Prof. Dr. Edi Syahputra, M.Pd PROGRAM LINIER

Transkripsi

1 i

2 ii PROGRAM LINIER

3 iii

4 Prof. Dr. Edi Syahputra, M.Pd PROGRAM LINIER iv

5 PROGRAM LINIER Copyright 05 Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang Dilarang mengutip, menscan atau memperbanyak dalam bentuk apapun tanpa izin tertulis dari penulis/penerbit Penulis Naskah : Prof. Dr. Edi Syahputra, M.Pd Desain Sampul : Drs. Gamal Kartono,M.Si Penerbit UNIMED PRESS Gedung Lembaga Penelitian Lantai Jl. Willem Iskandar Psr V, Medan Contact person : Ramadhan Cetakan Pertama : Juni 05 viii, 303 halaman; 6 x cm ISBN : Diterbitkan : Penerbit Unimed Press. Universitas Negeri Medan, Jl. Willem Iskandar Pasar V Medan Estate 0 unimedpress3@gmail.com v

6

7 DAFTAR ISI Kata Pengantar... Daftar Isi... Bab I Bentuk Umum Program Linier... A. Bentuk Umum Program Linier... B. Metode Grafik... 3 C. Beberapa Kasus (Secara Grafik)... 5 D. Beberapa Konsep Pendukung... 4 E. Penyelesaian Basis... 5 F. Bidang Konveks... 7 Bab II Program Linier dengan Metode Simpleks A. Variabel Slack dan Variabel Surplus B. Tabel Simpleks C. Variabel Artifisial Bab III Metode Simpleks dan Berbagai Kasus Dalam Program Linier A.Soal Tidak Mempunyai Penyelesaian Optimum B. Soal Memiliki Penyelesaian Optimum C. Soal Dengan Variabel Tidak Bersyarat Tanda Bab IV Teori Simpleks A. Variabel Slack B. Variabel Surplus C. Menulis Kendala Prgram Linier Dengan Cara Tulis Vektor D. Menentukan Nilai Tunggal E. Memajukan Penyelesaian Layak Basis... 7 F. Menentukan Vektor-vektor Kendala G. Menentukan Nilai Z Yang Baru Bab V Hubungan Dualitas... 8 A. Pengertian... 8 B. Persoalan Primal Dan Persoalan Dual Dalam Bentuk Umum i

8 C. Ketentuan Umum Bab VI Permasalahan Angkutan A. Permasalah Angkutan Setimbang B. Penyelesaian Layak dan Penyelesaian Layak Basis... C. Soal-soal dan Penyelesaiannya Bab VII Teori Permainan (Pengambilan Keputusan Dalam Suatu Persaingan) A. Pendahuluan B. Tipe Permainan C. Permainan Dua Orang D. Harapan Perolehan... 8 E. Strategi Optimal... 8 F. Teori Permainan dengan Program Linier G. Penutup Bab VIII Kumpulan Satuan Acara Perkuliahan (SAP) dan Kumpulan Hand Out A. Satuan Acara Perkuliahan (SAP) B. Kumpulan Hand Out... Daftar Pustaka ii

9 KATA PENGANTAR Buku program linier ini disusun bab demi bab secara hirarkhis dengan harapan dapat dipelajari mahasiswa dengan mudah. Tujuan utama penulis adalah untuk membantu mahasiswa memahami secara menyeluruh dan terintegrasi baik teori maupun penerapan program linier dalam dunia usaha. Oleh karena itu dianjurkan kepada pembaca, khususnya mahasiswa agar mempelajari buku ini dari satu bab ke bab berikutnya secara berurutan. Jangan berusaha melampaui suatu bab dan beralih ke bab berikutnya sebelum bab tersebut dikuasai dengan baik. Buku ini disusun sedemikian rupasehingga mahasiswa dimungkinkan dapat memahami sendiri tanpa bantuan orang lain. Dalamsetiap bab diberikan contoh soal dan penyelesaiannya, selain itu pada satu bab tersendiri diberikan soalsoal beserta penyelesaiannya secara lengkap. Semoga buku ini memberikan sumbangan berarti bagi peningkatan mutu perkuliahan khususnya pada matakuliah program linier. Penulis menyampaikan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu sehingga selesainya penulisan buku ini. Kritik dan saran akan penulis terima dan pertimbangkan untuk perbaikan. M e d a n, Juni 05 Penulis iii

10 iv

11 BAB I BENTUK UMUM PROGRAM LINIER Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari bab I anda diharapkan dapat:. Menuliskan bentuk umum program linier. Menyelesaikan program linier sederhana dengan metode grafik 3. Membedakan kasus-kasus khusus yang sederhana pada program linier A. Bentuk Umum Program Linier Program linier merupakan ilmu terapan yang sangat bermanfaat dan sangat luas pemakaiannya. Untuk dapat menguasai ilmu ini diperlukan prasyarat pengetahuan yang lain. Pengetahuan yang sangat mendukung diantaranya adalah ruang vektor, dan matriks. Oleh sebab itu untuk memaksimalkan pemakaian buku ini dianjurkan untuk terlebih dahulu membaca buku-buku tentang ruang vektor dan matriks. Sistematika penulisan buku ini disusun sedemikian rupa sehingga pembaca terlebih dahulu diberikan teknik penyelesaian soal-soal program linier dari yang sederhana meningkat sampai ke soal-soal yang lebih kompleks. Landasan teori yang mendukung akan diberikan setelah teknik penyelesaian dikuasai dengan baik. Beberapa contoh soal yang dapat pembaca telusuri untuk lebih memahami teori yang dibaca. Selanjutnya diberikan soalsoal beserta penyelesaiannya untuk ditelusuri sebagai latihan, dengan harapan pembaca dapat menguasai materi yang dipelajari. Program linier dapat diselesaikan dengan beberapa cara. Cara yang paling umum adalah dengan menggunakan metode grafik. Metode grafik hanya efektif digunakan apabila banyaknya variabel pada program linier hanya dua. Jika banyaknya variabel lebih dari dua misalnya ada tiga variabel, maka metode grafik tidak efektif lagi. Bahkan jika banyaknya variabel sudah lebih dari tiga maka metode grafik tidak dapat diterapkan lagi.

12 Bentuk umum program linier secara umum dapat diucapkan sebagai berikut: Diberikan m persamaan atau m pertidaksamaan linier dengan r variabel, akan ditentukan nilai tak negatip dari variabel-variabel ini yang memenuhi kendala dan memaksimumkan atau meminimumkan fungsi linier variabel-variabel itu. Secara matematik dapat ditulis: Maksimumkan atau minimumkan fungsi linier: z = c x... c r xr.. () dengan kendala: a x a x... a x,, b, () i i ir r i x 0 (3) i =,,3,...,m; j =,,3,...,r; m dan r bilangan bulat; j a, b, c adalah konstanta yang diketahui. Dalam setiap kendala, tanda,, atau hanya dipakai satu saja, tetapi tanda kendala yang satu dengan kendala yang lain dapat berbeda. Persamaan () disebut fungsi tujuan atau fungsi obyektif, persamaan () disebut kendala utama, sedangkan persamaan (3) disebut kendala pembatas. Bentuk umum program linier di atas dapat diuraikan seperti berikut: Maksimumkan atau minimumkan fungsi linier z = c x... c r x r...(4) ij j j

13 B. Metode Grafik Sebagaimana yang telah dikemukakan bahwa program linier yang melibatkan hanya dua variabel dapat diselesaikan dengan metode grafik. Berikut ini diberikan contoh soal untuk menjelaskan hal tersebut. Maksimumkan z = 5x + 3x 3x 5x 5 5x x, x x 0 0 dengan kendala: Tentukan nilai x dan nilai x yang memaksimumkan nilai z. Penyelesaian: Daerah penyelesaian yang layak adalah daerah yang memenuhi kendala utama dan kendala pembatas. Karena syarat nonnegatip dari kendala pembatas adalah x, x 0 berarti setiap titik yang merupakan penyelesaian layak haruslah terletak pada kuadran pertama. Untuk menentukan titik-titik dikuadran pertama yang memenuhi kendala utama dan kendala pembatas, kedua pertidaksamaan kendala utama dimisalkan berbentuk persamaan, yaitu: 3x 5x 5 5x x 0 Kemudian keduanya dilukis pada bidang koordinat seperti gambar (.). Semua titik yang memenuhi kendala utama dan kendala pembatas 3x 5x 5 5x x, x x 0 0 Kendala utama Kendala pembatas 3

14 terletak pada daerah yang diarsir. Setiap titik pada daerah ini merupakan penyelesaian layak. Untuk menentukan penyelesaian program linier di atas kita harus mencari titik pada daerah yang di arsir yang memberikan nilai terbesar untuk fungsi tujuan z. Perhatikan gambar. di atas. Apabila z = 5x + 3x kita lukis pada koordinat di atas untuk beberapa nilai z, atau dengan kata lain kita menggeser grafik garis z secara perlahan dan bertahap ke atas, akan diperoleh grafik seperti gambar.. Kita akan menentukan garis dengan nilai terbesar untuk z yang mempunyai sekurang-kurangnya satu titik pada daerah yang diarsir. Dari gambar. dapat dilihat bahwa z adalah nilai maksimum untuk z. Titik yang merupakan penyelesaian layak maksimum yang terletak pada daerah yang diarsir adalah titik A. Untuk menentukan nilai eksak penyelesaian maksimum ini dilakukan dengan mencari titik potong pada kedua garis 3x + 5x = 5 5X +X = 0 Selesaikan dengan metode eliminasi diperoleh x =,053 dan x =,36 4

15 A 5

16 6

17 Soal-soal dan penyelesaiannya. Tentukanlah x dan x dari: x + x 4 x + x 8 x + x 4 x 3 x 3 x, x 0 yang meminimumkan Z = x + 3x Penyelesaian: Soal ini akan diselesaikan dengan metode grafik. Daerah penyelesaian yang layak dapat ditunjukkan dengan memberikan arsiran yang memenuhi kendala utama dan kendala pembatas. Gambarkan terlebih dahulu garis-garis dari: Ambil satu atau dua koordinat titik yang berada di atas atau dibawah satu garis kendala. Substitusikan koordinat titik tersebut ke pertidaksamaan yang sesuai dengan grafik garis itu. Jika hasilnya merupakan kalimat matematika yang benar maka seluruh daerah yang sepihak dengan letak titik itu merupakan daerah layak untuk kendala tersebut. Lakukan langkah-langkah serupa untuk setiap kendala lainnya. Daerah penyelesaian yang layak untuk semua kendala (baik kendala utama maupun kendala pembatas) merupakan daerah yang layak untuk persoalan ini. Misalnya ambil titik (0,0) substitusi x = 0 dan x = 0 ke x +x 4 diperoleh kalimat matematika yang benar Jadi arsirlah daerah yang sepihak dengan (0,0) terhadap garis + = 4. Lakukan langkah yang sama terhadap semua kendala. Baik kendala utama maupun kendala pembatas. 7

18 Gambar.8 Tidak ada satu wilayah sekutu yang terarsir untuk semua kendala. Setelah semua daerah yang layak dari masing-masing kendala di arsir, ternyata tidak ada satu wilayah sekutu yang terarsir untuk semua kendala. Dengan perkataan lain tidak ada daerah yang terarsir sampai lima kali untuk lima kendala tersebut. Sehingga disimpulkan tidak ada daerah yang layak untuk kendala persoalan program linier ini. Dikatakan program linier ini tidak memiliki jawab.. Maksimumkan Z =,5x + x dengan kendala: 3x + 5x 5 5x + x 0 x, x 0 Penyelesaian: Untuk melukis daerah penyelesaian layak persoalan di atas, terlebih dahulu gambarkan garis lurus batas dari kendala utama tersebut. Caranya gantikan tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan sebagai berikut: 8

19 3x + 5x = 5 5x + x = 0 Selanjutnya gambarkan grafik garis lurus dari ke dua persamaan di atas. Gambar daerah konveks (Gambar.9) menunjukkan daerah layak yang memenuhi kedua pertidaksamaan: 3x + 5x 5 5x + x 0 Dari perpotongan kedua garis diperoleh titik titik sudut dari daerah penyelesaian layak yaitu (0,0);(,0);( dan (0,3). Selanjutnya diselidiki nilai untuk masing masing titik sudut tersebut. Titik (0,0) (,0) ( (0,3) x 0 0 x

20 Dari tabel diatas terlihat bahwa nilai maksimum dari adalah 5. Nilai maksimum ini diperoleh pada titik (,0) dan titik (. Sebenarnya penyelesaian program linier ini tak terhingga banyaknya, yaitu sebanyak titik-titik yang terletak sepanjang garis lurus antara titik (,0) dan titik (. Hal ini dapat ditandai dari fungsi obyektif z yang sejajar dengan salah satu kendala yaitu 5x + x = Maksimumkan Z = x + x dengan kendala: x x - -0,5x + x x, x 0 Penyelesaian: Gambarkan grafik garis x x = - yaitu garis yang melalui titik (-,0) dan (0,) kemudian arsir daerah yang memenuhi x x -. Selanjutnya gambarkan grafik garis -0,5x + x = yaitu garis yang melalui titik (-4,0) dan (0,), kemudian arsirlah daerah yang memenuhi -0,5x + x. Daerah penyelesaian layak adalah daerah yang mendapatkan arsiran lebih dari satu kali yaitu daerah yang di arsir pada Gambar.0 0

21 Dari gambar.0 dapat dilihat bahwa penyelesaian tak terbatas (unbounded solution). Semua titik pada daerah yang diarsir memenuhi kendala, sedangkan daerah yang diarsir sangat luas tak terbatas ke arah kanan. Artinya penyelesaian banyak tak hingga tetapi tidak dapat menemukan z yang maksimum. 4. Maksimumkan Z = 3x - x dengan kendala: x + x x + x 4 x, x 0 Penyelesaian: Gambarkan grafik garis x + x =, yaitu garis yang melalui titik (,0) dan (0,) kemudian arsir daerah yang memenuhi x +x. Daerah yang terarsir adalah daerah di sisi bawah dari grafik garis x +x =. Selanjutnya gambarkan grafik garis x + x = 4 yaitu garis yang melalui titik (,0) dan (0,), kemudian arsirlah daerah yang memenuhi x +x 4. Daerah arsiran adalah daerah di sisi atas dari grafik garis x + x = 4. Daerah penyelesaian layak adalah daerah yang mendapatkan arsiran lebih dari satu kali atau daerah irisan yang memenuhi kendala pertama dan kendala kedua. Ternyata tidak ada daerah yang dimaksud tersebut. Berarti tidak ada daerah penyelesaian layak untuk program linier soal nomor 4 ini. Jadi soal ini tidak memiliki penyelesaian. Perhatikan gambar..

22 5. Maksimumkan Z = x + x dengan kendala: x - x 0 3x - x -3 x, x 0 Penyelesaian: Gambarkan grafik garis x - x = 0 yaitu garis yang melalui titik pusat O(0,0) dan memiliki sudut 45 0 dengan sumbu x dan bergradien positip. Kemudian arsir daerah yang memenuhi x -x 0. Daerah arsiran adalah daerah di sisi bawah dari grafik x - x = 0. Selanjutnya gambarkan grafik garis 3x - x = -3 yaitu garis yang melalui titik (-,0) dan (0,3), kemudian arsirlah daerah yang memenuhi 3x - x -3. Daerah arsiran adalah daerah di sisi atas dari grafik garis 3x - x = -3. Daerah penyelesaian layak adalah daerah yang mendapatkan arsiran lebih dari satu kali atau daerah irisan yang memenuhi kendala pertama dan kendala kedua. Daerah yang dimaksud adalah seperti daerah yang diarsir pada gambar.. Tetapi daerah ini bukan merupakan penyelesaian layak karena tidak memenuhi kendala pembatas x, x 0. Dengan demikian tidak ada penyelesaian layak dari program linier soal nomor 5.

23 Soal-soal Selesaikan menggunakan metode grafik. Maksimumkan z = x +,5 x Dengan kendala: x +3x 6 x +4x 4 x, x 0. Minimumkan z =,5x +,5x Dengan kendala: x +3x 3 x + x x, x 0 3. Maksimumkan z = 3x + x Dengan kendala: x + x x - 5x 0 5x - x 0 x - x - x + x 6 x 3 x, x 0 3

24 D. Beberapa Konsep Pendukung Kombinasi linier Z R n disebut kombinasi linier (KL) dari x, x,... x k jika untuk,,..., k berlaku Z = ixi k i Tak Bebas Linier Himpunan vektor a,..., a m skalar i 0 sedemikian sehingga Bebas Linier Himpunan vektor a,..., a m setiap i, i = 0 sedemikian sehingga R n disebut tak bebas linier jika ada m i = 0 a i i R n disebut bebas linier jika untuk m i = 0 a i i Contoh Jika a = dan a = sebab = -4 dan = 4 maka a dan a tak bebas linier sedangkan apabila b = bebas linier sebab = 0 dan = 0 0 dan b = 0 maka b dan b 4

25 5 E. Penyelesaian Basis Contoh berikut ini akan memberikan pemahaman tentang apa yang disebut dengan penyelesaian basis. Tentukanlah penyelesaian basis sistem persamaan linier di bawah ini. x + x + x 3 + 3x 4 = 8 x - x + x 3 = 5x x + 7x 3 + 3x 4 = Penyelesaian Dalam cara tulis matriks x x x Dengan menggunakan eliminasi Gauss- Jordan Karena rank matriks A = rank matriks gandengan AB = sedangkan < 4 (jumlah variabel) maka penyelesaian sistem persamaan linier di atas tidak tunggal. Apabila baris pertama ditambah dengan baris kedua maka matriks terakhir ekuivalen dengan:

26 Karena ada dua vektor bebas linier, yaitu x dan x, berarti ada sebanyak 6 penyelesaian basis, yang diperoleh dari C 4. Salah satu penyelesaian basis itu adalah (x, x, x 3, x 4 ) = (3,,0,0) atau x = 3 x = x 3 = 0 x 4 = 0. Penyelesaian basis yang lain adalah x, x 3 ; x, x 4 ; x, x 4 ; x, x 3 dan x 3, x 4. Andaikan x 3 masuk basis dan x keluar, jadi basis yang baru adalah x dan x 3. Maka dari *) 0 upayakan vektor kolom x 3 menjadi dengan cara elemenelemen bersesuaian dari baris pertama ditambah dengan baris kedua dan elemen-elemen baris kedua dikali dengan sehingga 0 5 diperoleh Penyelesaian basis baru adalah 0 (x,x,x 3,x 4 ) = (5,0,-,0) atau x = 5; x 3 = -. Tugas, tentukan penyelesaian basis lainnya. Setelah itu kerjakan latihan di bawah ini:. Selidiki apakah vektor-vektor berikut bebas linier atau tak bebas linier a. x = (4,0,,-); x = (,,3,); x 3 = (,-,-4,0) b. x = (,3,,4); x = (,-,,3); x 3 = (-,0,-,-5); x 4 = (,4,6,4). Tentukanlah semua penyelesaian basis Sistem Persamaan Linier: x x + 3x 3 + 4x 4 = 0 -x + 3x + x 3 + x 4 = 5 6

27 F. Bidang Konveks Suatu bidang datar dikatakan bidang konveks jika untuk setiap titik A dan B yang terletak pada bidang itu maka titik-titik yang terletak pada garis lurus yang menghubungkan A dan B juga terletak pada bidang datar tersebut. A B (a) (b) (c) Gambar.3 Beberapa contoh bidang konveks A B (a) (b) (c) Gambar.4 Beberapa contoh bukan bidang konveks Perhatikan gambar.3 (a) titik A berada pada bidang, titik B juga terletak pada bidang, dapat dilihat bahwa semua titik yang terletak pada garis lurus yang menghubungkan A dan B juga terletak pada bidang yang sama. Hal yang berbeda jika kita perhatikan gambar.4 (a). Titik A terletak pada bidang, titik B juga terletak pada bidang, tetapi jika kedua titik dihubungkan dengan garis lurus, maka ada titik-titik pada garis lurus itu yang tidak terletak pada bidang yang sama. 7

28 Soal-soal dan penyelesaiannya. Gambarkan bidang konveks yang memuat beberapa titik berikut: (0,0), (,), (-,-), (-,), (,4), (0,3), (-,),,4, (-,), (,5). Penyelesaian: Letak titik-titik tersebut pada sistem koordinat adalah sebagai berikut: Jika ditarik garis-garis lurus, maka akan menghasilkan bidang konveks seperti pada gambar di bawah ini. 8 Atau

29 . Gambarkan kendala-kendala linier berikut, tandai daerah yang memenuhi kendala itu dan cari titik ekstrimnya. x 5x 0 0 x x 6 x x x 3x Penyelesaian : Kendala kendala : x 5x 0 0 x x 6 x x x 3x Gambar grafik dari kendala kendala tersebut adalah : 9

30 Sistem persamaan dari kendala kendala tersebut : x 5x 0 x x x x x 3x 6 3 0

31 5 36 Berarti titik ekstrimnya adalah, 7.

32 Dari (a), (b), dan (c), dapat kita lihat bahwa titik ekstrim dari 0 kendala-kendala tersebut adalah (0,),,, dan 3 3 5, Tuliskan sistem pertidaksamaan soal no. sebagai sistem persamaan. Penyelesaian: Sistem pertidaksamaan : x 5x 0 0 x x 6 x x x 3x Sistem persamaan dari sistem pertidaksamaan di atas adalah : x 5x 0 x x x x x 3x Diberikan vektor-vektor baris berikut. p 0 p p 3

33 3 Tentukan invers dari matriks yang berpadanan dengan basis ini dan cari kombinasi linier dari vektor-vektor basis yang sama dengan p. Penyelesaian: Matriks 0 P Untuk mencari invers dari vekror basis, adalah dengan menggunakan metode Gauss-Jordan dengan menggandengkan matriks P dengan matriks identitas, kemudian mengoperasikan matriks tersebut hingga menjadi bentuk matriks identitas bergandengan dengan invers matriks P. eliminasi Gauss-Jordan P I I P b b b b

34 4 Maka diperoleh 0 0 P p P 5. Daerah konveks yang digambar di bawah adalah himpunan penyelesaian yang ditentukan oleh suatu himpunan pertidaksamaan linier. Pada titik mana fungsi-fungsi linier itu optimum. a. x x, menjadi maksimum. b. 6 3 x x, menjadi minimum. c. x x, menjadi maksimum.

35 Penyelesaian : a. xx menjadi maksimum Substitusikan titik-titik tersebut ke dalam z = x + x - seperti pada tabel di bawah ini. Titik z x x (0,) z 0 0 (,) z (0,4) z (4,6) z (7,5) z 7 5 (8,3) z 83 0 (0,) z 0 Dilihat dari tabel di atas dapat diperoleh bahwa nilai z maksimum berada pada titik (0,) dan titik (7,5), yaitu z =. 3 x x +6 menjadi minimum b. Substitusikan titik-titik tersebut ke dalam z= 3x x +6 seperti pada tabel di bawah ini. Titik z 3 x x +6 (0,) z 3(0) 6 5 (,) z 3() 6 7 (0,4) z 3(0) 4 6 (4,6) z 3(4) 6 6 (7,5) z 3(7) 5 6 (8,3) z 3(8) (0,) z 3(0) 6 34 Dilihat dari tabel di atas dapat diperoleh bahwa nilai z minimum berada pada titik (0,4), yaitu z =. 5

36 x x menjadi maksimum c. Substitusikan titik-titik tersebut ke dalam z = -x -x + Seperti pada tabel di bawah ini. Titik z x x (0,) z (0) 0 (,) z () 3 (0,4) z (0) 4 3 (4,6) z (4) 6 3 (7,5) z (7) 5 8 (8,3) z (8) 3 8 (0,) z (0) Dilihat dari tabel di atas dapat diperoleh bahwa nilai z maksimum berada pada titik (0,), yaitu z = 0 6. Diberikan suatu himpunan persamaan-persamaan. a x a x a x a a 3 3 a0 x ax a33x3 a0 3x a3x a33x3 a30 Anggaplah bahwa x, 3 aij adalah nonsingular, reduksi vektor-vektor x, x dengan prosedur eliminasi. Bentuklah formula umum yang terbentuk dalam setiap iterasi. Penyelesaian : a ij adalah nonsingular, berarti determinannya tidak sama dengan nol. 6

37 a a a x ax a3x3 a0 x ax a33x3 a0 3x a3x a33x3 a30 ai x aix ai3x3 ai0 aij x j ai0, dimana j =,, 3. Bentuk matriks : a a a3 ai 7. Selesaikan sistem persamaan berikut dengan eliminasi. x x x 4 3 3x x 3x3 x a a a a 3 i x x 3 a3 a0 a 3 x a0 a 33 x a30 x 3 a i3 ai0 7 3 Penyelesaian : Sistem persamaan : x x x 4 3 3x x 3x3 x x x pers. () pers. () pers. (3) 7

38 Mengeliminasi x dari persamaan () dan persamaan (), diperoleh : x x x x x 3x 7 x x x3 4 6x x 6x3 4 x 7x pers. (4) 8 3 Mengeliminasi x dari persamaan () dan persamaan (3), diperoleh : x x 3x x x x 3 3 x x pers. (5) 4 3 Mengeliminasi x dari persamaan (4) dan persamaan (5), diperoleh : x 7x x x x 7x3 8x 7x x 5 5 x 0 3 x 5 8

39 Substitusi x = 3/5 ke dalam persamaan (5), sehingga diperoleh : x x x x x3 5 5 x 3 5 Substitusi x =3/5 dan x 3 =/5 ke dalam persamaan (3), sehingga diperoleh : x x x x x x 5 x x 5 Dengan demikian diperoleh solusi dari sistem persamaan di atas yaitu: 3 x 5 x, 5 x dan 3 5 9

40 8. Selesaikan program linier berikut dengan metode grafik. a. Kendala : x x x x 8 x 0 x 0 Fungsi objektif: maksimumkan x, maksimumkan 3x x, minimumkan x x, maksimumkan x 4x, minimumkan 3x x. b. Kendala : x x 3 6 x x x x x 0 x 0 Fungsi objektif: maksimumkan x 6x. c. Kendala : x x 6 3 x 4x 8 x 3x x, x 0 Fungsi objektif: 6 30

41 maksimumkan x 3x, minimumkan x x, maksimumkan x x, maksimum x 3x, maksimumkan x 6x. d. Kendala : x x x x 3 x x3 x 0 x 0 x 3 0 Fungsi objektif: maksimumkan x x x3, minimumkan x x3, maksimumkan x x 3x3. Penyelesaian : a. Kendala : x x x x 8 x 0 x 0 Gambar grafiknya adalah : 3

42 Perpotongan antara x x dan xx 8 adalah: x x x x 8 4x x 4 x x 8 x 5x 4 4 x 5 x 8 4 x x x 5 36 x 0 8 x Perpotongannya pada titik, Titik-titik ekstrimnya adalah (0,0), (0,), (8,0) dan,

43 Titik Fungsi objektif : Maksimumkan z x Maksimumkan z 3x x Minimumkan z x x Maksimumkan z x 4x Minimumkan z 3x x z x z 3x x z x x z x 4x z 3x x (0,0) (0,) (8,0) , Dari tabel di atas, dapat dilihat bahwa: Maks. z x adalah di titik 4 8, 5 5 yaitu 8 5. Maks. z 3x x adalah di titik (8,0) yaitu Min. z x x adalah di titik, 5 5 yaitu Maks. z x 4x adalah di titik (8,0) dan, yaitu Min. z 3x x adalah di titik, 5 5 yaitu b. Kendala : 3x x 6 x x 33

44 x x x, x 0 Gambar grafiknya adalah : Jika dilihat pada grafik, kendala-kendala tersebut tidak memiliki daerah layak. Fungsi Objektif: Maksimumkan z x 6x Karena tidak memiliki daerah layak, maka tidak ada nilai maksimumnya. c. Kendala : x 3x 6 x 4x 8 x 3x 6, 0 x x Grafik dari kendala-kendala tersebut adalah : 34

45 Karena daerah penyelesaian layak diapit oleh dua garis yang bergradien sama yaitu x3x 6 dan x 3x 6, serta tidak ada garis yang memotong kedua garis tersebut selain garis x 4x 8, maka program linier mempunyai jawab tak terbatas (Unbounded Solution) ke arah kanan. Artinya semua titik yang diarsir memenuhi kendala. Fungsi objektif : Maksimumkan z x 3x Minimumkan z x x Maksimumkan z x x Maksimum z x 3x Maksimumkan z x 6x Untuk mencari nilai optimum, kita bisa melihat tabel berikut: 35

46 Titik z x3x z x x z xx z x 3x z x 6x (0,) (4,0) (6,0) (, ) Dari tabel diatas, dapat dilihat bahwa: Untuk z x3x tidak ada nilai x dan x yang dapat memaksimumkan z. Untuk z x x minimum di titik (0,) dan (4,0) dan disemua titik diantara titik-titik (0,) dan (4,0) nilai minimumnya adalah 4. Untuk z x x tidak ada nilai x dan x yang dapat memaksimumkan z. Untuk z x 3x tidak ada nilai x dan x yang dapat memaksimumkan z. Min. z x6 xadalah di titik (0,) yaitu -. Soal-soal. Gambarkan masing-masing daerah bidang datar berikut ini dan nyatakan yang mana yang merupakan bidang konveks. a. M = {[x,x ] 3 + 6} b. N = {[x,x ], 3} c. O = {[x,x ], 0, 0} d. P = {[x,x ], 0, 0}. Gambarkan/sketsa bidang konveks yang memuat titik-titik berikut: a. (0,0), (,0), (0,), (,) b. (3,4), (5,6), (0,0), (,), (,0), (,5), (4,7) c. (-,), (3,-4), (4,4), (0,0), (6,5), (7,) 36

47 BAB II PROGRAM LINIER DENGAN METODE SIMPLEKS Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari bab II anda diharapkan dapat:. Menuliskan persoalan program linier menjadi bentuk siap simpleks. Menyelesaikan bentuk siap simpleks dengan metode simpleks Bentuk umum program linier dapat ditulis dengan bantuan notasi penjumlahan sebagai berikut: Maksimumkan atau minimumkan fungsi linier z = c x... c r xr...() Semua x j yang memenuhi () disebut penyelesaian, setiap penyelesaian yang memenuhi (3) disebut penyelesaian layak. Setiap penyelesaian layak yang memaksimumkan/meminimumkan () disebut penyelesaian layak optimal. Metode simpleks adalah suatu prosedur yang tepat dan mendasar untuk memecahkan masalah program linier. Metode ini dikembangkan oleh George B. Dantzig pada tahun

48 A. Variabel Slack dan Variabel Surplus Pada metode simpleks dikenal dua variabel tambahan yaitu variabel slack dan variabel surplus. Umumnya orang lebih senang bekerja dengan persamaan-persamaan dibandingkan bekerja dengan pertidaksamaan-pertidaksamaan. Untuk itu setiap pertidaksamaan dalam () dikonversi menjadi persamaan-persamaan. Agar supaya hal itu dapat dilakukan, diperlukan tambahan beberapa variabel yang disebut variabel slack dan variabel surplus (keduanya dikenal juga dengan nama variabel pengetat). Andaikan suatu kendala bertanda (misalkan kendala keh) yang dapat ditulis: r a j 38 hj x j b h kita ciptakan variabel baru yaitu xr h x r h b h r a j kita sebut xr h hj x j 0 sehingga r a j hj 0 dimana x sebagai variabel slack. j x r h b h...(4)...(5) Sekarang andaikan suatu kendala bertanda, misal kendala ke-k. yaitu: r a j kj x j b k x k...(6) kita ciptakan variabel baru 0 dimana r r r k sedemikian sehingga terdapat r a j kj x j x r k b k x j a kj x j...( 7) kita sebut x sebagai variabel surplus. r k Dari langkah-langkah yang diuraikan di atas, telah dikonversikan kendala-kendala asli ke dalam suatu persamaan linier simultan dengan bentuk: b k

49 r a j r a j r a j hj kj pj x x x j j j x x rh r k b p b b h k, h =,,..., u, (8),k = u+,..., v,......(9, p = v+,..., m....(0) Berdasarkan teori di atas coba tuliskan bentuk siap simpleks (bentuk kanonik) program linier berikut: Maksimumkan: Z = 3x 0x Dengan kendala: x + 5x x + 3x 530 x + x 40 x,x 0 Selanjutnya tuliskan juga soal di bawah ini simpleks ( bentuk kanonik). dalam bentuk siap Minimumkan: Z = -6x + x + 6x 3 Dengan kendala: x + x x 3 0 -x + 3x 3x 3 0 5x - x + x 3 5 x,x, x

50 B. Tabel Simpleks Perhatikan persoalan program linier berikut: Dari persoalan program linier di atas secara umum dapat dibuat tabel simpleks awal seperti tabel. 40

51 Pada tabel simpleks awal (Tabel.), jika Z j C j 0 untuk setiap j maka Z sudah maksimum. Jika masih ada nilai Z k C k yang negatip, pilih k dengan nilai Z k C k paling kecil, maka X k terpilih masuk basis. Selanjutnya R i = b a i untuk a ik > 0, lalu pilih p dengan R p terkecil maka X p keluar dari basis diganti oleh X k Contoh: Maksimumkan Z = Dengan kendala: , 0 Penyelesaian: Bentuk kanonik kendala utama : x +x +x3 = 36 5x +4x +x4 =90 ik x, x, x3, x4 0 Maksimumkan Z 40x 50x 0x3 0x4 Tabel simpleksnya sebagai berikut: (Tabel.) 4

52 Karena z c 0 untuk setiap j, maka tabel sudah selesai dengan j j Z maksimum = 990, nilai = 6 dan = 5 Soal-soal dan penyelesaiannya. Maksimumkan Z = 3x + 0x Dengan kendala: x + 5x 600 4x + 3x 530 Kendala utama x + x 40 x,x 0 Penyelesaian: Ubah kendala utama menjadi bentuk siap simpleks (bentuk kanonik) berbentuk persamaan dengan cara menambah variabel slack. Bentuk tersebut adalah: Maksimumkan Z = 3x + 0x +0x 3 + 0x 4 + 0x 5 dengan kendala: x + 5x + x 3 = 600 4x + 3x + x 4 = 530 x + x + x 5 = 40 x,x 0 Tabel simpleksnya ditunjukkan pada Tabel.3. 4

53 . Maksimumkan Z = 9x + x +5x 3 Dengan kendala: x + 3x 5x 3 x + x 3x 3 3 3x + x - x 3 x,x, x 3 0 Penyelesaian : Bentuk siap simpleks program di atas adalah: Maksimumkan Z 9x x 5x3 0x4 0x5 0x6 Tabel simpleks diberikan pada tabel.4 43

54 Karena a 0 untuk setiap k, maka tabel tidak dapat diteruskan, ik program linier tidak mempunyai penyelesaian optimum, fungsi sasaran Z tak terbatas. C. Variabel Artifisial (Peubah Semu) Disebut peubah semu karena sebenarnya peubah ini hanya rekayasa agar tabel simpleks dapat dijalankan. Oleh karenanya peubah ini diberi nilai 0. Contoh: Maksimumkan Z = -8x + 6x + 8x 3 Dengan kendala: x + x + x 3 x - 6x x 3 4 x,x, x 3 0 Sisipkan slack variabel x 4 dan x 5 pada kendala utama Maksimumkan: Z = -8x + 6x + 8x 3 + 0x 4 + 0x 5 Dengan kendala: x + x + x 3 + x 4 = x - 6x x 3 - x 5 = 4...(*) x,x,..., x 5 0 Penyelesaian basis awal (x,x,..., x 5 ) = ( 0,0,0,,-4) ini tidak layak karena x 5 negatip. Supaya tabel awal memuat penyelesaian basis yang layak maka persamaan (*) disisipkan variabel baru x 6 sehingga persamaan (*) menjadi: x - 6x x 3 - x 5 + x 6 = 4... (**) karena persamaan (*) dan (**) bertanda = berarti x 6 harus bernilai 0, sehingga diperoleh penyelesaian basis baru (x,x,..., x 6 ) = ( 0,0,0,,0,4). Masuknya x 6 ke dalam sistem persamaan linier hanya untuk memenuhi persyaratan agar penyelesaian basis tidak negatip. Oleh karenanya x 6 dikehendaki cepat keluar dari basis. Untuk keperluan itu disusun fungsi objektif baru berbentuk Mx 6 dengan M adalah bilangan positip besar. Jadi 44 Z = -8x + 6x + 8x 3 + 0x 4 + 0x 5 Mx 6 Z = Z

55 Dengan demikian diharapkan x 6 segera keluar dari basis. Sekarang persamaan program liniernya menjadi: Maksimumkan Z = -8x + 6x + 8x 3 + 0x 4 + 0x 5 Mx 6 Dengan kendala x + x + x 3 + x 4 = x - 6x x 3 - x 5 + x 6 = 4 x,x,..., x 6 0 Karena Z j C j 0 untuk semua j maka Z = Z = 0 (maksimum). Nilai x =4 dan x =0 dan x 3 = 4 45

56 Soal-soal dan penyelesaiannya. Maks. Z = x - 3x + x 3 Dengan kendala: 3x + 6x + x 3 6 4x + x + x 3 4 6x 3x + 3x 3 = 0 x,x, x 3 0 Penyelesaian : Bentuk kanonik kendala utama : 3x 6x x3 x4 4x x x3 x5 6x 3x 3x3 x6 x, x, x3,..., x6 0 Maksimumkan Z x 3x x3 0x4 0x5 Mx6 Tabel simpleks diberikan pada Tabel

57 . Maksimumkan Z = 3x + 5x + x 3 dengan kendala: x - x 3 - x + 4x + x 3 = 5 x,x, x 3 0 Penyelesaian: Maksimumkan Z 3x 5x x3 47

58 dengan kendala : x x 3 x 4x x3 5 x, x, x3 0 Bentuk kanonik kendala utama : x x x x x + 4x + x 3 = 5 x, x, x3,..., x5 0 Maksimumkan Z 3x 5x x3 0x4 Mx5 Tabel simpleksnya pada tabel.7. 48

59 Program Linier Pola Minimum Pada pola minimum, program linier meminimumkan fungsi tujuan z. Tidak banyak perbedaan mendasar untuk menyelesaikan masalah program linier pola minimum dibandingkan proses menyelesaikan pola maksimum. Pada tabel simpleks pola minimum, jika Z j C j 0 untuk setiap j maka Z sudah minimum. Jika belum, pilih k dengan Z k C k > 0 yang terbesar. Maka x k terpilih masuk basis. Selanjutnya bangun R i = dengan R p terkecil maka x p b a i dengan a ik > 0, pilih p ik keluar dari basis digantikan oleh x k. Contoh Minimumkan Z = 4x + 0x 3 dengan kendala: -4x + x + x 3 -x + x - x 3 5 x,x, x 3 0 Penyelesaian Bentuk kanonik kendala utama -4x + x + x 3 - x 4 +x 6 = -x + x x 3 + x 5 = 5 x,x,..., x 6 0 Min Z* = 4x + 0x 3 + 0x 4 + 0x 5 + Mx 6 Tabel simpleks (teruskan sebagai latihan buat anda) Catatan. Bila koefisien-koefisien teknis dalam kolom kunci tidak ada yang positip maka Z tak terbatas, dengan demikian program linier tak mempunyai penyelesaian optimal. (tidak persoalan apakah program linier berpola maksimum atau minimum).. Bila pada suatu tabel simpleks Z j C j 0 untuk semua j, tetapi masih memuat variabel artifisial bernilai positip (tidak nol) maka program linier tidak layak. Jadi program linier tidak mempunyai penyelesaian optimal. 49

60 3. Renungkanlah kalimat program linier tak mempunyai penyelesaian optimal pada catatan nomor dan nomor di atas, apakah kasus ini serupa? Jika tidak sama, dimana letak perbedaannya? Untuk memperjelas catatan di atas, cermati persoalan program linier berikut ini:. Minimumkan Z = -3x + x dengan kendala: 3x + 4x -x + x 8 x,x 0 Penyelesaian : Bentuk kanonik kendala: Minimumkan Tabel simpleksnya ditunjukkan pada tabel.8 50

61 Karena a ik 0 untuk setiap k, berarti fungsi sasaran Z tak terbatas, program linier ini tidak mempunyai penyelesaian optimal.. Maksimumkan Z = 5x x + x 3 Dengan kendala: 7x + x - x 3 8 x - 3x - x 3 4 3x - x - 6x 3 5 x,x, x 3 0 Penyelesaian: Bentuk siap simpleks Minimumkan Dengan kendala : Tabel simpleks diberikan pada tabel.9. 5

62 Tabel.9 (lanjutan) Dari tabel simpleks (Tabel.9) diperoleh nilai Z j - C j 0 untuk semua j, tetapi masih memuat variabel artifisial bernilai positif yaitu x 7 = 0/7, dikatakan program linier tidak layak. Jadi program linier tidak mempunyai penyelesaian. Soal: Selesaikan persoalan program linier berikut: Semua 5

63 BAB VII TEORI PERMAINAN (PENGAMBILAN KEPUTUSAN DALAM SUATU PERSAINGAN) A. Pendahuluan Teori permainan merupakan suatu bidang dari matematika terapan yang mencoba menganalisa situasi konflik atau persaingan dan memberikan suatu dasar untuk pengambilan keputusan yang rasional. Teori permainan dikembangkan pada tahun 90-an oleh john Von Neumann dan E. Borel, tetapi belum begitu berhasil, hingga dipublikasikan pada tahun 944 dalam buku yang berjudul The Theory of Game and Economic Behaviours oleh John Von Newmann dan Oscar Morgenstern. Suatu permainan adalah suatu situasi persaingan dimana setiap salah satu dari sejumlah pemain menyokong tujuannya yang secara langsung menentang pemain-pemain lainnya. Setiap pemain melakukan apa saja yang dapat dilakukannya untuk memperoleh sebanyak mungkin untuk dirinya sendiri. Penyelesaian dari persaingan antara dua pihak yang bersaing ini adalah inti dari teori permainan. Dengan perkataan lain teori permainan adalah pengambilan keputusan dalam suatu persaingan. Beberapa contoh yang menginginkan keputusan-keputusan diambil dalam situasi konflik atau persaingan, antara lain: - dalam bidang ekonomi : pertentangan antara dua perusahaan untuk merebut pasar. - Dalam bidang politik : pertentangan dua partai politik yang saling bersaing. - Dalam peperangan. - Dalam bisnis. - Pertentangan antara buruh dan majikan. 53

64 - Pertandingan antara dua kesebelasan. - Eksplorasi barang tambang. - Pertanian. - Administrasi. - Dll. B. TIPE PERMAINAN a. Permainan untung-untungan (Games of Chance). Permainan ini tidak membutuhkan keahlian pada sebagian pemain. Hasil-hasil dan kemenangan semata-mata ditentukan oleh hukum peluang (Laws of Probability). Contoh : permainan Rolet b. Permainan Strategi ( Games of Strategy). Permainan ini membutuhkan keahlian bagi pemain. Hasil-hasil dan kemenangan ditentukan oleh keahlian dari para pemain. Contoh: - Permainan catur. - Permainan domino. - Brigde. - Poker - Dll Perkataan permainan (Game) diartikan sebagai suatu permainan strategi dimana setiap pemain (yang memerankan persaingan) memilih dari himpunan tindakan yang mungkin. Dalam buku ini yang akan dibahas adalah tentang permainan yang dimainkan oleh dua pemain. C. PERMAINAN DUA-ORANG (TWO-PERSON GAMES) Permainan atau persaingan yang melibatkan dua pemain atau dua pihak disebut permainan dua-orang (two-person games) yang biasanya danotasikan dengan R dan C. 54

65 Diasumsikan bahwa R mempunyai m tindakan dan C mempunyai n tindakan yang dapat ditempuh. Dari m tindakan R dan n tindakan C, dibentuk suatu matriks berukuran mxn yang barisnya diurutkan dari atas kebawah sesuai dengan tindakan-tindakan R, dan kolomnya diurutkan dari kiri kekanan sesuai dengan tindakan-tindakan C. Elemen a ij dalam baris ke-i dan kolom ke-j menyatakan jumlah (dapat berupa uang atau alat ukur lainnya). Yang dibayar C kepada R. Jika R melakukan tindakannya ke-i dan C melakukan tindakannya ke-j. Jika a ij negatif, maka R membayar kepada C sejumlah a ij. Elemen a ij disebut perolehan (payoff) dan matriks A=[a ij ] disebut matriks perolehan (payoff matriks). Matriks dari permainan dua orang disebut matriks permainan (matriks games). Dalam membicarakan matriks permainan, selalu diasumsikan bahwa kedua pemain mempunyai kemampuan yang sama, yaitu setiap pemain sebaik mungkin dia dapat bermain, dan setiap melakukan tindakannya tanpa mengetahui tindakan apa yang dilakukan oleh lawannya. Permainan dimana jumlah perolehan yang diperoleh R dan C konstan disebut permainan jumlah konstan (constan sum games). Permainan jumlah konstan dimana konstannya adalah nol disebut permainan jumlah nol (zero sum games) atau permainan imbang. Didalam permainan imbang jumlah yang dimenangkan oleh salah seorang pemain tepat sama dengan jumlah kehilangan dari pemain lainnya. Contoh Pembentukan Matriks Permainan. Ada dua pemasok komoditi yaitu perusahaan R dan C yang memasok komoditi khusus jenis ban baru yang mempunyai pelanggan. Setiap perusahaan dapat mempromosikan produknya di TV atau koran-koran. Pemasaran perusahaan menentukan bahwa: - jika kedua perusahaan membuat promosi di TV, maka perusahaan R memperoleh pelanggan dan perusahaan C akan mendapat pelanggan. 55

66 - jika mereka sama-sama menggunakan koran, maka masingmasing perusahaan memperoleh pelanggan. - Jikan R menggunakan koran dan C menggunakan TV maka R memperoleh pelanggan. - Jika R menggunakan TV dan C menggunakan koran maka mereka masing-masing akan memperoleh pelanggan. Keadaan ini dibentuk dalam bentuk matriks perolehan. Setiap elemen-elemen dalam matriks menunjukkan jumlah pelanggan yang dijamin oleh perusahaan R. pada awalnya dianggap perusahaan C yang mempunyai pelanggan. a ij menyatakan jumlah pelanggan yang diberikan C kepada R. jika R memilih tindakannya ke-i dan C memilih tindakannya ke-j. Permainan dua orang jumlah konstan dengan matriks perolehan A=[a ij ] berukuran mxn dimana pemain R mempunyai m tindakan yang dapat dilakukannya. Dan pemain C mempunyai n tindakan. Jika pemain R memainkan tindakannya ke-i dia yakin memenangkan paling sedikit elemen terkecil pada ke-i dari A dan tidak tergantung dengan apa yang dipilih c. jadi R memilih tindakan terbaik yang akan memaksimumkan yang diyakininya akan dimenangkan walaupun tindakan balasan C sangat bagus. Pemain R akan mendapatkan perolehan terbesar dengan memaksimumkan perolehannya terkecil. Tujuan pemain C secara langsung akan konflik dengan pemain R, dia mencoba menahan untuk meminimumkan kemenangan R. jika C memainkan elemen terbesar 56

67 dalam kolom ke-j dari A, tidak tergantung dengan apa yang dipilih R. jadi C memilih tindakan terbaik yang akan meminimumkan yang diyakininya akan hilang walaupun tindakan balasan R sangat bagus. Pemain C akan melakukan yang terbaik baginya dengan meminimumkan kehilangan terbesarnya. DEFINISI. jika matriks perolehan dari suatu matriks permainan mempunyai elemen a rs yang pada saat yang sama merupakan minimum dari baris r dan maksimum dari kolom s maka a rs disebut titik pelana (saddle point). Juga a rs disebut harga dari permainan dan jika tersebut sama dengan nol permainan dikatakan fair. DEFINISI. suatu matriks permainan dikatakan Strictly Determinied jika matriks perolehan mempunyai titik pelana. DEFINISI 3. Andaikan ditemui suatu matriks permainan dengan suatu matriks perolehan A berukuran mxn. Misalkan P i, i m merupakan peluang bahwa R memilih baris ke-i dari A. Misalkan q j, j n merupakan peluang bahwa C memilih kolom ke-j dari A. Vektor P = [p,p,...,p m ] disebut suatu strategi untuk pemain q q R, vektor. Q.. q n Disebut strategi untuk pemain C. 57

68 Definisi 3 diatas memenuhi: P + p p m = q + q q n = jika suatu matriks permainan Strictly Determinied maka strategi optimal untuk R dan C adalah strategi yang mempunyai sebagai komponen tunggal dan nol untuk yang lain dan strategi demikian disebut strategi murni (pure strategy) suatu strategi yang tidak murni disebut strategi campuran (mixed strategy). D. HARAPAN PEROLEHAN (EXPECTED PAYOFF) Suatu matrik permainan dengan matriks perolehan a a A a a andaikan bahwa: P = [p p ] q Q q masing-masing merupakan strategi untuk R dan C kemudian jika R memainkan baris pertamanya dengan peluang P dan jika C memainkan kolom pertamanya dengan q maka expected payoff R adalah p q a. Dengan cara yang sama kita dapat menentukan peluang yang lainnya. Expected payoff dari permainan untuk R : E (P,Q) = p q a + p q a + p q a + p q a E. STRATEGI OPTIMAL Suatu strategi untuk pemain R dikatakan optimal jika strategi tersebut menjamin perolehan terbesar yang mungkin tanpa tergantung dengan apa yang mungkin dipilih oleh lawan. Dengan cara yang sama suatu strategi untuk pemain C dikatakan optimal jika 58

69 strategi tersebut menjamin pembayaran terkecil kepada R yang mungkin tanpa tergantung dengan apa yang mungkin dipilih oleh R. jika P dan Q merupakan strategi optimal untuk R dan C berturut-turut, maka expected payoff untuk R adalah: V = E (P,Q) Juga disebut harga dari permainan. Walaupun E (P,Q) suatu matriks berukuran x bilangan Jika V = 0 maka permainan fair. Dari uraian diatas jelaslah bahwa: Tujuan dari teori permainan adalah: Menentukan strategi optimal untuk masing-masing pemain. Suatu matriks permainan dengan matriks perolehan berukuran x a a A a a dan permainan tak strictly determinied a + a a a 0 Untuk menentukan suatu strategi optimal untuk R : Andaikan strategi untuk R adalah [p,p ] maka : Jika C memainkan kolom pertama, expected payoff untuk R a p + a p Jika C memainkan kolom kedua, expected payoff untuk R a p + a p Jika V adalah minimum dari persamaan 5. dan 5. maka R memperoleh harapan (expects) paling sedikit V unit dari C tanpa tergantung dengan apa yang dipilih C diperoleh: a p + a p V a p + a p V selanjutnya pemain R berusaha menjadikan V sebesar mungkin a p + a p - V 0 a p + a p - V 0 p + p = p i 0 i =, 59

70 V 0 Persamaan 5.3 merupakan suatu masalah linier programing dimana strategi optimal untuk R : p a a, a a a a p a a a a a a dan V aa a a a a a a q Andaikan strategi untuk C adalah : q Jika R memainkan baris pertamanya maka expected payoff untuk R adalah : a q + a q Jika R memainkan baris keduanya maka expected payoff untuk R adalah : a q + a q jika V adalah maksimum dari expected payoff dari persamaan 5.4 dan 5.5 maka: a q + a q V a q + a q V pemain C menginginkan kehilangannya sekecil mungkin, dia berusaha untuk menjadikan V sekecil mungkin. C ingin menentukan q, q, dan V minimum dan a q + a q V 0 a q + a q V 0 q + q = q j 0 j =, V 0 60

71 Persamaan 5.6 adalah suatu masalah linier programing. Penyelesaian optimal untuk C adalah : q a a, a a a a dan V ' aa a a a a q a a a a a a a a jadi V = V bilamana kedua pemain menggunakan strategi optimal. TEOREMA : setiap matriks permainan mempunyai suatu penyelesaian yaitu: terdapatnya strategi-strategi optimal untuk R dan C dan juga V = V F. TEORI PERMAINAN DENGAN PROGRAM LINIER Suatu matriks permainan dengan matriks perolehan A=[a ij ] berukuran mxn. Dianggap R mempunyai m tindakan dan C mempunyai n tindakan. R berusahan untuk menetukan p, p,..., p m dan V, sehingga V maksimum. Dengan kendala : a p + a p a m p V 0 a p + a p a m p V 0 a n p + a n p a mn p m V 0 p + p p m = p i 0 i=,,...,m V 0 Misalkan y i = V p i 6

72 pi p pm yi y... ym... V V V p p... pm V V Jadi V maksimum jika dan hanya jika : y + y y m minimum Masalah R dapat ditulis sebagai berikut : Minimum y + y y m Dengan kendala : a y + a y a m y a y + a y a m y a n y + a n y a mn y m y i 0 i =,,...,m untuk C juga dapat ditulis : V minimum Dengan kendala : a q + a q a n q n V 0 a q + a q a n q V 0 a m q + a m q a mn q n V 0 q + q q n = q i 0 i=,,...,n V 0 Karena V = V q Misalkan : x i V x x... xn V V minimum jika dan hanya jika : x x... x n maksimum 6

73 masalah C dapat ditulis sebagai berikut : Maks x x... Dengan kendala : a y + a y a m y a y + a y a m y a n y + a n y a mn y m y i 0 i =,,...,m untuk C juga dapat ditulis : V minimum Dengan kendala : a q + a q a n q n V 0 a q + a q a n q n V 0 a m q + a m q a mn q n V 0 q + q q n = q i 0 i=,,...,n V 0 Karena V = V Misalkan : x i = V q i xn x x... x n Maksimum masalah C dapat ditulis sebagai berikut : maksimumkan x x... Contoh. Diketahui: Dengan kendala : a x + a x a n x a x + a x a n x a m x + a m x a mn x m x i 0 i =,,...,n Suatu permainan dengan pemain R dan C didapat matriks perolehan sebagai berikut : xn 63

74 3 0 A 3 ditanya : tentukanlah strategi optimal untuk pemain dengan matriks perolehan A penyelesaian : dapat diselesaikan dengan menambah 4 kesetiap elemen matriksa sehingga diperoleh Maksimum x + x + x 3 Dengan kendala : 6x + x + 4x 3 7x + 5x + x 3 x i 0, i =,,3 dengan menambahkan slack variable x 4 dan x 5. Persoalannya menjadi : Maks x + x + x 3 Dengan kendala : 6x + x + 4x 3 = 7x + 5x + x 3 = x i 0, i =,,3,4,5 dengan menggukan metode simplek diperoleh x = 0, x = 9, x3 = 9 harga maksimum adalah x + x + x 3 = = 3 harga minimum adalah 3 oleh karena itu q = x V, q 3 = x V, q 3 = x 3 V = 0.3 =. 3 9 = 9 = 0 = 3 = 3 64

75 0 strategi optimal untuk C adalah : Q 3 3 juga untuk masalah R dapat dicari. y, y 6 6 karena V = 3 p y V p y V, strategi optimal untuk R adalah : P = Dari contoh diatas disimpulkan, Bahwa permainan tidak fair, karena dengan harga tiga pemain R mempunyai keuntungan. Dari contoh diatas diperoleh :. p, p Ini berarti bahwa : Pemain R seharusnya mempergunakan strategi I 50% dan strategi II 50%. q 0, q, q3 3 3 Ini berati bahwa : 65

76 Pemain C seharusnya mempergunakan strategi 33,33% dan strategi 3 66,67% dan tidak mempergunakan strategi G. PENUTUP Masalah persaingan merupakan masalah yang kerap kali dihadapi para pengambil keputusan. Dalam masalah persaingan terdapat strategi yang dapat dimainkan masing-masing pesaing. Tiap strategi yang dimainkan akan menimbulkan keuntungan maupun kerugian bagi pihak lawan. Oleh karena itu diperlukan suatu metode yang digunakan untuk memilih strategi mana yang harus dimainkan, sehingga menimbulkan keuntungan. Teori permainan (game theory) yang telah diuraikan dalam tulisan ini dapat menjawab masalah diatas. 66

77 BAB VIII KUMPULA SATUAN ACARA PERKULIAHAN DAN KUMPULAN HAND OUT SATU SEMESTER A. Kumpulan Satuan Acara Perkuliahan SATUAN ACARA PERKULIAHAN- (SAP-). Jurusan/Program Studi : Matematika/Pend. Matematika. Mata Kuliah : Program Linier 3. Kode Mata Kuliah : MAT Jumlah Satuan Kredit Semester : 3 (tiga) sks 5. Jumlah Tatap Muka : 6 6. Deskripsi Mata Kuliah : Mata kuliah ini merupakan mata kuliah terapan yang sangat luas pemakaiannya. Banyak bidang ilmu lain yang menggunakan program linier sebagai alat analisisnya antara lain ekonomi, teknik, ilmu sosial, komputer, dll. Selain itu juga dipakai oleh para konsultan di perusahaan-perusahaan besar untuk optimasi kinerja perusahaan mitra kerjanya. 7. Standar Kompetensi :. Mengkonstruksi model Program Linier. Menerapkan model Program Linier untuk kasus rekayasa 8. Tujuan Perkuliahan :Trampil mengkonstruksi dan menerapkan model Program Linier 9. Substansi Materi :. Bentuk Umum Program Linier. Prog. Linier dengan Metode Simpleks 3. Metode Simpleks dan Berbagai Kasus 4. Teori Simpleks 5. Hubungan Dualitas 7. Teori Permainan 0. Penilaian :. Penilaian Portofolio. Penilaian Hasil Belajar. a. Sumber Belajar :. Hadley G. 96 Linear Programming, Addison Wesley. Gass. Saul I 975 Linear Programming, Addison Wesley 67

78 3. Susanta B. 994 Program Linier Yogyakarta 4. Edi Syahputra, 007. Program Linier, Bahan Kuliah b. Media Pembelajaran : OHP. Rencana Kegiatan Perkuliahan (RKP) Temu Muka I Standar Kompetensi:. Mengkonstruksi model Program Linier. Menerapkan model Program Linier untuk kasus rekayasa Kompetensi Dasar menggambar grafik Fase I Fase II Fase III Fase IV : Dapat menyusun model program linier dan : Prakondisi. Peran Dosen sebagai fasilitator dan nara sumber. Metode mengajar ceramah dan tanya jawab 3. Sumber belajar : Edi Syahputra (05) hal. - : Prosedur Pembelajaran Menjelaskan konsep, diskusi, presentasi mahasiswa, membuat kesimpulan hasil diskusi dan presentasi mahasiswa, latihan soal-soal kasus. : Materi Pembelajaran: Model Program Linier dan Grafik. Kegiatan Dalam Kelas: diskusi, presentasi mahasiswa, membuat kesimpulan hasil diskusi dan presentasi mahasiswa : Teknik Evaluasi:. Dimensi : Kognitif. Instrumen: Presentasi mahasiswa 3. Standar : 80% mahasiswa dapat presentasi dengan benar 68

79 SATUAN ACARA PERKULIAHAN- (SAP-). Jurusan/Program Studi : Matematika/Pend. Matematika. Mata Kuliah : Program Linier 3. Kode Mata Kuliah : MAT Jumlah Satuan Kredit Semester: 3 (tiga) sks 5. Jumlah Temu Muka : 6 6. Deskripsi Mata Kuliah : Mata kuliah ini merupakan mata kuliah terapan yang sangat luas pemakaiannya. Banyak bidang ilmu lain yang menggunakan program linier sebagai alat analisisnya antara lain ekonomi, teknik, ilmu sosial, komputer, dll. Selain itu juga dipakai oleh para konsultan di perusahaanperusahaan besar untuk optimasi kinerja perusahaan mitra kerjanya. 7. Standar Kompetensi :. Mengkonstruksi model Program Linier. Menerapkan model Program Linier untuk kasus rekayasa 8. Tujuan Perkuliahan :Trampil mengkonstruksi dan menerapkan model Program Linier 9. Substansi Materi :. Bentuk Umum Program Linier. Prog. Linier dengan Metode Simpleks 3. Metode Simpleks dan Berbagai Kasus 4. Teori Simpleks 5. Hubungan Dualitas 6. Masalah Angkutan 7. Teori Permainan 0. Penilaian :. Penilaian Portofolio 69

80 . Penilaian Hasil Belajar. a. Sumber Belajar :. Hadley G. 96 Linear Programming, Addison Wesley. Gass. Saul I 975 Linear Programming, Addison Wesley 3. Susanta B. 994 Program Linier Yogyakarta 4. Edi Syahputra, 007. Program Linier, Bahan Kuliah b. Media Pembelajaran : OHP. Rencana Kegiatan Perkuliahan (RKP) 70 Temu Muka II Standar Kompetensi:. Mengkonstruksi model Program Linier. Menerapkan model Program Linier untuk kasus rekayasa Kompetensi Dasar : Mendeskripsikan dan menggunakan algoritma simpleks Fase I : Prakondisi. Peran Dosen sebagai fasilitator dan nara sumber. Metode mengajar ceramah dan tanya jawab 3. Sumber belajar : Edi Syahputra (05) hal. -8 Fase II : Prosedur Pembelajaran -Menjelaskan konsep, diskusi, presentasi mahasiswa, membuat kesimpulanhasil diskusi dan presentasi mahasiswa, latihan soal-soal kasus. Fase III : Materi Pembelajaran: Konsep-konsep pendukung antara lain Kombinasi linier, bebas dan bergantung linier, bidang konveks, dan soal-soal latihan Fase IV : Teknik Evaluasi:. Dimensi : Kognitif