PERSAMAAN BLACK-SCHOLES-BARENBLATT UNTUK OPSI DENGAN VOLATILITAS DAN SUKU BUNGA TAK PASTI. Oleh: MERDINA YESI NUSA ASMARA G

Transkripsi

1 PERSAMAAN BLACK-SCHOLES-BARENBLATT UNTUK OPSI DENGAN VOLATILITAS DAN SUKU BUNGA TAK PASTI Oleh: MERDINA YESI NUSA ASMARA G546 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 6

2 ABSTRAK MERDINA YESI NUSA ASMARA Persamaan Black-Scholes-Barenblatt untuk Opsi dengan Volatilitas dan Suku Bunga Tak Pasti Dibimbing oleh EFFENDI SYAHRIL dan ANNIS DINIATI RAKSANAGARA Opsi merupakan salah satu jenis dari instrumen keuangan yang nilainya bergantung pada nilai aset lain yang mendasari Opsi memberikan hak untuk membeli (opsi call ) atau menjual (opsi pu aset yang mendasarinya pada waktu tertentu (waktu jatuh tempo) dan harga tertentu (harga eksekusi) Sejak awal tahun sembilan puluhan sudah banyak peneliti yang bekerja keras mencari formula untuk penilaian opsi Dengan bantuan Robert Merton pada tahun 973 Fisher Black dan Myron Scholes menghadirkan formula penilaian opsi dalam bentuk persamaan diferensial yang dapat membantu para pialang saham menentukan apakah sebuah opsi terlalu mahal atau sebaliknya terlalu murah relatif terhadap harga saham pada saat itu persamaan diferensial tersebut dikenal dengan persamaan Black-Scholes Salah satu parameter dari formula Black-Scholes (B-S) yang tidak bisa dilihat nilainya secara langsung adalah volatilitas dari aset yang mendasari Volatilitas menunjukkan peluang suatu saham untuk berfluktuasi yang dapat dihubungkan dengan jumlah informasi masuk setiap saat Volatilitas dan suku bunga dalam persamaan B-S diasumsikan konstan dan ini tidaklah sesuai dengan kenyataan yang ada Untuk menyempurnakan persamaan B-S maka dalam skripsi ini diperkenalkan suatu persamaan yang merupakan perluasan dari persamaan B-S yang disebut persamaan Black-Scholes- Barenblatt (BSB) Dalam persamaan BSB nilai volatilitas dan suku bunga yang digunakan adalah tak konstan (tak pasti) namun terletak dalam suatu batas tertentu Akibat dari adanya batas-batas dalam volatilitas dan suku bunga tersebut maka nilai dari opsi akan terletak dalam suatu batas tertentu Dengan mengetahui batas dari nilai suatu opsi maka investor dapat memprediksi kapan harus mengeksekusi kontrak opsi yang dimiliki agar mendatangkan keuntungan

3 PERSAMAAN BLACK-SCHOLES-BARENBLATT UNTUK OPSI DENGAN VOLATILITAS DAN SUKU BUNGA TAK PASTI Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika Oleh: MERDINA YESI NUSA ASMARA G5465 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 6 3

4 Judul : Persamaan Black-Scholes-Barenblatt untuk Opsi dengan Volatilitas dan Suku Bunga Tak Pasti Nama : Merdina Yesi Nusa Asmara NRP : G546 Menyetujui : Pembimbing I Pembimbing II Drs Effendi Syahril Grad Dipl NIP Dra Annis Diniati R MSi NIP Mengetahui : Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor Prof Dr Ir Yonny Koesmaryono MS NIP Tanggal Lulus : 4

5 KATA PENGANTAR Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT karena dengan rahmat hidayah serta izin- Nya lah penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi ini Shalawat serta salam marilah kita tujukan pada junjungan besar kita Nabi Muhammad Saw seorang pemimpin besar yang menjadi panutan dunia dan akhirat Skripsi yang berjudul Persamaan Black-Scholes-Barenblatt untuk Opsi dengan Volatilitas dan Suku Bunga Tak Pasti ini merupakan syarat untuk mendapatkan gelar Sarjana Sains (SSi) Tanpa bantuan doa serta dorongan yang diberikan oleh berbagai pihak penulis tidak akan mampu menyelesaiakan penyusunan skripsi ini Untuk itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada: Mami dan Papi karena berkat mereka berdualah penulis sekarang ini ada dan akhirnya lulus juga dari IPB Bpk Drs Effendi Syahril Grad Dipl dan Ibu Dra Annis D Raksanagara MSi selaku pembimbing I dan II serta Ibu Ir Retno Budiarti MS selaku penguji 3 Kakak-kakakku Mbak Deki Mbak Rita Mas Juni dan Mas Hendri terima kasih doa dan semangatnya Manda dan Icha tante sudah lulus sekarang 4 Aditya Kresna Priambudi atas kesabaran semangat bantuan cinta dan sayangnyalah penulis dapat menyelesaikan skripsi ini juga untuk Mama terima kasih atas perhatiannya selama ini 5 Nely Nita dan Ike yang sudah bersedia menjadi pembahas dalam seminar penulis 6 Teman-teman di Math_39: (Tika Eryt Dina Rani Ade Tami dan Desi) terima kasih atas kebersamaannya selama ini Aden Yana Irwan Fitrah Febi Arif Kabul dkk (yang tidak bisa penulis sebutkan satu-persatu) terima kasih untuk keceriaannya selama kurang lebih 4 tahun kita bersama 7 Teman-teman di bkl_bkp@d (Iwan Angga Feri dan Mas Yan terima kasih untuk tumpangannya selami inibuat mpus dan anak-anaknya) dan di Radar 59 (Mbak Niken Mbak Lala Ayu dan Muli terima kasih atas semangat dan bantuanbantuannya) 8 Bu Susi Bu Ade Bu Marisi Mas Bono Mas Deni dan Mas Yono terima kasih atas bantuannya 9 Kakak-kakak kelas Math_ dan 38 Adik-adikku Math_4 dan 4 terima kasih semangatnya Penulis tidak akan melupakan semua kebaikan yang telah diberikan Terima kasih Bogor Agustus 6 Merdina Yesi Nusa Asmara 5

6 RIWAYAT HIDUP Penulis lahir pada tanggal Desember 983 di Blitar Jawa Timur sebagai putri bungsu dari tiga bersaudara dari pasangan Untung Sardjono Atmojo Bsc dan Nanik Suwiyani Tahun penulis lulus dari SMU I Talun Blitar Pada tahun yang sama penulis masuk IPB melalui jalur USMI (Undangan Seleksi Masuk IPB) dan memilih Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Selama mengikuti perkuliahan penulis pernah menjadi Asisten Dosen Matematika Dasar pada tahun 4/5 Selain itu penulis juga aktif menjadi anggota Departemen Kesenian dan Olah Raga Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) IPB masa kepengurusan 4/5 6

7 DAFTAR ISI Halaman DAFTAR GAMBAR iv PENDAHULUAN Latar Belakang Tujuan 3 Metode dan Sistematika Penulisan LANDASAN TEORI Gerak Brown Dimensi Satu Kalkulus Stokastik 3 Model untuk Harga Saham 3 4 PDS Fungsional dari Harga Saham 3 5 Penilaian Opsi 3 6 Formula Black-Scholes untuk Opsi Call 4 7 Put-Call Parity 4 8 Formula Black-Scholes untuk Opsi Put 4 9 Opsi Barrier 5 Model Difusi 5 Persamaan Barenblatt 5 Uji Turunan Kedua 5 3 Persamaan Parabola 6 PENENTUAN BATAS-BATAS OPSI DAN PERSAMAAN BLACK- SCHOLES-BARENBLATT 6 3 Penentuan Batas-Batas Opsi Tipe Eropa 6 3 Penentuan Batas Bawah Opsi Tipe Eropa 7 3 Penentuan Batas Atas Opsi Tipe Eropa 7 3 Pengertian Persamaan Black-Scholes-Barenblatt (BSB) 8 33 Persamaan BSB untuk Batas-Batas Opsi Tipe Eropa 8 34 Penentuan Batas-Batas Opsi Tipe Amerika 9 34 Penentuan Batas Bawah Opsi Tipe Amerika 9 34 Penentuan Batas Atas Opsi Tipe Amerika 9 35 Persamaan BSB untuk Batas-Batas Opsi Tipe Amerika 36 Penentuan Batas-Batas Eksekusi Awal Opsi Tipe Amerika 36 Penentuan Batas Atas Eksekusi Awal Opsi Tipe Amerika 36 Penentuan Batas Bawah Eksekusi Awal Opsi Tipe Amerika PENENTUAN BATAS-BATAS DELTA 4 Pengertian Delta 4 Penentuan Batas Delta 3 4 Penentuan Batas Bawah Delta 3 4 Penentuan Batas Atas Delta 4 43 Persamaan BSB untuk Batas-Batas Delta 4 SIMPULAN DAN SARAN 5 DAFTAR PUSTAKA 5 7

8 DAFTAR GAMBAR Halaman Parabola dengan p > 6 Parabola dengan p < 6 8

9 I PENDAHULUAN Latar Belakang Produk turunan adalah suatu instrumen keuangan yang nilainya bergantung pada aset lain yang mendasari (underlying asse Produk turunan sekarang ini sudah banyak diperdagangkan dalam berbagai bursa di dunia misalkan saja di CBOE (Chicago Board Options Exchange) pada tahun 973 mulai menjual opsi dari 6 saham dan sekarang ini CBOE telah menjual opsi lebih dari saham (Hull 3) Opsi merupakan salah satu jenis dari produk turunan Opsi memberikan hak untuk membeli (opsi call ) atau menjual (opsi pu aset yang mendasarinya pada waktu tertentu (waktu jatuh tempo) dan harga tertentu (harga eksekusi) Salah satu cara yang digunakan untuk menentukan nilai opsi adalah formula Black- Scholes Pada aplikasinya di pasar para praktisi pasar modal tidaklah sepenuhnya menerapkan asumsi yang digunakan dalam formula Black-Scholes Hal ini karena parameter-parameter yang digunakan dalam formula Black-Scholes adalah konstan termasuk nilai volatilitas dan suku bunganya Pada kenyataannya volatilitas dan suku bunga bukanlah parameter yang konstan Volatilitas yang dinotasikan dengan σ merupakan simpangan baku dari harga aset yang mendasari kontrak opsi Harga aset sendiri selalu berubah-ubah setiap waktu hal ini mengakibatkan volatilitas juga berubahubah setiap waktu Suku bunga yang dinotasikan dengan r dipengaruhi oleh banyak hal salah satunya adalah nilai tukar mata uang asing dan ini menyebabkan suku bunga tidak bernilai konstan Dalam karya ilmiah ini akan dibahas tentang nilai batas suatu opsi apabila diketahui volatilitas dan suku bunga yang digunakan tidak konstan (tak pasti) namun terletak dalam suatu batas tertentu Bentuk persamaan dari batas-batas opsi tersebut akan dibahas juga dalam karya ilmiah ini yang selanjutnya disebut dengan persamaan Black-Scholes-Barenblatt (BSB) Persamaan BSB ini merupakan perluasan dari persamaan Black-Scholes dengan volatilitas dan suku bunga tak konstan Dalam karya ilmiah ini akan dibahas juga mengenai penurunan batas dari delta yaitu tingkat perubahan rata-rata nilai opsi terhadap harga aset yang mendasari Delta merupakan salah satu alat untuk mengendalikan resiko yang ditimbulkan oleh adanya transaksi dari opsi Tujuan Penulisan Tujuan dari karya ilmiah ini adalah untuk mempelajari : Penentuan batas atas dan batas bawah opsi untuk underlying asset yang mempunyai volatilitas tidak konstan dan suku bunga tidak konstan (tak pasti) Perumusan persamaan Black- Scholes- Barenblatt 3 Penentuan batas-batas delta 3 Metode dan Sistematika Penulisan Metode penulisan karya ilmiah ini adalah studi literatur dan materi utamanya mengacu pada jurnal The Black Scholes Barenblatt Equation for Options with Uncertain Volatility and its Application to Static Hedging oleh Gunter H Meyer tahun 4 Pada bab pertama dijelaskan latar belakang dan tujuan dari penulisan karya ilmiah ini Dalam bab kedua berisi landasan teori yang menjadi konsep dasar dalam penyusunan pembahasan Pada bab ketiga akan dijelaskan tentang penentuan batas-batas opsi dan persamaan Black-Scholes-Barenblatt (BSB) Kemudian di bab keempat berisikan tentang penentuan batas-batas dari suatu delta Di bab kelima diberikan saran dan kesimpulan dari karya ilmiah ini dan yang terakhir yaitu bab keenam berisi daftar pustaka yang menjadi acuan dalam penulisan karya ilmiah ini II LANDASAN TEORI Bab ini berisikan teori yang menjadi konsep dasar dalam pengerjaan karya ilmiah Bahasan dari karya ilmiah ini merupakan perluasan dari persamaan Black-Scholes maka landasan teori yang dipergunakan dalam karya ilmiah ini sebagian besar mengacu pada landasan teori karya ilmiah lain yang membahas tentang persamaan Black-Scholes Karya ilmiah yang digunakan sebagai acuan tersebut antara lain adalah karya Chandra (998) Bahri (5) dan Amellia (5) 9

10 Hal-hal yang perlu dikaji lebih lanjut dan berhubungan dengan pembahasan karya ilmiah ini akan dijelaskan sebagai berikut: Gerak Brown Dimensi Satu Sebelum membahas mengenai gerak Brown terlebih dahulu perlu diketahui tentang proses stokastik Definisi [Proses Stokastik] Proses stokastik adalah sekumpulan parameter dari peubah acak { X ( } t T () yang didefinisikan pada ruang probabilitas ( Ω F P) dan nilainya berada pada R n t adalah waktu Parameter T terdefinisi pada selang [ ) selang [ab] dengan ab R atau bilangan bulat tak negatif (Øksendal 995) Proses stokastik gerak Brown dimensi satu adalah proses stokastik yang digunakan dalam karya ilmiah ini Proses stokastik gerak Brown dimensi satu didefinisikan sebagai berikut Definisi [Gerak Brown Dimensi Satu] Proses stokastik { B ( t } dikatakan sebagai gerak Brown dimensi satu apabila B ( memiliki sifat-sifat berikut: B ( ) = Untuk t t tn peubah acak B ( ti ) B( ti ) adalah saling bebas untuk i = 3 3 Untuk s t maka B( B( s) ~ N( t s) (Karatzas dan Shreve 987) Kalkulus Stokastik Model persamaan diferensial yang melibatkan peubah acak menurut waktu dapat dijelaskan dengan menggunakan kalkulus stokastik Peubah yang bernilai acak ini dinyatakan sebagai proses stokastik Pada umumnya suatu sistem dimodelkan oleh suatu persamaan diferensial deterministik: dx = f ( x dt () x ( ) = x (3) dengan x dan f masing-masing adalah variabel dan fungsi deterministik Jika perubahan dari sistem menjadi tidak deterministik tetapi ada noise maka perubahan sistem yang merupakan suatu peubah acak X ( dapat dituliskan dalam persamaan diferensial berikut: dx ( = a( X ( noise (4) X ( ) = X (5) Terdapatnya noise atau gangguan menjadikan solusi persamaan diferensial di atas tidak lagi deterministik karena noise ini juga akan mempengaruhi solusi yang diperoleh Oleh karena itu diperlukan suatu model untuk menggambarkan noise tersebut Model yang akan digunakan adalah proses stokastik yang didasari oleh gerak Brown dimensi satu Definisi 3 [Proses Itô atau Integral Stokastik] Misal B( adalah gerak Brown dimensi satu pada ( Ω F P) Proses Itô (integral stokastik) adalah proses stokastik X ( pada Ω F P dari bentuk ( ) t X ( = X () a( X ( s) s) ds b( X ( s) s) db( s) (6) Proses Itô X ( dapat juga dituliskan dalam bentuk persamaan diferensial stokastik (PDS) berikut: dx ( = a( X ( dt b( X ( db( (7) (Øksendal 995) Teorema Misalkan proses stokastik { X ( t } mempunyai diferensial stokastik dx ( = a( X ( dt b( X ( db( Misalkan fungsi g: [ ) R R merupakan fungsi kontinu yang mempunyai turunan parsial kontinu Maka proses Y ( X ( = g( X ( adalah proses Itô sehingga didefinisikan dy ( = g t ( X ( dt g x ( X ( dx ( g xx ( X () t ( dx ( ) (8) g g g dimana g t = g x = g xx = t X X Dengan dt = db( dt = dtdb( = dan ( db ( ) = dt (Øksendal 995) Bukti dapat dilihat pada Øksendal (995) dan Amellia (5) t

11 Teorema Perhatikan PDS berikut : dx t = a X t t dt b X t t db t () ( () ) ( ( ) ) ( ) Misalkan fungsi a ( X ( dan b ( X ( mempunyai turunan pertama dan kedua yang kontinu dan terbatas u x t = E g X s X t = x s [ ] n t s dan g C ( R ) Misalkan ( ) ( ( )) ( ) tetap Atau dapat juga dituliskan u( x = E x t [ g( X ( s) )] (9) Maka u ( x memenuhi persamaan Kolmogorov mundur u Lu = t t s x () u ( x = g( x) t s () dengan u u L u = a( x ( x b( x ( x () x x (Øksendal 995) Bukti dapat dilihat pada Øksendal (995) dan Amellia (5) 3 Model untuk Harga Saham Harga saham yang berubah secara acak menurut waktu diasumsikan sebagai suatu proses stokastik diasumsikan juga tidak ada pembayaran dividen atas saham Misalkan harga saham S ( pada waktu t Pada selang waktu yang kecil dt harga saham S( akan berubah menjadi S ( ds( Tingkat pengembalian untuk ds( saham dapat dimodelkan dalam dua S( bentuk yaitu yang pertama adalah bentuk pengembalian dari harga saham yang dapat bersifat deterministik yaitu μ dt dengan μ adalah tingkat rata-rata pertumbuhan harga saham (drif dan bentuk yang kedua adalah pengembalian dari harga saham yang bersifat stokastik yaitu σ db( dengan σ adalah volatilitas harga saham dan db ( adalah bentuk keacakan yang mempengaruhi harga saham Dengan adanya bentuk pengembalian saham seperti di atas harga saham dapat dituliskan sebagai persamaan diferensial stokastik: ds( = μ S( dt σs( db( (3) dengan t [ ) S ( [ ) dan B ( adalah gerak Brown dimensi satu 4 PDS Fungsional dari Harga Saham Pada bagian ini diberikan bentuk PDS untuk suatu peubah yang nilainya bergantung pada harga saham S ( dan waktu t Perubahan dari S ( dapat dimodelkan dengan memanfaatkan formula Itô Misalkan diberikan peubah Y ( yang bergantung pada S ( dan t Berdasar Hull (997) apabila harga saham S ( mengikuti model saham (3) maka bentuk PDS untuk Y ( ditentukan oleh teorema berikut Teorema 3 Misalkan diberikan Y ( = g( S( dengan t [ ) dan S ( memiliki persamaan diferensial stokastik (3) maka persamaan diferensial stokastik bagi fungsi Y ( dapat dinyatakan dalam bentuk: g g g dy ( = μs () t σ S () t dt S t S g σs () t db () t S (4) (Hull 997) Bukti dapat dilihat pada Hull (997) dan Amellia (5) 5 Penilaian Opsi Nilai opsi adalah besarnya biaya (premi) yang dikeluarkan oleh seorang investor untuk mendapatkan kontrak opsi dan pembayarannya dilakukan pada saat kontrak dibuat Nilai opsi yang dibahas oleh Fisher Black dan Myron Scholes hanya yang bergantung pada harga saham waktu dan parameter lain yang bernilai konstan Penilaian opsi merupakan suatu masalah yang berkembang cukup lama dalam finansial Secara khusus terdapat suatu riset yang memfokuskan mengenai ada atau tidaknya hubungan antara harga saham dan kontrak opsi yang tertulis pada saham tersebut Masalah ini telah dipecahkan pada tahun 973 oleh Fisher Black dan Myron Scholes yang kemudian formulanya dikenal dengan formula Black-Scholes Sehingga diperoleh teorema berikut Teorema 4 Misalkan V ( S menyatakan nilai opsi Maka V memenuhi persamaan diferensial parsial Black-Scholes:

12 V V V σ S rs rv = (5) t S S (Hull 997) Bukti dapat di lihat pada Hull (997) dan Amellia (5) 6 Formula Black-Scholes untuk Opsi Call Misalkan S T adalah harga saham dan K adalah harga eksekusi yang disepakati Apabila K < ST pada saat jatuh tempo maka pemegang kontrak opsi akan mengeksekusi kontraknya karena investor mendapatkan untung sebesar S T K sebaliknya jika S T < K pada saat jatuh tempo maka pemegang kontrak opsi tidak akan mengeksekusi kontraknya karena investor akan rugi sebesar K ST untuk kondisi ini opsi tidak mempunyai nilai pada saat jatuh tempo Jadi nilai intrinsik opsi call pada saat jatuh tempo dapat dituliskan sebagai suatu payoff (penerimaan) bagi pemegang kontrak sebagai berikut: C( S T) = max( ST K) Menurut persamaan (3) jika S bernilai maka ds juga akan bernilai akibatnya S tidak akan pernah berubah Ini merupakan masalah deterministik dari PDS (3) Jadi jika S = pada saat jatuh tempo maka payoff bernilai nol Akibatnya opsi call tidak mempunyai nilai pada saat S = walaupun belum jatuh tempo Jadi pada saat S = dipunyai C ( = Sehingga didapat teorema berikut Teorema 5 Solusi dari persamaan diferensial parsial Black-Scholes C C C σ S rs rc = t S S (6) dengan syarat batas C( S T ) = max( ST K) C ( = (7) adalah nilai opsi call yang diberikan oleh: C t r ( ) ( ) ( T t S t = SN d Ke ) N ( d ) [ T ] (8) dengan ln( S / K ) ( r σ / )( T d = (9) σ T t d = d σ T t () dan N( d i ) adalah fungsi sebaran normal kumulatif dan berbentuk : N π y ( d ) = e dy i d i () (Hull 997) Bukti dapat dilihat pada Hull (997) dan Amellia (5) 7 Put-Call Parity Berdasarkan definisi terlihat bahwa opsi put dan opsi call mempunyai perilaku yang bertolak belakang Dalam praktiknya put dan call dapat dikombinasikan dalam suatu bentuk dimana kolerasinya sangat dekat Hal ini diperlihatkan dalam teorema berikut Teorema 6 Nilai dari opsi call dan put dapat dinyatakan sebagai put-call parity dan memenuhi persamaan r( T S P( S C( S = Ke () (Hull 997) Bukti dapat dilihat pada Hull (997) dan Amellia (5) 8 Formula Black-Scholes untuk Opsi Put Dengan menggunakan konsep put-call parity jika nilai opsi call sudah diketahui maka nilai opsi put juga dapat ditentukan Dari segi holder (pemegang kontrak opsi) payoff yang didapat dari adanya kontrak opsi adalah C( S T ) = max( ST K) Sedangkan dari segi written (pembuat kontrak opsi) payoff yang diterima adalah sebesar P S T ) = max( K S ) ( T Teorema 7 Nilai opsi put diberikan oleh r( T P( S = Ke N( d) SN( d ) (3) dengan syarat batas P( S T ) = max( K ST ) P( = dan d dan d seperti pada persamaan (9) dan () (Hull 997) Bukti dapat dilihat pada Hull (997) dan Amellia (5)

13 9 Opsi Barrier Opsi barrier adalah opsi yang payoff (penerimaan) nya bergantung pada harga aset yang mendasari yang mencapai suatu tingkat tertentu selama periode waktu tertentu Opsi barrier ini mempunyai beberapa tipe yaitu: Up and out call adalah jenis opsi call yang segera dieksekusi jika nilai asetnya mencapai tingkat barrier tertentu yaitu X yang nilainya lebih besar dari nilai aset pada waktu awal kontrak Up and out put adalah jenis opsi put yang segera dieksekusi jika nilai asetnya mencapai tingkat barrier tertentu yaitu X yang nilainya lebih besar dari nilai aset pada waktu awal kontrak Untuk up and out call jika nilai X K maka nilai dari up and out call adalah dengan X adalah tingkat barrier dan K adalah harga eksekusi Jika X > K maka nilai up and out call ( c uo ) dirumuskan sebagai berikut: qt rt c = c [ SN x e Ke N x σ T uo Se Ke N qt ( ) ( ) λ ( H / S ) [ N ( y) N ( y ) rt λ ( H / S ) [ N ( y σ T ) ( y σ T )]] dengan q = tingkat yield (penerimaan yang dinyatakan dengan persen yang diperoleh dari hasil investasi) qt rt c = Se N d Ke N d d ln = ( ) ( ) d ( S / K ) ( r q σ / ) T = d σ T σ T r q σ / λ = σ ln[ H / SK ] y = λσ T σ T ln( S / H ) x = λσ T σ T ln( H / S ) y = λσ T σ T Untuk up and out put jika X K maka p adalah nilai up and out put ( ) uo p uo Jika qt λ = p [ Se ( H / S ) N ( y) λ ( H / S ) N ( y σ T ) X < K maka nilai ( ) uo p adalah Ke ] rt p uo = SN Se Ke N dengan p = Ke qt rt ( x ) e Ke N( x σ T ) qt λ ( H / S) [ N( y) N( y ) rt λ ( H / S) [ N( y σ T ) ( y σ T )] rt N qt ( d ) Se N ( ) d ] (Hull 3) Model Difusi Model difusi dalam fisika digunakan untuk memodelkan penyebaran kepadatan suatu kuantitas Pada pasar keuangan hal ini bisa digunakan untuk memodelkan penyebaran nilai fluktuasi suatu data keuangan Model difusi biasanya memiliki bentuk dasar P = P atau dapat dituliskan sebagai t P ( x t ) δ P ( x t ) = t x (Hariadi Y dan Surya Y 6) Persamaan Barenblatt Persamaan Barenblatt adalah nama lain dari persamaan difusi yang tak linier Persamaan ini memiliki koefisien difusi yang tidak kontinu Bentuk persamaan Barenblatt adalah sebagai berikut: t u( x D( u) xu( x = dengan D( u) k[ gθ ( α tu) ] adalah koefisien difusi tak linier dengan konstanta α > Dan θ ( x) di definisikan sebagai berikut: x > θ ( x) = x < g adalah konstanta pengontrol ketidaklinieran koefisien difusi (Fukui T dan Yoshida S 6) Uji Turunan Kedua Andaikan f " kontinu dekat c Jika f '( c) = dan "() c > f maka f mempunyai minimum lokal pada c f ' c = dan f "() c < Jika ( ) maka f mempunyai maksimum lokal pada c (Stewart ) 3

14 3 Persamaan Parabola Persamaan Black-Scholes merupakan persamaan diferensial yang berbentuk parabola Sebuah parabola adalah himpunan titik-titik di suatu bidang yang berjarak sama pada suatu titik tetap (fokus) dan suatu garis tetap (direktriks) Persamaan parabola dengan fokus ( p) dan direktriks y = p adalah x = 4 py Persamaan di atas dapat dituliskan menjadi: x 4 py = Jika x 4 py < maka p > Jika x 4 py > maka p < Parabola ini akan terbuka ke atas jika p > dan ke bawah jika p < Gambar Parabola dengan p > Gambar Parabola dengan p < (Stewart 3) III PENENTUAN BATAS-BATAS OPSI DAN PERSAMAAN BLACK-SCHOLES-BARENBLATT Sejak awal tahun sembilan puluhan sudah banyak peneliti yang bekerja keras mencari formula untuk penilaian opsi Mereka mencoba membuat formula dengan menggunakan berbagai asumsi untuk mendukung hasil kerjanya Asumsi-asumsi yang digunakan dari tahun ke tahun mengalami banyak perubahan sebagai penyempurnaan dari asumsi-asumsi sebelumnya Dengan bantuan Robert Merton pada tahun 973 Fisher Black dan Myron Scholes menghadirkan formula penilaian opsi dalam bentuk persamaan diferensial yang dapat membantu para pialang saham menentukan apakah sebuah opsi terlalu mahal atau sebaliknya terlalu murah relatif terhadap harga saham pada saat itu Salah satu parameter dari formula Black- Scholes yang tidak bisa dilihat nilainya secara langsung adalah volatilitas dari aset yang mendasari Dengan kenyataan tersebut maka para pelaku perdagangan opsi mulai menggunakan implied volatilities untuk mengetahui nilai volatilitas yang berlaku di pasar Implied volatilities adalah suatu volatilitas yang berimplikasi dengan harga opsi yang terbentuk di pasar Selain menggunakan implied volatilities untuk mengatasi ketidaksempurnaan formula Black-Scholes (B-S) maka dalam bab ini akan dibahas mengenai batas-batas dari nilai opsi yang bersesuaian dengan volatilitas dan suku bunga yang terletak dalam suatu batas tertentu Penentuan suatu persamaan yang merupakan perluasan dari persamaan Black- Scholes untuk menentukan nilai batas opsi juga akan dibahas dalam bab ini Persamaan tersebut selanjutnya dikenal sebagai persamaan Black-Scholes-Barenblatt (BSB) 3 Penentuan Batas-Batas Opsi Tipe Eropa Asumsikan opsi yang digunakan adalah up and out call tipe Eropa V ( S dengan waktu jatuh tempo T harga eksekusi K harga saham S dan tingkat up and out barrier adalah X dengan X > K Selain itu diasumsikan juga bahwa S ( X ) dan t ( T ] maka menurut Teorema 4 bentuk persamaan Black Scholesnya adalah sebagai berikut : Η( σ r) V σ ( S S VSS r( S SVS (3) r S t V V = ( ) t 4

15 dengan nilai σ dan r sudah ditentukan dan dengan syarat batas : V ( = V ( X = Syarat awal dari persamaan (3) adalah V S yang dipartisi menjadi: ( ) S < K V( S ) = SK K S X ε X S ( X ε K) X ε < S < X ε untuk suatu ε yang sangat kecil dan positif Persamaan (3) hanya berlaku untuk nilai σ dan r yang konstan Padahal kedua nilai tersebut tidaklah mungkin konstan dalam dunia nyata Agar memudahkan perhitungan dengan melihat kenyataan yang ada diasumsikan bahwa σ dan r terletak dalam suatu batas tertentu namun tetap memiliki nilai yang tidak pasti yaitu sebagai berikut: σ( S σ( S σ( S (3) dan r ( S r( S r ( S (33) dengan σ ( S > merupakan nilai terendah dari volatilitas aset yang mendasari dan σ ( S adalah nilai tertinggi dari volatilitas aset yang mendasari Notasi r ( S dan r ( S masing-masing adalah batas nilai terendah dan batas tertinggi dari suku bunga Nilai dari volatilitas dan suku bunga yang digunakan untuk memodelkan harga opsi masing-masing terletak dalam suatu batas tertentu maka secara otomatis harga dari opsi akan terletak dalam suatu batas tertentu juga Akan ditunjukkan bahwa: V S t V S t V S (34) ( ) ( ) ( ) t 3 Penentuan Batas Bawah Opsi Tipe Eropa Pembuktian dari pertidaksamaan (34) dimulai dengan menunjukkan V ( S V ( S Perhatikan persamaan di bawah ini: Η( σ rv ) = S [( σ σ ) V SS ( σ σ ) V SS ] [( rr ) ( SV V ) ( rr) ( SV V ) ] S t t S ( ) V ( ) V = S [( σ σ ) V SS ( σ σ ) V SS ] [( rr ) ( SV SV ) ( rr )( SV SV ) ] (35) Persamaan di atas memiliki syarat batas yang sama seperti syarat batas pada persamaan Η σ r adalah suatu operator B-S (3) ( ) pada persamaan (3) SS V = SS < V V SS V V V = V V ( ) { SV S } dan ( ) { SV S } SS SV S adalah max SV S adalah min Persamaan (35) dapat dituliskan dalam bentuk Η( σ r) V = F ( S V V S V SS ) (36) untuk penyederhanaan tulisan F adalah sisi kanan dari persamaan (35) dan nilainya adalah: F ( S V VS VSS ) Asumsikan bahwa V merupakan solusi dari persamaan (35) pada daerah asal D ( T ] ( X ) yang kontinu pada [ T ] [ X ] dengan syarat batas seperti pada persamaan (3) Jika didefinisikan : e ( S = V ( S V ( S maka Η( σ r) e pada D = ( X ) ( T ] Berdasarkan prinsip standar maksimum parabola fungsi e ( S tidak mempunyai nilai maksimum yang positif pada D Jadi e ( S pada D Ini berarti bahwa: V ( S V ( S sehingga terbukti V ( S merupakan batas bawah dari harga opsi untuk nilai σ dan r yang berada dalam pertidaksamaan (3) dan (33) 3 Penentuan Batas Atas Opsi Tipe Eropa Jika pada persamaan (35) fungsi maksimum dan minimum pada F ditukar yaitu: V ( ) ( ) SS V SS SV S V SV S V dan notasi V V maka dengan melakukan proses yang sama dengan persamaan (35) didapat persamaan baru sebagai berikut: Η( σ rv ) = S [( σ σ ) V SS ( σ σ ) V SS ] [( rr ) ( SV V) ( r r) (37) ( SV S SS S V) ] dengan V = V V = V SS SS SS < ( SV ) S V adalah max{ SV S V } ( SV ) S adalah min{ SV S } V V dan 5

16 Persamaan (37) disederhanakan menjadi: Η V = F ( S V V S V SS ) (38) dimana nilai F adalah : F ( S V V S V SS ) Asumsikan bahwa V merupakan solusi dari persamaan (37) pada daerah asal D T X yang kontinu pada ( ] ( ) [ T ] [ X ] dengan syarat batas seperti pada persamaan (3) Didefinisikan d ( S = V ( S V ( S maka Η( σ r) d pada D = ( X ) ( T ] Dengan menggunakan prinsip standar maksimum parabola maka d ( S tidak mempunyai nilai minimum yang negatif pada D sehingga d ( S Jadi V ( S V ( S Terbukti bahwa V ( S merupakan batas atas dari harga opsi untuk nilai σ dan r yang berada dalam persamaan (3) dan (33) Dengan demikian pertidaksamaan pada (34) terbukti Catatan: Jika ternyata harga opsi call yang ada di pasar lebih tinggi dari batas atas harga opsi call teoritis maka investor lebih baik tidak mengeksekusi call tersebut karena akan mengalami kerugian Jika ternyata harga opsi call pasar lebih rendah dari batas bawah harga opsi teoritis maka lebih baik investor membeli call tersebut dan menjual saham untuk mendapatkan keuntungan Batas-batas dari nilai opsi sudah ada dan sudah dibuktikan kebenarannya selanjutnya diperlihatkan bentuk persamaan yang bersesuaian dengan kedua batas nilai opsi di atas 3 Pengertian Persamaan Black-Scholes- Barenblatt (BSB) Persamaan Black-Scholes-Barenblatt (BSB) adalah suatu persamaan yang digunakan untuk menyelesaiakan harga dari produk turunan (misalkan opsi) berdasarkan harga aset yang mendasari (misalkan saham) yang mempunyai dua nilai volatilitas yang berbeda Kedua nilai volatilitas tersebut bergantung pada tanda dari gamma ( V SS ) Gamma adalah tingkat perubahan rata-rata delta terhadap harga aset yang mendasari Delta V ) adalah tingkat perubahan rata-rata ( S nilai produk turunan terhadap harga aset yang mendasari (wwwwilmottmagazinecom/messageview) 33 Persamaan BSB untuk Batas-Batas Opsi Tipe Eropa Dari bahasan sebelumnya telah dijelaskan bagaimana menentukan batas-batas opsi V dan V Dalam bahasan ini diperkenalkan suatu persamaan yang bersesuaian dengan batas-batas V dan V Perhatikan persamaan di bawah ini BSB Η V f( σ ) S V SS (39) g()( r SV S V ) Vt = dengan σ ( S t ) jika V SS f ( σ ) = σ ( S t ) jika V SS < dan r ( S t ) jika ( SV S V ) g () r = r ( S jika ( SV S V ) < Persamaan (39) merupakan persamaan yang bersesuaian dengan batas bawah opsi V Persamaan yang bersesuaian dengan batas atas opsi adalah sebagai berikut BSB Η V f( σ ) S V SS (3) g r SV V V = dengan f dan ( σ ) σ = σ ()( ) S ( S t ) ( S t ) jika jika t V V SS SS ( S t ) jika ( SV S V ) ( S t ) jika ( SV V ) r g () r = r S > Dalam karya ilmiah ini persamaan (39) dan(3) disebut sebagai persamaan Black- Scholes-Barenblatt (BSB) karena persamaan ini merupakan gabungan dari persamaan Black-Scholes dan persamaan Barenblatt 34 Penentuan Batas-Batas Opsi Tipe Amerika Asumsikan opsi Amerika yang digunakan adalah jenis opsi up and out put V ( S Persamaan Black Scholes yang digunakan dalam opsi up and out put Amerika ini adalah sebagai berikut: Α( σ r) V σ ( S S VSS r( S SVS (3) r S t V V = ( ) t > 6

17 dengan syarat batas V s t t V ( () ) = K s ( t ) S ( s() t = ( X = V dan syarat awal yang digunakan adalah sebagai berikut: s ( ) = K ( S K S S [ s( ] V = dengan s () t adalah batas eksekusi awal K adalah harga eksekusi S adalah harga aset yang mendasari dan X adalah tingkat opsi barrier Persamaan (3) hanya berlaku untuk nilai σ dan r yang konstan Namun kenyataannya nilai-nilai tersebut tidaklah konstan sehingga untuk menyempurnakannya diasumsikan bahwa nilai σ dan r terletak dalam suatu batas tertentu seperti pada pertidaksamaan (3) dan (33) Karena σ dan r terletak dalam batas maka harga opsinya juga akan terletak dalam batas tertentu Akan ditunjukkan ( S V ( S V ( S V 34 Penentuan Batas Bawah Opsi Tipe Amerika Pembuktian V ( S V ( S V ( S dimulai dengan menunjukkan V ( S V ( S Dengan batas nilai σ dan r seperti pada (3) dan (33) perhatikan persamaan di bawah ini Α( σ r) V = S [( σ σ ) V SS ( σ σ ) V SS ] [( r r ) ( SV V ) ( r r) S ) ] t t ( SV S V ( ) V ( ) V = S [( σ σ ) V SS ( σ σ ) V SS ] [( rr )( SV S V ) ( rr ) ( SV S V ) ] (3) dengan: V = V SS SS SS SS < V V V = V ( SV ) S = max{ SV S V } ( SV ) S = min{ SV S } V Dalam persamaan (35) diketahui bahwa V merupakan solusi dari Η σ r V = F S V V ( ) ( ) S V SS Maka dalam bahasan ini diasumsikan juga bahwa V adalah solusi dari persamaan (3) yang disederhanakan penulisannya dengan: Ασ r V = F S V V S V (33) ( ) ( ) SS Syarat batas dan syarat awal yang digunakan dalam opsi put Amerika dan opsi call Eropa sedikit berbeda Syarat batas dan awal opsi put Amerika secara umum dapat dilihat pada sub bab 34 Sedangkan syaratsyarat yang bersesuaian dengan opsi put Amerika pada persamaan (3) adalah sebagai berikut: V ( s ( = K s ( V s t t = V V S ( () ) ( S) = ( K S ) = max{ K } ( X = S V ( S = K S dengan ( s adalah batas eksekusi untuk V K adalah harga eksekusi S adalah harga aset yang mendasari dan X adalah tingkat opsi barrier Akan dibuktikan V ( S V( S Terlebih dahulu asumsikan solusi untuk { ( S s ( } V ada dan tunggal dan D = {( S : S ( s ( X ) t ( T ]} Asumsikan e ( S = V ( S V ( S maka Α( σ r) e S D dan t > Berdasar prinsip standar maksimum parabola ( S e tidak mempunyai nilai maksimum yang positif Jadi e S t pada D ( ) Sehingga V ( S V ( S kontinu pada ( X ) ( T ] pada D dan 34 Penentuan Batas Atas Opsi Tipe Amerika Pada bagian ini akan dibuktikan bahwa: V S t V S t Perhatikan persamaan ( ) ( ) berikut: Α ( σ r) V = S [( σ σ ) V ( σ σ ) V ( SV S ( SV S V ) ( r r ) SS SS ] [( r r ) V ) ] (34) 7

18 dengan SS V = V SS SS V = V SS < ( SV ) S V adalah max{ SV S V } ( SV ) S adalah min{ SV S } V V dan Persamaan 34 disederhanakan menjadi Α V = F ( S V V S VSS ) (35) dimana nilai F adalah F ( S V V S V SS ) Syarat-syarat yang bersesuaian dengan opsi put Amerika pada persamaan (34) adalah sebagai berikut: V V V V ( s() t = K s( S ( s() t = ( S) = ( K S ) = max{ K } ( X = S V ( S = K S dengan s () t adalah batas eksekusi untuk V K adalah harga eksekusi S adalah harga aset yang mendasari dan X adalah tingkat opsi barrier Pembuktian pertidaksamaan V S t V S t dimulai dengan ( ) ( ) mengasumsikan solusi untuk { ( S s ( } V ada dan tunggal dan D = {( S : S ( s( X ) t ( T ]} Asumsikan e ( S = V ( S V ( S maka Α( σ r) e S D dan t > Berdasar prinsip standar maksimum parabola ( S e tidak mempunyai nilai minimum yang negatif Jadi e S t pada D ( ) Sehingga V ( S V ( S kontinu pada ( X ) ( T ] pada D dan Jadi terbukti bahwa nilai opsi up and out put Amerika terletak pada V ( S V ( S V ( S Catatan: Jika ternyata harga opsi put yang ada di pasar lebih tinggi dari batas atas harga opsi put teoritis maka investor lebih baik mengeksekusi opsi put dan menjual sahamnya karena akan mendapatkan keuntungan Jika ternyata harga opsi put pasar lebih rendah dari batas bawah harga opsi put teoritis maka lebih baik investor tidak mengeksekusi opsi put karena akan menderita kerugian Batas-batas dari nilai opsi sudah dibuktikan kebenarannya selanjutnya akan diperlihatkan bentuk persamaan yang bersesuaian dengan batas-batas opsi opsi up and out put Amerika di atas 35 Persamaan BSB untuk Batas-Batas Opsi Tipe Amerika Persamaan BSB pada opsi up and out call Eropa di atas dapat juga diterapkan untuk opsi tipe Amerika Perbedaan opsi tipe Eropa dan opsi tipe Amerika hanyalah terletak pada waktu eksekusinya Opsi tipe Eropa hanya dapat dieksekusi pada saat jatuh tempo sedangkan opsi tipe Amerika dapat dieksekusi kapan saja sampai waktu jatuh tempo Persamaan BSB yang bersesuaian dengan nilai batas bawah opsi Amerika adalah sebagai berikut: BSB Α V f( σ ) S VSS (36) g()( r SVS V ) Vt = dengan σ ( S t ) jika V SS f ( σ ) = σ ( S t ) jika V SS < dan r ( S t ) jika ( SV S V ) g () r = r ( S t ) jika ( SV S V ) < Sedangkan persamaan BSB yang bersesuaian dengan nilai batas atas opsi Amerika adalah sebagai berikut: BSB Α V f( σ ) S VSS (37) g()( r SV S V ) Vt = dengan σ ( S t ) jika V SS f ( σ ) = σ ( S t ) jika V SS > dan r ( S t ) jika ( SV S V ) g () r = r ( S t ) jika ( SV S V ) > 36 Penentuan Batas-Batas Eksekusi Awal Opsi Tipe Amerika Waktu eksekusi dari opsi Amerika bisa kapan saja sampai pada waktu jatuh tempo Dalam opsi Amerika jika dinilai kontrak opsi yang dipegang sudah menguntungkan maka investor tidak akan menunggu sampai waktu jatuh tempo untuk mengeksekusi opsi tersebut Untuk itu investor perlu mengetahui batas-batas eksekusi awal dari kontrak opsi yang dimilikinya agar mendapatkan keuntungan 8

19 36 Penentuan Batas Atas Eksekusi Awal Opsi Tipe Amerika Dalam bahasan penentuan batas bawah opsi Amerika (34) di atas sebelumnya diasumsikan D = {( S : S ( s ( X ) t ( T ]} dan diasumsikan juga e ( S = V ( S V ( S Maka Α( σ r) e S D dan t > e ( S tidak akan mempunyai nilai maksimum yang positif Jika s () t s() t maka e( s () t = V V = K s () t ( K s() t ) Untuk membuktikan hal ini benar pertama * asumsikan ada t yang mengakibatkan s ( t *) s( t *) dan juga mengakibatkan es ( s( t *) t *) = V S ( s( t *) t *) VS ( s( t *) t *) = ( ) = Dengan adanya syarat batas V ( s ( t *) t *) = K s ( t *) maka V t ( s ( t *) t *) = Persamaan (38) menjadi BSB Α V f ( σ ) S V SS g ()( r SV S V ) = Ini berarti f ( σ ) S VSS = g ( r )( SV S V ) sehingga lim f( σ) S V SS =g( r) ( s( V S V ) S s () t =g ( r) ( s()( t ) ( Ks() t )) = g () r K Dari persamaan (35) didapat Α( σ r) V = F ( S V V S V SS ) Ini mengakibatkan g ( ( ) ) ( r ) K V SS s t * t * > f ( σ ) ( s ( t *)) sehingga V SS ( s ( t *) t *) > Nilai V SS ( s ( t *) t *) > maka ess ( s( t *) t *) = V SS ( s( t *) t *) VSS ( s( t *) t *) > Menurut uji turunan kedua karena e S ( s ( t *) t *) = dan e SS ( s ( t *) t *) > s t * * mempunyai nilai maka e ( ( ) ) t minimum lokal pada ( s ( t *) *) t Artinya fungsi e akan terus naik pada suatu harga tertentu yaitu S yang nilainya lebih besar dari s ( t *) dan karena waktu yang berlaku dalam D adalah t ( T ] maka e akan mempunyai nilai maksimum yang positif Hal ini kontradiksi dengan pernyataan dari definisi e ( S tidak akan punya nilai maksimum yang positif pada D Jadi haruslah s( s ( t T Batas atas dari eksekusi awal untuk ( ] opsi ini berhubungan dengan batas bawah harga opsinya V 36 Penentuan Batas Bawah Eksekusi Awal Opsi Tipe Amerika Dalam bahasan penentuan batas atas opsi Amerika (34) diasumsikan D = {( S : S ( s( X ) t ( T ]} dan diasumsikan juga e S t = V S t V S t Maka Α( r) e ( ) ( ) ( ) σ S D dan > e S t tidak mempunyai nilai minimum yang negatif Jika s ( s( maka e ( s( Untuk membuktikannya pertama asumsikan ada t * yang mengakibatkan s ( t *) > s( t *) dan juga mengakibatkan es ( s( t *) t *) = V S( s( t *) t *) VS ( s( t *) t *) = ( ) = Dengan adanya syarat batas V ( s( t *) t *) = K s( t *) maka V t ( s( t *) t *) = Jadi bentuk persamaan (3) menjadi BSB Α V f ( σ ) S V SS g ()( r SV S V ) = Ini berarti: f( σ ) S VSS = g( r )( SVS V ) Sehingga lim f ( σ) S V SS =g ( r) ( SV S V ) S s () t =g () r ( s () t ) ( ) ( Ks ( ) = g () r K Dari persamaan (37) di atas terlihat bahwa ΑV = F S V V V ( ) S SS t ( ) 9

20 Jadi g ( ( ) ) () r K V SS s t * t * > f( σ ) ( s( t *) t *) sehingga V SS ( s( t *) t *) < Nilai V SS ( s( t *) t *) < maka: e ( s ( t ) t *) = V ( s ( t *) t *) V ( s( t *) t *) SS * SS < Menurut uji turunan kedua karena s t * t * s t * t * e S ( ( ) ) = dan e SS ( ( ) ) < maka e ( ( t *) t *) maksimum lokal pada ( s ( t *) *) SS s mempunyai nilai t Artinya fungsi e akan turun pada suatu harga tertentu yaitu semua S yang nilainya lebih kecil dari s ( *) t dan karena waktu yang berlaku dalam D adalah tertutup maka e akan mempunyai nilai minimum yang negatif Hal ini kontradiksi dengan pernyataan dari definisi e ( S tidak akan punya nilai minimum yang negatif pada D Jadi haruslah s ( s( Batas bawah dari eksekusi awal opsi ini berhubungan dengan batas atas harga opsinya V Sehingga batas eksekusi awal dari opsi up and out put Amerika terletak pada: t s t s t ( ) ( ) ( ) s IV PENENTUAN BATAS-BATAS DELTA Pada Bab ini akan dibahas mengenai penentuan batas dari delta Manfaat menggunakan suatu opsi dalam dunia finansial adalah untuk: Spekulasi menentukan keuntungan atau kerugian Pengendalian resiko (hedging) yang ditimbulkan oleh adanya transaksi dari opsi Delta adalah salah satu parameter penting dalam penilaian opsi dan hedging 4 Pengertian Delta Delta ( V S ) adalah tingkat perubahan rata- V terhadap harga aset yang rata nilai opsi ( ) mendasari ( S ) yang dirumuskan sebagai V V S = (4) S Delta merupakan kemiringan dari kurva hubungan antara nilai opsi dengan harga underlying asset (misalkan saham) Untuk mengetahui peranan delta untuk mengendalikan resiko (hedging) perhatikan ilustrasi berikut yang dikutip dari Hull (3) Ilustrasi Asumsikan delta untuk opsi call adalah 6 Ini berarti ketika harga saham berubah dengan perubahan jumlah yang kecil maka nilai opsi berubah 6% dari jumlah tersebut Misalkan harga saham ( S ) adalah =$ dan nilai opsi ( V ) adalah =$ Misalkan saja investor menjual kontrak opsi ( kontrak opsi adalah saham) dan membeli saham Posisi investor setelah di hedging untuk membeli saham adalah 6 = artinya sebelum membeli saham sebaiknya membeli saham dahulu Resiko (untung dan rugi) dari posisi opsi dapat diimbangi dengan untung rugi dari posisi saham Untuk lebih jelasnya perhatikan ilustrasi berikut Jika harga saham naik sebesar $ maka akan mendapat keuntungan $ dalam pembelian saham nilai opsi akan meningkat menjadi 6 $ = $6 pada kontrak opsi maka investor akan rugi sebesar $ 6 = $ Jika harga saham turun sebesar $ maka investor akan rugi sebesar $ dalam pembelian saham Dan nilai opsi turun sebesar 6 $ = $6 pada kontrak opsi maka investor akan mendapat keuntungan sebesar $ 6 = $ Dari ilustrasi di atas dapat dilihat bahwa investor tidak mengalami kerugian ataupun keuntungan walaupun harga saham naik dan turun Untuk opsi call Eropa delta call didapat dengan menggunakan nilai opsi call dalam Teorema 5 sehingga diperoleh teorema berikut Teorema 8 Nilai delta untuk opsi call diberikan oleh V SC = N (4) ( ) d

21 dengan N( d ) adalah fungsi sebaran normal kumulatif seperti persamaan () dan ln( S / K ) ( r σ / )( T dengan d = σ T t (Hull 997) Bukti dapat dilihat pada Hull (997) dan Bahri (5) Delta untuk opsi call nilainya selalu positif yaitu V Ini dikarenakan SC peningkatan harga underlying asset akan mempengaruhi peningkatan opsi call sehingga dapat dimengerti bahwa meningkatnya underlying asset akan meningkatkan peluang nilai payoff positif Sedangkan opsi put tipe Eropa delta put didapat dengan menggunakan Teorema 6 sehingga didapatkan teorema berikut Teorema 9 Nilai delta untuk opsi put diberikan oleh V SP = N d (43) ( ) dengan N( d ) adalah fungsi sebaran normal kumulatif seperti persamaan () dan dengan d ln = ( S / K ) ( r σ / )( T σ T t (Hull 997) Bukti dapat dilihat pada Hull (997) dan Bahri (5) Delta untuk opsi put nilainya selalu negatif yaitu V SP 4 Penentuan Batas Delta Delta berhubungan positif dengan nilai opsi dan merupakan suatu teknik untuk melakukan hedging untuk itu batas-batas dari nilai delta perlu diketahui Sebelum menentukan batas-batas dari delta terlebih dahulu asumsikan bahwa opsi yang digunakan adalah opsi call tipe Eropa Selanjutnya asumsikan juga bahwa σ dan r masing-masing adalah konstan atau hanya tergantung dari t saja Diketahui persamaan Black-Scholes untuk nilai opsi adalah sebagai berikut: Η ( σ r ) V σ ( S t ) S V SS r( S t ) SV S r( S t ) V Vt = Dengan menurunkan persamaan di atas terhadap S maka didapat persamaan Black Scholes yang memenuhi delta yaitu sebagai berikut: Η( σ r) VS σ SVSS σ S VSSS rvs rsvss rvs VtS = Notasikan V S = δ ( S dan Η ( σ r ) = Μ( σ r) Sehingga persamaan di atas menjadi M( σ r) δ σ SδS σ S δss rδ rsδ S rδ δt = (44) = σ S δss ( σ r) SδS δt = Syarat awal dari persamaan di atas adalah S < K δ ( S) = (45) S > K Selama solusi dari persamaan Black Scholes untuk σ dan r yang berada dalam pertidaksamaan (3) dan (33) dan selama nilai opsi berada dalam batas seperti pada pertidaksamaan (34) serta nilai V ( = V ( dan V ( X = V ( X maka V S ( t ) δ ( t ) VS ( t ) VS ( X t ) δ ( X t ) V S ( X t ) Jika nilai dari V dan V dapat dihitung maka nilai turunannya juga dapat diketahui nilainya Setelah mengetahui model persamaan untuk delta yaitu seperti pada persamaan (44) selanjutnya akan ditunjukkan batasbatas dari nilai delta yaitu δ S t δ S t S t (46) ( ) ( ) ( ) δ 4 Penentuan Batas Bawah Delta Perhatikan persamaan di bawah ini: Μ( σ r) δ = ( σ σ ) S δ SS ( σ σ ) S δ SS σ σ Sδ σ σ ( ) ( ) S ( r r ) Sδ ( r r ) S Sδ S S Sδ (47) dengan syarat batas: δ ( t ) = V S ( t ) δ ( X t ) = V S ( X t ) (48) dan syarat awal seperti pada persamaan (45) δ SS = δ SS δ SS = δ SS < δ S = δ S dan δ S = δ S < Dari persamaan (47) dapat dilihat bahwa Μ σ r δ ( )

22 Asumsikan bahwa solusi dari persamaan (47) pada daerah asal ( T ] ( X ) sudah diketahui yaitu δ yang kontinu pada [ T ] [ X ] Didefinisikan e( S = δ ( S δ ( S maka Μ( σ r) e pada D = ( X ) ( T ] Berdasarkan prinsip standar maksimum parabola fungsi e ( S tidaklah mempunyai nilai maksimum yang positif pada D Jadi e ( S pada D Ini berarti bahwa: δ S t δ S ( ) ( ) t 4 Penentuan Batas Atas Delta Untuk menentukan batas atas dari delta yaitu δ ( S persamaan (47) tinggal dibalik saja nilai maksimum dan minimumnya (seperti proses mencari batas atas nilai opsi pada persamaan (37)) sehingga bentuk persamaannya menjadi sebagai berikut: Μ ( σ r ) δ = ( σ σ ) S δ SS ( σ σ ) S δ SS ( σ σ ) Sδ S ( σ σ ) Sδ S ( r r ) Sδ S ( r r ) Sδ S (49) Syarat batas untuk persamaan di atas menjadi: δ ( t ) = V S ( t ) δ X t = V X t SS δ S ( ) ( ) S SS δ = δ SS δ = δ SS < δ S = dan δ S = δ S < Dari persamaan (49) diketahui bahwa Μ ( σ r ) δ Didefinisikan d( S = δ( S δ ( S maka Μ( σ r) d pada D = ( X ) ( T ] dan dengan menggunakan prinsip standar maksimum parabola maka d ( S tidaklah mempunyai nilai minimum yang negatif pada D sehingga d ( S Jadi δ( S δ( S Dengan demikian maka batas-batas delta telah diketahui yaitu sebagai berikut δ ( S δ ( S δ( S dengan δ ( S dan δ ( S masing-masing memenuhi persamaan (47) dan (49) Catatan: Nilai delta berhubungan positif dengan nilai opsi jadi: Jika nilai delta call yang ada di pasar lebih tinggi dari batas atas delta call teoritis maka sebaiknya investor tidak melakukan pembelian opsi Jika nilai delta call yang ada di pasar lebih rendah dari batas bawah delta call teoritis maka sebaiknya investor melakukan pembelian opsi tersebut untuk tetap mengendalikan resiko 43 Persamaan BSB untuk Batas-Batas Delta Seperti penentuan formula yang lebih efektif pada nilai batas opsi maka dalam mencari nilai batas deltapun perlu dicari formula yang efektif sehingga memudahkan dalam hal perhitungan Untuk itu dalam bahasan ini diperkenalkan persamaan BSB untuk batas-batas delta Perhatikan persamaan di bawah ini : ˆ ( ) [ ˆ f σ S δ SS k ( σ ) gˆ ( r) ] Sδ S δ t = (4) dengan ( ) ˆ σ S t jika δ SS f ( σ ) = σ ( S t ) jika δ SS < ˆ σ jika δ S k ( σ ) = σ jika δ S < dan r ( S jika δ S gˆ () r = r ( S jika δ S < Persamaan di atas merupakan persamaan BSB untuk batas bawah delta Untuk batas atas delta maka persamaan BSB yang bersesuaian adalah sebagai berikut: ˆ ( ) [ ˆ f σ S δss k( σ ) gˆ ( r) ] SδS δt = (4) dengan σ ( ) jika ˆ S t δ SS f ( σ ) = σ ( S t ) jika δ SS > ˆ σ jika δ S k ( σ ) = σ jika δ S > dan r ( S t ) jika δ S gˆ () r = r ( S t ) jika δ S >

23 V SIMPULAN DAN SARAN Penilaian opsi dengan formula Black- Scholes selama ini menggunakan parameterparameter yang bersifat konstan Akan tetapi kenyataannya tidak semua parameter yang ada dalam formula Black-Scholes tersebut konstan Dalam karya ilmiah ini telah ditunjukkan bahwa jika diketahui volatilitas aset yang mendasari dan suku bunga yang digunakan sama-sama tidak pasti (namun terletak dalam batas tertentu) maka opsi V akan terletak diantara batas bawah V dan batas atas V selain itu telah ditunjukkan juga bahwa delta terletak dalam suatu batas atas δ dan batas bawah δ jika diketahui volatilitas aset yang mendasari dan suku bunga yang digunakan sama-sama tidak pasti (namun terletak dalam batas tertentu) Persamaan Black-Scholes-Barenblatt adalah persamaan yang bersesuaian dengan batas-batas opsi dan delta dengan volatilitas aset yang mendasari serta suku bunga yang tak konstan Dalam karya ilmiah ini telah ditunjukkan batas-batas nilai opsi tipe up and out call Eropa dan tipe up and out put Amerika Untuk opsi tipe up and out call Eropa jika harga opsi pasar ternyata lebih tinggi dari batas atas opsi teoritis maka lebih baik investor tidak membeli opsi call tersebut Jika ternyata harga opsi pasar lebih rendah dari batas bawah harga opsi teoritis maka lebih baik investor membeli opsi call karena akan mendapatkan keuntungan Untuk opsi tipe up and out put Amerika jika ternyata harga opsi yang ada di pasar lebih tinggi dari batas atas harga opsi teoritis maka investor lebih baik mengeksekusi opsi tersebut Jika ternyata harga opsi pasar lebih rendah dari batas bawah harga opsi teoritis maka lebih baik investor tidak mengeksekusi opsi put tersebut karena akan menderita kerugian Untuk batas delta call jika nilai delta call yang ada di pasar lebih tinggi dari batas atas delta call teoritis maka sebaiknya investor tidak membeli opsi tersebut Jika nilai delta call yang ada di pasar lebih rendah dari batas bawah delta call teoritis maka sebaiknya investor melakukan pembelian opsi tersebut untuk tetap mengendalikan resiko Dari tulisan karya ilmiah ini terdapat beberapa hal yang dapat dikaji lebih lanjut oleh pihak-pihak yang tertarik dengan bidang ilmu ini antara lain adalah pencarian solusi numerik dari batas-batas opsi Eropa dan Amerika VI DAFTAR PUSTAKA Amellia I 5 Penilaian Variable Purchase Options dengan menggunakan Formula Black-Scholes [skripsi] Bogor: Jurusan Matematika FMIPA Institut Pertanian Bogor Bahri AS 5 Penilaian Opsi dan Pengendalian Resiko dengan Menggunakan Greeks untuk Opsi Call dan Put Eropa [skripsi] Bogor: Jurusan Matematika FMIPA Institut Pertanian Bogor Chandra W 998 Penilaian Opsi dengan formula Black Scholes [skripsi] Bogor: Jurusan Matematika FMIPA Institut Pertanian Bogor Fukui T Yoshida S 6 Exact renormalization group approach to a nonlinear diffusion equation Japan: Department of Physics Ibaraki University Hariadi Y Surya Y Mempelajari Ekonofisika hp?section=tutorial&file=tutorpdf#sea rch=%persamaan%difusi%ekonof isika% [8 Agustus 6] Hull JC 997 Options Futures and Other Derivatives EdKe-3 University of Toronto: Prentice Hall International Inc Hull JC 3 Options Futures and Other Derivatives EdKe-5 New Jersey: Pearson Education Inc Karatkaz I Shreve SE 987 Brownian Motion and stokastic Calculus New York: Springer Verlag Meyer GH 4 The Black Scholes Barenblatt Equation for Options with Uncertain Volatility and its Application to Static Hedging Atlanta: School of Mathematics Georgia Institute of Technology Stewart J Kalkulus EdKe-4 Jilid Gunawan H Susila IN penerjemah; Hardani W Mahanani N editor Jakarta: 3