PEUBAH ACAK DAN DISTRIBUSINYA

Transkripsi

1 4/6/009 Pemetaan (Fungsi) PEUBAH ACAK DAN DISTRIBUSINYA Suatu pemetaan / fungsi Kategori fungsi:. Fungsi titik A B MA 08 Statistika Dasar Dosen : Udjianna S. Pasaribu Utriweni Mukhaiyar Senin, 6 Februari 009. Fungsi himpunan A B Peubah Acak Peubah acak, yaitu pemetaan : S. R Contoh Percobaan pelemparan sebuah dadu S = {,,..., } = {,,, 6 } Ruang Sampel S Himpunan Bil.Riil 3 4

2 4/6/009 Keuntungan Peubah Acak Merepresentasikan masalah ke dalam titik real. Dapat dipetakan. Lebih mudah dalam penulisan Jenis Peubah Acak Peubah Acak Diskrit himpunan terhitung {,,... }, berhingga atau tak berhingga, dan Peubah Acak Kontinu { } s : ( s) = i E S peubah acak yang fungsi distribusinya (F()) merupakan fungsi kontinu untuk semua є R 5 6 Fungsi peluang P( = ) dan f() Contoh Peubah Acak Tipe Mempunyai komputer =, jika mempunyai komputer =, jika mempunyai komputer = 3, jika mempunyai 3 komputer Diskrit Diskrit P( = ), Sering juga disebut sebagai fungsi massa peluang (f.m.p). Jarak dari rumah ke kampus menyatakan jarak dari rumah ke kampus dalam km Kontinu Kontinu f(), Sering juga disebut sebagai fungsi kepadatan peluang (f.k.p). 7 8

3 4/6/009 Diskrit : S R Kontinu. P(=) 0. f(), R. P( = ) =. f ( ) d= 3. P(=)=f() b 3. P(a< b) = 4. F( ) = P( ) f ( ) a = f () t 4. ( ) ( ) ( ) t Contoh: =banyaknya sukses dalam n percobaan =banyaknya tikus yang ada per m d F = P = f t dt Contoh: = waktu menunggu di jalan tol = berat badan siswa angkatan 006 Contoh Grafik Fungsi Peluang P(=) Diskrit 3 4 Jumlah peluang untuk semua titik = Kontinu f() Luas di bawah grafik = 9 0 Fungsi Distribusi Fungsi distribusi F dari peubah acak Sifat-sifat. F fungsi yang monoton tidak turun,. lim F ( ) = 3. lim F ( ) = 0 4. F kontinu dari kanan. lim F( ) = F( a) + a Contoh.a Dipelajari keadaan perasaan (mood) dari sepasang mahasiswa laki-laki dan perempuan. Jika perasaan tersebut diamati berdasarkan paras masing-masing mahasiswa dan dimisalkan hanya ada dua kategori, sebut baik dan tidak. Maka pasangan mahasiswa tersebut akan memberikan ruang sampel S sebagai berikut: S = {,,, }, dimana = baik, = tidak. Selanjutnya jika dimisalkan T=banyaknya y mahasiswa yang moodnya baik, tentukan: a. Fungsi massa peluang dari peubah acak T b. Fungsi distribusi dari peubah acak T dan juga gambarkan 3

4 4/6/009 Ilustrasi Contoh Jawab Ruang Sampel T 0 P (T = t) ¼ ½ a. Misal peubah acak T = banyaknya mahasiswa yang moodnya sedang baik, maka: T = {0,, } dan fungsi masa peluang P(T=t) adalah: /, t = PT ( = t ) = /4, t = 0, 0, t yang lain 3 4 b. Untuk menentukan F(t) perlu dihitung F(t) untuk semua nilai riil. Ambil t < 0 sebarang, maka F(t) = P(T< t) = 0 Ambil t = 0, maka F(0) = P(T 0) = P(T < 0) + P(T = 0) = P(T = 0), peluang di T<0 bernilai 0 = ¼ Ambil 0< t <, maka F(t) = P(T< t) = P(T < 0) + P(T = 0) + P(0 < T < t) = 0 + ¼ + 0 = ¼ Ambil t =, maka F() = P(T ) = P(T 0) + P(0<T<) + P(T=) = ¼ ½ = ¾ Ambil t =, maka F() = P(T ) = P(T ) + P(<T<) + P(T = ) = ¾ ¼ = 5 6 4

5 4/6/009 Jika dituliskan sebagai fungsi keseluruhan maka fungsi distribusi F(t) dapat dinyatakan sebagai berikut : 0, t < 0 /4, 0 t < Ft () = 3/4, t <, t Selanjutnya F(t) dapat digambarkan sebagai grafik F(t) di bawah ini: ¾ ½ Contoh Misalkan kesalahan dalam pengukuran volume isi botol coca cola antara -/ ml s/d / ml. Dianggap setiap pengisian oleh mesin tidak akan kurang dan tidak akan lbhd lebih dari ½ ml. Jika Y adalah dlhpeubah bhacak volume isi coca cola yang kurang atau lebih. Tentukan : a. Peluang mesin melakukan kesalahan pada pengisian botol kurang dari ¼ ml dan lebih dari /5 ml. b. Peluang mesin melakukan kesalahan dalam pengisian botol lebih dari 0, ml. c. F(y) dan gambarkan. ¼ t 7 8 Jawab : Diketahui Y menyatakan volume kesalahan mesin mengisi botol coca cola (ml). a., < y < f( y) = 0, y yang lain P < Y < = P Y < P Y / /5 = 0 dy dy 0 dy dy + + / 7 = ( 8 0) 8 = = b. PY ( > 0, ) = PY ( 0, ) c. F( y) = P Y 5 5 = 0 dy + dy 7 3 = 0+ = 0 0 y = f( y) dy = 0 dy + dy = y + y Fungsi distribusi : F(y) -½ ½ y 9 0 5

6 4/6/009 Ekspektasi Ekspektasi dari P( = ), jika peubah acak diskrit semua µ = E [ ] = f ( ) d, jika peubah acak kontinu dimana : = nilai-nilai pada P(=) = peluang untuk setiap nilai ekspektasi g() didefinisikan sebagai: gp ( ) ( = ), jika peubah acak diskrit semua Eg [ ( )] = gf ( ) ( ) d, jika peubah acak kontinu Jika g() = p, maka E[ p ] disebut momen ke-p, tetapi jika g() = (-a) p disebut momen ke-p di sekitar a. Umumnya diambil a =µ =E[] atau rataan (momen ke satu) Variansi Jika diambil g() = (-µ), maka E[(-µ) ] disebut variansi variabel acak Var( ) = E[( = E[ = E[ = E µ ) µ E[ ] + µ ] ] µ ] [ ] ( E[ ]) Sifat Variansi Bila Y = a + b, a dan b tetapan, maka Var(Y) = a Var() Bila suatu peubah acak dan g suatu fungsi bernilai riil, maka: Var(g()) = = E g µ [( ( ) ) ] = ( g ( ) µ ) P ( ), jika peubah acak diskrit it semua ( g ( ) µ ) f( ) d, jika peubah acak kontinu 3 4 6

7 4/6/009 Contoh 3 Misal adalah kesalahan dalam pengukuran untuk suatu lemari kayu (dalam mm). Jika ditetapkan fungsi peluang sebagai berikut:, < < f ( ) = 3 0, yang lain Tentukan: a. Rataan dan variansi dari kesalahan pengukuran di atas. b. Jika dibangun Y = 4 + 3, tentukan rataan dan variansi dari Y ini. Jawab: a. Rataan dari Variansi dari E [ ] = d 5 3 Var ( ) = E 4 4 = = d 4 3 = ( 6 ) = = b. [ Y] = [ + ] = 4E[ ] + 3 E E 4 3 = 4 d = + 3= Var Y ( ) = E ( ( 4 + 3) 8) = E 4 5 ( ) ( 4 5) = = 5 5 d 3 Soal Latihan. Pada ujian psikotes, seorang mahasiswa mengerjakan 00 soal pilihan ganda dengan asal menebak, jika peluang menjawab benar adalah /4, tentukan rata-rata banyaknya soal yang dapat dijawab dengan benar? Jelaskan alasannya. /3, =,,3. Jika P ( = ) = 0, yang lain maka nilai F(,5) =

8 4/6/ Suatu uang logam diberi beban yang lebih berat sehingga kemungkinan muncul muka dua kali lebih besar dari pada belakang. Bila uang tersebut dilantunkan tiga kali. a. Tentukan distribusi peluangnya. b. Carilah distribusi kumulatif peubah acak yang menyatakan banyaknya muka yang muncul dan gambarkan grafiknya c. Tentukan P( < 3) dan P( > ) 9 8