MODEL MATEMATIKA EPIDEMIOLOGI SIRV (SUSCEPTIBLES, INFECTION, RECOVER, VACCINATION)

Transkripsi

1 MODEL MATEMATIKA EPIDEMIOLOGI SIRV (SUSCEPTIBLES, INFECTION, RECOVER, VACCINATION) (Studi Kasus Terhadap Bayi yang di Imunisasi Campak di Kota Madya Surakarta Tahun 2007) SKRIPSI Untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan Guna Memperoleh Derajat Sarjana S-1 Diajukan oleh Herri Sulaiman Nasution ( ) Kepada PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UIN SUNAN KALIJAGA YOGYAKARTA 2008

2 ii

3 iii

4

5 iv

6 KATA PENGANTAR Segala puji dan syukur bagi Allah SWT Tuhan semesta alam atas limpahan rahmat dan kasih sayang-nya. Atas ridha Allah lah tulisan ini dapat terselesaikan. Shalawat serta salam senantiasa tercurah kepada uswatun khasanah seluruh umat, Nabi Muhammad SAW yang telah menuntun manusia dari zaman jahiliyah menuju jalan keselamatan dengan cahaya Islam. Skripsi ini dimaksudkan untuk memperoleh gelar Sarjana Sains (Matematika). Skripsi ini berisi tentang pembahasan mengenai model matematika epidemiologi SIRV dan terapannya pada penyakit campak seperti yang disajikan dalam bab lima. Ucapan terimakasih disampaikan sedalam-dalamnya dan semoga Allah memberikan Ridha-Nya kepada: 1. Ibu Dra. Maizer Said Nahdi, M.Si selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta atas pemberian kesempatan pada peneliti untuk melakukan studi ini. 2. Ibu Dra. Khurul Wardati, M.Si selaku ketua prodi matematika atas motivasi, nasehat, petunjuk serta ilmu Aljabar yang diberikan kepada peneliti. 3. Bapak Yudi Ari Adi, M.Si selaku pembimbing pertama atas bimbingan, arahan, motivasi, dan ilmu yang diberikan dalam penyusunan skripsi ini. 4. Bapak Sugiyanto, M.Si sebagai pembimbing kedua atas bimbingan, arahan dan ilmu yang diberikan kepada peneliti dengan penuh kesabaran. 5. Ibu Dra. Endang Sulistyowati, selaku pembimbing akademik atas bimbingan dan arahannya selama kegiatan perkuliahan. iv

7 6. Bapak / Ibu Dosen Program Studi Matematika, dan Staf Tata Usaha Fakultas Sains dan Teknologi atas bimbingan dan bantuan selama perkuliahan dan penyusunan skripsi hingga selesai. 7. Papa, Mama, Bang Dokter (Bang Udi), dan Kakak Dokter (kak Wiken) serta sanak saudara yang penulis sayangi atas motivasi, semangat, kasih sayang, dan bantuannya baik secara materi maupun non materi, sehingga karya pertama ini dapat terwujud. 8. Sahabat-sahabatku Aisyah, Ani, Dian Arif, Dewi Aggreini, Edi Susilo, Kahi (kakak pertama), dan masih banyak lagi serta teman-teman angkatan pertama (2004) ST maupun adik angkatan atas bantuan, motivasi, semangat, spirit, serta kenangan yang tak terlupakan, aku yakin karena rasa hati yang tuluslah kita menjadi sahabat dan teman yang baik. Peneliti menyadari masih banyak kesalahan dan kekurangan dalam penulisan skripsi ini, untuk itu sangat diharapkan saran dan kritik yang bersifat membangun demi kesempurnaan skripsi ini. Namun demikian, peneliti tetap berharap semoga skripsi ini bermanfaat dan dapat membantu terwujudnya UIN yang bekualitas dan mampu bersaing dengan perguruan tinggi lain. Yogyakarta, 20 Oktober 2008 Penulis Herri Sulaiman Nasution v

8 vii

9 !"#! $ $ "%& "# " " $! "# "!!$ $ "' $!! ( ) *) "$ " ) )! $") +,!-!.)! )!$/(0)1, 2 vi

10 ( x, y) x y 2 L( x, y) = xy F( x, y) x, y) D = ( x, y) R x, y 0 ( { } F( x, y) > 0 ( x, y) D L( 0, y) = 0 L( x,0) = 0!! " # $% &' ( &' ) * &' ) +,+ )) vii

11 xi

12 xii

13 DAFTAR GAMBAR Gambar 1. Diagram Kerangka Penyelesaian Masalah. 8 Gambar 2. Diagram Penyelesaian Model Matematika... 9 Gambar 3. Skema Proses Perubahan Jumlah Populasi Antara Rentan (S), Terinfeksi (I ) Dan Sembuh (R) 40 Gambar 4. Skema Proses perubahan jumlah populasi antara rentan (S), terinfeksi (I ) dan sembuh (R) dengan kelahiran dan kematian.. 44 Gambar 5. Skema Proses perubahan jumlah populasi antara rentan (S), terinfeksi (I ), sembuh (R) dan Vaksinasi (V ) dengan kelahiran dan kematian.. 59 Gambar 6. Grafik / Plot Hasil Perhitungan Data Bayi yang di Imunisasi Campak di Kotamadya Surakarta Tahun xii

14 DAFTAR TABEL Tabel 1. Data Bayi Yang Diimunisasi Campak Di Kota Madya Surakarta Tahun 2007 (Sudah Dikelompokkan) xiii

15 DAFTAR LAMPIRAN Lampiran 1. Data Bayi yang di Imunisasi Campak di Kotamadya Surakarta pada Tahun xiv

16 ARTI LAMBANG DAN SINGKATAN v C τ : Vektor : Himpunan Bilangan Kompleks : Lama Infeksi A (τ ) : Probabilitas Individu Rentan Terinfeksi Saat Terjadi Kontak dengan Individu Lain yang Telah Terinfeksi Selama τ R 0 : Laju Pertumbuhan Awal yang Menyatakan Nilai Harapan / Ekspetasi P 1 Jumlah Kasus Terserang Penyakit Setelah Terjadi Kontak Terhadap Kasus Sebelum Terjadi Kontak : Probabilitas Individu / Proporsi Untuk Tetap Bertahan Hidup Setelah Terinfeksi µ : Laju Kematian Perkapita Bernilai Konstan B α β b 1 γ σ E 1 E 2 x : Laju Kelahiran Menuju Populasi Rentan Bernilai Konstan (Model SIR) : Laju Kesembuhan dari Terinfeksi : Laju Terinfeksi Setelah Terjadi Kontak antara Individu Rentan dan Individu Terinfeksi : Laju Kelahiran Menuju Populasi Rentan Bernilai Konstan (Model SIRV) : Evektivitas Vaksinasi Menuju Populasi Rentan Bernilai Konstan : Evektivitas Vaksinasi Menuju Populasi Terinfeksi Bernilai Konstan : Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit Artinya Suatu Kondisi Dimana Sudah Tidak Ada Lagi Penyakit Yang Menyerang Atau Dalam Artian Tidak Ada Lagi Individu Yang Terserang Penyakit : Titik Kesetimbangan Endemik Yaitu Suatu Kondisi Dimana Penyakit Selalu Ada Di Dalam Populasi Tersebut, Maksudnya Adalah Bahwa Selalu Saja Ada Individu Yang Terserang Penyakit : Titik Kesetimbangan / Equilibrium xv

17 MODEL MATEMATIKA EPIDEMIOLOGI SIRV (SUSCEPTIBLES, INFECTION, RECOVER, VACCINATION) (Studi Kasus terhadap Bayi yang Diimunisasi Campak di Kotamadya Surakarta Tahun 2007) Oleh : Herri Sulaiman Nasution ( ) ABSTRAKSI Model matematika epidemiologi SIRV berkaitan dengan pertumbuhan populasi yang dipengaruhi oleh penyebaran penyakit atau virus yang bersifat endemik, dengan R 0 sebagai variabel utama yang mempengaruhi kestabilan dan kesetimbangan dari model ini. Titik kesetimbangan cenderung stabil asimtotik. Penelitian ini dilakukan untuk menentukan model matematika epidemiologi SIRV kemudian diterapkan terhadap data bayi yang diimunisasi Campak di Kotamadya Surakarta pada tahun Penelitian ini disusun dengan menggunakan metode observasi yaitu sistem pengambilan data langsung di Departemen Kesehatan Kotamadya Surakarta, kemudian teknik analisis data menggunakan pemrograman komputer MAPLE versi 9.5 yang bertujuan untuk mengolah data variabel (data sekunder) yang diperoleh. Dari penelitian ini diperoleh hasil bahwa grafik/ plot dengan pemberian imunisasi campak terhadap bayi yang berumur 1-15 bulan di Kotamadya Surakarta dinyatakan dalam jumlah populasi ( X, Y, Z) terhadap selang waktu (t). Kemudian populasi bayi rentan ( S ), terinfeksi (I ), dan pemberian vaksinasi/ imunisasi (V ) mengalami kenaikan kemudian berangsur-angsur turun. Dapat disimpulkan bahwa peningkatan grafik/ plot diakibatkan terjadinya wabah dalam suatu endemik di Kotamadya Surakarta. Hal ini disebabkan oleh faktorfaktor yang mengakibatkan mewabahnya penyakit campak tersebut seperti keadaan lingkungan sekitar, faktor ekonomi, rumah sehat/ tidak sehat, dan lain sebagainya. Kemudian grafik cenderung mulai turun hal ini disebabkan oleh evektivitas imunisasi yang diberikan terhadap bayi tersebut cenderung mulai berkurang Kata kunci: Matematika Epidemiologi, Rasio Reproduksi Dasar, SIRV, Campak, Titik Kesetimbangan xvi

18 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Perkembangan zaman ini yang terus maju, diperlukan suatu analisis yang dapat diterima secara ilmiah terhadap setiap kejadian yang ada. Hal ini salah satunya yaitu model matematika, yang merupakan salah satu bidang dalam matematika dan memiliki aplikasi cukup penting dalam segala bidang ilmu. Dengan menggunakan beberapa definisi, permasalahan yang ada dalam lingkungan kehidupan dapat ditransformasikan dalam model matematika. Dari model matematika yang didapat selanjutnya dianalisis perilaku-perilaku yang ada didalamnya. Sejarah dari pemodelan sendiri adalah pada abad 18 dan 19, para ahli matematika berusaha menemukan ketidakjelasan antara persamaan diferensial dan perwujudan dari persamaan diferensial. Seorang ilmuwan matematika bernama Fourier menemukan sebuah kesalahan mendasar dari alasan pada sebuah formula yang kemudian ia teliti. Formula tersebut berhubungan dengan masalah power series. dalam kurun waktu yang cukup lama, Fourier berusaha mengekspansi formula tersebut ke dalam bentuk nyata. Sehingga ia berhasil menemukan koefisien dari formula yang diekspansi tersebut. Selanjutnya teorema ini disebut teorema ekspansi. Hasil dari penelitian panjangnya itu, ia memperoleh metode yang bermanfaat. (Susanta, 1989: 35) 1

19 2 Salah satu aplikasi dalam model matematika yaitu dalam bidang kesehatan. Matematika epidemiologi mempelajari tentang penyebaran dan kontrol wabah penyakit, serta mempelajari model epidemik yang di dalamnya termasuk penyakit penyebab kematian pada suatu populasi total yang berubah. Ketika seseorang sudah terkena penyakit (campak) maka ada beberapa kemungkinan yang dapat terjadi pada dirinya yaitu dirinya tetap menjadi pengidap penyakit tersebut dan menularkan penyakit tersebut kepada orang yang belum terkena penyakit. Dapat juga orang yang terkena penyakit tersebut meninggal dunia atau dapat juga orang tersebut kemudian sembuh dari penyakit. Asumsi jika seseorang yang terkena penyakit dan dapat sembuh maka orang tersebut akan mempunyai kekebalan (imunitas) sehingga tidak dapat diserang kembali terhadap penyakit atau virus yang sama. Model matematika epidemiologi yang akan dibicarakan dalam penulisan ini adalah model SIRV yaitu pada populasi yang terdiri dari rentan, terinfeksi, sembuh dan vaksinasi serta penerapannya terhadap bayi yang di imunisasi campak di Kotamadya Surakarta pada tahun Model matematika epidemiologi dapat juga digunakan untuk mencari kestabilan lokal titik equilibrium sebagai salah satu contoh penerapan masalah kestabilan sistem yang diperoleh melalui kestabilan matriks dari sistem persamaan diferensial.

20 3 B. Identifikasi Masalah Model matematika epidemiologi SIR berkaitan dengan pertumbuhan populasi yang dipengaruhi oleh penyebaran penyakit menular (campak) yang bersifat endemik, dengan Basic Reproduction Ratio (R 0 ) sebagai variabel utama yang mempengaruhi kestabilan dan kesetimbangan dari model matematika epidemiologi ini. Model SIR tanpa kelahiran dan kematian, R 0 dipengaruhi oleh laju kontak dan laju kesembuhan serta laju kontak perkapita. Untuk model SIR dengan kelahiran dan kematian, R 0 dipengaruhi oleh laju kontak, laju kesembuhan, laju kematian, dan laju kontak terinfeksi. demikian juga dengan model SIR dengan pemberian vaksinasi. Titik kesetimbangan endemik cenderung stabil asimtotik jika laju kesembuhan dan laju kontak terinfeksi sangat jauh lebih besar dari laju kematian. (O. Diekmann & Heestebeek, J.A.P. 2000: 2) C. Batasan Masalah Penulisan ini hanya terbatas pada model pertumbuhan populasi yang terdiri atas SIRV yang terbagi dalam 1. populasi rentan S (Susceptibles) 2. populasi terinfeksi I (Infection) 3. populasi sembuh R (Recover) 4. populasi yang diberi Imunisasi V (Vaccination). 5. Pengaruh dari ukuran penyebaran penyakit menular (campak) terhadap kestabilan populasi pada titik kesetimbangan serta

21 4 penerapan dari model epidemiologi SIRV yang telah diperoleh terhadap data bayi yang telah di imunisasi di Kotamadya Surakarta tahun D. Perumusan Masalah Penulisan ini meliputi permasalahan-permasalahan sebagai berikut: 1. Bagaimanakah model epidemiologi SIRV? 2. Bagaimanakah penerapan model SIRV terhadap data bayi yang terinfeksi penyakit campak dengan pemberian imunisasi atau tidak? E. Tujuan Penelitian Penulisan skripsi ini dimaksudkan sebagai persyaratan untuk menyusun skripsi S-1 Program Studi Matematika, Fakultas Sains Dan Teknologi. Selain itu penelitian ini bertujuan untuk 1. Menentukan model epidemiologi SIRV 2. Mengimplementasikan (menerapkan) model SIRV terhadap data bayi yang diimunisasi campak dengan pemberian imunisasi atau tidak dengan imunisasi F. Manfaat Penelitian a) Bagi Ilmu Pengetahuan Manfaat penelitian ini adalah membuka penelitian lebih lanjut mengenai pertumbuhan populasi yang dipengaruhi oleh penyebaran suatu penyakit

22 5 atau virus yang bersifat endemik, dan menambah khasanah ilmu pengetahuan dalam hal integrasi dan interkoneksi antara Matematika dan ilmu Biologi, khususnya dalam pembahasan matematika epidemik. b) Bagi Program Studi Matematika Hasil penelitian ini dapat menambah referensi mengenai penerapan matematika dalam bidang kesehatan serta sebagai rujukan atau acuan untuk penelitian berikutnya. Menambah pengetahuan bagi mahasiswa yang tertarik pada pemodelan matematika dengan menggunakan metode matriks dan persamaan diferensial dalam bentuk dan susunan yang lebih mudah untuk dipelajari. c) Bagi Penulis Penelitian ini dapat bermanfaat untuk menambah pengetahuan dan wawasan. Matematika bukan hanya sebagai ilmu saja melainkan sebagai alat untuk membantu memecahkan persoalan yang dihadapi oleh ilmu lain, khususnya adalah ilmu biologi dan kesehatan serta menambah pengalaman, motivasi dan juga menambah semangat terhadap mahasiswa yang ingin menyusun tugas akhir. G. Tinjauan Pustaka Penulisan skripsi yang berjudul Model Matematika Epidemiologi SIRV (Susceptibles, Infection, Recover, Vaccination), serta penerapannya terhadap

23 6 bayi yang diimunisasi Campak di Kotamadya Surakarta tahun Merujuk pada beberapa buku dan tugas akhir sebagai acuan. 1. Skripsi yang ditulis oleh Muzdhalifah Dwi A (mahasiswa Program Studi Matematika FMIPA UGM): Model Matematika Epidemiologi SIR (Susceptibles, Infection, Recover) dan SEIR (Susceptibles, Exposed, Infection, Recover). 2. Skripsi yang ditulis oleh M.Sumaryanto (mahasiswa program studi Matematika FMIPA UGM): Model Matematika Epidemiologi SIR (Susceptibles, Infection, Recovery). 3. Mathematical Epidemiology Of Infectious Diseases: Model Building, Analysis And Interpretation, yang ditulis oleh O.Diekmann, Heesterbeek (2000) yang berisi tentang penyebaran penyakit yang bersifat endemik, perkembangan ataupun kestabilan dari populasi dan bagaimana dalam populasi yang endemik penyakit terjadi proses kelahiran maupun kematian yang akan mempengaruhi tingkat kestabilan populasi dan dikenalkan pula Basic Reproduction Ratio (R 0 ) sebagai ekspetasi proses penyebaran penyakit atau virus dan pengaruhnya terhadap populasi jika R 0 kurang atau lebih dari keadaan normal (R 0 = 1) terhadap titik kesetimbangan dan kestabilan sistem dari model matematika epidemiologi.

24 BAB V PENUTUP A. KESIMPULAN Berdasarkan uraian yang telah dijabarkan pada bab-bab sebelumnya, dapat diambil beberapa kesimpulan berikut ini, 1. Model epidemiologi SIRV dengan kelahiran dan kematian diperoleh persamaan diferensial sebagai berikut ds = b1s βsi µ S + γv, dt di = βsi µ I αi + σvi, dt dr = αi µ R, dt dv = (1 b1 ) V µ V γv σvi dt 2. Perhitungan pada data bayi yang diberi imunisasi campak di Kotamadya Surakarta tahun 2007 dapat diterapkan menggunakan model SIRV kemudian diaplikasikan dengan menggunakan program MAPLE versi Titik kesetimbangan bebas penyakit adalah suatu kondisi dimana sudah tidak ada lagi penyakit yang menyerang atau dalam artian tidak ada lagi individu yang terserang penyakit 4. Titik kesetimbangan endemik adalah suatu kondisi dimana penyakit selalu ada di dalam populasi tersebut, maksudnya adalah bahwa selalu saja ada individu yang terserang penyakit 74

25 75 5. Hasil penelitian dengan menggunakan program MAPLE versi 9.5 diperoleh bahwa populasi bayi dengan pemberian imunisasi mengalami kenaikan diatas 60 kemudian berangsur-angsur turun menuju minggu yang ke-30. Sedangkan populasi bayi yang terinfeksi campak mengalami peningkatan bulan pertama kemudian turun hingga minggu ke-30. Populasi bayi yang tergolong rentan mengalami peningkatan hingga ke puncak maksimum lebih dari 10 kasus kemudian turun menuju minggu ke- 10. peningkatan grafik diakibatkan terjadinya wabah dalam suatu endemik yang disebabkan oleh faktor-faktor tersebut. B. SARAN Berdasarkan uraian yang telah dijelaskan pada bab-bab sebelumnya, dapat diambil beberapa saran agar dapat memperbaiki skripsi ini dan melakukan pengembangan lebih lanjut yaitu 1. Dapat dilakukan pengembangan lebih lanjut tentang model matematika epidemiologi pada kasus-kasus Penyakit menular lain seperti penyakit AIDS, dan Hepatitis B. 2. Dapat mengembangkan model matematika epidemiologi terhadap bentukbentuk model lain seperti SIRS, SEIRS maupun penambahan model dengan Vaksinasi.

26 DAFTAR PUSTAKA Diekmann, O & Heesterbeek, J.A.P. 2000, Mathematical Epidemiolgy of Infectious Diseases : Model Building, Analysis and Interpretation, John Willey, New York Finizio,N.,& Ladas,G., 1998, Persamaan Differensial Biasa Dengan Penerapan Modern, Penerbit Erlangga, Jakarta. Howard, A,1995, Aljabar Linear Elementer, edisi kelima, Erlangga, Jakarta. Lawrence,P.1991, Differential Equation and Dynamical System, Springer- Verlag, Berlin. Maki, P. Daniel dan Thompson, M. (1973). Mathematical Model And Applications. New Jersey: Prentice Hall. Meyer, Walter J. (1984). Concept Of Mathematical Modelling- New York: Mc Graw-Hill Book Company. M, Sumaryanto Model Matematika Epidemiologi SIR ( Susceptibles, Infection, Recovery ). Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Gadjah Mada. Yogyakarta. Muzdhalifah Dwi, A. Model Matematika Epidemiologi SIR ( Susceptibles, Infection, Recoveri ) dan SEIR ( Susceptibles, Exposed, Infection, Recovery ). Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Gadjah Mada. Yogyakarta. Oldes,G.J and Vonder Woude,J.W., Mathematical System Theory, First Edition, Delftse Witgevers Maatschappij, The Netherlands. Susanta, B. (1989). Model Matematika. Modul UT. Jakarta - Tembolok - Halaman sejenis jam hari rabu tanggal 23 juli k - Tembolok - Halaman sejenis jam hari rabu tanggal 23 juli jam hari rabu tanggal 23 juli k - Tembolok - Halaman sejenis jam hari rabu tanggal 23 juli

27 k - Tembolok - Halaman sejenis jam hari rabu tanggal 23 juli emid=698-35k - Tembolok - Halaman sejenis jam hari rabu tanggal 23 juli k - Tembolok - Halaman sejenis jam hari rabu tanggal 23 juli 2008