Value-at-Risk Pada Portofolio Berbasis Copula

Transkripsi

1 ISSN : e-proceeding of Engineering : Vol.3, No.2 Agustus 206 Page 3859 Value-at-Risk Pada Portofolio Berbasis Copula Tedo Hariscandra Program Studi Ilmu Komputasi Telkom University, Bandung tedohariscandra6@gmail.com June 29, 206 Abstrak Tiap investasi antar saham yang dilakukan akan memberikan keuntungan dan risiko yang berbeda meskipun dalam sektor industri yang sama. Membentuk sebuah portofolio merupakan usaha memaksimalkan tingkat pengembalian (return) yang diharapkan dari investasi yang dilakukan dengan risiko tertentu. Value-at-Risk (VaR) merupakan salah satu alat ukur risiko yang digunakan untuk memprediksi besarnya kerugian maksimum dari suatu portofolio yang dimiliki. Melakukan perhitungan VaR terhadap portofolio dua saham yang memiliki kebergantungan bukanlah hal yang mudah, karena tidak ditemukannya distribusi bersama yang cocok untuk memodelkan hal tersebut. Teori Copula merupakan alat yang sangat fundamental dan fleksibel dalam memodelkan suatu distribusi bersama. Dalam Tugas Akhir ini menggunakan metode keluarga Copula Archimedean yaitu Copula Clayton dan Copula Gumbel untuk menentukan Value-at-Risk pada data portofolio. Nilai VaR dengan tingkat kepercayaan 90% pada Copula Clayton dan Copula Gumbel yaitu 0,058 dan 0,068, nilai VaR dengan tingkat kepercayaan 95% pada Copula Clayton dan Copula Gumbel yaitu 0,020 dan 0,0228, serta nilai VaR dengan tingkat kepercayaan 99% pada Clayton yaitu 0,0320 dan Copula Gumbel yaitu 0,0376. Diperoleh nilai mean error VaR violation Copula Clayton yaitu 3 dan Copula Gumbel yaitu 7. Hal ini menyatakan bahwa VaR Copula Gumbel dapat memprediksi risiko kerugian lebih baik pada portofolio. Kata kunci: Value-at-Risk, Copula, Archimedian, Clayton, Gumbel Pendahuluan Pasar modal merupakan salah satu alternatif investasi jangka panjang dan sebagai media investasi bagi pemodal. Investasi dilakukan banyak orang untuk mencapai keuntungan di masa mendatang. Tiap investasi antar saham yang dilakukan akan memberikan keuntungan dan risiko yang berbeda meskipun dalam sektor industri yang sama. Harapan dari investor terhadap investasinya adalah memperoleh return sebesar-besarnya dengan risiko tertentu. Membentuk sebuah portofolio merupakan usaha memaksimalkan tingkat pengembalian (return) yang diharapkan dari investasi yang dilakukan dengan risiko tertentu. Risiko merupakan besarnya penyimpangan antara tingkat pengembalian yang diharapkan (expected return ) dengan tingkat pengembalian aktual (actual return ) [8]. Prinsip utama dalam investasi yang perlu diingat sebagai seorang investor adalah risiko yang rendah maka return yang dihasilkan akan rendah dan sebaliknya risiko yang tinggi maka return yang dihasilkan juga akan tinggi. Pengukuran risiko merupakan hal yang sangat penting berkaitan dengan investasi dana yang cukup besar. Oleh sebab itu, pengukuran risiko perlu dilakukan agar risiko berada dalam tingkatan yang terkendali sehingga dapat mengurangi terjadinya kerugian berinvestasi [8]. Salah satu alat ukur yang berkembang pesat dan sangat populer dipergunakan saat ini yaitu Valueat-Risk (VaR) yang dipopulerkan oleh J.P. Morgan pada tahun 994. Value-at-Risk (VaR) menjadi alat ukur standar yang digunakan oleh analis keuangan untuk menghitung risiko pasar dari sebuah aset atau portofolio [0]. Konsep Copula membantu pemahaman kebergantungan secara lebih mendalam. Copula sebagai salah satu metode estimasi VaR merupakan pemodelan distribusi bersama yang memiliki beberapa keunggulan yaitu tidak memerlukan asumsi distribusi normal dan dapat menangkap tail dependence di antara masing-masing variabel [2]. Copula merupakan media untuk mengamati perilaku kebergantungan dengan fokus pada nilai korelasi serta menunjukkan ukuran kebergantungan

2 ISSN : e-proceeding of Engineering : Vol.3, No.2 Agustus 206 Page 3860 yang sesuai dengan data. Pada Jurnal ini menggunakan metode keluarga Copula Archimedean yaitu Copula Clayton dan Copula Gumbel untuk mengetahui tail dependence. 2 Tinjauan Pustaka 2. Return Saham Salah satu tujuan investor berinvestasi adalah untuk mendapatkan return. Tanpa adanya tingkat keuntungan yang dinikmati dari suatu investasi, tentunya investor tidak akan melakukan investasi. Jadi, semua investasi mempunyai tujuan utama mendapatkan return [2]. Menurut Wahyudi (2003), bahwa return saham adalah keuntungan yang dinikmati investor atas investasi saham yang dilakukannya [20]. Menurut Samsul (2006), return adalah pendapatan yang dinyatakan dalam persentase dari modal awal investasi [6]. Pendapatan investasi dalam saham ini merupakan keuntungan yang diperoleh dari jual beli saham, dimana jika untung disebut capital gain dan jika rugi disebut capital loss. Berdasarkan definisi di atas dapat disimpulkan bahwa return saham merupakan tingkat pengembalian yaitu berupa keuntungan dan kerugian yang didapatkan dari investasi yang telah dilakukan. Menurut Tandelilin (200), return saham terdiri dari dua komponen, yaitu [8]:. Capital Gain (loss) Capital Gain (loss) yaitu kenaikan (penurunan) harga suatu saham yang bisa memberikan keuntungan (kerugian) bagi investor. 2. Yield Yield merupakan komponen return yang mencerminkan aliran kas atau pendapatan yang diperoleh secara periodik dari suatu investasi saham. Menurut Gruber et al. (99) return saham untuk tiap periode dapat dihitung dengan menggunakan rumus sebagai berikut [7]: gan menukar peran θ dan y dalam fungsi-fungsi n - variat, dan (ii) membuang suku yang tidak bergantung pada θ. Fungsi likelihood didefinisikan sebagai [7] : L(θ) = L(θ y,..., y n ) f Y,...,Y n (y,...y n θ) Untuk memudahkan dalam perhitungan, transformasikan fungsi likelihood menjadi fungsi loglikelihood. Fungsi logaritma adalah fungsi yang monoton naik dan satu-satu terhadap fungsi sebenarnya. Fungsi log-likelihood didefinisikan sebagai [7]: T l(θ) = X lnf (y t ; θ) t= Pendekatan distribusi dilakukan berdasarkan loglikelihood yang memiliki nilai paling tinggi. 2.3 Kendall s Tau Menurut Nelsen, R.B. (99), koefisien korelasi Kendall s Tau pertama kali diperkenalkan oleh Fechner sekitar tahun 900, dan ditemukan kembali oleh Kendall (938) [3]. Kendall s Tau merupakan normalisasi nilai harapan dan memberikan metode alternatif untuk menghitung ukuran asosiasi pada Copula. Konsep Kendall s Tau menghitung banyaknya pasangan concordant dan discordant. Misalkan terdapat n barisan observasi dari (x i, y i ) dan (x j, y j ) dengan X,Y merupakan peubah acak kontinu, kemudian (x i, y i ) dan (x j, y j ) adalah dua buah observasi yang berbeda dari X,Y (x i, y i ) dan (x j, y j ), termasuk concordant apabila : (x i x j ) (y i y j ) 0 Kondisi ini memenuhi apabila x i x j dan y i y j atau apabila x i x j dan y i y j (x i, y i ) dan (x j, y j ), termasuk discordant apabila : P it+ R it = ln( ) P it (x i x j ) (y i y j ) 0 dimana R it menyatakan return saham i pada periode t, P (t) menyatakan harga saham i pada periode t. Kondisi ini memenuhi apabila x i x j dan y i y j atau apabila x i x j dan y i y j Rumus dasar yang digunakan [5]: 2.2 Fungsi Likelihood Diberikan Y, Y 2,...,Y n adalah peubah acak yang saling bebas dan berdistribusi identik dengan probability density function (pdf ) f (y t ; θ). Fungsi likelihood merupakan bentuk lain dari distribusi peluang gabungan Y, Y 2,...,Y n yang diperoleh den- c d τ = () nc2 Terdapat nc 2 pasangan observasi (x i, y i ) dan (x j, y j ), c menyatakan banyaknya pasangan yang concordant dan d menyatakan banyak pasangan yang discordant. 2

3 ISSN : e-proceeding of Engineering : Vol.3, No.2 Agustus 206 Page Teorema Sklar Teorema Sklar (959) menunjukkan bahwa fungsi distribusi gabungan n-dimensi dapat didekomposisi menjadi n distribusi marginal dan Copula, yang benar-benar menggambarkan ketergantungan antara variabel n [3]. Misalkan H adalah fungsi distribusi bersama dengan marginal F dan G. Maka terdapat suatu copula C sedemikian hingga untuk semua x, y di dalam R yaitu sebagai berikut []: H (x, y) = C (F (x), G(y)). jika C adalah Copula dan F dan G adalah fungsi distribusi, maka fungsi H yang didefinisikan adalah fungsi distribusi dengan marginal F dan G. 2.5 Teori Copula Dalam literatur statistik, ide copula muncul pada abad ke-9 dalam konteks diskusi non-normalitas dalam kasus multivariat []. Copula adalah suatu fungsi yang menggabungkan beberapa distribusi marginal menjadi distribusi gabungan. Konsep Copula pertama kali dipopulerkan pada tahun 959 oleh seorang matematikawan Abe Sklar yang teoremanya sekarang dikenal dengan nama Teorema Sklar. Dalam teorema tersebut, Copula digambarkan sebagai suatu fungsi yang menjaring berbagai bentuk distribusi marginal ke suatu ben- tuk distribusi gabungan. Pada umumnya, keluarga copula yang sering digunakan terdiri atas Copula Gaussian, Copula t- student dan Copula Archimedian yang terdiri dari Copula Clayton dan Copula Gumbel Copula Clayton Keluarga Copula Clayton pertama kali diusulkan oleh Clayton (978), dan dipelajari oleh Oakes (982, 986), Cox dan Oakes (984), Cook and Johnson (98, 986) []. Untuk mencari Copula Clayton, maka perlu dicari φ(t) terlebih dahulu, yaitu : φ(t) = t τ τ Sehingga diperoleh Copula Clayton : C C layton (u, v; ω) = (u ω + v ω ) ω dimana ω [, ) Copula Gumbel Keluarga Copula Gumbel diperkenalkan oleh Gumbel (960). Sejak dibahas dalam Hougaard (986), juga dikenal sebagai keluarga Gumbel- Hougaard. Didefinisikan estimasi parameter Copula Gumbel : δ = τ dengan τ menyatakan Kendall s Tau dan δ menyatakan parameter Copula Clayton. Sehingga Copula Gumbel didefinisikan sebagai berikut[]: C Gumbel = exp (( log u) δ + ( log v) δ ) δ dimana δ [0, ) 2.6 Portofolio Portofolio merupakan gabungan dua atau lebih sekuritas yang terpilih sebagai investasi dari investor pada kurun waktu tertentu dengan suatu ketentuan tertentu. Selain itu, portofolio dapat diartikan sebagai serangkaian kombinasi beberapa aktiva yang diinvestasikan dan dipegang oleh investor baik perorangan maupun lembaga [20] Portofolio Dua Aset Portofolio dua aset merupakan gabungan dari dua saham untuk menurunkan risiko kerugian yang diperoleh. Portofolio dua aset dibangun den- gan proporsi investasi disetiap saham. didefinisikan [] : z = (αx + ( α)y) Portofolio Dimana x dan y menyatakan data saham, z menyatakan portofolio dua aset, dan α menyatakan proporsi aset portofolio. 2.7 Value-at-Risk (VaR) Value-at-Risk (VaR) merupakan sebuah konsep yang digunakan dalam pengukuran risiko dalam risk management. Secara sederhana VaR ingin menjawab pertanyaan Seberapa besar (dalam persen atau sejumlah uang tertentu) investor dapat merugi selama waktu investasi T dengan tingkat kepercayaan sebesar (-α). Dari pertanyaan tersebut, secara sederhana kita melihat adanya 3 vari- abel yang penting: besar kerugian, selang waktu, dan besar tingkat kepercayaan [3]. Secara spesifik, kita akan melihat pergerakan hargaharga saham melalui perspektif VaR ini. Misalkan VaR suatu portfolio $5,000 dengan tingkat kepercayaan 95% pada periode satu hari, maka terdapat 95% kemungkinan portfolio tersebut akan mengalami kerugian dengan nilai di bawah $5,000. Dapat juga dikatakan bahwa ada 5% kemungkinan portfolio tersebut akan mengalami kerugian minimal $5,000 pada satu hari ke depan [5]. Didefinisikan : V ar ( α) (Y ) = F Y ( α) dengan Y adalah peubah acak return dengan fungsi distribusi F(y). Untuk 0 α, VaR pada tingkat kepercayaan (-α). 3

4 ISSN : e-proceeding of Engineering : Vol.3, No.2 Agustus 206 Page VaR Violation VaR Violation merupakan metode untuk mengevaluasi Value-at-Risk berdasarkan Huang (2009), didefinisikan [6]: 3.2 Alur Sistem Perancangan η t = {, if z > V ar t 0, if z V ar t ν = X η t ν 0 = W t ν Keterangan : z = nilai portofolio V ar t = nilai Value-at-Risk pada waktu ke-t η t = VaR Violation ν = banyaknya VaR Violation selanjutnya mencari mean error. Hal ini bertujuan untuk mencari metode terbaik berdasarkan nilai dari VaR Violation yang telah didapatkan. Didefinisikan []: M eanerror = ν e ν m n Keterangan : MeanError = nilai Mean Error ν e = Expected Violation α ν m = Expected Violation Method n = banyaknya data 3 Perancangan Sistem 3. Analisis Data Data merupakan informasi yang diperlukan dalam Tugas Akhir untuk diolah. Data aset portofolio yang digunakan yaitu data harga penutupan saham Honda dan data harga penutupan saham Toyota yang diambil dari tanggal 7 Oktober 20 sampai tanggal 30 September 205. Figure 2: Flowchart Perancangan Sistem Berikut ini penjelasan alur perancangan sistem yaitu:. Menggunakan data harga penutupan saham (close price ) berdasarkan urutan tanggal yaitu dari tanggal 7 Oktober 20 sampai tanggl 30 September Merubah nilai harga penutupan saham (close price ) dari tiap saham menjadi nilai return saham. Figure : Harga Penutupan Saham Honda dan Toyota Berdasarkan figure, terdapat grafik harga penutupan saham dimana garis grafik biru yaitu harga penutupan saham Toyota dan garis grafik merah yaitu harga penutupan saham Honda. 3. Menentukan atau memilih distribusi marginal yang tepat dari return tiap saham. 4. Distribusi marginal tiap saham didekati distribusi gabungan dengan Copula. Copula yang digunakan yaitu Copula Clayton dan Copula Gumbel. 4

5 ISSN : e-proceeding of Engineering : Vol.3, No.2 Agustus 206 Page Dalam pendekatan menggunakan Copula maka harus menaksir parameter baik Copula Clayton dan Copula Gumbel serta menentukan model Copula untuk dapat dilihat tail dependence dari Copula. 6. Membangkitkan data dari parameter Copula Clayton dan Copula Gumbel yang telah ditentukan sebelumnya. 7. Menghitung return portofolio dari kedua aset saham berdasarkan Copula Clayton dan Copula Gumbel. 8. Menghitung Value-at-Risk dari Copula Clayton dan Copula Gumbel berdasarkan tingkat kepercayaan (-α). 9. Menghitung VaR Violation dan Mean Error dari Copula Clayton dan Copula Gumbel untuk menentukan Copula terbaik dalam mengestimasi VaR. 4 Implementasi Hasil 4. Return Saham Honda dan Saham Toyota Return saham Honda dan Toyota perhari dimulai dari tanggal 7 oktober 20 sampai tanggal 30 September 205. Berikut grafik return indeks masing-masing saham : Table : Hasil Statistika Deskriptif Parameter Honda Toyota Min Max Mean Std.Deviasi Skewness Kurtosis Berdasarkan statistika deskriptif tabel menunjukkan bahwa nilai skewness dan kurtosis cenderung tidak berdistribusi normal. Hal ini disebabkan nilai skewness tidak bernilai sama dengan nol dan nilai kurtosis tidak bernilai sama dengan tiga. Nilai skewness dan kurtosis pada data return tiap saham menunjukkan data return dari saham Honda dan Toyota cenderung bersifat simetris dan agak lebih runcing dari distribusi normal, maka pilihan distribusi yang cukup mendekati jatuh pada distribusi t. Akan tetapi, distribusi t mempunyai mean 0 dan variansi yang bergantung pada drajat kebebasan ν, ν yaitu ν 2. Oleh sebab itu, distribusi t ditransformasi linear agar dapat diperoleh distribusi yang mirip dengan distribusi t, tetapi dengan nilai mean dan variansi yang fleksibel. Distribusi tersebut dikenal dengan distribusi t yang tak terstandarkan atau distribusi t location-scale. Selanjutnya berdasarkan uji kecocokan distribusi dengan histogram data dan Log-Likelihood. Dengan menggunakan fitur distribution fitting pada software Matlab, histogram data lebih cocok dengan plot fungsi distribusi t location-scale. Figure 3: Nilai return Honda dan Toyota Pada implementasi hasil ini, Penulis menggunakan data return saham dari harga penutupan saham. 4.2 Uji Kecocokan Distribusi Penentuan distribusi marginal pada data ini, dapat digunakan statistika deskriptif, uji kecocokan distribusi dengan pendekatan histogram data serta uji log-likelihood. Figure 4: Uji kecocokan distribusi dengan histogram data return Honda dapat dilihat pada figure 4 dan figure 5, distribusi t location-scale memiliki ekor distribusi yang lebih panjang dari pada distribusi lainnya. Distribusi yang mendekati dari uji kecocokan distribusi dengan histogram data, yaitu distribusi Generalized Extreme Value, Logistic, Normal, t location-scale Selain itu, uji kecocokan distribusi data dengan log-likelihood memberikan informasi dalam menentukan distribusi data yang tepat. Informasi nilai log-likelihood untuk data return saham dapat dili- 5

6 ISSN : e-proceeding of Engineering : Vol.3, No.2 Agustus 206 Page 3864 Table 4: Hasil Kendal s Tau Variabel Nilai Concordant Discordant 359 Kendall s Tau 0.55 Figure 5: Uji kecocokan distribusi dengan histogram data return Toyota hat pada tabel 2. Table 2: Hasil Log-Likelihood Berikut nilai dari parameter dari Copula Clayton dan Copula Gumbel, Table 5: Parameter Copula Jenis Copula Nilai Clayton Gumbel Distribusi Honda Toyota Setelah menentukan parameter dari Copula Clay- Generalized Extreme Value Logistic ton dan Copula Gumbel, selanjutnya kita dapat Normal memodelkan Copula Clayton dan Copula Gumbel t location-scale berupa plot tail dependence Copula dari data parameter tabel 5. Berdasarkan nilai log-likelihood pada tabel 2, dapat dilihat bahwa distribusi t location-scale di setiap saham Honda dan saham Toyota memiliki nilai Log- Likelihood tertinggi dibandingkan distribusi lain. Setelah ditentukan distribusi data dari data return kedua saham, selanjutnya dilakukan penaksiran parameter. Taksiran parameter untuk data return saham Honda dan Toyota dapat dilihat pada tabel 3 Setelah mencari nilai Kendall s Tau, langkah selanjutnya adalah menentukan parameter dari Copula yaitu Copula Clayton dan Copula Gumbel. Table 3: Hasil Penaksiran Parameter Saham µ σ ν Honda Toyota Berdasarkan hasil penaksiran parameter terlihat µ H onda < µ T oyota, σ H onda > σ T oyota, ν H onda > ν T oyota. Hal ini berarti bahwa nilai tingkat keuntungan yang diharapkan pada saham Honda lebih besar dibandingkan dengan saham Toyota. 5 Model Copula Dalam menentukan model Copula, terlebih dahulu harus ditentukan Kendall s Tau, parameter Copula hingga dapat menentukan tail dependence Copula. Berdasarkan tabel 4 dimana nilai koefisien korelasi Kendall s Tau memiliki nilai sebesar Hal ini berarti bahwa kedua investasi dikatakakan berasosiasi positif. 6

7 ISSN : e-proceeding of Engineering : Vol.3, No.2 Agustus 206 Page 3865 Dapat didefinisikan model Copula Clayton : C C layton (u, v; ) = (u v ) Dapat didefinisikan model Copula Gumbel : C Gumbel (u, v; 2.996) = exp (( log u) ( log v) ) dimana u dan v pada model Copula Clayton dan Copula Gumbel menyatakan hasil fungsi distribusi kumulatif dari distribusi t location-scale. Sehingga jika digambarkan dalam bentuk plot tail dependence Copula yaitu : Figure 6: Scatterhist Perilaku Tail Dependence Copula Clayton Berdasarkan figure 6 dan 7 ditunjukkan bahwa Copula Clayton dan Copula Gumbel memiliki karakteristik tail dependence yang berbeda. Copula Clayton 7

8 ISSN : e-proceeding of Engineering : Vol.3, No.2 Agustus 206 Page 3866 yang terjadi pada periode t. Figure 7: Scatterhist Perilaku Tail Dependence Copula Gumbel memiliki tail dependence di bagian bawah sedangkan Copula Gumbel memiliki tail dependence di bagian atas. 6 Value-at-Risk(VaR) Figure 9: Grafik Nilai VaR Copula Gumbel tingkat kepercayaan 90% Berdasarkan figure 9, dapat dilihat bahwa return VaR (garis hitam) dengan tingkat kepercayaan 90 % dengan Copula Gumbel dapat mengantisipasi nilai risiko kerugian dari return portofolio (titik biru) yang terjadi pada periode t. Value-at-Risk (VaR) merupakan sebuah konsep yang digunakan dalam pengukuran risiko dalam risk management. Secara sederhana VaR ingin menjawab pertanyaan Seberapa besar (dalam persen atau sejumlah uang tertentu) investor dapat merugi selama waktu investasi t dengan tingkat kepercayaan sebesar (-α). Berdasarkan pertanyaan tersebut, secara sederhana kita melihat adanya 3 variabel yang penting: besar kerugian, selang waktu, dan besar tingkat kepercayaan []. Berikut adalah plot VaR Copula Clayton dan Copula Gumbel terhadap return portofolio : Figure 0: Grafik Nilai VaR Copula Clayton dengan tingkat kepercayaan 95% Figure 8: Grafik Nilai VaR Copula Clayton dengan tingkat kepercayaan 90% Berdasarkan figure 8, dapat dilihat bahwa return VaR (garis hitam) dengan tingkat kepercayaan 90% dengan Copula Clayton dapat mengantisipasi nilai risiko kerugian dari return portofolio (titik merah) Berdasarkan figure 0, dapat dilihat bahwa return VaR (garis hitam) dengan tingkat kepercayaan 95% dengan Copula Clayton dapat mengantisipasi nilai risiko kerugian dari return portofolio (titik merah) yang terjadi pada periode t. Berdasarkan figure, dapat dilihat bahwa return VaR (garis hitam) dengan tingkat kepercayaan 95% dengan Copula Gumbel dapat mengantisipasi nilai risiko kerugian dari return portofolio (titik biru) yang terjadi pada waktu t. Berdasarkan figure 2, dapat dilihat bahwa return VaR (garis hitam) dengan tingkat kepercayaan 99% dengan Copula Clayton dapat mengantisipasi nilai risiko kerugian dari return portofolio (titik merah) yang terjadi pada waktu t. Berdasarkan figure 3, dapat dilihat bahwa return VaR (garis hitam) dengan tingkat kepercayaan 99% 8

9 ISSN : e-proceeding of Engineering : Vol.3, No.2 Agustus 206 Page 3867 dengan Copula Gumbel dapat mengantisipasi nilai risiko kerugian dari return portofolio (titik biru) yang terjadi pada periode t. Berdasarkan gambar tersebut, didapat nilai VaR terhadap return portofolio pada periode t =000 : Table 6: Nilai VaR terhadap return portofolio pada periode 000 Jenis Copula VaR 90% VaR 95% VaR 99% Clayton 0,058 0,020 0,0320 Gumbel 0,068 0,0228 0,0376 Figure : Grafik Nilai VaR Copula Gumbel dengan tingkat kepercayaan 95% Berdasarkan tabel 4.6, dapat dilihat bahwa nilai VaR Copula Clayton pada periode 000 dengan tingkat kepercayaan 90% terhadap return portofolio sebesar 0,058. Hal ini menunjukkan bahwa terdapat 90% peluang portofolio mengalami kerugian dibawah 0,058 atau terdapat 0% peluang portofolio mengalami kerugian diatas 0,058. Begitu juga sama halnya dengan VaR Copula Gumbel 90%, VaR Copula Clayton dan Copula Gumbel 95% serta VaR Copula Clayton dan Copula Gumbel 99%. 7 Violation VaR Selanjutnya dapat ditentukan VaR Copula terbaik dengan mencari violation VaR dan mean error dari setiap metode yang digunakan. Dapat dilihat hasil sebagai berikut, Table 7: Hasil Nilai Violation VaR dan Mean Error Figure 2: Grafik Nilai VaR Copula Clayton dengan tingkat kepercayaan 99 % Jumlah Periode 000 α 0 % 5% % Expected no. of violations Mean Error Copula Clayton Copula Gumbel Pada tabel 7, dapat dilihat bahwa Copula Clayton memiliki mean error sebesar 3 dan Copula Gumbel memiliki mean error sebesar 7. Hal ini berarti bahwa VaR Copula Gumbel dapat memprediksi risiko kerugian lebih baik pada portofolio. 8 Kesimpulan dan Saran 8. Kesimpulan Figure 3: Grafik Nilai VaR Copula Gumbel dengan tingkat kepercayaan 99 % Berdasarkan hasil yang diperoleh, maka dapat disimpulkan:. Dalam membentuk distribusi gabungan dengan Copula dari return saham, terlebih dahulu 9

10 ISSN : e-proceeding of Engineering : Vol.3, No.2 Agustus 206 Page 3868 menentukan distribusi marginal dari data return beserta fungsi distribusi kumulatif, koefisien korelasi Kendall s Tau dan parameter Copula untuk ditentukan tail dependence Copula berdasarkan model Copula baik Copula Clayton maupun Copula Gumbel. 2. Data return investasi pada saham Honda dan Toyota mengikuti distribusi t location-scale yang merupaka distribusi yang memiliki ekor yang lebih panjang dari distribusi normal dan juga merupakan transformasi linear dari distribusi t. 3. Nilai VaR pada periode 000 dengan tingkat kepercayaan 90% pada Copula Clayton yaitu 0,058 dan Copula Gumbel yaitu 0,068, nilai VaR dengan tingkat kepercayaan 95% pada Copula Clayton yaitu 0,020 dan Copula Gumbel 0,0228, serta nilai VaR dengan tingkat kepercayaan 99% pada Copula Clayton yaitu 0,0320 dan Copula Gumbel yaitu 0, Diperoleh nilai mean error VaR Copula Clayton sebesar 3 dan VaR Copula Gumbel sebesar 7. Sehingga Copula Gumbel dapat memprediksi risiko kerugian lebih baik dibandingkan dengan Copula Clayton. 8.2 Saran Beberapa rekomendasi yang diajukan dari Tugas Akhir ini adalah :. Melakukan proporsi aset portofolio yang berbeda untuk mengetahui nilai risiko dengan Copula Clayton dan Copula Gumbel. 2. Menggunakan distribusi marginal yang berbeda dari tiap investasi saham yang akan dipilih. 3. Menggunakan Metode selain Copula Clayton dan Copula Gumbel untuk mengetahui nilai Value-at-Risk portofolio. References [] Artzner, P., Delbaen, F., Eber, J., and Health, D. (999), Coherent measures of risk. Mathematical Finance, 9, 203/228 [2] Ang, Robert Buku Pintar Pasar Modal Indonesia. Indonesia: Mediasoft [3] Basak, S. dan A. Shapiro. (200). Value-at- Risk Based Risk Management: Optimal Policies and Asset Prices. Review of Financial Studies 4(2): [4] Cherubini, U., Luciano, E., Vecchiato, W., Copula Methods in Finance. John Wiley, NY. [5] Darmadji, T., & Fakhruddin, H. M. (200). Pasar modal di indonesia: Pendekatan tanya jawab. Jakarta: Penerbit Salemba Empat. [6] Danielsson, J. Financial Risk Forecasting The Theory and Practice of Forecasting Market Risk with Implementation in R and Matlab, 20. [7] Gruber et al.(99). Modern Portfolio Theory and Investment Analysis. Singapore : John Wiley & Sons, Inc [8] Halim, A. (2005). Analisis Investasi. Edisi 2. Jakarta : Salemba Empat. [9] Hotta, L.K., Lucas, E.C., Palaro, H.P., Estimation of VaR using copula and extreme value theory. Multinational Finance Journal 2, [0] Hm, Jogiyanto Analisis Dan Disain Sistem Informasi : Pendekatan Terstruktur Teori Dan Praktek Aplikasi Bisnis, Yogyakarta : Andi. [] Huang, J.J, Lee, K.J, C, Hueimei, L, Lin, W.F. (2009). Estimating value at risk of portfolio by conditional copula-garch method.journal of Mathematics and Economics. 45, [2] Natalia, E, Darminto, K.J, C, Wi Endang, N.P (202). PENENTUAN PORTOFOLIO SA- HAM YANG OPTIMAL DENGAN MODEL MARKOWITZ SEBAGAI DASAR PENETA- PAN INVESTASI SAHAM.9().-9 [3] Nelsen, R.B. (99) Copulas and association, in G. DallAglio, S. Kotz & G. Salinetti (eds), Advances in Probability Distributions with Given Marginals. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, pp [4] Nelsen, R. B. (2006), An Introduction to Copulas, Springer, New York, 2nd edn. [5] Rohmawati, A.A. (204). EKSPLORASI HUBUNGAN VALUE-AT-RISK DAN CON- DITIONAL VALUE-AT-RISK. Thesis Magister pada Institut Teknologi Bandung: tidak diterbitkan [6] Samsul, Mohamad Pasar Modal dan Manajemen Portofolio. Jakarta:Erlangga [7] Saputra, R.W.F (203). FUNGSI (DIS)UTILITAS DAN EFEK VARIABIL- ITAS PARAMETER PADA SELANG PREDIKSI.Thesis Magister pada Institut Teknologi Bandung: tidak diterbitkan 0

11 ISSN : e-proceeding of Engineering : Vol.3, No.2 Agustus 206 Page 3869 [8] Tandelilin, Eduardus Analisis Investasi dan Manajemen Portofolio. Yogyakarta: BPFE Yogyakarta [9] Tse, Kuan Yiu(2009), Nonlife Actuarial Models. Cambridge University Press. [20] Wahyudi, Sugeng Pengukuran Return Saham, Jurnal Ekonomi, Suara Merdeka