BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah

Transkripsi

1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Teori graf pertama kali dikemukakan oleh Leonhard Euler, seorang matematikawan berkebangsaan Swiss sekaligus matematikawan yang paling produktif dalam ranah ilmiah dengan jumlah publikasi ilmiah terbanyak yang pernah ada hingga saat ini. Pada tanggal 26 Agustus 1735, Euler memberikan penjelasan secara lisan di Saint Petersburg Academy tentang penyelesaian dari permasalahan yang ada di Kota Königsberg yang dikenal dengan Seven Bridges of Königsberg. Kota Königsberg saat ini merupakan bagian dari negara Rusia dan telah berganti nama menjadi Kaliningrad. Euler menyebutkan di awal penjelasannya bahwa penyelesaian yang ia akan paparkan saat itu berkenaan dengan suatu cabang dari matematika, khususnya geometri, yang sebelumnya pernah disinggung oleh Leibniz dengan sebutan Geometry of Position. Geometry of Position sebagaimana yang disampaikan oleh Leibniz adalah suatu bagian dari geometri yang tidak lagi mempertimbangkan jarak dari garis-garis yang menghubungkan antar titik pada suatu bangun dan lebih menitikberatkan perhatian pada posisi suatu titik beserta garis yang menghubungkannya. Penjelasan Euler ini kemudian dipublikasikan dalam bentuk tulisan pada tahun 1736 dengan judul Solutio Problematis ad Geometriam Situs Pertinentis yang dalam bahasa Indonesia berarti Penyelesaian dari Permasalahan yang Berkaitan dengan Geometri Suatu Posisi. Penjelasan Euler inilah yang disebut oleh sebagian besar matematikawan sebagai awal mula munculnya teorema-teorema dalam teori graf. Meskipun demikian, tidak semua teorema yang dikemukakan oleh Euler berhasil ia buktikan sendiri dalam penjelasannya saat itu. Teorema yang belum sempat dibuktikan oleh Euler ini kemudian dibuktikan oleh Carl Hierholzer, seorang matematikawan muda berkebangsaan Jerman, yang dipublikasikan oleh 1

2 2 teman-temannya pada tahun 1873 setelah kematiannya yang begitu mendadak di tahun 1871 (lihat Biggs, Lloyd, dan Wilson [1998]). Gambar 1.1 Sketsa Jembatan Königsberg oleh Euler Di tengah-tengah perjalanan dan perkembangan teori graf, seorang matematikawan berkebangsaan Denmark yang memiliki nama lengkap Julius Peter Christian Petersen mengemukakan idenya tentang faktor pada graf. Karyanya yang berjudul Die Theorie der regulären Graphs disebut-sebut sebagai tulisan pertama yang membahas tentang teori-teori pokok dalam graf. Pada tahun 1898, tujuh tahun setelah dipubilkasikannya Die Theorie der regulären Graphs, Petersen kembali mempublikasikan salah satu karyanya yang cukup fenomenal di dalam teori graf untuk membantah teori yang dikemukakan oleh matematikawan sekaligus fisikawan bernama Peter Guthrie Tait. Teori yang dikemukakan oleh Tait ini berkenaan dengan graf 3-reguler dan masalah dekomposisi 1-faktor pada graf 3-reguler. Karya kedua dari Petersen inilah yang kemudian melahirkan suatu graf khusus yang disebut dengan graf Petersen (lihat Biggs, Lloyd, dan Wilson [1998]).

3 3 Gambar 1.2 Graf Petersen Setelah dikemukakannya faktor pada graf oleh Petersen, muncul banyak matematikawan yang tertarik untuk mendalaminya. Beberapa matematikawan yang memiliki kontribusi besar dalam perkembangan teori faktor pada graf adalah Philip Hall dengan teorema pernikahan (Hall s Mariagge Theorem), Gyula König, dan William Thomas Tutte dengan teorema 1-faktor-nya. Empat orang matematikawan inilah yang memiliki andil paling besar dalam perkembangan teori faktor pada graf. Pada dasarnya, belum dijumpai referensi yang menjelaskan awal mula keberadaan pembahasan tentang permasalahan 1-faktorisasi sempurna dan siapa yang mencetuskannya sehingga seolah-olah muncul begitu saja. Kemudian, pada tahun 1964, dalam buku Theory Graphs and Its Application, Kotzig memunculkan pertanyaan berkenaan dengan masalah 1-faktorisasi sempurna pada graf lengkap K 2n. Kotzig mempertanyakan keberadaan graf lengkap K 2n yang bukan merupakan sirkuit Hamilton yaitu keberadaan graf lengkap K 2n yang tidak memenuhi kondisi 1-faktorisasi sempurna karena menurut para matematikawan, terminasi sirkuit Hamilton yang digunakan oleh Kotzig bermakna 1-faktorisasi sempurna. Sejak munculnya pertanyaan Kotzig tersebut, banyak matematikawan yang meneliti permasalahan berkenaan dengan 1-faktorisasi sempurna pada suatu graf tertentu. Penelitian tentang permasalahan 1-faktorisasi sempurna dilanjutkan pada graf bipartit dengan harapan dapat menjawab pertanyaan Kotzig tersebut. Kendatipun demikian, permasalahan yang diajukan Kotzig 53 tahun yang lalu ini masih belum juga terpecahkan. Namun, penelitian tentang permasalahan 1-faktorisasi sempurna pada graf bipartit tersebut justru membuka jalan bagi para matematikawan untuk dapat meneliti per-

4 4 masalahan 1-faktorisasi sempurna graf sirkulan. Herke dalam masa pengambilan gelar doktoralnya banyak meneliti tentang graf sirkulan terutama berkenaan dengan permasalahan 1-faktorisasi sempurna. Bentuk graf sirkulan yang teratur dan berpola serta belum terjawabnya pertanyaan Kotzig membuat penulis tertarik untuk mempelajari dan mendalami karya ilmiah yang dipublikasikan oleh Herke dengan judul On Perfect One Factorisation Problem for Circulant Graphs of Degree 4 di mana pembahasan utamanya berkutat pada permasalahan 1-faktorisasi sempurna pada graf sirkulan berderajat Rumusan Masalah Pada skripsi ini akan dipelajari beberapa hal berikut: 1. Pengertian tentang 1-faktor dan 1-faktorisasi pada graf serta syarat suatu graf untuk dapat memenuhi kondisi 1-faktorisasi sempurna; 2. Macam-macam graf sirkulan berderajat 4 yang memenuhi kondisi 1-faktorisasi sempurna; dan 3. Macam-macam graf sirkulan yang tidak memenuhi kondisi 1-faktorisasi sempurna. Kemudian, disajikan pula hasil penelitian kami berkenaan dengan ekuvalensi pada graf sirkulan berderajat Batasan Masalah Pada penulisan skripsi ini, penulis membatasi ruang bahasan pada graf terhubung sederhana yang tidak berarah Tujuan dan Manfaat Penelitian Tujuan dari penulisan skripsi ini yang paling utama adalah sebagai syarat penulis untuk dapat menuntaskan masa belajar jenjang Strata 1 penulis di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas

5 5 Gadjah Mada. Selain itu, tujuan lainnya adalah untuk menyelidiki dan menetapkan graf sirkulan 4-reguler manakah yang memenuhi kondisi 1-faktorisasi sempurna dan manakah yang tidak memenuhinya serta masalah apakah yang menjadi penyebabnya Tinjauan Pustaka Teori graf diawali oleh Euler melalui penyelesaian yang ia kemukakan terhadap permasalahan jembatan Königsberg. Hal ini diungkapkan oleh Biggs, Lloyd, dan Wilson [1998]. Setelah itu mulai bermunculan banyak matematikawan yang tertarik untuk melanjutkan pembahasan yang dimulai oleh Euler ini. Sejumlah matematikawan yang dianggap memiliki sumbangsih cukup besar dalam perkembangan teori graf ini pun disebutkan pula oleh Biggs, Lloyd, dan Wilson [1998]. Di antara matematikawan tersebut, tercantum nama Petersen dan Tait. Mereka berdualah yang memulai pembahasan faktorisasi pada teori graf. Faktorisasi pada suatu graf diungkapkan oleh Tait untuk kali pertama pada tahun Namun, teori yang beliau ungkapkan ini pada akhirnya terbantahkan oleh counterexample yang dibuat oleh Petersen yang kemudian dikenal dengan Graf Petersen (lihat Lützen, Sabidussi, dan Toft [1992]). Dengan sebab inilah Petersen dianggap sebagai pencetus faktorisasi dalam teori graf (lihat Biggs, Lloyd, dan Wilson [1998]). Sejak itulah masalah faktorisasi pada graf berkembang dan menarik cukup banyak matematikawan untuk mengambil bagian dalam perkembangannya. Tercatat di antaranya ada Hall dengan Mariagge Theorem-nya dan Tutte. Perkembangan masalah faktorisasi dalam teori graf makin pesat sejak tahun Perkembangan pesat dalam permasalahan ini dicatat oleh Plummer [2007]. Banyak masalah yang sebelumnya tidak terpecahkan serta konjektur yang tidak dapat dibuktikan pada akhirnya dapat dipecahkan dan dibuktikan. Namun, muncul lebih banyak permasalahan yang bahkan sampai saat ini belum terpecahkan seperti konjektur yang dikemukakan oleh Kotzig pada tahun 1963 tentang 1-faktorisasi sempurna pada graf lengkap dengan jumlah simpul genap (K 2n ).

6 6 Berbicara tentang 1-faktorisasi, Herke [2014] mengungkapkan bahwa di antara sebab ketertarikannya untuk mendalami 1-faktorisasi sempurna pada graf sirkulan adalah sebuah konjektur yang menyatakan bahwa setiap graf sirkulan terhubung berderajat 4 dapat didekomposisikan menjadi dua buah sirkuit Hamilton. Meskipun konjektur ini tidak menyatakan keberadaan 1-faktorisasi sempurna secara eksplisit akan tetapi konjektur ini membuka jalan untuk meneliti tentang hal ini. Ini pula yang membuat penulis tertarik dengan dua karya Herke [2014] dan Herke dan Maenhaut [2013] sehingga memilih karya yang pertama untuk menjadi rujukan utama dalam penulisan tugas akhir ini. Herke [2014] membahas secara khusus tentang permasalahan seputar 1-faktorisasi sempurna pada graf sirkulan berderajat 4 secara khusus. Adapun pembahasan tentang faktor dan faktorisasi pada graf secara umum diperoleh penulis dari Akiyama dan Kano [2011] dan Wallis [1997] Metode Penelitian Metode yang ditempuh dalam penulisan skripsi ini adalah metode pembelajaran literatur. Diawali dengan mengumpulkan literatur penting berkenaan dengan pembahasan baik berupa jurnal ilmiah, buku panduan perkuliahan di mana pun, sampai ke halaman-halaman internet yang dapat di akses. Setelah itu, penulis mulai mempelajari dan menambahkan literatur yang diperlukan selama masa penelitian. Tak lupa penulis berkonsultasi dengan dosen pembimbing berkenaan dengan penulisan dan materi penelitian ini. Adapun proses yang penulis jalani adalah sebagai berikut: 1. Mempelajari definisi tentang faktor dan faktorisasi pada graf hingga 1-faktorisasi sempurna; 2. Mempelajari sifat-sifat graf sirkulan reguler; 3. Mempelajari 1-faktorisasi pada graf sirkulan reguler; 4. Mempelajari dan mengidentifikasi graf sirkulan reguler dan kaitannya dengan kondisi 1-faktorisasi sempurna;

7 7 5. Menambahkan contoh-contoh untuk mempermudah memahami pembahasan Sistematika Penulisan Pada penulisan skripsi ini, penulis menggunakan sistematika sebagai berikut. BAB I PENDAHULUAN Pada bab ini dibahas mengenai latar belakang, perumusan masalah, batasan masalah, maksud dan tujuan penulisan skripsi, tinjauan pustaka, metode penulisan, serta sistematika penulisan skripsi. BAB II DASAR TEORI Pada bab ini dibahas mengenai definisi dan teorema yang mendasari pembahasan pada bab berikutnya. BAB III PEMBAHASAN Pada bab ini dibahas mengenai 1-faktorisasi sempurna pada graf sirkulan berderajat 4. BAB IV KESIMPULAN Pada bab ini memuat kesimpulan terkait dengan pembahasan yang diberikan di dalam Bab III.