TUGAS KELOMPOK STRUKTUR DATA. (Yuniasyah) GRAPH

Transkripsi

1 TUGAS KELOMPOK STRUKTUR DATA (Yuniasyah) GRAPH Disusun oleh : Agung Juliansyah ( ) Akbar Aswad ( ) Nafisatul Hasanah ( ) Indra Putra ( ) Nurhadi Jumain Fantri ( ) UNIVERSITAS INTERNASIONAL BATAM 2010

2 KATA PENGANTAR Puji Syukur khadirat Allah Yang Maha Kuasa karena atas Rahmat dan Hidayah-Nyalah kami dapat menyelesaikan Tugas Tengah Semester ini. Makalah ini merupkan salah satu bagian dalam Tugas kami yang berjudul GRAPH. Terima kasih juga kepada Bapak Yuniasyah selaku dosen Pembimbing Mata Kulias Struktur Data di kelas kami 1SIMC. Makalah ini berisi tentang Pembelajaran mengenai GRAPH di dalam Struktur Data. Tentunya kami sangat berharap Makalah ini dapat berguna bagi siapapun yang membacanya. Masih banyak kekurangan dalam makalah ini. Selain itu dalam penyusunan tugas atau materi ini, tidak sedikit hambatan yang penulis hadapi. Namun penulis menyadari bahwa kelancaran dalam penyusunan materi ini tidak lain berkat bantuan, dorongan dan bimbingan orang tua, sehingga kendalakendala yang penulis hadapi teratasi Batam, 9 November 2010 Tim Penyusun 2

3 DAFTAR ISI KATA PENGANTAR... 2 DAFTAR ISI... 3 I. PENDAHULUAN... 4 II. TEORI GRAPH... 6 A. Definisi Graph... 6 B. Istilah dalam Graph... 9 C. Jenis jenis Graph D. Konektivitas Tiap Jenis Graph E. Metode Pencarian Vertex a. Depth First Search (DFS) b. Breadth First Search (BFS) F. Shortest Path a. Graph Berbobot (Weighted Graph) b. Algoritma Dijkstra s c. Dinamic Programming G. Minimum Spanning Tree H. Algoritma Menentukan Minimum Spanning Tree (MST) III. GRAPH PADA JAVA IV. KESIMPULAN DAFTAR PUSTAKA

4 I. PENDAHULUAN Dalam istilah ilmu komputer, sebuah struktur data adalah cara penyimpanan, pengorganisasian dan pengaturan data di dalam media penyimpanan komputer sehingga data tersebut dapat digunakan secara efisien. Dalam tehnik pemrograman, struktur data berarti tata letak data yang berisi kolom-kolom data, baik itu kolom yang tampak oleh pengguna (user) ataupun kolom yang hanya digunakan untuk keperluan pemrograman yang tiadak tampak oleh pengguna. Graph merupakan struktur data yang paling umum. Jika struktur linear memungkinkan pendefinisian keterhubungan sikuensial antara entitas data, struktur data tree memungkinkan pendefinisian keterhubungan hirarkis, maka struktur graph memungkinkan pendefinisian keterhubungan tak terbatas antara entitas data. Banyak entitas-entitas data dalam masalah-masalah nyata secara alamiah memiliki keterhubungan langsung (adjacency) secara tak terbatas demikian. Contoh: informasi topologi dan jarak antar kota-kota di pulau Jawa. Dalam masalah ini kota x bisa berhubungan langsung dengan hanya satu atau lima kota lainnya. Untuk memeriksa keterhubungan dan jarak tidak langsung antara dua kota dapat diperoleh berdasarkan data keterhubunganketerhubungan langsung dari kota-kota lainnya yang memperantarainya. Representasi data dengan struktur data linear ataupun hirarkis pada masalah ini masih bisa digunakan namun akan membutuhkan pencarianpencarian yang kurang efisien. Struktur data graph secara eksplisit menyatakan keterhubungan ini sehingga pencariannya langsung (straightforward) dilakukan pada strukturnya sendiri. Graf adalah salah satu jenis struktur data yang terdiri dari titik (vertex) dan garis (edge), dimana dalam graf tersebut, vertex - vertex yang ada 4

5 dihubungkan oleh edge, hingga menjadi suatu kesatuan yang disebut graf. Sebagai contoh dari pemodelan graf adalah peta kota kota, dimana kota disini sebagai vertex dan jalur yang menghubungkannya berlaku sebagai edge. Agar lebih jelas perhatikan gambar dibawah ini : Dalam gambar tersebut, terdapat beberapa kota yang berada dipulau jawa dimana kota - kota tersebut dihubungkan oleh beberapa jalur jalur yang ada. Untuk contoh diatas kita bisa menganggap bawah kota-kota yang ada merupakan vertex, dan jalur-jalur yang menghubungkan kota-kota tersebut sebagai edge. Sehingga secara keseluruhan peta diatas dapat dibuat pemodelannya sebagai sebuah graf. Ada terdapat beberapa jenis graf yang bisa kita gunakan, yaitu beberapa diantaranya adalah sebagai berikut : Graf Berarah : adalah graf yang edge-nya memiliki arah, sebagai contoh edge AB menghubungkan vertex A ke B, dimana hubungan vertex B ke A, harus diperoleh dari edge lain, yaitu edge BA, dan jika edge BA tidak ada, maka vertex B ke A tidak memiliki hubungan, meski vertex A ke B memiliki hubungan Graf Tak Berarah : adalah graf yang edge-nya tidak memiliki arah, sehingga jika edge AB menghubungkan vertex A ke B, maka secara otomatis juga menghubungkan vertex B ke A. 5

6 Graf Berbobot : adalah suatu graf dimana edge dari graf tersebut memiliki bobot atau nilai tertentu. Graf Tidak Berbobot : adalah suatu graf dimana edge dari graf tersebut tidak memiliki bobot atau nilai. Untuk merepresentasikannya dalam pemrograman komputer, graf dapat disusun dari LinkedList yang berada dalam LinkedList. II. TEORI GRAPH A. Definisi Graph Suatu graph didefinisikan oleh himpunan verteks dan himpunan sisi (edge). Verteks menyatakan entitas-entitas data dan sisi menyatakan keterhubungan antara verteks. Biasanya untuk suatu graph G digunakan notasi matematis. G = (V, E) Dimana : G = Graph V = Simpul atau Vertex, atau Node, atau Titik E = Busur atau Edge, atau arc V adalah himpunan verteks dan E himpunan sisi yang terdefinisi antara pasangan-pasangan verteks. Sebuah sisi antara verteks x dan y ditulis {x, y}. Suatu graph H = (V1, E1) disebut subgraph dari graph G jika V1 adalah himpunan bagian dari V dan E1 himpunan bagian dari E. Cara pendefinisian lain untuk graph adalah dengan menggunakan himpunan keterhubungan langsung Vx. Pada setiap verteks x terdefinisi Vx sebagai himpunan dari verteks-verteks yang adjacent dari x. Secara formal: Vx = {y (x,y) -> E} Dalam digraph didefinisikan juga terminologi-terminologi berikut ini. Predesesor dari suatu verteks x (ditulis Pred(x)) adalah himpunan semua verteks 6

7 yang adjacent ke x. Suksesor dari verteks x (ditulis Succ(x)) adalah himpunan semua verteks yang adjacent dari x, yaitu adjacenct set di atas. Struktur data yang berbentuk network/jaringan, hubungan antar elemen adalah many-to-many. Contoh dari graph adalah informasi topologi jaringan dan keterhubungan antar kota-kota. Keterhubungan dan jarak tidak langsung antara dua kota sama dengan data keterhubungan langsung dari kota-kota lainnya yang memperantarainya. Penerapan struktur data linear atau hirarkis pada masalah graph dapat dilakukan tetapi kurang efisien. Struktur data graph secara eksplisit menyatakan keterhubungan ini sehingga pencariannya langsung (straight forward) dilakukan pada strukturnya sendiri. 1. Struktur Data Linear = keterhubungan sekuensial antara entitas data 2. Struktur Data Tree = keterhubungan hirarkis 3. Struktur Data Graph = keterhubungan tak terbatas antara entitas data. Representasi Graph dalam Bentuk Matrik a. Graph Tak Berarah Graf tersebut dapat direpresentasikan dalam sebuah matrik 5x5, dimana baris dan kolom di matriks tersebut menunjukan vertex yang ada. 7

8 b. Graph Berarah Dalam matrik diatas dapat kita lihat bahwa kotak yang berisi angka satu menunjukan bahwa dalam dua vertex tersebut terdapat edge yang menghubungkannya. Dan jika dalam kotak terdapat angka nol, maka hal tersebut menandakan tidak ada edge yang mengubungkan secara langsung dua vertex tersebut. Untuk representasi dalam pemorgraman komputer, graf tersebut dapat digambarkan seperti dibawah ini : 8

9 B. Istilah Dalam Graph 1. Incident Jika e merupakan busur dengan simpul-simpulnya adalah v dan w yang ditulis e=(v,w), maka v dan w disebut terletak pada e, dan e disebut incident dengan v dan w. 2. Degree Didalam Graph ada yang disebut dengan Degree, Degree mempuyai 3 jenis antara lain : Degree dari suatu verteks x dalam undigraph adalah jumlah busur yang incident dengan simpul tersebut. Indegree dari suatu verteks x dalam digraph adalah jumlah busur yang kepalanya incident dengan simpul tersebut, atau jumlah busur yang masuk atau menuju simpul tersebut.. Outdegree dari suatu verteks x dalam digraph adalah jumlah busur yang ekornya incident dengan simpul tersebut, atau jumlah busur yang keluar atau berasal dari simpul tersebut. 9

10 3. Adjacent Pada graph tidah berarah, 2 buah simpul disebut adjacent bila ada busur yang menghubungkan kedua simpul tersebut. Simpul v dan w disebut adjacent. Pada graph berarah, simpul v disebut adjacent dengan simpul w bila ada busur dari w ke v. 4. Successor dan Predecessor Pada graph berarah, bila simpul v adjacent dengan simpul w, maka simpul v adalah successor simpul w, dan simpul w adalah predecessor dari simpul v. 5. Path Sebuah path adalah serangkaian simpul-simpul berbeda yang adjacent secara berturut-turut dari simpul satu ke simpul berikutnya. 10

11 C. Jenis - Jenis Graph 1. Directed Graph (Digraph) Jika sisi-sisi graph hanya berlaku satu arah. Misalnya : {x,y} yaitu arah x ke y, bukan dari y ke x, x disebut origin dan y disebut terminus. Secara notasi sisi digraph ditulis sebagai vektor (x, y). Contoh Digraph G = {V, E} : V = {A, B, C, D, E, F, G, H, I,J, K, L, M} E = {(A,B), (A,C), (A,D), (A,F), (B,C), (B,H), (C,E), (C,G), (C,H), (C,I), (D,E), (D,F), (D,G), (D,K), (D,L), (E,F), (G,I), (G,K), (H,I), (I,J), (I,M), (J,K), (J,M), (L,K), (L,M)}. 2. Graph Tak Berarah (Undirected Graph atau Undigraph) Setiap sisi {x, y} berlaku pada kedua arah: baik x ke y maupun y ke x. Secara grafis sisi pada undigraph tidak memiliki mata panah dan secara notasional menggunakan kurung kurawal. Contoh Undigraph G = {V, E} 11

12 V = {A, B, C, D, E, F, G, H, I,J, K, L, M} E = { {A,B},{A,C}, {A,D}, {A,F}, {B,C}, {B,H}, {C,E}, {C,G}, {C,H}, {C,I}, {D,E}, {D,F}, {D,G}, {D,K}, {D,L}, {E,F}, {G,I}, {G,K}, {H,I}, {I,J}, {I,M}, {J,K}, {J,M}, {L,K}, {L,M}}. Khusus graph, undigraph bisa sebagai digraph (panah di kedua ujung edge berlawanan) Struktur data linear maupun hirarkis adalah juga graph. Nodenode pada struktur linear ataupun hirarkis adalah verteks-verteks dalam pengertian graph dengan sisi-sisinya menyusun node-node tersebut secara linear atau hirarkis. Struktur data linear adalah juga tree dengan pencabangan pada setiap node hanya satu atau tidak ada. Linear 1-way linked list (digraph), linear 2- way linked list (undigraph). D. Konektivitas Tiap Jenis Graph a. Konektivitas pada Undigraph Adjacency: Dua verteks x dan y yang berlainan disebut berhubungan langsung (adjacent) jika terdapat sisi {x, y} dalam E. Path: Sederetan verteks yang mana setiap verteks adjacent dengan verteks yang tepat berada disebelahnya. 12

13 Panjang dari path: jumlah sisi yang dilalui path. Siklus: suatu path dengan panjang lebih dari satu yang dimulai dan berakhir pada suatu verteks yang sama. Siklus sederhana: dalan undigraph, siklus yang terbentuk pada tiga atau lebih verteks-verteks yang berlainan yang mana tidak ada verteks yang dikunjungi lebih dari satu kali kecuali verteks awal/akhir. Dua verteks x dan y yang berbeda dalam suatu undigraph disebut berkoneksi (connected) apabila jika terdapat path yang menghubungkannya. Himpunan bagian verteks S disebut terkoneksi (connected) apabila dari setiap verteks x dalam S terdapat path ke setiap verteks y (y bukan x) dalam S. Suatu komponen terkoneksi (connected components) adalah subgraph (bagian dari graph) yang berisikan satu himpunan bagian verteks yang berkoneksi. Suatu undigraph dapat terbagi atas beberapa komponen yang terkoneksi; jika terdapat lebih dari satu komponen terkoneksi maka tidak terdapat path dari suatu verteks dalam satu komponen verteks di komponen lainnya. Pohon bebas (free tree): suatu undigraph yang hanya terdapat satu komponen terkoneksi serta tidak memiliki siklus sederhana. b. Konektivitas pada Digraph Terminologi di atas berlaku juga pada Digraph kecuali dalam digraph harus dikaitkan dengan arah tertentu karena pada arah yang sebaliknya belum tentu terdefinisi. Adjacency ke / dari: Jika terdapat sisi (x,y) maka dalam digraph dikatakan bahwa x "adjacent ke" y atau y "adjacent dari" x. Demikian pula jika terdapat path dari x ke y maka belum tentu ada path dari y ke x Jadi dalam digraph keterkoneksian didefinisikan lebih lanjut lagi sebagai berikut. Terkoneksi dengan kuat: Himpunan bagian verteks S dikatakan terkoneksi dengan kuat (strongly connected) bila setiap pasangan verteks berbeda x dan 13

14 y dalam S, x berkoneksi dengan y dan y berkoneksi dengan x (dpl., ada path dari x ke y dan sebaliknya dari y ke x). Terkoneksi dengan Lemah: Himpunan bagian verteks S dikatakan terkoneksi dengan lemah (weakly connected) bila setiap pasangan verteks berbeda x dan y dalam S, salah satu: x berkoneksi dengan y (atau y berkoneksi dengan x) dan tidak kebalikan arahnya (dpl., hanya terdefinisi satu path: dari x ke y atau sebaliknya dari y ke x). E. Metode Pencarian Vertex Pencarian vertex adalah proses umum dalam graph. Terdapat 2 metoda pencarian, yakni Depth First Search (DFS) dan Breadth First Search (BFS). a. Depth First Search (DFS) Pencarian dengan metode ini dilakukan dari node awal secara mendalam hingga yang paling akhir (dead-end) atau sampai ditemukan. Dengan kata lain, simpul cabang atau anak yang terlebih dahulu dikunjungi. Proses pencarian dilakukan dengan mengunjungi cabang terlebih dahulu hingga tiba di simpul terakhir. Jika tujuan yang diinginkan belum tercapai maka pencarian dilanjutkan ke cabang sebelumnya, turun ke bawah jika memang masih ada cabangnya. Begitu seterusnya hingga diperoleh tujuan akhir (goal). Depth First Search, memiliki kelebihan diantaranya adalah cepat mencapai kedalaman ruang pencarian. Jika diketahui bahwa lintasan solusi permasalahan akan panjang maka Depth First Search tidak akan memboroskan waktu 14

15 untuk melakukan sejumlah besar keadaan dangkal dalam permasalahan graf. Depth First Search jauh lebih efisien untuk ruang pencarian dengan banyak cabang karena tidak perlu mengeksekusi semua simpul pada suatu level tertentu pada daftar open. Selain itu, Depth First Search memerlukan memori yang relatif kecil karena banyak node pada lintasan yang aktif saja yang Selain kelebihan, Depth First Search juga memiliki kelemahan di antaranya adalah memungkinkan tidak ditemukannya tujuan yang diharapkan dan hanya akan mendapatkan satu solusi pada setiap pencarian. b. Breadth First Search (BFS) Prosedur Breadth First Search (BFS) merupakan pencarian yang dilakukan dengan mengunjungi tiap-tiap node secara sistematis pada setiap level hingga keadaan tujuan (goal state) ditemukan. Atau dengan kata lain, penulusuran yang dilakukan adalah dengan mengunjungi tiap-tiap node pada level yang sama hingga ditemukan goal state-nya. Implementasi algoritma BFS : Pengimplementasian BFS dapat ditelusuri dengan menggunakan daftar (list), open, dan closed, untuk menelusuri gerakan pencarian di dalam ruang keadaan. Prosedur untuk Breadth First Search dapat dituliskan sebagai berikut: 15

16 Pada diatas, state 21 merupakan tujuannya (goal) sehingga bila ditelusuri menggunakan prosedur Breadth First Search, diperoleh: 1) Open = [1]; closed = [ ]. 2) Open = [2, 3, 4]; closed = [1]. 3) Open = [3, 4, 5, 6]; closd = [2, 1]. 4) Open = [4, 5, 6, 7, 8]; closed = [3, 2, 1]. 5) Open = [5, 6, 7, 8, 9, 10]; closed = [4, 3, 2, 1]. 6) Open = [6, 7, 8, 9, 10, 11, 12]; closed = [5, 4, 3, 2, 1]. 7) Open = [7, 8, 9, 10, 11, 12, 13] (karena 12 telah di-open); closed = [6, 5, 4, 3, 2, 1]. 8) Open = [8, 9, 10, 11, 12, 13, 14]; closed = [7, 6, 5, 4, 3, 2, 1]. 9) Dan seterusnya sampai state 21 diperoleh atau open = [ ]. Ada beberapa keuntungan menggunakan algoritma Breadth First Search ini, diantaranya adalah tidak akan menemui jalan buntu dan jika ada satu solusi maka Breadth First Search akan menemukannya, dan jika ada lebih dari satu solusi maka solusi minimum akan ditemukan. Namun ada tiga persoalan utama berkenaan dengan Breadth First Search ini yaitu : 1) Membutuhkan memori yang lebih besar, karena menyimpan semua node dalam satu pohon. 16

17 2) Membutuhkan sejumlah besar pekerjaan, khususnya jika lintasan solusi terpendek cukup panjang, karena jumlah node yang perlu diperiksa bertambah secara eksponensial terhadap panjang lintasan. 3) Tidak relevannya operator akan menambah jumlah node yang harus diperiksa. Oleh karena proses Breadth First Search mengamati node di setiap level graf sebelum bergerak menuju ruang yang lebih dalam maka mulamula semua keadaan akan dicapai lewat lintasan yang terpendek dari keadaan awal. Oleh sebab itu, proses ini menjamin ditemukannya lintasan terpendek dari keadaan awal ke keadaan tujuan (akhir). Lebih jauh karena mula-mula semua keadaan ditemukan melalui lintasan terpendek sehingga setiap keadaan yang ditemui pada kali kedua didapati pada sepanjang sebuah lintasan yang sama atau lebih panjang. Kemudian, jika tidak ada kesempatan ditemukannya keadaan yang identik pada sepanjang lintasan yang lebih baik maka algoritma akan menghapusnya F. Shortest Path Pencarian shortest path (lintasan terpendek) adalah masalah umum dalam suatu weighted, connected graph. Misal : Pencarian jaringan jalan raya yang menghubungkan kota-kota disuatu wilayah. 1. Lintasan terpendek yag menghubungkan antara dua kota berlainan tertentu (Single-source Single-destination Shortest Path Problems) 2. Semua lintasan terpendek masing-masing dari suatu kota ke setiap kota lainnya (Single-source Shortest Path problems) 3. Semua lintasan terpendek masing-masing antara tiap kemungkinan pasang kota yang berbeda (All-pairs Shortest Path Problems) Untuk memecahkan masing-masing dari masalah-masalah tersebut terdapat sejumlah solusi. 17

18 Dalam beberapa masalah graph lain, suatu graph dapat memiliki bobot negatif dan kasus ini dipecahkan oleh algoritma Bellman-Ford. Yang akan dibahas di sini adalah algoritma Dijkstra yaitu mencari lintasan terpendek dari suatu verteks asal tertentu vs ke setiap verteks lainnya. a. Graph berbobot (weighted graph) Apabila sisi-sisi pada graph disertai juga dengan suatu (atau beberapa) harga yang menyatakan secara unik kondisi keterhubungan tersebut maka graph tersebut disebut graph berbobot. Biasanya dalam masalah-masalah graph bobot tersebut merupakan "harga" dari keterhubungan antar vertex. Pengertian "harga" ini menggeneralisasikan banyak aspek, biaya ekonomis dari proses/aktifitas, jarak geografis/tempuh, waktu tempuh, tingkat kesulitan, dan lain sebagainya. Dalam beberapa masalah lain bisa juga bobot tersebut memiliki pengertian "laba" yang berarti kebalikan dari "biaya" di atas. Dalam pembahasan algoritma-algoritma graph nanti pengertian bobot akan menggunakan pengertian biaya sehingga apabila diaplikasikan pada masalah yang berpengertian laba maka kuantitas-kuantitas terkait adalah kebalikannnya. Misalnya mencari jarak tempuh minimum digantikan dengan mencari laba maksimum. 18

19 b. Algoritma Dijkstra s Algoritma Dijkstra's : 1. Menyelesaikan problem single-source shortest-path ketika semua edge memiliki bobot tidak negatif. 2. Algoritma greedy mirip ke algoritma Prim's. 3. Algoritma di awali pada vertex sumber s, kemudian berkembang membentuk sebuah tree T, pada akhirnya periode semua vertex dijangkau dari S. Vertex di tambah ke T sesuai urutan Misalnya : Pertama S, kemudian vertex yang tepat ke S, kemudian yang tepat berikutnya dan seterusnya. c. Dynamic Programming Terdiri dari sederetan tahapan keputusan. Pada setiap tahapan berlaku prinsip optimality (apapun keadaan awal dan keputusan yang diambil, keputusan berikutnya harus memberikan hasil yang optimal dengan melihat hasil keputusan sebelumnya. Misalnya : Multistage Graph Dimana : Cost (i,j) = Min(C(j,l) + Cost(i+1,l)} Dengan : C(j,l) = Bobot edge j dan l l = Elemen Vi+1 Dan <j,l> eemen E i=stage ke-i dan j = node dalam V Proses dimulai dari k-2, dimana k adalah banyak stage. Perhatikan contoh untuk menentukan biaya termurah dari 1 hingga 12. Diketahui graph dengan stage sebagai berikut : 19

20 Maka langkah-langkah yang dilakukan adalah : K=5, sehingga dimulai dari S3 Cost(3,6) = Min{6+Cost(4,9); 5+Cost(4,10)} = Min{6+4;5+2} = 7 Cost(3,7) = Min{4+Cost(4,9); 3+Cost(4,10)} = Min{4+4;3+2} = 5 Cost(3,8) = Min{5+Cost(4,10); 6+Cost(4,11)} = Min(5+2;6+5} = 7 Cost(2,2) = Min{4+Cost(3,6);2+Cost(3,7);1+Cost(3,8)} = Min{4+7;2+5;1+7} = 7 Cost(2,3) = Min{2+Cost(3,6); 7+Cost(3,7)} = Min(2+7; 7+5) = 9 Cost(2,4) = Min{11+Cost(3,8)} = 18 Cost(2,5) = Min{11+Cost(3,7); 8+Cost(3,8)} = Min(11+5;8+7} = 15 Cost(1,1) = Min{9+Cost(2,2);7+Cost(2,3);3+Cost(2,4),2+Cost(2,5)} = Min{9+7;7+9;3+18;2+15} = 16 Shorthest Path menjadi : 1 -> 3 -> -> -> u 1 -> -> -> -> Jika ada dua atau lebih shorthest path maka total biaya harus sama. 20

21 Shortest Path Pertama adalah : Shortest Path Kedua adalah : G. Minimum Spanning Tree Definisi Pohon rentangan atau spanning tree dari suatu connected graph didefinisikan sebagai free-tree yang terbentuk dari subset sisi-sisi serta menghubungkan setiap verteks dalam graph tersebut. Minimum Spanning Tree 21

22 (MST) adalah pohon rentangan dengan total bobot dari sisi-sisinya adalah minimal. Dalam penelusuran vertex tidak diperkenankan terbentuk siklus (cycle). Diketahui sebuah graph tak berarah dan tak berbobot sebagai berikut : Kemungkinan Spanning Tree : Bila jalur (edge) mempunyai biaya (cost) maka yang dicari adalah minimum cost spanning tree. H. Algoritma Menentukan Minimum Spanning Tree (MST) Dua algoritma populer untuk menentukan minimum spanning tree (MST) adalah Kruskal Algorithm dan Prim s Algorithm. 1. Algoritma Kruskal Algoritma ini lebih sederhana jika dilihat dari konsepnya namun lebih sulit dalam implementasinya. Idenya adalah mendapatkan satu demi satu sisi mulai dari yang berbobot terkecil untuk membentuk tree, suatu sisi walaupun berbobot kecil tidak akan diambil jika membentuk siklik dengan sisi yang sudah termasuk 22

23 dalam tree. Yang menjadi masalah dalam implementasinya adalah keperluan adanya pemeriksaan kondisi siklik tersebut.salah satu pemecahaannya adalah dengan subsetting yaitu pembentukan subset-subset yang disjoint dan secara bertahap dilakukan penggabungan atas tiap dua subset yang berhubungan dengan suatu sisi dengan bobot terpendek. Algoritma lengkapnya: Tahap pertama, jika dalam V terdapat n verteks maka diinisialisasi n buah subset yang disjoint, masing-masing berisi satu verteks, sebagai subsetsubset awal. Tahap berikutnya, urutkan sisi-sisi dengan bobot yang terkecil hingga terbesar. Mulai dari sisi dengan bobot terkecil hingga terbesar lakukan dalam iterasi: jika sisi tsb. menghubungkan dua vertex dalam satu subset (berarti membentuk siklik) maka skip sisi tersebut dan periksa sisi berikutnya jika tidak (berarti membentuk siklik) maka kedua subset dari verteks-verteks yang bersangkutan digabungkan menjadi satu subset yang lebih besar. Iterasi akan berlangsung hingga semua sisi terproses. MST_KRUSKAL (G) { For setiap vertex v dalam V[G] Do { set S(v) {v} } Inisialisasi priority queue Q yang berisi semua edge dari G, gunakan bobot sebagai keys. A { } // A berisi edge dari MST While A lebih kecil dari pada n-1 edge Do { set S(v) berisi v dan S(u) berisi u } IF S(v)!= S(u) Then { Tambahkan edge (u, v) ke A Merge S(v) dan S(u) menjadi satu set } Return A } 23

24 2. Algoritma Prim Algoritma dimulai dari suatu verteks awal tertentu dan bisa ditentukan oleh pemanggil atau dipilih sembarang oleh algoritma. Misalnya verteks awal tersebut adalah v. Pada setiap iterasi terdapat kondisi di mana himpunan vertex V terbagi dalam dua: W yaitu himpunan verteks yang sudah dievaluasi sebagai node di dalam pohon, serta (V-W) yaitu himpunan verteks yang belum dievaluasi. Di awal algoritma W diinisialisasi berisi verteks awal v. Selanjutnya, di dalam iterasinya: Pada setiap adjacency dari tiap verteks dalam W dengan verteks dalam (V-W) dicari sisi dengan panjang minimal. setelah diperoleh, sisi tersebut ditandai sebagai sisi yang membentuk tree dan verteks adjacent sisi tersebut dalam (VW) dipindahkan ke W (menjadi anggota W). Jika sisi tersebut tidak ada maka proses selesai. Dari contoh di atas misalnya dilakukan pencarian mulai dari verteks A Maka algoritma ini menghasilkan tahapan-tahapan iterasi pencarian sbb.: MST_PRIM (G, w, v) { Q V[G] for setiap u dalam Q do key [u] key [r] 0 π[r] NIl while queue tidak kosong do { u EXTRACT_MIN (Q) for setiap vertex v dalam Adj[u] do { if v ada dalam Q dan w(u, v) < key [v] then { π[v] w(u, v) key [v] w(u, v) } } } 24

25 III. GRAPH PADA JAVA Pada Project ini, kita lakukan pengaplikasian dari teori Graph pada program Java. Software yang kita gunakan adalah Eclipse. Didalam Project ini terdapat 5 package Java. Dan yang akan kita bahas disini adalah Package GRAPH_BASIC. Package GRAPH_BASIC, berisi 5 file berextensi.java yang saling berhubungan satu sama lain. Untuk detail File bisa di lihat di gambar di bawah ini. Untuk melakukan Logika Aplikasi Graph terdapat pada File Main.java 25

26 Tampilan Scriptnya seperti gambar di bawah ini. Dapat Kita lihat dari gambar diatas, logika Graph di mulai dari penambahan Vertex/Node, dengan memanggil fungsi AddVertex pada file Graph.java. Setelah vertex tercipta, dilakukan penambahan Edge/Busur dan terakhir memanggil fungsi untuk menghasilkan output. Untuk Output yang di hasilkan bisa di lihat gambar di bawah ini. 26

27 IV. KESIMPULAN Mengenal Graph : Terdiri dari node dan terdiri dari link (busur) Node disebut vertex dan Link disebut edge Informasi penting dalam graph adalah koneksi antar vertex Pada undirected graph, tidak terdapat directions (arah), Edge dari v0 ke v1 adalah sama dengan edge dari v1 ke v0 Jika sebuah masalah dapat direpresentasikan ke dalam bentuk kgraph maka solusi dari masalah tersebut bisa dicari dengan bantuan graph Setiap vertex mewakili sebuah kondisi (state) dan edge mewakili transisi antar state Analogi Graph dalam Kehidupan Sehari-Hari Graph dalam kehidupan sehari-hari dapat dianalogikan sebagai suatu jaringan satu dengan jaringan lainnya yang saling terhubung. Misal seperti negara Indonesia yang memiliki banyak kota seperti: Jakarta, Bandung, Surabaya, Yogyakarta. Kota-kota itulah yang tergabung dalam negara Indonesia dan kota-kota itulah yang saling berhubungan. 27

28 DAFTAR PUSTAKA Undip, BFS dan DFS, Tanggal Akses : 10 November 2010 Rachmat Antonius, Struktur Data Tanggal Akses : 10 November 2010 AlpenYap, Struktur Data Hirarkis Tanggal Akses : 2 November 2010 Ciptarjo Imam, Pengantar Graph Tanggal Akses : 2 November