MATEMATIKA AAAA STATISTIKA. log

Transkripsi

1 MATEMATIKA AAAA STATISTIKA β log π 3 X 1

2 PRAKATA Alhamdulillahirabbil aalamin, segala puja dan puji syukur penulis panjatkan kepada Allah Yang Maha Esa. Karena karunia-nya, buku ajar ini terselesaikan tepat waktu, mengingat tugas dan kewajiban lain yang bersamaan hadir. Penulis benarbenar merasa tertantang untuk menyelesaikan buku ini sebagai bagian untuk mempertahankan slogan banyak memberi banyak menerima. Dalam bahan ajar ini penulis mengambil materi Statistika. Terselesaikannya penulisan Bahan ajar ini juga tidak terlepas dari bantuan beberapa pihak. Karena itu, penulis menyampaikan terima kasih kepada bapak Dede Trie Kurniawan, S.Si, M.Pd. selaku dosen pembimbing karena telah memberikan ilmu dan pengajaran tentang program komputer. Dengan pengajaran tersebut, penulis dapat menyelesaikan bahan ajar ini dengan tepat waktu. Semua bentuk pengajaran yang telah diberikan benar-benar bermanfaat bagi penulis untuk belajar menjadi pribadi yang lebih baik. Selain itu, penulis juga menyampaikan rasa terima kasih kepada teman-teman Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Swadaya Gunung Jati Cirebon untuk semua bantuan, motivasi, dan saran-sarannya. Meskipun telah berusaha untuk menghindarkan kesalahan, penulis menyadari juga bahwa bahan ajar ini masih mempunyai kelemahan sebagai kekurangannya. Karena itu, penulis berharap agar pembaca berkenan menyampaikan kritikan. Dengan segala pengharapan dan keterbukaan, penulis menyampaikan rasa terima kasih dengan setulus-tulusnya. Kritik merupakan perhatian agar dapat menuju kesempurnaan. Akhir kata, penulis berharap agar bahan ajar ini dapat membawa manfaat kepada pembaca. Secara khusus, penulis berharap semoga bahan ajar ini dapat menginspirasi generasi bangsa ini agar menjadi generasi yang tanggap dan tangguh. Jadilah generasi yang bermartabat, kreatif, dan mandiri. Cirebon, 16 Oktober 2014 Penulis 2

3 DAFTAR ISI Prakata 2 Daftar Isi 3 Kata Mutiara 4 Tujunan Pembelajaran 5 Materi dan Contoh Soal A. Penyajian Data dengan Tabel dan Diagram 1. Pengertian Statistik, Statistika, Populasi, dan Sample 6 2. Cara Penyajian Data 6 B. Penyajian dalam Bentuk Tabel Frekuensi 1. Daftar Distribusi Frekuensi Tunggal Daftar Distribusi Frekuensi Kelompok Frekuensi Relatif dan Frekuensi Kumulatif Histogram dan Poligon Frekuensi Ogive 22 C. Ukuran Pemusatan Data 1. Mean (rataan) Modus Median (Me) 29 D. Ukuran Letak Data 1. Kuartil Desil Presentil Statistik Lima Serangkai 36 E. Ukuran Penyebaran 1. Rentang / Range / jangkauan (R) Himpunan / Jangkauan Antar Kuartil (H) Simpangan Kuartil (SK) Simpangan Rataan (SR) Ragam / Varians (S 2 ) dan Simpangan Baku (S) 39 Aplikasi Statistika dalam Kehidupan Sehari-hari 41 3

4 KATA MUTIARA Jangan mencoba untuk memperbaiki murid atau siswa kita, perbaiki diri kita sendiri terlebih dahulu. Guru yang baik membuat murid yang jahat menjadi baik dan menjadikan murid yang baik menjadi unggul. Ketika murid-murid kita gagal, berarti kita juga telah gagal menjadi seorang guru Jadilah seorang Guru untuk dirimu sendiri supaya kelak bisa menjadi sosok guru yang bijak dan sosok guru terbaik untuk anak-anak yang dicintai Ketika semua orang tidak peduli kesalahan yang sedang kamu perbuat, maka seorang Guru yang bijak akan membuatmu kesal dengan lantunan-lantunan nasehat yang ia berikan karena ia peduli terhadapmu Marva Collins 4

5 TUJUAN PEMBELAJARAN 1. Siswa dapat memeahami cara memperoleh data, menentukan jenis dan ukuran data, serta memeriksa, membulatkan, dan menyusun data untuk menyelesaikan masalah. 2. Siswa dapat menentukan data terbesar, terkecil, median, kuartil (kuartil pertama, kuartil kedua, kuartil ketiga), statistk lima serangkai (statistic minimum, statistic maksimum, median, kuartil pertama, kuartil ketiga), rataan kuartil, rataan tiga, desil, jangkauan, jangkauan antar kuartil, dan jangkauan semi antar kuartil untuk data tunggal. 3. Siswa dapat membaca sajian data dalam bentuk diagram, meliputi diagram garis, diagram kotak garis (boxplot), diagram batang daun, diagram batang dan diagram lingkaran, dan histogram. 5

6 Statistika adalah cabang dari matematika terapan yang mempunyai cara-cara, maksudnya mengkaji membahas, mengumpulkan, dan menyusun data, mengolah dan menganalisis data, serta menyajikan data dalam bentuk kurva atau diagram, menarik kesimpulan, menafsirkan parameter, dan menguji hipotesa yang didasarkan pada hasil pengolahan data. Contoh: statistik jumlah lulusan siswa SMA dari tahun ke tahun, statistik jumlah kendaraan yang melewati suatu jalan, statistik perdagangan antara negara-negara di Asia, dan sebagainya. A. Penyajian Data dalam Bentuk Tabel dan Diagram 1. Pengertian Statistik, Statistika, Populasi dan Sampel Statistik adalah himpunan angka-angka mengenai suatu masalah, sehingga memberikan gambaran tentang masalah tersebut. Statistika adalah metode ilmiah yang mempelajari pengumpulan, pengaturan, perhitungan, penggambaran dan penganalisaan data, serta penarikan kesimpulan yang valid berdasarkan penganalisaan yang dilakukan dan pembuatan keputusan yang rasional. Populasi adalah keseluruhan obyek yang diteliti yang mempunyai satu atau beberapa ciri yang sama ketika melakukan penelitian atau percobaan. Sampel adalah bagian dari populasi yang dianggap mewakili populasi. 2. Cara Penyajian Data Data yang telah kita kumpulkan dari penelitian, apakah itu data cacahan atupun data ukuran untuk keperluan ataupun untuk analisis selajutnya perlu kita sajikan dengan bentuk yang jelas dan menarik. Secara umum, terdapat dua cara penyajian data yaitu dengan bentuk tabel (daftar) dan dengan bentuk diagram (grafik). 6

7 a) Penyajian Data dalam Bentuk Tabel Untuk menyusun sekumpulan data yang urutannya belum tersusun secara teratur ke dalam bentuk yang teratur, data itu disajikan dalam sebuah tabel. Sebuah tabel umumnya terdiri dari beberapa bagian : judul tabel, judul kolom, judul baris, badan tabel, catatan dan sumber data. Kita perhatikan contoh tabel cuaca berikut ini : Contoh Tabel Perkiraan Cuaca Kota-kota Besar di Indonesia Kota Cuaca Suhu (ᴼC) Kelembapan (%) Ambon Berawan Bandung Hujan Denpasar Hujan Jakarta Hujan Jayapura Hujan Makasar Hujan Medan Hujan Palembang Hujan Pontianak Hujan Semarang Hujan Surabaya Hujan Yogyakarta Hujan Sumber: seputar Indonesia, 22 januari 2007 Judul Tabel : Perkiraan Cuaca Kota-kota Besar di Indonesia Judul Kolom : Kota, Cuaca, Suhu, Kelembaban Sumber : Seputar Indonesia, 22 Januari

8 b) Penyajian Data dalam Bentuk Diagram Diagram Garis Contoh Suhu seorang pasien yang berada di sebuah rumah sakit sembuh total yang dicatat tiap jam dalam derajat Celcius. Jam Suhu 36, ,5 36, Diagram Batang Contoh Data jumlah siswa pada setiap tingkat sekolah pada suatu kota pada tahun 2007 diberikan oleh tabel berikut : Tingkat Sekolah Jumlah Siswa TK SD SMP SMA SMK Sajikan data di atas kedalam diagram batang! 8

9 Penyelesaian : Diagram batang dari data di atas adalah sebagai berikut ini Data Jumlah Siswa TK SD SMP SMA SMK Data Jumlah Siswa Diagram Lingkaran Jika bagian dari kelompok saling berkaitan antara data yang satu dan data yang lainnya, maka kumpulan data itu dapat kita sajikan dalam bentuk diagram lingkaran. Telah kita ketahui besar sudut dalam suatu lingkaran adalah 360ᴼ, dan ruas juring lingkaran sebanding dengan sudut pusatnya. Cara membuat diagram lingkaran adalah lingkaran dibagi menjadi beberapa juring lingkaran yang luasnya proposional terhadap setiap banyak data untuk setiap bagian. Untuk membantu kita dalam menentukan sudut pusat jarring, persamaan berikut ini tentu akan sangat membantu kita. sudut pusat juring 360ᴼ = banyak data diwakili juring total data selurunya 9

10 Contoh Misalnya berikut ini adalah data hobi dari 1200 sisiwa dari sebuah SMA Penyelesaian : Hobi Jumlah Siswa Sepak Bola 300 Bola Basket 150 Bola Voly 200 Bulu tangkis 250 Karate 100 Lain-lain 200 Kita gunakan persamman yang tadi segingga di dapat sepak bola = ᴼ = 90ᴼ 1200 bola basket = ᴼ = 45ᴼ 1200 bola voly = ᴼ = 60ᴼ 1200 bulu tangkis = ᴼ = 75ᴼ 1200 karate = ᴼ = 30ᴼ 1200 lain lain = ᴼ = 60ᴼ

11 Dengan hasil ini kita dapat menggambarkannya dengan menggunakan diagram lingkaran! 30ᴼ 75ᴼ 60ᴼ 60ᴼ 90ᴼ 45ᴼ sepak bola bola basket bola voly bulu tangkis karate lain-lain Dari diagram lingkaran ini kita dapat menyimpulkan bahwa siswa yang mempunyai hobi sepak bola lebih banyak dibandingkan dengan cabang olahraga lainnya. Sedangkan cabang olahraga karate adalah yang paling sedikit peminatnya. Diagram Garis Diagram garis adalah salah satu cara untuk menyajikan data. Dengan diagram garis kita akan lebih mudah membaca data tersebut. Biasanya digunakan untuk menyajikan kumpulan data yang diperoleh dari pengamatan dari waktu ke waktu yang berurutan, digambarkan berdasarkan data waktu. Contoh Dalam 6 bulan pertama tahun 2007, pemakaian daya listrik dari koperasi Sabar Jaya seperti tertuang pada tabel berikut : 11

12 pemakaian (kwh) Bulan Januari Februari Maret April Mei Juni Tabel Pemakaian Daya Listrik Pemakaian (Kwh) Sajikan data di atas ke dalam diagram garis dan kemudian tafsirkan! Penyelesaian : Data di atas dapat disajikan dengan diagram garis seperti berikut : 250 pemakaian data listrik januari februari maret april mei juni bulan Dari diagram garis di atas dapat dibaca dan ditafsirkan, misalkan: Pada bulan Januari Februari pemakaian listrik bertambah dengan kemiringan garisnya positif. Pada bulan Februari Maret pemakaian listrik menurun hingga kemiringan garisnya negative. Dari bulan Maret Juni pemakaian listrik semakin meningkat dengan kemiringan garisnya positif untuk 12

13 setiap bulannya, meskipun kemiringan ini masih lebih kecil dibandingkan dengan periode Januari Februari. Diagram garis dapat pula digunakan untuk memprediksi suatu nilai yang belum diketahui. Terdapat dua pendekatan untuk mempredikasi nilai yang belum diketahui ini, yaitu dengan interpolasi linear dan ekstrapolasi linear. Pendekatan interpolasi linear adalah memprediksi suatu nilai data yang berada di antara dua titik yang berdekatan. Sedangkan ekstrapolasi linear adalah memprediksi suatu nilai data yang yang terletak sesudah titik data terakhir yang diketahui. Hal ini dapat kita lakukan dengan cara memperpanjang garis kea rah kanan atas atau ke kanan bawah tergantung kepada kecenderungan nilai-nilai sebelumnya. Diagram Batang Daun Diagram batang daun terdiri atas kolom batang dan kolom daun. Angka puluhan dinyatakan oleh batang dan angka satuan dinyatakan oleh daun. Contoh Berikut adalah pendapatan pedagang buah dalam ribuan rupiah setelah data di urutkan Tentukan diagram batang daunnya! Penyelesaian : Banyaknya Data (frekuensi) Batang (Puluhan) Daun (Satuan)

14 Diagram Kotak Garis Pengurutan data dari terkecil sampai terbesar disebut statistik peringkat. Data yang telah di urutkan dibagi menjadi 2 bagian, maka terdapat nilai tengah yang disebut median. Jika banyaknya data ganjil, maka median merupakan nilai tengah. Jika banyaknya data genap maka median rata-rata memiliki 2 nilai tengah. Apabila data yang telah diurutkan dibagi menjadi 4 bagian yang sama besar, maka pembagiannya disebut kuartil. Dengan demikian terdapat 3 kuartil : - Kuartil bawah : Kuartil pertama - Kuartil tengah : Kuartil kedua = median - Kuartil atas : Kuartil ketiga 25% 25% 25% 25% X 1 Q 1 Q 2 Q 3 X n X 1 = Statistik minimum (Nilai terkecil) Q 1 = Kuartil pertama (Kuartil bawah) Q 2 = Kuartil kedua (median) Q 3 = Kuartil ketiga (kuartil atas) X n = Statistik maksimum (nilai terbesar) Kelima nilai tersebut di atas disebut dengan statistik 5 serangkai. Untuk menentukan nilai kuartil suatu data harus diurutkan terlebih dahulu, kemudian ditentukan letak kuartil yang dirumuskan : Keterangan : i = 1, 2 atau 3 Q 1 = n = banyaknya data i(n + 1) 4 Statistik lima serangkai biasa disajikan : Q 2 Q 1 X min Q 3 X max 14

15 Setelah diperoleh statistik 5 serangkai, kita akan dapat membuat diagram kotak garis. Berikut adalah gambar dari diagram kotak garis. + X 1 Q 1 Q 2 Q 3 X n Keterangan : X 1 dan X n disebut statistik ekstern yaitu statistic minimum (X 1 ) dan statistik maximum (X n ). Tanda (+) ditengah kotak menandakan letak median (kuartil kedua) Q 1 menandakan letak kuartil bawah (kuartil pertama) Q 3 menandakan letak kuartil atas (kuartil ketiga) Tanda (*) adalah letak pencilan (jika ada) jika terdapat pencilan maka pencilan terletak diluar garis tersebut Contoh Tentukan diagram kotak garis dari data : 5, 6, 6, 7, 8, 8, 9! Penyelesaian : Data 5, 6, 6, 7, 8, 8, 9 X min = 5; X max = 9; Q 1 = 6; Q 2 = 7; Q 3 = 8 Pagar dalam = = 3 Pagar luar = = 11 Terlihat tidak ada pencilan

16 B. Penyajian Data dalam Bentuk Tabel Frekuensi 1. Daftar Distribusi Frekuensi Tunggal Jika data tidak terlalu banyak dan biasanya jangkauan yaitu selisih data terbesar dengan data terkecil tidak terlalu besar maka biasanya dibuat daftar distribusi frekuensi tunggal. Contoh Misal nilai ulangan harian Matematika siswa SMA Padamu Negeri adalah sebagai berikut : Data tersebut jika diamati tidak terlalu banyak dan selisih data terbesar ( ) tidak banyak pula, sehingga jika data diatas disusun data bentuk daftar distribusi frekuensi adalah sebagai berikut : Nilai Frekuensi Jumlah 33 16

17 2. Daftar Distribusi Frekuensi Kelompok Contoh Andai terdapat suatu data tinggi badan siswa disajikan dalam daftar distribusi frekuensi kelompok berikut ini : Tinggi Frekuensi Jumlah 40 Maka terdapat beberapa istilah yang perlu diketahui sebagai berikut : Interval Tiap kelompok nilai disebut Interval atau Kelas : misal kelas ; ; ; dan seterusnya. Frekuensi : banyaknya data pada tiap interval misalnya frekuensi kelas adalah 6. Batas Kelas - Batas kelas ada 2 yaitu batas bawah dan batas atas - Batas bawah kelas adalah nilai ujung bawah pada suatu kelas, misalnya pada tabel di atas adalah : 140, 145, 150, 155, Batas atas kelas adalah nilai ujung atas pada suatu kelas, misalnya: 144, 149, 154, 159, 164. Titik Tengah Kelas (tanda kelas) - Adalah nilai yang mewakili kelas tersebut yang merupakan nilai tengah atau rataan kelas dan dinotasikan X 1. X 1 = 1 (batas bawa + batas atas) 2 17

18 - Misal titik tengah pada tabel di atas 142, 147, 152, 157, dan 162. Tepi Kelas - Tepi bawah kelas (Tb) : Tepi atas (Ta) : Misal pada 1 kelas (batas atas + batas bawa kelas sesudanya) 2 (batas bawa + batas atas kelas sebelumnya) Lebar Kelas (interval kelas) Interval kelas : tepi atas tepi bawah Cara membuat daftar distribusi frekuensi : a. Tentukan jangkauan data tersebut, dengan cara mengurutkan data dari terkecil sampai terbesar. Jangkauan adalah nilai terbesar dikurangi nilai terkecil. J = X n X 1 b. Tentukan banyaknya kelas (k) dengan aturan Sturges, yaitu : k = 1 + 3,3 log n c. Tentukan panjang kelas (interval kelas) P = J k Jika diperoleh pecahan, maka bulatkan ke atas sehingga semua data tercakup. d. Tentukan batas bawah kelas pertama sehingga data terkecil masuk pada kelas pertama. e. Tentukan banyaknya frekuensi masing-masing kelas. 3. Frekuensi Relative dan Frekuensi Kumulatif Jika daftar distribusi frekuensi, frekuensi masing-masing interval dinyatakan dalam persen terhadap frekuensi total, maka diperoleh tabel distribusi frekuensi relatif. Frekuensi relatif = f if i 100% 18

19 Dengan : f i = banyaknya frekuensi f i = jumlah total frekuensi Contoh Tabel frekuensi relatif pada daftar distribusi frekuensi tinggi badan pada contoh di atas adalah : Tinggi badan Frekuensi Frekuensi relative (%) Jumlah Frekuensi relative interval didapat dari : 4 100% = 10% 40 Frekuensi relative interval didapat dari : 6 100% = 15% Dapat ditentukan dengan cara yang sama untuk interval yang lain. Tabel distribusi relatif digunakan untuk menjawab pertanyaan berapa persen data yang terdapat pada interval yang ada. Coba perhatikan tabel di atas, berapa orang yang tinggi badannya kurang dari 150 cm? berapa pula orang yang tinggi badannya lebih dari 159cm? Untuk menjawab pertanyaan di atas, data yang telah disajian seperti tabel di atas, dapat dibuat daftar distribusi frekuensi kumulatif dan daftar distribusi frekuensi kumulatif relatif. Ada 2 macam tabel distribusi kumulatif : 40 19

20 1) Tabel distribusi kumulatif kurang dari (frekuensi kurang dari), yaitu menyatakan jumlah frekuensi dari semua nilai yang lebih kecil dari atau sama dengan tepi kelas pada masing-masing kelas. 2) Tabel distribusi kumulatif lebih dari (frekuensi lebih dari), yaitu menyatakan jumlah frekuensi dari atau sama dengan tepi bawah pada masing-masing kelas. Dari tabel yang berisi tinggi badan 40 siswa tersebut di atas jika dibuat tabel distribusi frekuensi kumulatif adalah sebagai berikut : a. Tabel distribusi kumulatif kurang dari Nilai Frekuensi Kumulatif Kurang Dari 144, , , , , ,5 40 b. Tabel distribusi kumulatif lebih dari Nilai 139,5 144,5 149,5 154,5 159,5 164,5 Frekuensi Kumulatif Lebih Dari

21 4. Histogram dan Poligon Frekuensi Histogram yaitu suatu diagram yang berbentuk persegi panjang dari distribusi frekuensi dengan sisi yang berdekatan saling berimpit, tiap persegi panjang mewakili kelas tertentu, lebar persegi panjang menentukan panjang kelas sedangkan tinggi persegi panjang menunjukan frekuensi. Poligon Frekuensi diperoleh jika titik-titik tengeh sisi atas dari histogram dihubungkan dari satu dan yang lainnya, kemudian disambungkan dengan titik tengah sebelumnya kelas pertama dan titik tengah sudah kelas terakhir. Contoh : Gambarlah Histogram dan Poligon frekuensi dari data-data berikut: Ukuran Frekuensi Tepi bawah Tepi atas Titik tengah ,5 144, ,5 149, ,5 154, ,5 159, ,5 164,

22 frekuensi 12 histogram dan poligon frekuensi nilai 5. Ogive Ogive merupakan grafik yang di gambar atas dasar data yang sudah di susun dalam bentuk daftar distribusi kumulatif. Ada dua macam objek yaitu : a. Ogive positif, untuk menyatakan frekuensi kumulatif kutang dari. b. Ogive negative, untuk menyatakan frekuensi kumulatif lebih dari. Misal : Daftar distribusi kumulatif kuang dari dan daftar kumulatif lebih dari adalah sebagai berikut: a. Daftar distribusi frekuensi kurang dari Nilai Frekuensi 44,5 4 49,5 9 54, , ,

23 frekuensi b. Daftar distribusi frekuensi lebih dari Nilai 39,5 44,5 49,5 54,5 59,5 Frekuensi GRAFIK DARI DAFTAR DISTRIBUSI FREKUENSI DIATAS kurang dari lebih dari ,5 44,5 49,5 54,5 59,5 64,5 C. Ukuran Pemusatan Data ( Tendensi Sentral ) 1. Mean (rataan) Rataan hitung merupakan salah satu ukuran pemusatan yang banyak di gunakan, yaitu di definisikan jumlah data dibagi bnyaknya data. Rataan = Jumla semua data Banyaknya data a. Rataan data tunggal Jika suatu data disajikan dalam bentuk data tunggal X 1, X 2, X 3,.., X n. maka rataan data tersebut adalah: 23

24 x = x 1+x 2 + x n n atau x = n i=1 x i n Contoh Data berikut membuktikan nilai ulangan Bahasa Inggris 8 siswa : 7,6,5,8,7,6,5, dan 4. Tentukan rataannya! Jawab : x = Jadi, rataannya adalah 6. b. Rataan Gabungan = 48 8 = 6 Jika terdapat sekelompok data pertama dengan rataan x 1 sebanyak n 1, data kedua dengan rataan x 2 sebanyak n 2., dan data ke k dengan rataan x k sebanyak n k maka rataan gabungannya adalah : x = n 1x 1 + n 2 x n k x k n 1 + n n k Contoh Nilai rata-rata pelajaran matematika dalam suatu kelas adalah 5. Jika ditambah nilai siswa baru yang besarnya 7, maka rataannya menjadi 5,1. Tentukan banyak siswa semula dalam kelas tersebut! Jawab : X 1 =5; X 2 =7 ; n 2 =1 xgabungan = 5,1 xgabungan = n 1x 1+n 2 x 2 n 1 +n 2 5,1 = n 15+7,1 n

25 5,1 (n 1 +1) = 5n ,1 n 1 = 1,9 n 1 =19 Jadi, banyaknya siswa semula adalah 19. c. Rataaan dari distribusi frekuensi tunggal Rataan dari data yang disajikan dalam sebaran frekuensi tunggal adalah : x = f 1x 1 + f 2 x f n x n = fx f 1 + f f n f Nilai ulangan matematika adalah sebagai berikut : 6 siswa mendapat nilai 50 ; 10 siswa nilainya 60 ; 15 siswa nilainya 70 ; 12 siswa nilainya 80 ; dan 7 siswa nilainya 90. Tentukan rata-ratanya! Contoh Jawab : Nilai Frekuensi Fx Jumlah f= 50 fx= 3540 x = fx f = = 70,7 25

26 d. Rataan hitung dari distribusi frekuensi berkelompok Jika data dalam distribusi frekuensi berkelompok ; maka rataannya merupakan perkalian antara jumlah titik tengah dari masing-masing kelas dengan frekuensinya dibagi dengan keseluruhan frekuensi. Rataan dari distribusi frekuensi berkelompok, dirumuskan : x = f. X i f, X i = titik tenga kelas Contoh Rataan dari data berikut adalah : Nilai f X 1 Fx i Jumlah f=50 fx i = 806 x = = 16,12 Jadi, rataannya adalah 15,24. e. Menghitung rataan dengan rataan sementara Selain dengan menggunakan cara diatas, nilai rataan dapat ditentukan dengan menggunakan rataan sementara. Rataan sementara biasanya diambil nilai titik tengah dengan frekuensi terbesar. Rumus mencari rataan dengan rataan sementara : x = X s + f id i f i 26

27 Dengan Xs = rataan sementara d i = Xi - Xs Xi = titik tengah fi = jumlah frekuensi keseluruhan Contoh Dengan menggunakan rataan sementara 157, hitunglah rataan data berikut! Berat (kg) Frekuensi Jawab : 2. Modus X = X s + Tinggi F Titik tengeh d f i d i (X i ) Jumlah 50 fd = -6 fd f = = 157 0,12 = 156,88 Modus merupakan nilai data yang paling sering muncul atau nilai data yang frekuensinya paling besar. Pada suatu data memungkinkan mempunyai satu modus, dua modus, atau mungkin tidak mempunyai modus. Data yang mempunyai satu madus disebut mono modus, sedangkan yang memiliki dua modus bee modus. 27

28 Contoh a. Data 3, 4, 5, 5, 8, 8, 9; modusnya 5 dan 8. b. Data 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8; tidak mempunyai modus Data yang telah disusun dalam distribusi frekuensi modusnya di rumuskan dengan : Mo = tb + p d 1 d i + d 2 Mo = modus Tb terbanyak) = tepi bawah kelas modus (kelas interval dengan frekuensi P = panjang kelas modus d 1 = selisih frekuensi kelas yang mengandung modus dengan kelas sebelumnya d 2 = selisih frekuensi kelas yang mengandung modus dengan kelas sesudahnya Diketahui data sebagai berikut, tentukan modusnya! Nilai F Jawab : Modus terletak pada 60-64, dengan demikian Tb = 59,5 P = 5 d 1 = 14 8 =6 d 2 = 14 7 = 7 28

29 mo = 59,5 + 5 = 59,5 + 2,3 = 61,8 3. Median (Me) Median adalah bilangan yang terletak di tengah-tengah setelah kumpulan data tersebut diurutkan. Dengan demikian median membagi seluruh data ke dalam 2 bagian yang sama. Median dari data tunggal ditentukan sebagai berikut : Untuk n genap, maka mediannya di ambil rataan dari dua data yang ditengah. Me = Xn + Xn Untuk n ganjil, mediannya terletak pada data tengah setelah data diurutkan. Me = X1 2 (n+1) Contoh Tentukan median dari data berikut : a. 60, 75, 65, 40, 60, 75, 85, 80 b. 6, 8, 7, 5, 4, 8, 9 Jawab : a. Data setelah diurutkan 40, 60, 60, 65, 75, 75, 80, 85 Banyaknya data ada 8 (genap) Jadi, Me = Xn +Xn = X 4+X 5 2 = = 67,5 29

30 b. Data setelah diurutkan 4, 5, 6, 7, 8, 8, 9. Banyaknya data ada 7 (ganjil) Jadi, Me = X1 2 (n+1) = X 4 = 7 Median untuk data yang telah di susun dalam daftar distribusi frekuensi, dirumuskan sebagai berikut : Me = tb + p n 2 fk f Dengan : Me = Median p = lebar interval tb = tepi bawah kelas median n = banyaknya data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas yang mengandung nilai median f = frekuensi kelas interval yang mengandung median Contoh Tentukan median pada tabel berikut : Nilai Frekuensi Banyaknya data 50, setengah dari seluruh data ada 25, jadi median terletak pada interval ; sehingga di dapat: 30

31 tb = 149,5 f = 20 n = 50 p = 5 fk = 14 Me = 149, = 149, = 149,5 + 2,75 = 152,25 Jadi, median dari data pada tabel di atas adalah 152,25 D. Ukuran Letak Data 1. Kuartil Kuartil membagi data menjadi 4 bagian sehingga terdapat 3 kuartil masing-masing kuartil pertama, kedua, dan ketiga. 1 bagian 1 bagian 1 bagian 1 bagian X min Q 1 Q 2 Q 3 X max Letak kuartil ditentukan dengan rumus : Letak Q 1 = data ke i(n + 1) ; i = 1, 2, 3 4 Untuk menentukan nilai kuartil suatu data, maka harus di urutkan terlebih dahulu dari data yang terkecil sampai data yang terbesar, apabila datanya berupa data tunggal seperti yang telah dipelajari pada bahasan tentang Diagram Kotak Garis. Untuk menentukan nilai kuartil pada data yang berdistribusi frekuensi, caranya sama dengan mencari median secara umum. Dapat dihitung dengan rumus : Q 1 = tb + P in 4 fk f 31

32 i = 1, 2, atau 3 tb = tepi bawah kelas yang mengandung kuartil yang bersangkutan P = panjang kelas n = banyaknya data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas Q i f = frekuensi kelas yang mengandung Q i Contoh Tentukan kuartil pertama data tinggi badan dari 80 siswa berikut! Tinggi Badan Frekuensi Jawab : Tinggi Badan Frekuensi f.k Dari data tersebut diperoleh : Letak Q 1 = = 20 Untuk Q 1 pada interval

33 tb = 154,5 P = 5 n = 80 fk = 6 f = 14 Q 1 = 154, = 154, = 154,5 + 5 = 159,5 Berarti dari 80 siswa 25% tinggi badannya paling tinggi 159,5. 2. Desil Jika kuartil membagi data menjadi 4 bagian yang sama besar, maka desil membagi data menjadi 10 bagian yang sama besar pula. Jika sekumpulan data dibagi menjadi 10 bagian yang sama, maka didapat 9 pembagi dan setiap membagi dinamakan Desil. Jadi terdapat 9 buah desil masing-masing desil pertama (D 1 ), desil dua (D 2 ), dan seterusnya samapai desil kesembilan (D 9 ) Xmin D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 Xmax Suatu desil dapat dihitung dengan cara : Susunlah data dari yang terkecil samapai yang terbesar Tentukanlah letak desil dengan rumus : Letak D 1 = Tentukan nilai desil i(n + 1) 10, i = 1, 2,, 9 33

34 Untuk data dalam daftar distribusi frekuensi nilai desil dirumuskan : D i = tb + P in 10 fk f i = 1, 2,, 9 tb = tepi bawah kelas yang mengandung D i P = panjang kelas n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas yang mengandung D i f = frekuensi kelas yang mengandung D i Contoh Tentukan D 3 dari tabel distribusi frekuensi berikut ini! Jawab : Data f Data f F k N =

35 Letak D 3 = = 6,3 Kelas D 3 : D 3 = B + B = 10,5 = 10,5 + 3N 10 F k k f f = 8 = 10,5 + 2,5 = 13,0 F k = 4 k =10 3. Presentil Letak persentil ke i = i N in 4 Nilai persentil ke i data berkelompok: P i = B + F k k f Contoh Hitunglah nilai P 82 dari data berikut! Jawab : Letak P 82 = Data Kelas P 82 : B = 20,5 f = 7 F k = 12 k = 10 = 17,22 f 35

36 P 82 = B + = 20,5 + 82N 100 F k f Statistik lima serangkai 7 k 10 = 20,5 + 6,3 = 26,8 Statistik lima serangkai adalah besaran yang terdiri dari 5 komponen : a. Data terkecil (x 1 ) b. Kuartil bawah (K 1 ) c. Kuartil tengah (K 2 ) d. Kuartil atas (K 3 ) e. Data terbesar (x n ) Contoh Tentukan statistik 5 serangkai data 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8! Jawab : - Data terkecil x 1 = 4 Letak K 1 = Letak K 2 = Letak K 3 = Data terbesar X 12 = 8 = 3,25 Nilai K 1 = 5 = 6,5 Nilai K 2 = 6 = 9,75 Nilai K 3 = 7 Jadi, statistik lima serangkai : 4, 5, 6, 7, 8 36

37 E. Ukuran Penyebaran 1. Rentang / range / jangkauan (R) R = data terbesar data terkecil 2. Hamparan / jangkauan antar kuartil (H) H = K 3 K 1 3. Simpangan kuartil / kuartil deviasi / jangkauan semiinter kuartil (Sk) S k = 1 2 H S k0 = 1 2 (K 3 K 1) Contoh Pada data 1, 3, 5, 7, 10, 15, maka hitunglah : a. Rentang; b. Hamparan; c. Simpangan kuartil; Jawab : Data : 1, 3, 5, 7, 10, 15 N = 6 Letak K 1 = Letak K 3 = Data terbesar = 5 Data terkecil = 1 = 1,75 Nilai K 1 = 1 + 0, = 2,5 = 5,25 Nilai K 3 = , = 11,25 37

38 a. Rentang = data terbesar data terkecil = 15 1 = 14 b. Hamparan = K 3 K 1 = 11,25 2,5 = 8,75 c. simpangan kuartil = 1 2 K 3 K 1 4. Simpangan rataan (SR) a. untuk data tunggal SR = x x b. untuk data bentuk tabel SR = Contoh : N f x x Perhatikan contoh perhitungan simpangan rataan berikut! a. Data 1,2,3,7,8,9 b. x = SR = x N = 30 6 = 5 X X N = f = 18 6 = 3 Data f x x - x f x x x = SR = x N = = 3 f x x f = = 2,72 38

39 5. Ragam / Varians (S 2 ) dan simpangan baku / standar deviasi (S) Rumus 1 dengan mengitung x terlebi daulu Untuk data tunggal - Pada populasi S 2 = x x 2 S = N x x 2 - Pada sampel S 2 = x x 2 S = N N 1 x x 2 N 1 Untuk data berkelompok - S 2 = f x x 2 S = f f x x 2 f Rumus 2 tanpa mengitung x S 2 = N x2 x 2 N 2 S = N x 2 x 2 N 2 S 2 = N x2 x 2 N N 1 S = S 2 = S = N x 2 x 2 N N 1 fx2 f fx f fx 2 f fx f 2 2 Contoh Hitunglah ragam dan simpangan baku data berikut! Data f

40 Jawab : Menggunakan rumus (1) Data (x) F Fx f(x x ) (x x ) 2 f(x x ) x = fx f = = 3 Ragam S 2 = f x x 2 f = = 1,16 Simpangan baku S = 1,16 = 1,08 Menggunakan rumus (2) Data (x) F x x 2 fx fx = 36 fx 2 = 122 Ragam S 2 = fx2 f fx f 2 = Simpangan baku S = 1,16 = 1,08 = 10,16 9 = 1,16 40

41 Aplikasi Statistika Dalam Kehidupan Sehari-hari Dalam menjalani kehidupan kita sehari-hari statistik sangat berperan aktif dalam mengatur semua kegiatan yang kita lakukan, Ditegaskan pula dari buku statistika ekonomi karangan Sri Mulyono (2003), bahwa dalam mempelajari statistika kita dibantu untuk menjelaskan hubungan antar variabel, membuat keputusan yang lebih baik, mengatasi perubahan-perubahan yang terjadi dan membuat rencana serta ramalan. Statistika memiliki peran sebagai penyedia alat untuk mengemukakan atau menemukan kembali kerterangan-keterangan yang seolah-olah tersembunyi dalam angka-angka statistik. Statistik juga memiliki peranan sebagai peralatan analisis dan interpretasi dari data kuantitatif ilmu pengetahuan, sehingga didapatkan suatu kesimpulan dari data-data tersebut. Ilmu statistika sangat sering digunakan baik dalam kehidupan sehari-hari, dalam bisnis, dalam industri serta keseluruhan bidang dalam perekonomian. Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menggunakan ilmu statistika untuk mengatur berapa jumlah pengeluaran kita yang disesuaikan dengan pendapatan yang kita peroleh, lalu memilih barang yang mana yang akan kita beli, dan lainnya, yang pada akhirnya membutuhkan keputusan terbaik yang akan kita ambil. Begitu pula dengan bidang yang lainnya, membantu memutuskan keputusan yang harus diambil secara tepat. Dalam era dimana teknologi informasi telah berkembang pesat, setiap perusahaan seharusnya dapat memanfaatkan data dan informasi, baik yang telah dimilikinya maupun yang dapat diperoleh diluar instansinya, untuk mengambil keputusan yang tepat dan obyektif. Kepekaan dan keakuratan pengambilan keputusan akan dapat ditingkatkan dengan menggunakan metode dan teknologi yang tepat serta keahlian dan ketrampilan yang handal. 41

42 LATIHAN SOAL 1. Dari data: 2,3,3,5,6,7,8,8,5,5,9,1,2 Tunjukan data terbesar, terkecil dan median! 2. Dari data: 1,1,2,3,8,9,6,7,7,5,5,4,9 tujuan data terbesar, terkecil, dan median! 3. Data hasil penjualan kendaraan bermotor roda dua disuatu dealr pada periode januari juli tahun 2009 ditunjukan pada table berikut: Bulan Jan Feb Mrt Apr Mei Jun Jul Jumlah Gambarkan grafik garisnya! 4. Table berikut menunjukan banyaknya mahasiswa yang mendapat beasiswa belajar diluarnegri. Negara Tujuan BanyakMahasiswa Usa 216 Inggris 113 Jepang 86 Belanda 143 Jerman 162 Sajikan data di atas kedalam bentuk diagram lingkaran! 5. Table berikut menampilkan hasil penjualan sepatumerk tertentu yang lakuterjual di tokosepatu Berkah dalampriodeagustus Desember Bulan Agustus September Oktobe November Desember Banyak Sepatu Sajikan dalam bentuk diagram batang! 6. Diketahui data berat badan 9 siswa sebagai berikut: 47, 45, 32, 51, 33, 44, 36, 53, 51. Sajikan dalam bentuk diagram kotakgaris! 7. Tabel tentang tinggi badan pemain sepakbola di PSSI adalah sebagai berikut: TinggiBadan Frekuensi Sajikan dalam bentuk Histogram! 42

43 8. Sajikan table tinggi badan pesepakbola di PSSI adalah sepertisoal no.7, sajikan dengan polygon frekuensi! 9. Sajikan table tentang tinggi badan sepakbola di PSSI adalah seperti soal no.7, sajikan dengan ogive positif dan ogive negative! 10. Table tentang nilai ulangan matematika sebagai berikut: Nilai Frekuensi Tentukan frekuensi kumulatif kurang dari dan frekuensi kumulatif lebih dari dari table di atas! 11. Tentukan mean atau rataan hitung dari data ulangan matematika berikut: 5,6,6,6,7,7,8,9,9, Tentukan mean atau rataan hitung dari data berikut: Nilai Frekuensi

44 DAFTAR PUSTAKA Budhi Setya Wono Langkah Awal Menuju Olimpiade. Jakarta: Ricardo. Handayani, dkk Evaluasi Matematika I. Klaten: Intan Pariwara. Nasoetion, Hakim Andi Matematika I. Jakarta: Balai Pustaka. Negoro ST, dkk Ensiklopedia Matematika. Jakarta: Ghalia Indonesia. Puncell. J. Edwin, Dale Varberg Kalkulus dan Geometri Analisis. Jakarta: Erlangga. Rawuh R, dkk Ilmu Ukur Analisis Jilid 1 dan 2. Bandung: Terate. Roy, Hollands Kamus Matematika. Jakarta: Erlangga. Saputro, Tirto Pengantar Dasar Matematika. Jakarta: Erlangga. Soehakso RMST Pengantar Matematika Modern. Jogjakarta: UGM Press. Soemartojo N Kalkulus II. Jakarta: Universitas Terbuka, Departemen Pendidikan dan Kebudayaan. Tim Penulis Matematika Rumus-Rumus Dasar Matematika. Jogjakarta: PustakaWidyatama. 44

45 BIODATA KELOMPOK Nama Lengkap : Kosidin Nama Panggilan : Icos Kelas : 2B Tempat, Tanggal Lahir : Brebes, 28 Agustus 1993 Jenis Kelamin : Pria Agama : Islam Setatus : Belum Kawin Tinggi / Berat Badan : 170cm / 62kg Nomor Hndphone : kosidin29@gmail.com Hobi : Voly Ball Cita-cita :Menjadi Anggota DPR Alamat : Jl. Kh. Mukhtadi Desa Pamedaran, Kecamatan Ketanggungan, Kabupaten Brebes, Jawa Tengah 45

46 Nama Lengkap : Ikhvana Dwi Rionaldi Nama Panggilan : Rio Kelas : 2B Tempat, Tanggal Lahir : Cirebon, 28 Juli 1995 Jenis Kelamin : Pria Agama : Islam Setatus : Belum Kawin Tinggi / Berat Badan : 173cm / 90kg Nomor Hndphone : ikhvanadwi@gmail.com Hobi : Makan Cita-cita :Menjadi Guru dan Dosen Alamat : Desa Wangkelang, Kec. Lemahabang Cirebon JaBar 46

47 Nama Lengkap : Luthfi Ayu Rozanah Nama Panggilan : Ufi Kelas : 2A Tempat, Tanggal Lahir : 3 Juni 1996 Jenis Kelamin : Wanita Agama : Islam Setatus : Belum Kawin Tinggi / Berat Badan : 160cm / 50kg Nomor Hndphone : ayurozanahluthfi@gmail.com Hobi : Shopping, Membaca dan Bercerita Cita-cita : Menjadi Guru dan Dosen Alamat : Desa Rangdu Rt 06 Rw 02, Kec. Pusaka Jaya. Subang 47

48 DESKRIPSI KERJA KELOMPOK Alhamdulillah berkat rahmat Allah yang maha kuasa dan dengan segala kesabaran dan keikhlasan kami dapat menyelesaikan Bahan ajar ini dengan materi Statistika. Adapun deskripsi kelompok, kami bertiga bekerja maksimal dan tanpa ada yang bermalas malasan bahkan sangat bersemangat dalam mengerjakan bahan ajar ini. Adapun kendala yang kami hadapi yaitu dengan waktu yang begitu singkat dan dengan banyaknya tugas mata kuliah yang lain yang harus dikerjakan dengan kelompok yang berbeda yaitu menjaadi kendala yang cukup berarti bagi kami dalam menyelesaikan tugas ini. Tetapi dengan pembagian waktu yang tepat alhamdulillah kami dapat menyelesaikan tugas dengan maksimal. Kendala yang kedua yaitu dengan sakitnya salah satu anggota kelompok kami. Sehingga kami tidak dapat bekerja kelompok selama beberapa hari. Tetapi setelah salah satu anggota kelompok kami sehatkami dapat melanjutkan pekerjaan yang telah tertunda beberapa hari dan kami segera menyelesaikan tugas ini bahkan rela tidak berlibur di hari minggu. Akhirnya semua tugas bisa terselesaikan dengan tepat pada waktunya, ini berkat kerja keras dan kekompakan serta ke solidan kelompok kami. 48

49 Derajat kebaikan seorang hamba yang paling tinggi adalah yang hatinya dapat terpuaskan oleh Tuannya Yang Mahabenar sehingga dia tidak membutuhkan perantara antara dirinya dengan Tuannya itu 49