PENENTUAN HEDGE RATIO HARGA EMAS DUNIA MENGGUNAKAN OPSI TIPE EROPA SAMBODO RIO SASONGKO

Transkripsi

1 PENENTUAN HEDGE RATIO HARGA EMAS DUNIA MENGGUNAKAN OPSI TIPE EROPA SAMBODO RIO SASONGKO DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2015

2

3 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA* Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penentuan Hedge Ratio Harga Emas Dunia Menggunakan Opsi Tipe Eropa adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Agustus 2015 Sambodo Rio Sasongko NIM G

4

5 ABSTRAK SAMBODO RIO SASONGKO. Penentuan Hedge Ratio Harga Emas Dunia Menggunakan Opsi Tipe Eropa. Dibimbing oleh RETNO BUDIARTI dan DONNY CITRA LESMANA. Investasi merupakan cara masyarakat untuk mengelola pendapatan atau aset yang dimiliki sehingga mendapatkan keuntungan yang lebih di masa yang akan datang. Salah satu aset yang dapat diinvestasikan adalah emas. Harga emas memiliki nilai fluktuatif sehingga dibutuhkan aktivitas lindung nilai. Salah satu aktivitas lindung nilai yang digunakan adalah opsi. Opsi adalah suatu perjanjian atau kontrak antara penjual dengan pembeli opsi, di mana penjual opsi menjamin adanya hak dari pembeli opsi untuk membeli atau menjual aset yang mendasari pada waktu tertentu dengan harga yang telah ditetapkan. Tujuan penelitian ini adalah menentukan nilai opsi call dan opsi put tipe Eropa dengan emas sebagai aset yang mendasari serta menentukan rasio lindung nilai terhadap harga emas tersebut. Opsi tipe Eropa akan dihitung menggunakan model Black-Scholes. Salah satu kegunaan model Black-Scholes adalah mengendalikan risiko (hedging) dalam suatu opsi. Dalam penelitian ini, hanya digunakan greeks berupa delta hedging. Kata kunci: hedge ratio, harga emas, opsi tipe Eropa, model Black-Scholes ABSTRACT SAMBODO RIO SASONGKO. A Hedge Ratio Determination of the World Gold Price Using the European Option. Supervised by RETNO BUDIARTI and DONNY CITRA LESMANA. Investment can be used to manage income or assets in order to get more benefits in the future. There are many assets in the market that can be chosen by investors, one of which is gold. The price of gold is fluctuating and it causes risks. To manage the risks, a hedge ratio is used, where option can be used as an instrument for hedging. Option is a covenant or contract between sellers and buyers of the option, where the option sellers guarantee the rights of buyers to buy or sell its underlying assets at a particular time with a fixed price. The aim of this research is to determine the European call and put options with the gold as the underlying assets as well as to determine the hedge ratio toward the gold price. The European option will be priced using the Black-Scholes model, where one of the advantages Black-Scholes model is to control the risk (hedging) in an option. In this research, we only use greeks in the form of hedging delta. Keywords: hedge ratio, gold price, European option, Black-Scholes model

6 PENENTUAN HEDGE RATIO HARGA EMAS DUNIA MENGGUNAKAN OPSI TIPE EROPA SAMBODO RIO SASONGKO Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2015

7

8

9

10

11 PRAKATA Puji syukur kehadirat Allah SWT karena atas rahmat dan karunia-nya penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah yang berjudul Penentuan Hedge Ratio Harga Emas Dunia Menggunakan Opsi Tipe Eropa. Penulis mengucapkan terima kasih kepada: 1 Keluarga tercinta yang menjadi sumber semangat terbesar, Bapak Hernowo dan Ibu Suhartatik dan Kakak Hergarini Oktivasari yang selalu memberikan doa, nasihat, dan semangat kepada penulis. 2 Ir Retno Budiarti, MS selaku dosen pembimbing I dan Dr Donny Citra Lesmana, SSi MFinMath selaku dosen pembimbing II, yang telah sabar memberikan bimbingan, saran, dan kritik sehingga karya ilmiah ini dapat terselesaikan dengan baik. 3 Dr Dra Berlian Setiawaty, MS selaku moderator dalam seminar sekaligus menjadi dosen penguji. 4 Seluruh dosen Departemen Matematika atas semua ilmu yang telah Bapak dan Ibu berikan kepada penulis. 5 Staff Tata Usaha dan Perpustakaan Departemen Matematika yang telah membantu memperlancar administrasi akademik penulis. 6 Teman-teman Matematika 46, 47 dan 48 yang telah banyak memberikan bantuan dan pengalaman yang berharga. 7 Teman-teman Maya, Ocha, Wiwid, Nisa, Dini, Lia, Nouval, Ghina dan keluarga besar UKM Karate IPB terima kasih untuk bantuan dan semangat yang diberikan. 8 Semua pihak yang ikut membantu penulis dan tidak dapat disebutkan satu persatu. Penulis menyadari bahwa karya ilmiah ini masih memiliki kekurangan dan jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu, dibutuhkan kritik dan saran yang membangun untuk pembaca. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, Agustus 2015 Sambodo Rio Sasongko

12 DAFTAR ISI DAFTAR TABEL iii DAFTAR GAMBAR iii DAFTAR LAMPIRAN iv PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan Penelitian 2 TINJAUAN PUSTAKA 2 Penilaian Emas 2 Keuntungan dan Kerugian Menyimpan Emas 2 Harga Emas Dunia 3 Definisi dan Istilah Matematis 3 Model untuk Harga Emas 6 Persamaan Diferensial Stokastik (PDS) dari Harga Emas 6 Opsi 6 Penilaian Opsi 8 Model Black-Scholes untuk Opsi Tipe Eropa 9 Volatilitas 10 Future Value (Akumulasi) 11 Greeks 11 Lindung Nilai (Hedge Ratio) 11 PEMBAHASAN 13 Deskripsi Data 13 Penentuan Nilai Opsi Tipe Eropa 14 Delta Untuk Opsi Call Tipe Eropa 17 Delta Untuk Opsi Put Tipe Eropa 19 SIMPULAN DAN SARAN 22 Simpulan 22 Saran 22 DAFTAR PUSTAKA 23 LAMPIRAN 24

13 DAFTAR TABEL 1 Keuntungan dan kerugian menyimpan emas 2 2 Data harga emas tahun Volatilitas harga emas tahun Hasil perhitungan cash flow saat S T = $1300 dengan jumlah opsi call yang berbeda 18 5 Hasil perhitungan cash flow saat S T = $1100 dengan jumlah opsi call yang berbeda 19 6 Hasil perhitungan cash flow saat S T = $1300 dengan jumlah opsi put yang berbeda 20 7 Hasil perhitungan cash flow saat S T = $1100 dengan jumlah opsi put yang berbeda 21 8 Data harga emas dan transformasinya tahun Data harga emas dan transformasinya tahun Data harga emas dan transformasinya tahun Keputusan penolakan H Perhitungan volatilitas harga emas tahun Perhitungan volatilitas harga emas tahun Perhitungan volatilitas harga emas tahun Perhitungan volatilitas harga emas tahun Perhitungan volatilitas harga emas tahun DAFTAR GAMBAR 1 Diagram payoff opsi call (c) tipe Eropa 8 2 Diagram payoff opsi put (p) tipe Eropa 9 3 Diagram delta untuk opsi call tipe Eropa 12 4 Diagram delta untuk opsi put tipe Eropa 13 5 Rata-rata harga emas dunia tahun (troy/ounce) 14 6 Diagram payoff opsi call tipe Eropa dengan K = Diagram payoff opsi put tipe Eropa dengan K = Diagram delta untuk opsi call tipe Eropa dengan K = Diagram delta untuk opsi put tipe Eropa dengan K = Uji Kenormalan ln harga emas tahun Uji Kenormalan ln harga emas tahun Uji Kenormalan ln harga emas tahun Uji Kenormalan ln harga emas tahun Uji Kenormalan ln harga emas tahun

14 DAFTAR LAMPIRAN 1 Uji lognormal harga emas 24 2 Perhitungan volatilitas 29 3 Perhitungan cash flow dengan berbagai jumlah opsi call dengan harga pasar $ Perhitungan cash flow dengan berbagai jumlah opsi call dengan harga pasar $ Perhitungan cash flow dengan berbagai jumlah opsi put dengan harga pasar $ Perhitungan cash flow dengan berbagai jumlah opsi put dengan harga pasar $

15 PENDAHULUAN Latar Belakang Dewasa ini masyarakat mengelola pendapatan agar tepat guna sesuai dengan kebutuhannya. Cara yang banyak dilakukan masyarakat adalah dengan menabung, hal tersebut digunakan untuk memenuhi kebutuhan jangka pendek seperti kebutuhan primer. Selain itu juga masyarakat merencanakan bagaimana memenuhi kebutuhan jangka menengah maupun jangka panjang. Salah satu hal yang dapat dilakukan adalah dengan berinvestasi (Gunawan dan Wirawati 2013). Investasi adalah komitmen atas sejumlah dana atau sumber daya lainnya yang dilakukan pada saat ini, dengan tujuan memperoleh sejumlah keuntungan di masa datang (Tandelilin 2010). Umumnya investasi dibagi menjadi dua jenis yaitu investasi finansial dan investasi riil. Investasi finansial adalah investasi yang dilakukan di bidang finansial atau keuangan seperti deposito, reksadana dan emas. Investasi riil adalah investasi yang dilakukan pada benda fisik seperti bangunan, tanah, mesin maupun pertambangan. Investasi di bidang finansial bukan berarti tanpa risiko. Risiko yang ada pada instrumen investasi finansial menuntut kejelian para investor sebagai pemilik dana untuk memutuskan di mana akan berinvestasi. Faktor risiko inilah yang memunculkan instrumen pengendali risiko yang fungsinya untuk melindungi nilai atau hedging yaitu instrumen derivatif (BAPPETI 2009). Di Indonesia aktivitas lindung nilai yang fungsinya mengendalikan atau menurunkan risiko investasi diatur dalam Pedoman Standar Akuntansi Keuangan Nomor 55. Lindung nilai di Indonesia belum begitu populer dibandingkan di negara-negara lain seperti Amerika Serikat, Jepang dan negara-negara Eropa. Aktivitas lindung nilai dilakukan dengan menggunakan instrumen derivatif. Instrumen yang paling sering digunakan adalah forward, future, swap, komitmen dan opsi (option). Dari semua aktivitas lindung nilai yang paling populer adalah opsi (Sherlita 2007). Model Black-Scholes merupakan model yang digunakan untuk menentukan harga opsi tipe Eropa yang telah banyak diterima oleh masyarakat keuangan. Model ini pertama kali diperkenalkan oleh Fisher Black dan Myron Scholes pada tahun 1973 bersamaan dengan dibukanya pasar opsi terbesar di dunia yang berada di Chicago Board Options Exchange (CBOE), USA pada tahun 1973 dan telah mencapai sukses dengan total perdagangan sebanyak 16 jenis saham. Dalam lima tahun, para pemodal melakukan perdagangan opsi mencapai 10 juta lembar per hari (Andriani 2009). Salah satu jenis aset yang dapat dijadikan aset dasar dalam perdagangan opsi adalah emas (Irwan 2013). Emas memiliki nilai jual yang fluktuatif sama halnya seperti saham, karena harga emas dipengaruhi oleh beberapa faktor yang diantaranya adalah permintaan dan penawaran, suasana ekonomi di Amerika Serikat dan negara-negara Eropa (Pangabean et al. 2013). Adanya fakta tersebut mendasari diperlukannya suatu instrumen keuangan agar nilai jualnya tidak jatuh. Salah satu solusi masalah tersebut adalah dengan menggunakan instrumen derivatif yaitu opsi tipe Eropa yang menggunakan formula Black-Scholes (Sutrima 2009). Oleh karena itu peneliti tertarik mengetahui penentuan hedge ratio harga emas dunia melalui opsi tipe Eropa.

16 2 Tujuan Penelitian Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah sebagai berikut: 1. Menentukan nilai opsi call dan opsi put tipe Eropa menggunakan model Black-Scholes dengan emas sebagai aset yang mendasari. 2. Menentukan rasio lindung nilai terhadap harga emas. TINJAUAN PUSTAKA Penilaian Emas Emas digunakan sebagai standar keuangan di banyak negara dan juga sebagai alat tukar yang relatif abadi, dan diterima di semua negara di dunia. Penggunaan emas dalam bidang moneter dan keuangan berdasarkan nilai moneter absolut dari emas itu sendiri terhadap berbagai mata uang di seluruh dunia, meskipun secara resmi di bursa komoditas dunia, harga emas dicantumkan dalam mata uang dolar Amerika. Bentuk emas dalam bidang moneter lazimnya berupa batangan emas dalam berbagai satuan berat gram sampai kilogram (Diantoro 2010). Keuntungan dan Kerugian Menyimpan Emas Ketika dunia perdagangan semakin maju, emas semakin tidak memadai digunakan sebagia mata uang, sebab produksi barang dan jasa jauh melebihi produksi emas itu sendiri. Maka salah satu fungsi emas di zaman sekarang adalah sebagai alat investasi. Untuk konteks Indonesia ada beberapa keuntungan dan kerugian dalam menyimpan emas (Tanuwidjaja 2009). Tabel 1 Keuntungan dan kerugian menyimpan emas No. Keuntungan Kerugian 1 Mengamankan nilai kekayaan dari ancaman inflasi Tidak memberikan dividen atau penghasilan yang rutin 2 Perlindungan nilai aset dari gejolak nilai tukar rupiah Ketika perekonomian stabil, kenaikan cenderung lambat 3 Sarana praktis dan efektif untuk menabung dengan tujuan tertentu serta prestige bagi pemiliknya Sebagai perhiasan, terbebani ongkos pembuatan dan biaya susut 4 Sebagai cadangan untuk keperluan Tidak fleksibel dan tidak darurat 5 Mudah dijual, mudah digadaikan dan dimiliki dengan jumlah terbatas praktis Memberikan handling, biaya penyimpanan dan perawatan khusus

17 3 Harga Emas Dunia Sejak tahun 1968, harga emas yang dijadikan patokan seluruh dunia adalah harga emas berdasarkan standar pasar emas London. Sistem ini dinamakan London Gold Fixing. London Gold Fixing adalah prosedur di mana harga emas ditentukan dua kali sehari setiap hari kerja di pasar London oleh lima anggota Pasar London Gold Fixing Ltd. Kelima anggota tersebut adalah: 1. Bank of Nova Scottia 2. Barclays Capital 3. Deutsche Bank 4. HSBC 5. Societe Generale Proses penentuan harga adalah melalui lelang diantara kelima anggota tersebut. Pada setiap awal periode perdagangan, Presiden London Gold Fixing Ltd. akan mengumumkan suatu harga tertentu. Kemudian kelima anggota tersebut akan mengumumkan harga tersebut kepada agen. Agen inilah yang berhubungan langsung dengan para pembeli sebenarnya dari emas yang diperdagangkan tersebut. Posisi akhir harga yang ditawarkan oleh setiap agen kepada anggota Gold London Fixing merupakan posisi bersih dari hasil akumulasi permintaan dan penawaran klien mereka. Dari sinilah harga emas akan terbentuk. Apabila permintaan lebih banyak dari penawaran, secara otomatis harga akan naik, demikian pula sebaliknya. Penentuan harga yang pasti menunggu hingga tercapainya titik keseimbangan. Proses penentuan harga emas dilakukan dua kali sehari, yaitu pada pukul (harga emas Gold a.m.) dan pukul (harga emas Gold p.m.). Harga emas ditentukan dalam mata uang Dollar Amerika Serikat, Poundsterling Inggris, dan Euro. Pada umumnya Gold p.m. dianggap sebagai harga penutupan pada hari perdagangan dan sering digunakan sebagai patokan nilai kontrak emas di seluruh dunia. Dalam standar dunia ukuran perhitungan berat emas menggunakan troy ounce (Oz) yang setara dengan 31,1034 gram. Definisi dan Istilah Matematika Proses Stokastik Proses stokastik digunakan sebagai model matematika untuk mewakili suatu peubah yang nilainya berubah secara acak menurut waktu. Untuk memahami proses stokastik diperlukan definisi berikut. Definisi 1 (Ruang contoh) Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak dan dinotasikan dengan Ω (Grimmett dan Stirzaker 2001). Definisi 2 (Kejadian) Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang contoh Ω (Grimmett dan Stirzaker 2001).

18 4 Definisi 3 (Medan-σ) Medan-σ adalah himpunan F yang anggotanya merupakan himpunan bagian dari ruang contoh Ω yang memenuhi syarat-syarat berikut: 1 F, 2 Jika F maka F, dengan menyatakan komplemen dari himpunan A, dan 3 Jika F, maka F. (Hogg et al. 2005) Ukuran Peluang Ukuran peluang P pada ruang (Ω, F) adalah fungsi P: F [0, ] yang memenuhi: 1. ( 0, (Ω, dan 2. Jika,,, adalah himpunan anggota-anggota F yang saling lepas, yaitu, untuk setiap i, j dengan i j maka P( ( Pasangan (Ω, F, P) disebut dengan ruang peluang (probability space) (Grimmett dan Stirzaker 2001). Definisi 4 (Proses Stokastik) Proses stokastik X = {X(t), t T} adalah suatu himpunan dari peubah acak. Untuk setiap t pada himpunan indeks T, ( adalah suatu peubah acak dan t adalah interpretasi dari waktu (Ross 2010). Gerak Brown Proses stokastik X = {X(t), t T} disebut gerak Brown jika: 1. (0 0, 2. Untuk 0, peubah acak ( (,,,, saling bebas, dan 3. Untuk 0, ( berdistribusi normal dengan rataan 0 dan varian. (Ross 2010) Proses Wiener Proses Wiener adalah gerak Brown dengan rataan 0 dan varian 1. Suatu peubah acak X mengikuti proses Wiener mempunyai 2 sifat berikut : 1. Perubahan x selama waktu periode kecil t adalah x =, dengan berdistribusi normal standar (0,1) 2. Nilai dari x untuk dua interval waktu yang berbeda adalah bebas. Proses Wiener baku untuk suatu peubah acak X dapat dinyatakan sebagai berikut: ( (. (1) dengan : komponen deterministik, ( : komponen stokastik, W(t) : proses Wiener, : rataan dari X, dan b : standar deviasi dari X. (Hull 2009)

19 Untuk proses stokastik X(t) yang didefinisikan pada ruang peluang (Ω, F, P) berlaku ( ( ( ( ( (. (2) Proses Itô Proses Itô adalah proses Wiener umum dengan parameter a dan b merupakan fungsi dari peubah acak X dan waktu t. Secara aljabar proses Itô dapat dinyatakan sebagai berikut: ( ( ( ( ( ( (3) Lema 1 (Lema Itô) Misalkan proses X(t) memenuhi persamaan (3) dan fungsi ( ( ( adalah kontinu serta turunan-turunan ( ( ( ( ( ( kontinu,, maka ( ( ( memenuhi Lema Itô berikut: Bukti: ( ( ( ( ( ( dan ( ( ( ( ( ( (. ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (4) ( ( (, ( ( Kemudian menguadratkan persamaan (3) ( ( ( ( (( ( ( ( ( ( ( ( ( Karena ( ( ( ( ( ) maka ( ( ( ( ( ( ( ( (5) Lalu menyubstitusikan persamaan (3) dan (5) ke persamaan (4), sehingga diperoleh ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ) ( Terbukti. ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ) ) 5

20 6 Model untuk Harga Emas Harga emas yang berubah secara acak menurut waktu diasumsikan sebagai suatu proses stokastik. Selain itu diasumsikan tidak ada pembayaran dividen atas emas. Selanjutnya akan ditentukan model dari proses harga emas. Misalkan S(t) adalah harga emas pada waktu t. Maka model dari harga emas dapat dinyatakan sebagai ( ( ( (, (6) dengan ( : komponen deterministik, ( ( : komponen stokastik, : volatilitas harga emas, : tingkat rata-rata pertumbuhan harga emas. Persamaan Diferensial Stokastik (PDS) dari Harga Emas Pada bagian ini diberikan bentuk persamaan diferensial stokastik bagi suatu peubah yang nilainya bergantung pada harga emas S(t) dan waktu t. Misalkan diberikan suatu peubah Y(t) yang bergantung pada peubah harga emas S(t) dan waktu t. Menurut Hull (2009) apabila harga emas S(t) mengikuti model harga emas seperti pada persamaan (6), maka bentuk Persamaan Diferensial Stokastik untuk Y(t) ditentukan oleh teorema berikut. Teorema 1 Misalkan diberikan ( ( ( dengan [0, dan S(t) memiliki diferensial stokastik (6), maka persamaan diferensial stokastik bagi fungsi Y(t) dapat dinyatakan dalam bentuk ( ( ( ( ) ( ( (7) Bukti dapat dilihat di Hull (2009). Opsi Opsi adalah suatu perjanjian atau kontrak antara penjual opsi dengan pembeli opsi, dengan penjual opsi menjamin adanya hak dari pembeli opsi untuk membeli atau menjual aset yang mendasari pada waktu tertentu (waktu jatuh tempo) dan harga yang telah ditetapkan (harga strike). Ada enam variabel yang berpengaruh dalam menentukan harga opsi. (Rahman 2010) 1. Harga aset yang mendasari (S) 2. Harga strike (K) 3. Waktu jatuh tempo (T) 4. Tingkat suku bunga bebas risiko (r) 5. Volatilitas harga aset ( ) 6. Dividen (q).

21 Berdasarkan hak pemegangnya, opsi dibedakan menjadi dua yaitu: 1. Opsi beli (call option) adalah opsi yang memberi hak kepada pemegangnya untuk membeli sejumlah aset yang mendasari dari penjual opsi pada tanggal tertentu dengan harga tertentu. 2. Opsi jual (put option) adalah opsi yang memberi hak kepada pemegangnya untuk menjual sejumlah aset yang mendasari kepada penjual opsi pada tanggal tertentu dengan harga tertentu. Berdasarkan waktu jatuh temponya, opsi dibedakan menjadi dua yaitu: 1. Opsi tipe Eropa (European Option) adalah opsi yang bisa dipergunakan hanya pada waktu jatuh tempo. 2. Opsi tipe Amerika (American Option) adalah opsi yang bisa dipergunakan sebelum waktu jatuh tempo atau pada waktu jatuh tempo. Dalam merumuskan nilai opsi, Fisher Black dan Myron Scholes dalam Hull (2009) menggunakan beberapa asumsi: 1. Sebaran harga aset yang mendasari adalah lognormal dan varian dari return pada aset yang mendasari adalah konstan, 2. Tipe opsi yang digunakan adalah tipe Eropa, 3. Tidak ada biaya transaksi untuk menjual atau membeli aset yang mendasari atau opsi, 4. Tidak ada pembayaran dividen pada aset yang mendasari dan tidak ada kemungkinan terjadinya arbitrase. Arbitrase adalah tindakan membeli sekuritas yang berharga rendah di suatu pasar dan pada saat yang sama menjualnya dengan harga yang lebih tinggi di pasar yang berbeda sehingga memperoleh keuntungan tanpa risiko, 5. Investor diperbolehkan meminjam sejumlah dana untuk membeli aset yang mendasari pada tingkat suku bunga bank, dan 6. Tingkat suku bunga bebas risiko jangka pendek diketahui dan nilainya konstan. 7. Suku bunga pinjaman dan deposito adalah sama. 8. Penjualan pendek diizinkan. Dengan asumsi-asumsi di atas, nilai opsi hanya bergantung pada harga aset yang mendasari, waktu, dan parameter lain yang nilainya konstan. Pada karya ilmiah ini aset yang mendasari adalah emas. Harga emas diasumsikan sebagai proses stokastik dan menyebar lognormal. Dari pernyataan di atas, diperoleh teorema berikut: Teorema 2 Logaritma harga emas yang memenuhi persamaan (6) pada saat t memiliki sebaran normal dengan rataan µ = ln 0 ( dan varian. Bukti dapat dilihat di Hull (2009). 7

22 8 Penilaian Opsi Penilaian opsi merupakan suatu masalah yang sudah berkembang cukup lama. Terdapat suatu riset yang memfokuskan mengenai ada tidaknya hubungan antara aset dengan kontrak opsi yang tertulis. Masalah ini dipecahkan oleh Fisher Black dan Myron Scholes pada tahun 1973 yang kemudian modelnya dikenal dengan model Black-Scholes, sehingga diperoleh teorema berikut: Teorema 3 Misalkan (, menyatakan nilai opsi pada waktu t, maka V memenuhi persamaan diferensial parsial Black-Scholes. Bukti dapat dilihat di Hull (2009) Pada waktu opsi call jatuh tempo, apabila, opsi dikatakan dalam keadaan in the money. Pemegang kontrak opsi atau investor akan mengeksekusi opsi call, yaitu dengan membeli emas dari penjual opsi sesuai dengan kontrak opsi dengan harga kemudian menjualnya dengan harga sehingga investor memperoleh keuntungan sebesar. Sebaliknya apabila pada saat jatuh tempo, opsi dikatakan dalam keadaan out of the money. Investor tidak akan mengeksekusi opsi call karena investor akan memperoleh kerugian sebesar. Untuk kondisi ini opsi tidak memiliki nilai pada saat jatuh tempo. Lalu apabila maka opsi dikatakan dalam keadaan at the money yaitu tidak untung dan tidak rugi atau impas. Jadi nilai opsi call pada saat jatuh tempo dapat dituliskan sebagai suatu payoff atau penerimaan bagi investor sebagai berikut: ma (, 0. (9) c (8) K Gambar 1 Diagram payoff opsi call (c) tipe Eropa Begitu juga pada waktu opsi put jatuh tempo, apabila maka investor akan mengeksekusi opsi put karena investor bisa memperoleh keuntungan sebesar maka kondisi ini disebut dengan keadaan in the money. Sebaliknya apabila pada saat jatuh tempo maka investor tidak akan mengeksekusi opsi put, karena investor akan memperoleh kerugian sebesar, sehingga opsi ini dikatakan dalam keadaan out of the money. Untuk kondisi ini opsi tidak memiliki nilai pada saat jatuh tempo. Kondisi impas atau at the money opsi put terjadi jika S T

23 . Jadi nilai opsi put pada saat jatuh tempo dapat dituliskan sebagai suatu payoff atau penerimaan bagi investor sebagai berikut: 9 p ma (, 0 (10) K S T Gambar 2 Diagram payoff opsi put (p) tipe Eropa Model Black-Scholes untuk Opsi Tipe Eropa Nilai dari opsi call dan opsi put dapat diperoleh dengan menggunakan model Black-Scholes. Teorema 4 Model Black-Scholes untuk opsi call tipe Eropa pada emas yang tidak membayarkan dividen ( (, (11) dengan dan ( ) ( ) ( ) ( ) Keterangan c : harga opsi call Eropa, 0 : harga emas saat ini, K : strike price, r : tingkat suku bunga bebas risiko, T : jangka waktu berlakunya opsi, : volatilitas harga emas, dan N(x) : fungsi sebaran kumulatif normal baku (Hull 2009). (12) (13) N(x) = (14)

24 10 Teorema 5 (Put-Call Parity) Teorema ini menghubungkan nilai dari opsi call dan opsi put karena dari definisi opsi call dan opsi put serta persamaan (11) dan (15) terlihat adanya perilaku yang bertolak belakang. Teorema put-call parity mengombinasikan opsi call dan opsi put dalam suatu bentuk persamaan. 0. (15) Bukti dapat dilihat di Hull (2009). Dengan menggunakan konsep ini, jika nilai opsi call diketahui, maka nilai opsi put juga dapat ditentukan, sehingga diperoleh teorema berikut. Teorema 6 Model Black-Scholes untuk opsi put Eropa adalah p = ( 0 ( (16) dengan dan seperti pada persamaan (12) dan (13). Bukti dapat dilihat di Hull (2009). Volatilitas Hull (2009) menyatakan bahwa volatilitas yang biasa disimbolkan dengan dari emas adalah ukuran dari ketidakpastian return yang dari investasi emas. Dari Teorema 2, volatilitas emas dapat didefinisikan sebagai standar deviasi return dari investasi emas dalam 1 tahun. Perhitungan Volatilitas Untuk memperkirakan volatilitas harga emas secara empirik, harga emas biasanya diamati pada interval waktu tertentu seperti harian, mingguan, atau bulanan. Didefinisikan: n + 1 : Jumlah pengamatan, : Harga emas pada waktu ke-t dengan 0,,,,, dan T : Panjang interval amatan dalam tahun. Misalkan: Pendugaan standar deviasi dari ln ( ) untuk,,, adalah ( atau ( (. Pada Teorema 2, standar deviasi dari adalah. Oleh karena itu adalah penduga dari, sehingga dengan kesalahan dugaannya yaitu.

25 11 Future Value (Akumulasi) Akumulasi dari sejumlah dana sebesar C untuk periode yang panjangnya satuan waktu adalah (, dengan merupakan suku bunga efektif per satuan waktu. Greeks Salah satu kegunaan formula Black Scholes ini adalah sebagai alat untuk mengendalikan risiko dalam suatu opsi portofolio. Dalam setiap mengukur nilai pasar dari setiap portofolio dipengaruhi oleh beberapa perubahan seperti harga yang mendasari, volatilitas, tingkat suku bunga dan waktu. Teknik dalam mengendalikan risiko ini secara umum dikatakan sebagai sensitivitas nilai opsi (greeks). Greeks ini terdiri atas delta, gamma, theta, vega, dan rho. Delta adalah tingkat perubahan rata-rata nilai opsi terhadap harga saham. Gamma adalah tingkat perubahan delta untuk suatu nilai opsi terhadap harga saham. Theta adalah tingkat perubahan rata-rata nilai opsi terhadap waktu. Vega adalah tingkat perubahan rata-rata nilai opsi terhadap volatilitas, sedangkan rho adalah tingkat perubahan rata-rata nilai opsi terhadap suku bunga. Dalam karya ilmiah ini hanya akan dibahas delta. Lindung Nilai (Hedge Ratio) Rasio lindung nilai (delta) adalah tingkat perubahan rata-rata nilai opsi terhadap harga emas. Berdasarkan definisi dan dengan menggunakan model Black-Scholes, didapat rasio lindung nilai (delta) sebagai berikut: dengan V adalah total nilai opsi dalam portofolio, yaitu jumlah semua nilai opsi dalam portofolio. Rasio lindung nilai (delta) berhubungan dengan analisis Black- Scholes. Black-Scholes menunjukkan bahwa ada kemungkinan membuat portofolio yang bebas risiko yang terdiri atas opsi dan emas. Risiko lindung nilai (delta) untuk opsi call tipe Eropa didapat dengan menggunakan nilai opsi call tipe Eropa dalam teorema 4, sehingga diperoleh teorema berikut. Teorema 7 Rasio lindung nilai (delta) untuk opsi call tipe Eropa diberikan oleh ( dengan ( adalah fungsi distribusi kumulatif normal baku dengan d 1 seperti persamaan (12), yaitu ( ) (

26 12 Rasio lindung nilai (delta) untuk opsi call nilainya selalu tak negatif, yaitu 0 Ini dikarenakan peningkatan harga aset yang mendasari akan mempengaruhi peningkatan harga opsi call, sehingga dapat dimengerti bahwa meningkatnya harga aset yang mendasari akan meningkatkan peluang nilai imbal hasil opsi positif. ( c ) 1 0 (S T ) (K) Gambar 3 Diagram delta untuk opsi call tipe Eropa Dari diagram dapat dilihat bahwa semakin tinggi harga emas akan meningkatkan nilai dari delta opsi call. Sedangkan rasio lindung nilai (delta) untuk opsi put tipe Eropa didapat dengan menggunakan teorema 8 berikut. Teorema 8 Rasio lindung nilai (delta) untuk opsi put tipe Eropa diberikan oleh ( dengan ( adalah fungsi distribusi kumulatif normal baku dengan d 1 seperti persamaan (12), yaitu ( ) ( Rasio lindung nilai (delta) untuk opsi put nilainya selalu tak positif, yaitu

27 13 ( p ) (K) 0 (S T ) -1 Gambar 4 Diagram delta untuk opsi put tipe Eropa Dari diagram dapat dilihat bahwa semakin tinggi harga emas akan meningkatkan nilai dari delta opsi put. PEMBAHASAN Deskripsi Data Pada karya ilmiah ini, data yang digunakan merupakan data rata-rata harga emas pada London Gold Fixing yang diperoleh dari website Data diambil antara Januari 2010 sampai Desember Tabel 2 Data harga emas tahun Bulan Harga emas (USD) Harga emas (USD) Harga emas (USD) Harga emas (USD) Harga emas (USD) Januari Februari Maret April Mei Juni Juli Agustus September Oktober November Desember

28 Gambar 5 Rata-rata harga emas dunia tahun (troy/ounce) Penentuan Nilai Opsi Tipe Eropa Pada subbab ini dibahas penentuan nilai opsi tipe Eropa dengan emas sebagai aset yang mendasari menggunakan model Black-Scholes. Langkah pertama, dilakukan uji kenormalan harga emas yang telah dilogaritmakan. Hal ini dilakukan untuk memastikan bahwa model Black-Scholes dapat digunakan. Ternyata benar bahwa harga emas menyebar normal, hasilnya dapat dilihat pada lampiran 1. Selanjutnya disajikan terlebih dahulu volatilitas harga emas pada tahun Perhitungan Volatilitas ini dapat dilihat pada lampiran 2. Tabel 3 Volatilitas harga emas tahun Tahun Volatilitas Dari tabel 3 terlihat bahwa volatilitas harga emas tertinggi terjadi pada tahun Semakin tinggi tingkat volatilitasnya menunjukkan bahwa harga emas semakin berfluktuasi artinya semakin tinggi ketidakpastian harga emas. Kontrak opsi tipe Eropa merupakan instrumen penting untuk melindungi investor dari ketidakpastian harga emas.

29 Opsi Call Tipe Eropa Misalkan pada tanggal 3 Maret 2015 seorang investor A dan B membuat perjanjian kontrak opsi call. Kontrak tersebut menyebutkan bahwa A mempunyai hak untuk membeli emas dari B artinya A sebagai pembeli opsi call dan B sebagai penjual opsi call. Harga yang disepakati di dalam kontrak opsi call seharga $1200 dengan masa berlaku kontrak tersebut selama 6 bulan, yaitu jatuh tempo pada 3 September 2015 dengan harga emas saat ini sebesar $1210. Misalkan suku bunga 8% dan volatilitas dari harga emas mengikuti volatilitas tahun 2014 yaitu Dari ilustrasi ini, diperoleh parameter-parameter sebagai berikut S 0 = $1210 K c = $1200 T = 6 bulan = 0.5 tahun r = 8% = 0.08 = Mencari nilai dan : ( ) ( ) ( ) ( ) Perhitungan nilai N(x) menggunakan metode interpolasi dan tabel sebaran normal: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ) Nilai opsi call tipe Eropa adalah 15 =( ( =

30 16 Payoff opsi call ST Gambar 6 Diagram payoff opsi call tipe Eropa dengan K = 1200 Dari diagram terlihat bahwa pada S T > K maka pemegang kontrak opsi akan mengeksekusi kontraknya karena pemegang kontrak opsi akan memperoleh keuntungan sebesar S T K. Put-call parity Dari ilustrasi pada opsi call tipe Eropa nilai opsi put tipe Eropa dihitung menggunakan persamaan put-call parity, menjadi sebesar Opsi Put Tipe Eropa Misalkan pada tanggal 3 Maret 2015 seorang investor A dan B membuat perjanjian kontrak opsi put. Kontrak tersebut menyebutkan bahwa A mempunyai hak untuk menjual emas ke B artinya A sebagai pembeli opsi put dan B sebagai penjual opsi put. Harga yang disepakati di dalam kontrak opsi put seharga $1200 dengan masa berlaku kontrak tersebut selama 6 bulan, yaitu jatuh tempo pada 3 September 2015 dengan harga emas sebesar $1210. Misalkan suku bunga 8 % dan volatilitas dari harga emas mengikuti volatilitas tahun 2014 yaitu Dari ilustrasi ini, diperoleh parameter-parameter sebagai berikut S 0 = $1210 K c = $1200 T = 6 bulan = 0.5 tahun r = 8% = 0.08 = Mencari nilai dan : ( ) ( ) ( ) ( )

31 Perhitungan nilai N(x) menggunakan metode interpolasi dan tabel sebaran normal: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( = ( ( ) Nilai opsi put tipe Eropa adalah 17 = ( = Payoff opsi put ST Gambar 7 Diagram payoff opsi put tipe Eropa dengan K = 1200 Dari diagram terlihat bahwa pada S T K maka pemegang kontrak opsi tidak akan mengeksekusi kontraknya karena pemegang kontrak opsi akan memperoleh kerugian sebesar S T K Delta Untuk Opsi Call Tipe Eropa Berdasarkan perhitungan sebelumnya pada Opsi call Tipe Eropa diperoleh nilai opsi call sebesar Perhitungan tersebut diperoleh dengan memisalkan harga emas saat ini adalah 1210, harga strike sebesar 1200, suku bunga yang digunakan 0.08 per tahun dan harga volatilitas tahun 2014 serta waktu jatuh tempo selama 6 bulan. Misalkan pula pada saat T = 6 bulan harga emas naik

32 18 menjadi 1300 atau harga emas turun menjadi 1100, maka delta untuk opsi call tipe Eropa adalah c = N(d 1 ) = c S Gambar 8 Diagram delta untuk opsi call tipe Eropa dengan K =1200 Dari diagram terlihat bahwa semakin meningkatnya harga emas akan meningkatkan nilai dari opsi call. Misalkan investor B menjual opsi call kepada investor A. Kasus 1 saat T = 6 bulan harga emas menjadi $1300. Berikut ditampilkan hasil perhitungan cash flow dengan berbagai jumlah opsi call dengan harga pasar $1300. Perhitungan cash flow dengan berbagai jumlah opsi call dengan harga pasar $1300 dapat dilihat pada lampiran 4. Tabel 4 Hasil perhitungan cash flow saat yang berbeda = $1300 dengan jumlah opsi call Investor melakukan delta hedging Banyaknya opsi Saat T = 0 Delta hedging Cash flow Cash flow opsi Cash flow emas Cash flow utang Total cash flow Investor tidak melakukan delta hedging Saat T = 0 Cash flow Cash flow opsi Cash flow emas Cash flow tabungan Total cash flow

33 Dari Tabel 4 terlihat saat S T = $1300 pada opsi call, investor B lebih baik melakukan delta hedging karena mendapatkan cash flow yang lebih baik dibandingkan tidak melakukan delta hedging. Selanjutnya, kasus 2 saat T = 6 bulan harga emas menjadi $1100. Berikut ditampilkan hasil perhitungan cash flow dengan berbagai jumlah opsi call dengan harga pasar $1300. Perhitungan cash flow dengan berbagai jumlah opsi call dengan harga pasar $1300 dapat dilihat pada lampiran Tabel 5 Hasil perhitungan Cash flow saat yang berbeda = $1100 dengan jumlah opsi call Investor melakukan delta hedging Banyaknya opsi Saat T = 0 Delta hedging Cash flow Cash flow opsi Cash flow emas Cash flow utang Total cash flow Investor tidak melakukan delta hedging Saat T = 0 Cash flow Cash flow opsi Cash flow emas Cash flow tabungan Total cash flow Dari tabel 5 terlihat jika S T = 1100 pada opsi call, lebih baik investor B tidak melakukan delta hedging sebab cash flow yang diperoleh lebih baik jika tidak melakukan delta hedging dibandingkan investor melakukan delta hedging. Delta Untuk Opsi Put Tipe Eropa Berdasarkan perhitungan sebelumnya pada Opsi Put Tipe Eropa diperoleh nilai opsi put sebesar Perhitungan tersebut diperoleh dengan memisalkan harga emas saat ini adalah 1210, harga strike sebesar 1200, suku bunga yang digunakan 0.08 per tahun dan harga volatilitas tahun 2014 serta waktu jatuh tempo selama 6 bulan. Misalkan pula pada saat T = 6 bulan harga emas naik menjadi $1300 atau harga emas turun menjadi $1100, maka delta untuk opsi put tipe Eropa adalah p = N(d 1 ) 0 49.

34 20 c ST Gambar 9 Diagram delta untuk opsi put tipe Eropa dengan K = 1200 Dari diagram terlihat bahwa semakin meningkatnya harga emas akan meningkatkan nilai dari opsi put. Misalkan investor B menjual opsi put kepada investor A. Kasus 1 saat T = 6 bulan harga emas menjadi $1300. Berikut ditampilkan hasil perhitungan cash flow dengan berbagai jumlah opsi put dengan harga pasar $1300. Perhitungan cash flow dengan berbagai jumlah opsi put dengan harga pasar $1300 dapat dilihat pada lampiran 6. Tabel 6 Hasil perhitungan cash flow saat berbeda = $1300 dengan jumlah opsi put yang Investor melakukan delta hedging Banyaknya opsi Saat T = 0 Delta hedging Cash flow Cash flow opsi Cash flow emas Cash flow utang Total cash flow Investor tidak melakukan delta hedging Saat T = 0 Cash flow Cash flow opsi Cash flow emas Cash flow tabungan Total cash flow Dari Tabel 6 terlihat bahwa saat = $1300 pada opsi put investor B lebih baik tidak melakukan delta hedging karena cash flow yang diperoleh lebih baik dibandingkan melakukan delta hedging.

35 Selanjutnya, kasus 2 saat T = 6 bulan harga emas menjadi $1100. Berikut ditampilkan hasil perhitungan cash flow dengan berbagai jumlah opsi put dengan harga pasar $1300. Perhitungan cash flow dengan berbagai jumlah opsi put dengan harga pasar $1300 dapat dilihat pada lampiran Tabel 7 Hasil perhitungan cash flow saat berbeda = $1100 dengan jumlah opsi put yang Investor melakukan delta hedging Banyaknya opsi Saat T = 0 Delta hedging Cash flow Cash flow opsi Cash flow emas Cash flow utang Total cash flow Investor tidak melakukan delta hedging Saat T = 0 Cash flow Cash flow opsi Cash flow emas Cash flow tabungan Total cash flow Dari Tabel 7 terlihat bahwa saat = $1100 pada opsi put investor B lebih baik melakukan delta hedging karena cash flow yang diperoleh lebih baik dibandingkan tidak melakukan delta hedging

36 22 SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Dalam karya ilmiah ini model Black-Scholes dapat digunakan untuk harga emas sebab harga emas memiliki karakteristik yang mirip dengan harga saham yang berfluktuasi setiap waktu. Model Black-Scholes dapat digunakan untuk menentukan nilai opsi call dan opsi put tipe Eropa. Selain itu dapat menentukan rasio lindung nilai (delta) dari opsi tipe Eropa. Pada opsi call investor lebih baik melakukan delta hedging saat harga pasar lebih tinggi daripada harga strike, sedangkan pada opsi put investor lebih baik melakukan delta hedging saat harga pasar lebih rendah dibandingkan dengan harga strike. Saran Dari karya ilmiah ini ada beberapa hal yang dapat diteliti lebih lanjut yaitu penentuan nilai opsi call dan put menggunakan opsi tipe Amerika dan pengendalian risiko lainnya seperti gamma, theta, vega dan rho

37 23 DAFTAR PUSTAKA Andriani G Penentuan Hedge Ratio untuk Opsi Call dan Opsi Put dengan Opsi Tipe Eropa dengan menggunakan Model Black-Scholes. [skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor. [BAPPETI] Badan Pengawas Perdagangan Berjangka Komoditi Ragam Instrumen Pengendali Risiko. Bull (2009). [internet]. [diunduh 2015 Feb 22]; 104 (9): Tersedia pada: http// Diantoro Y Emas: Investasi dan Pengolahannya. Jakarta (ID): Gramedia Pustaka Utama. Grimmet GR, Stirzaker DR Probability and Random Processes. New York (US): Clarendon Press Oxford. Gunawan AI, Wirawati NGP Perbandingan Berinvestasi antara Logam Mulaia dengan Saham Perusahaan Pertambangan Emas. E-Jurnal Akuntasi Unversitas Udhayana (2013). [internet]. [diunduh 2015 Feb 22]; 4.2 (2013): Tersedia pada: http//download.portalgaruda.org. Hogg RV, Mc Kean JW, Craig AT Introduction to Mathematical Statistics, Edisi ke-6. Upper Saddle River (US): Pearson Prentice Hall. Hull, JC Options, Futures, and Other Derivatives, 7th Ed. Prentice-Hall. New Jersey (ID): Upper Saddle River. Irwan Penentuan Nilai Eksak dari Harga Opsi Tipe Eropa dengan menggunakan Model Black-Scholes. Jurnal Teknosains. (2013). [internet]. [diunduh 2015 Jan 12]; 7(1): Tersedia pada: http// Pangabean V, Nababan E, Bu ulolo F 0 Analisis Fundamental dan Analisis Teknikal pada Investasi Trading Emas Online dengan Value at Risk. Saintia Matematika. Peranan Aktivitas Lindung Nilai dalam menggunakan Risiko. (2013). [internet]. [diunduh 2014 Feb 22]; 1(4): Tersedia pada: http//jurnal.usu.ac.id. Rahman, A Model Black Scholes Put-Call Parity Harga Opsi Tipe Eropa Dengan Pembagian Dividen. [skripsi]. Surakarta (ID): Universitas Sebelas Maret Surakarta. Ross SM Introduction to Probability Models, Edisi ke-10. California (US): Elsevier Inc. Sherlita E Peranan Aktivitas Lindung Nilai dalam menggunakan Risiko Perdagangan Internasional. Jurnal Bisnis, Manajemen dan Ekonomi. (2007). [internet]. [diunduh 2014 Des 20]; 8(3): Tersedia pada: http//repository.widyatama.ac.id. Sutrima Eksistensi dan Ketunggalan Solusi Harga Opsi Eropa. Di dalam: Sutrima. Prosiding Seminar Nasional, Eksistensi dan Ketunggalan Solusi Harga Opsi Eropa; 2007 Mei 16; Bogor, Indonesia. Yogyakarta (ID): Fakultas MIPA Universitas Negeri Yogyakarta. Hlm [internet]. [diunduh 2014 Feb 22]. Tersedia pada: Tandelilin E Portofolio dan Investasi. Yogyakarta (ID): Kanisius. Tanuwidjaja W Cerdas Investasi Emas. Yogyakarta (ID): Media Pressindo.

38 24 Lampiran 1 Uji lognormal harga emas LAMPIRAN Salah satu asumsi dari perumusan nilai opsi oleh Fisher Black dan Myron Scholes yaitu sebaran harga emas adalah lognormal. Cara menguji asumsi tersebut yaitu dengan mentransformasi data harga emas menjadi logaritma harga emas kemudian menguji kernomalannya dengan menggunakan bantuan Minitab Selain itu diperlukan suatu hipotesis untuk menentukan normal tidaknya logaritma harga emas tersebut. 0 data mengikuti sebaran normal data tidak mengikuti sebaran normal Kriteria penolakan adalah sebagai berikut, jika p-value yang dihasilkan kurang dari (5% = 0.05), maka tolak 0, artinya data tidak menyebar normal. Sebaliknya, jika p-value yang dihasilkan lebih dari = 5% = 0.05, maka data menyebar normal. Bulan Tabel 8 Data harga emas dan transformasinya tahun Harga emas (USD) Ln Harga emas (USD) Januari Februari Maret April Mei Juni Juli Agustus September Oktober November Desember Ln

39 25 Bulan Tabel 9 Data harga emas dan transformasinya tahun Harga emas (USD) Ln Harga emas (USD) Januari Februari Maret April Mei Juni Juli Agustus September Oktober November Desember Ln Tabel 10 Data harga emas dan transformasinya tahun 2014 Bulan Harga emas (USD) 2014 Ln Januari Februari Maret April Mei Juni Juli Agustus September Oktober November Desember

40 26 Gambar 10 Uji Kenormalan ln harga emas tahun 2010 Gambar 11 Uji Kenormalan ln harga emas tahun 2011

41 27 Gambar 12 Uji Kenormalan ln harga emas tahun 2012 Gambar 13 Uji Kenormalan ln harga emas tahun 2013

42 28 Gambar 14 Uji Kenormalan ln harga emas tahun 2014 Tabel 11 Keputusan penolakan H 0 Harga Emas (Ln) p-value Keputusan Ln Harga Emas 2010 > 0.1 Tidak tolak H 0 Ln Harga Emas 2011 > 0.1 Tidak tolak H 0 Ln Harga Emas 2012 > 0.1 Tidak tolak H 0 Ln Harga Emas 2013 > 0.1 Tidak tolak H 0 Ln Harga Emas 2014 > 0.1 Tidak tolak H 0 Dari gambar 10 sampai 14 terlihat bahwa semua data logaritma harga emas setiap tahunnya mempunya p-value > 0.05, sehingga dapat dikatakan bahwa logaritma harga emas setiap tahunnya menyebar normal. Asumsi perumusan nilai opsi oleh Fisher Black dan Myron Scholes terpenuhi.

43 29 Lampiran 2 Perhitungan Volatilitas Tabel 12 Perhitungan volatilitas harga emas tahun 2010 Bulan Harga Price Monthly Monthly Emas Relative Return Return 2 Januari Februari Maret April Mei Juni Juli Agustus September Oktober November Desember Total Standar Deviasi Monthly Return Standar Deviasi Per Tahun Tabel diatas berisi langkah-langkah perhitungan volatilitas untuk harga emas tahun 2010 secara ringkas. Berikut dijelaskan contoh perhitungan secara manual: 1. Price relative = S t / Februari : / = Maret : / = Monthly return = ln(price relative) Februari : ln( ) = Maret : ln( ) = Standar deviasi monthly return ( ( ) ( 0 ( Menghitung standar deviasi per tahun: 5. Standar deviasi atau volatilitas harga emas tahun (12) 1/2 =

44 30 Tabel 13 Perhitungan volatilitas harga emas tahun 2011 Bulan Harga Price Monthly Monthly Emas Relative Return Return 2 Januari Februari Maret April Mei Juni Juli Agustus September Oktober November Desember Total Standar Deviasi Monthly Return Standar Deviasi Per Tahun Tabel diatas berisi langkah-langkah perhitungan volatilitas untuk harga emas tahun 2011 secara ringkas. Berikut dijelaskan contoh perhitungan secara manual: 1. Price relative = S t / Februari : / = Maret : / = Monthly return = ln(price relative) Februari : ln( ) = Maret : ln( ) = Standar deviasi monthly return ( ( ) ( 0 ( Menghitung standar deviasi per tahun: 5. Standar deviasi atau volatilitas harga emas tahun (12) 1/2 =

45 31 Tabel 14 Perhitungan volatilitas harga emas tahun 2012 Bulan Harga Price Monthly Monthly Emas Relative Return Return 2 Januari Februari Maret April Mei Juni Juli Agustus September Oktober November Desember Total Standar Deviasi Monthly Return Standar Deviasi Per Tahun Tabel diatas berisi langkah-langkah perhitungan volatilitas untuk harga emas tahun 2012 secara ringkas. Berikut dijelaskan contoh perhitungan secara manual: 1. Price relative = S t / Februari : / = Maret : / = Monthly return = ln(price relative) Februari : ln( ) = Maret : ln( ) = Standar deviasi monthly return ( ( ) ( 0 ( Menghitung standar deviasi per tahun: 5. Standar deviasi atau volatilitas harga emas tahun (12) 1/2 =