, v, v, v5 }, dan P = {, v, v, v, v, v, v5, v }. Step : Cek baris ke elemen a = maka vertex v dimasukkan ke T dan v dimasukkan ke P, jadi T = { v5, v, v, v, v, v, v, v5, v }, dan

10 P = {, v, v, v, v, v, v5, v, v }. Step : Karena di T ada vertex v, maka lintasan dari v5 ke v ada, lanjutkan ke step. Step : Untuk v di T, vertex di P yang sesuai adalah v, untuk v di T, vertex di P yang sesuai adalah v, untuk v di T, vertex di P yang sesuai adalah v, untuk v di T, vertex di P yang sesuai adalah v, untuk v di T, vertex di P yang sesuai adalah v5. Jadi solusi yang kedua adalah ; v5 v v v v v. Di T terdapat dua v, maka lanjutkan step sekali lagi : Step : Untuk v di T, vertex di P yang sesuai adalah v, untuk v di T, vertex di P yang sesuai adalah v, untuk v di T, vertex di P yang sesuai adalah v, untuk v di T, vertex di P yang sesuai adalah v5. Jadi solusi yang kedua adalah ; v5 v v v v. Lintasan terpendek : Misalnya graph G = (, W ) adalah suatu graph berbobot. Timbul masalah mencari lintasan terdekat antara dua vertex tertentu. Algoritma untuk mencari lintasan terdekat dapat manggunakan matrix jarak yang didefinisikan sebagai berikut : Suatu graph berbobot G yang terdiri dari n vertex dapat dinyatakan oleh matrix jarak D = (dij) dimana Dij = bobot dari sisi yang dihubungkan vertex vi dan vj, jadi dij >=. dij = dij = (), jika tidak sisi yang menghubungkan vertex vi dan vj. Contoh : Matrix D untuk graph berbobot.

11 5 Adalah : 5 D = 5 Contoh Algoritma : Jarak terdekat dari vertex ke vertex vt. Algoritma ini memberi setiap vertex dua macam label, yang satu label sementara yang satu lagi label tetap.pada awal vertex s diberi label tetap dan label sementara untuk n vertex lainnya. Lalu lakukan iterasi yang memberikan label tetap kepada vertex lainnya berdasarkan aturan sebagai berikut :. Misalnya vi adalah vertex terakhir yang baru diberi label tetap. Setiap vertex vj yang belum diberi label tetap mendapat label sementara baru sebesar. Min [ label lama vj, di j + label lama di vj ].. Pada setiap iterasi cari label sementara terkecil, maka label ini akan menjadi label tetap untuk vertex yang bersangkutan. Bila ada dua label terkecil yang sama, ini akan berarti ada dua lintasan terdekat.

12 Step dan diulang sampai vertex vt mendapat label tetap. Label tetap dari vertex vt inilah yang menunjukkan jarak terdekat dari vs ke vt. Algoritma di atas dapat pula digambarkan dalam bagan arus berikut :

13 Read D, n, s, t Label Label (s) ect s ect (s) j m ECT (J) =? NO z dij + LABEL (i) YES NO j j + NO j = n? Z < LABEL (J)? YES YES j j + i p LABEL (j) z NO P = L? YES LABEL (J) > m? YES NO CETAK LABEL ( t ) m p LABEL (J) j STOP Misalnya ingin dicari jarak dari vertex v ke vertex v dari graph berbobot pada contoh. Mulai dari vertex v diberi label, vertex lainnya diberi label, maka dengan mengikuti bagan arus di atas akan dperoleh urutan pemberian label sebgai berikut : 5

14 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 5,,,,,,,,,,,,,, 5,,,,,,,,,,,,,, 5,,,,,,,,,,,,,, 5,,,,,,,,,,,,,, 5,,,,,,,,,,,,,, 5,,,,,,,,,,,,,, 5,,,,,, Arti tiga bilangan untuk setiap vertex di atas adalah Bilangan pertama adalah label baru untuk vertex ybs. Label ini adalah label tetap bila bilangan ketiga adalah, dan label ini adalah label sementara bila bilangan kedua adalah.bilangan ketiga menunjukkan vertex ybs. baru diberi label tetap bila bilangan ketiga adalah. Dari atas tidak hanya diperoleh jarak terdekat dan lintasan terdekat dari v ke v, juga dapat pula disimpulkan bahwa jarak terdekat dari v ke v adalah, dengan lintasan ( v, v, v ) dari v ke v adalah, dengan lintasan ( v, v ) dari v ke v5 adalah 5, dengan lintasan ( v, v, v5 ) dari v ke v adalah, dengan lintasan ( v, v, v ) dari v ke v adalah, dengan lintasan ( v, v, v, v ) Materi Kuliah New_S KULIAH (sambungan) LINTASAN EULER dalam suatu graph tak terarah adalah lintasan yang melalui setiap sisi tetap satu kali dalam graph tersebut. Sirkuit Euler dalam suatu graph tak terarah adalah sirkuit yang melalui tetap satu kali dalam graph tersebut. Contoh : Persoalan jembatan konigsberg

15 . Contoh a Contoh b Contoh a, menggambarkan dua pulau C dan D ( yang terbentuk oleh sungai A dan B oleh jembatan ). Timbul persoalan apakah seseorang dapat melintasi ketujuh jembatan tersebut masingmasing tepat satu kali jika berangkat dari salah satu daratan A, B, C atau D dan kembali ke daratan semula. Contoh b adalah graph G yang menyatakan hal yang digambarkan pada contoh a. ertex-vertexnya menyatakan daratan A, B, C dan D, sisinya menyatakan jembatanjembatan yang menghubungkannya. Dengan menyatakan jembatan konigsberg dengan graph G maka persoalan di atas dapat diterjemahkan menajadi : apakah ada sebuah lintasan Euler di graph G? Untuk menjawab persoalan di atas dibutuhkan teorema di bawah ini : TEOREMA : Graph tak terarah G mempunyai lintasan Euler graph tersebut terhubung dan tidak memiliki vertex dengan derajat ganjil. Bukti : Misalnya G mempunyai lintasan Euler, berarti setiap vertex dari G selalu ada lintasan yang menghubungkannya, ini berarti bahwa G terhubung. Pada lintasan Euler, bila lintasan melalui suatu vertex maka selalu ada sisi yang dilalui dan belum pernah dilalui sebelumnya dengan perkecualian pada vertex awal dan vertex akhir, ini berarti bahwa setiap vertex berderajat genap kecuali vertex ( vertex awal dan vertex akhir lintasan Euler tersebut ) berjarak ganjil. Bila vertex awal lintasan = vertexakhir lintasan, ini berarti bahwa tidak ada vertex berderajat ganjl.

16 Graph G terhubung, berarti setiap vertex selalu ada lintasan. Buat sebuah lintasan P mulai dari vertex sembarang bila G tak memiliki vertex berderajat ganjil atau mulai dari vertex berderajat ganjil bila ada, sedemikian rupa sehingga tidak ada sisi yang ditelusuri lebih dari kali.selama lintasan P masuk ke vertex derajat genap, lintasan P pasti dapat keluar ke sisi yang belum pernah ditelusuri. Dalam hal G tak memiliki vertex berderajat ganjil, lintasan tersebut akan kembali ke vertex awal, lintasan tersebut akan menjadi sirkuit Euler. Ada dua kemungkinan yang terjadi, pertama lintasan P melalui semua sis graph G, berarti P adalah lintasan Euler. Kedua, masih ada sisi yang belum ditelusuri oleh lintasan P. Jika belum semua sisi belum ditelusuri hilangkan sisi yang sudah dilalui lintasan P, akan diperoleh graph bagian G yang terbentuk dari sisa sisi-sisi. Semua vertex di G berderajat genap dan graph bagian G pasti menyinggung lintasan P dibeberapa vertex karena graph G terhubung. Buat lagi lintasan P seperti tadi di sub graph G mulai dari salah satu vertex singgung P, di sini vertex awal lintasan P akan sama dengan vertex akhir lintasan P yaitu vertex, karena semua vertex berderajat genap. Gabungkan dengan lintasan P dan lintasan P melalui vertex v. bila masih ada sisi yang tertinggal, maka hasil gabungan lintasanlintasan yang diperoleh adalah lintasan Euler. Contoh : E E j k j k c b F A D C e C F b e D a d B B Contoh a Contoh b Pada contoh a dapat dibuat lintasan P = ( a, d, m, g, j, h ). Belum semua sisi ditelusuri oleh P, maka terjadi subgraph G pada contoh b. Subgraph G di vertex B, P dan D. Setiap vertex di G berderajat genap. Buat lintasan P dimulai dari salah satu B,

17 D, F, misalnya dimulai dari B, P = (i, e, k, f, b, j, c). Dengan demikian semua sisi di G telah masuk P atau P.Lintasan Eulernya adalah P hasil gabungan P dan P. P dan P digabung melalui vertex singgung yang dipakai untuk melalui P yaitu B, jadi P = (a, e, k, f, b, d, m, m, g, i, h ). AKIBAT : Graph tidak terarah mempunyai genap graph tersebut terhubung dan semua vertex berderajat Contoh : A B C B j i C e h g c k D e a h f g b c E m k D a f F b E m F Contoh 5a Contoh 5b Graph G pada contoh 5a setiap vertexnya berderajat genap, maka G mempunyai sirkuit Euler, yang dapat dibentuk sebagai berikut : Ambil lintasan tertutup ( sirkuit ) S = ( j, d, h, g, f ) dimulai dari vertex sembarang A, tidak semua sisi dari G masuk sirkuit S. Subgraph G bersinggungan dengan sirkuit S di vertex B, C, D, dan E. Bentuk lagi sirkuit S mulai dari misalnya B, S = ( e, a, b, c, m, k ). Sekarang semua sisi telah tertelusuri tepat satu kali, sirkuit Eulernya adalah S = ( j, e, a, b, c, m, k, d, i, h, g, f ) Pada contoh a mempunyai lintasan Euler tapi tidak mempunyai sirkuit Euler, sedangkan pada contoh 5a mempunyai lintasan Euler juga sirkuit Euler.

18 Kembali kepada persoalan jembatan Konigeberg, graph G pada contoh b mempunyai vertex berderajat dan berderajat 5, jadi menurut teorema di atas, graph G tidak mungkin mempunyai lintasan Euler atau sirkuit Euler. Perluasan pada Graph berarah : TEOREMA : a. Graph berarah G mempunyai sirkuit Euler. G terhubung. din ( v ) = dout ( v ) untuk setiap vertex dari G. b.graph berarah G mempunyai lintasan Euler. G terhubung. din ( v ) = dout ( v ) untuk setiap vertex di G kecuali mungkin dua vertex yaitu vertex awal v dan vertex akhir v. Dalam hal ini berlaku : din ( v ) = dout ( v ) + din ( v ) = dout ( v ) +