BAB IV PEMBAHASAN. Sampel Polinomial. (Horner, 1971) (Horner, 1971) (Neill, 2010) (Neill, 2010) (Neill, 2010) (Horner, 1971) (Neill, 2010)

Transkripsi

1 digilib.uns.ac.id BAB IV PEMBAHASAN 4.1 Sampel Polinomial Penelitian Sampel-sampel yang digunakan dalam penelitian ini berupa persamaan polinomial derajat dua, tiga, empat, dan n yang didapat dari berbagai sumber literatur. Sampel polinomial ditunjukkan pada Tabel 4.1. Tabel 4.1 Sampel Polinomial No Derajat Polinomial Sampel Polinomial Sumber 1 Polinomial (Horner, 1971) derajat 2 (Horner, 1971) (Neill, 2010) (Neill, 2010) (Neill, 2010) 2 Polinomial (Horner, 1971) derajat 3 (Horner, 1971) (Horner, 1971) (Horner, 1971) (Neill, 2010) 3 Polinomial (Horner, 1971) derajat 4 (Horner, 1971) (Horner, 1971) (James, Smith & Wolford, 2000) 4 Polinomial (Horner, 1971) derajat n (James, Smith & Wolford, 2000) 52

2 digilib.uns.ac.id Pencarian Akar Kompleks Polinomial Secara Manual Pencarian akar kompleks masing-masing sampel polinomial yang telah ditentukan secara manual dilakukan sebelum kalkulator dibangun. Pencarian akar kompleks polinomial dilakukan dengan menerapkan masing-masing algoritma secara manual. Algoritma yang digunakan dalam pencarian akar kompleks polinomial secara manual adalah rumus kuadrat (Alg 2.1), Cardano (Alg 2.2), Viete s (Alg 2.3), Bairstow (Alg 2.4), revisis algoritma Bairstow (Alg 2.5), dan Muller (Alg 2.6). Sampel yang digunakan yaitu satu sampel polinomial derajat dua, tiga, dan empat. Sampel tersebut dapat dilihat pada Tabel 4.1. Perhitungan manual ini merupakan dasar pembangunan program kalkulator. Berikut ini merupakan pembahasan lebih rinci mengenai perhitungan masing-masing algoritma : Pencarian Akar Kompleks Polinomial Derajat Dua a. Pencarian akar kompleks menggunakan rumus kuadrat 1. Berdasarkan bentuk polinomial derajat dua yaitu, maka nilai p = 7 dan q = Menentukan nilai diskriminan 3. Menentukan akar kompleks polinomial Dengan demikian, maka penyelesaian polinomial menggunakan Rumus Kuadrat menghasilkan dua akar kompleks yakni dan Pencarian Akar Kompleks Polinomial Derajat Tiga a. Pencarian akar kompleks polinomial menggunakan algoritma Cardano 1. Berdasarkan bentuk polinomial derajat tiga yaitu, maka r = -4, s = -2, dan t = 3.

3 digilib.uns.ac.id Mensubtitusikan pada persamaan kubik, sehingga mengasilkan persamaan tereduksi. Nilai p dan q didapat dari : 3. Menghitung nilai diskriminan 4. Dari perhitungan di atas, diketahui bahwa nilai diskriminan dari persamaan polinomial tersebut bernilai kurang dari nol. Kasus seperti ini disebut sebagai irreducible case yang akan menghasilkan akar kompleks. Dengan demikian, pencarian akar kompleks polinomial menggunakan algoritma Cardano dilakukan dengan menerapkan, berikut ini detail perhitungannya : Sehingga, Dengan demikian, maka solusi dari persamaan tereduksi adalah sebagai berikut :

4 digilib.uns.ac.id 55 Dengan demikian, berdasarkan algoritma Cardano, polinomial memiliki tiga akar diantaranya adalah,, dan. b. Pencarian akar kompleks polinomial menggunakan algoritma Viete s 1. Berdasarkan bentuk polinomial derajat tiga yaitu, maka r = -4, s = -2, dan t = Mensubtitusikan pada persamaan, sehingga mengasilkan persamaan tereduksi. Nilai p dan q didapat dari :

5 digilib.uns.ac.id Menghitung nilai d dan c 4. Langkah selanjutnya adalah mencari nilai r. Nilai r didapat dari akar pangkat tiga dari nilai c. Di bawah ini akan dijelaskan mengenai detail perhitungan nilai r : Nilai kemudian diubah menjadi bentuk trigonometri.

6 digilib.uns.ac.id 57 Karena nilai x dan y bernilai positif, maka sudut yang terbentuk berada di kuadran satu. Sudut yang terbentuk oleh θ adalah 54,79 o. Nilai variable r dihitung dengan menggunakan rumus berikut : Dengan nilai k = 0, 1, 2. Dari ketiga nilai r yang memenuhi yaitu nilai r dengan k sama dengan nol yang mengasilkan nilai r positif yaitu. 5. Menghitung nilai akar polinomial pertama dengan perhitungan sebagai berikut :

7 digilib.uns.ac.id Kedua akar polinomial lainnya didapat dengan menggunakan nilai variabel dan. Berikut detail perhitungannya : Jadi, berdasarkan algoritma Viete s, akar-akar polinomial adalah sebagai berikut : c. Pencarian akar kompleks polinomial menggunakan algoritma Bairstow Pencarian akar 1 dan 2 Iterasi 1 1. Menentukan nilai 2. Menghitung nilai menggunakan rumus dengan pembagian sintesis : commit to user

8 digilib.uns.ac.id Dari nilai u, v, dan b, langkah yang harus dilakukan selanjutnya adalah menghitung nilai dengan rumus. Berikut detail perhitungan : 4. Nilai dan didapat dengan menghitung persamaan berikut: 5. Menghitung nilai u dan v untuk perhitungan iterasi berikutnya dengan menggunakan rumus :. 6. Melakukan pengecekkan belum terpenuhi Karena persamaan di atas belum terpenuhi, maka dilakuakn iterasi berikutnya yaitu iterasi ke 2, 3, dan seterusnya dengan mengulang langkah 2 hingga 6. Iterasi akan dihentikan ketika kondisi telah terpenuhi. Tabel 4.2 menampilkan hasil perhitungan pada masing-masing iterasi.

9 digilib.uns.ac.id 60 Tabel 4.2 Nilai u, v,, dan Masing-Masing Iterasi Menggunakan Algoritma Bairstow pada Penyelesaian Polinomial Derajat Tiga Iterasi keu v Berdasarkan Tabel 4.2, pada iterasi ke 5 persamaan telah terpenuhi, sehingga iterasi dihentikan. Nilai u dan v yang telah didapat kemudian disubtitusikan ke dalam persamaan berikut untuk mendapatkan polinomial tereduksi: Maka, Berdasarkan polinomial kuadrat yang dihasilkan, nilai akar kompleks adalah : Pencarian akar 3 Pencarian akar ketiga didapat dari sisa (remainder) pembentukan polinomial tereduksi yaitu (x 4,3) sehingga nilai

10 digilib.uns.ac.id 61 d. Pencarian akar kompleks polinomial menggunakan revisi algoritma Bairstow Pencarian akar 1 dan 2 Iterasi 1 1. Menentukan nilai 2. Menghitung nilai menggunakan rumus dengan pembagian sintesis : 3. Dari nilai u, v, dan b, langkah yang harus dilakukan selanjutnya adalah menghitung nilai dengan rumus. Berikut detail perhitungan : 4. Nilai dan didapat dengan menghitung persamaan berikut: 5. Menghitung nilai u dan v untuk perhitungan iterasi berikutnya dengan menggunakan rumus :. 6. Melakukan pengecekkan

11 digilib.uns.ac.id 62 belum terpenuhi Karena persamaan di atas belum terpenuhi, maka dilakukan iterasi berikutnya yaitu iterasi ke 2, 3, dan seterusnya dengan mengulang langkah 2 hingga 6. Iterasi akan dihentikan ketika kondisi telah terpenuhi. Hasil iterasi ditampilkan pada Tabel 4.3. Tabel 4.3 Nilai u, v,, dan Masing-Masing Iterasi Menggunakan Revisi Algoritma Bairstow pada Penyelesaian Polinomial Derajat Tiga Iterasi keu v Berdasarkan Tabel 4.3 diketahui bahwa pada iterasi ke 4 telah memenuhi persamaan. Kemudian nilai u dan v yang telah didapat disubtitusikan ke dalam persamaan beriku untuk mendapatkan polinomial tereduksit: Maka, Akar 1 dan 2 didapat dari perhitungan berikut : commit to user

12 digilib.uns.ac.id 63 Pencarian akar 3 Akar 3 didapat dari sisa (remainder) pada saat pembentukkan polinomial tereduksi yaitu (x 4,3) sehingga nilai Pencarian Akar Kompleks Polinomial Derajat Empat a. Pencarian akar kompleks polinomial menggunakan algoritma Bairstow Pencarian akar 1 dan 2 Iterasi 1 1. Menentukan 2. Menghitung nilai menggunakan rumus dengan pembagian sintesis : 3. Dari nilai u, v, dan b, langkah yang harus dilakukan selanjutnya adalah menghitung nilai dengan rumus. Berikut detail perhitungan : 4. Nilai dan didapat dengan menghitung persamaan berikut:

13 digilib.uns.ac.id Menghitung nilai u dan v untuk perhitungan iterasi berikutnya dengan menggunakan rumus :. 6. Melakukan pengecekkan terhadap belum terpenuhi Karena persamaan di atas belum terpenuhi, maka dilakukan iterasi kedua dengan mengulang langkah 2 hingga 6. Di bawah ini merupakan hasil perhitungan iterasi berikutnya : Tabel 4.4 Nilai u, v,, dan Masing-Masing Iterasi Menggunakan Algoritma Bairstow pada Penyelesaian Polinomial Derajat Empat Iterasi keu v E E E E E E-16 Berdasarkan Tabel 4.4, diketahui bahwa pada iterasi ke 8 persamaan telah terpenuhi, sehingga iterasi dihentikan. Nilai u dan v yang telah didapat kemudian disubtitusikan ke dalam persamaan berikut untuk mendapatkan polinomial tereduksi:

14 digilib.uns.ac.id 65 Maka, Dimana merupakan polinomial tereduksi. Akar 1 dan 2 didapat dari perhitungan berikut : Pencarian akar 3 dan 4 Akar 3 dan 4 didapat dari polinomial tereduksi yaitu. Dengan demikian, maka perhitungan akar 3 dan 4 dimana nilai u = -2 dan v = 5 adalah : Dari perhitungan di atas, maka diketahui akar-akar polinomial dari persamaan adalah 1, 2, 1+2i, dan 1-2i. b. Pencarian akar kompleks polinomial menggunakan revisi algoritma Bairstow Pencarian akar 1 dan 2 Iterasi 1 1. Menentukan nilai 2. Menghitung nilai menggunakan rumus dengan pembagian sintesis : commit to user

15 digilib.uns.ac.id Dari nilai u, v, dan b, langkah yang harus dilakukan selanjutnya adalah menghitung nilai dengan rumus. Berikut detail perhitungan : 4. Nilai dan didapat dengan menghitung persamaan berikut: 5. Menghitung nilai u dan v untuk perhitungan iterasi berikutnya dengan menggunakan rumus :. 6. Melakukan pengecekkan terhadap belum terpenuhi Karena persamaan di atas belum terpenuhi, maka dilakukan iterasi berikutnya yaitu iterasi ke 2, 3, dan seterusnya dengan mengulang langkah 2 hingga 6. Iterasi akan dihentikan ketika kondisi

16 digilib.uns.ac.id 67 telah terpenuhi. Hasil perhitungan masing-masing iterasi ditampilkan dalam Tabel 4.5. Tabel 4.5 Nilai u, v,, dan Masing-Masing Iterasi Menggunakan Revisi Algoritma Bairstow pada Penyelesaian Polinomial Derajat Empat Iterasi keu v E E E E-8 Berdasarkan hasil perhitungan pada Tabel 4.5, diketahui bahwa pada iterasi ke 7 iterasi dihentikan karena telah memenuhi persamaan. Nilai u dan v yang telah didapat kemudian disubtitusikan ke dalam persamaan berikut: Maka, Dimana merupakan polinomial tereduksi. Akar 1 dan 2 didapat dari: Pencarian akar 3 dan 4 Akar 3 dan 4 didapat dari polinomial tereduksi yang dihasilkan yaitu. Perhitungan akar 3 dan 4 dimana u = -2 dan v = 5 adalah :

17 digilib.uns.ac.id 68 Dari perhitungan di atas, maa diketahui akar-akar polinomial dari persamaan adalah 1, 2, 1+2i, dan 1-2i. c. Pencarian akar kompleks polinomial menggunakan algoritma Muller Pencarian akar 1 Iterasi 1 1. Menentukkan tiga poin tebakan awal yaitu yaitu 1, 2, Kemudian menghitung nilai berikut : 3. Menghitung masing-masing persamaan fungsi dari ketiga tebakan awal tersebut,.

18 digilib.uns.ac.id Menghitung nilai 5. Menghitung nilai diskriminan dari perhitungan di atas 6. Menghitung akar polinomial. Nilai b lebih dari nol, sehingga tanda operator yang digunakan yaitu Melakukan pengecekkan terhadap nilai y belum terpenuhi Pada langkah 6 persamaan belum terpenuhi sehingga dilakukan iterasi kedua dengan mengulang langkah 2 hingga 7 dimana nilai yang digunakan sebagai tebakan awal adalah nilai dan. Iterasi 2 Pengecekkan terhadap y : terpenuhi

19 digilib.uns.ac.id 70 Karena persamaan di atas terpenuhi, maka iterasi dihentikan dan akar polinomial didapat yaitu nilai = 2. Dengan demikian, akar 1 polinomial tersebut adalah 2. Pencarian akar 2 Sebelum dilakukan pencarian akar kompleks kedua, persamaan polinomial terlebih dahulu direduksi menjadi polinomial tereduksi. Reduksi polinomial dilakukan dengan membagi polinomial dengan akar yang didapat sebelumnya. Reduksi polinomial lebih mudah dilakukan menggunakan metode Horner : Berdasarkan perhitungan di atas, maka persamaan hasil reduksi adalah. Langkah selanjutnya adalah mengulang langkah 1 hingga 7 untuk mendapatkan akar kedua menggunakan persamaan polinomial hasil reduksi. Hasil perhitungan untuk pencarian akar kedua adalah sebagai berikut : Iterasi 1 Pengecekkah terhadap y : belum terpenuhi, lakukan iterasi dengan mengulang langkah 2 hingga 7

20 digilib.uns.ac.id 71 Iterasi 2 Pengecekkan terhadap y : terpenuhi, iterasi dihentikan Dengan demikian, maka nilai akar polinomial kedua adalah. Pencarian akar 3 Mereduksi polinomial sebelumnya yaitu, dengan membagi persamaan tersebut dengan akar yang ditemukan : koefisien polinomial Akar Polinomial tereduksi yang didapat yaitu kemudian mengulang langkah 1 hingga 7 menggunakan persamaan baru dengan tiga tebakan awal yaitu 1, 2, 3. Berikut hasil perhitungan : Iterasi 1 Pengecekkan terhadap y :

21 digilib.uns.ac.id 72 belum terpenuhi, dilakukan iterasi dengan mengulang langkah 2 hingga 7 Iterasi 2 Pengecekkan terhadap y : terpenuhi, iterasi dihentikan Pada iterasi kedua, proses dihentikan karena persamaan di atas telah terpenuhi. Dengan demikian, akar polinomial ketiga adalah. Pencarian akar 4 Akar keempat didapat dari hasil pembagian polinomial yang telah direduksi sebelumnya yaitu dengan akar yang telah didapat yaitu koefisien polinomial Akar 1+2i i 0 Berdasarkan perhitungan di atas, maka didapat polinomial tereduksi yaitu sehingga nilai akar polinomial terakhir adalah. 4.3 Pembangunan Program Kalkulator Pencarian Akar Kompleks Polinomial Derajat N Sebelum program kalkulator pencarian akar kompleks polinomial derajat n dibangun, terlebih dahulu dilakukan analisa dan perancangan program agar program yang dibuat sesuai dengan kebutuhan. Di bawah ini merupakan pembahasan analisa kebutuhan serta perancangan program kalkulator:

22 digilib.uns.ac.id Analisa Kebutuhan Program Kalkulator Analisa kebutuhan program kalkulator pencarian akar kompleks polinomial derajat n dilakukan dengan mendefinisikan kebutuhan-kebutuhan program, baik kebutuhan fungsional maupun kebutuhan non fungsional. Hasil analisa kebutuhan akan menjadi dasar pembangunan program kalkulator Deskripsi Sistem Program kalkulator pencarian akar kompleks polinomial derajat n merupakan sebuah perangkat lunak berbasis dekstop yang digunakan khusus untuk mencari akar-akar kompleks polinomial derajat dua, tiga, empat, dan n. Program kalkulator dibangun dengan menggunakan bahasa pemrograman Java. Program kalkulator dilengkapi dengan berbagai algoritma khusus pencarian akar kompleks polinomial seperti rumus kuadrat, algoritma Viete s, Cardano, Bairstow, Revisi Bairstow, dan Muller. Program kalkulator dapat menyelesaikan persamaan polinomial derajat dua, tiga, empat, dan juga n. Input program berupa koefisien variabel x, sedangkan outputnya berupa nilai akar-akar kompleks polinomial hasil perhitungan menggunakan algoritma yang dipilih dan pendekatan Matlab, galat yang dihasilkan, dan jumlah iterasi yang dilakukan. Dengan program kalkulator ini diharapkan dapat menjadi media pembelajaran untuk orang awam, sehingga dapat memudahkan dalam menyelesaikan persamaan polinomial derajat n Kebutuhan Fungsional Tabel 4.6 menampilkan kebutuhan-kebutuhan fungsional dari program kalkulator pencarian akar-akar kompleks polinomial derajat n. Tabel 4.6 Kebutuhan Fungsional Kalkulator Pencarian Akar Kompleks Polinomial Derajat n Kode Kebutuhan Fungsional F.1 Pengguna dapat mencari akar-akar kompleks polinomial derajat dua F.2 Pengguna dapat mencari akar-akar kompleks polinomial derajat tiga F.3 Pengguna dapat mencari akar-akar kompleks polinomial derajat empat F.4 Pengguna dapat mencari akar-akar kompleks polinomial derajat n F.5 Pengguna dapat melihat petunjuk peggunaan dan informasi program

23 digilib.uns.ac.id Kebutuhan Non Fungsional Berikut ini merupakan kebutuhan non-fungsional pada program kalkulator pencarian akar kompleks polinomial derajat n : Tabel 4.7 Kebutuhan Non Fungsional Kalkulator Pencarian Akar Kompleks Polinomial Derajat n Kode Kebutuhan Non Fungsional NF.1 Desain antarmuka yang user friendly dan sederhana, sehingga mudah digunakan untuk orang awam NF.2 Program dapat terkoneksi dengan program Matlab NF.3 Program dapat menyelesaikan persamaan polinomial dalam waktu singkat Perancangan Program Kalkulator Perancangan sistem dilakukan berdasarkan hasil analisa kebutuhan program sebelumnya. Kebutuhan fungsional program kalkulator dimodelkan menggunakan use case diagram, kemudian diidentifikasi aktor dan masing-masing use case. Setelah dimodelkan menggunakan use case diagram, dilakukan perancangan prototipe antarmuka program kalkulator. Masing-masing use case kemudian dimodelkan dengan model analisis yaitu dengan membuat sequence diagram dan class diagram sehingga memudahkan dalam implementasi program kalkulator Model Use Case Berikut ini merupakan pemodelan kebutuhan fungsional menggunakan model use case serta pembahasannya : Diagram Use Case Use case diagram menggambarkan masing-masing fungsional yang terdapat pada program kalkulator. Gambar 4.1 menunjukkan use case diagram untuk program kalkulator pencarian akar kompleks polinomial derajat n.

24 digilib.uns.ac.id 75 System Mencari akar kompleks polinomial derajat 2 Mencari akar kompleks polinomial derajat 3 Mencari akar kompleks polinomial derajat 4 Pengguna Mencari akar kompleks polinomial derajat n Melihat petunjuk penggunaan dan informasi program Gambar 4.1 Use case diagram Kalkulator Identifikasi Pengguna Pada program kalkulator pencarian akar kompleks polinomial derajat n hanya terdapat satu pengguna. Pengguna mencakup semua golongan seperti orang awam, pelajar, mahasiswa, dan lain sebagainya Definisi Use Case Definisi use case berdasarkan use case diagram yang tertera pada Gambar 4.1 dijabarkan dalam Tabel 4.8 berikut ini : Tabel 4.8 Use Case dan Deskripsi Use Case Kode Use Case Deskripsi UC.1 Mencari akar kompleks Melakukan pencarian akar-akar kompleks polinomial derajat 2 polinomial derajat dua UC.2 Mencari akar kompleks polinomial derajat 3 Melakukan pencarian akar-akar kompleks polinomial derajat tiga menggunakan algoritma yang dipilih UC.3 Mencari akar kompleks polinomial derajat 4 Melakukan pencarian akar-akar kompleks polinomial derajat empat menggunakan algoritma yang dipilih

25 digilib.uns.ac.id 76 Tabel 4.7 Lanjutan Use Case dan Deskripsi Use Case Kode Use Case Deskripsi UC.4 UC.5 Mencari akar kompleks polinomial derajat n Melihat petunjuk penggunaan dan informasi program Melakukan pencarian akar-akar kompleks polinomial derajat n menggunakan algoritma yang dipilih Melihat petunjuk peggunaan program kalkulator dan informasi program kalkulator pencarian akar polinomial derajat n Kesesuaian Use Case Diagram dengan Kebutuhan Fungsional Tabel 4.9 berikut menunjukkan kesesuaian antara use case yang dibuat dengan kebutuhan fungsional program kalkulator pencarian akar kompleks polinomial derajat n. Tabel 4.9 Kesesuaian Use Case dengan Kebutuhan Fungsional Kode Kebutuhan F.1 F.2 F.3 F.4 F.5 Kode Kebutuhan Fungsional Use case Pengguna dapat mencari akar-akar kompleks UC.1 polinomial derajat dua Pengguna dapat mencari akar-akar kompleks UC.2 polinomial derajat tiga Pengguna dapat mencari akar-akar kompleks UC.3 polinomial derajat empat Pengguna dapat mencari akar-akar kompleks UC.4 polinomial derajat n Pengguna dapat melihat petunjuk peggunaan dan UC.5 informasi program Use Case Mencari akar kompleks polinomial derajat 2 Mencari akar kompleks polinomial derajat 3 Mencari akar kompleks polinomial derajat 4 Mencari akar kompleks polinomial derajat n Melihat petunjuk penggunaan dan informasi program

26 digilib.uns.ac.id Use Case Scenario Di bawah ini dijabarkan use case scenario untuk masing-masing use case: Nama use case : Mencari akar kompleks polinomial derajat 2 Kode use case : UC.1 Tabel 4.10 Scenario UC.1 : Mencari Akar Kompleks Polinomial Derajat 2 Field Name Field Description Name Mencari akar kompleks polinomial derajat 2 Assumption Program kalkulator telah berjalan, Program kalkulator terkoneksi dengan Matlab Actors Pengguna Pre-condition Program menampilkan tabulasi Polinomial Derajat 2 Use case Use case berfungsi apabila pengguna menginputkan Initiation koefisien variabel x dan mengklik Penyelesaian dengan Rumus Kuadrat Use Case Dialog Sistem meminta pengguna untuk membuka tabulasi Polinomial Derajat 2 Sistem menampilkan halaman Polinomial Derajat 2 Sistem meminta pengguna untuk mengisi koefisien variabel x dan mengklik button Penyelesaian dengan Rumus Kuadrat Sistem melakukan validasi terhadap koefisien yang diinputkan Sistem menentukan input Matlab Sistem menghitung akar kompleks pendekatan Matlab Sistem menghitung akar kompleks dengan rumus kuadrat Sistem menghitung galat Sistem menampilkan akar kompleks hasil perhitungan dengan rumus kuadrat Sistem menampilkan akar kompleks pendekatan Matlab Sistem menampilkan galat

27 digilib.uns.ac.id 78 Tabel 4.10 Lanjutan Scenario UC.1 : Mencari Akar Kompleks Polinomial Derajat 2 Field Name Use Case Termination Field Description Program menampilkan akar-akar kompleks hasil perhitungan dengan Rumus Kuadrat, akar-akar kompleks pendekatan Matlab, dan galat perhitungan Tabel 4.11 Combine Scenario UC.1 : Mencari Akar Kompleks Polinomial Derajat 2 Use Case Name Mencari akar kompleks polinomial derajat 2 Assumption Program kalkulator telah berjalan, Program kalkulator terkoneksi dengan Matlab Actors Pre-condition Pengguna Program menampilkan tabulasi Polinomial Derajat 2 Actor System 1. Mengklik tabulasi Polinomial Derajat 2 2. Menampilkan halaman Polinomial Derajat 2 3. Menginputkan koefisien variabel x 4. Mengklik Penyelesaian dengan Rumus Kuadrat 5. Melakukan validasi koefisien yang diinputkan 6. Menentukan input perhitungan Matlab 7. Menghitung akar kompleks dengan pendekatan Matlab 8. Menghitung akar kompleks dengan rumus commit kuadrat to user

28 digilib.uns.ac.id 79 Tabel 4.11 Lanjutan Combine Scenario UC.1 : Mencari Akar Kompleks Polinomial Derajat 2 Actor 1 st alternative System 9. Menghitung galat 10. Menampilkan akar kompleks perhitungan rumus kuadrat 11. Menampilkan akar kompleks pendekatan Matlab 12. Menampilkan galat 5. Melakukan validasi koefisien yang diinputkan, input tidak tepat 6. Menampilkan notifikasi Input tidak tepat Berikut ini merupakan activity diagram untuk use case UC.1 yaitu mencari akar kompleks polinomial derajat 2 :

29 digilib.uns.ac.id 80 Pengguna Sistem Mengklik tab 'Polinomial Derajat 2' Menampilkan tab 'Polinomial Derajat 2' Menginputkan koefisien variabel x Mengklik 'Penyelesaian dengan Rumus Kuadrat' Validasi tidak Notifikasi 'Input tidak tepat' ya Menentukan input Matlab Menghitung pendekatan Matlab Mencari akar-akar kompleks dengan Rumus Kuadrat Menghitung galat Menampilkan akar kompleks Menampilkan pendekatan Matlab Menampilkan galat Gambar 4.2 Activity Diagram UC.1 : Mencari Akar Kompleks Polinomial Derajat 2 Nama use case : Mencari akar kompleks polinomial derajat 3 Kode use case : UC.2 Tabel 4.12 Scenario UC.2 : Mencari Akar Kompleks Polinomial Derajat 3 Field Name Field Description Name Mencari akar kompleks polinomial derajat 3 Assumption Program kalkulator telah berjalan, Program kalkulator commit to terkoneksi user dengan Matlab

30 digilib.uns.ac.id 81 Tabel 4.12 Lanjutan Scenario UC.2 : Mencari Akar Kompleks Polinomial Derajat 3 Actors Pengguna Pre-condition Program menampilkan tabulasi Polinomial Derajat 3 Use case Use case berfungsi apabila pengguna menginputkan Initiation koefisien variabel x, memilih algoritma penyelesaian, dan mengklik OK Use Case Dialog Sistem meminta pengguna untuk membuka tabulasi Polinomial Derajat 3 Sistem menampilkan halaman Polinomial Derajat 3 Sistem meminta pengguna untuk mengisi koefisien variabel x Sistem meminta pengguna memilih algoritma penyelesaian Sistem meminta pengguna mengklik button OK Sistem melakukan validasi terhadap koefisien yang diinputkan Sistem menentukan input Matlab Sistem menghitung akar kompleks pendekatan Matlab Sistem menghitung akar kompleks dengan algoritma Sistem menghitung galat Sistem menampilkan akar kompleks hasil perhitungan dengan algoritma terpilih Sistem menampilkan akar kompleks pendekatan Matlab Sistem menampilkan galat Sistem menampilkan jumlah iterasi Use Case Program menampilkan akar-akar kompleks hasil Termination perhitungan dengan algoritma terpilih, akar-akar kompleks pendekatan Matlab, galat perhitungan, dan jumlah iterasi

31 digilib.uns.ac.id 82 Tabel 4.13 Combine Scenario UC.2 : Mencari Akar Kompleks Polinomial Derajat 3 Use Case Name Mencari akar kompleks polinomial derajat 3 Assumption Program kalkulator telah berjalan, Program kalkulator terkoneksi dengan Matlab Actors Pre-condition Pengguna Program menampilkan tabulasi Polinomial Derajat 3 Actor System 1. Mengklik tabulasi Polinomial Derajat 3 2. Menampilkan halaman Polinomial Derajat 3 3. Menginputkan koefisien variabel x 4. Memilih algoritma penyelesaian 5. Mengklik OK 6. Melakukan validasi koefisien yang diinputkan 7. Menentukan input perhitungan Matlab 8. Menghitung akar kompleks dengan pendekatan Matlab 9. Menghitung akar kompleks dengan algoritma terpilih 10. Menghitung galat 11. Menampilkan akar kompleks perhitungan algoritma terpilih 12. Menampilkan akar kompleks pendekatan Matlab 13. Menampilkan galat 14. Menampilkan jumlah iterasi

32 digilib.uns.ac.id 83 Tabel 4.13 Lanjutan Combine Scenario UC.2 : Mencari Akar Kompleks Polinomial Derajat 3 Actor 1 st alternative System 6. Melakukan validasi koefisien yang diinputkan, input tidak tepat 7. Menampilkan notifikasi Input tidak tepat Pengguna Sistem Mengklik tab 'Polinomial Derajat 3' Menampilkan tab 'Polinomial Derajat 3' Menginputkan koefisien variabel x Memilih algoritma Mengklik 'OK' Validasi tidak Notifikasi 'Input tidak tepat' ya Menentukan input Matlab Menghitung pendekatan Matlab Mencari akar-akar kompleks dengan algoritma yang dipilih Menghitung galat Menampilkan akar kompleks Menampilkan pendekatan Matlab Menampilkan galat Menampilkan iterasi Gambar 4.3 Activity Diagram UC.2 : Mencari Akar Kompleks Polinomial Derajat 3

33 digilib.uns.ac.id 84 Nama use case : Mencari akar kompleks polinomial derajat 4 Kode use case : UC.3 Tabel 4.14 Scenario UC.3 : Mencari Akar Kompleks Polinomial Derajat 4 Field Name Field Description Name Mencari akar kompleks polinomial derajat 4 Assumption Program kalkulator telah berjalan, Program kalkulator terkoneksi dengan Matlab Pre-condition Program menampilkan tabulasi Polinomial Derajat 4 Use case Use case berfungsi apabila pengguna menginputkan Initiation koefisien variabel x, memilih algoritma penyelesaian, dan mengklik OK Use Case Dialog Sistem meminta pengguna untuk membuka tabulasi Polinomial Derajat 4 Sistem menampilkan halaman Polinomial Derajat 4 Sistem meminta pengguna untuk mengisi koefisien variabel x Sistem meminta pengguna memilih algoritma penyelesaian Sistem meminta pengguna mengklik button OK Sistem melakukan validasi terhadap koefisien yang diinputkan Sistem menentukan input Matlab Sistem menghitung akar kompleks pendekatan Matlab Sistem menghitung akar kompleks dengan algoritma Sistem menghitung galat Sistem menampilkan akar kompleks hasil perhitungan dengan algoritma terpilih Sistem menampilkan akar kompleks pendekatan Matlab Sistem menampilkan galat Sistem menampilkan jumlah iterasi

34 digilib.uns.ac.id 85 Tabel 4.14 Lanjutan Scenario UC.3 : Mencari Akar Kompleks Polinomial Derajat 4 Field Name Field Description Use Case Program menampilkan akar-akar kompleks hasil Termination perhitungan dengan algoritma terpilih, akar-akar kompleks pendekatan Matlab, galat perhitungan, dan jumlah iterasi Tabel 4.15 Combine Scenario UC.3 : Mencari Akar Kompleks Polinomial Derajat 4 Use Case Name Mencari akar kompleks polinomial derajat 4 Assumption Actors Pre-condition Actor 1. Mengklik tabulasi Polinomial Derajat 4 3. Menginputkan koefisien variabel x 4. Memilih algoritma penyelesaian 5. Mengklik OK Program kalkulator telah berjalan, Program kalkulator terkoneksi dengan Matlab Pengguna Program menampilkan tabulasi Polinomial Derajat Menghitung galat System 2. Menampilkan halaman Polinomial Derajat 4 6. Melakukan validasi koefisien yang diinputkan 7. Menentukan input perhitungan Matlab 8. Menghitung akar kompleks dengan pendekatan Matlab 9. Menghitung akar kompleks dengan algoritma

35 digilib.uns.ac.id 86 Tabel 4.15 Lanjutan Combine Scenario UC.3 : Mencari Akar Kompleks Polinomial Derajat 4 Actor 1 st alternative System 11. Menampilkan akar kompleks perhitungan algoritma 12. Menampilkan akar kompleks pendekatan Matlab 13. Menampilkan galat 14. Menampilkan jumlah iterasi 6. Melakukan validasi koefisien yang diinputkan, input tidak tepat 7. Menampilkan notifikasi Input tidak tepat Berikut ini merupakan activity diagram untuk use case UC.3 yaitu mencari akar kompleks polinomial derajat 4 :

36 digilib.uns.ac.id 87 Pengguna Sistem Mengklik tab 'Polinomial Derajat 4' Menampilkan tab 'Polinomial Derajat 4' Menginputkan koefisien variabel x Memilih algoritma Mengklik 'OK' Validasi tidak Notifikasi 'Input tidak tepat' ya Menentukan input Matlab Menghitung pendekatan Matlab Mencari akar-akar kompleks dengan algoritma yang dipilih Menghitung galat Menampilkan akar kompleks Menampilkan pendekatan Matlab Menampilkan galat Menampilkan iterasi Gambar 4.4 Activity Diagram UC.3 : Mencari Akar Kompleks Polinomial Derajat commit 4 to user

37 digilib.uns.ac.id 88 Nama use case : Mencari akar kompleks polinomial derajat n Kode use case : UC.4 Tabel 4.16 Scenario UC.4 : Mencari Akar Kompleks Polinomial Derajat n Field Name Field Description Name Mencari akar kompleks polinomial derajat n Assumption Program kalkulator telah berjalan, Program kalkulator terkoneksi dengan Matlab Pre-condition Program menampilkan tabulasi Polinomial Derajat n Use case Use case berfungsi apabila pengguna menginputkan Initiation koefisien variabel x, memilih algoritma penyelesaian, dan mengklik OK Use Case Dialog Sistem meminta pengguna untuk membuka tabulasi Polinomial Derajat n Sistem menampilkan halaman Polinomial Derajat n Sistem meminta pengguna untuk menginputkan derajat polinomial Sistem meminta pengguna untuk mengklik OK Sistem melakukan validasi derajat polinomial yang diinputkan Sistem menampilkan pilihan algoritma Sistem meminta pengguna untuk mengisi koefisien variabel x Sistem meminta pengguna memilih algoritma penyelesaian Sistem meminta pengguna mengklik button OK Sistem melakukan validasi terhadap koefisien yang diinputkan Sistem menentukan input Matlab Sistem menghitung akar kompleks pendekatan Matlab Sistem menghitung akar kompleks dengan algoritma Sistem menghitung commit to galat user

38 digilib.uns.ac.id 89 Tabel 4.16 Lanjutan Scenario UC.4 : Mencari Akar Kompleks Polinomial Derajat n Field Name Field Description Use Case Dialog Sistem menampilkan akar kompleks hasil perhitungan dengan algoritma terpilih Sistem menampilkan akar kompleks pendekatan Matlab Sistem menampilkan galat Sistem menampilkan jumlah iterasi Use Case Program menampilkan akar-akar kompleks hasil Termination perhitungan dengan algoritma terpilih, akar-akar kompleks pendekatan Matlab, galat perhitungan, dan jumlah iterasi Tabel 4.17 Combine Scenario UC.4 : Mencari Akar Kompleks Polinomial Derajat n Use Case Name Mencari akar kompleks polinomial derajat 4 Assumption Actors Pre-condition Actor 1. Mengklik tabulasi Polinomial Derajat n 3. Menginputkan derajat polinomial 4. Mengklik OK Program kalkulator telah berjalan, Program kalkulator terkoneksi dengan Matlab Pengguna Program menampilkan tabulasi Polinomial Derajat n System 2. Menampilkan halaman Polinomial Derajat n 5. Melakukan validasi derajat polinomial 6. Menampilkan pilihan algoritma

39 digilib.uns.ac.id 90 Tabel 4.17 Lanjutan Combine Scenario UC.4 : Mencari Akar Kompleks Polinomial Derajat n Actor System 7. Menginputkan koefisien variabel x 8. Memilih algoritma penyelesaian 9. Mengklik OK 10. Melakukan validasi koefisien yang diinputkan 11. Menentukan input perhitungan Matlab 12. Menghitung akar kompleks dengan pendekatan Matlab 13. Menghitung akar kompleks dengan algoritma terpilih 14. Menghitung galat 15. Menampilkan akar kompleks perhitungan algoritma 16. Menampilkan akar kompleks pendekatan Matlab 17. Menampilkan galat 18. Menampilkan jumlah iterasi 1 st alternative 5. Melakukan validasi derajat polinomial yang diinputkan, input tidak tepat 6. Menampilkan notifikasi Input tidak tepat 2 nd alternative 10. Melakukan validasi koefisien yang diinputkan, input tidak tepat 11. Menampilkan notifikasi Input tidak tepat Berikut ini merupakan activity diagram untuk use case UC.4 yaitu mencari akar kompleks polinomial commit derajat to n user :

40 digilib.uns.ac.id 91 Pengguna Sistem Mengklik tab 'Polinomial Derajat n' Menampilkan tab 'Polinomial Derajat n' Menginputkan derajat polinomial Mengklik 'OK' Validasi tidak Notifikasi 'Input tidak tepat' ya Menampilkan pilihan algoritma Menginputkan koefisien variabel x Memilih algoritma Mengklik 'OK' Validasi tidak Notifikasi 'Input tidak tepat' ya Menentukan input Matlab Menghitung pendekatan Matlab Mencari akar-akar kompleks dengan algoritma yang dipilih Menghitung galat Menampilkan akar kompleks Menampilkan pendekatan Matlab Menampilkan galat Menampilkan iterasi Gambar 4.5 Activity Diagram UC.4 : Mencari Akar Kompleks Polinomial Derajat n

41 digilib.uns.ac.id 92 Nama use case : Melihat petunjuk penggunaan dan informasi program Kode use case : UC.5 Tabel 4.18 Scenario UC.5 : Melihat Petunjuk Penggunaan dan Informasi Program Field Name Field Description Name Melihat petunjuk penggunaan dan informasi program Assumption Program kalkulator telah berjalan, Program kalkulator terkoneksi dengan Matlab Pre-condition Program menampilkan tabulasi About Use case Use case berfungsi apabila pengguna mengklik tabulasi Initiation About Use Case Dialog Sistem meminta pengguna untuk membuka tabulasi About Sistem menampilkan halaman About Use Case Program menampilkan halaman About Termination Tabel 4.19 Combine Scenario UC.5 : Melihat Petunjuk Penggunaan dan Informasi Program Use Case Name Assumption Actors Pre-condition Actor 1. Mengklik tabulasi About Melihat petunjuk penggunaan dan informasi program Program kalkulator telah berjalan, Program kalkulator terkoneksi dengan Matlab Pengguna Program telah berjalan System 2. Menampilkan halaman About Berikut ini merupakan activity diagram untuk use case UC.5 yaitu melihat petunjuk penggunaan dan informasi program :

42 digilib.uns.ac.id 93 Pengguna Sistem Mengklik tab 'About' Menampilkan tab 'About' Menampilkan petunjuk penggunaan dan informasi program Gambar 4.6 Activity Diagram UC.5 : Melihat Petunjuk Penggunaan dan Informasi Program Flowchart Program Kalkulator Gambar 4.7 menunjukkan diagram alur (flowchart) program kalkulator pencarian akar kompleks polinomial derajat n. Berikut ini merupakan penjelasan Gambar 4.7 : 1. Program memiliki empat tabulasi berdasarkan masing-masing derajat polinomial yakni polinomial derajat dua, tiga, empat, dan n. 2. Input masing-masing algoritma berupa koefisien masing-masing variabel x. 3. Proses yang dilakukan dalam program kalkulator yaitu menghitung nilai pendekatan akar kompleks dengan menggunakan Matlab dan mencari akar-akar kompleks polinomial menggunakan algoritma yang dipilih. 4. Nilai galat masing-masing akar kompleks polinomial didapat dari perhitungan galat relatif. Perhitungan galat relatif yang mengunakan formula yang diusulkan dalam penelitian ini. Perhitungan galat relatif suatu akar kompleks polinomial menggunakan Persamaan Dalam perhitungan galat, nilai eksak diubah menjadi nilai pendekatan numerik yang didapat dari perhitungan Matlab. Penggunaan solusi numerik hasil perhitungan Matlab ini dikarenakan beberapa sampel polinomial yang

43 digilib.uns.ac.id 94 digunakan dalam penelitian tidak disertai dengan solusi eksak. Selain itu, penyelesaian polinomial berderajat tinggi sulit diselesaikan dengan metode analitik. Oleh karena itu, digunakan alternatif lain untuk mendapatkan nilai eksak persamaan polinomial yaitu dengan menggunakan solusi numerik yang mendekati solusi eksak yang didapat dari perhitungan perangkat lunak matematika, Matlab. Seperti yang disebutkan dalam situs MathWorks (2016), Matlab merupakan perangkat lunak matematika berbasis matriks yang dapat mengekspresikan komputasi matematika. Matlab telah digunakan oleh jutaan insinyur dan ilmuwan di seluruh dunia untuk melakukan analisa dan desain. 5. Output dari perhitungan dalam program kalkulator adalah akar-akar kompleks polinomial,, masing-masing galat yang dihasilkan,, serta jumlah iterasi yang dilakukan untuk penyelesaian polinomial menggunakan algoritma Bairstow, revisi algoritma Bairstow, dan Muller,

44 digilib.uns.ac.id tidak Polinomial derajat n Mulai Polinomial derajat 3 tidak Polinomial derajat 4 ya tidak Viete s tidak Bairstow Revisi tidak Bairstow Bairstow Revisi tidak tidak Muller Bairstow Selesai tidak Polinomial derajat 2 ya ya a, b, c a, b Revisi tidak Rumus Cardano Kuadrat Rumus Kuadrat a, b, c, d ya ya ya ya ya ya Perhitungan Matlab Perhitungan Matlab Perhitungan Matlab Perhitungan Matlab Perhitungan Matlab Perhitungan Matlab Algoritma Viete s Algoritma Bairstow Revisi Algoritma Bairstow Algoritma Bairstow Revisi Algoritma Bairstow Muller Perhitungan galat Perhitungan galat Perhitungan galat Perhitungan galat Perhitungan galat Perhitungan galat x1, x2, x3 g1, g2, g3 x1, x2, x3 g1, g2, g3 i1, i2, i3 x1, x2, x3 g1, g2, g3 i1, i2, i3 x1, x2, x3, x4 g1, g2, g3, g4 i1, i2, i3, i4 x1, x2, x3, x4 g1, g2, g3, g4 i1, i2, i3, i4 x1, x2, x3, x4 g1, g2, g3, g4 i1, i2, i3, i4 x1, x2, x3, x4,..., xn g1, g2, g3, g4,..., gn i1, i2, i3, i4,..., in Gambar 4.7 Diagram Alur Kalkulator Polinomial ya derajat n, bilangan ganjil ya koefisien Pilihan algoritma Perhitungan Matlab Algoritma 1 a, b, c Algoritma 2 ya ya ya Perhitungan Matlab Perhitungan Matlab Perhitungan Matlab Perhitungan galat tidak x1, x2, x3, x4,..., xn g1, g2, g3, g4,..., gn i1, i2, i3, i4,..., in 95 n, bilangan genap ya Algoritma Cardano koefisien Pilihan algoritma Perhitungan Matlab Revisi Rumus Kuadrat Revisi Rumus Kuadrat Perhitungan galat x1, x2, x3 g1, g2, g3 Algoritma 1 a, b, c, d Algoritma 2 Perhitungan galat Perhitungan galat Perhitungan galat x1, x2 g1, g2 x1, x2 g1, g2 Keterangan : a, b, c, d = koefisien polinomial r = akar kompleks g = galat i = iterasi

45 digilib.uns.ac.id Prototipe Antarmuka Hasil analisa kebutuhan dan perancangan program diimplementasikan dalam antarmuka atau user interface. Antarmuka merupakan tampilan program yang dilihat oleh pengguna. Untuk memudahkan implementasi, terlebih dahulu dibuat prototipe antarmuka. Prototipe antarmuka merupakan sampel antarmuka sebelum diimplementasikan menggunakan Java GUI. Berikut ini merupkan prototipe antarmuka masing-masing tabulasi : a. Tabulasi Polinomial Derajat 2 Polinomial Derajat 2 Polinomial Derajat 3 Polinomial Derajat 4 Polinomial Derajat n About Masukkan koefisien polinomial : Pilih algoritma : Rumus Kuadrat Akar kompleks pendekatan Matlab : Akar 1 = Akar 2 = Akar kompleks perhitungan kalkulator : Akar 1 = Akar 2 = Galat yang dihasilkan : Galat 1 = Galat 2 = Gambar 4.8 Prototipe Tabulasi Polinomial Derajat 2

46 digilib.uns.ac.id 97 b. Tabulasi Polinomial Derajat 3 Polinomial Derajat 2 Polinomial Derajat 3 Polinomial Derajat 4 Polinomial Derajat n About Masukkan koefisien polinomial : Pilih algoritma : Algoritma Cardano OK Akar kompleks perhitungan kalkulator : Akar 1 = Akar 2 = Akar kompleks pendekatan Matlab : Akar 1 = Akar 2 = Akar 3 = Akar 3 = Galat yang dihasilkan : Iterasi yang dilakukan : Gambar 4.9 Prototipe Tabulasi Polinomial Derajat 3 c. Tabulasi Polinomial Derajat 4 Polinomial Derajat 2 Polinomial Derajat 3 Polinomial Derajat 4 Polinomial Derajat n About Masukkan koefisien polinomial : Pilih algoritma : Algoritma Bairstow OK Akar kompleks perhitungan kalkulator : Akar 1 = Akar 2 = Akar kompleks pendekatan Matlab : Akar 1 = Akar 2 = Akar 3 = Akar 3 = Akar 4 = Akar 4 = Galat yang dihasilkan : Iterasi yang dilakukan : Gambar 4.10 Prototipe commit Tabulasi to user Polinomial Derajat 4

47 digilib.uns.ac.id 98 d. Tabulasi Polinomial Derajat n Polinomial Derajat 2 Polinomial Derajat 3 Polinomial Derajat 4 Polinomial Derajat n About Masukkan derajat polinomial : OK Masukkan koefisien polinomial : Pilih algoritma : Algoritma Muller OK Akar kompleks perhitungan kalkulator : Akar kompleks pendekatan Matlab : Galat yang dihasilkan : Iterasi yang dilakukan : Gambar 4.11 Prototipe Tabulasi Polinomial Derajat n Model Analisis Use case diagram direalisasikan dalam analisis model program kalkulator pencarian akar kompleks polinomial. Melalui analisi model, kebutuhan program akan dispesifikasikan kembali berdasarkan kebutuhan-kebutuhan yang telah dianalisis dan apa yang dapat program lakukan untuk membantu pengguna. Sebelum program kalkulator dibangun, dilakukan analisis struktur logika dari situasi permasalahan dan cara masing-masing elemen logika saling berinteraksi. Dalam penelitian ini, model analisis dilakukan dengan membuat robustness diagram, sequence diagram, dan class diagram Robustness Diagram Robustness diagram merupakan salah satu cara untuk menghasilkan analisis class diagram untuk sebuah use case. Berikut ini merupakan robustness diagram program kalkulator pencarian akar kompleks polinomial derajat n :

48 digilib.uns.ac.id 99 TampilanKalkulator ProsesKalkulator Gambar 4.12 Robustness Diagram Program Kalkulator Berdasarkan robustness diagram di atas, diketahui bahwa dalam porgram kalkulator pencarian akar kompleks polinomial derajat n terdapat satu boundary yakni TampilanKalkulator dan satu control yakni ProsesKalkulator. TampilanKalkulator merupakan model interaksi antara program kalkulator dengan pengguna. TampilanKalkulator berupa kelas antarmuka program. TampilanKalkulator ini telah mencakup seluruh tabulasi pada program yaitu tabulasi Polinomial Derajat 2, Polinomial Derajat 3, Polinomial Derajat 4, Polinomial Derajat n, dan About. Proses yang dilakukan kalkulator dalam mencari akar-akar kompleks polinomial terdapat dalam kelas control ProsesKalkulator Sequence Diagram Dalam sequence diagram dipaparkan interaksi objek yang disusun berdasarkan urutan proses dalam sistem. Proses yang terjadi pada masing-masing use case akan dijabarkan dalam bentuk interaksi objek sesuai dengan urutannya mulai dari inputan user hingga output yang dihasilkan. Berikut ini merupakan sequence diagram masing-masing use case : a. UC.1 Mencari akar kompleks polinomial derajat 2

49 digilib.uns.ac.id 100 : Pengguna : TampilanKalkulator : ProsesKalkulator 1 : input koefisien variabel x 2 : klik 'Penyelesaian dg Rumus Kuadrat 3 : inputkoefisien() 4 : validate() sd Jika input tidak valid 5 : menampilkan notifikasi sd Jika input valid 6 : inputmatlab() 7 : findingrootsusingmatlab() 8 : rumuskuadrat() 9 : hitunggalat() 10 : cetakpendekatanmatlab() 11 : cetakakar() 12 : cetakgalat() Gambar 4.13 Sequence Diagram UC.1 Mencari Akar Kompleks Polinomial Derajat 2

50 digilib.uns.ac.id 101 b. UC.2 Mencari akar kompleks polinomial derajat 3 : Pengguna : TampilanKalkulator : ProsesKalkulator 1 : input koefisien variabel x 2 : pilih algoritma 3 : klik 'OK' 4 : inputkoefisien() 5 : validate() sd Jika input tidak valid 6 : menampilkan notifikasi sd Jika input valid 7 : inputmatlab() 8 : findingrootsusingmatlab() 9 : perhitunganalgoritma() 10 : hitunggalat() 11 : cetakpendekatanmatlab() 12 : cetakakar() 13 : cetakgalat() 14 : cetakiterasi() Gambar 4.14 Sequence Diagram UC.2 Mencari Akar Kompleks Polinomial Derajat 3

51 digilib.uns.ac.id 102 c. UC.3 Mencari akar kompleks polinomial derajat 4 : Pengguna : TampilanKalkulator : ProsesKalkulator 1 : input koefisien variabel x 2 : pilih algoritma 3 : klik 'OK' 4 : inputkoefisien() 5 : validate() sd Jika input tidak valid 6 : menampilkan notifikasi sd Jika input valid 7 : inputmatlab() 8 : findingrootsusingmatlab() 9 : perhitunganalgoritma() 10 : hitunggalat() 11 : cetakpendekatanmatlab() 12 : cetakakar() 13 : cetakgalat() 14 : cetakiterasi() Gambar 4.15 Sequence Diagram UC.3 Mencari Akar Kompleks Polinomial Derajat 4

52 digilib.uns.ac.id 103 d. UC.4 Mencari akar kompleks polinomial derajat n : Pengguna : TampilanKalkulator : ProsesKalkulator 1 : input derajat polinomial 2 : klik 'OK' 3 : inputderajat() 4 : validate() sd Jika derajat tidak valid 5 : menampilkan notifikasi sd Jika derajat valid 7 : input koefisien variabel x 6 : menampilkan pilihan algoritma 8 : pilih algoritma 9 : klik 'OK' 10 : inputkoefisien() 11 : validate() sd Jika input tidak valid 12 : menampilkan notifikasi sd Jika input valid 13 : inputmatlab() 14 : findingrootsusingmatlab() 15 : perhitunganalgoritma() 16 : hitunggalat() 17 : cetakpendekatanmatlab() 18 : cetakakar() 19 : cetakgalat() 20 : cetakiterasi() Gambar 4.16 Sequence Diagram UC.4 Mencari Akar Kompleks Polinomial commit Derajat to user n

53 digilib.uns.ac.id Class Diagram Class diagram program kalkulator pencarian akar kompleks polinomial derajat n ditunjukkan pada Gambar <<control>> ProsesKalkulator <<boundary>> TampilanKalkulator +cetakpendekatanmatlab() +cetakakar() +cetakgalat() +cetakiterasi() +inputkoefisien() +inputmatlab() +findingrootsusingmatlab() +rumuskuadrat() +algoritmacardano() +algoritmavietes() +algoritmabairstow() +revisibairstow() +algoritmamuller() +hitunggalat() +inputderajat() Gambar 4.17 Class Diagram Program Kalkulator Implementasi Program Kalkulator Algoritma-algoritma khusus pencarian akar kompleks polinomial seperti algoritma rumus kuadrat (Alg 2.1), Cardano (Alg 2.2), Viete s (Alg 2.3), Bairstow (Alg 2.4), revisis algoritma Bairstow (Alg 2.5), dan Muller (Alg 2.6) diimplementasikan dalam sebuah program yang ditulis menggunakan bahasa pemrograman java. Di bawah ini akan dijelaskan mengenai implementasi algoritma-algoritma tersebut : Implementasi Algoritma Rumus Kuadrat Algoritma rumus kuadrat merupakan algoritma yang digunakan untuk mencari akar kompleks suatu persamaan polinomial berderajat dua. Algoritma rumus kuadrat (Alg 2.1) adalah algoritma sederhana. Gambar 4.18 merupakan flowchart algoritma rumus kuadrat.

54 digilib.uns.ac.id 105 Mulai Input koefisien a[] d=a[1]*a[1]-4*a[0] p=-a[1]/2 d >= 0? ya tidak q = (-sqrt(d)/2) x1 = p+"+"+q+"i" x2 = p+"-"+q+"i" x1 = (sqrt(d)/2)+p x2 = (-sqrt(d)/2)+p x1, x2 Selesai Gambar 4.18 Flowchart Rumus Kuadrat Berikut ini merupakan pseudocode implementasi algoritma rumus kuadrat : Algoritma Rumus Kuadrat {Algoritma ini digunakan untuk mencari akar kompleks polinomial derajat dua} Input : a[] Output : arrayakar[] Deskripsi Algoritma input(a) d a[1] * a[1] - 4 * a[0] p -a[1] / 2 IF (d >= 0) arrayakar[0] (sqrt(d)/2)+p arrayakar[1] (-sqrt(d)/2)+p ELSE q (-sqrt(d)/2) arrayakar[0] p+"+"+q+"i" arrayakar[1] p+"-"+q+"i" ENDIF RETURN arrayakar Implementasi Algoritma Cardano Penyelesaian persamaan polinomial derajat tiga dapat dilakukan dengan menggunakan algoritma Cardano. commit Dalam to algoritma user Cardano terdapat dua pilihan

55 digilib.uns.ac.id 106 penyelesaian persamaan polinomial derajat tiga. Pilihan penyelesaian tersebut bergantung pada nilai diskriminan yang dihasilkan. Flowchart algoritma Cardano dapat dilihat pada Gambar Mulai Input koefisien a[] p = ((3*a[1])-a[2]^2)/3 q = ((2*a[2]^3)/27)-(a[2]*a[1]/3)+a[0] diskriminan = ((p/3)^3)+((q/2)^2) cosa = -q/(2*sqrt(( p /3)^3) rad = acos(cosa) diskriminan > 0? ya tidak x1 = ((-a[2]/3)+(2*sqrt( p /3)*cos(rad/3))) x2 = ((-a[2]/3)-(2*sqrt( p /3)*cos(rad-pi()/3))) x3 = ((-a[2]/3)-(2*sqrt( p /3)*cos(rad+pi()/3))) u = (-1*(q/2))^(1/3)+ sqrt(diskriminan) v = (-1*(q/2))^(1/3)- sqrt(diskriminan) x1 = (-a[2]/3) +u+v y = (-a[2]/3)-((u+v)/2) z = ((u-v)/2) * sqrt(3) x2 = y+"+"+z+"i" x3 = y+"-"+z+"i" x1, x2,x3 Selesai Gambar 4.19 Flowchart Algoritma Cardano Secara keseluruhan, algoritma Cardano (Alg 2.2) dapat dijabarkan dalam pseudocode berikut ini : Algoritma Cardano {Algoritma ini digunakan untuk mencari akar kompleks polinomial derajat tiga} Input : a[] Output : arrayakar[] Deskripsi Algoritma

56 digilib.uns.ac.id 107 input(a) p ((3*a[1])-a[2]^2)/3 q ((2*a[2]^3)/27)-(a[2]*a[1]/3)+a[0] diskriminan ((p/3)^3)+((q/2)^2) IF (diskriminan > 0) u cbrt(-1*(q/2))+ sqrt(diskriminan) v cbrt(-1*(q/2))- sqrt(diskriminan) w (-a[2]/3) + u + v arrayakar[0] w y (-a[2]/3)-((u+v)/2) z ((u-v)/2) * sqrt(3) arrayakar[1] y+"+"+z+"i" arrayakar[2] y+"-"+z+"i" ELSE IF (diskriminan <= 0) cosa -q/(2*sqrt(( p /3)^3) rad acos(cosa) arrayakar[0] ((-a[2]/3)+(2*sqrt( p /3)*cos(rad/3))) arrayakar[1] ((-a[2]/3)-(2*sqrt( p /3)*cos(rad-pi()/3))) arrayakar[2] ((-a[2]/3)-(2*sqrt( p /3)*cos(rad+pi()/3))) ENDIF RETURN arrayakar Implementasi Algoritma Viete s Algoritma Viete s merupakan algoritma penyelesaian persamaan polinomial derajat tiga. Gambar 4.20 merupakan flowchart algoritma Viete s. Mulai Input koefisien a[] omega1 = (-1 + sqrt(3) i) / 2 omega2 = (-1 - sqrt(3) i) / 2 p = ((3*a[1]) a[2]^2) / 3 q = ((2*a[2]^3)/27) (a[2]*a[1]/3) + a[0] c = (-q/2) + sqrt((p^3/27) + (q^2/4)) r = c^(1/3) d = -p/3 x1=r+(d/r) x2 = (omega1*r) + (d/(omega1*r)) x3 = (omega2*r) + (d/(omega2*r)) x1, x2,x3 Selesai Gambar 4.20 Flowchart Algoritma Viete s

57 digilib.uns.ac.id 108 Dalam pembangunan kalkulator pencarian akar kompleks polinomial, algoritma Viete s (Alg 2.3) dapat dijabarkan dalam pseudocode berikut : Algoritma Viete s {Algoritma ini digunakan untuk mencari akar kompleks polinomial derajat tiga} Input : a[] Output : arrayakar[] Deskripsi Algoritma input(a) omega1-0.5 imomega1 0.5 * sqrt(3) omega2-0.5 imomega2-0.5 * sqrt(3) p ((3*a[1]) a[2]^2) / 3 q ((2*a[2]^3)/27) (a[2]*a[1]/3) + a[0] d -p/3 imd 0.0 dd (p^3/27) + (q^2/4) IF (dd < 0) c (-q/2) imc sqrt(-1*dd) ELSE c (-q/2) + sqrt(dd) imc 0.0 ENDIF normc sqrt(c^2 + imc^2) taninvers atan(imc/c) tetha 0.0 IF (c > 0 imc > 0) tetha todegrees(taninvers) //kuadran 1 ELSE IF( c < 0 imc > 0) tetha todegrees(taninvers) // kuadran 2 ELSE IF ( c < 0 imc < 0) Tetha todegrees(taninvers) // kuadran 3 ELSE IF ( c > 0 imc < 0) tetha todegrees(taninvers) // kuadran 4 ENDIF r normc^(1/3) * cos(toradians(tetha/3) im r normc^(1/3) * sin(toradians(tetha/3) dr ((d*r) + (imd*imr)) / (r^2+imr^2) imdr ((-imr*d) + (imd*r)) / (r^2 + imr^2) z1 r + dr imz1 imr + imdr omega1r (omega1*r) (imomega1*imr) imomega1r (omega1*imr) + (imomega1*r) omega2r (omega2*r) (imomega2*imr) imomega2r (omega2*imr) + (imomega2*r) domega1r ((d*omega1r)+(imd*imomega1r)) / (omega1r^2+imomega1r^2) imdomega1r ((-imomega1r*d)+(imomega1r*imd)) / (omega1r^2+imomega1r^2) z2 omega1r + domega1r imz2 imomega1r + imdomega1r domega2r ((d*omega2r)+(imd*imomega2r)) / (omega2r^2+imomega2r^2) imdomega2r ((-imomega1r*d)+(imomega1r*imd)) / (omega1r^2+imomega1r^2) z3 omega2r + domega2r

58 digilib.uns.ac.id 109 imz3 imomega2r + imdomega2r arrayakar[0] z1+"+"+ imz1+"i" arrayakar[1] z2+"+"+ imz2+"i" arrayakar[2] z3+"+"+ imz3+"i" RETURN arrayakar Implementasi Algoritma Bairstow Algoritma Bairstow digunakan untuk menyelesaikan persamaan polinomial berderajat n. Algoritma Bairstow menggunakan sistem iterasi dalam mencari akar polinomial berderajat n. Flowchart algoritma Bairstow tertera pada Gambar 4.21.

59 digilib.uns.ac.id 110 Mulai Input koefisien a[], n Ɛ =1E-8 u=0 v=0 k=0 k=(n-1)? tidak b[k] = a[k]+b[k-1]u+b[k-2]v k++ ya k=0 tidak k=(n-2)? tidak c[k] = b[k] + c[k-1]u + c[k-2]v k++ ya tidak Δu=b[n] * c[n-3] - b[n-1] * c[n-2] / (c[n-2] * c[n-2]) - c[n-1] * c[n-3] Δv=b[n-1] * c[n-1] - b[n] * c[n-2] / (c[n-2] * c[n-2]) - c[n-1] * c[n-3] u=u+du v=v+dv Δu + Δv < Ɛ sq=u*u+4*v sq < 0? tidak x[n-1] = u/2 + sqrt(-sq) / 2 x[n-2] = u/2 +-sqrt(-sq) / 2 ya x[n-1] = u/2 + sqrt(-sq) / 2 i x[n-2] = u/2 +-sqrt(-sq) / 2 i n=n 2 a[] = b[] n=1? tidak n=2? ya x[0] = -a[0] / a[1] u = -a[n-1] / a[n-2] v = -a[n] / a[n-2] sq= u*u+4*v sq < 0? tidak x[n-1] = u/2 + sqrt(-sq) / 2 x[n-2] = u/2 +-sqrt(-sq) / 2 ya x[n-1] = u/2 + sqrt(-sq) / 2 i x[n-2] = u/2 +-sqrt(-sq) / 2 i x1, x2,x3,...,xn Selesai Gambar 4.21 Flowchart Algoritma Bairstow

60 digilib.uns.ac.id 111 Berikut ini merupakan pseudocode algoritma Bairstow (Alg 2.4) yang digunakan dalam pembangunan kalkulator pencarian akar kompleks polinomial : Algoritma Bairstow {Algoritma ini digunakan untuk mencari akar kompleks polinomial derajat n} Input : a[], n Output : arrayakar[] Deskripsi Algoritma input(a) input(n) epsilon 1e-8 //nilai toleransi WHILE (n >= 3) DO u 0 v 0 error 1 c[n] b[n] a[n] WHILE (error > epsilon) DO b[n-1] a[n-1] + u * b[n] c[n-1] b[n-1] + u * c[n] FOR (i = n - 2; i > 0; i--) DO b[i] a[i] + u * b[i+1] + v * b[i+2] c[i] b[i] + u * c[i+1] + v * c[i+2] ENDFOR b[0] a[0] + u * b[1] + v * b[2] det (c[2] * c[2]) - c[1] * c[3] nu b[0] * c[3] - b[1] * c[2] nv b[1] * c[1] - b[0] * c[2] IF (det == 0) du dv 1 ELSE du nu / det dv nv / det ENDIF u u + du v v + dv error sqrt(du * du + dv * dv) ENDWHILE sq = u * u + 4 * v IF (sq < 0) p u/2 q sqrt(-sq) / 2 arrayakar[n-1] p+ + +q+ i arrayakar[n-2] p+ - +q+ i ELSE arrayakar[n-1] (u/2)+(sqrt((s*q)/2)) arrayakar[n-2] (u/2)-(sqrt((s*q)/2)) ENDIF n n - 2 FOR (i = 0; i < n + 1; i++) DO a[i] b[i+2] ENDFOR ENDWHILE IF (n == 2) u -a[1] / a[2] v -a[0] / a[2]

61 digilib.uns.ac.id 112 sq u * u + 4 * v IF (sq < 0) p u/2 q sqrt(-sq) / 2 arrayakar[0] p+ + +q+ i arrayakar[1] p+ - +q+ i ELSE arrayakar[0] (u/2)+(sqrt((s*q)/2)) arrayakar[1] (u/2)-(sqrt((s*q)/2)) ENDIF ELSE IF (n == 1) arrayakar[0] -a[0] / a[1] ENDIF RETURN arrayakar Implementasi Revisi Algoritma Bairstow Revisi algoritma Bairstow (Alg 2.5) merupakan pengembangan algoritma Bairstow (Alg 2.4). Langkah-langkah yang dilakukan dalam revisi algoritma Bairstow sama persis dengan algoritma Bairstow. Perbedaan dari kedua algoritma tersebut hanya terdapat pada rumus yang digunakan dalam menentukan nilai u dan v yang akan berpengaruh pada nilai u dan v. Flowchart revisi algoritma Bairstow adalah sebagai berikut :

62 digilib.uns.ac.id 113 Mulai Input koefisien a[], n Ɛ =1E-8 u=0 v=0 k=0 k=(n-1)? tidak b[k] = a[k]+b[k-1]u+b[k-2]v k++ ya k=0 tidak k=(n-2)? tidak c[k] = b[k] + c[k-1]u + c[k-2]v k++ ya tidak Δu = (b[n-1] * c[n-2]) - (b[n] * c[n-3]) / ((c[n-1]-b[n-1]) * c[n-3]) - (c[n-2] * c[n-2]) Δv = (b[n] * c[n-2]) - (b[n-1] * (c[n-1]-b[n-1])) / ((c[n-1]-b[n-1]) * c[n-3]) - (c[n-2] * c[n-2]) u=u+du v=v+dv Δu + Δv < Ɛ sq=u*u+4*v sq < 0? tidak x[n-1] = u/2 + sqrt(-sq) / 2 x[n-2] = u/2 +-sqrt(-sq) / 2 ya x[n-1] = u/2 + sqrt(-sq) / 2 i x[n-2] = u/2 +-sqrt(-sq) / 2 i n=n 2 a[] = b[] n=1? tidak n=2? x[0] = -a[0] / a[1] ya u = -a[n-1] / a[n-2] v=-a[n]/a[n-2] sq= u*u+4*v sq < 0? tidak x[n-1] = u/2 + sqrt(-sq) / 2 x[n-2] = u/2 +-sqrt(-sq) / 2 ya x[n-1] = u/2 + sqrt(-sq) / 2 i x[n-2] = u/2 +-sqrt(-sq) / 2 i x1, x2,x3,...,xn Selesai Gambar 4.22 Flowchart Revisi Algoritma Bairstow

63 digilib.uns.ac.id 114 Berikut ini merupakan pseudocode dari revisi algoritma Bairstow : Revisi Algoritma Bairstow {Algoritma ini digunakan untuk mencari akar kompleks polinomial derajat n} Input : a[], n Output : arrayakar[] Deskripsi Algoritma input(a) input(n) epsilon 1e-8 //nilai toleransi WHILE (n >= 3) DO u 0 v 0 error 1 c[n] b[n] a[n] WHILE (error > epsilon) DO b[n-1] a[n-1] + u * b[n] c[n-1] = b[n-1] + u * c[n]; FOR (i = n - 2; i > 0; i--) DO b[i] a[i] + u * b[i+1] + v * b[i+2] c[i] b[i] + u * c[i+1] + v * c[i+2] ENDFOR b[0] a[0] + u * b[1] + v * b[2] det ((c[1]-b[1]) * c[3]) - (c[2] * c[2]) nu (b[1] * c[2]) - (b[0] * c[3]) nv (b[0] * c[2]) - (b[1] * (c[1]-b[1])) IF (det == 0) du dv 1 ELSE du nu / det dv nv / det ENDIF u u + du v v + dv error sqrt(du * du + dv * dv) ENDWHILE sq = u * u + 4 * v IF (sq < 0) p u/2 q sqrt((-s*q)/2) arrayakar[n-1] p+ + +q+ i arrayakar[n-2] p+ - +q+ i ELSE arrayakar[n-1] (u/2)+(sqrt((s*q)/2)) arrayakar[n-2] (u/2)-(sqrt((s*q)/2)) ENDIF n n - 2 FOR (i = 0; i < n + 1; i++) DO a[i] b[i+2] ENDFOR ENDWHILE IF (n == 2) u -a[1] / a[2]; v -a[0] / a[2]; sq u * u + 4 * v; IF (sq < 0)

64 digilib.uns.ac.id 115 p u/2 q arrayakar[0] p+ + +q+ i arrayakar[1] p+ - +q+ i ELSE arrayakar[0] (u/2)+(sqrt((s*q)/2)) arrayakar[1] S(u/2)-(sqrt((s*q)/2)) ENDIF ELSE IF (n == 1) arrayakar[0] -a[0] / a[1] ENDIF RETURN arrayakar Implementasi Algoritma Muller Algoritma Muller merupakan generalisasi dari metode secant dimana dalam mencari akar kompleks dilakukan dengan beberapa perulangan hingga nilai akar konvergen. Flowchart algoritma Muller ditampilkan pada Gambar 4.23.

65 digilib.uns.ac.id 116 Mulai Input koefisien a[] dan b[]=null, n, epsilon = 1E-8 J=0 x0 = 1, x2 = 2, x3 = 3 h0 = x0 - x2, h1 = x1 - x2 h2 = h0 * h1 * (h0 h1) f0 = f(x0), f1 = f(x1), f2 = f(x2) a = ((h1*(f0-f2))-(h0*(f1-f2)))/h2 b = (((h0^2)*(f1-f2))- ((h1^2)*(f0-f2)))/h2 c = f(x2) D = sqrt((b^2)-(4*a*c)) b>=0? tidak x3 = x2 ((2c)/(b-D)) y=c tidak ya x3 = x2 ((2c)/ (b+d)) y=c y > epsilon? tidak x0 = x1, x1 = x2, x2 = x3 ya x[n-1] = x3 b[] = a[] n=n-1 i=n n=1? tidak i>-1? ya ya x[n-1] = -1*a[0] i=n? tidak a[] = b[i+1] + (a[i+1]*x3) i-- ya x1, x2,x3,...,xn a[] = b[i+1] i-- Selesai Gambar 4.23 Flowchart Algoritma Muller

66 digilib.uns.ac.id 117 Di bawah ini merupakan psuedocode pada implementasi algoritma Muller dalam program kalkulator : Algoritma Muller {Algoritma ini digunakan untuk mencari akar kompleks polinomial derajat n} Input : a[], n Output : arrayakar[] Deskripsi Algoritma input(a) input(n) epsilon 1e-8 m n FOR (int i = 0; i <= n; i++) DO b[i] 0.0 ENDFOR FOR (int j=0; j < (m-1); j++)do loop false x0 = 1.0 x1 = 2.0 x2 3.0 WHILE (loop == false)do h0 x0 - x2 h1 x1 - x2 h2 h0 * h1 * (h0 h1) f0 f(x0) f1 f(x1) f2 f(x2) a ((h1*(f0-f2))-(h0*(f1-f2)))/h2 b (((h0^2)*(f1-f2))- ((h1^2)*(f0-f2)))/h2 c f(x2) D sqrt((b^2)-(4*a*c)) IF (b >= 0)DO x3 x2 ((2c)/(b+D)) ELSE x3 x2 ((2c)/(b-D)) ENDIF y c IF ( y > epsilon) DO x0 x1 x1 x2 x2 x3 loop false ELSE arrayakar[n-1] x3 loop true ENDIF ENDWHILE System.arraycopy(a, 0, b, 0, n+1) n n 1 FOR (int i = n; i > -1 ; i--)do IF ( i == n)do a[i] b[i+1] ELSE a[i] b[i+1] + (a[i+1]*x3) ENDIF

67 digilib.uns.ac.id 118 ENDFOR IF ( n == 1)DO arrayakar[n-1] -1*a[0] ENDIF ENDFOR RETURN arrayakar 4.4 Hasil Implementasi Program Kalkulator Algoritma-algoritma khusus pencarian akar kompleks polinomial seperti rumus kuadrat (Alg 2.1), Cardano (Alg2.2), Viete s (Alg 2.3), Bairstow (Alg 2.4), revisi Bairstow (2.5), dan Muller (Alg 2.6) diimplementasikan dalam bahasa Java. Antarmuka program kalkulator dibuat sederhana untuk memudahkan pengguna. Tampilan antarmuka implementasi program kalkulator pencarian akar kompleks polinomial derajat n dapat dilihat pada Gambar keterangan lebih lanjut mengenai program dapat dilihat pada Lampiran 1. Gambar 4.24 Antarmuka Program Kalkulator Pencarian Akar Kompleks Polinomial Derajat n