BAB II TINJAUAN PUSTAKA

Transkripsi

1 digilib.uns.ac.id BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Landasan Teori Dasar-dasar teori yang digunakan sebagai landasan utama dalam penelitian ini, antara lain sebagai berikut: Polinomial Persamaan polinomial (atau persamaan bilangan bulat rasional) diperoleh apabila suatu polinomial dalam satu variabel ditetapkan sama dengan nol. Bentuk standar suatu persamaan polinomial adalah sebagai berikut : (2.1) dimana a disebut sebagai koefisien polinomial yang merupakan bilangan riil dan n merupakan derajat polinomial berupa bilangan bulat positif. Suku-suku pangkat dari x disusun dalam derajat menurun. Apabila tidak terdapat sebuah suku, maka nilai koefisien dari suku tersebut adalah nol. Koefisien tidak memiliki faktor umum kecuali ± 1, dan. Suku disebut sebagai suku terdepan, adalah suku konstanta, dan disebut koefisien terdepan (Frank & Schmidt, 2004). Persamaan polinomial dibedakan menjadi beberapa jenis. Polinomial dengan koefisien dari variabel x berderajat tertinggi sama dengan 1 disebut sebagai polinomial monoid. Bentuk polinomial monoid adalah sebagai berikut : (2.2) Berikut ini merupakan contoh-contoh polinomial berdasarkan derajat polinomial : a. Polinomial kuadrat Polinomial berderajat dua disebut juga sebagai polinomial kuadrat atau quadratic polinomial. Polinomial ini memiliki pangkat tertinggi suku x adalah 2 (n = 2). Bentuk polinomial kuadrat adalah sebagai berikut (Harris & Stocker, 1998) : (2.3) Contoh grafik polinomial derajat dua yaitu terdapat pada Gambar

2 digilib.uns.ac.id y x Gambar 2.1 Grafik polinomial b. Polinomial kubik Polinomial kubik atau cubic polinomial merupakan polinomial berderajat tiga dimana nilai pangkat tertinggi x adalah tiga (n = 3). Contoh : (2.4) dengan a, b, c, d merupakan bilangan real dan a 0 (Bronshtein et al.,2015). Salah satu contoh persamaan polinomial kubik adalah dengan grafik seperti berikut : y 50 x Gambar 2.2 Grafik Polinomial c. Polinomial kuartik Polinomial kuartik atau quartic polinomial merupakan polinomial berderajat empat dimana nilai pangkat tertinggi x adalah empat (n = 4). Contoh : (2.5)

3 digilib.uns.ac.id 8 Contoh polinomial kuartik adalah ditampilkan dalam Gambar 2.3. y x Gambar 2.3 Grafik Polinomial d. Polinomial berderajat n Polinomial derajat n merupakan polinomial dengan nilai pangkat tertinggi dari variabel x adalah n. Persamaan polinomial berderajat n memiliki bentuk : (2.6) dimana merupakan bilangan real (James, Smith & Wolford, 2000). Salah satu contoh polinomial derajat n adalah. Grafik sampel polinomial ditampilkan pada Gambar 2.4 berikut : y x Gambar 2.4 Grafik Polinomial

4 digilib.uns.ac.id 9 Sebuah persamaan polinomial f(x) = 0 akan memiliki akar polinomial r jika dan hanya jika f(r) = 0. Dengan demikian, absis dari titik perpotongan dari grafik y = f(x) dan sumbu x adalah akar-akar dari f(x) = 0. Akar-akar sebuah persamaan polinomial dapat berupa akar-akar kompleks, akar-akar irasional, dan akar-akar rasional. Berikut ini merupakan penjelasannya : a. Apabila persamaan polinomial f(x) = 0 memiliki koefisiean real dan jika bilangan kompleks a + bi adalah akar dari f(x) = 0, maka konjugasi (sekawan) kompleks a bi juga merupakan akar persamaan polinomial tersebut. b. Apabila bilangan irasional merupakan salah satu akar dari sebuah persamaan polinomial f(x) = 0 dimana a dan b adalah bilangan rasional, maka irasional konjugasi juga merupakan akar polinomial tersebut. Berdasarkan bentuk polinomial, maka dapat diketahui bahwa (James, Smith & Wolford, 2000) : a. Setiap persamaan polinomial f(x) memiliki sedikitnya satu akar, bilangan real atau bilangan kompleks. b. Suatu persamaan polinomial derajat n mempunyai tepat n akar. Ke n akar ini mungkin tidak semuanya berbeda. c. Terdapat setidaknya satu akar real jika n merupakan bilangan bulat ganjil d. Apabila f(x) = 0 merupakan persamaan polinomial, maka persamaan f(-x) = 0 mempunyai akar-akar negatif dari akar f(x) = 0. Misalnya, persamaan mempunyai akar 2, -2, -3; maka persamaan adalah -2, 2, 3. e. Banyaknya akar positif dari persamaan polinomial f(x) = 0, dengan koefisien real, sama dengan banyaknya variasi tanda dalam f(x) atau banyaknya bilangan tersebut dikurangi suatu bilangan genap. Dikatakan variasi tanda yaitu apabila suatu polinomial disusun dalam variabel dengan derajat menurun, dan terdapat dua suku berurutan yang memiliki tanda berbeda. Dengan demikian, banyaknya akar negatif dari f(x) = 0 sama dengan banyaknya akar positif dari f(-x) =0 (Aturan tanda Descrates). Misalnya, mempunyai satu variasi tanda, f(-x) = 0 mempunyai satu akar positif dan f(x) = 0 mempunyai satu akar negatif. f. Memungkinkan terjadinya nilai commit akar yang to user sama

5 digilib.uns.ac.id 10 g. Akar kompleks terjadi pada pasangan konjugasi (pasangan sekawan) Pencarian akar kompleks polinomial derajat dua dapat dilakukan dengan menggunakan metode analitik seperti rumus kuadrat dan pembagian horner, sedangkan untuk menyelesaikan polinomial berderajat tiga atau lebih dapat dilakukan dengan metode numerik menggunakan algoritma-algoritma khusus pencarian akar kompleks polinomial. Di bawah ini akan dijelaskan lebih detail mengenai beberapa metode yang dapat digunakan untuk mencari akar kompleks polinomial : Rumus Kuadrat Polinomial berderajat dua atau yang disebut juga persamaan kuadrat memiliki bentuk seperti yang tertera pada Persamaan 2.3. Dalam penyelesaian persamaan kuadrat dengan bentuk seperti Persamaan 2.3 memuat bentuk akar, bentuk aljabar disebut sebagai diskriminan. Nilai diskriminan akan menentukan sifat dan banyaknya akar-akar polinomial yang dihasilkan. Persamaan 2.3 dapat dituliskan dalam bentuk lain seperti yang tertera pada Persamaan 2.6. (2.6) dimana nilai p didapat dari dan nilai q didapat dari (Harris & Stocker, 1998). Nilai diskriminan untuk persamaan polinomial kuadrat monoid seperti yang tertera pada Persamaan 2.6 dapat ditentukan berdasarkan rumus berikut : (2.7) Berdasarkan nilai diskrimanannya, polinomial kuadrat memiliki sifat-sifat seperti di bawah ini : 1. Apabila D > 0, maka memiliki dua akar real yang berbeda yaitu. 2. Apabila D = 0, maka memiliki dua akar real yang sama yaitu. 3. Apabila D < 0, maka memiliki pasangan penyelesaian yang kompleks yaitu

6 digilib.uns.ac.id 11 Berikut ini merupakan grafik masing-masing sifat polinomial berdasarkan nilai diskriminan : y 900 y x x Gambar 2.5 Grafik persamaan dimana D > 0 Gambar 2.6 Grafik persamaan dimana D = 0 y x Gambar 2.7 Grafik persamaan dimana D < 0 Penyelesaikan polinomial kuadrat seperti pada Persamaan 2.3 dapat dilakukan dengan rumus kuadrat berikut : polinomial kuadrat yang tertera pada commit Persamaan to user 2.6 adalah sebagai berikut : (2.8) Berdasarkan rumus kuadrat di atas, maka penyelesaian bentuk standar

7 digilib.uns.ac.id 12 (2.9) Rumus ini berlaku tanpa ada batasan jika domain variabilitas merupakan himpunan bilangan kompleks. Apabila dibatasi untuk bilangan real, maka D 0 harus terpenuhi. Dalam algoritma rumus kuadrat, input yang dimasukkan yaitu berupa persamaan polinomial seperti pada Persamaan 2.3 dan output yang dihasilkan berupa dua akar polinomial yaitu dan dimana kedua akar tersebut dapat berupa bilangan real maupun bilangan kompleks. Langkah-langkah algoritma rumus kuadrat dijabarkan dalam Alg 2.1 berikut : 1. Menginputkan persamaan polinomial kuadrat seperti pada Persamaan Mengubah bentuk polinomial menjadi polinomial monoid seperti pada Persamaan 2.6 serta menentukan nilai p dan q dimana nilai p didapat dari dan nilai q didapat dari. 3. Menentukan nilai diskriminan menggunakan Persamaan Menghitung akar kompleks polinomial dengan menggunakan Persamaan 2.9 sehingga dihasilkan dan Algoritma Cardano Polinomial kubik merupakan suatu polinomial yang berderajat tiga dengan bentuk umum seperti yang tertera dalam Persamaan 2.4, yaitu : dimana a, b, c, d merupakan bilangan real dan a 0. Apabila Persamaan 2.4 dibagi dengan a akan menghasilkan bentuk polinomial monoid derajat tiga seperti berikut: (2.10) dimana masing-masing nilai r, s, dan t didapat dari perhitungan berikut : Penyelesaian polinomial kubik dapat dilakukan dengan menggunakan algoritma Cardano. Algoritma Cardano diterbitkan oleh Girolamo Cardano ( ) dalam tulisannya Ars Magna (Weisstein, n.d). Penyelesaian polinomial kubik dengan bentuk seperti Persamaan 2.10 dapat diselesaikan dengan menggunakan algoritma Cardano. Input algoritma Cardano adalah persamaan polinomial seperti

8 digilib.uns.ac.id 13 yang tertera pada Persamaan 2.10 dan menghasilkan akar-akar polinomial ( dan ) sebagai outputnya. Langkah-langkah algoritma Cardano dapat dijabarkan dalam Alg 2.2 berikut (Harris dan Stocker, 1998) : 1. Menginputkan polinomial yang akan dicari akarnya dalam bentuk Persamaan 2.10 dan menentukan nilai variabel r, s, dan t. 2. Mensubtitusikan nilai y pada Persamaan 2.10 dimana nilai y didapat dari : (2.11) Subsitusi nilai y akan mengasilkan persamaan tereduksi seperti yang tertera pada persamaan berikut : (2.12) Kemudian menentukan nilai p dan q dengan menggunakan rumus berikut : 3. Menghitung nilai diskriminan persamaan tereduksi. Nilai diskriminan direpresentasikan dalam variabel D berikut : (2.13) 4. Menentukan cara penyelesaian polinomial kubik menggunakan algoritma Cardano dan menghitung akar-akar polinomial ( dan ). Dalam algoritma Cardano terdapat dua penyelesaian persamaan polinomial. Penyelesaian tersebut ditentukan berdasarkan nilai diskriminan yang dihasilkan. Berdasarkan nilai diskriminan, persamaan polinomial kubik memiliki sifat-sifat berikut (Harris & Stocker, 1998) : a. Apabila nilai D > 0 akan menghasilkan satu akar bilangan riil dan dua akar kompleks sekawan. b. Apabila D = 0 akan menghasilkan tiga akar bilangan riil dengan dua akar sama (a double solution). c. Apabila D < 0 akan menghasilkan tiga akar riil yang berbeda. Pada kondisi D < 0 disebut sebagai irreducible case dimana persamaan polinomial tidak dapat tereduksi sehingga penyelesaian diselesaikan dengan menggunakan aturan trigonometri.

9 digilib.uns.ac.id 14 Penyelesaian polinomial kubik dengan D 0 dapat dilakukan dengan menggunakan langkah berikut : a. Menghitung nilai u dan v yang didapat dari : (2.14) (2.15) b. Menghitung nilai akar polinomial kubik dengan menggunakan persamaan berikut : dimana nilai. (2.16) (2.17) Pada kasus irreducibe case dimana nilai D < 0 diterapkan rumus berikut untuk mencari akar-akar polinomialnya : (2.18) sehingga solusi dari persamaan tereduksi Persamaan 2.12 adalah sebagai berikut : (2.19) (2.20) (2.21) Algoritma Viete s Penyelesaian polinomial kubik dapat juga dilakukan dengan menggunakan algoritma Viete s. Algoritma Viete s merupakan metode yang diusulkan oleh matematikawan Perancis, Farnciscus Vieta ( ). Algoritma Viete s ini digunakan untuk mencari akar polinomial derajat tiga bentuk tereduksi seperti yang tertera pada Persamaan 2.12.

10 digilib.uns.ac.id 15 Dikutip dari Tutorial Exercises for Solving Cubic Equations yang ditulis oleh John H. Mathews yang diadopsi dari Henderson (1930), pencarian akar polinomial dilakukan menggunakan nilai kesatuan akar kubik seperti : (2.22) (2.23) Input algoritma Viete s merupakan persamaan kubik monoid seperti yang tertera pada Persamaan 2.10 dan menghasilkan tiga akar polinomial dan sebagai output. Berikut ini merupakan langkah-langkah algoritma Viete s yang tertuang dalam Alg 2.3 : 1. Menginputkan persamaan polinomial kubik monoid (Persamaan 2.10) dan mengubahnya menjadi persamaan tereduksi (Persamaan 2.12) dengan mensubsitusikan Persamaan 2.11 ke Persamaan Kemudian menentukan nilai p dan q. 2. Menghitung nilai variabel c 3. Menghitung nilai r (2.24) 4. Menghitung nilai d (2.25) (2.26) 5. Menentukan akar-akar polinomial dan dengan menggunakan Persamaan 2.22 dan Persamaan 2.23 dalam perhitungan akarnya. Berikut merupakan detail perhitungan pancarian akar polinomial kubik : (2.27) (2.28) (2.29) Algoritma Bairstow Algoritma Bairstow merupakan metode iteratif yang dapat digunakan untuk mencari akar polinomial berderajat commit n. Algoritma to user melibatkan pencarian faktor

11 digilib.uns.ac.id 16 kuadrat yaitu dalam polinomial. Perhitungan mulai dilakukan dengan menentukan nilai u dan v yang tepat, kemudian proses iterasi akan terkonvergen pada nilai u dan u yang tepat dimana dengan kedua nilai tersebut yang membentuk faktor kuadrat akan menghasilkan dua akar polinomial. Algoritma Bairstow menggunakan persamaan polinomial derajat n dengan bentuk monoid sebagai input dan akar-akar polinomial, sebagai output. Langkah-langkah dalam algoritma Bairstow untuk mencari akar kompleks polinomial (James, Smith & Wolford, 2000) dijabarkan dalam Alg 2.4 berikut: 1. Menentukan nilai awal u dan v. Nilai u dan v yang dipilih harus tepat. Apabila nilai u dan v tidak tepat, maka ketika iterasi tidak menghasilkan nilai u dan v yang konvergen. Untuk menentukan nilai u dan v dapat dilakukan dengan cara berikut ini : (2.30) dimana a merupakan koefisien dari polinomial derajat n. Namun, pada beberapa kasus, kebanyakan nilai yang digunakan yaitu 2. Menghitung nilai dengan rumus berikut : (2.31) dengan nilai k = 2, 3,..., n. Berikut ini merupakan detail perhitungan nilai dengan pembagian sintesis : Dan sisanya =

12 digilib.uns.ac.id 17 Konsep dasar algoritma Bairstow adalah untuk mengurangi nilai sisa yang dihasilkan agar mendekati nol sehingga dapat menghasilkan pendekatan akar yang memuaskan. Dengan demikian nilai dan harus mendekati nol. 3. Dari nilai u, v, dan b, langkah yang harus dilakukan selanjutnya adalah menghitung nilai dengan rumus berikut : (2.32) dengan nilai k = 2, 3,..., n-1. Dimana dan. 4. Nilai dan didapat dengan menghitung persamaan berikut: (2.33) (2.34) 5. Menghitung nilai u dan v untuk perhitungan iterasi berikutnya. (2.35) (2.36) 6. Mengulang langkah poin 2 hingga didapat nilai dan mendekati nol dan memenuhi nilai ε sebagai berikut: (2.37) 7. Apabila dan mendekati telah mendekati nol dan Persamaan 2.37 telah terpenuhi, maka nilai u dan v yang telah didapat kemudian disubtitusikan ke dalam persamaan berikut: (2.38) Menghitung akar dari persamaan kuadrat yang dihasilkan menggunakan rumus kuadrat seperti yang tertera pada Persamaan 2.8, dengan nilai b merupakan nilai dari u, nilai a sama dengan nol, dan nilai c sama dengan v. Dengan demikian, maka akar 1 dan akar 2 dari persamaan polinomial telah didapat. 8. Perhitungan akar berikutnya dilakukan dengan mengulangi langkah 1 untuk persamaan dan sisa yang dihasilkan pada nilai akhir merupakan nilai b.

13 digilib.uns.ac.id Revisi Algoritma Bairstow Polinomial berderajat n pada algoritma Bairstow dapat dibagi dengan faktor kuadrat untuk mendapatkan persamaan polinomial berderajat n-2 ditambah sisa. Sisa persamaan tersebut memiliki bentuk : Apabila u dan v memiliki nilai dimana faktor kuadrat memuat dua akar dari polinomial derajat n, maka sisanya harus bernilai nol. Nilai u dan v ditemukan dimana nilai dan mendekati nol. Berikut ini merupakan pendekatan alternatif untuk menunjukkan sisa yaitu : dan mencari nilai u dan v dimana nilai r dan s harus mendekati nol. Hal ini dapat dilakukan dengan menerapkan dan dalam Taylor series. Nilai dan ditentukan dimana niali r dan s mendekati nol, sehingga : (2.39) Dari persamaan berikut : (2.40) dan maka, Persamaan 2.39 menjadi : (2.41) Sedangkan persamaan 2.40 dapat ditulis sebagai berikut : (2.42) Mengubah sebagian turunan dengan nilai c yang berkaitan dengan persamaan di atas, serta mengubah dengan menggunakan Persamaan 2.41, maka didapat : (2.43)

14 digilib.uns.ac.id 19 Solusi untuk dan dari Persamaan 2.41 dan 2.43 pada algoritma Revisi Bairstow adalah sebagai berikut (James, Smith & Wolford, 2000) : (2.44) (2.45) Revisi Algoritma Bairstow menggunakan persamaan polinomial derajat n dengan bentuk monoid sebagai input dan akar akar polinomial, sebagai output. Berdasarkan penjelasan di atas, maka langkah-langkah dalam revisi algoritma Bairstow (James, Smith & Wolford, 2000) dijabarkan dalam Alg 2.5 berikut: 1. Menentukan nilai awal u dan v. Nilai u dan v yang dipilih harus tepat. Nilai u dan v dapat dilakukan dengan menggunakan Persamaan 2.30 atau menggunakan nilai yang banyak digunakan dalam beberapa kasus yaitu 2. Menghitung nilai menggunakan rumus Persamaan 2.31 serta menghitung nilai menggunakan Persamaan Menentukan nilai dan dengan menghitung Persamaan 2.44 dan Persamaan Menghitung nilai u dan v untuk perhitungan iterasi berikutnya dengan Persamaan 2.35 dan Persamaan 2.36 seperti berikut : 5. Mengulang langkah poin 2 hingga didapat nilai dan mendekati nol dan memenuhi Persamaan 2.37 yaitu. 6. Apabila dan mendekati telah mendekati nol dan Persamaan 2.37 telah terpenuhi, maka nilai u dan v yang telah didapat kemudian disubtitusikan ke dalam Persamaan Kemudian menghitung akar dari persamaan kuadrat yang dihasilkan menggunakan rumus kuadrat seperti yang tertera pada Persamaan 2.8, dengan nilai b merupakan nilai dari u, nilai a sama dengan nol, dan nilai c sama dengan v sehingga akar 1 dan akar 2 dari persamaan polinomial telah didapat.

15 digilib.uns.ac.id Perhitungan akar berikutnya dilakukan dengan mengulangi langkah 1 untuk persamaan dan sisa yang dihasilkan pada nilai akhir merupakan nilai b Algoritma Muller Algoritma Muller merupakan algoritma pencarian akar kompleks persamaan polinomial derajat n yang diusulkan oleh Muller. Algoritma Muller merupakan generalisasi dari metode secant tetapi dalam penerapannya menggunakan tiga poin interpolasi kuadrat (Press et al., 1989). Algoritma Muller dapat mencari pasangan akar kompleks dalam menyelesaikan persamaan kuadrat. Metode iterasi ini konvergen di dekat suatu akar, tidak memerlukan pengevaluasian turunan fungsinya, dan memperoleh akar-akar nyata maupun kompleks meskipun akar-akar tersebut tidak sederhana. Selain itu, metode ini bersifat global sehingga tidak perlu menyediakan suatu pendekatan permulaan (Conte & Boor, 1992). Untuk menyelesaikan persamaan polinomial derajat n, dalam algoritma Muller terlebih dahulu diketahui tebakan awal akar polinomial yakni dengan nilai polinomial f(x). Gambar 2.8 Grafik perbandingan letak akar antara Metode Secant (a) dan Metode Muller (b) Input algoritma Muller merupakan persamaan polinomial derajat n yang berupa polinomial monoid. Setelah diproses, algoritma Muller akan menghasilkan output berupa nilai akar-akar polinomial,. Algoritma Muller dapat diterapkan dengan langkah-langkah yang tertuang dalam Alg 2.6 berikut ini (Butt, 2009) :

16 digilib.uns.ac.id Menentukkan tiga poin tebakan awal yaitu dan jumlah maksimal iterasi yaitu 2. Menghitung nilai dimana : (2.46) (2.47) (2.48) 3. Menghitung nilai persamaan fungsi dari masing-masing tebakan awal yaitu. 4. Menghitung nilai koefisien a, b, c menggunakan perhitungan berikut : (2.49) (2.50) (2.51) 5. Menghitung nilai diskriminan dari perhitungan di atas (2.52) 6. Menentukan nilai akar polinomial untuk menghasilkan pendekatan baru dari f(x). Maka, digunakan persamaan berikut : (2.53) Dimana tanda pada penyebut dipilih untuk mendapatkan nilai absolut atau modulus yang terbesar mungkin. Dengan demikian, apabila b > 0 dipilih tanda +, sedangkan apabila b < 0, maka dipilih tanda -, dan apabila b = 0, maka pilih salah satu tanda + atau -. Setelah pendekatan baru ditemukan,, maka poin sebelumnya yaitu diabaikan sehingga tersisa tiga tebakan akar yaitu dan yang kemudian digunakan dalam proses selanjutnya. 7. Menghitung dan melakukan pengecekkan terhadap nilai y. Apabila kondisi tersebut belum terpenuhi dimana y > ε, maka dilakukan perulangan langkah 2 hingga 6 sampai mendapatkan nilai akar yang konvergen dimana y < ε. Apabila y < ε, maka iterasi dihentikan. Nilai akar polinomial adalah. Polinomial direduksi dengan cara membagi persamaan polinomial dengan akar yang ditemukan. Pencarian akar selanjutnya dilakukan dengan menggunakan persamaan polinomial hasil reduksi kemudian mengulang langkah 1 hingga 7.

17 digilib.uns.ac.id Bilangan Kompleks Penyelesaian persamaan polinomial derajat n terkadang menghasilkan akar kompleks. Akar kompleks disajikan dalam bentuk bilangan kompleks. Bilangan kompleks dihasilkan dari akar kuadrat suatu bilangan negatif (yaitu ) yang disebut bilangan imajiner murni. Menurut definisi,, untuk menyatakan persamaan ersebut akan lebih mudah menggunakan simbol i dimana, sehingga dapat ditulis sebagai bentuk standar bilangan ini. Bentuk standar bilangan kompleks adalah a + bi dimana a dan b merupakan bilangan riil. Suku pertama a disebut bagian riil, sedangkan suku kedua bi disebut sebagai bagian imajiner murni dari bilangan kompleks. Dua bilangan kompleks a + bi dan c + di dikatakan sama jika a = c dan b = d. Konjugasi (conjugate) dari bilangan kompleks a + bi adalah bilangan kompleks a bi (Frank and Schmidt, 2004). Berikut ini merupakan operasi-operasi aljabar bilangan kompleks : a. Penambahan, dilakukan dengan menambahkan bagian riil dan menambahkan bagian imajiner murni, contoh : b. Pengurangan, dilakukan dengan mengurangi bagian riil dan mengurangi bagian imajiner murni, contoh : c. Perkalian, dilakukan seperti pada bilangan binomial biasa dan mengganti dengan -1, contoh : d. Pembagian, dilakukan dengan mengalikan pembilang maupun penyebut dengan konjugasi dari penyebut, contoh : Jika z = a + bi sebarang bilangan kompleks, maka sekawan (konjugasi) z dinyatakan oleh (dibaca z garis ), didefinisikan oleh : (2.54) diperoleh dengan membalik tanda bagian imajiner z. Secara geometris, merupakan pencerminan z terhadap subu riil seperti yang terlihat pada Gambar 2.2.

18 digilib.uns.ac.id 23 z = a+bi a, b a-bi a, -b Gambar 2.2 Sekawan bilangan kompleks z Jika bilangan kompleks z dipandang sebagai vektor di R 2, maka norma atau panjang vektor disebut modulus (atau nilai mutlak) z. Modulus bilangan kompleks z = a+bi, dinyatakan oleh z, didefinisikan sebagai berikut (Anton, 1987): (2.55) Apabila z = a+bi direpresentasikan dalam bentuk x, y, maka akan menjadi z = x+yi. Jika z = x+yi adalah bilangan kompleks tak nol, r = z, dan θ merupakan sudut dari sumbu riil positif ke vektor z, maka menghasilkan persamaan berikut : x = r cos θ (2.56) y = r sin θ (2.57) dengan demikian, z = x+yi dapat ditulis sebagai : z = r (cos θ + i sin θ) (2.58) Persamaan di atas disebut sebagai bentuk kutub dari z. (x,y) θ r x = r cos θ y = r sin θ Gambar 2.3 Bentuk kutub bilangan kompleks z = x+yi Sudut θ disebut sebagai argumen z dan dinyatakan oleh θ = arg z Argumen z tidak ditentukan secara unik karena dapat ditambahkan atau dikurangkan dengan sebarang kelipatan 2π dari θ untuk menghasilkan nilai argumen yang lain. Namun demikian, commit hanya to user terdapat satu nilai argumen dalam

19 digilib.uns.ac.id 24 radian yang memenuhi - π < θ < π yang disebut sebagai argumen utama z dan dinyatakan oleh θ = Arg z Akar-akar bilangan kompleks dapat diperoleh dengan menggunakan Rumus DeMoivre. Jika n bilangan bulat positif, dan z sebarang bilangan kompleks, maka didefinisikan akar ke-n dari z adalah sebarang bilangan kompleks w yang memenuhi persamaan w n = z (2.59) Jika z 0, maka rumus tersebut dapat diturunkan untuk akar ke-n dari z sebagai berikut : w = ρ (cos α + i sin α) dan z = r (cos θ + i sin θ) Jika diasumsikan bahwa w memenuhi Persamaan 49, maka : ρ n (cos nα + i sin nα) = r (cos θ + i sin θ) (2.60) Dengan membandingkan modulus-modulus dari kedua ruas, maka, dimana menyatakan akar riil positif ke-n dari r. Agar dalam Persamaan 50 mempunyai cos nα = cos θ dan sin nα = sin θ, sudut-sudut nα dan θ haruslah sama atau dibedakan oleh suatu kelipatan 2π, yakni : adalah: nα = θ + 2k π, dimana k = 0, ±1, ±2,... Jadi, nilai-nilai w = = ρ (cos α + i sin α) yang memenuhi Persamaan 2.59 Dimana nilai k sama dengan 0, 1, 2, 3,..., n-1. (2.61) Galat Output dari perhitungan komputasi dengan menggunakan metode numerik biasanya menghasilkan nilai hampiran atau aproksimasi (approximation) dari nilai penyelesaian persamaan yang sebenarnya (Esfandiari, 2013). Galat atau kesalahan (error) didefinisikan sebagai selisih nilai sejati (exact solution) dengan nilai hampiran. Galat dihitung menggunakan dua cara yakni galat absolut dan galat relatif. Jika merupakan aproksimasi dari nilai sebenarnya x, maka galat absolut dapat didefinisikan sebagai berikut: (2.62)

20 digilib.uns.ac.id 25 Di sisi lain, galat relatif dihitung dengan menggunakan rumus berikut : (2.63) Jika nilai sebenarnya sama dengan nol, maka nilai galat relatif tidak terdefinisikan. Umumnya, galat relatif lebih signifikan dibandingkan dengan galat absolut. Perhitungan galat relatif suatu bilangan kompleks tidak dapat dilakukan dengan menggunakan Persamaan Dengan demikian, diperlukan formula khusus untuk menghitung galat bilangan kompleks. Sebuah usulan baru menyatakan bahwa dengan memodifikasi Persamaan 2.63, galat relatif suatu bilangan kompleks dapat dikalkulasi. Perhitungan galat relatif suatu akar kompleks dengan i satuan imaginer dari suatu nilai eksak adalah rasio norm dari selisih eksak dengan hampiran dengan norm dari eksak dan disajikan dalam bentuk persen. (2.64) Beberapa jenis galat atau kesalahan adalah sebagai berikut (Salusu, 2008): a. Kesalahan relatif (relative error) yaitu kesalahan absolut dibagi dengan nilai sebenarnya. Karena nilai sebenarnya tidak diketahui maka digunakan nilai pendekatan. (2.65) b. Kesalahan bawaan (inheren) yaitu kesalahan dari data sendiri mungkin terjadi karena pengamatan kurang tepat atau adanya kekeliruan. c. Kesalahan pemotongan yaitu kesalahan yang terjadi karena adanya pemotongan suatu deret sehingga terdapat beberapa suku yang terabaikan. d. Kesalahan pembulatan yaitu kesalahan yang terjadi karena adanya pembulatan. e. Blunder (Mistakes) Blunder bukanlah suatu error. Misalnya bilangan 6238 dibaca sebagai Rekayasa Perangkat Lunak Rekayasa perangkat lunak merupakan suatu disiplin ilmu yang membahas semua aspek produksi perangkat lunak, mulai dari tahap awal yaitu analisa kebutuhan pengguna, menentukan commit spesifikasi to user dari kebutuhan pengguna, desain,

21 digilib.uns.ac.id 26 pengkodean, pengujian hingga pemeliharaan sistem setelah digunakan (Mulyanto, 2008). Perangkat lunak adalah seluruh perintah yang digunakan untuk memproses informasi yang dapat berupa sebuah program yang dimengerti oleh komputer maupun prosedur yang dibutuhkan pengguna dalam memproses informasi. Berbagai model rekayasa perangkat lunak telah dikembangkan untuk membantu proses pengembangan perangkat lunak. Model rekayasa perangkat lunak umumnya mengacu pada Software Development Life Cycle (SDLC) yang memiliki tahapan analisis (analysis), desain (design), implementasi (implementasi), pengujian (testing), dan perawatan (maintenance) (Mulyanto, 2008) Analisis (analysis) Analisis sistem merupakan sebuah teknik pemecahan masalah yang menguraikan sebuah sistem menjadi komponen-komponen dengan tujuan mempelajari seberapa baik komponen-komponen tersebut bekerja dan berineraksi untuk mencapai tujuan (Mulyanto, 2008). Tahap analisis dilakukan dengan menganalisa kebutuhan-kebutuhan perangkat lunak dan lingkungan implementasi Desain (design) Desain perangkat lunak merupakan tugas, tahapan, atau aktivitas yang difokuskan pada spesifikasi rinci dari solusi berbasis komputer. Desain perangkat lunak fokus pada sisi teknis dan implementasi sebuah perangkat lunak (Mulyanto, 2008). Desain perangkat lunak dapat dilakukan menggunakan flowchart maupun pemodelan menggunakan UML. 1. Flowchart Bagan alir sistem (system flowchart) merupakan bagan yang menunjukkan arus pekerjaan secara keseluruhan dari sistem. Bagan ini menjelaskan urutan-urutan dari prosedur-prosedur yang ada dalam sistem (Sikha, 2003). Definisi lain mengenai flowchart yaitu bagan-bagan yang mempunyai arus yang menggambarkan langkah-langkah penyelesaian suatu masalah (Al-Bahra, 2005). Simbol-simbil atau elemen-elemen pada flowchart dijabarkan dalam Tabel 2.1.

22 digilib.uns.ac.id 27 Tabel 2.1 Simbol Elemen Flowchart Simbol Nama Keterangan Terminator Process Decision Data Permulaan / akhir program Proses perhitungan / proses pengolahan data Perbandingan pernyataan, penyeleksian data yang memberikan pilihan untuk langkah selanjutnya Data yang digunakan misalnya variabel 2. UML (Unified Modelling Language) Unified Modelling Language merupakan seperangkat aturan dan notasi untuk spesifikasi sistem perangkat lunak yang dikelola dan diciptakan oleh Object Management Group. Notasi tersebut berupa elemen grafis untuk memodelkan bagian-bagian sistem. Penggunaan UML akan mempermudah programmer untuk menyalurkan idenya kepada calon pengguna sistem. Adanya bahasa yang bersifat standar, komunikasi antara perancang, programmer, dan calon pengguna diharapkan berjalan dengan lancar (Luthfi & Riasti, 2013). Selain itu, dengan menggunakan UML ini akan lebih memudahkan programmer dalam melakukan perancangan perangkat lunak. a. Behavioral Diagrams 1. Use Case Diagram Use Case Diagram merupakan diagram yang sangat berguna sebagai alat komunikasi tingkat tinggi yang merepresentasikan kebutuhan sistem (system requirements). Diagram ini menunjukkan interaksi antara pengguna dan entitas eksternal dengan sistem yang sedang dikembangkan. Berikut merupakan elemen use case diagrams:

23 digilib.uns.ac.id 28 Aktor User Tabel 2.2 Notasi Use Case Diagram (Sugrue, 2010) Entitas Deskripsi Mewakili entitas eksternal dalam sistem, dapat berupa manusia, perangkat keras, maupun sistem lainnya. Trial User Use Case Boundary Includes View Errors System View Errors <<include>> Use case merepresentasikan fungsional sebuah unit yang dapat berinteraksi dengan aktor eksternal atau terkait dengan kasus penggunaan lainnya. Use case digambarkan dengan bentuk elips dengan nama use case di dalamnya. Use case terdapat dalam batas (boundary) sistem yang digambarkan dengan persegi panjang sederhana. Entitas eksternal tidak harus berada di dalam batas (boundary) sistem. Menggambarkan suatu use case mungkin termasuk dalam use case lainnya, yang menyiratkan bahwa use case tersebut memiliki perilaku yang sama dengan base use case. View System Level Error Extends Menggambarkan suatu use case tertentu Print Error Log <<extend>> Print menyediakan fungsional tambahan dari base use case lainnya. Hal ini berarti use case target memperluas perilaku dari use case sumber. 2. Activity Diagram Dalam activity diagram dimodelkan alur kerja (workflow) sebuah proses bisnis dan urutan aktivitas dalam suatu proses. Hampir sama seperti flowchart, dengan diagram ini dapat dimodelkan sebuah alur kerja dari satu aktivitas ke aktivitas lainnya atau dari aktivitas ke keadaan state (Luthfi & Riasti, 2013).

24 digilib.uns.ac.id 29 Tabel 2.3 Notasi Activity Diagram (Surgue, 2010) Entitas Deskripsi Action Merepresentasikan suatu langkah atau aksi View System Events dalam alur program. Start Node Digunakan sebagai tanda dimulainya sebuah alur (flow). Start Activity Final Node Merepresentasikan akhir dari semua alur kontrol dalam activity. End Control Flow Merepresentasikan alur kontrol dari satu action ke entitas lain seperti action selanjutnya, decision point, activity final node, dan lain sebagainya. Decision Node Notasi yang berbentuk diamon digunakan untuk merepresentasikan keputusan (decisions) dalam alur kontrol. Selain itu, notasi tersebut juga dapat digunakan untuk gabungan alur (merge flows). Partition Swimlanes digunakan dalam activity System View System Events diagram untuk menggambarkan kegiatan yang dilakukan oleh pelaku yang berbeda. 3. State Machine Diagrams State Machine Diagrams digunakan untuk menggambarkan transisi state dari lifetime objek tunggal dalam menanggapi peristiwa. Diagram ini dimodelkan hampir sama dengan activity diagram.

25 digilib.uns.ac.id 30 b. Interaction Diagrams Interaction diagrams adalah subset dari behavioral diagrams yang berkaitan dengan aliran kontrol seluruh sistem yang dimodelkan. 1. Sequence Diagrams Interaksi antar entitas atau objek disusun dalam suatu urutan tertentu dan akan dijelaskan melalui diagram sequence. Sequence diagram menunjukkan tahap-tahap yang seharusnya terjadi untuk menghasilkan sesuatu dalam use case (uthfi dan Riasti, 2013). Lifeline Objects Sequence diagram terdiri dari beberapa lifeline. Masing-masing entitas memiliki kolomnya sendiri. Berikut ini merupakan beberapa lifeline untuk masing-masing entitas: Tabel 2.4 Notasi Lifeline Sequence Diagram (Surgue, 2010) Entitas Deskripsi Actor Actor mewakili entitas eksternal dalam sistem. Entitas eksternal meliputi manusia, perangkat keras ataupun sistem lainnya. : User Boundary : Boundary Elemen boundary merupakan antarmuka pengguna, atau logika back-end yang berhubungan dengan sistem eksternal secara langsung. Control Entity : Control : Entity Elemen ini mengelola aliran informasi untuk sebuah skenario. Perilaku (behavior) dan aturan bisnis (business rules) biasanya dikelola oleh objek-objek di dalamnya. Elemen Entity bertanggung jawab mengendalikan data atau informasi. Elemen ini dianggap sebagai beans atau model objek.

26 digilib.uns.ac.id 31 Pada sequence diagram, hal yang paling inti yakni pesan antar objek yang dimodelkan. Pesan tersebut biasanya berbentuk messagename (parameter). Pesan dapat dikirim dari dua arah, dan memungkinkan melewati lifelines lainnya untuk menuju lifelines tujuan. Tabel 2.5 Notasi Message Sequence Diagram (Surgue, 2010) Entitas Deskripsi Synchronous Digambarkan dengan ujung berupa anak panah 1 Asynchronous 1 Self Message 1 yang solid. Untuk pesan kembalian (return message) digambarkan dengan anak panah yang sama namun dengan garis putus-putus. Digambarkan dengan ujung berupa garis anak panah. Untuk return message bentuknya pun sama tetapi menggunakan garis putus-putus. Biasanya merupakan pesan yang dipanggil secara rekursif atau panggilan untuk metode lain milik objek yang sama. 2. Communication Diagrams Communication diagrams juga dikenal sebagai collaboration diagram. Diagram ini hampir sama dengan sqeuence diagrams, tetapi diagram ini didefinisikan dalam bentuk yang lebih bebas tanpa menggunakan lifelines. Communication diagram fokus pada hubungan antara objek boundary, control, dan entity. Pesan antar objek diberi nomor untuk menginformasikan urutannya. 3. Interaction Overview Diagrams Interaction Overview Diagrams adalah bentuk activity diagram dimana setiap node merupakan penghubung ke node lainnya dalam diagram interaksi. Diagram ini menyediakan ikhtisar atau index yang berguna dari key diagrams dalam sebuah sistem.

27 digilib.uns.ac.id 32 c. Structural Diagrams 1. Class Diagrams Class Diagram merupakan sebuah spesifikasi yang jika diinisiasikan akan menghasilkan sebuah objek dan merupakan inti dari pengembangan dan desain berorientasi objek. Diagram ini menggambarkan keadaan (atribut/properti) sebuah sistem dan menawarkan layanan untuk memanipulasi keadaan tersebut (metode/fungsi) (Luthfi dan Ristiana, 2013). 2. Object Diagrams Object diagrams memberikan informasi mengenai hubungan antara contoh kelas pada titik tertentu. Diagram ini menggunakan beberapa elemen dari class diagram. 3. Components Diagrams Components diagrams digunakan untuk menggambarkan bagaimana komponen sistem yang dihubungkan bersama pada tingkat abstraksi yang lebih tinggi dari class diagram. 4. Composite Structure Diagrams Composite Structure Diagrams menunjukkan struktur internal kelas dan kolaborasi yang dimungkinkan. Entitas utama dalam diagram ini adalah parts, ports, connectors, collaboration, sebagai pengklasifikasi. 5. Deployment Diagrams Deployment diagrams memodelkan arsitektur runtime dari sistem dalam pengaturan dunia nyata. Diagram ini menunjukkan bagaimana entitas perangkat lunak dikerahkan ke node perangkat keras dan devices. Association links antar entitas merepresentasikan komunikasi antar node. 6. Package Diagrams Package diagrams menunjukkan organisasi paket dan elemen dalam memberikan visualisasi dari namespace yang akan diterapkan dalam class. Diagram ini pada umumnya digunakan untuk mengatur dan memberikan gambaran class diagram. seperti standar dependensi, terdapat dua jenis hubungan commit spesifik to user yang digunakan untuk package

28 digilib.uns.ac.id 33 diagram. Keduanya digambarkan garis putus-putus tergantung pada stereotip yang sesuai (import or merge) Implementasi (implementation) Implementasi merupakan tahapan menerjemahkan hasil desain logis dan fisik ke dalam kode-kode program komputer (Mulyanto, 2008) Pengujian (testing) Pengujian perangkat lunak merupakan sebuah proses terhadap aplikasi/program untuk menemukan segala kesalahan dan segala kemungkinan yang akan menimbulkan kesalahan sesuai dengan spesifikasi perangkat lunak yang telah ditentukan sebelum aplikasi tersebut diserahkan kepada pelanggan (Simarmata, 2010). Terdapat dua jenis pengujian perangkat lunak yaitu manual testing dan automated testing. Pada manual testing, pengujian perangkat lunak dilakukan secara manual yaitu dengan menggunakan black box testing ataupun white box testing. Black box testing digunakan untuk mengetahui hasil yang diperoleh dari sebuah sistem. Dalam pengujian black box, data tes diinputkan dalam sistem yang akan diuji dan kemudian menghasilkan output. Pengujian Black box menguji kualitas kinerja perangkat lunak, sedangkan pengujian white box menguji kualitas pembangunan perangkat lunak. Dengan demikian, tidak seperti pengujian black box, pengujian white box tidak mempertimbangkan hasil yang diperoleh dari sebuah perangkat lunak, tetapi fokus pada proses yang dilakukan sistem untuk menghasilkan output (Bennett, McRobb, and Farmer, 2010). Pelaksanaan pengujian perangkat lunak dilakukan berdasarkan strategi khusus pengujian perangkat lunak, misalnya big bang testing atau incremental testing dan bottom-up atau top-down testing (Galin, 2004). Pada automated testing, pengujian dilakukan dibantu dengan tools CASE (computer aided software engineering) dalam menganalisa perangkat lunak dan desain tasks.

29 digilib.uns.ac.id Perawatan (maintenance) Perawatan dapat dilakukan dengan berbagai tipe seperti perawatan corrective, perawatan routine, dan perawatan system upgrade. 2.2 Penelitian Terkait Berikut ini merupakan beberapa penelitan-penelitian terkait algoritma-algoritma pencarian akar kompleks polinomial : a) Menentukan Akar kompleks Polinomial dengan Menggunakan Metode Bairstow Penelitian yang dilakukan oleh Iges Windra, Minora Longgom Nasution, dan Meira Parma Dewi pada tahun 2013 membahas cara menentukan akar kompleks polinomial dengan menggunakan metode Bairstow. Untuk mencari akar kompleks polinomial dengan menggunakan metode Bairstow, langkah-langkah yang dilakukan oleh peneliti, seperti yang tertulis dalam jurnalnya yang merupakan adopsi dari penelitian sebelumnya yang dilakukan oleh Bagheri (n.d) adalah sebagai berikut: 1. Menentukan tebakan awal dari variabel 2. Menghitung nilai 3. Menghitung 4. Menghitung nilai 5. Menghitung nilai 6. Mencari dan dengan aturan Cramer sebagai berikut:

30 digilib.uns.ac.id Mencari nilai u dan v yang terbaru dengan persamaan : 8. Melakukan proses iterasi dengan mengulang langkah kedua dan ketiga sampai memenuhi kriteria penghentian. 9. Mencari akar kompleks persamaan polinomial dengan bantuan rumus kuadratis. 10. Menentukan polinomial yang telah terdeflasi, dengan beberapa kemungkinan berikut: a. Jika polinomial yang telah terdeflasi berderajat satu atau dua maka dapat dicari akarnya dengan rumus analitik. b. Jika polinomial yang telah terdeflasi berderajat lebih dari 2 maka dilanjutkan dengan pencarian akar dengan langkah metode Bairstow. Dalam penelitian tersebut, peneliti melakukan analisis metode Bairstow secara detail. Hasil analisis diterapkan untuk menyelesaikan persamaan polinomial. Setiap akar kompleks polinomial ditemukan, iterasi dihentikan dan dihitung keakuratan perhitungan berdasarkan estimasi eror. Misalnya iterasi keempat, metode Bairstow menghasilkan pendekatan yang sangat akurat dengan estimasi eror 0.062% untuk u dan 0.004% untuk v. Kemudian dilanjutkan pencarian akar kompleks lainnya berdasarkan polinomial terdeflasi. Dengan demikian, hasil analisi cukup teliti karena dilakukan perhitungan persentase estimasi eror nilai u dan v pada setiap iterasinya. Namun, pencarian akar kompleks polinomial pada penelitian ini hanya dilakukan pada satu sampel random yakni. Selain itu, penelitia yang dilakukan merupakan penelitian teoritis sehingga hanya mengujikan teori metode Bairstow yang sudah ada, tanpa membuat suatu hal yang baru. Keterkaitan antara penelitian dalam jurnal dengan penelitian yang dilakukan yaitu memiliki kesamaan metode yang digunakan dalam pencarian akar kompleks polinomial. Perbedaan dengan peneitian yang diusulkan yaitu objek analisisnya. b) Solving Cubic Equations by Viete s Substitutions Artikel ditulis oleh OR Chi Ming pada EduMath29 pada tahun Dalam artikel tersebut, OR Chi Ming menunjukkan alternatif cara untuk menyelesaikan

31 digilib.uns.ac.id 36 persamaan polinomial yang terdapat dalam artikel Leung pada EduMath27 dengan pengetahuan matematika tanpa level matrikulasi seperti yang dilakukan oleh Leung Chi Kit. Untuk menyelesaikan persamaan polinomial, Leung Chi Kit menggunakan substitusi dan dengan menyelesaikan persamaan yang didapat yaitu menggunakan formula Euler s. OR Chi Mig kemudian membuktikan bahwa formula Euler s yang digunakan dalam penyelesaian persamaan polinomial oleh Leung Chi Kit tidak diperlukan. Untuk menyelesaikan kasus Leung, OR Chi Ming menggunakan substitusi Viete s. Dikutip dari Ming (2010), algoritma Viete s memanfaatkan trigonometri untuk menyelesaikan persamaan polinomial. Misalnya diketahui persamaan kubik. Dari persamaan tersebut, substitusi dapat bertransformasi menjadi. Viete s menggunakan rumus tiga sudut (triple angle formula),. Langkah pertama yang dilakukan adalah memasukkan ke dalam persamaan, sehingga didapat hasil berikut: Kemudian k dapat ditentukan dengan, maka : Jika p<0, pilih dan masukkan. Sehingga didapat : commit to user Dengan demikian, maka persamaan kubik akan tereduksi menjadi persamaan trigonometri yang sederhana. Tahap selanjutnya yaitu :

32 digilib.uns.ac.id 37 Apabila, maka persamaan harus diselesaikan dengan menyubstitusikan dan triple angle formula. Dari penelitian tersebut, OR Chi Ming menyimpulkan bahwa untuk menyelesaikan persamaan kubik yang memiliki akar rasional lebih baik menggunakan teorema faktor seperti substitusi Viete s atau formula Cardano. Kelebihan dari penelitian ini ialah selain dilakukan pada kasus yang diselesaikan oleh Leung Chi Kit, substitusi Viete s juga diterapkan dalam kasus yang diselesaikan dengan algoritma Cardano. Dari kedua pengujian tersebut, dapat diketahui dimana substitusi Viete s dapat mempermudah pencarian akar polinomial pada kasus-kasus tertentu. Namun, pengujian substitusi Viete s hanya dilakukan pada dua kasus saja sehingga belum diketahui kelebihan dan kekurangan substitusi Viete s pada kasus-kasus yang diselesaikan dengan algoritma lainnya. Keterkaitan antara penelitian ini dengan penelitian yang diusulkan yaitu menggunakan metode yang sama yakni algoritma Viete s. c) A New Approach to Solving The Cubic: Cardan s Solution Revealed Artikel yang ditulis oleh RWD Nickalls pada tahun 1993 mendeskripsikan lima parameter fundamental dari persamaan kubik yaitu dan dan menunjukkan bagaimana parameter-parameter tersebut dapat memodifikasi metode standar dalam memecahkan persamaan kubik (solusi Cardan) secara signifikan. Pada artikel ini, peneliti membuat sebuah pendekatan baru untuk menyelesaikan persamaan kubik. Dimulai dengan bentuk persamaan kubik dengan bentuk yang tertera pada Persamaan 4, dimana persamaan tersebut memiliki akar dan memperoleh bentuk tereduksi dengan substitusi. Dengan demikian, bentuk persamaan tersebut (Press et al., 1989) adalah sebagai berikut: dan memiliki akar. Bentuk penggunaan identitas biasanya yaitu :

33 digilib.uns.ac.id 38 Maka z = p + q adalah solusi dari (Press et al., 1989) dan Pertama, selesaikan persamaan tersebut dengan cubing seperti biasanya, kemudian substitusikan q dan selesaikan maka menjadi :, dan, Persamaan di atas sangat berguna jika terdapat akar tunggal real, yaitu ketika. Hal ini berbeda dengan pendekatan Cardan : Dimana nilai G, H, adalah : Dengan demikian, maka persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut: Jika turning point pada koordinat y adalah yr, maka Solusi yang diusulkan oleh peneliti dapat ditulis sebagai berikut: Dengan menggunakan simbol untuk diskriminan (geometrik) persamaan kubik, maka didapat : Solusi persamaan kubik ini bergantung pada tanda diskriminan berikut : 1., maka memiliki satu akar yakni : 2. Pada kondisi h 0, menghasilkan dua akar yang sama yakni. Akar sebenarnya adalah. Karena terdapat dua akar yang sama, maka tanda menjadi sangat penting dan bergantung pada tanda, dengan demikian maka dapat commit ditentukan to user dengan :

34 digilib.uns.ac.id 39 Jika maka, dalam kasus ini terdapat tiga akar yang sama yaitu. 3. Pada kondisi ini terdapat tiga akar real yang berbeda. Untuk menyelesaikannya peneliti mengusulkan untuk menggunakan trigonometri untuk menyelesaikan bentuk tereduksi menggunakan substitusi sehingga diberikan:, dan, maka persamaan tersebut menjadi. Dengan demikian, maka tiga akar yang dihasilkan dapat dicari dengan menggunakan rumus berikut: Peneliti mampu menunjukkan pendekatan baru untuk menyelesaikan persamaan kubik dan berhasil membuktikan bahwa parameter dan menunjukkan kelebihan bagaimana solusi aljabar berkaitan dengan geometri persamaan kubik. Namun, hanya terdapat satu contoh penyelesaian persamaan kubik dan tidak terdapat perbandingan dengan metode lain untuk mengetahui perbandingan keefektifan penggunaan pendekatan yang baru. Keterikatan penelitian ini dengan penelitian yang diusulkan adalah objeknya sama yaitu persamaan kubik atau polinomial berderajat tiga. d) Aplikasi Medote Muller dan Metode Bairstow dengan Bantuan Matlab dalam Menentukan Akar-Akar Polinomial Penelitian ini dilakukan oleh Hendun Mariana pada tahun Penelitian dilakukan dengan tujuan untuk mengaplikasikan metode Muller dan metode Bairstow dengan menggunakan bantuan Matlab untuk kemudian dilakukan analisa hasil penemuan akar-akar polinomial. Berdasarkan penelitian yang mengadopsi metode yeng sebelumnya telah dikemukakan oleh Steven (2002), aplikasi metode

35 digilib.uns.ac.id 40 Muller dengan bantuan Matlab dalam menentukan akar-akar polinomial dapat dijabarkan melalui langkah-langkah berikut ini: 1. Menentukan polinomial berderajat tinggi. 2. Menentukan 3 nilai tebakan awal yaitu sebagai pendekatan terhadap akar-akar polinomial yang akan dicari. 3. Karena nilai sudah diketahui, maka didapat nilai. 4. Menghitung jarak antara nilai tebakan pertama dengan tebakan kedua dan jarak antara nilai tebakan kedua dengan ketiga serta nilai fungsi dari kedua jarak yaitu dan. 5. Menghitung nilai a, b, c : 6. Menghitung nilai diskriminannya yaitu b + D dan b D, kemudian diambil salah satu dari keduanya dengan nilai terbesar. 7. Menghitung nilai. Berdasarkan nilai, kemudian dilakukan pencarian akar yaitu. 8. Menghitung galat untuk akar yang ditemukan. Jika galat terlalu besar maka dapat dilakukan iterasi dengan mengganti nilai tebakannya, yaitu diganti dengan, diganti dengan, diganti dengan. 9. Dengan ketiga nila tebakan awal yang baru, dilakukan iterasi kemudian dicari akarnya, dan begitu seterusnya. 10. Apabila didapatkan akar yang paling kecil galatnya yaitu mendekati nol atau sama dengan , maka iterasi segera dihentikan. Peneliti kemudian mengaplikasikan metode Bairstow, berdasarkan buku dengan langkah-langkah sebagai berikut: 1. Menentukan tebakan awal untuk faktor kuadrat yakni r dan s dan batas toleransi untuk galatnya yaitu Menghitung

36 digilib.uns.ac.id Menghitung nilai dan untuk i = n 2 sampai Menghitung nilai 5. Meghitung nilai dan untuk i = n 2 sampai Menghitung nilai dan dengan menggunakan rumus dan serta dan 7. Apabila galat terlalu besar, maka dilakukan iterasi kembali degan nilai r dan s yang baru. dan 8. Jika galat mendekati nilai toleransi galat yang telah ditentukan, misalnya , maka pencarian akarnya bisa dilakukan menggunakan rumus kuadrat seperti yang tertera pada Persamaan 7, dimana nilai b merupakan nilai dari u, nilai a sama dengan nol, dan nilai c sama dengan v. 9. Jika galat pada poin tujuh masih besar, maka dilakukan iterasi dengan langkahlangkah yang sama mulai langkah pertama hingga didapat nilai r dan s dengan galat yang mendekati nol atau sesuai dengan batas maksimum nilai fungsi yaitu Menentukan akar dengan menggunakan rumus yang sama. Pencarian akar-akar lainnya dilakukan dengan iterasi kembali mulai dari awal hingga akhir menggunakan langkah-langkah yang sama dengan nilai r dan s yang berbeda. Dari hasil penelitian ini, dapat dianalisa bahwa untuk pencarian akar dengan menggunakan metode Bairstow lebih efektif dibandingkan dengan metode Muller. Kelebihan penelitian ini adalah membandingkan dua metode yaitu metode Muller dan Bairstow sehingga dapat diketahui metode terbaik diantara keduanya. Namun, perbandingan kedua metode hanya berdasarkan pada jumlah langkah kerja saja, tidak berdasarkan galat yang dihasilkan. Keterkaitan penelitian ini dengan penelitian yang akan dilakukan adalah kesamaan metode yang digunakan yaitu metode Bairstow dan metode Muller.

37 Keterkaitan penelitian Metode yang digunakan serupa yaitu metode Bairstow. digilib.uns.ac.id 42 Tabel 2.6 Penelitian Terkait No. Judul / Penulis Tujuan Metode Hasil Kelebihan Kelemahan Penelitian yang dilakukan merupakan penelitian teoritis dimana hanya dilakukan penurunan metode Bairstow kemudian diimplementasikan dalam sebuah kasus. Dapat menunjukkan metode Bairstow memiliki laju konvergensi yang tinggi. Terlihat dari pendekatan yang dihasilkan sangat akurat dengan estimasi eror 0% untuk u dan % untuk v pada iterasi keenam untuk pencarian akar dan. Metode Bairstow Akar polinomial dari persamaan yaitu: Melakukan pencarian akar kompleks polinomial menggunakan metode Bairstow 1. Menentukan Akar kompleks Polinomial dengan Menggunakan Metode Bairstow/ Iges Windra (2013)