Geometri Transformasi
|
|
|
- Hamdani Rachman
- 9 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Gomtri Trnsormsi Sjk zmn Eli ( SM) smpi 7 M, gomtri ipljri ri prspkti sntsis, sgi st ilm. Slm 7 sjmlh i r lm mtmtik ikmngkn n itrpkn lm mmpljri gomtri, ngn k ng rsit rolsi. Misln ngn mnrpkn notsi-notsi n konsp ljr k omtri. Frmt ( n Rn Dsrts (596 65) mniptkn gomtri nlitik. Dirnsil gomtri ikmngkn sgi st konsp n mnggnkn notsi ri klkls ng ikmngkn olh Nwton n Liniz ipliksikn p gwomwtri. Alm 8 n 9, sjmolh gomtri non Eli ikngkn, mngkitkn rp orng mnji rg pkh gomtri kn trpish ssi ngn tori-tori ng rg st ngn ng lin. Di thn 78, sorng hli mtmtik rsi thn, Fli Klin ( ) mngslkn st prinsip pmrst ntk mngklsiiksikn rgi gomtri n mnjlskn hngnhngn intr mrk. Inti ri ggsn t konsp Klin it lh Gomtri Trnsormsi. Gomtri trnsormsi lh pmtn st- st, ngn mnggnkn hinpnn titiktitik sgi inpt n rtrning points sgi otpt. Untk srhnn, hinpnnhimpnn inpt inmkn ok n otptn ng rs inmkn img. Trgntng ri kontks, trnsormsi-trnsormsi pt ipnng sgi itrpkn p ok-ok gomri ng mm iknl, misln gris, polgon, t polihr tpn p rng imn ok-ok it. Gomtri Trnsormsi mnwrkn pnngn ng lm trhp hkkt ri nk topi trisionl, trmsk kongrnsi, ksngnn, n smtri. Gomtri trnsormsi jg rngsi sgi sis gi nk pliksi kontmporr lm sni, rsitk, ngnring, ilm n tlisi.yng lih rrti lgi lh gimn Fli Klin mmri inisi tntng st gomtri: St gomtr lh st sti tntng sit-sit ri st himpnn S ng ttp tik rh ilmn lmntlmn S itrnsormsikn olh sklompok trnsormsi. Dinisi ini mntpkn gomtri trnsormsi sgi st r mmhmi hngn-hngn intr sm gomtri, Eli n non Eli.
2 St Mol nlitik ri Bing Eli Mnjikn titik n gris Untk mmhs mol nlitik ri ing Eli, hrs ipilih rp ing i Rng rimnsi. Bnk sisw tlh tris ngn ing -, t z =. Ttpi msih pilihn ng lih ik, it ing z =. Z Z = (,, ) (,,). * O Y X Stip titik i ing ini mmpni koorint (,, ). Gris p ing Eli isikn lm ntk slop intrpt p ing Eli isjikn lm ntk slop intrpt = m + t lm ntk mm lh + = Bntk ini pt isjikn ngn mnggnkn notsi mtri (olh Arthr Cl, 8 895). Dlm notsi mtri st ntk prsmn ljr : + + = itlis sgi ktor-ktor ris [ ] Titik-titik itlis sgi ktor kolom
3 Dngn mngkominsi k notsi ini, kit prolh st ntk prsmn mtri Jik ntri-ntri ng rkorsponnsi p ris n kolom iklikn n hsiln ijmlhkn, mk iprolh st ntk ljr. Sgi ontoh, prsmn mtriks = lh kiln ngn prsmn + + =. Prsmn-prsmn sprti ini sring ignkn ntk mnjw prtnn titik-titik p p ing ng trltk p gris ini? Ls n kolinr Bgimn ls rh ng itntkn olh tig titik ng tik kolinr? S (, ) III (, ) (, ) I II (,) (,) (,) s
4 Ls rh sgitig pt intkn lm ntk ls tig rh trpsim Titik-titik trpsim : (,, ), (,, ), (,, ), (,, ) Titik-titik trpsim : (,, ), (,, ), (,, ), (,, ) Titik-titik trpsim : (,, ), (,, ), (,, ), (,, ) Ls sgitig lh = [ ls trpsim ] + [ls trpsim] [Ls trpsim ] = ½[( )( + ) + ( )( + ) ( )( + )] = ½ [ ] Dngn mnggnkn pnktn mtriks, koorint-koorint ri titik-titik p sgitig pt itlis sgi ktor-ktor kolom lm mtriks rikt: Dtrminn ri mtriks ini itlis sgi Dtrminn ini ikspnsikn n mnghsilkn ntk
5 [ + + ] Yng pt issn kmli sgi rikt: [ ] Dngn mmningkn hsil ini ngn ls rh sgitig, trnt ls rh sgitig ti pt itlis sgi rikt: Ls = (/) s Torm 4..: Jik ikthi tig titik ng non kolinr p ing, mk ls rh ri sgitig itntkn olh ktig titik it intkn ngn rms Ls = (/) s Prsmn gris Gmr n torm mmri i ng rmnt ntk mliht p mslh ng hngnn, it mnmkn prsmn st gris mlli titik ng ikthi i ing Eli. Gmr mngmkkn hw ls rh sgitig rkitn ngn tig titik ng kolinr kn sm ngn nol. K, Torm mngmkkn hw, lm kn trtnt trminn
6 jg pt sm ngn nol. Dngn mikin, jik ikti titik n, mk sm titik linn ng kolinr ngn k titik ng ikthi it hrs mmnhi prsmn mtriks: = Contoh: Tntkn prsmn st gris ng mmt titik-titik (, 4, ) n (,, ). Jw: Dngn mnliskn titik-titik ti sgi ktor kolom ktor kolom, n ngn mnmhkn st kolom ktig ng mwkili sm titik ng kolinr ngn titik-titik ng ikthi ti, kit prolh st prsmn mtri 4 = Slnjtn trminn kit pnsikn n srhnkn, n kn iprolh
7 4 = =, t = Torm 4.. Jik ikthi titik n mk prsmn gris ng mmt k titik ini itntkn olh prsmn mtri =
8 Prpotongn gris Cr mtri pt ignkn ntk mnmkn titik prsktn gris ng rpotongn p ing. Dikthi prsmn-prsmn gris + + = n + + =. Koorint-koorint ri titik prsktn pt itntkn ngn mnggnkn kominsi linr t sstitsi n slnjtn intkn lm notsi mtri sgi rikt: = n = St kkrngn ri pnktn ini lh hw prsmn ini hrs iingt n ilsi sr nr. St pnktn ng lih ik kn mmrlkn hn st prsmn ntk mnjikn k koorint ri titik potong. Dngn mnliskn prmtr-prmtr gris sgi lmn-lmn ris lm prsmn mtri = kn mnghirkn st pnjin/rprsntsi ng lih mh. Dngn mlkkn kspnsi mnrt ris trkhir, mk prsmn ini pt itlis sgi Dngn mmgi olh trminn p sk trkhir, iprolh prsmn rikt: *
9 Ingt hw n sgi, n itlis lm ntk mtri, mk prsmn its pt isrhnkn Dlm hl ini, ntk ini lih rip ntk mtri mm ntk prsmn st gris, krn prmtr-prmtr gris [ ] lh smrng, n lh koorint-koorint titik potong ri gris-gris ng ikthi + + = n + + =. Hsil ini iormlkn lm torm rikt n skligs ontohn. Torm Jik ikthi prsmn-prsmn gris + + = n + + =, mk titik potong ini Ditntkn olh prsmn Yng iprolh ngn mngkspnsi n mnrhnkn prsmn
10 = Contoh: Tntknlh koorint ri titik potong ri n. Prsmn mtrin lh : = Dngn mngpnsikn srt mnrhnkn, mk iprolh = =, n ini pt itliskn sgi = Krn ktor kolom kn mntkn titik p ing li z =, mk tip lmn lm ktor ini igi, kn mnghsilkn titik p ing li Slnjtn, stip gris ng mmt titik ini hrs mmnhi prsmn mtri
11 = Ji, olh krn n mlli titik ini, mk mikin jg sm gris lin kn mmnhi prsmn mtr ini jg. St prn pnting skrng pt it ntr pnggnn notsi rntk. Bil nili-nili ng irprsntsikn olh ktor ris ikthi, n nilinili ng irprsntsikn olh ktor kolom 5 tik ikthi, misln Mk notsi ini ismkn st prsmn gris n isn ignkn ntk mnjw prtnn Titik-titik mnkh ng trltk p ris ini?. Bil sit ilik n nili-nili irprsntsikn olh ktor ris Tik ikthi sngkn nili-nili ng irprsntsikn olh ktor kolom ikthi, misln, mk notsi ini ist st prsmn ri titik n isn ignkn ntk mnjw prtnn Gris-gris mnkh ng mlli titik ini?
12 Eprsi-prsi ng simtris ini iprolh ngn mnggnti istilh-istilh titik gris iknl ngn nm lits. n Mnjikn Trnsormsi-trnsormsi Linr i Dimnsi ngn mtri Dri sm trnsormsi lm gomtri, isomtri lh pling mnsr. Isomtri rtin rkrn sm. Jik st isomtri itrpkn k st ok, mk ok trst rsrt ngnn mmpni krn linr n krn st ng sm. Trnsormsi iktkn mngwtkn sit-sit ini, n sit-sit it iktkn inrint i wh trnsormsi it. Mngwtkn krn linr n krn st mnjmin hw kliling n jmlh st n ls jg iwtkn. Akitn, ok n imgn lm isomtri ini lh intik t kongrn. Isomtri lm gomtri Eli triri ri ktgori n komposi: trnslsi, rotsi, n rlksi. Dri sm isomtri, trnslsi lh ng pling mh ntk iphmi. Dngn n oprsi trnslsi stip titik ng trpt p ok kn rpinh p jrk ng sm n lm rh ng sm ssi ngn ktor. Di wh oprsi rotsi, stip titik ipinhkn mlli st st ptr rlti trhp pst prptrn. Rlksi mmtkn stip titik k srng gris rlksi sjh st jrk ng sm trhp jrk titik it k gris rlksi. Dinisi: Mislkn A n B lh himpnn-himpnn. St pmtn t ngsi ri A k B lh st trn ng mmsngkn stip A tpt st B n itlis = (). Dinisi: St pmtn ri A k B lh onto jik ntk tip sikit st Asmikin shingg = (). B, trpt pling Dinisi: St pmtn ri A k B lh st st jik ilmn, ( ) ( ) Dinisi: Jik : A B lh st pmtn st-st, mk : B A lh Inrs ri, jik ( * )( ) ntk sm A n ( * )( ) ntk sm B. Dinisi: Bing Eli triri ri sm himpnn ri sm titik X smikin shingg X,, imn i mrpkn nggot ri himpnn ilngn rl, itlis i. Dinisi:Mislkn V lh st Rng ktor p n T lh ngsi ri V k V. T lh st trnsormsi linr ri V, jik T( ) T( ) T( ) ntk sm tor V n V n T ( k) kt( ) ntk sm ktor V n sklr k.
13 Rprsntsi Trnsormsi Linr ngn Mtri Dinisi: St Trnsormsi Linr T(X) ng pt ilik (inrtil) p ing Eli lh st pmtn st-st, onto ri titik-titik ri ing Eli onto ing Eli. T(X) = A*X, imn A titi n A imn ij Olh n st trnsormsi linr, stip titik p ing (ng mmt) img isosisikn ngn st titik tnggl p ing (ng mmt) ok.tik st titikpn ng iikn, tik st titikpn ng ihilngkn. Bing Eli ttp lngkp slm n stlh trnsormsi. Misln, gmr rikt ini mnnjkkn st st sstm koorint tgklrs p ing Eli slm n stlh trnsormsi. Tnt sj, ktik trnsormsi linr sprti ini itrpkn p ing, sm titik ng p ing kn mnglmi trnsormsi ng sm. Trnsormsi-trnsormsi linr pt ikomposisikn, st mnsl ng lin, lm st skwns (rtn). Sgi ontoh st trnslsi T pt iikti olh st rotsi R. Dlm notsi ngsi, komposisi ng sm itliskn sgi RT Torm: Komposisi ri trnsormsi limr p st ing lh st trnsormsi linr jg p ing it. Mnrt inisi tntng rng ktor, T lh st trnsormsi linr p ing jik T T( ) T( ) n T ( k) kt( ) ntk sm titik, n k lh ilngn rl.
14 5 O O Kit inisikn trnsormsi linr T n T sgi rikt: T n T Komposisi T T pt ihitng sgi
15 T = Mg-mg ng mnnjkkn prklin n jmlh lh sh ilngn rl, tik ng sm. Krn pnjmlhn n prklin lm ilngn rl lh trttp, mk mg-mg ntri ini lh ilngn rl, jik ihitng. Ji komposisi T pt itlis kmli sgi T, imn,,,,, Jik kit mislkn A st-stn srt ng hrs ipnhi lh A. Untk mnnjkkn knrn hl ini iprlkn mniplsi sjmlh smol. Pnglmn-pnglmn ngn trnsormsi linr lm ni nt mnrnkn hw pling sikit rp trnsormsi linr pt ilik. Misln, orng pt mnggsr t mmtrkn st ok, kmin mngmliknn k posisi sml. Dlm mtmtik, pngrtin pngmlin ini (rrsiilit) kiln ngn inrs ri st ngsi n itlis. Jik
16 A lh st trnsormsi linr, A itlis Torm: Dikthi st trnsormsi linr T, trpt st trnsormsi inrs ng rkorsponnsi ngn T, it T - smikin shingg TT - = T - T = I, imn I lh trnsormsi intits. Dlm Aljr linr kit th hw st mtri A mmpni st inrs jik A. Bngn st titik olh st trnsormsi linr. Dngn mnggnkn notsi mtri, ngn ri st titik ikrnkn st trnsormsi linr ng ikthi iinisikn sgi rikt. Dinisi: Dikthi st trnsormsi linr A ngn ri titik X = olh trnsormsi A isjikn sgi
17 = = Contoh: Prsmn mtri = Dignkn ntk mnmkn ngn ri st titik ikrnkn st trnsormsi linr. Prsmn ini jg itlis sgi AX = X. Misln, ngn ri titik Olh trnsormsi linr A ihitng sgi = 5 n itlis sgi A = 5 Torm: Dikthi st trnsormsi linr T Dn st titik
18 X = Inrs ri oprsi T intkn olh T = Dngn mlkkn prklin, iprolh TT - = T - T = I. Contoh: Dikthi Trnsormsi linr T Dngn mnggnkn rms (*) p torm iprolh T - = TT - = = Bngn st gris olh st trnsormsi linr.
19 Mnmkn ngn ri st gris p st trnsormsi linr mmrlkn prtimngn tmhn n mnimlkn hsil ng mnrik. Torm 4..4 Bngn ri gris olh trnsormsi linr A Dirikn olh prsmn A k St gris pt isjikn lm ntk mtri sgi Bngn ri gris olh trnsormsi linr S pt irprsntsikn sgi S =. Krn S lh trnsormsi linr, i hrs mmpni ntk mm ng sm sprti mtri trnsormsi ntk titik-titik A Argmntsi rikt ini lh mngni mnrnkn S, mtri trnsormsi gris, ng intkn lm A (mtri trnsormsi titik).. Krn n lh gris-gris, X = n X =. Krn it X = X. Krn X lh ngn ri X (olh A), mk AX = X
20 4. Ssitsi k, kn mnghsilkn (X) = (AX) ( ) X ( A) X 5. Krn it A 6. Klikn k rs prsmn ri slh knn olh A - mnghsilkn A k, k, himpnn ilngn rl. 7. Ji, mtri trnsormsi gris S, lh inrs ri mtri trnsormsi titik, A (trnsormsi trhp gris = trnsormsi trhp tip titik p gris it) Contoh: Dikthi trnsormsi linr T n st gris, tntknlh ngn i wh tnsormsi linr ini. Mnrt torm, ngn ri olh trnsormsi ini itntkn olh k Dngn kt lin, gris ngn prsmn iptkn onto mnji gris ngn prsmn, t st prklin rin.
21 Eqtion(Lin CE):.5 +. = -.5 Eqtion(Lin FE): +. = -. 5 D C C E E F F -5 Isomtri-isomtri Lngsng: Trnslsi n Rotsi Mrprsntsi Trnslsi Prsmn mtri ntk trnslsi trhp sh titik lh: Gmr 4.. mmprlihtkn rh ri mtri trnslsi. Mg-mg rh mnjikn mkn r mngni hkkt trnsormsi ng ihs n tiltil ng khss mngni grkn/prpinhn ng ikitkn. Dlm hl ini mtri intits i gin pojok kiri ts mnnjkkn hw prgrkn it sm skli tik mngh ntk t orintsi ri ok-ok i ing. Unsr-nsr lm kolom ng irsir isosisikn ngn prpinhn ri koorint n koorint ri titik-titik p ing. Sprti ng trliht p ktor
22 Koorint- ri stip titik igsrkn sjh nit n koorint igsr sjh nit. Inilh ng orng hrpkn p st trnsormsi trnslsi. Gmr 4.. Sr konsptl, inrs ri trnslsi ng irprsntsikn sgi lh trnslsi it lwn ri mnggsr sh ok sjh n lm rh trtnt hrslh sh gsrn ng rlwnn rh ngn jrk ng sm. Hl ini mnimplkn hw Torm 4.. Dikthi st trnslsi T= Trnsormsi inrsn lh:
23 T - = Contoh: 4.. Dikthi mtri trnslsi 7 T= Inrs ri trnsl lh: 7 T - = Mtri-mtri ini jik iklikn, kn mnghsilkn mtri intits 7 7 Inrins p Trnslsi Pnglmn-pnglmn lm kshrin mmprlihtkn hw krn-krn pnjng, kliling, st, n ls tik roh olh n trnslsi (inrin). Sitsit linn tik mikin. Misln, jik n mnggsr sh ok i ts mj, n mnggsr kslrhn ok. Jik st titik p ok it ttp (inrin), ngn mminhkn sis lin ri ok it kn mngkitkn pkh n it sok t mlr. Anlisis gomtri mnimplkn hw trnslsi tik mmiliki st titik inrin pn. Pnktn nlitis ng isrkn p ljr mtri pn mmrikn hsil ng sm. Torm 4... Trnslsi-trnslsi ng kn intits tik mmiliki titik inrin. Brsrkn inisi, titik inrin tik rgrk lm st trnsormsi. Dngn kt lin,
24 = Dlm pngrtin trnslsi, hl ini rrti = Dngn kspnsi n mnrhnkn sk-sk, kit prolh n, n ini rrti n. Akitn, trnslsi ng kn intits tik mmiliki titik inrint. P rp trnsormsi linr, gris-gris iptkn p irin sniri. Dlm hl ini iktkn hw gris-gris it inrint p trnsormsi. Misln, st trnsormsi pt mnggsr titik-titik spnjng st gris ng ikthi ngn jrk trtnt. Titik-titik trst tik inrint, nmn gris ng itntkn olh titik-titik it inrint. P gmr rikt, img ri ABCp trnslsi ng ittpkn olh pnh lh A B C. Gris pts-gris pts ng iprolh ngn r mnghngkn stip titik ngn ngnn lh inrint lm trnslsi ini, sm sprti sm gris ng prll ngn pnh. A A B C E B C D Gmr 4... Mnkl st trnsormsi linr tlh nr-nr iphmi, pnktn sr gomtris isn lih mh srt pt lm mngintiiksikn gris-gris inrint. Bil trnsormsi tik iphmi ngn ik, iprlkn pnktn nlitis ntk mngintiiksikn gris-gris inrint. Torm rikt ini mntpkn st
25 mto ntk mngintiiksikn gris-gris inrin ng rsosisi ngn st trnsormsi linr. Torm 4..: Stip trnslsi mmpni gris-gris inrint Gris-gris inrint tik rpinh lm st trnsormsi, krn it = k, imn k ntk mmngkinkn ntk-ntk kiln gi gris ng sm. Torm 4..4 n ontoh 4.. mnimplkn hw k Jik ntk ini ipnsikn kmin isrhnkn sk-skn, mk iprolh:. k. k. ( ) k Jik k =, osrsi pt isrhnkn mnji, t Hsil ini mmw kit p ntk solsi rikt Bntk ini itlis kmli sgi rikt Dn itlis lgi lm ntk kmiringn, n titik potong sm, sgi:
26 ini mnji jls hw sm gris inrint mmpni kmiringn ng sm ngn kmiringn ri pnh. Pilihn lh inpnn trhp, ng mngrh p tk hingg titik-titik potong s lm ntk Dngn mikin pnh n sm gris ng sjjr ngnn inrint p trnslsi. Cttn: Untk mnnjkkn hw trnslsi sll mmpni gris-gris inrin Prikslh grinn. Contoh. Dikthi mtri trnslsi T 7 Tntknlh sm gris inrint p trnsormsi ini. Dngn mnggnkn Torm Stlh pnsi n mnrhnkn sk-sk, iprolh k 7 k k k Dngn mmilih k =, iprolh hngn 7 Dn ini mnghsilkn gris-gris lm ntk 7 Dngn mnggnkn ntk ljr n ntk =, prsmn gris lh:
27 7 t 7 7 Dngn mikin sm gris ng prll trhp pnh (sli rrow) lh inrint. Coorint(Point A): (-7.,.) 5 A O -5 Sjmlh sit-sit gomtri ng lin ri titik n gris jg iwtkn lm st trnsormsi linr, trmsk jrk ntr titik-titik, ls rh poligon. Inilh ng ihrpkn lm st trnslsi. Torm 4..4 Jrk inrint lm trnslsi Jrk ntr titik p ing Eli, n, intkn lm Dngn mnghitng jrk ntr ngn-ngn ri titik-titik ini,, mk kn iprolh, n
28 ] [ ] [ [ ] [ Jik prsmn ini isrhnkn, mk kn iprolh Dngn mikin, jrk iwtkn lm trnsormsi Torm 4..5 Ls inrint lm trnslsi Brsrkn Torm 4... ls rh ng itntkn olh tig titik smrng ng tik sgris p ing,,,,,, lh Ls = (/) s Stlh trnslsi, ls rh ng itntkn olh ngn ri ktig titik ini lh: Ls = (/) s ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( Trnt k ls ini kiln. Contoh: Dikthi mtri trnslsi 7 T
29 Dn titik-titik (,), (,5) n (6,). Tnjkknlh hw ls ng itntkn olh titiktitik ini tik rh olh n trnslsi T. Brsrkn prsmn 4.., ls rh ng itntkn olh ktig titik ini lh s Bngn ri titik-titik ng ikthi olh T iprolh ri Ls rh sgitig ng itntkn olh ktig titik ini lh 8 9 s 9.5 Ji ls rh k sgitig it sm. Mrprsntsi Rotsi Prsmn mtri ntk rotsi trhp sh titik ngn pst titik sl n mlli st st lh Dimn st ptr ng rlwnn ngn rh jrm jm lh positi. Mtri p pojok kiri ts rikt ini kn mrorintsikn ok i ing. Kolom ktig p mtri it mntkn titik pst rotsi, it titik sl koorint.
30 Torm 4..6 Dikthi rotsi p titik sl R Inrs ri R lh R ( ( ) ) ( ( ) ) Contoh: Tntkn ngn ri titik (,) olh rotsi rlwnn ngn ptrn jrm jm rpst i titik sl. Rotsi itntkn olh Bngn ri titik ng ikthi lh Oprsi inrs pt ipliksikn p ngn ri titik ntk mngmliknn p loksi sml lh sgi rikt.
31 = Inrint p st rotsi Sr gomtri pling sikit st titik inrint lm st rotsi, it titik pst rotsi. Krn tip titik linn mnglmi prhn posisi ng itntkn olh jrk ri titik pst prptrn n st ptr, tik lgi titik-titik lin ng inrint. Fkt ini sr mh pt iprlihtkn sr nlitis. Torm 4..7.Titik pst koorint sgi pst rotsi lh inrint trhp rotsi R Bngn ri titik sl (,) lm rotsi isjikn olh Untk mnnjkkn hw titik sl lh st-stn titik inrint ( il st kliptn, pnsikn prsmn mtri kn Shingg iprolh n. Dngn mnlsikn k prsmn ini ntk mmprolh, =
32 Dngn mnmkn k prsmn ini n mlkkn prklin mnilng kn iprolh prsmn ( ) ( ). Krn n n positi, st-stn nili ng mmnhi prsmn lh =. Sstitsikn nili ini k lm prsmn ntk mmprolh, itmkn hw =. Ji st-stn titik inrint lh titik sl koorint. Sr gomtri. Stip gris i ing irorintsikn lm st rotsi, shingg tik kn prnh gris inrint slin ri prptrn ngn st ptr lh kliptn 8. Hl ini iprtgs lm torm rikt. Torm 4..8 Rotsi-rotsi ( imn knlh kliptn ) tik mmpni gris inrint. Snin gris inrint, mk gris ini tik rpinh lm st trnsormsi, krn it hrs rlk k, k gr mmngkinkn ntk-ntk qiln gi gris ng sm. Torm mnimplkn hw k Dngn pnsi n pnrhnn trhp sk-sk, iprolh hsil-hsil rikt:. k. k. k Jik,. Mk hsil pt isrhnkn mnji k, ngn n Dngn mikin iprolh solsi-solsi rntk Koi sk k jls kn st konstnt, shingg ok ng igmrkn ini knlh st gris. Ji tik gris ng iwtkn lm st trnormsi ng mrpkn rotsi.
33 Rotsi-rotsi lh trnsormsi-trnsormsi ng mm lm khipn kshrin. Pnglmn kmi mnrnkn hw jrk n ls iwtkn jg lm rotsi. Torm-torm rikt ini mmormlkn ksn-ksn trst. Torm 4..9 Jrk lh inrint p rotsi Contoh: Tntkn jrk ntr titik (,) n (,) n ngn p st rotsi 9 srh ngn prptrn jrm jm. Dngn mnggnkn rms jrk, jrk ntr (,) n (,) lh. Bngn ri titik-titik ini olh rotsi itntkn sgi rikt. Dngn mnggnkn rms jrk trhp titik-titik ini jg kn mnghsilkn. Ji jrk ntr titi-titik slm n ssh rotsi ttp sm. Torm 4.. Ls lh inrint trhp rotsi. Contoh: Dikthi mtri rotsi R = n titik (,), (, 5) n (6, ). Prikslh pkh ls rh ng itntkn olh ktig titik ini wt olh n rotsi olh R. Brsrkn prsmn 4., rh ng itntkn olh titik-titik ini itntkn olh 6 s Bngn ri titik-titik ng ikthi olh n rotsi R, itntkn olh:
34 Ls rh sgitig ng itntkn olh titik-titik ini lh s Ji rh ng itntkn olh k sgitig ini lh sm. Isomtri-isomtri tik lngsng Mrprsntsi rlksi Mtriks rlksi Prsmn mtri ntk rlksi sh titik trhp sm itntkn olh: Dngn n trnsormsi ini, stip titik iptkn onto k titik ng mmpni koorint ng sm, ttpi koorint n rlwnn tn. Akitn, stip titik
35 i ts sm iptkn k titik ng rkorsponnsi i wh sm, n slikn. Contoh: Tntkn ngn ri titik (, ) olh rlksi trhp sm. Prsmn mtriks n lh: Sr gomtri, olh rlksi, sh ok n ngnn kn kongrn. Akn ttpi st orintsi ng trlik. Dimli ri A, rgrk kliling ok srh ngn ptrn jrm jm, rtn titik-titik st lh A-B-C. Dimli ri A, n mnglngi prosr, rtn titik-titik st lh : A -C -B. Tik kominsi ri trnslsi ng pt mngkitkn hsil ini. m A A B B C C Gmrlh sh sgitig k ng ipotong olh sm rlksi. Tntknlh ngn ok ini olh trnsormsi.
36 Prn ng jls ntr trnsormsi rlksi ngn trnslsi n rotsi sngt nt. Misln, ik trnslsi mpn rotsi pt islsikn ngn mnggnkn komposisi ri rlksi-rlksi. Gmr rikt mnnjkkn gris rlksi ng prll, j n k,n rtn ri tig sgitig. Jik sgitig ipnng sgi ok, rlk trhp gris j lh sgitig. Rlksi ri sgitig trhp gris k lh sgitig. Jls hw sgitig lh trnslsi ri sgitig. Dngn mnggnkn logik ng sm, sgitig pt ionng sgi ngn ri sgitig olh krn rlksi ng rtrt-trt, ml-ml p gris k n kmin trhp gris j. Trpt st hngn srhn ntr pnjng ri ktor ngn jrk ntr gris-gris rlksi. Untk mnmkn hngn it, lkknlh sgi st ltihn. Gmrlh st sgitig k ng ipotong olh gris rlksi j.tntknlh ngn ri sgitig it olh n komposisi ri trnsormsi-trnsormsi. Gmr rikt ini mnnjkkn gris rlksi ng rpotongn j n k, n srngkin tig h sgitig. Pnng sgitig prtm sgi ok, rlk trhp gris j lh sgitig. Rlksi ri sgitig trhp gris k lh sgitig. Sngt jls sgitig lh rotsi ri sgitig. Dngn mnggnkn logik ng sm, sgitig pt ipnng sgi ngn ri sgitig olh n
37 rlksi ng rtrtn, ml-ml trhp gris k, kmin trhp gris j. Sm sprti p pnrminn trhp gris ng prll, st rlsi srhn n st ng intk olh gris rlksi. Untk mnmkn hngn it, lkknlh sgi st ltihn. Gmrlh st sgitig k ng ipotong olh gris rlksi j. Tmknlh ngn ri sgitig it olh n komposisi ri trnsormsi-trnsormsi. Kntn hw trnslsi-trnslsi n rotsi-rotsi kn pt itlis sgi komposisi ri rlksi-rlksi, smntr tik kominsi ntr trnslsi n/t rlksi ng ng sm ngn st rlksi, mnmptkn rlksi sgi st tom ri isomtri. Sm isomtri pt itlis sgi st komposisi ri rlksirlksi. Untk lsn ini, sr mtmtik, rlksi lih nmntl rip trnslsi n rotsi. Rlksi-rlksi jg lih mnrik n mnnngkn lm rti prsonl Dngn rpikir sr gomtri, jls hw stip rlksi lh inrs ri irin sniri. Trnsormsi ngn mrlksikn st titik ng ikthi trhp st gris kn itikn ngn r mrlksikn titik it lgi. Torm rikt ini mnjikn st notsi. Torm: Dikthi st rlksi trhp sm
38 F = Inrs ri F lh Bkti ri torm ini iirkn sgi ltihn. Inrin p Rlksi Eksistnsi titik-titik n gris-gris inrint p st rlksi pt isliiki sr gomtri mpn sr nlitis. Dngn r rpikir gomtri, jlslh hw titik-titik sng trltk p gris rlksi tik rpinh olh n trnsormsi ini. Mrk inrint. Olh krn lm trnsormsi ini, stip titik ng trltk p gris rlksi lh ttp, gris ini inmkn point wis inrint. Dmikin jg, sm gris ng tgklrs trhp gris rlksi lh inrint, sklipn tik point wis inrint. Sgi ontoh, lm kss rlksi trhp sm, ngkn sm titik p gris =, mlnr mlli st ngn linn ktik mrk mlwti sm ntk mnmpti posi ng r, smn kolinr. Ji, ktik titik-titik sr iniil tik inrint, ttpi gris imn titik-titik it trltk tik mnglmi prpinhn. Gris ini inrint. Pnting ntk iingt hw k psngn gris inrint ini orthogonl st trhp linn. Torm: Titik-titik p sm lh inrint p rlksi R = Untk sm titik inrint (,, ) Dngn mlkkn kspnsi n mnrhnkn prsmn, iprolh = n =. Intrprtsi ri tmn ini lh tik trts, ttpi tik trts, ttpi =.
39 Dngn kt lin, sm titik rntk (,, ) lh inrint. Sm titik sprti it trltk p sm. Torm: Sm rlksi n sm gris ng tgklrs pn lh inrint p R = Gris-gris inrint tik rpinh lm st trnsormsi, shingg [ ] = k [ ] Dngn k ntk mmri plng gi ntk kiln ri gris ng sm. Shingg, [ ] = k [ ] Dngn mngkspnsi n mnrhnkn sk-sk, iprolh hsil rikt ini:. = k. = k. = k. Jik k =, mk osrsi pt isrhnkn mnji =. Dn ini mnghsilkn [ ]
40 Ini jg pt itlis sgi = - /. Ini lh prsmn ri gris ng tgklrs p sm. Olh krn tik trts, mk prsmn ini mrprsntsikn sm gris ng tgklrs p sm. Jik k =, nlisis ng sm kn mngrh p ntk [ ] ng jg pt itlis sgi =. Prsmn ini lh sm Torm: Jrk lh inrin lm trnsormsi rlksi Torm: Ls lh inrin lm trnsormsi rlksi
41 KOMPOSISI DAN ANALISIS TRANFORMASI Trnsormsi-trnsormsi ng ipljri smpi p gin ini lh ng spsil: Rotsi ngn titik pst rotsi lh titik sl koorint, n kn rotsi p smrng titik P; rlksi trhp sm, n kn rlksi trhp smrng gris r, st. Mtriks-mtriks ng rkitn ngn hl-hl spsil ini jik iningkn ngn ng linn, lh mtriks mtriks ng srhn. Dlm ini kit sliiki pnggnn mtriks-mtriks srhn sgi iling lok lm mngkonstrksi trnsormsi-trnsormsi ng lih komplks n mtriks-mtriksn. Strtgi ng mm ignkn lh mngngkpkn trnsormsi ng iinginkn sgi st komposisi ri mtriks-mtriks srhn, srt inrsn. Misln, rotsi p ing ngn titik pst rotsi (, ) pt iprolh mlli komposisi ri tig grkn p ing Eli: T: Trnslsikn titik pst rotsi k titik sl. R: Rotsi p pst rotsi ng skrng lh titik sl T - : Trnslsikn titik pst rotsi k lok sml it (, ). Untk st kmpln titik X, komposisi ri mtrik-mriks it pt itlis sgi rikt: T - RTX = X -, t Dngn mlkkn prklin ri kiri k knn, iprolh : ( ) ( ) Ini lh rms mm ntk rotsi ngn pst (,), n iormlkn lm torm rikt. Krn kolom ktig trliht rmit, nk mhsisw mtmtik lih sk mnggnkn komposisi mtriks ntk mntkn rotsi.
42 Torm: Dikthi titik pst rotsi lh (, ), n st ptr lh rot irikn olh:, trnormsi ( ) ( ) Mnjikn Rlksi sgi komposisi ri mtriks C Eqtion(Lin DB): = Eqtion(Lin CA): = -. gris ng trtrnslsi D gris ng trotsi s A B - St ptr Pnktn ng sm pt itmph ntk mrprsntsikn st rlksi trhp st gris ng kn sm. Gmr i ts ini mnnjkkn st gris ngn prsmn = Ml-ml gris ng ikthi it itrnslsikn olh T smikin shingg ngnn mlli titik sl. Slnjtn ngn ini irotsikn olh R rlwnn ngn rh ptrn jrm jm sp rimpit ngn sm. Stlh mlkkn rlksi F trhp sm, ilkkn lgi rotsi R - n Trnslsi T - ntk mngmlikn gris ng trlksi ti k posi sml. Komposisi ri
43 trnsormsi-trnsormsi ini pt intkn sgi T - R - F R T X = X. Prsmn mtriks n lh: Dimn st ptr lh = rtn () St mtriks trnsormsi itntkn ntk rlksi trhp gris l [ ], imn l mmotong sm i titik - / ngn kmiringn -/,. Torm: Dikthi gris l [ ], mtriks trnsormsi R ntk rlksi p l itntkn olh ( ) ( ) R, imn Contoh: Tntknlh mtriks trnsormsi ntk st rlksi trhp gris [ - ]. Mislkn = -, =, n =, mtriks trnsorm lh R = Mnntkn st mtriks ntk trnsormsi linr jik ikthi ok n ngnn St tgs ng trkit ngn ini lh mnntkn mtriks ri st trnsormsi linr jik ikthi ok n ngnn lm trnsormsi ini. Yit, ikthi st kmpln titik X n ngnn X, kit mnntkn st mtriks A smikin shingg AX = X. Is prtm ng hrs iprhtikn lm hl ini lh Brp titik ng iprlkn? Dngn rpikir sr nlitis, prtnn ini pt
44 intkn sr lin: Jik ikthi nili-nili ri,,, n, pkh nili-nili,,,, n kn sr nik itntkn olh prsmn Sgi ontoh, jik kit mil (,, ) = (,, ) n (,, ) = (,, ), mk prsmn ini kn mnghsilkn ntk ljr + + = n + + =. Jlslh hw nk pilihn ntk nili-nili,,,,,, n ng mmnhi prsmn-prsmn ini. Kit pt mmnng trnslsi T mmtkn (,, ) onto (,, ). Altrnti linn, trnsormsi ng isikn olh mtri Akn mmrikn hsil ng sm. Dngn mikin, jik hn ikthi st titik n ngnn, mk mmng tik kp ntk sr nik mnntkn st trnsormsi linr. Apkh ngn ikthi titik n ngnn, mk kit kp pn inormsi ntk mngtkn hw hn st mtriks? Prsmn mtriks ntk titik n ngnn lh sgi rikt. Untk mngksplor kmngkinn ini, mislkn trnsormsi ini mmtkn titik (,, ) onto (,, ), n titik (,, ) onto (,, ). Pngnin ini mnghsilkn hngn + =, n + =. Olh krn trpt t hingg pnl ntk prsmn-prsmn ini, ngn hn mngnkn titik tik kn mnghsilkn st prsmn linr. Bgimn jik ignkn tig titik? Dngn smsi ini, prsmn mtriks mnji
45 Prsmn mtriks rntk sprti ini, AX = X, pt islsikn trhp A slkn X. Dlm hl tig titik it tik kolinr, mk X. Jik prsrtn ini trpnhi, solsi ri prsmn mtri ti pt itlis sgi A= X X. Contoh: Tntknlh mtris trnsormsi T ng mmtkn himpnn titik-titik X = mnji himpnn titik-titik X Is prtm lh mnntkn pkh X. Dngn pngkn ng pt pt itmkn hw trminn ini sm ngn -5. Lngkh riktn lh mnntkn inrs ri mtriks X = Inrs ri X lh X Trnsormsi ng lm ikthi it irikn olh A = X X, t A =
46 Gris-Gris Inrint n Vtor-tor Eign Di gin pn ijmpi hw prsmn A k imoiiksi sgi A k ktik kit mnri gris-gris inrin p st trnsormsi linr A. Skrng kit o mngksplor hngn intr A k n hngn mtmtik ng trknl linn, it nili ign t krktristik p prsmn mtriks. Prsmn ign sring itlis sgi T, imn T lh st mtri, n V n V lh st rng ktor. Untk st mtri T ng ikthi, psngn n ng mmnhi prsmn ini rtrt-trt inmkn nili ign n ktor ign. Sr gomtris hngn ini iintrprtsikn sgi rikt: st ktor iskl lgi olh n hn mnglmi prhn srn lm krn pnjng n/t rh ng rlik. Agr hl ini trji, ik tpn ngnn hrs trltk p gris ng sm, l. Akitn, gris l hrs inrint trhp T. Hl ini mnrnkn hw prosr ntk mnntkn nili ign n ktor ign pt itrpkn ntk kprln mnntkn gris inrint trhp st trnsormsi linr. Dngn mmningkn prsmn gris A k n prsmn ign T, jlslh hw nili-nili ng iprolh ntk k p ontoh-ontoh i gin ssngghn lh nili-nili ign ng rkitn ngn mtriks trnsormsi A. Prsmn ign T pt itlis lgi sgi T. Dngn mmktorkn ntk ini ngn ktor, n mnglikn ngn mtriks intits I kn mnghsilkn ( T I). Dlm ntk mtriks, ini lh t t t t t t Dpt iprlihtkn hw prsmn ini mmpni pnl ng nontriil jik, t t t t t t =
47 Dtrminn ini pt isrhnkn n islsikn ntk mmprolh nili. Mnk nili nili ign tlh itntkn, ktor-ktor ign pt iprolh ngn mnsstitsikn nili nili ign ini p prsmn ign. Vktor-ktor ign ini pt ignkn ntk mngintiiksikn gris-gris inrin. Klkltor tp TI-9, Mpl, Mtl pt mnmkn nili ign n ktor ign sr otomtis. Contoh: Tntkn nili ign n ktor ign ng rkitn ngn trnsormsi linr Nili-nili ign ng rtlin ngn mtriks ini iprolh ri prsmn Jik rs kiri ikspnsikn mk kn iprolh prsmn ( )( ). Prsmn ini islsikn kn mnghsilkn nili.tip nili ign ini jik isstitsikn klm prsmn ign T, it. Jik, prsmn ini kn mnghsilkn, n. Intrprtsi, ri hsil ini lh hw ntk kn mnkn n tik trts. Vktor ign ng rkitn ngn nili ign rntk t. Sm gris ini tgk lrs p sm. Jik, prsmn ini kn mnghsilkn, n. Intrprtsi ri hsil ini lh hw, ng mnkn tik trts. Vktor ign rsosisi ngn sm gris rntk t =. Ini lh sm. Prl ipriks hw nili-nili ign ng mngkin ntk st isomtri lh n -.
48
BILANGAN KROMATIK LINIER DARI KOMPLEKS PERSEKITARAN GRAF SEDERHANA Frisda Thertiyantus Vinarista 1, I Ketut Budayasa 2
BILANAN KROMATIK LINIER DARI KOMPLEKS PERSEKITARAN RAF SEDERHANA Fris Thrtints Vinrist, I Ktt Bs Jrsn Mtmtik, Fklts Mtmtik n Ilm Pngthn Alm, UNESA Kmps Ktintng 603, Srb Emil: [email protected], [email protected]
3 Berapa jumlah maksimum dan jumlah minimum simpul pada graf sederhana yang mempunyai 12 buah sisi dan tiap simpul berderajat 3?
GRF No Sol Untuk stip sol i wh, sutkn pkh gr srhn ngn lim simpul (vrtx) yng mmiliki rjt untuk msing-msing simpul sgi rikut? Jik, gmr grny! ),,,, ),,,, ),,,, ),,,, Mungkinkh iut gr-srhn simpul ngn rjt msing-msing
I PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI
I PENDAHULUAN 1.1 Ltr Blkn Mslh trnsportsi n istrisi prok lm khipn shri-hri pt imolkn si hil rotin prolm (VRP). Mol VRP kn mnhsilkn sjmlh rt knrn ntk mnnjni stip konsmn. P mmn, stip rt rl n rkhir p tmpt
BAB VI. FUNGSI TRANSENDEN
BAB VI. FUNGSI TRANSENDEN 6.. FUNGSI LOGARITMA NATURAL ASLI) 6.. FUNGSI INVERS DAN TURUNANNYA 6.3. FUNGSI EKSPONEN NATURAL 6.4. FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA UMUM 6.5. PENGGUNAAN FUNGSI LOGARITMA DAN EKSPONEN
DIFERENSIASI. dy dx nx e kx. e x. ke a x ln a 1. ln x. y sinh x. sec x 2
DIFERENSIASI Kofi ifrnsil bku Tbl brikut mmut ftr itrnsil bku ng psti prnh n gunkn bbrp kli sblum ini. n k ln log f () tn cot c h h n n k k ln. ln sc c c. cot h h Bukti untuk u fungsi ng trkhir ibrikn
Aljabar Linear Elementer
Aljr Liner Elementer MA SKS Sils : B I Mtriks dn Opersiny B II Determinn Mtriks B III Sistem Persmn Liner B IV Vektor di Bidng dn di Rng B V Rng Vektor B VI Rng Hsil Kli Dlm B VII rnsformsi Liner B VIII
II. TINJAUAN PUSTAKA. pasangan itu dengan operasi-operasi tertentu yang sesuai padanya dapat
3 II. TINJUN PUSTK. Sistm ilnn Komplks Sistm ilnn komplks dpt dinytkn scr orml dnn mnunkn konsp psnn trurut ordrd pir ilnn riil,. Himpunn smu psnn itu dnn oprsi-oprsi trtntu yn ssui pdny dpt didinisikn
DT-51 Application Note
DT- Applition Not AN Eltroni Puzzl Olh: Tim IE & Gtut Eko Dryni (Univrsits Ktholik Wiy Mnl) Apliksi ini irnn si prminn puzzl lktronik x. Sistm ini mnunkn moul DT MinSys Vr.., Pushutton n Svn Smnt. Mto
Bab 7 TRANSFORMASI LINEAR
B 7 ANSFOMASI LINEA Ser mm trnsformsi (pemetn) iefinisin ri st himpnn e himpnn lin. P ini it n mempeljri trnsformsi ri st rng etor e rng etor yng lin sehingg opersi stnr p rng etor (penjmlhn n perlin engn
Bab 4. Contoh 4.1 : Berikut adalah beberapa contoh notasi vektor : b. b = b 1 i ˆ +b kˆ
B 4 Vektor di Bidng dn di Rng Vektor merpkn esrn yng mempnyi rh. Pd ini kn dijelskn tentng ektor di idng dn di rng, yng diserti opersi dot prodct, cross prodct, dn penerpnny pd proyeksi ektor dn perhitngn
PENDAHULUAN. X dikatakan peubah acak kontinu, jika ada sebuah fungsi non negatif f, yang didefinisikan pada semua bilangan real, x (,
EUBAH ACAK KONTINU ENDAHULUAN diktkn puh ck kontinu, jik d suh ungsi non ngti, yng didinisikn pd smu ilngn rl,,, Mmpunyi sit hw untuk smrng himpunn ilngn rl B B d B Fungsi disut sgi ungsi kpktn plung Brp
JURNAL MATEMATIKA DAN PEMBELAJARANNYA 2016 VOLUME 2, NO. 1. ISSN PENERAPAN FUNGSI GAMMA DALAM PEMBUKTIAN 0! = 1
JURNAL MATEMATIKA DAN PEMBELAJARANNYA 6 VOLUME, NO.. ISSN -99 PENERAPAN FUNGSI GAMMA DALAM PEMBUKTIAN! = Amr Hs Dos STKIP Pmg Idosi Mkssr 85 557 6956, E-mil: [email protected] ABSTRAK Pmkti! = dt dilkk dri
Ruang Vektor Umum. V dinamakan ruang vektor jika terpenuhi aksioma : 1. V tertutup terhadap operasi penjumlahan
/8/5 Mtris & Rng Vetor Rng Vetor Umm Strt Rng Vetor Umm Misln v w V dn l Riil V dinmn rng vetor ji terpenhi siom :. V terttp terhdp opersi penjmlhn Unt setip v V m v V.. v v ( v w ) ( v ) w. Terdpt V sehingg
Vektor di R2 ( Baca : Vektor di ruang dua ) adalah Vektor- di ruang dua )
A Pengertin Vektor Di R Vektor di R ( B : Vektor di rung du ) dlh Vektor- di rung du ) dlh Vektor-vektor ng terletk pd idng dtr pengertin vektor ng leih singkt dlh sutu esrn ng memiliki esr dn rh tertentu
RUANG VEKTOR REAL. Kania Evita Dewi
RUANG VEKTOR REAL Kni Eit Dewi Definisi Vektor dlh besrn yng mempnyi rh. Notsi: Notsi pnjng ektor: k j i ˆ ˆ ˆ Vektor stn Vektor dengn pnjng t norm sm dengn st Opersi ektor Penjmlhn ntr ektor Mislkn dn
Aljabar Linear Elementer
Aljr Liner Elementer MA SKS Sils : B I Mtriks dn Opersiny B II Determinn Mtriks B III Sistem Persmn Liner B IV Vektor di Bidng dn di Rng B V Rng Vektor B VI Rng Hsil Kli Dlm B VII Trnsformsi Liner B VIII
Aljabar Linear Elementer
Aljr Liner Elementer MA SKS Sils : B I Mtriks dn Opersiny B II Determinn Mtriks B III Sistem Persmn Liner B IV Vektor di Bidng dn di Rng B V Rng Vektor B VI Rng Hsil Kli Dlm B VII Trnsformsi Liner B VIII
PENENTUAN POSISI DAN ORIENTASI KAPAL DALAM SISTEM RUANG TIGA DIMENSI DARI FOTO STEREO
Spctr Noor 8 Vol I Jli : 36-48 PENENTUN POSISI DN ORIENTSI KP DM SISTEM RUNG TIG DIMENSI DRI FOTO STEREO Hr Prwnto Dosn Tknik Godsi FTSP ITN Mlng BSTRKSI Didl pross dlinisi gris pnti ntk pnntn ts riti
2.2. BENTUK UMUM PERSAMAAN GARIS LURUS
B II : Fungsi Liner Dlil : Grfik ri fungsi-fungsi liner (liner rtin pngkt stu tu stright) lh sutu gris lurus... GARIS LURUS MELALUI TITIK ASAL (,) S. Y Trik Gris ri titik O ke titik P imn OP terletk p
CATATAN KULIAH Pertemuan XIV: Analisis Dinamik dan Integral (2) Oleh karena bukan angka, maka integral di atas didefinisikan sebagai:
CATATAN KULIAH Prtmun XIV: Anlisis Dinmik dn Intgrl (2) A. Intgrl Tk Wjr (Impropr Intgrl) Intgrsi dngn Limit Tk Hingg Bntuk intgrl tk wjr jnis ini s: f ) ( d dn f ( ) Olh krn ukn ngk, mk intgrl di ts didfinisikn
Penerapan Pohon dan Algoritma Heuristic dalam Menyelesaikan Sliding Puzzle
Pnrpn Pohon n Algoritm Huristic lm Mnylsikn Sliing Puzzl Rzn Achm (13508104) Progrm Stui Inormtik Institut Tknologi Bnung Jln Gnsh 10 Bnung mil : [email protected]; [email protected] ABSTRAK Sliing
Yijk = µ + Ai + Bj(i) + є ijk
XI. RANCANGAN ACAK LENGKAP POLA TERSARANG Rncngn Ack Lengkp Pol Tersrng dlh rncngn percon dengn mteri homogen t tnp peh penggngg, terdiri dri d peh es t fktor dlm klsfiksi tersrng yit Fktor A terdiri dri
BAB 6 INTEGRAL DAN PENGGUNAANNYA
Dik Klih TK Memik BB 6 INTEGRL DN PENGGUNNNY 6 Inegrl Tken nirnn) F Fngsi F ise nirnn inegrl) ri f p inervl I jik f ) Jik ng ikehi lh f), nk menpkn F) ilkkn penginegrln Secr mm ilis, engn lh konsn Simol
BAB XXI. TRANSFORMASI GEOMETRI
BAB XXI. TRANSFORMASI GEOMETRI Trnsformsi digunn untu untu memindhn sutu titi tu ngun pd sutu idng. Trnsformsi geometri dlh gin dri geometri ng memhs tentng peruhn (let,entu, penjin ng didsrn dengn gmr
VEKTOR DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO UNIVERSITAS INDONESIA
VEKTOR DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO UNIVERSITAS INDONESIA Pengertin Dsr Vektor merpkn kombinsi dri st besrn dn st rh Vektor dpt dintkn dlm pnh-pnh, pnjng pnh mentkn besrn ektor dn rh pnh mennjkkn rh ektor
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 3 Sistem Persmn Liner Sistem Persmn Liner Su Pokok Bhsn Pendhulun Solusi SPL dengn OBE Solusi SPL dengn Invers mtriks dn Aturn Crmmer SPL Homogen Beerp Apliksi
TRANSFORMASI GEOMETRI
TRANSFORMASI GEOMETRI Trnsformsi digunn untu untu memindhn sutu titi tu ngun pd sutu idng. Trnsformsi geometri dlh gin dri geometri ng memhs tentng peruhn (let,entu, penjin ng didsrn dengn gmr dn mtris.
LEMBAR KERJA SISWA. Pengurangan matriks A dengan B, dilakukan dengan menjumlahkan matriks A dengan matriks negatif (lawan) B.
LEMBAR KERJA SISWA Juul (Mteri Pokok) : Pengertin, Kesmn, Trnspos, Opersi n Sift Mtriks Mt Peljrn : Mtemtik Kels / Semester : XII / Wktu : menit Stnr Kompetensi : Menggunkn konsep mtriks, vektor n trnsformsi
BAB 3 VEKTOR DI R 2 DAN R 3. Dr. Ir. Abdul Wahid Surhim, MT.
BAB VEKTOR DI R DAN R Dr. Ir. Adl Whid Srhim, MT. KERANGKA PEMBAHASAN. Definisi Vektor di R dn R. Hsil Kli Slr. Hsil Kli Silng 4. Gris dn Bidng di R . DEFINISI VEKTOR DI R DAN R Notsi dn Opersi Vektor
VEKTOR. Bab 20. a. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor. ; OB b. maka OA AB OB. dan. maka. Contoh : Tentukan nilai x dan y dari Jawab :
VEKTOR B Penjmlhn dn Pengrngn Vektor. OA ; OB mk OA AB OB AB OB OA AB dn v c d mk v c c d d Contoh : Tentkn nili x dn y dri Jw : Jdi nili x - 8 dn y - ½ Pnjng Vektor Misl, mk pnjng (esr/nili) vector ditentkn
PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT. Oleh Shahibul Ahyan
PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT Oleh Shhil Ahyn A. Bentk Umm Persmn Kdrt Definisi : Mislkn,, Rdn, mk persmn yng erentk + + = dinmkn persmn kdrt dlm peh. Berkitn dengn nili-nili dri,, dikenl eerp persmn kdrt
Matematika Dasar VOLUME BENDA PUTAR
OLUME BENDA PUTAR Ben putr yng seerhn pt kit mil ontoh lh tung engn esr volume lh hsilkli lus ls ( lus lingkrn ) n tinggi tung. olume ri en putr ser umum pt ihitung ri hsilkli ntr lus ls n tinggi. Bil
DETERMINAN dan INVERS MATRIKS
// DETERMINN n INVERS MTRIKS Trnspose Mtriks () Jik mtriks mxn, mk trnspose ri mtriks ( t ) lh mtriks erukurn nxm yng iperoleh ri mtriks engn menukr ris engn kolom. Ex: t // SIFT Trnspose Mtriks () Sift:.
BAB XXI. TRANSFORMASI GEOMETRI
BAB XXI. TRANSFORMASI GEOMETRI Trnsformsi digunn untu untu memindhn sutu titi tu ngun pd sutu idng. Trnsformsi geometri dlh gin dri geometri ng memhs tentng peruhn (let,entu, penjin ng didsrn dengn gmr
BAB 3 SOLUSI NUMERIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR
A SOLUSI NUMERIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Metode Eliminsi Guss Tinu sistem persmn liner ng terdiri dri i ris dn peuh, kni,,,, erikut.......... i i i Jik =, sistem persmn linern diseut sistem homogen, sedngkn
f g DEKODER Gambar 2.1. Pemecah sandi (Dekoder)BCD ke seven segment
PERCOBAAN DIGITAL 02 PEMECAH SANDI (DECODER) 2.1. TUJUAN 1. Mnnl, mmpljri n mmhmi oprsi rnkin loik untuk mmh sni ilnn siml. 2. Mmhmi r mnmpilkn t mnunkn pr svn smnt (7 rus). 3. Mnnl n mmhmi r krj sutu
selisih positif jarak titik (x, y) terhadap pasangan dua titik tertentu yang disebut titik
Hiperol 7.1. Persmn Hiperol Bentuk Bku Hiperol dlh himpunn semu titik (, ) pd idng sedemikin hingg selisih positif jrk titik (, ) terhdp psngn du titik tertentu ng diseut titik fokus (foci) dlh tetp. Untuk
INTEGRAL. Misalkan suatu fungsi f(x) diintegralkan terhadap x maka di tulis sebagai berikut:
INTEGRAL.PENGERTIAN INTEGRAL Integrl dlh cr mencri sutu fungsi jik turunnn di kethui tu kelikn dri diferensil (turunn) ng diseut jug nti derivtif tu nti diferensil. Untuk menentukn integrl tidk semudh
LIMIT FUNGSI. DEFINISI Notasi. dibaca. limit f(x) bila x mendekati a sama dengan L. atau. f(x) mendekati L bila x mendekati a.
DEFINISI Notsi dibc tu berrti bhw IMIT FUNGSI it bil mendekti sm dengn mendekti bil mendekti nili dpt dibut sedekt mungkin dengn bil cukup dekt dengn, tetpi tidk sm dengn. Perhtikn bhw dlm deinisi tersebut
GRAF TERAPAN. Diktat Kuliah UNIVERSITAS PAMULANG. ( Digunakan untuk kalangan sendiri ) Ari Mulyoto, S.Pd, M.Si.
Diktt Kulih GRAF TERAPAN ( Digunkn untuk klngn sniri ) Ari Mulyoto, S.P, M.Si. JURUSAN TEKNIK REKAYASA PERANGKAT LUNAK UNIVERSITAS PAMULANG i DAFTAR ISI hlmn DAFTAR ISI i PENDAHULUAN B GRAF 2 A. DEFINISI
3. LIMIT DAN KEKONTINUAN
3. LIMIT DAN KEKONTINUAN 1 3.1 Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi 1 1 Fungsi dits tidk terdeinisi di =1, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn berp
A x = b apakah solusi x
MTRIKS INVERSI & SIFT-SIFTNY Bil, x, dlh sklr ilngn rel yng memenuhi x, mk x pil. Sekrng, untuk sistem persmn linier x pkh solusi x dpt diselesikn dengn x? Mtriks Identits Untuk sklr (rel numer dn ), mk.
PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Persmn Kudrt. Bentuk Umum Persmn Kudrt Mislkn,, Є R dn 0 mk persmn yng erentuk 0 dinmkn persmn kudrt dlm peuh. Dlm persmn kudrt 0, dlh koefisien
VEKTOR. Dua vektor dikatakan sama jika besar dan arahnya sama. Artinya suatu vektor letaknya bisa di mana saja asalkan besar dan arahnya sama.
-1- VEKTOR PENGERTIAN VEKTOR dlh sutu esrn yng mempunyi nili (esr) dn rh. Sutu vektor dpt digmrkn segi rus gris errh. Nili (esr) vektor dinytkn dengn pnjng gris dn rhny dinytkn dengn tnd pnh. Notsi vektor
Soal-soal dan Pembahasan Matematika Dasar SBMPTN-SNMPTN 2006
www.purwntowhyudi.com Hl- Sol-sol dn Pemhsn Mtemtik Dsr SBMPTN-SNMPTN 006. Jik > 0, > 0 dn mk A. C. E. B. D. Jw:. Jwnny dlh A. Jik p - dn q -, mk q p. A. C. E. B. D. Jw: q p Jwnny dlh A . Grfik y terletk
5. Persamaan Diferensial (2) (Orde Dua) Sudaryatno Sudirham
Drulic www.drulic.com 5. Prmn Difrnil Ord Du Sudrno Sudirhm 5.. Prmn Difrnil Linir Ord Du Scr umum rmn difrnil linir ord du rnuk d d c f 5. d d Pd rmn difrnil ord u ki lh mlih hw olui ol rdiri dri du komonn
BAB III TRANSFORMASI LINEAR
Diktt ljr Liner II BB III RNSFORMSI LINER DEFINISI RNSFORMSI LINER Jik V W msing msing lh rung vektor mk V W msing msing merupkn himpunn Dengn emikin pt iut sutu fungsi ntr V n W erkit engn struktur ri
BAB 7. LIMIT DAN LAJU PERUBAHAN
BAB 7. LIMIT DAN LAJU PERUBAHAN 7. LIMIT FUNGSI 7.. Limit fungsi di sutu titik Menggmbrkn perilku fungsi jik peubhn mendekti sutu titik Illustrsi: Dikethui f( ) f(), 3,30,0 3,030,00 3,003 3 f() = f() 3,000?
VEKTOR. Information System Department TELKOM Polytechnic Bandung
VEKTOR Mt Klih Oleh : Clls (MF) : Hnng N. Prsetyo Informtion System Deprtment TELKOM Polytehni Bndng Clls/Hnng NP/Politeknik Telkom . Vektor di Rng Besrn Sklr dn Besrn Vektor Besrn sklr dlh esrn yng hny
E-LEARNING MATEMATIKA
MODUL E-LEARNING E-LEARNING MATEMATIKA Oleh : NURYADIN EKO RAHARJO, M.PD. NIP. 97 Penulisn Moul e Lerning ini iii oleh n DIPA BLU UNY TA Sesui engn Surt Perjnjin Pelksnn e Lerning Nomor 99.9/H4./PL/ Tnggl
BAB V TRANSFORMASI GEOMETRI
- - Evlusi Pemhmn dn Pengusn teri P c d D D D c d c d e c c Trnslsi (-) oleh dlh: c Trnslsi (-) oleh dlh: () () () () () () O() ngun hsil segi emt O oleh V TNSFOSI GEOETI Ltihn Kometensi Sisw - - trnslsi
VEKTOR. seperti AB, AB, a r, a, atau a.
VEKTOR I. KOMPETENSI YANG DICAPAI Mhsisw dpt :. Menggmr vektor dengn sistem vektor stun.. Menghitung perklin vektor. 3. Menghitung penmhn vektor dengn turn segitig, turn rn genng, dn turn poligon. 4. Menghitung
E-LEARNING MATEMATIKA
MODUL E-LEARNING E-LEARNING MATEMATIKA Oleh : NURYADIN EKO RAHARJO, M.PD. NIP. 9705 00 00 Penulisn Modul e Lerning ini diiyi oleh dn DIPA BLU UNY TA 00 Sesui dengn Surt Perjnjin Pelksnn e Lerning Nomor
BAB I. MATRIKS BAB II. DETERMINAN BAB III. INVERS MATRIKS BAB IV. PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN
DFTR ISI BB I. MTRIKS BB II. DETERMINN BB III. INVERS MTRIKS BB IV. PENYELESIN PERSMN LINER SIMULTN BB I. MTRIKS Mtriks erup sekelompok ilngn yng disusun empt persegi dn ditsi tnd terdiri dri ris dn kolom
TRANSLASI. Jarak dan arah tertentu itu dapat diwakili oleh vektor translasi yaitu suatu pasangan A A B B C C. Akibatnya ABC kongruen dengan A B C.
TRANSLASI Definisi : Trnslsi tu pergesern dl sutu trnsformsi ng memindn tip titi pd idng dengn jr dn r tertentu. Jr dn r tertentu itu dpt diwili ole vetor trnslsi itu sutu psngn ilngn terurut. Pertin gmr
Latihan 2. Ruang Vektor. Bagian 1
Ltihn. Rung Vektor Bgin. Andikn H = {,,,,, }. Opersi penjumlhn pd H dlh opersi penjumlhn modulo. Apkh H merupkh grup? Grup elin?. Dengn opersi penjumlhn modulo 8, selidiki pkh himpunn G merupkn Grup? Grup
Penerapan Strategy Greedy Untuk Membangun Pohon Merentang Minimum
Pnrpn Strtgy Gry Untuk Mmngun Pohon Mrntng Minimum Byu Aity Prhn Progrm Stui Tknik Inormtik Institut Tknologi Bnung Kmpus ITB Jl.Gnsh No.10 Bnung -mil: [email protected] ABSTRAK Tori gr rkmng n nyk i pliksikn
1. Pengertian Matriks
BAB MATRIKS BAB MATRIKS. Pengertin Mtriks. Opersi Mtriks. Trnspose Sutu Mtriks. Kesmn Duh Buh Mtriks. Jenis-Jenis Mtriks. Trnsformsi Elementer 7. Rnk Mtriks . Pengertin Mtriks Mtriks dlh dftr ilngn yng
Bab IV Analisis Dinamik
V Anlii ini. Poln Mi pl Sipl hnling ol rpn gr igr n ng hn nggrn g-g p ing r ng lipi g lrl p ro n g ri. Mol i irn ngn nggnn prn ingn ΣM og n Σ. Gr. Sipl hnling ol ni pn r Gr. nnjn ipl hnling ol ni pn. L
LUAS DAERAH APLIKASI INTEGRAL TENTU. Indikator Pencapaian Hasil Belajar. Ringkasan Materi Perkuliahan
LUAS DAERAH APLIKASI INTEGRAL TENTU Indiktor Pencpin Hsil Beljr Mhsisw menunjukkn kemmpun dlm :. Menghitung lus pd idng dtr Ringksn Mteri Perkulihn Jik sutu derh ditsi oleh kurv f(), g(), gris dn dengn
PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN GRAFIKNYA
PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN GRAFIKNYA Persmn dlh klimt mtemtik teruk ng memut huungn sm dengn. Sedngkn klimt mtemtik tertutup ng memut huungn sm dengn diseut kesmn. Klimt mtemtik :. Klimt mtemtik
Pohon. Pohon adalah graf tak-berarah terhubung yang tidak mengandung sirkuit. pohon pohon bukan pohon bukan pohon
Poon Poon l r tk-rr truun yn tik mnnun sirkuit poon poon ukn poon ukn poon Hutn (orst) l - kumpuln poon yn slin lps, tu - r tik truun yn tik mnnun sirkuit. Stip komponn i lm r truun trsut l poon. Hutn
BAB 2 FUNGSI. 2.1 Fungsi dan Grafiknya. Diktat Kuliah TK 301 Matematika Definisi Fungsi
Diktt Kulih TK Mtmtik BAB FUNGSI Fungsi dn Grikn Dinisi Fungsi Fungsi didinisikn sbgi turn ng mmtkn stip unsur himpunn A pd sbuh unsur himpunn B Himpunn A disbut drh sl (domin) dn himpunn B disbut drh
MATRIKS. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah.
MATRIKS Stndr Kompetensi : Menggunkn konsep mtriks, vektor, dn trnsformsi dlm pemechn mslh Kompetensi Dsr : Menggunkn sift-sift dn opersi mtriks untuk menentukn invers mtriks persegi Menggunkn determinn
a 2 b 2 (a + b)(a b) Bentuk aljabar selisih dua kuadrat
SKL Nomor : Memhmi opersi entuk ljr, konsep persmn n pertiksmn liner, persmn gris, himpunn, relsi, fungsi, sistem persmn liner, sert menggunknny lm pemehn mslh.. Menglikn entuk ljr. * = * = * = (*)*(**)
3. LIMIT DAN KEKONTINUAN. INF228 Kalkulus Dasar
. LIMIT DAN KEKONTINUAN INF8 Klkulus Dsr . Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi Fungsi dits tidk terdeinisi di =, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn
LIMIT DAN KONTINUITAS
LIMIT DAN KONTINUITAS Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi Fungsi dits tidk terdeinisi di =, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn berp nili jik mendekti
IX. RANCANGAN ACAK LENGKAP POLA FAKTORIAL AxB
Respons Respons IX. RANCANGAN ACAK LENGKAP POLA FAKTORIAL AxB Rncngn Ack Lengkp Pol Fktoril AxB dlh rncngn ck lengkp yng terdiri dri d peh es (Fktor dlm klsfiksi silng yit fktor A yng terdiri dri trf dn
BAB VI RANDOM VARIATE DISTRIBUSI KONTINU
BAB VI ANDOM VAIATE DISTIBUSI KONTINU Dlm mlkukn simulsi komputr, hrus dpt dilkukn pnrikn rndom numr dri dn mllui progrm komputr. Pnrikn rndom numr mllui komputr ini sngt rgntung pd fungsi tu distriusi
PERSAMAAN LINIER. b a dimana : a, b, c, d adalah
PERSAMAAN LINIER ). Persmn Linier Stu Vriel Bentuk umum : x, imn n konstnt Penyelesin : x Contoh : ). 5x x x 5 8 ). x 8 x x 8 ). Persmn Linier Vriel Bentuk umum : ). Persmn Linier Tig Vriel Bentuk umum
3. LIMIT DAN KEKONTINUAN
. LIMIT DAN KEKONTINUAN . Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi Fungsi dits tidk terdeinisi di, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn berp nili jik mendekti
MODUL 1 INTEGRAL. Sekilas Info
MODUL INTEGRAL Sekils Info Orng yng pertm kli menemkn integrl tertent dlh George Friedrih Bernhrd Riemnn, seorng Mtemtikwn sl Jermn yng lhir pd thn 6. Riemnn menjelskn integrl tertent dengn menggnkn ls
VEKTOR. 1. Pengertian Vektor adalah besaran yang memiliki besar (nilai) dan arah. Vektor merupakan sebuah ruas garis yang
VEKTOR 1. Pengertin Vektor dlh besrn yng memiliki besr (nili dn rh. Vektor merupkn sebuh rus gris yng P berrh dn memiliki pnjng. Pnjng rus gris tersebut dlh pnjng vektor. Rus gris dri titik P dn berujung
MATRIKS A. Pengertian, Notasi dan Bagian Dalam Matriks
MATRIKS A. Pengertin, Notsi dn Bgin Dlm Mtriks Dlm kehidupn sehri-hri kit sering menemui dt tu informsi dlm entuk tel, seperti tel pertndingn sepkol, tel sensi kels, tel hrg tiket keret pi dn seginy..
Erna Sri Hartatik. Aljabar Linear. Pertemuan 3 Aljabar Vektor (Perkalian vektor-lanjutan)
Ern Sri Hrttik Aljr Liner Pertemun Aljr Vektor (Perklin vektor-lnjutn) Pemhsn Perklin Cross (Cross Product) - Model cross product - Sift cross product Pendhulun Selin dot product d fungsi perklin product
BAB VIII INTEGRAL LIPAT DUA DENGAN MAPLE. integral lipat satu merupakan materi pendukung untuk pembahasan dalam materi
BAB VIII INTEGRAL LIPAT DUA DENGAN MAPLE A. Pengntr Konsep integrl tentu untuk fungsi engn stu peuh pt iperlus menji untuk fungsi engn nyk peuh.integrl fungsi stu peuh selnjutny kn inmkn integrl lipt stu,
III. LIMIT DAN KEKONTINUAN
KALKULUS I MUG1A4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM PPDU TELKOM UNIVERSITY III. LIMIT DAN KEKONTINUAN 3.1 Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi 1 1 Fungsi dits tidk terdeinisi
Bab 3 M M 3.1 PENDAHULUAN
B SISTEM PERSAMAAN LINEAR Pd gin ini kn dijelskn tentng sistem persmn liner (SPL) dn r menentukn solusiny. SPL nyk digunkn untuk memodelkn eerp mslh rel, mislny: mslh rngkin listrik, jringn komputer, model
matematika WAJIB Kelas X FUNGSI K-13 A. Definisi Fungsi
K- Kels X mtemtik WAJIB FUNGSI TUJUAN PEMBELAJARAN Setelh mempeljri mteri ini, kmu ihrpkn memiliki kemmpun erikut.. Memhmi iefinisi fungsi.. Memhmi omin n rnge fungsi liner.. Memhmi omin n rnge fungsi
7. APLIKASI INTEGRAL
7. APLIKASI INTEGRAL 7. Menghitung Lus Derh.Mislkn derh D (, ), f ( ) D f() Lus D =? Lngkh :. Iris D menjdi n gin dn lus stu uh irisn dihmpiri oleh lus persegi pnjng dengn tinggi f() ls(ler) A f ( ). Lus
MATEMATIKA INTEGRAL TENTU DAN LUAS DAERAH
MATEMATIKA KELAS XII - KURIKULUM GABUNGAN 5 Sesi N INTEGRAL TENTU DAN LUAS DAERAH A. DEFINISI INTEGRAL TENTU Bentuk integrl f d = f + c diseut segi integrl tk tentu kren hsil dri pengintegrlnn msih erup
PERTEMUAN 4 Metode Simpleks Kasus Maksimum
PERTEMUAN 4 Metode Simpleks Ksus Mksimum Untuk menyelesikn Persoln Progrm Linier dengn Metode Simpleks untuk fungsi tujun memksimumkn dn meminimumkn crny ered Model mtemtik dri Permslhn Progrm Linier dpt
b. Notasi vektor : - Vektor A dinotasikan a atau a atau PQ - Panjang vektor a dinotasikan a atau PQ
BAB 4 VEKTOR Stndr Kompetensi: 3. Menggunkn konsep mtriks, vektor, dn trnsformsi Kompetensi Dsr: 3.4 Menggunkn sift-sift dn opersi ljbr vktor dlm pemechn mslh 3.5 Menggunkn sift-sift dn opersi perklin
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE)
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE) Mcm Mtriks Mtriks Nol () Mtriks yng semu entriny nol. Ex: Mtriks Identits (I) Mtriks persegi dengn entri pd digonl utmny dn pd tempt lin.
PETA KONSEP TRANSFORMASI. Sumbu-x A (x, y) A (x, - y) Matrik. Sumbu-y A(x, y) A (- x, y) Matrik. Titik asal O(0, 0) A (x, y) A (- x, - y) Matrik
Rotsi Sejuh engn pust (, ) os os Sejuh engn pust (, ) os os Diltsi Ftor sl engn pust (, ) Ftor sl engn pust (, ) RNSFORMSI rnslsi engn vetor ), ( Reflesi Gris = (, ) (, ) Mtri Gris = - (, ) (-, - ) Mtri
Vektor translasi dpt ditunjukkan oleh bil. berurutan yang ditulis dlm bentuk matriks kolom
TRANSFORMASI GEOMETRI BAB Sutu trnsformsi idng dlh sutu pemetn dri idng Krtesius ke idng ng lin tu T : R R (,) ( ', ') Jenis-jenis trnsformsi ntr lin : Trnsformsi Isometri itu trnsformsi ng tidk menguh
LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN
LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN RANGKUMAN MATERI Sebelum memsuki mteri, perhtikn himpunn-himpunn berikut: ) Himpunn bilngn sli:,,,4,5,.... b) Himpunn bilngn bult:...,,,0,,,.... p c) Himpunn bilngn rsionl:
SEMI KUASA TITIK TERHADAP ELIPS
RISMTI - ISSN : - 66 THUN VOL NO. GUSTUS 5 SEMI US TITI TERHD ELIS rnidsri Mshdi rtini Mhsisw rogrm Studi Mgister Mtemtik Universits Riu Jl. HR Soernts M 5 mpus in Wid Simpng ru eknru Riu 89 Emil: [email protected]
Graf Planar (Planar (
// Grph (Cont) :Apliksi Grph Ssi Grf Plnr (Plnr ( Grph) n Grf Bing (Pln Grph) -ont Rumus Eulr : n + f = imn f = jumlh wilyh = jumlh sisi n = jumlh simpul Ex: Brp jumlh wilyh grf rikut ini? R R R R R R
MEDAN LISTRIK DAN MEDAN MAGNET DI SEKITAR KONDUKTOR
Pll F Mklh Pnmping: Kimi 7 MDAN LISTRIK DAN MDAN MAGNT DI SKITAR KONDUKTOR Supuwoko Pogm Stui Pniikn Fisik Juusn PMIPA FKIP Univsits Sls Mt Jl. I. Sutmi 6 A Kntingn Sukt 576 Astk Konukto mupkn hn ng muh
Materi V. Determianan dinotasikan berupa pembatas dua gris lurus,
Mteri V Tujun : 1. Mhsisw dpt mengenli determinn.. Mhsisw dpt merubh persmn linier menjdi persmn determinn.. Mhsisw menelesikn determinn ordo du. Mhsisw mmpu menelesikn determinn ordo tig. Mhsisw mengethui
BAB I PENDAHULUAN. Olimpiade Matematika Mahasiswa Persamaan Kuadrat 1
BAB I PENDAHULUAN A. Ltr Belkng Mtemtik merpkn slh st disiplin ilm yng srt dengn st ilngn. Mtemtik jg merpkn st hs dimn hs pd mtemtik tidk memiliki mkn yng mig t pemknn dri hs mtemtik tidk menimlkn mkn
8. FUNGSI TRANSENDEN 1
8. FUNGSI TRANSENDEN 8. Fngsi Invers Mislkn : D R dengn Deinisi 8. Fngsi = disebt st-st jik = v mk = v t jik v mk v v ngsi = st-st ngsi =- st-st ngsi tidk st-st Secr geometri grik ngsi st-st dn gris ng
Materi IX A. Pendahuluan
Mteri IX Tujun :. Mhsisw dpt memhmi vektor. Mhsisw mmpu mengunkn vektor dlm persoln sederhn 3. Mhsisw mengimplementsikn konsep vektor pd rngkin listrik. Pendhulun Sudh menjdi kesepktn umum hw untuk menentukn
LOMBA CERDAS CERMAT MATEMATIKA (LCCM) TINGKAT SMP DAN SMA SE-SUMATERA Memperebutkan Piala Gubernur Sumatera Selatan 3 5 Mei 2011
LOMBA CERDAS CERMAT MATEMATIKA (LCCM) TINGKAT SMP DAN SMA SE-SUMATERA Mempereutkn Pil Guernur Sumter Seltn Mei 0 PENYISIHAN I PERORANGAN LCCM TINGKAT SMA. Dikethui kuus ABCD.EFGH dengn rusuk 6 cm. Jik
CONTOH SOLUSI BEBERAPA SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh: Wiworo, S.Si, M.M. 3. Untuk k 2 didefinisikan bahwa a
CONTOH SOLUSI BEBERAPA SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh: Wiworo, S.Si, M.M. Dikethui bhw,. Untuk k didefinisikn bhw k k k. Tentukn jumlh tk hingg dri. Kit mislkn S S. Dengn demikin kit dpt menuliskn Kedu
3 PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA
PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA.. Pngkt Pngkt dri seuh ilngn dlh sutu indeks ng menunjukkn nkn perklin ilngn ng sm secr eruntun. Notsi n errti hw hrus diklikn degn itu sendiri senk n kli. Notsi ilngn erpngkt
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN MENGGUNAKAN DETERMINAN (ATURAN CRAMER)
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN MENGGUNAKAN DETERMINAN (ATURAN CRAMER) Dikethui system Persmn Linier x+ x + x = x+ x + x = x+ x + x = dlm entuk mtriks x x x Penyelesin Dengn Aturn Crmer dlh