KONSTRUKSI METRIK EINSTEIN SELFDUAL PADA MANIFOLD BERDIMENSI 4

Transkripsi

1 KONSTRUKSI METRIK EINSTEIN SELFDUAL PADA MANIFOLD BERDIMENSI 4 TUGAS AKHIR SARJANA Diajukan untuk Memenuhi Persyaratan Kelulusan dalam Menempuh Program Pendidikan Sarjana di Program Studi Fisika Oleh Sunario NIM PROGRAM STUDI FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAM ALAM INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG 2009

2 LEMBAR PENGESAHAN KONSTRUKSI METRIK EINSTEIN SELFDUAL PADA MANIFOLD BERDIMENSI 4 Oleh: Sunario NIM : Diajukan sebagai salah satu syarat untuk mendapatkan gelar SARJANA SAINS Pada Program Studi Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung Tugas Akhir ini Telah Diperiksa dan Disetujui Bandung, Oktober 2009 Dosen Pembimbing Dr. rer. nat. Bobby Eka Gunara

3 Dedicated to Him, The Almighty God

4 ABSTRAK KONSTRUKSI METRIK EINSTEIN SELFDUAL PADA MANIFOLD BERDIMENSI 4 Oleh: Sunario Pembimbing: Dr. rer. nat. Bobby Eka Gunara (Oktober 2009) Manifold Einstein telah menunjukkan kegunaan yang cukup luas pada banyak topik pada geometri Riemann, sebagai contoh: Riemannian submersions, homogeneous Riemannian spaces, Riemannian fungtionals dan titik kritisnya, teori Yang-Mills, manifold self-dual berdimensi empat, grup holonomy, dan manifold kuaternionik [8]. Pada paper ini, saya mengkonstruksi metrik Einstein selfdual dengan scalar curvature tidak nol dengan dua commuting Killing fields, metrik ini disebut metrik Calderbank-Pedersen, untuk mengkonstruksi metrik ini diperlukan beberapa sifat dari ruang selfdual yang ditemukan oleh Joyce dan ruang Einstein-Weyl yang ditemukan oleh Ward, oleh karena itu akan didiskusikan relasi konstruksi ini dengan ruang selfdual yang ditemukan oleh Joyce [3], dan dengan beberapa ruang Einstein-Weyl yang ditemukan oleh Ward [6]. i

5 Kata Kunci: manifold Einstein, selfdual, geometri Riemann. ii

6 ABSTRACT CONSTRUCTION OF SELFDUAL EINSTEIN METRIC ON 4-DIMENSIONAL MANIFOLD By: Sunario Advisor: Dr. rer. nat. Bobby Eka Gunara (October 2009) Einstein manifold have shown a wide usage for many important topics in Riemannian geometry, for example: Riemannian submersions, homogeneous Riemannian spaces, Riemannian functionals and its critical point, Yang-Mills theory, 4-dimensional selfdual manifold, holonomy group, and quaternionic manifold [8]. In this paper, I construct selfdual Einstein metrics of nonzero scalar curvature with two commuting Killing fields, these metrics are called Calderbank- Pedersen metrics, to construct this metric we need some properties of selfdual spaces found by Joyce and some Einstein-Weyl spaces found by Ward so we shall discuss the relation of this construction to a class of selfdual spaces found by Joyce [3], and some Einstein-Weyl spaces found by Ward [6]. iii

7 Keywords: Einstein manifold, selfdual, Riemannian geometry. iv

8 KATA PENGANTAR Segala puji bagi Tuhan Yesus Kristus, yang hanya atas kasih karunia- Nya penulis dapat menyelesaikan laporan tugas akhir ini. Laporan tugas akhir sarjana ini disusun sebagai salah satu syarat kelulusan Sarjana Sains di Program Studi Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Bandung. Seperti halnya tugas akhir pada umumnya, tugas akhir ini mencoba untuk mengaplikasikan beberapa ilmu yang telah diperoleh penulis selama berkuliah dan berada dalam Kelompok Keahlian Fisika Teoritik Energi Tinggi dan Instrumentasi di Departemen Fisika ITB. Pada tugas akhir ini saya mencoba untuk mengkonstruksi metrik Einstein selfdual pada manifold berdimensi empat. Untuk mengkonstruksi metrik ini diperlukan beberapa sifat dari ruang selfdual berdimensi empat yang ditemukan oleh Joyce dan ruang Einstein-Weyl yang ditemukan oleh Ward, sehingga relasi konstruksi ini dengan metrik Joyce dan ruang Einstein-Weyl juga akan ikut dibahas. Penulis juga menyadari bahwa pada laporan tugas akhir ini masih banyak terdapat kekurangan. Oleh sebab itu penulis terbuka untuk ide dan saran yang membangun. Akhir kata, penulis berharapan semoga laporan tugas akhir sarjana ini bermanfaat bagi semua yang membacanya. v

9 UCAPAN TERIMA KASIH Ada beberapa pihak yang terlibat dalam penulisan tugas akhir sarjana ini, baik secara langsung maupun tidak langsung. Oleh karena itu, penulis ingin mengucapkan terima kasih yang sewajarnya. Berikut adalah daftar yang dapat penulis ingat terhadap pihak-pihak yang berkontribusi. Yang utama, penulis ingin mengucapkan syukur ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena hanya atas kasih karunia-nya penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini. Pertama, penulis ingin mengucapkan terima kasih sebesar-besarnya kepada kedua orang tua penulis atas curahan kasih sayang dalam membesarkan dan mendidik penulis. Selanjutnya, terima kasih untuk kakak penulis, Vivi, atas semua perhatian dan dukungan selama ini, yang mengingatkan penulis untuk tetap semangat menyelesaikan tugas akhir ini. Tak kalah pentingnya, terima kasih untuk pembimbing penulis, Dr. rer. nat. Bobby E. Gunara, yang bersedia membimbing penulis menyelesaikan tugas akhir sarjana ini dan memberikan masukan-masukan yang begitu berharga, terlebih di detik-detik terakhir menjelang sidang. Kemudian, terima kasih juga untuk dosen-dosen penguji dalam sidang yaitu Dr. Jusak S. Kosasih dan Dr. Sparisoma Viridi yang memberikan saran-saran perbaikan untuk tugas akhir ini. Terima kasih juga untuk staf-staf Perpustakaan dan Tata Usaha di Departemen Fisika: Pak Yeye, Pak Dedi, Pak Dede, Bu Ratna, Bu Sri dan vi

10 pegawai TU lainnya yang seringkali disusahkan oleh penulis dalam beberapa hal peminjaman buku, pengurusan nilai dan permasalahan administrasi lainnya. Tentu saja, terima kasih untuk rekan-rekan fisika 2005: Fran Kurnia, Rahmatullah, Kadek Juliana Parwanta, Natal Silalahi, Ahmad Setiawan, dan teman-teman lainnya yang tidak dapat disebutkan satu persatu. Kemudian terima kasih untuk teman main penulis David Kasidi, Haris Setiawan, dan Solihin. Terima kasih juga penulis sampaikan pada mas Koko dan Triadi penjaga UPK, yang sering kali direpotkan penulis dalam meminjam komputer UPK, kemudian pada mas Fakhrul Rozi yang sering memberikan masukan dalam mempelajari fisika Teoritik pada penulis. Last but not least, terima kasih untuk rekan-rekan refreshing dengan bermain Defense of The Ancient: Richard Susanto, Erik Christianto, Yogi, Bowo dan rekan-rekan lain. Akhir kata, penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya pada semua pihak di atas dan semua pihak yang tentunya tidak dapat disebutkan satu-persatu. God Bless You All. vii

11 DAFTAR ISI ABSTRAK i ABSTRACT iii KATA PENGANTAR v UCAPAN TERIMA KASIH vi DAFTAR ISI viii BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah Tujuan Tugas Akhir Batasan Masalah Metodologi Penelitian Sistematika Penulisan 2 BAB II MANIFOLD DIFFERENSIABEL Definisi Manifold Manifold Differensiabel Ruang Tangen 12 BAB III MANIFOLD EINSTEIN Bilinear Form dan Manifold Riemann Manifold Einstein 20 viii

12 BAB IV KONSTRUKSI METRIK EINSTEIN SELFDUAL PADA MANIFOLD BERDIMENSI Struktur Selfdual dengan Simetri Torus Struktur Toda Metrik Einstein Selfdual pada 4 Dimensi 30 BAB V KESIMPULAN 38 REFERENSI 39 LAMPIRAN A TRANSFORMASI DUALITAS (HODGE STAR) 41 LAMPIRAN B SELF-DUALITY 43 LAMPIRAN C STRUKTUR EINSTEIN-WEYL 44 ix