PROBABILITAS 02/10/2013. Dr. Vita Ratnasari, M.Si

Transkripsi

1 PROBABILITAS Dr. Vita Ratnasari, M.Si

2 Dalam menghadapi persoalan-persoalan yang TIDAK PASTI diperlukan suatu ukuran untuk menyatakan tingkat KEPASTIAN atau KETIDAKPASTIAN kejadian tsb.

3 Definisi / pengertian dasar probabilitas 1. Sample space / ruang sampel: (S) ialah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu kejadian. 2. Event / kejadian: (A) ialah himpunan bagian dari ruang sampel. 3. Komplemen suatu kejadian A terhadap S: (A ) ialah himpunan semua unsur S yang tidak termasuk A.

4 4. A intersection B / Irisan dua kejadian A dan B: (AB) ialah kejadian yang unsurnya termasuk dalam A dan B. 5. A union B / Gabungan dua kejadian A dan B: (AB) ialah kejadian yang mengandung semua unsur yang termasuk A atau B atau keduanya.

5 A U B S B A

6 S A B S A B A B A B = Ǿ

7 A B S B A

8 A c S A

9 contoh 1. Tentukan sample space dari berat badan mahasiswa. 2. Dalam proses inspeksi terhadap produk eternit yang pecah, setiap 10 lembar eternit diambil 3 lembar untuk untuk diperiksa sebagai sampel. Kemudian diidentifikasi eternit yang pecah. Tentukan sample spacenya. 3. Tentukan himpunan kejadian untuk A jika 3 eternit pecah. 4. Tentukan himpunan kejadian untuk B jika 2 eternit pecah.

10 Solusi 1. X = Berat badan mahasiswa S = { 40 x 80 } 2. P = pecah, T = tidak pecah S = { PPP, PPT, PTP, TPP, PTT, TPT, PTT, TTT } 3. A = { PPP } 4. B = { PPT, PTP, TPP }

11 1. A = 2. A = A 3. A 4. A (A 8. (A

12 1. Nilai probabilitas dari suatu event A, ditulis P(A) didefinisikan sedemikian hingga : 0 P(A) 1 2. P(A) = 0, jika A tidak mungkin terjadi 3. P(A) = 1, jika A pasti terjadi Dimana : 4. P ( A ) n n ( A ( S P A B P A P B P A B ) )

13 Menghitung jumlah kejadian yang terjadi 1. Bila suatu operasi dapat dilakukan n 1 cara, dan bila untuk tiap cara ini operasi kedua dapat dikerjakan dengan n 2 cara, maka kedua operasi itu dapat dikerjakan bersama-sama dengan n 1 n 2 cara. 2. Bila suatu operasi dapat dilakukan n 1 cara, dan bila untuk setiap cara ini operasi kedua dapat dikerjakan dengan n 2 cara, dan bila untuk setiap kedua cara operasi tersebut operasi ketiga dapat dikerjakan dengan n 3 cara, dan seterusnya, maka deretan k operasi dapat dikerjakan dengan n 1 n 2... n k cara.

14 3. Permutasi ialah suatu susunan yang dapat dibentuk dari satu kumpulan benda yang diambil sebagian atau seluruhnya, dimana: Urutan diperhatikan Pengulangan tidak diijinkan P n r ( n n! r )!

15 4. Kombinasi suatu susunan yang dapat dibentuk dari satu kumpulan benda yang diambil sebagian atau seluruhnya, dimana: Urutan tidak diperhatikan Pengulangan tidak diijinkan C n r r! ( n n! r )!

16 Soal 1. Bila ada 7 dasi, 5 baju dan 4 celana, ada berapa macam baju dasi celana yang berlainan? 2. Dari empat orang staf direksi sebuah perusahaan, misalkan si A, B, C dan D. Hendak dipilih seorang sebagai direktur utama dan seorang lagi sebagai direktur umum. Berapa kejadian yang mungkin terjadi? 3. Dari empat orang staf pembukuan pada sebuah perusahaan, misalkan mereka si R, S, T dan U. Hendak ditetapkan dua orang sebagai anggota tim pengusut manipulasi, keduanya akan mempunyai kedudukan yang sama dalam tim. Berapa kejadian yang mungkin terjadi?

17 solusi 1. 7 x 5 x 4 = 140 pasangan baju dasi celana berlainan. 2. P (4 4! )! 12 Terdapat 12 kemungkinan susunan antara direktur utama dan direktur umum. 3. C 2! (4 4! )! 6 Terdapat 6 kemunginan susunan anggota tim pengusut manipulasi.

18 4. Dari 4 pria dan 5 wanita, berapa banyak panitia yang beranggotakan 3 orang dapat dibuat: a. Tanpa aturan berdasarkan jenis kelamin b. Dengan 1 pria dan 2 wanita c. Dengan 2 pria dan 1 wanita bila pria tertentu harus termasuk dalam panitia.

19 a. C 9 3 b. c. 4 5 C 1C C 1C 1

20 5. Suatu perusahaan merekrut 3 sarjana dan dua sarjana muda. Tetapi yang masuk dalam test wawancara ada 7 sarjana dan 8 sarjana muda, dimana mereka mempunyai skor nilai yang sama. Berapa kemungkinan kelima staf baru yang akan terpilih?

21 6. Di kota ada 5 supplier yang melayani penjualan alat-alat perkantoran. Tentukan ada berapa macam cara jika sebuah toko yang berada di Jalan Dinoyo akan memilih 3 dari 5 supplier tersebut?

22 Peluang (Probabilitas) Suatu Kejadian Peluang suatu kejadian A adalah jumlah peluang semua titik sampel dalam kejadian A. Contoh : Pelemparan sebuah dadu S = {1,2,3,4,5,6} A : kejadian muncul mata dadu ganjil {1,3,5} maka : na ( ) 3 1 PA ( ) ns ( ) 6 2 S.2 A

23 1. Nilai probabilitas dari suatu event A, ditulis P(A) didefinisikan sedemikian hingga : 0 P(A) 1 2. P(A) = 0, jika A tidak mungkin terjadi 3. P(A) = 1, jika A pasti terjadi Dimana : 4. P ( A ) n n ( A ( S P A B P A P B P A B ) )

24 Beberapa Hukum Dasar Probabilitas Hukum PENJUMLAHAN (gabungan atau UNION) P(AB) = P(A) + P(B) P(AB) Bila A 1, A 2 n adalah kejadian-kejadian yang saling terpisah, maka P(A 1 A 2 A n ) = P(A 1 ) + P(A 2 n) S A B tidak terpisah S A B terpisah

25 Hukum Dasar Probabilitas (cont...) 1. A = 2. A = A 3. A 4. A (A 8. (A

26 Peluang Bersyarat (Conditional Probability) Peluang suatu kejadian dapat tergantung atas terjadi atau tidak terjadinya kejadian lainnya. Jika terdapat ketergantungan, maka peluang yang bersangkutan disebut sebagai Peluang Bersyarat. P ( B A ) P ( P A ( A ) Peluang B terjadi jika diketahui A terjadi. B ), bila P(A) > 0

27 Kejadian Bebas Dua kejadian A dan B bebas jika dan hanya jika dan P ( B A ) P ( B ) P ( A B ) P ( A ) sehingga : P ( A B ) P ( A ) P ( B )

28 Soal 1. Peluang suatu penerbangan yang telah terjadwal teratur berangkat tepat waktu P(B) = Peluang sampai tepat waktu P(S) = Peluang berangkat dan sampai tepat waktu a. Cari peluang bahwa pesawat sampai tepat waktu bila diketahui berangkat tepat waktu. b. Cari peluang bahwa pesawat berangkat tepat waktu bila diketahui sampai tepat waktu.

29 Solusi a. b. P S B P B S P S B P B 0.83 P S B P S 0.82

30 2. Pada suatu percobaan untuk meneliti pengaruh hipertensi pada kebiasaan merokok, dikumpulkan data yang menyangkut 180 orang. Bukan Perokok Perokok perokok sedang berat Hipertensi Tidak hipertensi

31 Bila seseorang diambil secara acak dari kelompok ini, carilah peluang bahwa orang itu: a. Menderita hipertensi, bila diketahui dia perokok berat. b. Bukan perokok, bila diketahui dia tidak menderita hipertensi

32 a. P H PB P H PB P PB b. P BP TH P BP TH P TH PROBABILITAS IBMT 2013

33 3. Suatu survey terhadap pembaca majalah dilakukan dan menghasilkan: Jenis majalah berita sport lainnya < 30 th th th > 50 th

34 a. Hitung probabilitas seorang pembaca berusia 30 tahun atau lebih. b. Hitung probabilitas seorang pembaca adalah pembaca majalah sport bila diket usianya di bawah 50 th c. Hitung probabilitas seorang pembaca berusia diatas 40 th bila diketahui ia pembaca majalah sport.

35 Teorema Bayes Misalkan kejadian B 1, B 2 B k merupakan suatu sekatan ruang sample S dengan P(B i untuk i = 1,2,.., k. Misalkan A suatu kejadian sembarang dalam S. Maka: P B r A k P i 1 P B r B i A A P B r P A B r k P B i P A B i Untuk i 1

36 Soal 1. Suatu pabrik memiliki 5 mesin masing-masing berproduksi 15 %, 15%, 15%, 20% dan 35%. Dari mesin I diketahui ada 2 % produk cacat, dari mesin 2 ada 1%, mesin 3 ada 3%, mesin 4 tak ada yang cacat, mesin 5 ada 5% yang cacat. a. Berapa probabilitas cacat di seluruh pabrik? b. Bila suatu produk cacat ditemukan, berapa probabilitas bahwa ia berasal dari: mesin 5?

37 a. b. P C P C M P C M P C M P M P C M P C M 5 C * P C M P CM ( P M ) ( ) P ( M C ) P C( ) P C ( )

38 2. Suatu perusahaan besar menggunakan 3 hotel sebagai tempat menginap para langganannya. Dari pengalaman yang lalu diketahui bahwa 20% langganannya di hotel A, 50% di hotel B dan 30% di hotel C. Bila 5% kamar mandi di hotel A tidak berfungsi dengan baik, 4% di hotel B dan 8% di hotel C. a. Berapa peluang seorang langganan mendapat kamar yang kamar mandinya tidak baik? b. Jika seseorang mendapat kamar mandi yang tidak baik berapa peluang ia di tempatkan di hotel A?