PEMBUKTIAN MATEMATIS DIBALIK PERISTIWA PELANGI

Transkripsi

1 PEMBUKTIAN MATEMATIS DIBALIK PERISTIWA PELANGI Ahmad Zulfakar Rahmadi, Wikky Fawwaz Al Maki Departemen Matematika STKIP Surya Abstrak Jurnal ini membahas bagaimana kita melihat matematika sebagai induk dari segala ilmu sains melalui kejadian-kejadian yang riil di sekitar. Pelangi, yang sejatinya hanya terlihat dan jarang ditanggapi secara khusus oleh sebagian orang, disini akan dibuktikan melalui suatu pendekatan konsep matematis dalam hal ini turunan. Dengan menghitung sudut datang dan sudut pantul dari refraksi cahaya dan refleksinya, kita dapat menentukan sudut terlihatnya pelangi dari turunan sudut yang ada, dan kemudian menghubungkannya dengan hukum snell tentang cahaya. Selain itu, melalui pendekatan geometri dapat dijelaskan alasan dari bentuk kurva pelangi itu sendiri. Penerapan kedua hubungan matematis tersebut diperoleh pemahaman bahwa matematika mempunyai banyak aplikasi kehidupan sesuai asumsinya sebagai induk sains. Kata Kunci:Sudut datang dan pantul,refraksi, Refleksi, Hukum Snell, Kurva Pelangi. 1 PENDAHULUAN Matematika merupakan salah satu ilmu yang mendasari berkembangnya ilmu pengetahuan. Namun,kondisi matematis yang abstrak terkadang membuat kita sulit bernalar tentang bagaimana aplikasi nyata dari matematika itu sendiri. Tidak hanya itu, relasi antara matematika dan ilmu lain pun terkadang kurang dikenali baik secara abstrak maupun fenomena alam yang nyata. ini konsep turunan aljabar, geometri, dan hukum refleksi dan refraksi Snellius. Dari berbagai teori yang ditelusuri hubungan dan buktinya, akhirnya akan digunakan untuk menjelaskan fakta-fakta yang ada dibalik pelangi. Mulai dari besar sudut pandang terhadap pelangi, proses terjadinya warna pada pelangi, hingga penjelasan bentuk kurva dari pelangi akan dibahas secara matematis. Pelangi, sebagai salah satu fenomena alam yang indah dan sering terlihat serta dikenali khalayak ternyata menyimpan fakta-fakta unik dibalik peristiwa terjadinya. Pada pelangi, dapat ditemukan model matematika yang alamiah dan tetap dibuktikan dengan logika yang tepat. Dalam pembuktian model matematika pelangi, digunakan hubungan antara matematika dan fisika yang dalam hal 2 METODE Metode yang digunakan dalam penelitian jurnal ini berupa studi literatur yang berhubungan dengan konsep turunan aljabar dan geometri serta hukum Snellius tentang refraksi cahaya diman setiap konsep memiliki hubungan khusus mengenai tinjauan matematis dari pelangi. 1

2 3 HASIL DAN PEMBA- HASAN 3.1 Proses Terjadinya Pelangi Pelangi adalah fenomena alam yang tebentuk karena cahaya matahari melalui tetesan air yang terpancar atau tersebar di udara. Pada saat sinar menyentuh permukaan air hujan, sinar tersebut akan dibiaskan karena cahaya mengalami perubahan indeks media dari udara ke air. Ketika sinar dihantarkan kembali ke permukaan belakang tetesan air, hampir seluruhnya dibiaskan dan keluar dari tetesan air. Hanya beberapa yang dipantulkan dan saat cahaya tersebut menuju keluar permukaan, setiap warna akan dibiaskan kembali seperti saat meninggalkan tetesan air. Hal itu terjadi pembiasan langsung dari sumber cahaya ke medium diteruskan ke air terlalu banyak dan cepat [1]. Pada dasarnya, kita dapat membuk- Figure 1: Pembiasan pelangi tikannya dengan perhitungan ketika: sin(α) = k.sin(β) dimana α dan β adalah sudut datang sinar dan bias, dan k adalah rasio dari kecepatan perubahan medium sumber ke medium penerima. 3.2 Hukum Pemantulan Pemantulan sinar adalah peristiwa terjadinya perubahan arah rambat cahaya ke sisi yang berbeda. Dengan kata lain, sudutdatang = sudutpantul Hal yang menarik dan harus dicatat bahwa pembiasan dan pemantulan merupakan manifestasi dari satu hukum yang disebut Fermat s Principle, yang menyatakan cahaya mencapai yang sampai ke mata telah diteruskan jauh dari sumbernya [2]. Figure 2: Refleksi cahaya Seperti saat kita melihat tangan kita di kaca atau permukaan air, bayangan yang terlihat diambil dari pembiasan ke mata. 3.3 Sudut Putar dari Pelangi Sekarang kita dapat menghitung hubungan matematis untuk beberapa fakta umum dari cahaya,mari kembali pada model gambar tetesan air hujan.untuk membuat hal ini menjadi simpel, kita asumsikan bahwa air hujan is perfectly spherical,dan hal tersebut memiliki sense untuk dillihat secara dua dimensi. Jika sinar datang menuju tetes air dengan sudut datang α, dipantulkan oleh permukaan belakang dari tetes air,dan dibiaskan kembali meninggalkan medium tersebut. Jadi berapa sudut putar dari cahaya saat keluar dari medium tersebut? Diketahui α adalah sudut datang dan β adalah sudut bias, dimana berhubungan dengan hukum Snell. Saat cahaya melalui bagian terjauh dari medium(dalam hal ini tetesan air), selanjutnya akan dipindahkan jauh ke dasar dari garis segitiga sama kaki yang merupakan sisi dari perpanjangan kedua garis radian medium hujan. Setelah 2

3 Figure 3: Sudut balik pelangi Figure 4: sudut bias pelangi direfleksikan ke bagian dalam dari medium, sinar akan dibawa kembali melalui tetesan air dan saling melengkapi bagian yang lain, segitiga sama kaki. Seperti yang ditampilkan pada gambar, sudut bias untuk sinar yang meninggalkan medium dikenali sebagai β.kembali pada hal awal yang telah kita catat, cahaya dibawa dari air ke udara dengan sudut datang β akan memiliki sudut bias α. Kita misalkan T (α) adalah sudut putar atau balik yang terbentuk jika kita teruskan perpanjangan sinar datang(seolaholah tidak dibiaskan),besarnya adalah jumlah total sudut yang terbentuk dari sinar yang kembali ke medium air hujan, berbentuk searah jarum jam dari garis lurus. Sudut datang α yang terbentuk antara garis medium,sinar bias, dan perpanjangan sinar memiliki besar yang sama dengan sudut bias β, sehingga sudut pada perpotongan sinar bias besarnya sama dengan 2β dan sudut yang melakukan pemantulan kembali terhadap sinar besarnya dapat dinyatakan sebagai 180 2β (lihat pada Fig.4 ). Cahaya yang memasuki medium air dikembalikan oleh α-β (mengapa)? seperti saat cahaya meninggalkan medium. Pemantulan dikarenakan oleh sudut 180 2β. Dari argumen tersebut, maka T (α) dapat dinyatakan sebagai jumlah seluruh sudut yang terbentuk pada sinar datang dan sinar bias. Maka: (1) T (α) = (α β) + (180 2β) + (α β) (2) = α 4β (3) Jadi,sinar memasuki tetesan air hujan dengan sudut α akan dikembalikan arahnya oleh sudut α 4β yang kemudian hasil ini dapat kita tentukan sudut pelangi θ = 180 T (α). 3.4 Warna dari Pelangi Sejauh ini, kita telah dijelaskan proses terjadinya pelangi, pembiasan cahayanya dan bagaimana proses masuknya cahaya ke tetesen air hujan hingga terjadi pembiasan serta aplikasi dari hukum Snell. Namun kita belum menjelaskan sedikit pun tentang apa yang membuat pelangi berwarna.tabel berikut menampilkan panjang gelombang dari warna-warna pelangi dimana hal tersebut nantinya akan menjelaskan tentang bentuk dari pelangi itu sendiri(akan dibahas di subbab lain). Sinar matahari sebenarnya terdiri dari banyak warna. Meskipun,ketika semua warna terkombinasi bersama, yang kita lihat hanyalah cahaya putih. Saat matahari muncul, sinar matahari akan menerpa tetesan air hujan. Hal tersebut akan dibiaskan, denagan panjang gelombang refraksi berbeda untuk sudut yang berbeda pula, 3

4 dan warna-warna yang menarik akan tampak. Warna dari pelangi lapis pertama atau pelangi primer selalu diikuti warna yang berbeda dan berurutan: merah,jingga, kuning, hijau, biru, nila, dan ungu. No. Warna Pelangi Panjang Spektrum 1. Merah nm 2. Jingga nm 3. Kuning nm 4. Hijau nm 5. Biru nm 6. Nila Ungu nm Figure 5: Pembiasan warna pelangi Efek tersebut terjadi ketika cahaya putih dibiaskan,setiap komponen warna akan dibelokkan oleh bagian lain seperti saat melewati medium transparan ke medium lainnya. Dispersi ini disebabkan prisma medium memproduksi spektrum warna dari cahaya putih. Pada kasus tetesan air, cahaya ungu akan dibiaskan melalui sisi dan sudut yang lebih baik dari cahaya merah. Hal itu menyebabkan cahaya ungu di pelangi primer selalu terlihat dibawah cahaya merah(setelah merah).sisa cahaya selain merah dan ungu adalah warna palsu,atau hanya berupa efek dari kedua warna tersebut. Dari penjelasan pada subbab sebelumnya, kita mendapatkan gambaran umum tipe warna pelangi bahwa cahaya biru dan ungu dibiaskan lebih daripada cahaya merah. Pembiasan tersebut tergantung pada indeks pembiasan dari air hujan, dan perhitungannya dapat mengalami keselahan dalam ketelitian karena perbedaaan panjang gelombang antara cahaya merah dan ungu yang tidak tentu pula [3]. Catatan:Ketika hujan, terdapat banyak tetesan air hujan turun dari langit. Setiap tetesan hujan dapat membentuk hanya satu warna yang mata kita bisa lihat.letak setiap warna tersebut direfleksikan terhadap bagian belakang air hujan dan menuju mata selalu pada sudut yang terukur dari garis antara mata dan matahari. Sudutnya berkisar 42 terukur dari puncak dari gelombang cahaya merah dan 40 ke bawah dari cahaya ungu. Figure 6: Warna dasar pelangi 3.5 Pembentukan Pelangi Pertama dan Sudut Pandang Pelangi Seperti yang kita ketahui bersama, pelangi pertama terbentuk dengan sudut kurang lebih 42 derajat. Bagaimana pembuktiannya? Sekarang kita akan membuktikan bagaimana menentukan sudut pengamat terhadap pelangi dengan beberapa teori. Dalam kasus ini, kita tidak hanya menggunakan hukum Snell, tetapi juga hukum cahaya, turunan aljabar,trigonometri, dan geometri. Pada turunan aljabar menggunakan persamaan dibawah ini untuk menentukan persamaan turunannya: f (x) = lim x h f(x + h) f(x) h (4) Dalam hal ini kita gunakan beberapa istilah di antaranya: α= sudut datang β= sudut bias 4

5 Figure 7: sudut bias pelangi k=perbandingan indeks bias dari dua medium yang berbeda. Sekarang kita akan menghitung tingkat perubahan pada sudut balik T (α) terhadap α. Dengan kata lain,kita akan menyatakannya dalam bentuk dt. Setelah selesai,kita masukkan α ke persamaan dt (α) tadi,sehingga sama dengan nol. Perlu diingat bahwa seluruh persamaan ini untuk menghitung konsentrasi cahaya di sudut 42. Turunkan kedua sisi persamaan: dengan α T (α) = α 4β (5) dt (α) = 2 4dβ (6) Namun bagaimana dengan dβ? Kita dapat menurunkan kedua ruas dari hukum refraksi Snell: sin(α) = ksin(β) (7) dari persamaan hukum Snell di atas, didapatkan cos(α) = kcos(β) dβ (8) Perlu diingat,turunan fungsi diatas digunakan untuk menentukan persamaan lnear fungsi utama. Yaitu, T (α) T (α 0 ) + T (α 0 )(α α 0 ) (9) T(α) ditaksir memiliki nilai yang hampir sama karena diketahui α α 0 bernilai sangat kecil sehingga tidak berpengaruh terhadap perubahan nilai sudut. Jika kita dapat menemukan nilai α 0 dimana T =0, kemudian T (α) T (α 0 ) untuk setiap nilai α mendekati nilai α 0.Hal tersebut berarti berlaku untuk setiap sinar yang masuk dengan sudut datang mendekati nilai dimana T = 0 akan dikembalikan sesuai dengan hukum persamaan yang sama. Sekarang, mari tentukan nilai α 0. Misalkan, 0 = dt = 2 4cos(α 0) kcos(β 0 ) (10) Dari persamaan diatas, diperoleh persamaan berikut k 2 cos 2 (β 0 ) = 4cos 2 (α 0 ) (11) k 2 (1 sin 2 (β 0 )) = 4(1 sin 2 (α 0 )) (12) Substitusikan, sin(α 0 ) = ksin(β 0 ) (13) sin 2 (α 0 ) = k 2 sin 2 (β 0 ) (14) Sehingga diperoleh: k 2 sin 2 α 0 = 4(1 sin 2 α 0 ) (15) Dari persamaan-persamaan diatas, kita peroleh rumus sudut datang dan bias sin 2 (α 0 ) = 1 3 (4 k2 ) (16) ( ) 1 α 0 = arcsin 3 (4 k2 ) (17) Kemudian dari persamaan Snellius kita dapatkan sinα 0 = ksinβ 0 (18) ( ) sinα 0 β 0 = arcsin (19) k Pada pembentukan pelangi pertama, akan dicari sudut pelangi untuk warna merah. Diketahui indeks bias warna merah (k) = 1, 33. Substitusikan nilai k ke 5

6 persamaan berikut: α 0 = sin 1 ( 1 3 (4 k2 ) Sehingga didapat α 0 = β 0 = sin 1 ( sinα 0 k ) ) (20) (21) bahwa cahaya melewati tetes air yang singular. Prinsip dasar telah menentukan pelangi alami yang dimana terjadi interaksi cahaya dengan medium transparan,dan dinamakan refleksi dan refraksi. dan diperoleh β 0 = Substitusikan nilai α 0 dan β 0 ke persamaan T (α) = α 4β. Sehingga diperoleh T (α) 138 Jadi, besar sudut pada pembentukan pelangi pertama atau pelangi dengan warna merah adalah 180 T (α) = = 42 (22) Catatan:Perhitungan diatas mengalami pembulatan yang dianggap perlu, sehingga sudut pelangi pertama 42 dan nilai tersebut diukur dari warna merah sebagai puncak pelangi. 3.6 Pelangi Kedua(Sekunder) Pelangi sekunder trdiri dari cahaya yang keluar dari pemantulan internal di medium. Dengan setiap pantulan dari beberapa sinar hilang, dimana hal tersebut menjadi alasan utama pelangi kedua ini lebih berwarna dari pada pelangi pertama(merah). Theodoric dan Descrate menjelaskan bahwa dari direksi panjang dengan daerah hasil sudut yang berkorespondensi ke pelangi dengan hanya satu warna pada saat terlihat dilangit.ketika pandangan mata berpindah ke tempat lain dan menciptakan sudut pandangan yang lain, spektrum warna lain mulai bermunculan,satu demi satu.ia juga menjelaskan bahwa setiap warna yang terlihat oleh mata berasal dari tetesan air yang lain [4]. Seperti yang dijelaskan oleh Descrate, setiap fitur utama dari pelangi akan dimengerti melalui sebuah pertimbangan Figure 8: Pelangi sekunder Selain itu, ada satu fakta unik lagi tentang kemunculan pelangi selain pelangi primer. Fakta unik tersebut adalah kemungkinannya terbentuk pelangi yang tidak kasat mata. Kemunculan pelangi tersebut tak lepas dari peran radiasi dan gelombang serta atom yang berhubungan. Pelangi tersebut diproduksi dari peristiwa penghamburan inti atom di udara. [5] 3.7 Interpretasi Bentuk Pelangi Bila kita membahas pelangi, ada satu hal yang menarik tentang bentuk pelangi itu sendiri. Fakta unik tersebut terletak pada bentuknya yang selalu menyerupai kurva parabola, dan lingkaran. Apa yang menyebabkan bentuk tersebut? Penjelasannya kita dapatkan dari persamaan sudut-sudut pada pelangi,dimana sudut pembiasaan(β) masing-masing gelombang warna bersifat tetap,sehingga dari tiap warna akan membentuk lintasanlintasan cahaya yang ketika disatukan bentuknya menyerupai sebuah parabola atau lingkaran. Pada tabel panjang gelombang warna pelangi sebelumnya,setiap warna memiliki interval panjang yang 6

7 berbeda. Selain itu,bila dilihat dari Fig.9, grafik tersebut menunjukkan bagaimana setiap sudut dari pembiasan dan pemantulan sinar memiliki frekuensi berbeda terhadap warna dan panjangnya, sehingga membentuk kurva. Selain itu, kecenderungan Figure 9: Grafik pelangi mata manusia pada saat memandang objek tertentu bersifat konvergen (menyebar) sehingga efek yang ditimbulkan dari refraksi cahaya ke mata memberikan kesan lebih terhadap bentuk pelangi itu sendiri. 4 SIMPULAN Dari paparan di atas mengenai peristiwa pelangi,dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut. Pelangi adalah gejala optik dan meteorologi yang terjadi sacara alamiah dalam atmosfir bumi serta melibatkan cahaya matahari, pengamat dan tetesan air hujan. Kejadian pelangi juga dapat dihubungkan dengan konsep matematis yang ada,mulai dari turunan aljabar, Trigonometri, geometri dan kurva. Di dalam tetesan air hujan, cahaya matahari mengalami proses pembiasan, pemantulan, dan dispersi cahaya. Cahaya tersebut merupakan gelombang warna yang membentuk spektrum cahaya dan membentuk pelangi pertama. Kita dapat mengkontruksi model matematika proses terjadinya pelangi pertama. Model yang pertama ialah T (α) sebagai jumlah total sudut dan θ merupakan sudut pelangi. Model kedua ialah yang kita kenal sebagai sudut deviasi. Selanjutnya kita dapat menentukan dua persamaan pelangi, pertama yang merupakan sudut datang sinar matahari (α). Model yang terakhir adalah persamaan β yang merupakan sudut bias dari pelangi. Kita harus memiliki sudut pelangi sebesar 42 serta posisi matahari terletak dalam satu axis dengan posisi matahari berada di belakang pengamat. Bentuk pelangi adalah lingkaran karena disebabkan oleh sudut pembiasan masingmasing gelombang warna tetap dan sifat konvergen (menyebar) saat mata manusia memandang sebuah objek. Daftar Pustaka [1] Thao Dang: The Theory of Rainbow, Vol. 0, No. 0,pp. 01,2006. [2] Rachel W. Hall and Nigel Higson: The Cakculus of Rainbows, Vol. 0, No.0,pp ,1998. [3] John A. Adam: The Mathematical Physics of Rainbows and Glories, vol. 0, No.356,pp.07, [4] Raymond L. Lee, Jr: Mie theory, Airy theory, and the natural rainbow, [5] H. Moyses Nusseinveg: The Theory of The Rainbow, Vol. 0, No.0, pp.007,