Peubah Acak, Fungsi Distribusi Bersama dan Copula

Transkripsi

1 Peubah Acak, Fungsi Distribusi Bersama dan Copula oleh Khreshna Syuhada Misalkan kita memiliki dua peubah acak X dan Y yang tidak saling bebas; fungsi distribusinya, berturut-turut, adalah F X dan G Y. Apa yang dapat kita lakukan pada kedua peubah acak tersebut? A. menentukan fungsi distribusi/peluang bersama B. mencari hubungan/asosiasi Perhatikan A. Peubah acak-peubah acak dapat dihubungkan (linked) karena setiap peubah acak memiliki fungsi distribusi; saat kita memiliki dua peubah acak atau lebih maka akan dipunyai fungsi distribusi bersama. Namun, mengkonstruksi fungsi distribusi bersama tidak mudah, bahkan sering kali kita tidak dapat memperolehnya. Dengan kata lain, bagaimana kita dapat membentuk H X,Y (x, y) = P (X x, Y y)? Perhatikan B. Jika kita mencari/mengukur asosiasi dua peubah acak X dan Y, (i) hal-hal apa saja yang harus kita perhatikan? (ii) bagaimana kita menginterpretasikan nilai asosiasi tersebut? (iii) apabila terjadi ketidaksinkronan antara tafsir intuitif dan numerik, mana yang akan kita jadikan rujukan? 1

2 Salah satu teknik untuk menentukan fungsi distribusi bersama adalah menggunakan formula keluarga Farlie-Morgenstern (Rice, 1995, hal.75): [ H X,Y (x, y) = F X (x) G Y (y) 1 + α ( 1 F X (x) )( 1 G Y (y) )], untuk α 1. Sebagai contoh, jika X U(0, 1), Y U(0, 1), dan α = 1, maka H X,Y (x, y) = 2xy x 2 y y 2 x + x 2 y 2, 0 x 1, 0 y 1. Dalam praktiknya, seringkali (i) X dan Y tidak memiliki distribusi yang identik, (ii) salah satu (atau keduanya) dari F X (x) atau G Y (y) sulit untuk ditentukan. Pada kedua kasus tersebut, diperlukan teknik Copula. Copula adalah fungsi distribusi bersama dari peubah acak-peubah acak Uniform(0, 1). Peubah acakpeubah acak ini diperoleh dari transformasi fungsi distribusi marginal terhadap peubah acak X dan Y. Misalkan fungsi distribusi Copula bivariat C U,V (u, v; θ) = ( u θ + v θ 1 ) 1 θ, 0 u 1, 0 v 1 dimana θ [ 1, ). Perhatikan bahwa U = F X (X) dan V = G Y (Y ) adalah peubah acak-peubah acak Uniform(0, 1). Untuk contoh X U(0, 1) dan Y U(0, 1) diatas, akankah kita menggunakan H X,Y atau C U,V? manakah yang lebih baik? 2

3 Teorema Sklar (Tse, 2009, hal.367) Misalkan HX, Y (x, y) fungsi distribusi bersama dengan fungsi distribusi marginal (margin) F X (x) dan G Y (y). Terdapat suatu Copula untuk semua (x, y) sedemikian hingga H X,Y (x, y) = P (X x, Y y) = C(P (X x), P (Y y)) = C(F X (x), G Y (y)) = C U,V (u, v). Sedangkan fungsi peluang bersama yang berkorespondensi adalah h X,Y (x, y) = f X (x) g Y (y) c(u, v), dimana c(u, v) = 2 C(u, v) u v adalah densitas Copula. Perhatikan bahwa c(u, v) = 1 jika X dan Y saling bebas. Sebaliknya, jika c(u, v) 1 maka X dan Y saling bergantung. Dengan demikian, Copula adalah salah satu ukuran kebergantungan atau ukuran asosiasi. 3

4 Copula adalah fungsi distribusi. Pandang suatu Copula bivariat C U,V (u, v). Sifatsifat yang dimiliki adalah Grounded: C(0, v) = C(u, 0) = 0 2. Uniform marginals: C(1, v) = C(u, 1) = 1 3. Two increasing: C(u 2, v 2 ) C(u 1, v 2 ) C(u 2, v 1 ) + C(u 1, v 1 ) 0, dengan u 1 u 2, v 1 v 2. 4

5 Ukuran Kebergantungan Secara umum, dua peubah acak X dan Y dikatakan berasosiasi jika keduanya tidak saling bebas. Berasosiasi dapat diartikan sebagai bergantung dan/atau berkorelasi linier. Ukuran asosiasi atau kebergantungan yang dikenal adalah (i) korelasi linier Pearson (Pearson linear correlation) (ii) korelasi ranking (rank correlation) (iii) koefisien kebergantungan ekor (coefficients of tail dependence) Ukuran (b) dan (c) digolongkan sebagai ukuran kebergantungan berbasis Copula (Copula-based dependence measures). Dengan kata lain, ukuran (b) dan (c) dapat dinyatakan dalam Copula. Perhatikan bahwa perbedaan antara asosiasi (association) dan korelasi (correlation) adalah bahwa korelasi adalah asosiasi linier. Seperti sudah dinyatakan sebelumnya, ukuran asosiasi rank correlation adalah satu ukuran kebergantungan yang dapat dinyatakan dalam Copula. Ukuran asosiasi Kendall s τ, misalnya, adalah τ = 4 C(u, v) dc(u, v) 1, yang dapat ditunjukkan secara teoritis. Ukuran yang lain adalah Spearman s ρ: ρ = 12 C(u, v) dudv 3. Catatan: Ukuran asosiasi Pearson s correlation tidak dapat dinyatakan dalam copula. 5

6 Korelasi linier Pearson bersifat invarian terhadap transformasi linier murni (under strictly increasing linear transformations). Artinya, ρ(a 1 + b 1 X 1, a 2 + b 2 X 2 ) = ρ(x 1, X 2 ). Namun demikian, tidak invarian terhadap transformasi naik murni tak linier. Selain itu, korelasi hanya terdefinisi jika variansi X 1 dan X 2 hingga. Pandang contoh berikut (Cherubini dkk, 2004, hal.100,102): Data mingguan dua indeks saham DAX30 dan S&P500 pada periode Januari 1992 hingga Juni 2001 (n = 248). Nilai asosiasi yang diperoleh adalah Pearson s ρ: 0.67 Kendall s τ: 0.44 Spearman s ρ: 0.67 Dari ketiga nilai asosiasi tersebut kita dapat menduga tidak adanya hubungan linier yang kuat antara kedua peubah acak ini. Catatan: Umumnya Pearson s ρ Spearman s ρ. 6

7 Copula, Kebergantungan, dan Perhatikan ilustrasi berikut: Jika X 1 dan X 2 saling bebas maka korelasi linier Pearson ρ(x 1, X 2 ) = 0, namun tidak berlaku sebaliknya. Contoh (McNeil dkk, 2005, hal.203), pandang: Model 1: (X 1, X 2 ) berdistribusi normal bivariat standar dimana X 1 dan X 2 saling bebas (artinya ρ(x 1, X 2 ) = 0), Model 2: (Y 1, Y 2 ) = (X 1, V X 1 ), dimana V adalah peubah acak diskrit sedemikian hingga P (V = 1) = P (V = 1) = 0.5. Model 2 memiliki distribusi marginal normal dan ρ(y 1, Y 2 ) = 0 namun Y 1 dan Y 2 tidak saling bebas atau saling bergantung. Kita ingin menentukan distribusi X 1 + X 2 dan Y 1 + Y 2 untuk kemudian menghitung (1 α)-kuantil dari distribusi-distribusi tersebut (selanjutnya, kuantil ini akan didefinisikan sebagai 1 α. Kita akan gambarkan nilai-nilai kuantil untuk kedua distribusi tersebut pada α (0, 0.10). Karena X i N(0, 1) maka X 1 +X 2 N(0, 2). V@R, pada tingkat peluang 1 α, adalah nilai x sedemikian hingga P (X 1 + X 2 x) = 1 α ( X1 + X 2 P x ) = 1 α 2 2 ( ) x Φ = 1 α 2 Jadi, 1 α (X 1 + X 2 ) = x = 2 Φ 1 (1 α). 7

8 4.5 X 1 +X 2 4 Y 1 +Y Value at Risk α Sementara itu, Y 1 + Y 2 = 2X 1 N(0, 4) dengan peluang 1/2. Artinya P (Y 1 + Y 2 y) = 1 2 ( Y1 + Y 2 P y ) = 1 2α 2 2 ( y Φ = 1 2α 2) Jadi, 1 α (Y 1 + Y 2 ) = y = 2Φ 1 (1 2α). Plot kedua V@R adalah sebagai berikut. Perhatikan bahwa nilai V@R jumlahan risiko tidak bergantung pada distribusi marginal sifat korelasi. 8