Gambar 1.1 BAB II LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 9 Gambar 1.1 BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Probabilitas Dasar Andrei Kolgomorov ( ) meletaan landasan matematis teori peobabilitas dan teori acak. Dalam tulisaya, Kolgomorov menggunakan teori probabilitas dalam mempelajari pergerakan planet dan turbulensi aliran udara. Kontribusi penting laiya adalah proses stokastik, informasi, mekanika statistik dan dinamika nonlinear. Konsep probabilitas memungkinkan peneliti dalam mengolah statistika deskriptif ke dalam statistika inferensial. Asal teori probabilitas adalah modelisasi peluang permainan, pada pengambilan kartu dari satu set kartu atau permainan dadu. Probabilitas muncul dari kolaborasi antara Blaise Pascal dan Pierre de Fermat dalam menentukan peluang dari suatu permainan. Sejak kolaborasi tersebut probabilitas lebih banyak digunakan kepada permainan hingga abad ke-

2 1 18, ketika Pierre de Laplace dan Karl F Gauss menggunakan aturan dasar probabilitas terhadap masalah fisis laiya. Beberapa definisi dan aksioma yang akan digunakan dalam hal ini berkaitan dengan peristiwa dan probabilitas acak. Definisi 2.1 Eksperimen adalah suatu proses yang hasil dari keluaraya tidak diketahui secara pasti di mana eksperimen tersebut diasumsikan dapat di ulang dalam suatu waktu dan dibawah kondisi yang identik. Setiap pengulangan disebut sebagai repetisi. Eksperimen acak memenuhi tiga keadaan berikut: a) Himpunan seluruh keluaran tidak diketahui pasti dalam tiap percobaan. b) Dalam kedaan khusus, tidak diketahui keluaran mana yang akan terjadi. c) Eksperimen dapat diulang dengan keadaan yang mirip. 2.2 Peubah Acak Suatu eksperimen memuat sejumlah karakteristik yang terukur. Tetapi peneliti pada umumnya berkonsentrasi pada beberapa karakteristik tertentu pada suatu eksperimen. Apakah pada nilai karakteristik di sekitar pusat data atau pada penyebaran data. Pengelompokan keluaran suatu eksperimen diwakili oleh bilangan sederhana bertujuan untuk memudahkan deskripsi. Deskripsi tersebut diperlukan, tetapi di lain kasus hal itu berguna untuk menyatakan suatu bilangan sebagai perwakilan suatu keluaran di ruang sample. Definisi 2.2 Peubah acak adalah seluruh nilai bernilai riil yang tiap-tiap nilainya diasosiasikan dengan keluaran dari suatu eksperimen acak Peubah Acak Diskrit Definisi 2.3

3 11 Jika himpunan seluruh nilai yang mungkin dari peubah acak XX adalah suatu himpunan yang dapat dicacah sedemikian rupa, xx 1, xx 2, xx 3,, xx atau xx 1, xx 2, xx 3, sehingga X disebut sebagai variabel acak diskrit. Bagi suatu peubah acak diskrit XX, didefinisikan fungsi massa peluang PP xx (xx) sebagai: PP xx (xx) = PP(XX = xx) 2. Fungsi massa peluang PP(xx) bernilai positif, untuk sejumlah nilai xx tercacah. Dengan kata lain, jika XX mengambil salah satu dari nilaixx 1, xx 2, maka peubah acak diskrit X dengan nilai yang mungkin xx 1, xx 2, xx 3,, xx fungsi massa peluang adalah fungsi yang memenuhi kriteria berikut: 1). pp(xx ii ), ii = 1,2, 2). pp(xx ii ) = 1 ii=1 3). pp(xx ii ) = PP(XX = xx ii ) Peubah Acak Kontinu Definisi 2.5 Suatu peubah acak XX berdistribusi kontinu jika terdapat fungsi ff taknegatif, terdefinisi pada garis bilangan riil, sehingga setiap interval pada bilangan riil (berbatas atau tak berbatas), probabilitas bahwa X yang berada pada interval tersebut merupakan jumlahan daerah f pada interval tersebut. Sebagai contoh, keadaan yang menggambarkan definisi diatas, dengan batas dalam interval tertutup [aa, bb]. bb PP(aa xx bb) = ff(xx)dddd aa Berimplikasi pada:

4 12 PP(xx aa) = bb ff(xx)dddd aa ff(xx) dan PP(XX bb) = 2.2 Berdasarkan karakteristik f distribusi variabel acak kontinu dengan cara yang sama menyatakan bahwa fungsi probabilitas berkarakteristik distribusi peubah acak kontinu. Fungsi kepadatan peluang ff dapat digunakan untuk menggambarkan distribusi probabibilitas peubah acak kontinu. Jika suatu interval memuat kemiripan nilai X, probabilitasnya besar dan berkorespondensi dengan ff(xx). Memenuhi ketiga kaidah berikut: 1). ff(xx) 2). ff(xx) dddd = 1 bb 3). PP(aa xx bb) = ff(xx) dddd aa Distribusi probabilitas adalah visualisasi peubah acak XX dalam bentuk kurva. Ketika XX merupakan peubah acak berbatas, himpunan probabilitas yang digambarkan terhadap nilai yang mungkin disebut distribusi probablitas XX. Jika XX adalah peubah acak berbatas, dengan nilai-nilai 1, 2, maka daftar distribusi probabilitas berkaitan dengan XX = 1, XX = 2,. Jumlah seluruh probabilitas selalu sama dengan 1. Ingat bahwa XX merupakan variabel acak, sedangkan xx merupakan nilai spesifik dari variabel acak XX. Berakibat jika xx = 2 maka probabilitas PP(XX = xx) berarti PP(XX = 2), probabilitas bahwa XX adalah 2. Hal yang sama jika YY merupakan peubah acak maka PP(YY = yy) probabilitas YY dengan nilai khusus yy. 2.3 Ekspektasi dan Varians Ekspektasi

5 13 Dalam suatu pengukuran eksperimen, hasil pengukuran eksperimen seringkali menghasilkan variasi. Ukuran-ukuran yang menggambarkan karakteristik sampel berkorespondensi dengan karakteristik populasi. Secara sederhana karakteristik tersebut digambarkan sebagai nilai harapan atau lebih dikenal dengan mean. Secara matematis dinyatakan oleh formula berikut: 1). Peubah acak diskrit μμ xx = EE[XX] = xx ii PP(xx ii ) 2.3 ii=1 2). Peubah acak kontinu μμ xx = EE[XX] = xxxx(xx)dddd 2.4 Sifat-sifat nilai ekspektasi 1. EE[bb] = bb 2. EE[aaaa + bb] = aaaa[xx] + bb 3. EE[XX XX ] = EE[XX 1 ] + + EE[XX ] 4. EE[gg(XX, YY) ± h(xx, YY)] = EE[gg(XX, YY)] ± E[h(XX, YY)] 5. EE[gg(XX) ± h(xx)] = EE[gg(XX)] ± E[h(XX)] 6. EE(XX. YY) = EE(XX) E(YY) Bukti sifat 1. Pada peubah acak kontinu berlaku; EE[XX] = xxxx(xx)dddd EE[bb] = bb Sustitusi XX = bb maka EE[bb] = berlaku EE[bb] = bb ff(xx)dddd bbbb(xx)dddd, karena b merupakan konstanta

6 14 ff(xx)dddd = 1 EE[bb] = bb Bukti sifat 5. EE[gg(XX) ± h(xx)] = EE[gg(XX)] ± E[h(XX)] EE[XX] = xxxx(xx)dddd Substitusi Y = gg(xx) ± h(xx) EE[YY] = YYYY(xx)dddd = [ gg(xx) ± h(xx)]ff(xx)dddd Berlaku EE[YY] = gg[xx]ff(xx)dddd ± h[xx]ff(xx)dddd EE[gg(XX) ± h(xx)] = gg[xx]ff(xx)dddd ± h[xx]ff(xx)dddd EE[gg(XX) ± h(xx)] = EE[gg(XX)] ± EE[h(XX)] Varians. Pengukuran suatu variabel memungkinkan untuk mempermudah pemahaman mengenai suatu data. Untuk mengetahui seberapa besar tingkat variabilitas sampel yang berhubungan dengan populasi dinyatakan didefinisikan oleh Var[X] = EE[(XX μμ) 2 ], secara jelas diperlihatkan oleh: 1). Variabel acak diskrit σσ 2 xx = Var[X] = (XX ii=1 μμ) 2 pp(xx ii ) 2.5 2). Variabel acak kontinu

7 σσ 2 xx = Var[X] = (XX μμ) 2 ff(xx)dddd 2.6 Varians untuk kasus kontinu dapat dijabarkan sebagai berikut Var[X] = EE[(XX μμ) 2 ] Var[X] = (XX μμ) 2 ff(xx)dddd = (XX 2 2XXμμ + μμ 2 )ff(xx)dddd = XX 2 ff(xx)dddd 2μμ XXXX(xx)dddd + μμ 2 ff(xx)dddd Var[X] = EE[XX 2 ] 2μμμμ[XX] + μμ 2 Karena μμ = EE[X] maka diperoleh: Var[X] = EE[XX 2 ] (EE[X]) Sifat-sifat varians: 1. Var[c] = 2. Var[ccX] = cc 2 Var[X] 3. Var[X + c] = Var[X] 4. Var[X X ] = Var[X 1 ] + + Var[X ] Distribusi Gamma dan Turunan Kalkulus Definisi 2.4

8 Jika ff adalah sebuah fungsi dan cc merupakan satu titik interior pada domain ff. Jika ff memiliki nilai maksimum atau minimum lokal di cc, maka 16 ff (cc) = atau ff (cc) tidak ada 2.8 Teknik pengintegralan parsial dd dddd [ff(xx)gg(xx)] = ff(xx)gg (xx) + gg(xx)ff (xx) 2.9 Misalkan uu = ff(xx) dan vv = gg(xx) dddd = ff (xx) dan dddd = gg (xx)dddd Persamaan 2.9 menjadi dd dddd [uuuu] = uu vv + uuvv Perhatikan persamaan (2.9) untuk memperoleh formula integral parsial, ruas kiri dan kanan dilakukan pengintegralan, sehingga diperoleh: dd dddd [ff(xx)gg(xx)] = ff(xx)gg (xx)dddd + gg(xx)ff (xx)dddd ff (xx)gg(xx)dddd + gg(xx)ff (xx)dddd = ff(xx)gg(xx) ff(xx)gg (xx)dddd = ff(xx)gg(xx) gg(xx)ff (xx)dddd

9 17 uu dddd = uuuu vv dddd 2.1 Definisi improper integral tipe-i (a) Jika ff(xx)dddd aa aa ff(xx)dddd = lim ff(xx)dddd aa Menyatakan bahwa limit tersebut eksis. bb (b) Jika ff(xx)dddd bb ff(xx)dddd = lim bb ff(xx)dddd Menyatakan limit tersebut eksis Improper integral ada untuk setiap bilangan aa, maka; eksis untuk setiap bilangan bb, maka aa ff(xx)dddd dan bb ff(xx)dddd yang dikaitkan ada dan divergen jika limitnya tidak ada. (c) Jika aa ff(xx)dddd dan aa ff(xx)dddd = ff(xx)dddd aa + ff(xx)dddd aa Distribusi dan Fungsi Gamma dikatakan konvergen jika limit ff(xx)dddd konvergen, maka didefinisikan: Andaikan suatu peristiwa Poisson terjadi dengan konstanta rate λλ per unit waktu. Misalkan variabel acak X menyataka sebagai waktu tunggu kejadian ke rr. Maka X memiliki pdf ff xx (xx), di mana ff xx (xx) = λλrr (rr 1)! xxrr 1 ee xx, xx > 2.1 Bukti

10 Pembuktian formula untuk ff xx (xx) dilakukan dengan mendifferensialkan fungsi kumulatif, FF xx (xx). Misalkan XX sebagai waktu tunggu peristiwa ke-r. Maka, FF XX (xx) = PP(XX xx) = 1 PP(XX > xx) FF XX (xx) = 1 rr 1 ee = = 1 (sedikitnya ada rr kejadian terjadi pada interval [, xx]) (λλλλ ) (λλλλ)! 2.11 Untuk memperoleh fungsi padat peluaya maka fungsi kumulatif pada kejadian yang berlangsung dalam interval [, x] adalah variabel acak Poisson dengan parameter λx, diturunkan terhadap x, diperoleh fungsi padat peluang sebagai berikut ff xx (xx) = FF xx(xx) = dd dddd 1 18 rr 1 ee = λλλλ (λλλλ)! 2.12 Berdasarkan aturan differensial dari perkalian dua buah fungsi pada persamaan (2.9), misalkan uu = ee λλλλ, vv = rr 1 ff XX (xx) = λλλλ = rr 1 = λλee = rr 2 = λλee = rr 2 = = λλee λλλλ (λλλλ)! λλλλ (λλλλ)! λλλλ (λλλλ)! λλλλ (λλλλ )! = λλee λλλλ (λλλλ)rr 1 (rr 1)! (λλλλ )! rr 1 (λλλλ) 1 λλλλ λλλλ ( 1)! = rr 1 (λλλλ) 1 λλλλ λλee ( 1)! =1 rr 2 (λλλλ)rr 1 (λλλλ) λλλλ + λλee λλee λλλλ (rr 1)!! + λλee λλλλ (λλλλ )rr 1 (rr 1)! = rr 2 (λλλλ ) = λλee λλλλ!

11 19 ff xx (xx) = = λλee λλλλ (λλ) rr 1 (xx) rr 1 (rr 1)! = (λλ)rr 1+1 (xx) rr 1 ee λλλλ (rr 1)! λλrr (rr 1)! xxrr 1 ee λλλλ, xx > Definisi 2.5 Diberikan bilangan riil r > dan λ >, peubah acak X dikatakan sebagai fungsi gamma pdf dengan parameter r dan λ jika: ff xx (xx) = Fungsi Gamma Γ(rr) = xx rr 1 ee xx dddd λλrr (rr 1)! xxrr 1 ee λλλλ, xx > atau GG(xx: rr, λλ) = λλrr Γ(rr) xxrr 1 ee λλλλ, xx > Beberapa pembuktian fungsi gamma untuk membantu penurunan rumus dalam 2.13 distribusi gamma. Mula-mula akan dicari nilai dari Γ 1 2, substitusi nilai rr = 1 2 ke pers. (2.13) Γ 1 2 = xx1 2 1 ee xx dddd Γ 1 2 = lim xx 2ee xx dddd 1 Fungsi diatas dijadikan kedalam bentuk polar, maka pertama-tama misalkan sebagai berikut: Substitusi xx = uu 2 dddd dddd = 2uu ke persamaan (2.14) Γ 1 = lim 2 (uu2 ) 1 1 2ee uu2 2 uuuuuu 2.14

12 2 Γ 1 = lim 2 1 uu 1 ee uu2 2 uuuuuu II 2 = ee uu2 dddd ee vv2 dddd = II 2 = 2ππ ee rr 2 rrrrrrrrrr Γ 1 = lim 2 1 uu 1 ee uu2 2 uuuuuu Dihasilkan Γ 1 = ππ 2 2ππ = 1 2 lim ee uu2 dddd ee uu2 vv 2 dddd dddd = dddd ee rr 2 2rrrrrr = 4π = 1 2 lim ee uu2 dddd = ππ Substitusi rr = 1 ke pers (2.13) diperoleh: Γ(1) = xx 1 1 ee xx dddd = ee xx dddd = lim ee xx dddd = lim ee xx = lim {( ee ) ( ee )} = 1 ee + ee = + 1 = 1 Dihasilkan Γ(1) = 1 Substitusi rr = 2 ke pers (2.13) diperoleh: Γ(2) = xx 2 1 ee xx dddd

13 21 Γ (2) = xxee xx dddd = lim xxee xx dddd = lim xxee xx + lim ee xx dddd = lim xxee xx + lim ee xx dddd = lim ee xx dddd = 1 Γ(2) = ( ee + ee ) + lim ee xx dddd Γ(2 ) = xxee xx dddd Diperoleh nilai Γ(2) = xxee xx dddd = 1 = ( + ) + 1 Substitusi rr = 3 ke pers (2.13) diperoleh: Γ(3) = xx 3 1 ee xx dddd Γ(3) = lim xx 2 ee xx dddd = lim xx 2 ddee xx = lim xx 2 ee xx + 2 lim xxee xx dddd

14 22 Γ(3) = lim xx 2 ee xx + lim xxee xx dddd Γ(3) = {( 2 ee ) ( 2 ee )} + 2 lim xxee xx dddd Γ(3) = ( + ) + 2 lim xxee xx dddd Γ(2) = Γ(3) = 2 xxee xx dddd xxee xx dddd = 1 maka Γ(3) = 2Γ(2) Γ(3) = 2 Diperoleh Γ(3) = xx 3 1 ee xx dddd = 2 Substitusi rr = 4 ke pers (2.13) diperoleh: Γ(4) = xx 4 1 ee xx dddd Γ(4) = lim xx 3 ee xx dddd Γ(4) = lim xx 3 ee xx dddd = lim xx 3 ddee xx = lim xx 3 ee xx + 3 lim xx 2 ee xx dddd = lim xx3 ee xx + 3 lim xx 2 ee xx dddd = lim ( 3 ee + 3 ee ) + 3 lim xx 2 ee xx dddd

15 23 = 3 ee + 3 ee + 3 lim xx 2 ee xx dddd = ( + ) + 3 lim xx 2 ee xx dddd Γ(4) = ( + ) + 3Γ(3) Γ(4) = 6 Diperoleh Γ(4) = xx 4 1 ee xx dddd = 6 Akan dicari formula ke-r untuk fungsi gamma sebagai berikut: ΓΓ(rr) = xx rr 11 ee xx dddd Γ(rr) = lim xx rr 1 ee xx dddd = lim xx rr 1 ddee xx Γ(rr) = lim xx rr 1 ee xx + lim ee xx ddxx rr 1 = rr 1 ee + rr 1 ee + (rr 1) xx rr 2 ee xx dddd Γ(rr) = + + (rr 1) lim xx rr 2 ee xx dddd Γ(rr) = (rr 1) lim xx rr 2 ddee xx Γ(rr) = (rr 1) lim xx rr 2 ee xx (rr 2) lim xx rr 3 ee xx dddd

16 24 Γ(rr) = (rr 1) ( rr 2 ee ) ( rr 2 ee ) (rr 2) lim xx rr 3 ee xx dddd Γ(rr) = (rr 1) (rr 2) lim xx rr 3 ee xx dddd Γ(rr) = (rr 1)(rr 2) lim xx rr 3 ee xx dddd Γ(rr) = (rr 1)(rr 2) lim xx rr 3 ddee xx Γ(rr) = (rr 1)(rr 2) lim xxrr 3 ee xx (rr 3) lim xx rr 4 ee xx dddd Γ(rr) = (rr 1)(rr 2) ( rr 3 ee ) ( rr 3 ee ) (rr 3) lim xx rr 4 ee xx dddd Γ(rr) = (rr 1)(rr 2) (rr 3) lim xx rr 4 ee xx dddd Γ(rr) = (rr 1)(rr 2)(rr 3) lim xx rr 4 ee xx dddd Γ(rr) = (rr 1)(rr 2)(rr 3) xx (rr 3) 1 ee xx dddd

17 Pada persamaan terakhir diketahui bahwa nilai terakhir adalah perkalian berulang menurun maka untuk nilai rr > 1 maka gamma rr menjadi: 25 Γ(rr) = (rr 1)(rr 2)(rr 3){Γ(rr 3)} Γ(rr) = (rr 1)Γ(rr 1) Γ(rr) = (rr 1)(rr 2)(rr 3) Γ(rr) = (rr 1)!, di mana rr > 1 Γ(xx + 1) = xxγ(xx) = xx! Γ(xx + 1) Γ(xx) = xx Γ(xx + ) Γ(xx) = xx + > xx(xx + 1) (xx + 1) (xx + )! xx! = (xx + 1) di mana (xx + 1) = xx(xx + 1) (xx + 1) untuk > xx! =! ( + 1) xx! xx ( + 1) xx = (xx + 1) (xx + 1) xx lim! xx (xx + 1) = lim! xx xx(xx + 1) (xx + 1) Diperoleh identitas! xx Γ(xx) = lim xx(xx + 1) (xx + 1) Identitas Weierstrass! xx xx(xx + 1) (xx + 1) = ee xx llll () ee xx 1 ee xx 2 xx 1 + xx/1 1 + xx/2 ee 1 + xx/ xx

18 lim! xx xx(xx + 1) (xx + 1) = lim ee Γ(xx) = lim ee 1 xx llll () 1 1 xx llll () 1 Γ(xx) = ee γγγγ 1 xx lim = + =1 eexx/ Γ(xx) = ee γγγγ 1 xx 1 + xx =1 Kedua ruas dilogaritmakan diperoleh ee xx 1 ee xx xx 1 + xx/1 1 + xx/2 ee 1 + xx/ ee xx 1 ee xx 2 xx 1 + xx/1 1 + xx/2 ee 1 + xx/ eexx/ 1 + xx/ llll{γ(xx)} = log(xx) γxx + xx pp llll 1 + xx pp pp=1 Berdasarkan persamaan terakhir diperoleh pppppp atau ffffffffffff dddddddddddddd yang dinotasikan oleh ψ(xx) untuk suatu bilangan bulat tak nol atau negatif dinyatakan dalam turunan logaritma Γ(xx) xx xx 26 ψ(x) = dd dddd {log [Γ(xx)]} ψ(x) = Γ (xx) Γ(xx) = γ 1 xx + 1 pp 1 xx + pp pp=1 Γ (xx) Γ(xx) = γ + 1 pp 1 xx + pp 1 pp=1 xx, 1, 2, γγ = lim pp log (pp) = pp 2.5 Estimasi Estimator dalah kuantitas yang didasarkan dari observasi sampel yang nilainya diambil sebagai indikator dari nilai parameter populasi yang tidak diketahui (sebagai contoh, rata-rata sampel xx sering digunakan sebagai estimator dari mean populasi yang tidak diketahui μμ) semakin lama semakin besar. Peubah acak dalam bentuk fungsi massa atau padat peluang adalah diketahui, tetapi distribusi bergantung pada

19 parameter tak diketahui yang memiliki nilai dalam himpunan yang disebut ruang parameter. 27 Dalam estimasi, sampel acak diambil dari distribusi untuk memperoleh beberapa informasi dari parameter tak diketahui. Dilakukan perulangan sebanyak eksperimen independen, sampel observasi XX 1, XX 2,, XX dan lakukan pendugaan nilai parameter menggunakan observasi xx 1, xx 2,, xx. Fungsi XX 1, XX 2,, XX digunakan menduga nilai parameter, statistik uu(xx 1, XX 2,, XX ) disebut sebagai penduga parameter yang dicari. Perhitungan uu(xx 1, xx 2,, xx ) dilakukan mendekati nilai parameter sebenarnya. Karakteristik populasi oleh bilangan tunggal berdasarkan pada sampel data dan mewakili nilai yang menggambarkan karakteristik populasi disebut dugaan titik Moments Estimator (MMes) Definisi 2.9 Secara sederhana estimasi parameter berdasarkan metode momen adalah dengan menyamakan momen populasi dengan momen sampel yang bersesuaian, dituliskan oleh: μμ 1 = mm 1 μμ 2 = mm 2 μμ = mm Persamaan di sisi sebelah kiri bergantung kepada distribusi parameternya. Persamaan di sisi sebelah kanan dapat dihiting berdasarkan data yang digunakan. Momen populasi ke didefinisikan sebagai μμ = E(XX ) Momen sampel ke disefinisikan oleh: n mm = 1 n XX ii Mengestimasi μμ dari sampel (XX 1,, XX ). Momen sampel pertama adalah mean sampel XX i=1

20 28 Misalkan XX 1, XX 2,, XX adalah peubah acak kontinu dan ff xx (xx) merupakan fungsi padat peluang dengan parameter tidak diketahui, θθ 1, θθ 2,, θθ. Momen pertama peubah XX, jika ada diberikan oleh integral berikut: EE XX jj = xx jj ff xx (xx, θθ 1, θθ 2,, θθ )dddd, jj = 1,2,, Momen sampel ke jj merupakan aproksimasi terhadap moment teoretis ke jj. Metode momen mengestimasi parameter tidak diketahui θθ 1, θθ 2, dan θθ terhadap model yang parameternya tidak diketahui adalah penyelesaian dari persamaan simultan xxff xx (xx, θθ 1, θθ 2,, θθ )dddd = 1 xx ii ii=1 xx 2 ff xx (xx, θθ 1, θθ 2,, θθ )dddd = 1 2 xx ii ii=1 xx ff xx (xx, θθ 1, θθ 2,, θθ )dddd = 1 xx Peubah acak diskrit dengan pmf pp xx (xx: θθ 1, θθ 2,, θθ ) metode momen mengestimasi penyelesaian persamaan simultan xx jj xx ii=1 pp xx (xx: θθ 1, θθ 2,, θθ ) = 1 xxjj xx Prosedur Metode Moments Tahapan pendugaan metode moments melibatkan tiga langkah dasar berikut ini: Misalkan terdapat paramerter yang akan diestimasi, msalkan θθ = (θθ 1,, θθ ). 1. Tentukan momen pupulasi, μμ, = 1, 2,,. μμ ll akan memuat satu atau lebih parameter θθ 1,, θθ

21 29 2. Tentukan hubungkan momen sampel, mm, = 1, 2,,. Banyaknya sampel moment harus sama banyak dengan parameter yang akan di estimasi. 3. Dari sistem persamaan, μμ = mm, = 1, 2,,, selesaikan parameter θθ = (θθ 1,, θθ ) yang merupakan penduga momen untuk θθ Maximum Likelihood Estimation (MLE) Definisi 2.6 Misalkan xx 1, xx 2,, xx merupakan sampel acak berukuran n dengan variabel acak diskrit pmf pp xx (xx, θθ), di mana θθ(θθ 1, θθ 2,, θθ ) adalah parameter tidak diketahui. Fungsi likelihood, L(θ), adalah perkalian pmf yang dikaitkan dengan n ke-k. LL(θθ) = PP(XX 1 = xx 1,, XX = xx ) LL(θθ) = PP(XX ii = xx ii ) ii=1 LL(θθ) = pp xx (xx ii : θθ) ii=1 Andaikan xx 1, xx 2,, xx adalah sampel acak berukuran n dari pdf kontinu, ff xx (xx, θθ) di mana θθ(θθ 1, θθ 2,, θθ ) merupakan parameter tak diketahui, fungsi likelihood dituliskan: LL(θθ) = ff(xx 1 = xx 1,, XX = xx ) LL(θθ) = ff(xx 1 ; θθ 1, θθ 2,, θθ ). ff(xx 2 ; θθ 1, θθ 2,, θθ ). ff(xx ; θθ 1, θθ 2,, θθ ) Pandang sebagai fungsi θθ 1, θθ 2,, θθ, disebut sebagai fungsi likelihood. Misalkan [uu 1 ( xx 1, xx 2,, xx ), uu 2 ( xx 1, xx 2,, xx ),, uu ( xx 1, xx 2,, xx )] Adalah tupel-k yang memaksimalkan LL ( θθ 1, θθ 2,, θθ ) sehingga: θθ 1 = uu 1 (XX 1, XX 2,, XX )

22 3 θθ 2 = uu 2 (XX 1, XX 2,, XX ) θθ 3 = uu 3 (XX 1, XX 2,, XX ) θθ = uu (XX 1, XX 2,, XX ) Adalah penduga kemungkinan maksimum dari θθ 1, θθ 2,, θθ. Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut LL(θθ) = ff xx (xx ii, θθ) ii= Prosedur untuk menentukan MLE 1. Definisikan Fungsi Likelihood, LL(θθ). 2. Gunakan logaritma natural, ln[ll(θθ)]. 3. Ketika diterapkan, differensialkan ln[ll(θθ)] terhadap θθ, dan samakan dengan nol. 4. Selesaikan parameter θθ dan akan diperoleh θθ Sifat-sifat estimator Sifat yang diharapkan dari sebuah penduga adalah bahwa penduga tersebut berada sedekat-dekatnya dengan nilai sebenarnya parameter yang tidak diketahui. Bila diperhatikan mean bukanlah satu-satunya lokasi yang mungkin parameter dimana parameter berada.. Untuk praktisi statisi, pertanyaan penting adalah mendapatkan sampel statistik seperti mean, median, observasi terkecil atau obeservasi terbesar, sebaiknya dipilih mempersentasikan seluruh sampel. Untuk memahami matematika pendugaan, maka pertama-tama ingat bahwa setiap penduga adalah fungsi dari sekelompok peubah acak 1. Tidak Bias

23 31 Estimator tidak bias adalah estimator yang nilai harapaya sama dengan nilai sesungguhnya dari parameter yang akan ditaksir. Didefinisikan sebagai berikut Andaikan θθ merupakan estimasi titik untuk suatu parameter θθ. Maka θθ disebut sebagai estimator tidak bias apabila EE θθ = θθ. Jika EE θθ θθ, maka θθ dikatakan bias. Bias suatu penaksir titik θθ diberikan oleh BB θθ = EE θθ θθ. 2. Efisien Jika distribusi Sampling dari dua buah statistik mempunyai mean atau ekspektasi yang sama, maka statistik varians yang lebih kecil disebut sebagai estimator efisien dari mean, sementara statistik yang kedua adalah estimator tak efisien. Nilai dari kedua statistik masing-masing disebut estimasi efisien dan estimasi tak efisien. Dan dinotasikan andaikan bahwa θθ 1 dan θθ 2 adalah dua penduga takbias untuk parameter θθ. suatu penduga adalah efisien terhadap θθ apabila penduga memiliki varians yang lebih kecil. Ef(θθ 2, θθ 1 ) = VVVVVV (θθ 1 ) VVVVVV (θθ 2 ) Ef θθ 2, θθ 1 = E θθ 1 θθ 2 E θθ 2 θθ 2 Ef θθ 2, θθ 1 = E θθ 1 EE θθ 1 2 E θθ 2 EE θθ 2 2 Jika EEEE > 1 maka θθ 1 > θθ 2 artinya secara relative θθ 2 lebih efisien daripada θθ 1, dan jika EEEE < 1 maka θθ 1 < θθ 2 secara relative θθ 1 lebih efisien daripada θθ Konsisten Estimator konsisten adalah estimator yang cenderung sarna dengan nilai sebenarnya

24 32 meskipun ukuran sampel semakin lama semakin besar. Suatu penduga dikatakan konsisten jika memenuhi syarat berikut: 1. Jika ukuran sampel bertambah maka penduga akan mendekati nilai parameter sebenarnya. Jika sampel menjadi tak terhingga maka penduga konsisten harus dapat memberi suatu titik yang sempurna terhadap parameternya. Sehingga, θθ merupakan penduga konsisten, jika dan hanya jika: EE θ E(θ) 2 ssssssssssss 2. Jika ukuran sampel bertambah besar maka distribusi sampling penduga akan mengecil menjadi suatu garis normal diatas parameter sama dengan 1