BAB III PEMBAHASAN. Pada bab ini, dibahas mengenai Penerapan Metode Mean Conditional

Transkripsi

1 BAB III PEMBAHASAN Pada bab ini, dibahas mengenai Penerapan Metode Mean Conditional Value at Risk dalam Portofolio Black-Litterman pada saham Jakarta Islamic Index (JII) dan Index Harga Saham Gabungan (IHSG). Proses secara umum yaitu memprediksi return, menyatakan pandangan investor, memprediksi return Black- Litterman, kemudian mencari ukuran risiko portofolio menggunakan metode Mean Conditional Value at Risk. A. Conditional Value at Risk (CVaR) Conditional Value at Risk (CVaR) merupakan ukuran risiko yang sifatnya diturunkan untuk distribusi kerugian. Secara umum CVaR didefinisikan sebagai ukuran risiko yang nilainya di atas VaR. Selain itu, CVaR dapat digunakan pada distribusi kerugian yang kontinu, diskrit maupun distribusi kerugian dengan diskontinuitas yang mungkin (possible discontinuity) (Rockafellar & Uryasev, 2002). Gambar 3.1 VaR, CVaR dan Maximum loss 49

2 Dapat dilihat pada Gambar 3.1 di atas bahwa CVaR merupakan rata-rata dari kerugian di luar VaR pada batas tingkat kepercayaan yaitu berada diantara VaR dan maximum loss sehingga CVaR memiliki nilai yang lebih besar dari pada VaR. Pada distribusi kerugian, nilai CVaR terletak disebelah kanan nilai VaR. 1. CVaR Pada Distribusi Kerugian Kontinu CVaR pada distribusi kerugian kontinu dengan tingkat kepercayaan yang diberikan ( -CVaR) dapat juga didefinisikan sebagai kerugian yang diperkirakan (expected loss) dimana nilai tersebut lebih besar dari VaR pada tingkat kepercayaan (Rockafellar & Uryasev, 2002). * + ( ) ( ) ( ) ( ( ) keterangan : = tingkat signifikansi = bobot suatu portofolio = return = fungsi densitas dari r = fungsi CVaR pada tingkat signifikansi atau -CVaR 50

3 = fungsi kerugian = fungsi VaR pada tingkat signifikansi atau -VaR Pada suatu portofolio w dengan vektor random r merupakan suatu return, merupakan suatu fungsi kerugian dari portofolio w, dan diasumsikan bahwa vektor random r mempunyai fungsi densitas probabilitas (fdp) yaitu p(r). Dari fdp r, dapat dihitung fungsi distribusi kumulatif (fdk) dari kerugian yang berkaitan dengan portofolio w, yaitu: Pada Persamaan 3.2 diasumsikan bahwa kontinu di setiap, dan dari persamaan 3.2 didapatkan definisi VaR dan CVaR Untuk tingkat signifikansi yang ditentukan, fungsi -VaR adalah : * + dan fungsi -CVaR didefinisikan sebagai: 2. Metode Mean-CVaR Metode Mean-CVaR digunakan dalam optimalisasi portofolio karena sifat dari CVaR yang sub-additive dan convex. Sifat sub-additive tersebut menunjukkan bahwa CVaR pada suatu portofolio dapat terdiri dari dua aset lebih kecil atau sama dengan jumlah CVaR masing-masing CVaR dari dua aset tersebut. Hal tersebut yang membuat CVaR dapat merefleksikan dengan tepat efek diversifikasi, karena diversifikasi ditujukan untuk mengurangi risiko. Misal 51

4 pada suatu portofolio yang terdiri dari 4 aset, jika salah satu asetnya memberikan return yang negatif maka diharapkan aset yang lainnya memberikan return positif sehingga mampu menutupi return negatif dari portofolionya. CVaR memiliki sifat convex sehingga dapat digunakan dalam mengoptimasi sebuah portofolio dan merupakan ukuran risiko yang memperhitungkan kerugian di atas VaR. Berikut diberikan skema urutan pembentukan Mean-CVaR: Loss Distribution Ψ(w ζ) p(r)dr f(w r) ζ(w) VaR α p(r)dr f(w r) ζ(w) Ukuran risiko tidak koheran, tidak dapat mengestimasi risiko melebihi risiko maksimimum. CVaR E(f(w r) f(w r) VaR Fungsi -CVaR φ α (w) CVaR f(w r) ζ(w) α p(r)dr Ukuran risiko koheren, mengestimasi risiko melebihi risiko maksimum, bersifat convex. Mean-CVaR F (w ζ) ζ + ( α),f(w r) ζ- + (r)dr r R n Gambar 3. 2 Skema Pembentukan Mean-CVaR 52

5 Untuk menghitung nilai CVaR dan VaR secara bersamaan dapat digunakan fungsi Mean-CVaR. Hasil fungsi Mean-CVaR berupa nilai VaR dan minimun CVaR dapat dinyatakan sebagai berikut (Cornuejols & Tutuncu, 2007). +, - + Nilai Mean-CVaR diperoleh dengan meminimalkan nilai CVaR, dibuktikan menggunakan Teorema 3.1. Untuk membuktikan Teorema 3.1 diperlukan Lemma 3.1. Lemma 3.1 (Rockafellar & Uryasev, 2000, hal. 38). Untuk nilai w tertentu, jika dengan, - +, maka G adalah fungsi bersifat convex dan kontinu yang terdifferensial dengan turunan: Bukti:, - + ( ) Menurut Persamaan 3.2 dan selalu kontinu dan menurut Persamaan 3.5 convex terhadap dengan integral dari, - + adalah convex terhadap, maka turunan dari adalah Jadi terbukti bahwa Teorema 3.1 (Rockafellar & Uryasev, 2000, hal. 25). Meminimalkan nilai kerugian -CVaR untuk setiap dengan sama dengan meminimalkan untuk setiap yaitu: 53

6 Bukti: Fungsi Mean-CVaR pada Persamaan 3.5 merupakan fungsi yang bersifat convex yang diturunkan dari sifat fungsi CVaRnya, dan karena definisi CVaR diturunkan dari distribusi kerugian yaitu yang kontinu maka bersifat convex dan merupakan fungsi kontinu. Menggunakan Lemma 3.1, maka bersifat convex dan merupakan fungsi kontinu yang terdifferensiabel dengan turunan: +, ( ) ( ) Persamaan 3.7 digunakan untuk mencari nilai yang meminimumkan. Untuk nilai yang meminimumkan, nilai dari. Dari Persamaan 3.7 dapat diperoleh: ( ) dan ( ) Nilai yang melengkapi minimum dari adalah nilai yang merefleksikan dengan tepat nilai dari VaR, karena pada interval tertutup adalah kontinu dan tidak turun pada dengan limit 1 untuk dan limit 0 untuk. Jadi nilai adalah nilai dari VaR, sehingga diperoleh persamaan: ( ) +, - + +,

7 + [ ] dan dari Definisi 3.4 diketahui bahwa: dan dari Definisi 3.2 dan 3.3 diketahui bahwa:, - Karena diasumsikan bahwa, -, maka Persamaan 3.9 menjadi: dari Definisi 3.2, 3.3 dan 3.4 diperoleh: Jadi terbukti bahwa: + [ ] +, - ( ) 55

8 Dari Teorema 3.1 tersebut jelas bahwa untuk mendapatkan nilai Mean-CVaR yang optimal sama dengan meminimalkan nilai CVaR, yaitu: Fungsi dalam portofolio merupakan fungsi kerugian, yaitu sehingga Persamaan 3.5 menjadi: +, - + Dalam permasalahan optimasi, integral pada dapat diketahui dengan cara melakukan sampling distribusi probabilitas menurut fungsi densitasnya yaitu. Jika proses sampling menghasilkan sekumpulan vektorvektor maka pendekatan yang sesuai untuk adalah (Cornuejols & Tutuncu, 2007): +, - + Selanjutnya masalah dapat didekati dengan mengganti dengan, sehingga menjadi: ( +, - + ) Untuk menyelesaikan masalah optimasi, digunakan variabel pengganti dengan, untuk mengganti, - + sehingga Persamaan 3.14 menjadi: ( + ) 56

9 dengan kendala linear + + Jadi didapatkan rumus Mean-CVaR yang optimal yaitu: ( + ) dengan kendala linear + + Pada Persamaan 3.15 nilai merupakan suatu konstanta, sehingga untuk mempermudah penulisannya dapat diganti dengan, yaitu: ( + ) Permasalahan optimasi Persamaan 3.16 dapat dituliskan dalam bentuk persamaan linear, yaitu meminimalkan: terhadap kendala: (3.17.a) (3.17.b) 57

10 Persamaan 3.17 dapat dinyatakan dalam bentuk matriks persamaan linear yang lebih sederhana, yaitu meminimalkan: dengan: [ ] [ ] Persamaan 3.18 adalah fungsi Mean-CVaR yang merupakan masalah portofolio tidak seimbang. Oleh karena itu untuk menyelesaikannya dapat menggunakan teknik pemrograman linear, dalam hal ini digunakan metode simpleks yaitu dengan menambahkan slack variabel, dan kendala dalam bentuk matriks dinotasikan sebagai berikut: dengan: [ ] [ ] keterangan: = nilai mean return ke-i 58

11 nilai return yang diinginkan Dari persamaan 3.18, diperoleh penyelesaian berupa matriks w. Matriks w diperoleh dengan melakukan iterasi berulang - ulang dalam metode simpleks yang perhitungannya dapat menggunakan software R Studio dengan package Rglpk. B. Return Black Litterman Return masing-masing saham yang termasuk dalam Jakarta Islamic Index (JII) dihitung dengan menggunakan model Black Litterman sebagai berikut. 1. Pemilihan Saham Pada penelitian ini penulis mengambil data saham yang termasuk di dalam Saham Jakarta Islamic Index (JII) untuk pembentukan portofolio. Adapun tahap pemilihan saham adalah sebagai berikut: a. Mengumpulkan data harga saham Saham yang digunakan sebagai data analisis yaitu saham yang termasuk dalam Jakarta Islamic Index pada periode 1 Juli 2013 sampai dengan 28 Desember Dari 30 saham yang tergabung dalam Jakarta Islamic Index hanya 28 saham yang memenuhi. Data saham tersebut berupa harga penutupan mingguan (weekly closing price) yang merupakan data sekunder dan diambil dari b. Menghitung return data saham Return harga saham dapat dihitung dengan menggunakan Persamaan 2.9 pada kajian pustaka. c. Memilih saham yang berdistribusi normal pada data return saham 59

12 Untuk mengetahui saham yang bedistribusi normal dapat diketahui dengan melakukan Uji Kolmogorov-Smirnov dengan bantuan software SPSS. Perhitungan P-value untuk Uji Kolmogorov-Smirnov terdapat pada Tabel 3.1 sebagai berikut: Tabel 3. 1 Return saham berdistribusi normal No. Kode Saham p-value No. Kode Saham p-value 1. AALI 0, KLBF 0, ADRO 0, LPKR 0, AKRA 0, LSIP 0, ANTM 0* 18. MNCN 0, ASII 0, MPPA 0, ASRI 0,3 20. PGAS 0, BMTR 0, PTBA 0, BSDE 0, PTPP 0,012* 9. CPIN 0, SMGR 0, ICBP 0, SMRA 0, INCO 0, TLKM 0* 12. INDF 0,037* 26. UNTR 0, INTP 0, UNVR 0, ITMG 0, WIKA 0,016* Ket: p-value KS < 0.05 (saham bertanda * dalam perhitungan) Pada Tabel 3.1 dapat dilihat hasil uji normalitas untuk data return saham dengan taraf nyata ( ) = 0,05 dan kriteria keputusan data return saham tidak berdistribusi normal jika p-value KS < Sehingga dari 28 saham yang termasuk dalam Jakarta Islamic Index pada periode 1 Juli 2013 sampai dengan 28 Desember 2015 terdapat 5 data return saham yang tidak berdistribusi normal yaitu saham Aneka Tambang (persero) Tbk. (ANTM), Indofood CBP Sukses Makmue (INDF), PP (persero) Tbk. (PTPP), 60

13 Telekomunikasi Indonesia (persero) Tbk. (TLKM), Waijaya Karya (persero) Tbk. (WIKA). 2. Menghitung nilai Expected return CAPM data return saham Untuk mencari nilai expected return CAPM dilakukan dengan menggunakan bantuan software microsoft excel. Nilai expected return CAPM dihitung dengan menggunakan rumus (2.19). Dari perhitungan tersebut diperoleh nilai expected return IHSG sebesar 0,5659 dan standar deviasi return pasar IHSG sebesar 5,4461. Ditentukan return sekuritas bebas risiko sebesar 7,5% perbulan yang diambil dari Dari hasil perhitungan nilai expected return CAPM dengan data berdistribusi normal sebanyak 23 saham diperoleh nilai expected return bernilai positif. Nilai expected return CAPM terdapat pada Tabel 3.2 sebagai berikut: Tabel 3. 2 Nilai Expected Return No. Kode Saham E(r i ) No. Kode Saham E(r i ) 1. AALI 0, KLBF 0, ADRO 0, LPKR 0, AKRA 0, LSIP 0, ANTM 3, MNCN 0, ASII 0, MPPA 0, ASRI 0, PGAS 0, BMTR 0, PTBA 0, BSDE 0, PTPP 0, CPIN 0, SMGR 0, ICBP 0, SMRA 0, INCO 0, TLKM 0, INDF 0, UNTR 0, INTP 0, UNVR 0, ITMG 0, WIKA 0,

14 Setelah diperoleh nilai expected return CAPM maka dipilih 4 saham yang memiliki nilai expected return tertinggi dan merupakan saham yang berdistribusi normal untuk dimasukkan ke dalam portofolio. Saham yang terpilih dapat dilihat pada Tabel 3.3 berikut: Tabel 3. 3 Nilai Excpected Return 4 Saham Terpilih No. Kode Saham E(r i ) 1 ADRO 0, LSIP 0, MPPA 0, PTBA 0, Menentukan views dari investor data return saham Pada penelitian ini penulis bertindak sebagai pengamat yang memberikan pandangan secara subjektif terhadap pergerakan return saham yang dilihat dari plot pergerakan return saham. Dilihat dari plot data time series yang terdapat pada Lampiran 7, menunjukkan pergerakan return saham pada beberapa minggu terakhir. Sehingga dapat digunakan untuk memprediksi apakah dalam beberapa minggu kedepan nilai saham akan mengalami kenaikan atau penurunan dari masing-masing saham. Adapun pandangan yang diperoleh yaitu sebagai berikut: 1. Pandangan 1 : return saham ADRO akan memberikan return 1,5% 2. Pandangan 2 : return saham LSIP akan memberikan return 2% 3. Pandangan 3 : return saham MPPA akan memberikan return 1% 4. Pandangan 4 : return saham PTBA akan memberikan return 1% 62

15 Jika disajikan dalam bentuk matriks P dan q dengan, maka diperoleh: * + [ ] [ ] Matriks P diatas menyatakan bentuk pandangan pasti (absolute), dengan matriks q merupakan pandangan subjektif yang menyatakan dugaan investor terhadap return. 4. Menghitung Expected Return Black-Litterman Langkah selanjutnya yaitu menentukan expected return Black-Litterman menggunakan Persamaan 2.30 yiatu: + ( + ) Selanjutnya diperoleh nilai matriks varians kovarians dari return 4 saham yang terdapat pada Lampiran 3, yaitu: [ ] Dalam penelitian ini penulis menggunakan, karena investor masih mempunyai keraguan terhadap views yang dibentuk. Hasil matriks diagonal kovarian dari views (Ω) berdasarkan Persamaan 2.24 sebagai berikut: 63

16 Ω = matriks diagonal varians pada views [ ] Sehingga diperoleh estimasi return Black Litterman untuk masing-masing saham dengan bantuan software mocrosoft excel yang terdapat pada Tabel 3.4 sebagai berikut: Tabel 3. 4 Nilai expected return Black-Litterman No. Kode Saham 1 ADRO 0, LSIP 0, MPPA 0, PTBA 0,03336 Hasil dari expected return Black-Litterman diketahui bahwa saham LSIP memberikan nilai return saham yang paling tinggi, diharapkan nilai LSIP memberikan keuntungan paling besar diantara ketiga saham yang lainnya. Return saham yang menunjukan nilai return terendah yaitu saham ADRO sehingga memungkinan akan memberikan keuntungan yang paling rendah. Nilai expected return yang diperoleh selanjutnya akan digunakan untuk menghitung bobot dan risiko dari portofolio yang telah dibentuk. C. Penerapan Metode Mean-CVaR pada Portofolio Black-Litterman Pengoptimalan portofolio dengan metode Mean-CVaR dapat menggunakan software R Studio untuk mempermudah penghitungan bobot portofolio dan nilai risiko CVaR. Pada software R Studio digunakan package 64

17 Rglpk_solve_LP yang prinsip kerjanya menyelesaikan permasalahan optimisasi yang mempunyai beberapa kendala. Dari data yang digunakan untuk pembobotan portofolio, fungsi optimisasi yang akan diselesaikan yaitu meminimalkan Persamaan 3.17: dengan α = 0,95 dan banyaknya observasi data yang diperoleh dari expected return yaitu J=130, sehingga didapatkan :, - Dari Persamaan (3.17.a) dan (3.17.b) diketahui bahwa kendala yang digunakan dalam optimisasi Mean-CVaR yaitu: Sehingga dari kendala di atas dalam penerapan metode Mean-CVaR pada portofolio Black-Litterman dengan menggunakan return Black-Literrman sebagai kendala maka Persamaan (3.17.a) menjadi,

18 Kendala yang digunakan kemudian dinotasikan dengan matriks: sehingga Persamaan (3.20) menjadi: [ ] dengan : = nilai return Black Litterman ke-i = nilai return masing-masing sekuritas. Ditentukan bahwa data return minimal yang diinginkan yaitu dengan melihat perbandingan nilai return yang diperoleh jika melakukan investasi dalam bentuk deposito di bank. Bunga deposito yang diberikan oleh salah satu bank sebesar 4,57% untuk setiap bulannya dan 5% untuk 3 bulan dan 6 bulan begitu juga untuk periode waktu yang lebih lama diberikan bunga deposito sebesar 5% (bungadeposito.com, 27 Mei 2016). Jadi, jika investor dalam pembentukan portofolionya menentukan return portofolio minimal sebesar 0,03 atau 3% yang dalam kasus ini dalam periode satu minggu maka keuntungan yang diperoleh akan melebihi keuntungan dari deposito di bank. Sehingga dengan menggunakan bantuan Software R Studio, diperoleh persamaan 3.20 sebagai berikut: 66

19 [ ] dan [ ] Hasil perhitungan bobot portofolio untuk setiap saham menggunakan bantuan software R Studio dengan script dan hasil perhitungan terlampir pada Lampiran 9 disajikan dalam Tabel 3.5. Tabel 3. 5 Bobot Saham Black-Litterman Menggunakan Metode Mean-CVaR Saham Bobot saham Persentase Saham ADRO 0 0% LSIP 0, ,737% MPPA 0, ,266% PTBA 0, ,997% Tabel 3.5 menunjukkan bobot masing-masing saham yang termasuk di dalam portofolio Black-Litterman yang diperoleh dari hasil perhitungan menggunakan Metode Mean-CVaR. Dari Tabel 3.5 dapat dilihat bahwa yang memiliki kontribusi paling besar dalam portofolio adalah saham Tambang Batu Bara Bukit Asam Tbk. (PTBA) dengan 53,997% kemudian diikuti oleh saham PP London Sumatra Indonesia Tbk. (LSIP) 31,737%, dan Matahari Putra Prima (MPPA) 14,266% sedangkan untuk saham Adaro Energy Tbk. (ADRO) tidak termasuk 67

20 dalam portofolio karena memiliki bobot 0%. Kombinasi portofolio yang dihasilkan memiliki nilai expected returm sebesar 3,64% dengan nilai VaR dan CVaR masing-masing sebesar 6,5% dan 8,4%. 1. Hasil analisis studi kasus Diilustrasikan investor akan menginvestasikan dana sebesar Rp ,00. Setelah dilakukan investasi dengan pembobotan seperti pada Tabel 3.5 hasil return yang diperoleh yaitu 3,64% sehingga investor tersebut memperoleh return saham sebesar Rp ,00. Sebelum seorang investor melakukan investasi dapat diestimasi risiko yang akan diterima sesuai dengan output program yang terdapat pada Lampiran 9, menunjukkan nilai VaR sebesar 0,065. Nilai tersebut menunjukkan bahwa dengan tingkat signifikansi 95%, maka portofolio optimal yang dihasilkan akan memberikan kerugian maksimum sebesar 6,5%. Nilai VaR 6,5% berarti kerugian yang mungkin dialami investor dalam jangka waktu satu minggu tidak akan lebih dari Rp ,00 karena VaR merupakan ukuran risiko yang menghitung kerugian maksimum yang mungkin dialami dalam jangka waktu tertentu. Disisi lain nilai CVaR yang dihasilkan yaitu sebesar 0,084 yang menunjukkan bahwa dengan tingkat signifikansi 95%, maka kerugian maksimum yang nilainya melebihi VaR dalam portofolio yang terbentuk adalah sebesar 8,4% atau senilai dengan Rp ,00. Nilai CVaR merupakan risiko yang menghitung kemungkinan risiko yang akan ditanggung oleh investor melebihi nilai risiko maksimum yaitu VaR. Sehingga dengan dilakukan perhitungan risiko 68

21 CVaR investor dapat mengantisipasi kemungkinan risiko yang akan terjadi bila melebihi nilai VaR. 2. Keuntungan Portofolio Diilustrasikan seorang investor menginvestasikan dananya sebesar Rp ,00 pada saham yang masuk dalam portofolio optimal sehingga dari Tabel 3.5 diperoleh proporsi dana investasi yang disajikan pada Tabel 3.6 berikut. Tabel 3. 6 Proporsi dana Saham Dana setiap saham LSIP Rp ,00 MPPA Rp ,00 PTBA Rp ,00 Setelah diperoleh proporsi dana untuk setiap saham selanjutnya akan dicari lembar saham yang dibeli oleh investor untuk masing-masing saham. Dengan melihat harga beli pada tanggal 28 Desember 2015, banyak saham yang dibeli dapat dilihat pada Tabel 3.7 sebagai berikut. Tabel 3. 7 Lembar saham yang dibeli Saham Harga beli saham Lembar saham Total pembelian LSIP Rp , Rp ,00 MPPA Rp , Rp ,00 PTBA Rp , Rp ,00 Selanjutnya akan dicari keuntungan aktual yang diperoleh investor dari masing-masing saham selama 12 minggu kedepan. Keuntungan aktual dapat 69

22 dihitung dengan menjumlahkan hasil kali harga saham aktual masing-masing saham dengan jumlah lembar masing-masing saham dan dikurangi dengan modal awal sebesar Rp ,00. Keuntungan aktual yang diperoleh investor dapat dilihat pada tabel 3.8 sebagai berikut. Tabel 3. 8 Keuntungan Aktual Waktu Nilai Portofolio Keuntungan Aktual Keterangan 04/01/ /01/ /01/ /01/ /02/ /02/ /02/ /02/ /02/ /03/ /03/ /03/2016 Rp ,00 Rp. ( ,00) Rp ,00 Rp. ( ,00) Rp ,00 Rp. ( ,00) Rp ,00 Rp ,00 Rp ,00 Rp ,00 Rp ,00 Rp ,00 Rp ,00 Rp ,00 Rp ,00 Rp ,00 Rp ,00 Rp ,00 Rp ,00 Rp ,00 Rp ,00 Rp ,00 Rp ,00 Rp ,00 keterangan: = untung = rugi Tabel 3.8 menunjukkan bahwa keuntungan aktual yang akan diperoleh oleh investor untuk minggu pertama sebesar Rp. ( ,00) yang berarti investor akan mengalami kerugian sebesar Rp ,00. Dilihat dari hasil perhitungan selama 3 minggu kedepan investor masih akan mengalami kerugian dan baru 70

23 mendapat keuntungan pada minggu keempat yaitu sebesar Rp ,00. Keuntungan yang diperoleh pada minggu keempat belum sesuai dengan keuntungan yang diharapkan sehingga investor masih dapat menahan untuk menjual sahamnya hingga minggu kelima. Keuntungan yang akan diperoleh jika saham dijual pada minggu kelima sebesar Rp ,00 yang nilainya hampir mendekati nilai return portofolio yaitu Rp ,00. Apabila investor memustuskan untuk menjual sahamnya pada minggu keenam maka keuntungan yang diperoleh sebesar Rp ,00 yang mengalami penurunan dari minggu sebelumnya. Jika investor ingin mendapatkan keuntuangan yang lebih besar maka dapat menjual sahamnya pada minggu berikutnya karena keuntungan yang diperoleh memiliki trend naik hingga mencapai Rp ,00 di minggu keduabelas. 71