Ukuran Kebergantungan Korelasi Pearson - Korelasi Spearman - Kendals Tau. MA2281 Statistika Nonparametrik 3 Maret 2016 Utriweni Mukhaiyar

Transkripsi

1 Ukuran Kebergantungan Korelasi Pearson - Korelasi Spearman - Kendals Tau MA2281 Statistika Nonparametrik 3 Maret 2016 Utriweni Mukhaiyar

2 Ukuran Kebergantungan Misalkan 2 peubah acak X dan Y, masing-masing dengan fungsi marjinal f X x dan g Y y. X dan Y saling bebas jika: h X,Y x, y = f X x. g Y (y) X dan Y tidak saling bebas Kebergantungan linier Kebergantungan lainnya (non-linier) Korelasi Pearson Parametrik, ukuran data besar, data kuantitatif Korelasi Spearman Nonparametrik, ukuran data kecil, data kuantitatif dan kualitatif Kendal s Tau Nonparametrik, ukuran data kecil, data kualitatif (ordinal)

3 Korelasi Pearson Mengukur kebergantungan linier dari dua peubah acak. Definisi: 0 ρ 1 ρ = Korelasi sampel: Kelemahan: E[(X μ X )(Y μ Y )] E X μ 2 X E[ Y μ 2 Y ] = Cov(X, Y) Var X Var(Y) ρ = r = Sensitif terhadap outlier n i=1 n i=1 X i X X i X 2 n i=1 Y i Y Y i Y 2 = S XY S X S Y Membutuhkan informasi distribusi peluang gabungan (parametric) Dikenakan pada data kuantitatif (diskrit maupun kontinu)

4 Korelasi Spearman (Koefisien Korelasi Rang) Mengukur kebergantungan dua peubah acak yang dapat dipresentasikan oleh fungsi monoton. 0 ρ s 1 Keunggulan: Dapat dikenakan pada data kuantitatif (diskrit dan kontinu) maupun kualitatif (ordinal) Tidak lebih sensitif terhadap outlier dibandingkan korelasi Pearson Tidak memerlukan informasi mengenai distribusi peluang gabungan dari peubah acak yang diperhatikan (nonparametric) Kelemahan: tidak diketahui jenis kebergantungannya.

5 Korelasi Spearman -Perhitungan- Misalkan realisasi pasangan observasi: (x i, y i ) untuk i = 1, 2,, n Koefisien korelasi Spearman: d i = rang(x i ) rang(y i ) n d i 2 r S = 1 6 i=1 n(n 2 1)

6 Korelasi Spearman - uji hipotesis - H0 : ρ = 0 (nilai korelasi diabaikan) H1 : ρ 0 (nilai korelasi tidak dapat diabaikan) (uji dua sisi) Statistik uji: nilai korelasi r S Titik kritis (r c ) koefisien korelasi Spearman (Tabel A.21 Walpole ed.9 th ) H0 ditolak jika r s > r c Jika n besar (n > 30) maka hampiran distribusi normal : r s ~N(0, Statistik uji: z = r s ρ 0 1/ n 1 = r s n 1 H0 ditolak jika z > z α n 1 )

7 Kendal s Tau Mengukur kebergantungan dua peubah acak 0 τ 1 Keunggulan: Nonparametrik, untuk data ordinal. Tidak sensistif terhadap outlier dibandingkan korelasi Spearman dan Pearson Jika X dan Y saling bebas maka τ 0 Kelemahan: Tidak diketahui jenis kebergantungan

8 Koefisien Kendal s Tau - perhitungan - Misalkan realisasi pasangan observasi: (x i, y i ) untuk i = 1, 2,, n, dengan semua nilai x i dan y i adalah unik. Untuk sebarang pasangan observasi (x i, y i ) dan (x j, y j ) dengan i j, dikatakan: Concordant Rang dari dua elemen adalah selaras: x i > x j dan y i > y j ATAU x i < x j dan y i < y j Discordant Rang dari dua elemen tidak selaras: x i > x j dan y i < y j ATAU x i < x j dan y i > y j Jika x i = x j ATAU y i = y j maka bukan Concordant maupun Discordant Koesien Kendal s Tau: banyak pasangan Concordant banyak pasangan Discordant τ = n(n 1)/2 = n C n D n C + n D

9 Contoh 1 Suatu lembaga konsumen menguji kualitas menyeluruh Sembilan merek microwave. Rangking yang diberikan oleh lembaga dan harga penjualan eceran adalah sebagai berikut: Pabrik A B C D E F G H I Rangking Harga Apakah ada hubungan yang berarti antara kualitas dan harga microwave?

10 Contoh 2 Nilai UTS dan UAS 11 mahasiswa peserta kuliah Statnonpar dicatat sbb: Mhs UTS UAS a. Hitung koefisien korelasi rang (Bandingkan hasil korelasi Spearman dengan Kendals Tau) b. Uji apakah nilai korelasi tersebut dapat diabaikan

11 Contoh 2 Suatu lembaga konsumen menguji kualitas menyeluruh Sembilan merek microwave. Rangking yang diberikan oleh lembaga dan harga penjualan eceran adalah sebagai berikut: Pabrik A B C D E F G H I Rangking Harga Apakah ada hubungan yang berarti antara kualitas dan harga microwave?

12 Contoh 3 Sebuah survey dilakukan di AS atas risiko kematian dari 30 aktifitas atau teknologi, masingmasing pada 30 responden wanita dan tenaga professional yang terlibat di aktifitas atau teknologi tersebut. Berikut adalah datanya: Aktiftas atau teknologi Responden Aktiftas atau teknologi Responden Profesional berisiko wanita berisiko wanita Profesional Nuclear power 1 20 Motor vehicles 2 1 Handguns 3 4 Smoking 4 2 Motorcycles 5 6 Alcoholic beveraes 6 3 Private aviation 7 12 Police work 8 17 Pesticides 9 8 Surgery 10 5 Fire fighting Large construction Hunting Spray cans Mountain climbing Biscycles Commercial aviation Electric power 18 9 Swimming Contraceptives Skiing X-rays 22 7 Football Railroads Food preservatives Food coloring Power mowers Antibiotics Home appliances Vaccinations a. Hitung koefisen korelasi ranknya b. Uji apakah koefisien korelasi tersebut dapat diabaikan atau tidak

13 Referensi Walpole, Ronald E., et.al, Statistic for Scientist and Engineering, 9 th Ed., 2012.