PENDUGAAN TOTAL POPULASI PADA PEUBAH DENGAN SEBARAN LOGNORMAL (Studi Kasus: Data Susenas 2007 Pengeluaran Rumah Tangga Kota Bogor) ANITA PRATIWI

Transkripsi

1 PENDUGAAN TOTAL POPULASI PADA PEUBAH DENGAN SEBARAN LOGNORMAL (Studi Kasus: Data Susenas 7 Pengeluaran Rumah Tangga Kota Bogor) ANITA PRATIWI DEPARTEMEN STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR

2 i RINGKASAN ANITA PRATIWI. Pendugaan Total Populasi pada Peubah dengan Sebaran Lognormal (Studi Kasus: Data Susenas 7 Pengeluaran Rumah Tangga Kota Bogor). Dibimbing oleh ANANG KURNIA dan LA ODE ABDUL RAHMAN. Analisis regresi linier merupakan salah satu metode yang sering digunakan untuk menduga suatu peubah respon bila tersedia peubah penjelas yang memiliki hubungan linier dengan peubah respon. Pendugaan terhadap nilai peubah respon yang tidak terambil sebagai contoh memerlukan informasi peubah penjelas yang bersesuaian dari data populasi. Bila peubah respon merupakan peubah yang ingin diduga total populasinya, maka dugaan total populasi dapat diperoleh dengan menjumlahkan gugus data contoh dengan gugus data hasil dugaan. Penggunaan model regresi linier akan menghasilkan penduga total populasi yang tidak berbias bila sebaran data peubah yang digunakan menyebar normal. Namun pada data sosial dan ekonomi seperti saham dan pengeluaran rumah tangga misalnya, seringkali pencilan kanan muncul. Transformasi logaritmik terhadap data dapat memperbaiki kesimetrikan data dan mengatasi masalah ketidaknormalan. Proses transformasi balik menyebabkan model regresi linier yang digunakan untuk menduga total populasi dikoreksi. Model regresi linier terkoreksi ini dinamakan model Karlberg. Untuk melihat kelebihan model Karlberg (M3) dalam pendugaan total populasi, dilakukan juga pendugaan melalui dua metode lain yang sifatnya langsung. Kedua metode tersebut adalah pendugaan melalui rataan contoh peubah asal (M) dan pendugaan melalui nilai harapan sebaran lognormal dari data hasil transformasi logaritmik (M). Melalui simulasi dengan karakteristik data bangkitan yang sama dengan data peubah pengeluaran rumah tangga Kota Bogor hasil Susenas (Survei Sosial Ekonomi Nasional) tahun 7, diperoleh nilai ARB (Average of Relative Bias), RLMSE (Relative Mean Square Error), MSE (Mean Square Error), dan AARB (Average of Absolute Relative Bias) dari penduga M3 yang lebih baik dari penduga M dan M pada berbagai ukuran contoh. Berdasarkan nilai ARB, penduga M3 dan M memiliki besar rataan bias relatif yang hampir sama. Berdasarkan nilai ragam (RLMSE dan MSE), penduga M3 menjadi penduga terbaik dengan nilai ragam terkecil, disusul oleh penduga M dan penduga M. Aplikasi ketiga metode pada pendugaan total pengeluaran rumah tangga di kelurahan dalam Kota Bogor, kecamatan dalam Kota Bogor, dan Kota Bogor menghasilkan M dan M3 sebagai dua penduga dengan nilai RMSE (Root Mean Square Error) terkecil. Namun demikian, pemilihan peubah penjelas menjadi penentu baiknya penduga M3. Kata kunci: sebaran lognormal, total populasi, model Karlberg

3 i PENDUGAAN TOTAL POPULASI PADA PEUBAH DENGAN SEBARAN LOGNORMAL (Studi Kasus: Data Susenas 7 Pengeluaran Rumah Tangga Kota Bogor) ANITA PRATIWI Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Statistika pada Departemen Statistika DEPARTEMEN STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR

4 i Judul Nama NRP : Pendugaan Total Populasi pada Peubah dengan Sebaran Lognormal (Studi Kasus: Data Susenas 7 Pengeluaran Rumah Tangga Kota Bogor) : Anita Pratiwi : G489 Menyetujui, Pembimbing I Pembimbing II Dr. Anang Kurnia NIP : La Ode Abdul Rahman, M.Si Mengetahui, Ketua Departemen Statistika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor Dr. Ir. Hari Wijayanto, M.Si NIP : Tanggal lulus :

5 i KATA PENGANTAR Alhamdulillahirabbil alamiin, puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat dan karunia sehingga penyusunan skripsi ini dapat diselesaikan. Skripsi dengan judul Pendugaan Total Populasi pada Peubah dengan Sebaran Lognormal (Studi Kasus: Data Susenas 7 Pengeluaran Rumah Tangga Kota Bogor) penulis rasakan sebagai proses pembelajaran yang begitu menyeluruh tentang ilmu statistika. Dalam skripsi ini penulis mengkaji proses pendugaan total populasi pada peubah dengan sebaran lognormal dengan harapan dari data lokal yang ada dapat dimanfaatkan semaksimal mungkin dalam hal ini data KOR Survei Sosial Ekonomi Nasional (Susenas) 7 yang diselenggarakan Badan Pusat Statistik (BPS) setiap tahunnya. Penulisan karya ilmiah ini dapat diselesaikan oleh penulis tidak lepas dari dukungan, bimbingan, dan bantuan dari banyak pihak. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini penulis menyampaikan ucapan terima kasih kepada:. Bapak Dr. Ir. Hari Wijayanto, M.Si selaku Ketua Departemen Statistika FMIPA IPB.. Bapak Dr. Anang Kurnia dan Bapak La Ode Abdul Rahman, M.Si selaku dosen pembimbing atas bimbingan dan ilmu yang diberikan. 3. Ibu Dian Kusumaningrum, M.Si selaku dosen penguji luar yang telah memberikan masukan dan arahan kepada penulis. 4. Seluruh Dosen Departemen Statistika yang telah memberikan ilmu dan wawasan selama penulis menempuh pendidikan di Departemen Statistika IPB serta seluruh staf Departemen Statistika yang telah banyak membantu proses skripsi penulis. 5. Orangtua penulis tercinta, Taufik Hidayat dan Siti Rochani, atas doa keduanya yang tidak pernah putus. 6. Abang tercinta, Taufan Dermawan beserta istri atas dukungannya, baik moril maupun materi, selama penulis menempuh pendidikan di Statistika IPB. Juga adik tersayang, Annuri Rosita dan Hanna Nur Tasia yang selalu menghibur dalam proses penulisan skripsi ini. 7. Nursyita Purnami (untuk 4 tahun ini) dan I.D.G Richard Alan Amory atas kritik, saran, dan semua hal yang pernah kita bagi. 8. Anni Fithriyatul Mas udah dan Nuril Anwar selaku kawan satu bimbingan. 9. Statistika 44, 45, 46, dan B5 TPB IPB 8.. Seluruh pihak yang telah memberikan dukungan dan bantuan dalam penyelesaian karya ilmiah ini. Penulis menghaturkan maaf atas segala kekurangan dan kesalahan yang terdapat dalam karya ilmiah ini. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi pembaca. Bogor, September Anita Pratiwi

6 i RIWAYAT HIDUP Penulis lahir di Bogor pada tanggal 7 Mei 99 sebagai anak kedua dari empat bersaudara dari pasangan Taufik Hidayat dan Siti Rochani. Penulis menempuh pendidikan di SD Negeri Ciriung II Cibinong (997-), SMP Negeri Bogor (-5) dan SMA Negeri Bogor (5-8). Pada bulan Februari 8 penulis dinyatakan lulus USMI IPB 8 dengan Mayor Statistika. Matematika Keuangan dan Aktuaria merupakan program minor yang dipilih penulis untuk melengkapi program mayornya. Selama menempuh pendidikan di Statistika IPB, penulis bergabung dengan Himpunan Keprofesian Gamma Sigma Beta (Himpro GSB IPB) sebagai Staf Departemen Survei dan Riset (Masa Kepengurusan /) dan Ketua Departemen Survei dan Riset (Masa Kepengurusan /). Selain aktif dalam kepengurursan Himpro GSB IPB, penulis juga aktif dalam berbagai kepanitiaan yang diselenggarakan oleh Himpro GSB IPB dan BEM FMIPA. Selama menempuh pendidikan di Statistika IPB penulis juga mendapatkan kesempatan untuk menjadi asisten praktikum pada mata kuliah Metode Statistika, Metode Penarikan Contoh, dan Analisis Data Kategorik. Penulis sempat bergabung dengan Lembaga Olah Data Statistics Centre pada tahun kemudian keluar pada tahun dan hingga proses penyusunan skripsi ini penulis bergabung dalam perusahaan riset pemasaran PT. Optima Solusi Indonesia sebagai junior research executive (freelancer).

7 ii DAFTAR ISI Halaman DAFTAR TABEL... viii DAFTAR GAMBAR... viii DAFTAR LAMPIRAN... viii PENDAHULUAN... Latar Belakang... Tujuan... TINJAUAN PUSTAKA... Pencilan... Total Populasi... Sebaran Lognormal... Penduga Kemungkinan Maksimum... Model Penduga... 3 Survei Sosial Ekonomi Nasional (Susenas)... 3 METODOLOGI... 4 Data... 4 Metode... 4 HASIL DAN PEMBAHASAN... 6 Kajian Simulasi... 6 Aplikasi Data Riil Susenas KESIMPULAN DAN SARAN... 9 Kesimpulan... 9 Saran... DAFTAR PUSTAKA... LAMPIRAN...

8 viii DAFTAR TABEL Halaman Peubah-peubah pada data riil...4 Rata-rata parameter ( dan ) dan indeks lognormal (LI) dari peubah logy Nilai ukuran evaluasi bagi hasil pendugaan melalui simulasi Penduga paramater ( dan ), skewness, dan kurtosis pada peubah Y (pengeluaran rumah tangga sebulan) Penduga paramater ( dan ) dan indeks lognormal (LI) peubah logy Ringkasan model bagi penduga M Hasil pendugaan total pengeluaran rumah tangga di Kota Bogor tahun DAFTAR GAMBAR Halaman Bentuk sebaran lognormal... Diagram kotak dan garis parameter (a)., (b)., dan (c) indeks lognormal (LI) pada peubah logy Contoh histogram peubah Y Contoh histogram peubah Z = logy Plot ukuran evaluasi penduga total populasi hasil simulasi vs jumlah contoh yang digunakan..7 6 Histogram peubah Y Histogram peubah logy Diagram pencar X terhadap logy...9 DAFTAR LAMPIRAN Halaman Diagram pencar rata-rata aktual luas kavling (X) vs pendekatan rata-rata luas kavling (X ) pada kelurahan di Kota Bogor tahun 7... Dugaan total pengeluaran rumah tangga pada kecamatan di Kota Bogor tahun Dugaan total pengeluaran rumah tangga pada kelurahan di Kota Bogor tahun Histogram sisaan baku dan diagram pencar prediksi vs sisaan baku dari penduga M3 pada pendugaan total pengeluaran rumah tangga di Kota Bogor tahun Histogram sisaan baku dan diagram pencar prediksi vs sisaan baku dari penduga M3 pada pendugaan total pengeluaran rumah tangga di kecamatan di dalam Kota Bogor tahun

9 PENDAHULUAN Latar belakang Total populasi merupakan salah satu parameter yang seringkali dikaji oleh peneliti. Beragam metode pendugaan muncul dan terus berkembang. Metode yang paling sederhana adalah metode pendugaan langsung di mana pendugaan hanya memanfaatkan informasi yang berasal dari peubah yang akan diduga total populasinya. Pendugaan menjadi lebih kompleks ketika mulai memanfaatan informasi peubah lain. Pendugaan seperti itu disebut dengan pendugaan yang bersifat tidak langsung (berbasis model). Analisis regresi linier merupakan salah satu metode yang sering digunakan untuk menduga suatu peubah respon bila peneliti memiliki infomasi tentang peubah penjelas yang memiliki hubungan linier dengan peubah respon. Pendugaan terhadap nilai peubah respon yang tidak terambil sebagai contoh memerlukan informasi peubah penjelas yang bersesuaian sehingga diperlukan data populasi peubah penjelas. Bila peubah respon tersebut merupakan peubah yang ingin diduga total populasinya maka dugaan total populasi dapat diperoleh dengan menjumlahkan gugus data contoh dengan gugus data hasil dugaan. Model regresi linier dapat menghasilkan penduga total populasi yang tidak berbias bila dibangun dari data peubah respon yang menyebar normal. Kemunculan nilai pencilan kanan pada data survei sosial ataupun ekonomi seringkali terjadi sehingga asumsi kenormalan tidak lagi terpenuhi. Keberadaan pencilan ini menyebabkan penduga parameter pada model regresi berbias sehingga penduga total populasi pun berbias. Transformasi logaritma natural terhadap data dapat dilakukan untuk memperbaiki kesimetrikan data dan mengatasi masalah kenormalan. Proses transformasi balik menyebabkan adanya pengoreksian pada model regresi linier penduga total populasi. Model regresi linier terkoreksi ini diperkenalkan oleh Karlberg (). Model Karlberg mampu menghasilkan penduga total populasi terbaik dengan nilai bias yang jauh lebih kecil dari model regresi linier yang dibangun dari data yang tidak ditransformasi. Penerapan model dalam pendugaan parameter total populasi telah banyak dilakukan, salah satunya adalah untuk menduga total pengeluaran rumah tangga suatu daerah di Indonesia. Keadaan ekonomi masyarakat Indonesia yang belum merata menyebabkan beragamnya kuantitas kebutuhan hidup masyarakat sehingga seringkali muncul pengeluaran rumah tangga yang terlampau besar (pencilan kanan). Model Karlberg mampu mengakomodasi keberadaan pencilan seperti ini yang kemudian menghasilkan penduga total populasi dengan nilai bias dan ragam terkecil. Tujuan Penelitian ini dilakukan dengan tujuan sebagai berikut :. Mengevaluasi karakteristik penduga total populasi dari model Karlberg dengan simulasi.. Melakukan pendugaan total populasi pada data riil pengeluaran rumah tangga Kota Bogor hasil Susenas 7. TINJAUAN PUSTAKA Pencilan Pencilan adalah amatan yang muncul dengan nilai yang tidak konsisten bila dibandingkan dengan data lain dalam gugus data yang ada (Barnett & Lewis, diacu dalam Karlberg ). Keberadaan amatan ini sangat kecil peluangnya. Chambers (986) menyatakan bahwa terdapat dua tipe dasar pencilan. Tipe yang pertama adalah pencilan yang representatif, yaitu sebuah elemen contoh yang memang bagian dari populasi. Tipe kedua adalah pencilan yang tidak representatif. Pencilan tipe ini merupakan pencilan yang terjadi akibat adanya kesalahan manusia, baik dalam proses pengukuran maupun dalam pengkodean. Pencilan yang dimaksud dalam penelitian ini adalah pencilan yang respresentatif. Total Populasi Bila y i merupakan nilai peubah acak individu ke-i dari suatu populasi, maka total populasi adalah (Karlberg ): T = N i y = i s y + i r y di mana gugus data s (berukuran n) merupakan gugus data contoh yang diambil dari populasi berukuran N, sedangkan gugus data r (berukuran N-n) merupakan gugus data komplemen dari gugus data contoh. Pendugaan terhadap total populasi dapat dilakukan melalui desain penarikan contoh seperti direct sampling, inverse sampling, dan quadrat sampling (Scheaffer et al. 99). Pendugaan dengan ketiga cara tersebut hanya membutuhkan data contoh dari peubah yang

10 ingin diduga total populasinya (Y). Pendugaan dengan cara seperti ini sering disebut sebagai metode pendugaan langsung (direct sampling). Bila peneliti memiliki data populasi dari suatu peubah lain (X) yang memiliki pengaruh linier terhadap Y, Y dapat diduga melalui model regresi linier antara X dan Y. Pendugaan dengan cara seperti ini sering disebut sebagai metode pendugaan tidak langsung (indirect sampling). Metode pendugaan total populasi melalui sebuah model sering digunakan dan terus berkembang. Pendugaan total populasi melalui sebuah model bagi data Y yang menyebar lognormal pertama kali diperkenalkan oleh Thorburn (99, diacu dalam Karberg ). Sebaran Lognormal Suatu peubah acak U dikatakan menyebar lognormal bila transformasi V = logu menyebar normal sehingga peubah acak V~N(, ) memiliki fungsi kepekatan peluang f(v): Melalui pemanfaatan persamaan E(U) suatu sebaran dapat ditentukan apakah menyebar lognormal atau tidak di mana nilai harapan dari peubah asal yang ditunjukkan dengan rataannya sama dengan bentuk dari ruas kanan persamaan E(U) sehingga diperoleh nilai sederhana indeks lognormal (LI): LI = dimana: U = rataan peubah asal μ = rataan peubah transformasi logaritmik dari V = logu = ragam peubah tranformasi logaritmik dari V = logu Semakin dekat indeks lognormal (LI) dengan menunjukkan bahwa data tersebut menyebar lognormal. f(v, ) = e() / ; - < v < dengan (nilai tengah) dan (ragam) adalah parameter dari peubah acak V. Dengan demikian fungsi kepekatan peluang untuk sebaran lognormal bagi peubah acak U~lognormal(, ) adalah: f(u, ) = e() / u > ; - < < ; > sedangkan fungsi peluang kumulatif bagi peubah acak U adalah: Pr[U u] = e() / dengan dan adalah parameter yang sama dengan yang dimiliki peubah acak V = logu. Bentuk sebaran dari peubah acak lognormal dapat dilihat pada Gambar. Gambar menunjukkan bentuk sebaran lognormal pada nilai yang sama ( = ) dan yang berbeda ( =.5,.5,.) di mana semakin besar nilai, semakin panjang ekor sebaran ke kanan (data semakin menjulur ke kanan). Nilai harapan dan ragam dari Ulognormal(, ) adalah: E(U) = e Var(U) = e e dt Gambar Bentuk sebaran lognormal Sebaran lognormal bersifat menjulur ke kanan dengan nilai rataan lebih besar dari median dan median lebih besar dari modus (Mitzenmacher 3). Penduga Kemungkinan Maksimum Bila suatu peubah acak X mempunyai fungsi kepekatan peluang f(x Ө) dan y,..., y n adalah contoh acak maka: f(y Ө) = n i f(y i Ө) ;Ө dengan Ө adalah konstanta yang nilainya tidak diketahui dan berada di dalam ruang parameter. Bila sejumlah contoh acak y,..., y n telah diambil, nilai f(y,..., y n Ө) akan bergantung pada Ө. Fungsi ini dinamakan fungsi

11 3 kemungkinan dari Ө, dituliskan sebagai berikut: L(Ө y,..., y n ) = f(y,..., y n Ө) Prinsip dari penduga kemungkinan maksimum adalah mencari nilai Ө yang memaksimumkan L(Ө y,..., y n ). Penduga Kemungkinan Maksimum pada Model Linier Normal Bila peubah respon y,..., y adalah observasi yang menyebar bebas, stokastik, identik, dan normal N(, ) dengan peubah penjelas X maka adalah fungsi dari X di mana: = h(x,) Model linier normal ditulis sebagai: y = X + dengan X adalah matriks berukuran (n x p), y adalah vektor berukuran (n x ), dan adalah vektor sisaan berukuran (n x ). Misalkan parameter Ө = (, ), maka fungsi kemungkinan maksimumnya adalah (Pawitan ): L(Ө)= n/ exp sehingga diperoleh: β = (X X) X y σ = n y i x i β i n i y i x i β adalah penduga kemungkinan maksimum bagi parameter model linier. Model Penduga Bila terdapat peubah respon hasil transformasi logaritmik Z = logy dengan peubah penjelas X i = ( X i... X ik ) maka dari gugus data contoh s akan diperoleh: Z s = ( Z I()... Z I(n) ) dan X () X () X s = X () X () X () X () di mana I(i) adalah indeks fungsi contoh untuk i n sehingga: I () <... < I (n) dan { I () <... < I (n)} = s Matriks X s X s adalah matriks definit positif sehingga untuk sepasang observasi dari gugus data r diperoleh: a ij = X i (X s X s ) X j dengan α ij yang akan bernilai bila n. Selanjutnya akan diperoleh penduga untuk Z i r : Z i = X i β dengan β adalah penduga tak bias yang diperoleh melalui metode kemungkinan maksimum dengan nilai harapan Z i dan ragam sebagai berikut: Z i E(Z) i = X i β= E(Z i ) Var(Z) i = Var (X i β) = X i VarβX i = a sehingga dari hasil transformasi balik diperoleh: Y i = exp(z i )exp ( a ii ) Dengan asumsi bahwa σ dan Z saling bebas (Casella & Berger 99) dapat dibuktikan bahwa Y i adalah pendekatan bagi penduga tak berbias Y i. Dengan begitu model penduga bagi total populasi adalah sebagai berikut (Karlberg ): T = i s y + i r y T = i s exp(z i ) + exp(z)exp i i r ( a ii ) Survei Sosial Ekonomi Nasional (Susenas) Susenas merupakan salah satu survei yang secara rutin dilaksanakan Badan Pusat Statistik (BPS) setiap tahunnya. Hasil survei dimanfaatkan oleh pemerintah pada khususnya untuk merumuskan masalah perencanaan, pemantauan atau evaluasi kekurangan serta keberhasilan pembangunan sebagai bahan penyusun kebijakan. Sistematika pengambilan contoh data Susenas adalah sebagai berikut:. Menentukan blok sensus.

12 4. Pemilihan blok sensus dan subblok sensus (untuk blok sensus dengan jumlah rumah tangga > 5 unit). 3. Pemilihan rumah tangga terpilih dalam blok sensus dan subblok sensus. METODOLOGI Data Data yang digunakan pada penelitian ini terdiri dari data simulasi dan data riil. Data Simulasi Karakteristik data simulasi yang dibangkitkan sama dengan karakteristik data contoh dari peubah pengeluaran rumah tangga (Y) Kota Bogor hasil Susenas 7 di mana Y~lognormal(4.3,.8). Data simulasi dibangkitkan dengan langkah-langkah sebagai berikut:. Bangkitkan satu gugus data yang terdiri dari: a. XN(3.5,.) sebanyak N =, X sebagai peubah penjelas. b. N(,.) sebanyak N =. c. Tentukan = 8 dan = kemudian hitung Z di mana Z = + X +. d. Hitung Y = e Z sehingga Y~lognormal(4.3,.8).. Gugus data pertama terdiri dari X (diperoleh dari langkah.a) dan Y (diperoleh dari langkah.d). 3. Ulangi langkah satu sebanyak r = kali sehingga diperoleh gugus data. 4. Hitung dan simpan T = Y dari setiap gugus data yang dibangkitkan. Data Riil Data riil yang digunakan yaitu data peubah pengeluaran rumah tangga (Y) dan luas kavling (X) dari hasil Susenas Kota Bogor tahun 7. Keduanya berfungsi sebagai sumber data sebagai contoh, Y i s dan X i s. Data tersebut dilengkapi oleh data pendekatan luas kavling (X i ) sebagai sumber data peubah penjelas untuk elemen yang tidak terambil sebagai contoh, X i r. Data pendekatan luas kavling (X i ) diperoleh dari: X i = x TLP dimana: X i = rata-rata luas kavling kelurahan ke-i LNP i = luas lahan non pertanian kelurahan ke-i* LNP = luas lahan non pertanian Kota Bogor* TLP = total luas lahan pemukiman Kota Bogor** *)Sumber: Kecamatan dalam Angka 8 **)Sumber: Bapedda Kota Bogor 7 Peubah X dipilih berdasarkan nilai korelasi pearson yang cukup besar, arah hubungan yang sesuai, dan kemudahan untuk memperoleh data. Rincian peubah-peubah yang digunakan dapat dilihat pada Tabel. Lampiran menunjukkan diagram pencar rata-rata luas kavling di tiap kelurahan (X) dengan X i. Pola linier pada diagram pencar menunjukkan bahwa X i cukup baik untuk menduga luas kavling pada rumah tangga yang tidak terambil sebagai contoh. Tabel Peubah Peubah-peubah pada data riil Keterangan X luas kavling (m ) Y rata-rata pengeluaran per kapita rumah tangga (rupiah) X i rata-rata luas kavling kelurahan ke-i (m ) Metode Pada penelitian ini dilakukan kajian simulasi melalui simulasi berbasiskan model (Model Based Simulation). Model Based Simulation merupakan salah satu teknik simulasi di mana peneliti menentukan terlebih dahulu desain parameter, respon, dan meta model (Stinstra 6). Pada penelitian ini digunakan parameter = 8 dan =, satu peubah respon, dan regresi linier sederhana sebagai meta model. Kajian pada penelitian ini ditutup dengan mengaplikasikan temuan dari simulasi pada data survei yaitu data Susenas Kota Bogor tahun 7. Simulasi Berbasiskan Model (Model Based Simulation) Langkah-langkah yang dilakukan dalam simulasi berbasiskan model adalah sebagai berikut:. Lakukan penarikan contoh acak tanpa pengembalian dengan 4 kombinasi jumlah contoh n (n = 5, 3, 5, ) pada tiap gugus data yang telah dibangkitkan.. Lakukan pendugaan total populasi T dengan tiga metode pendugaan: a. Penduga M: T = N i Y i = i s Y i + i r Y i

13 5 dengan: Y = μ = b. Penduga M: n i Y i i T = N i Y i = i s Y i + Y i r dengan: ) Y i = exp (μ + = E(log(Y i )) = μ σ = Var(log(Y i )) n i log(y ) c. Penduga M3 (Model Karlberg): i T = N i Y i = i s Y i + Y i r dengan: Y i = exp(z)exp i ( a ii ) Z i = μ = X i σ = KTG dari pendugaan model linier log(y ) = X i + 3. Evaluasi T terhadap T (berdasarkan 4 ukuran n dan 3 metode pendugaan) dengan ukuran ARB (Average of Relative Bias), RLMSE (Relative Mean Square Error), MSE (Mean Square Error) dan AARB (Average of Absolute Relative Bias). Keempat ukuran untuk mengevaluasi penduga parameter tersebut dihitung dari: ARB = () x % RLMSE = () x % MSE = (T T) AARB = x % 4. Bandingkan keempat ukuran evaluasi penduga parameter yang diperoleh dari langkah 3 pada penggunaan n dan metode pendugaan yang berbeda. Aplikasi pada Data Riil Susenas Kota Bogor 7 Langkah-langkah yang dilakukan pada aplikasi data riil Susenas 7 adalah sebagai berikut:. Eksplorasi data dan tentukan bentuk sebaran dari peubah Y (pengeluaran rumah tangga) dan logy. Lakukan pendugaan total populasi T pada tingkat kota, kecamatan dan kelurahan dengan tiga metode pendugaan: a. Penduga M: T = N i Y i = i s Y i + i r Y i dengan: Y = μ = b. Penduga M: n i Y i i T = N i Y i = i s Y i + Y i r dengan: ) n i Y i = μ = exp (μ + = E(log(Y i )) = μ σ = Var(log(Y i )) log(y ) c. Penduga M3 (Model Karlberg): i T = N i Y i = i s Y i + Y i r dengan: Y i = exp(z)exp i ( a ii ) Z i σ = KTG dari pendugaan model linier = μ = X i log(y )=X ij + di mana log(y ) menunjukkan log pengeluaran rumah tangga pada rumah tangga ke-j di kelurahan ke-i. 3. Lakukan evaluasi penduga dengan menghitung RMSE (Root Mean Square Error) sebagai akar dari: MSE M () = () + (N ) MSE M = e e e (N n) (e )e + MSE M3 = e Var e + (e e )e RR : = x % dengan: σ = = x % n i (y i y) ; untuk M σ = σ () ; untuk M σ = σ ( a ii ) ; untuk M3

14 6 HASIL DAN PEMBAHASAN Kajian Simulasi Informasi mengenai karakteristik data simulasi dapat dilihat pada Tabel, Gambar, Gambar 3, dan Gambar 4. Tabel Rata-rata parameter (,) dan indeks lognormal (LI) peubah logy σ LI Frequency Y Gambar 3 Contoh histogram peubah Y a b c Frequency Gambar Diagram kotak garis parameter (a)., (b)., dan (c). indeks lognormal (LI) pada peubah logy Tabel menunjukkan bahwa dari ulangan pada simulasi diperoleh gugus data populasi dengan rata-rata,, dan LI masing-masing sebesar.8, 4.3, dan.99. Ketiga nilai tersebut mendekati dugaan parameter bagi data aktual pengeluaran rumah tangga Kota Bogor (Tabel 5). Sementara itu Gambar menunjukkan rentang nilai untuk masing - masing parameter:.4.3, Tabel 3 Ukuran evaluasi Nilai ukuran evaluasi bagi hasil pendugaan melalui simulasi Metode pendugaan logy Gambar 4 Contoh histogram peubah logy 4.4.3, dan.99.. Contoh histogram bagi salah satu data populasi bangkitan yang diambil secara acak dapat dilihat pada Gambar 3 dan Gambar 4. Gambar 3 menunjukkan histogram bagi peubah Y yang belum ditransformasi, memberikan bentuk sebaran yang menjulur ke kanan. Gambar 4 merupakan histogram bagi peubah hasil transformasi, logy, memberikan bentuk histogram yang simetrik. Hasil simulasi pada Tabel 3 menunjukkan perolehan ARB di kisaran pada ketiga Jumlah contoh ARB (%) M M M RLMSE (%) M M M MSE M 7.4x x 6.5 x x 5 M 7.7 x x 6.5 x x 5 M x 6.76 x 6.6 x x 5 AARB (%) M M M

15 E+7 8.E+6 6.E+6 4.E+6.E+6.E+ (a) (b) (c) Keterangan: M (pendugaan melalui rataan contoh peubah asal) M (pendugaan melalui nilai harapan sebaran lognormal) M3 (pendugaan melalui model Karlberg) Gambar 5 Plot ukuran evaluasi penduga total populasi hasil simulasi vs jumlah contoh yang digunakan: (a) ARB (Average of Relative Bias), (b) RLMSE (Relative Mean Square Error), (c) MSE (Mean Square Error), (d) AARB (Average of Absolute Relative Bias) (d) penduga. Penduga M dan penduga M3 merupakan penduga dengan nilai ARB yang lebih dekat dengan nol bila dibandingkan dengan penduga M. Nilai ARB yang dihasilkan penduga M mendekati nol ketika ukuran contohnya besar (n = ). Berdasarkan nilai RLMSE, penduga M3 menjadi penduga terbaik di mana pada setiap ukuran contoh nilai RLMSE dari penduga M3 selalu lebih kecil dari dua penduga lainnya. Berbeda dengan ARB, RLMSE yang dihasilkan penduga M dan M cenderung sama pada setiap ukuran contoh. Hal yang sama juga terjadi pada nilai MSE di mana penduga M3 menjadi penduga terbaik dengan nilai MSE terkecil pada berbagai ukuran contoh, disusul oleh penduga M dan penduga M. Melalui nilai RLMSE dan MSE pada Gambar 5. (b) dan Gambar 5. (c) dapat kita lihat adanya pola penggunaan ukuran contoh terhadap ketiga metode pendugaan yang digunakan. Pada kedua ukuran evaluasi tersebut ketiga metode pendugaan mengalami penurunan nilai seiring dengan bertambahnya jumlah contoh yang digunakan, namun laju penurunan RLMSE dan MSE yang terjadi pada penduga M dan penduga M lebih besar dari penduga M3. Hal ini menunjukkan bahwa untuk penduga M dan M ukuran contoh menjadi penentu kecilnya ragam dari penduga total populasi yang dihasilkan. Hal tersebut tidak berlaku bagi penduga M3. Bertambahnya ukuran contoh memang menurunkan nilai RLMSE dan MSE yang dihasilkan, namun besarnya tidak signifikan. Hal tersebut menunjukkan bahwa penduga M3 mampu menghasilkan penduga total populasi dengan nilai ragam terkecil pada ukuran contoh yang kecil (n = 5). Besaran RLMSE dan MSE berdampak pada besaran ARB di mana keragaman dari

16 8 dugaan total populasi yang dihasilkan (yang ditunjukkan oleh RLMSE dan MSE) akan mempengaruhi lokasi ARB di sekitar. Semakin kecil nilai RLMSE dan MSE, semakin dekat rataan bias (ARB) dengan. Penduga M dan penduga M menjadi dua penduga terbaik pada berbagai ukuran evaluasi karena keduanya merupakan penduga tak bias bagi Y. Penduga M merupakan bentuk umum dari penduga M3 namun dengan besar ragam yang belum terkoreksi. Ketika informasi mengenai peubah penjelas dimiliki dengan kualitas peubah penjelas yang baik (ditunjukkan oleh korelasi yang kuat terhadap Y), metode pendugaan secara tidak langsung seperti pada penduga M3 misalnya, menghasilkan penduga total populasi yang lebih baik daripada pendugaan secara langsung (penduga M dan M misalnya). Salah satu kelemahan metode pendugaan langsung adalah nilai ragam yang besar bila diterapkan pada ukuran contoh yang kecil. Sedangkan pendugaan dengan pemanfaatan peubah penjelas secara statistik memiliki sifat meminjam kekuatan (borrowing strength) dari hubungan antara peubah respon dengan peubah penjelas (Kurnia 9). Penggunaan model sebagai penduga tidak langsung pada total populasi menyebabkan tingkat kesalahan pendugaan terdistribusi tidak hanya pada kesalahan pengacakan (random error), tetapi juga pada kesalahan model (model error). Pada data simulasi, tingkat kesalahan model (model error) kecil karena X memang didesain memiliki korelasi dengan logy. Hal tersebut menyebabkan penduga M3 menghasilkan penduga total populasi dengan nilai ARB, RLMSE, MSE, dan AARB yang paling kecil bila dibandingkan dengan dua metode pendugaan lain. Aplikasi Data Riil Susenas 7 Deskripsi data Susenas Kabupaten Bogor 7 dapat dilihat pada Tabel 4 dan Tabel 5. Sementara bentuk sebaran data peubah pengeluran rumah tangga Kota Bogor (Y) dan logy dapat dilihat pada Gambar 6 dan Gambar 7. Tabel 4 menunjukkan statistik bagi peubah pengeluaran rumah tangga Kota Bogor. Pengeluaran rumah tangga di Kota Bogor memiliki ragam Rp.,4 milyar dan rata-rata sebesar Rp.,93 juta. Statistik skewness sebesar.43 (skewness > ), menunjukkan bahwa peubah Y positive skew (menjulur ke kanan). Sementara itu nilai kurtosis sebesar.48 (kurtosis > 3), menunjukkan bahwa bagian atas dari kurva sebaran sangat runcing atau leptokurtic. Statistik skewness dan kurtosis menunjukkan bahwa peubah asal, Y, jauh dari karakteristik sebaran normal. Tabel 4 Penduga parameter ( dan ), skewness, dan kurtosis peubah Y (pengeluaran rumah tangga) μ Skewness Kurtosis σ.4x.93x Tabel 5 Penduga parameter ( dan ) dan indeks lognormal (LI) peubah logy σ μ LI Frequency Y Gambar 6 Histogram peubah Y Frequency logy Gambar 7 Histogram peubah logy Gambar 6 dan Gambar 7 menunjukkan bentuk sebaran dari peubah Y dan peubah logy. Bentuk histogram pada Gambar 6 menjulur ke kanan sedangkan bentuk histogram pada Gambar 7 simetrik. Hal ini menunjukkan bahwa tranformasi logaritmik pada data aktual pengeluaran rumah tangga Kota Bogor (Y) mampu memperbaiki kesimetrikan data. Kota Bogor terdiri dari 6 kecamatan dan 68 kelurahan. Seluruh kecamatan terambil sebagai contoh pada Susenas 7 dengan rincian sebanyak 3 kelurahan terpilih dan 6.

17 9 total 68 rumah tangga menjadi responden. Peubah penjelas yang dipilih pada aplikasi data riil adalah luas kavling (X). Korelasi pearson yang dihasilkan oleh peubah logy dan X sebesar,5 dan besarnya korelasi signifikan pada taraf nyata 5%. Pola hubungan antara peubah logy dan X dapat dilihat pada Gambar 8 sedangkan ringkasan model bagi penduga M3 dapat dilihat pada Tabel 6. logy X Gambar 8 Diagram pencar X terhadap logy Tabel 6 Ringkasan model bagi penduga M3 Penduga Nilai p-value β β 5 R-Sq 5.83% Secara umum penduga total pengeluaran rumah tangga di Kota Bogor yang dihasilkan oleh ketiga metode pendugaan tidak saling berjauhan. Penduga M menjadi penduga dengan nilai RMSE (Root Mean Square Error) terkecil, disusul oleh penduga M3 dan M. Nilai R-Sq pada model penduga M3 menjadi indikasi besarnya nilai RMSE yang dihasilkan. Hasil pendugaan total pengeluaran rumah tangga Kota Bogor dapat dilihat pada Tabel 7. Tabel 7 Hasil pendugaan total pengeluaran rumah tangga di Kota Bogor tahun 7 Metode T RMSE M x 9.884x 9 M x 6.43x 9 M x 4.56x 9 Pendugaan total pengeluaran rumah tangga pada tingkat kecamatan (Lampiran ) dan kelurahan (Lampiran 3) memberikan hasil yang tidak jauh berbeda dengan pendugaan total populasi pada tingkat kota. Penduga M dan penduga M3 menjadi dua penduga yang menghasilkan nilai RMSE terkecil. Pada pendugaan di tingkat kecamatan, penduga M3 memberikan hasil terbaik dengan RMSE terkecil di Kecamatan Bogor Timur, Kecamatan Bogor Utara, dan Kecamatan Bogor Tengah. Hubungan linier yang kuat antara peubah luas kavling dengan pengeluaran rumah tangga terjadi pada ketiga wilayah tersebut. Sementara itu, pendugaan di tingkat kelurahan menunjukkan hasil yang hampir sama. Pada kelurahan dengan nilai korelasi antara X dan logy yang cukup besar cenderung menghasilkan penduga M3 dengan nilai RMSE yang lebih kecil dari RMSE yang dihasilkan penduga M dan penduga M. Perbandingan antara penduga M3 dan M sebagai dua penduga terbaik dapat dilihat pada ukuran evaluasi RR :. Nilai RR : yang lebih besar dari menunjukkan bahwa penduga M3 menghasilkan penduga total populasi dengan presisi yang lebih baik dari penduga M. Pada aplikasi data riil Susenas 7 Kota Bogor, penduga M3 menghasilkan penduga total populasi dengan nilai RMSE terkecil bila nilai R-Sq yang dihasilkan model Karlberg cukup besar. Hal tersebut menunjukkan bahwa pemilihan peubah penjelas yang digunakan untuk membangun model Karlberg sangat mempengaruhi ragam dari penduga total populasi yang dihasilkan. Informasi mengenai sebaran sisaan dari model penduga pada pendugaan total pengeluaran rumah tangga di Kota Bogor dan kecamatan di dalam Kota Bogor dapat dilihat pada Lampiran 4 dan Lampiran 5. Melalui histogram secara sederhana dapat kita lihat bahwa sisaan baku yang dihasilkan penduga M3 memberikan bentuk sebaran yang cukup simetrik. Pencaran logy duga (prediksi) terhadap sisaan yang dihasilkan model dari penduga M3 juga bersifat acak dengan pita mendatar, menunjukkan ragam sisaan yang homogen. Kedua informasi tersebut menunjukkan bahwa transformasi logaritmik mampu memperbaiki pola sisaan yang dihasilkan pada pendugaan tidak langsung seperti pada penduga M3. KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan Pendugaan total populasi melalui model Karlberg (M3) pada data bangkitan dengan sebaran lognormal memberikan hasil yang lebih baik bila dibandingkan dengan metode

18 pendugaan langsung, yaitu dengan rataan contoh peubah asal (M) dan nilai harapan sebaran lognormal (M). Keunggulan utama dari model penduga adalah kemampuannya dalam memberikan penduga total populasi yang baik pada ukuran contoh yang kecil. Pada aplikasi data Susenas 7 di Kota Bogor dengan n = 68, M memiliki RMSE yang paling kecil dibandingkan dengan metode pendugaan lain. Hal tersebut terjadi karena sifat penduga M yang tidak bias dan didukung oleh ukuran contoh yang besar. Pada pendugaan total populasi di tingkat kelurahan dengan ukuran n yang kecil (n = 6 hingga n = 3), M3 tidak selalu menjadi penduga total populasi dengan RMSE terkecil. Namun begitu, model Karlberg pada penduga M3 mampu memperbaiki kekurangan pada penduga total populasi. Perbaikan terjadi pada besar ragam (RMSE) yang tidak sebesar penduga M dan penduga M. Namun begitu, peubah penjelas yang digunakan pada penduga M3 akan menentukan kualitas penduga total populasi yang dihasilkan. Secara umum, semakin besar korelasi yang antara X dan logy, semakin baik penduga total populasi yang dihasilkan. Saran Saran untuk penelitian selanjutnya adalah:. Melakukan simulasi pada berbagai nilai parameter (,) sebaran lognormal serta besaran korelasi () antara peubah X dan logy.. Melakukan koreksi lebih lanjut terhadap ragam dari model Karlberg. 3. Melakukan pendugaan dengan pendekatan sebaran lain yang juga mampu data. mengakomodasi kemenjuluran DAFTAR PUSTAKA Casella G & Berger R. 99. Statistical Inference. California: Duxbury Press. Chambers R. L Outliers Robust Finite Population Estimation. Journal of the American Statistical Association, Vol. 8, No. 396, pp Karlberg F.. Population Total Prediction Under a Lognormal Superpopulation Model. Biostatistics and data Management, R & D Sweden, Pharmacia Corp SE- 87: Kurnia A. 9. Prediksi Terbaik Empirik untuk Model Transformasi Logaritma di dalam Pendugaan Area Kecil dengan Penerapan pada Data Susenas [Disertasi]. Bogor: Sekolah Pascasarjana, Institut Pertanian Bogor. Mitzenmacher M. 3. A Brief History of Generative Models for Power Law and Lognormal Distributions. Division of Engineering and Applied Sciences Harvard University -4. Pawitan Y.. In All Likelihood: Statistical Modelling and Inference Using Likelihood. New York: Oxford University Press Inc. Scheaffer R. L., Mendenhall W, & Ott L. 99. Elementary Survey Sampling 4th ed. Boston: PWS-KENT Publishing Company. Stinstra E. D. 6. The Meta-Model Approach For Simulation-Based Design Optimization [Thesis]. Tilburg University, Geboren, Deutsch.

19 LAMPIRAN

20 Lampiran Diagram pencar rata-rata aktual luas kavling (X) vs pendekatan rata-rata luas kavling (X ) pada kelurahan di Kota Bogor tahun Xbar Xi

21 3 Lampiran Dugaan total pengeluaran rumah tangga sebulan pada kecamatan di Kota Bogor tahun 7 Metode pendugaan Kecamatan N n M M M3 M RMSE* M RMSE* M3 RMSE* ρ β β R-Sq Bogor Selatan x.59x x.77x 6.3x 3.34x %.776 Bogor Timur x 3.59x 9 4.3x 3.5x 3.45x.3x %.69 Bogor Utara x 3.84x 9 7.x 3.99x 7.9x 3.35x %.49 Bogor Tengah x 6.59x x 4.8x 4.9x 3.8x %.7 Bogor Barat x 3.45x 9 8.7x 4.9x.9x.6x %.5 Tanah Sareal x 3.73x x 4.3x 8.63x 4.7x %.896 *RMSE dengan highlight menunjukkan RMSE terkecil pada metode pendugaan yang bersesuaian. Keterangan: N : populasi rumah tangga n : jumlah rumah tangga yang terambil sebagai contoh M : pendugaan melalui rataan contoh peubah asal M : pendugaan melalui nilai harapan sebaran lognormal M3 : pendugaan melalui model Karlberg RMSE : Root Mean Square Error RR : : Relative RMSE penduga M terhadap M3 ρ : penduga korelasi X terhadap Z β : penduga β β : penduga β R-Sq : koefisien determinasi RR : 3

22 4 Lampiran 3 Dugaan total pengeluaran rumah tangga sebulan pada kelurahan di Kota Bogor tahun 7 Metode pendugaan Kec Kelurahan N n M M M3 M RMSE * M RMSE * M3 RMSE * ρ β β R-Sq Mulyaharja x x 8 4.8x 9.44x 9 6.6x 9.44x %.7 Genteng x 9.84x 8.9x 9 8.7x 8.3x 9.3x %.796 Kertamaya x 9 8.8x 7.37x x x x %.3 Bogor Harjasari x 9 3.3x 8 3.7x 9.33x 9 3.6x 9 3. x %.943 Selatan Pakuan 49 6.x 9.4x 8.4x 9.3x 9.9x x %.45 Batutulis x 9 4.8x x 9.79x 9 4.x x %.6 Empang x 9.34x 9 9.8x x x x %.585 Cikaret x 9.3x 9 6.9x 9 3.3x x x %.8 Bogor Timur Bogor Utara Bogor Tengah RR : Sindangsari x 9.76x 8.84x 9 8.x 8.93x 9.65x %.6 Katulampa x 9 7.7x 8 7.3x 9.77x x x %.83 Baranangsiang x 6.4x 8.37x.57x 9.44x.97x %. Bantarjati x 9 8.x 8 8.5x 9 4.3x 9 8.5x 9 6.x %.366 Tegal Gundil x.x 9.x 6.x 9.45x.89x %.4 Cimahpar x.4x 9.x 5.84x x 9.7x %.973 Cibuluh x 9.6x x x 9 8.9x x %.78 Kedunghalang x x 8 8.5x 9 3.8x 9.x.66x %.56 Ciparigi x 9 7.7x 8 8.8x 9 3.7x 9 8.3x x %.7 Gudang 9 6.6x 9.8x 8.5x x 8.x 9.33x %. Tegal Lega x x 8 6.9x 9 4.3x x 9 9.9x %.949 Babakan x 9.x x x 9 7.4x 9 6.9x %.759 Panaragan x 9.74x 8.65x 9.x 9.55x x %.796 Pasirmulya x 9.5x 8 3.x 9 9.6x 8 3.4x 9 3.8x %.77 Pasirjaya x 9 5.x 8 7.x 9.x 9 7.8x x %.9 Bogor Barat Gunungbatu x.x 9.x 4.9x 9.9x.4x %.77 *RMSE dengan highlight menunjukkan RMSE terkecil pada metode pendugaan yang bersesuaian. 4

23 5 Lampiran 3 (lanjutan) Metode pendugaan Kec Kelurahan N n M M M3 M RMSE * M RMSE * M3 RMSE * ρ β β R-Sq Menteng x x 8 6.4x x x 9.9x %.66 Cilendek Barat x 9 6.x x 9.83x x 9.64x %.366 Bogor Marga Jaya x 9.9x 8.54x 9.3x 9 3.x 9.98x %.98 Barat Situgede x 9.x 8.8x x 8.9x 9.38x %.46 Curugmekar x x 8 4.7x 9.8x 9 4.6x 9 5.6x %.839 Kedungwaringin x.7x 9.44x 4.56x 9.33x.6x %.85 Kebonpedes x x 8 9.6x 9 4.8x x x %.69 Tanah Kedungbadak x.8x 9.6x 3.95x 9.6x 9.66x %. Sareal Sukadamai x x x 9.84x 9 5.x 9 6.6x %.965 Kayumanis x x 8 4.7x 9.3x 9 4.7x 9 5.4x %.86 Mekarwangi x x 8 6.x 9.4x 9 6.4x x %. *RMSE dengan highlight menunjukkan RMSE terkecil pada metode pendugaan yang bersesuaian. Keterangan: N : populasi rumah tangga n : jumlah rumah tangga yang terambil sebagai contoh M : pendugaan melalui rataan contoh peubah asal M : pendugaan melalui nilai harapan sebaran lognormal M3 : pendugaan melalui model Karlberg RMSE : Root Mean Square Error RR : : Relative RMSE penduga M terhadap M3 ρ : penduga korelasi X terhadap Z β : penduga β β : penduga β R-Sq : koefisien determinasi RR : 5

24 6 Lampiran (a) Histogram sisaan baku dan (b) Diagram pencar prediksi vs sisaan baku dari penduga M3 pada pendugaan total pengeluaran rumah tangga di Kota Bogor tahun Frequency Prediksi (a) (b)

25 7 Lampiran 5 Histogram sisaan baku dan diagram pencar prediksi vs sisaan baku dari penduga M3 pada pendugaan total pengeluaran rumah tangga di: (a) Kecamatan Bogor Selatan, (b) Kecamatan Bogor Timur, (c) Kecamatan Bogor Utara, (d) Kecamatan Bogor Tengah, (e) Kecamatan Bogor Barat, dan (f) Kecamatan Tanah Sareal Frequency Prediksi (a) Frequency Prediksi (b) 5 3 Frequency Prediksi (c) 4 3 Frequency Prediksi (d)

26 8 Lampiran 5 (lanjutan) Frequency (e) Prediksi Frequency (f) Prediksi

27 9