viii METODE REGRESI LEAST TRIMMED SQUARES PADA DATA YANG MENGANDUNG PENCILAN ANNI FITHRIYATUL MAS UDAH

Transkripsi

1 viii METODE REGRESI LEAST TRIMMED SQUARES PADA DATA YANG MENGANDUNG PENCILAN ANNI FITHRIYATUL MAS UDAH DEPARTEMEN STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 22

2 ix RINGKASAN ANNI FITHRIYATUL MAS UDAH. Metode Regresi Least Trimmed Squares pada Data yang Mengandung Pencilan. Dibimbing oleh ANANG KURNIA dan DIAN KUSUMANINGRUM. Regresi merupakan metode statistika yang digunakan untuk menduga pola hubungan antara dua atau lebih peubah. Metode pendugaan parameter yang umum digunakan dalam analisis regresi linier adalah metode kuadrat terkecil atau Ordinary Least Squares (OLS), namun metode ini tidak baik digunakan apabila data pada peubah respon mengandung pencilan. Adanya pencilan akan mengakibatkan pendugaan parameter yang dihasilkan bersifat bias dan interpretasi kesimpulan tidak valid. Pada kasus terdapatnya pencilan, alternatif metode yang dapat digunakan adalah regresi kekar. Pada penelitian ini metode yang digunakan adalah Least Trimmed Squares (LTS) dengan dua kriteria pemangkasan yang berbeda (LTS dan LTS ). LTS melalukan pemangkasan berdasarkan teori Rousseeuw dan Van Driessen, sedangkan LTS merupakan aplikasi pemangkasan yang dilakukan pada mutlak sisaan baku lebih dari dua. Untuk mengetahui tingkat kekekaran metode LTS dan LTS dibandingkan dengan OLS dilakukan kajian simulasi dan penerapan data riil. Simulasi dilakukan untuk ukuran contoh yang berbeda (5, 3,, dan 2) dan tingkat yang berbeda (%, 5%, %, 5%, dan 2) dengan ulangan sebanyak kali pada masing-masing kombinasi ukuran contoh dan, sedangkan data riil memiliki ukuran contoh 35 dan pencilan delapan persen. Hasil yang didapatkan dari simulasi dan data riil metode LTS lebih baik dibandingkan metode OLS dan LTS dalam menduga parameter regresi. LTS memiliki nilai bias relatif, bias relatif mutlak, KTG relatif, dan KTG yang relatif konstan dan kekar untuk berbagai kondisi pencilan dan ukuran contoh. Kata kunci : Regresi, pencilan, metode kekar.

3 x METODE REGRESI LEAST TRIMMED SQUARES PADA DATA YANG MENGANDUNG PENCILAN ANNI FITHRIYATUL MAS UDAH Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Statistika pada Departemen Statistika DEPARTEMEN STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 22

4 xi Judul Skripsi Nama NIM : Metode Regresi Least Trimmed Squares pada Data yang Mengandung Pencilan : Anni Fithriyatul Mas udah : G4844 Menyetujui, Pembimbing I Pembimbing II Dr. Anang Kurnia NIP Dian Kusumaningrum, M.Si Mengetahui, Ketua Departemen Statistika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor Dr. Ir. Hari Wijayanto M.Si. NIP Tanggal Lulus :

5 xii PRAKATA Puji syukur kehadirat Allah SWT atas berkat, rahmat dan hidayah-nya serta sholawat serta salam semoga tetap terlimpahkan pada Rosululloh SAW, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan judul METODE REGRESI LEAST TRIMMED SQUARES PADA DATA YANG MENGANDUNG PENCILAN. Penulis telah dibantu oleh banyak pihak dalam penyusunan skripsi ini, oleh karena itu penulis ingin menyampaikan terimakasih kepada :. Bapak Dr. Anang Kurnia dan Ibu Dian Kusumaningrum, M.Si selaku dosen pembimbing atas bimbingan dan arahan selama penyusunan karya ilmiah. 2. Ibu Dr. Ir. Indahwati, M.Si selaku dosen penguji luar yang telah memberikan masukan dan arahan kepada penulis. 3. Seluruh Dosen Departemen Statistika yang telah memberikan ilmu dan wawasan selama penulis menuntut ilmu di Departemen Statistika serta seluruh staf Departemen Statistika yang telah banyak membantu penulis. 4. Kedua orang tuaku Bapak Drs. H. Moch Djahid, M.A, Ibu Hj.Siti Munawaroh, S.PdI serta mas Noor Faiz Hidayatulloh dan mbak Riza Hanif Farida yang telah memberikan do a, kasih sayang, semangat dan dukungan you are my life and my inspiration. 5. Muhtadin Amri thanks for support and everything, always wish all the best for us. 6. Sartika Lestari, Rizki Fadhilah, dan Mia Amelia yang telah memberikan dukungan selama penulis menyelesaikan karya ilmiah ini. 7. Anita Pratiwi dan Nuril Anwar selaku teman satu bimbingan yang telah berjuang bersama dalam menyelesaikan karya ilmiah ini. 8. Teman-teman statistika 45 atas bantuan, dukungan dan kebersamaan yang diberikan. 9. Teman-teman kost SQ (Fitra, Orin, Ia, Nia, Hana, Lina, Fida, Upe, K Dayu, K Septi, Hana dongse, Mita dan Nurul) terimakasih atas semangat dan dukungannya.. Teman-teman omda Manggolo Putro atas kebersamaan dan semangat yang diberikan.. Seluruh pihak yang telah membantu dalam penulisan skripsi. Akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini dapat memberikan kotribusi yang nyata bagi para pembaca dan ilmu pengetahuan. Bogor, September 22 Anni Fithriyatul Mas udah

6 xiii RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Ponorogo pada tanggal 5 April 99 sebagai anak bungsu dari pasangan Drs. H. Moch Djahid, M.A. dan Hj. St. Munawaroh, S.PdI. Jenjang perguruan tinggi penulis dimulai pada tahun 28 dengan diterimanya penulis di Institut Pertanian Bogor melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI) dan memilih Mayor Statistika di Departemen Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam pada tahun 29. Sebelum masuk perguruan tinggi, penulis telah berhasil menyelesaikan pendidikan di SMAN Ponorogo, SMPN Jetis, dan SDN Wonoketro. Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif dalam Himpunan Keprofesian Gamma Sigma Beta sebagai staf Beta Club 29, staf Department of Human Resource and Development pada periode 2. Penulis juga pernah menjadi asisten praktikum Metode Statistika 2. Pada tahun 22 penulis mengikuti kegiatan praktik lapang di Badan Karantina Ikan Pengendalian Mutu dan Keamanan Hasil Perikanan, Kementrian Kelautan dan Perikanan Republik Indonesia.

7 xiv DAFTAR ISI Halaman DAFTAR TABEL... viii DAFTAR GAMBAR... DAFTAR LAMPIRAN... PENDAHULUAN... Latar Belakang... Tujuan... TINJAUAN PUSTAKA... Regresi Linier Sederhana... Pencilan... Regresi Kekar... Least Trimmed Square Model Based Simulation... BAHAN DAN METODE... Bahan... Metode... HASIL DAN PEMBAHASAN... Kajian Simulasi... Penerapan Pada Data Riil KESIMPULAN... DAFTAR PUSTAKA... LAMPIRAN... viii viii

8 xv viii DAFTAR TABEL Halaman. Tabel data evaluasi pendugaan dan DAFTAR GAMBAR Halaman Karakteristik pendugaan nilai pada berbagai proporsi pencilan untuk n=... 4 Karakteristik pendugaan nilai pada berbagai proporsi pencilan untuk n=... 5 Diagram pencar antara ketinggian bukit dengan waktu yang diperlukan untuk pendakian DAFTAR LAMPIRAN Halaman Bagan prosedur simulasi... 8 Tabel evaluasi pendugaan nilai pada berbagai proporsi pencilan... 9 Tabel evaluasi pendugaan nilai pada berbagai proporsi pencilan... Grafik evaluasi pendugaan nilai pada berbagai proporsi pencilan... Grafik evaluasi pendugaan nilai pada berbagai proporsi pencilan... 3 Output pada penerapan data riil... 5 Data kriteria pendugaan dan untuk keseluruhan data... 7

9 PENDAHULUAN Latar Belakang Regresi merupakan suatu metode statistika yang digunakan untuk menduga pola hubungan antara dua peubah atau lebih. Pada keadaan riil tidak menutup kemungkinan bahwa peubah yang digunakan memiliki nilai dengan pola yang berbeda dibandingkan dengan pola umum lainnya. Keadaan tersebut didefinisikan sebagai pencilan (Aunuddin 989). Menurut Ryan (997) pencilan merupakan salah satu penyebab tidak terpenuhinya salah satu asumsi regresi linier dengan metode Ordinary Least Square (OLS) yaitu homoskedastisitas. Pada OLS semua data akan mendapatkan bobot yang sama. Namun keberadaan pencilan akan mengakibatkan pengamatan mengandung informasi yang lebih dibandingkan yang lain, sehingga pengamatan tersebut seharusnya mendapatkan bobot yang lebih kecil dibandingkan pengamatan yang lain. Pencilan dapat teridentifikasi dengan melihat besarnya sisaan yang dibakukan antara peubah tak bebas dengan dugaannya. Apabila nilai mutlak sisaan tersebut lebih dari dua maka disebut pencilan. Keberadaan pencilan mengakibatkan parameter yang dihasilkan bersifat bias dan interpretasi kesimpulan tidak valid sehingga dapat menimbulkan kesalahan dalam pengambilan keputusan dan kesimpulan. Masalah tersebut dapat diatasi dengan menggunakan alternatif pendugaan yang bersifat kekar. Salah satu metodenya adalah Least Trimmed Square (LTS) (Drapper & Smith 992). LTS dan LTS merupakan suatu penduga untuk menghasilkan dugaan yang kekar terhadap pencilan dengan karakteristik pemangkasan yang berbeda, sehingga relatif tidak terpengaruh oleh perubahan karena adanya pencilan yang terjadi. Untuk mengetahui kekekaran metode LTS, LTS, dan OLS tersebut maka perlu dilakukan simulasi terhadap data yang mengandung pencilan. Selain menggunakan simulasi penelitian ini juga menggunakan analisis terhadap data riil. Tujuan Tujuan penelitian ini adalah untuk mengevaluasi kekekaran metode Least Trimmed Squares dalam menduga parameter regresi pada berbagai proporsi pencilan dan berbagai ukuran contoh. TINJAUAN PUSTAKA Regresi Linier Sederhana Menurut Ryan (997) regresi linier sederhana adalah regresi yang memiliki satu peubah bebas dan memiliki parameter model yang linier. Model regresinya adalah : atau dengan : dan : parameter regresi : sisaan : peubah respon : peubah bebas. Pada dasarnya rancangan ini menggunakan metode OLS yang digunakan untuk menduga dan dengan cara meminimumkan jumlah kuadrat sisaan ( ):. Pada analisis regresi linier sederhana untuk mendapatkan penduga parameter yang baik maka sisaan harus memenuhi asumsi Gauss- Markov, yaitu :. (nilai harapan/rataan sisaan sama dengan nol) 2. (ragam sisaan homogen untuk setiap nilai x) 3. ( dan saling bebas). Selain itu sisaan juga merupakan peubah acak yang menyebar normal dengan rataan nol dan ragam. Pencilan Pencilan merupakan nilai ekstrim dari suatu pengamatan. Salah satu cara yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi pencilan adalah dengan melihat sisaan yang dibakukan yaitu : dengan : i : pengamatan ke-i : sisaan yang dibakukan ke-i : sisaan ke-i KTG : ragam sisaan. Suatu amatan dikatakan pencilan apabila nilai mutlak sisaan yang telah dibakukan lebih dari dua (Draper & Smith 992). Keberadaan data pencilan akan mengganggu dalam proses analisis data sehingga perlu dilakukan penanganan. Salah satu cara yang digunakan untuk menangani pencilan adalah dengan metode LTS.

10 2 Regresi Kekar Least Trimmed Squares Regresi kekar diperkenalkan oleh Andrews pada tahun 972. Regresi kekar merupakan metode regresi yang digunakan ketika distribusi dari sisaan tidak normal dan atau adanya beberapa pencilan yang berpengaruh pada model (Ryan 997). Metode kekar merupakan metode yang dapat menghasilkan model yang relatif tidak terpengaruh oleh adanya pencilan. Menurut Rousseeuw dan Leroy (987) dengan menggunakan pendekatan regresi kekar maka adanya pencilan tidak akan mempengaruhi pendugaan parameter. Metode LTS merupakan salah satu model regresi kekar dengan adanya pencilan. Metode ini akan memangkas (memberi bobot nol) pada sisaan yang terbesar pada saat meminimumkan jumlah kuadrat sisaan. Metode ini menduga koefisien regresi dengan meminimumkan jumlah h kuadrat sisaan (fungsi objektif) : dengan dimana : : Kuadrat sisaan yang diurutkan dari kecil ke terbesar n : banyaknya pengamatan p h : banyaknya parameter regresi : subset data dengan yang diambil. Penentuan subhimpunan h terbaik dilakukan dengan menggunakan algoritma FAST-Minimum Covariance Determinant (MCD) (Rousseeuw & Van Driessen 999). Adapun algoritma tersebut sebagai berikut : a. Ambil sejumlah h pengamatan dari subset data yang berbeda. Dari n pengamatan akan dihasilkan himpunan baru. Nilai h yang optimal memenuhi (n + p + )/2. b. Definisikan himpunan pertama sebagai H. Berdasarkan himpunan H hitung vektor rata-rata dan matrik ragam peragam. Selanjutnya hitung det(s ). c. Definisikan himpunan kedua H 2. Berdasarkan himpunan H 2 hitung vektor rata-rata dan matrik ragam peragam. Selanjutnya hitung det(s 2 ). d. Bandingkan det(s 2 ) dengan det(s ). Bila det(s 2 ) det(s ) simpan yang mempunyai nilai terkecil, ulangi langkah untuk himpunan H new. Berdasarkan himpunan H new hitung vektor rata-rata dan matrik ragam peragam, selanjutnya hitung det(s new ) berikutnya sampai dipenuhi kondisi det(s m+ ) = det(s m ). e. Tetapkan anggota himpunan H m sebagai himpunan dengan determinan matrik ragam peragam terkecil. f. Berdasarkan H m data selanjutnya diberi bobot. g. Meregresikan H m pengamatan yang mendapatkan bobot satu. Selain LTS yang dikembangkan oleh Rousseeuw dan Van Drisen dengan pemangkasan pada h akan dilakukan pendugaan parameter LTS. Pemangkasan LTS dilakukan pada nilai mutlak r i (sisaan yang dibakukan) lebih dari dua. Model Based Simulation Model Based Simulation merupakan suatu metode simulasi yang dilakukan dengan menentukan model terlebih dahulu. Model ditetapkan dengan parameter tetap pada setiap ulangan. Pada setiap ulangan akan menghasilkan populasi yang berbeda dengan parameter yang tetap (Stinstra 26). BAHAN DAN METODE Bahan Data yang digunakan adalah data hasil simulasi dengan parameter regresi ( dan ) yang telah ditentukan. Data simulasi yang dibangkitkan terdiri dari satu peubah bebas dan sisaan yang kemudian digunakan untuk mencari peubah responnya. Peubah bebas dibangkitkan dari sebaran normal dengan nilai harapan dan ragam sebanyak. Sisaan yang dibangkitkan terdiri dari dua bagian yaitu sisaan untuk pencilan dan bukan pencilan. Kedua sisaan dibangkitkan dari sebaran normal dengan proporsi 2 untuk data pencilan dan 8 untuk data bukan pencilan. Simulasi dilakukan menggunakan software R dengan paket robustbase. Selain simulasi dilakukan evaluasi pendugaan parameter regresi pada data riil yang diperoleh dari Chatterjee & Hadi (26) halaman 2 tentang data hubungan jarak ketinggian bukit dengan waktu yang diperlukan untuk pendakian.

11 3 Metode Simulasi Prosedur simulasi yang dilakukan adalah menggunakan Model Based Simulation dengan algoritma sebagai berikut (bagan dapat dilihat di Lampiran ):. Tetapkan dan ( = dan =2). 2. Bangkitkan sebanyak dengan =5 dan =. 3. Bangkitkan yang bersesuaian dengan untuk : 4. Tentukan nilai. 5. Dari data bangkitan yang diperoleh, diambil contoh acak berukuran n=5, 3,, dan 2 dengan masing-masing proporsi pencilan %, 5%, %, 5%, dan 2%. 6. Eksplorasi data untuk melihat banyaknya pencilan dengan diagram pencar. 7. Meregresikan semua gugus data dengan menggunakan OLS, LTS, dan LTS Adapun langkah LTS seperti pada Tinjauan Pustaka, sedangkan LTS dapat diperoleh dari algoritma dibawah ini : a. Mengitung penduga parameter b awal dengan OLS. b. Menghitung n residual ( yang bersesuaian dengan b awal. c. Menentukan t residual ( * untuk d. Hitung. e. Menghitung pendugaan b new dari pengamatan yang bersesuaian dengan. f. Menghitung t residual yang bersesuaian dengan b new. g. Hitung. 8. Simpan nilai b o, b, R 2, JKG dan KTG dari tiap gugus data. 9. Ulangi langkah -8 sebanyak kali.. Menentukan bias relatif, bias relatif mutlak, KTG relatif, dan KTG dari kombinasi n dan proporsi pencilan yang berbeda.. Menentukan metode yang menghasilkan dugaan paling baik berdasarkan nilai bias relatif, bias relatif mutlak, KTG relatif, dan KTG terkecil, dengan rumus sebagai berikut : Bias relatif = x % Bias relatif mutlak = x % KTG relatif = x % KTG = Keterangan : : dugaan parameter : Parameter : banyaknya ulangan. Penerapan Pada Data Riil Tahapan yang dilakukan dalam penelitian untuk contoh aplikasi adalah :. Eksplorasi data. 2. Menduga parameter menggunakan OLS. 3. Menduga parameter dengan menggunakan LTS dan LTS. HASIL DAN PEMBAHASAN Kajian Simulasi Pencilan yang digunakan dalam simulasi ini ditentukan sebesar %, 5%, %, 5%, dan 2%. Metode pendugaan parameter regresi yang digunakan adalah OLS, LTS, dan LTS yang masing-masing mempunyai kriteria tersendiri untuk menghasilkan pendugaan yang kekar terhadap pencilan. Evaluasi penentuan metode yang terbaik adalah menggunakan bias relatif, bias relatif mutlak, KTG relatif, dan KTG. Pendugaan Parameter Berdasarkan nilai bias relatif, bias relatif mutlak, KTG relatif, dan KTG pada ukuran contoh 5 dan proporsi pencilan % OLS merupakan penduga yang terbaik karena memiliki nilai paling rendah dibandingkan penduga lainnya. Ketika lebih dari % sampai 5% terlihat bahwa pendugaan parameter dengan menggunakan metode LTS memiliki nilai yang paling mendekati nol, artinya pada ukuran contoh dan tersebut metode LTS merupakan penduga terbaik karena nilai dugaannya hampir sama dengan nilai parameternya. Hal ini dapat dilihat pada Lampiran 4.

12 4 bias relatif b KTG relatif b % 5% % 5% 2% (i) % 5% % 5% 2% (iii) abs bias relatif b KTG b 5 5 % 5% % 5% 2% (ii) % 5% % 5% 2% Gambar Karakteristik pendugaan nilai pada berbagai proporsi pencilan untuk n= (iv) Apabila lebih besar dari 5% metode LTS memiliki nilai bias relatif, bias relatif mutlak, KTG relatif, dan KTG yang stabil yaitu selalu mendekati nilai nol atau konsisten pada nilai nol, artinya nilai biasnya kecil atau nilai dugaannya mendekati nilai parameternya. Pada ukuran data 3, jika dilihat dari nilai bias relatif, bias relatif mutlak, KTG relatif, dan KTG, LTS dan LTS memiliki nilai yang hampir sama pada % sampai 5%. Sedangkan untuk lebih dari 5% grafik LTS cenderung naik. Namun untuk metode LTS lebih konstan pada nilai mendekati nol (Lampiran 4). Berdasarkan nilai bias relatif, bias relatif mutlak, KTG relatif, dan KTG pada ukuran data dengan banyaknya pencilan %, sampai 5% nilainya hampir sama dengan ukuran contoh 3 yaitu metode LTS dan LTS memiliki nilai hampir sama, hal ini dapat dilihat pada garisnya yang saling berhimpit (Lampiran 4). Pada ukuran data ini metode LTS tetap menunjukkan kestabilannya dengan garis yang lurus pada daerah yang mendekati nol. Tidak jauh berbeda dengan ukuran contoh, pada ukuran contoh 2 dengan %, 5%, %, dan 5% metode LTS memiliki nilai bias relatif, bias relatif mutlak, KTG relatif, dan KTG terkecil yaitu hampir sama dengan metode LTS. Sedangkan pada lebih dari 5% metode LTS lebih baik dibandingkan OLS dan LTS. Hal tersebut ditunjukkan oleh garis merah yang selalu berada pada selalu konstan pada nilai nol (Lampiran 4). Apabila dilihat secara keseluruhan untuk penduga parameter, LTS memiliki nilai bias yang relatif stabil dibandingkan dengan LTS, sehingga metode LTS lebih kekar terhadap pencilan. Hal tersebut tidak terjadi pada ukuran data yang relatif rendah (5) cenderung memiliki pola yang berbeda dibandingkan ukuran contoh yang lainnya yaitu cenderung lebih tidak stabil. Penduga Parameter Pada pendugaan parameter dengan ukuran contoh 5 dan % sampai 5% dihasilkan nilai bias relatif, bias relatif mutlak, KTG relatif, dan KTG dari masing-masing relatif sama untuk LTS dan LTS. Namun, jika lebih dari 5% maka nilai evaluasi tersebut menunjukkan perbedaan, yaitu angka terendah dihasilkan oleh metode LTS. Berbeda dengan jumlah pengamatan 5, pada ukuran contoh 3 nilai bias relatif dan bias relatif mutlak untuk % sampai % LTS memiliki nilai yang lebih rendah dibandingkan LTS dan OLS. Hal ini menunjukkan bahwa pada kombinasi ukuran contoh dan tersebut metode LTS merupakan metode terbaik. Hal tersebut terlihat pada

13 5 bias relatif b KTG relatif b % 5% % 5% 2% (i) % 5% % 5% 2% (iii) abs bias relatif b KTG b % 5% % 5% 2% (ii) % 5% % 5% 2% Gambar 2 Karakteristik pendugaan nilai pada berbagai proporsi pencilan untuk n= (iv) grafik Lampiran 5, namun pada persentase pencilan lebih besar dari 5% nilai bias LTS naik di atas nilai LTS sehingga LTS merupakan metode yang terbaik. Pada grafik ukuran contoh pada Lampiran 5 nilai bias relatif mutlak, KTG relatif, dan KTG metode LTS cenderung berada dibawah LTS pada % sampai %. Namun, pada persentase pencilan lebih dari % metode LTS cenderung naik dan berada di atas LTS. Sedangkan metode LTS lebih konsisten pada nilai yang mendekati nol, artinya nilai biasnya kecil atau nilai dugaannya mendekati nilai parameternya, sehingga pada kombinasi ukuran contoh dan pencilan tersebut metode LTS merupakan metode yang terbaik. Pada Lampiran 5 menunjukkan bahwa nilai bias relatif LTS cenderung memiliki nilai lebih besar dari LTS untuk ukuran data 2. Namun, untuk bias relatif mutlak, KTG relatif, dan KTG konstan hampir sama dengan LTS. Apabila dilihat secara keseluruhan untuk penduga parameter, LTS memiliki nilai bias yang relatif stabil dibandingkan dengan LTS, sehingga metode LTS lebih kekar terhadap pencilan. Pada pendugaan parameter untuk ukuran contoh yang relatif rendah (5) cenderung memiliki pola yang tidak stabil, artinya LTS merupakan pendugaan parameter regresi yang baik pada ukuran data yang relatif besar. Sesuai dengan teori LTS, pada pendugaan parameter dan untuk perubahan terutama pada ukuran contoh lebih besar dari 3 bias akan menghasilkan pola yang relatif sama. Semakin besar, apabila menggunakan metode OLS maka bias yang dihasilkan akan semakin besar. Pada ukuran contoh 2 dan lebih besar dari 5% maka bias relatif mutlak dari dan yang dihasilkan masing-masing lebih besar dari %. Apabila ukuran contoh kurang dari 2 maka nilai bias relatif mutlak akan semakin besar. Hal tersebut dapat dilihat pada Lampiran 2 dan Lampiran 3. Dengan demikian metode OLS tidak efektif untuk menduga parameter dengan data yang mengandung pencilan. Penerapan Pada Data Riil Data yang digunakan dalam contoh penerapan data riil ini adalah waktu yang dibutuhkan dalam pendakian (y) dengan ketinggian dari suatu bukit (x) pada 35 bukit dan pencilan sebesar delapan persen. Peubah pendukung yang digunakan ini diasumsikan mempunyai hubungan. Tahap pertama yang dilakukan adalah melakukan eksplorasi antara peubah bebas dan peubah responnya. Pada eksplorasi data menggunakan diagram pencar dapat dilihat bahwa garis OLS dan LTS berada di sebelah kiri LTS. Hal ini dikarenakan keberadaan pencilan pada OLS dan LTS yang berada di sebelah kiri menarik garis OLS dan LTS tersebut ke kiri. LTS berbeda dengan OLS dan LTS, garisnya cenderung berada di sebelah kanan karena tidak terpengaruh adanya pencilan-pencilan yang ada di sebelah kiri. Eksplorasi tersebut dapat menggambarkan kekekaran metode LTS dibandingkan OLS dan LTS.

14 Y-Data X-Data Gambar 3 Diagram pencar antara ketinggian bukit dengan waktu yang diperlukan untuk pendakian. Pada Tabel dapat dilihat bahwa nilai koefisien regresi yang didapatkan dari 3 metode (OLS, LTS, dan LTS ) nilainya menunjukkan perbedaan yang tidak terlalu besar. Apabila dilihat dari nilai simpangan baku untuk penduga,, JKG, KTG, dan nilai R 2 (adj) menunjukkan perbedaan yang besar. LTS memiliki nilai simpangan baku untuk penduga,, JKG, dan KTG yang lebih kecil dibandingkan dengan OLS dan LTS. Disisi lain LTS juga memiliki nilai R 2 (adj) yang paling mendekati satu, hal ini menunjukkan bahwa dengan menggunakan model dengan metode LTS akan dapat menerangkan keragaman data sebesar 99.4%. Berdasarkan kelima kriteria nilai tersebut metode LTS merupakan metode yang baik digunakan jika data tersebut mengandung pencilan. Tabel Data Evaluasi Pendugaan dan. kriteria OLS LTS* LTS* b b Sb Sb JKG 4.7x 7 5.7x 5.x 7 KTG.4x 6 3.4x 4 3.7x 4 R 2 (adj) 84.% 99.4% 94.8% *Dihitung berdasarkan pada data yang digunakan untuk penentuan dan KESIMPULAN Metode LTS lebih baik dibandingkan metode OLS dan LTS dalam menduga parameter regresi pada data yang mengandung pencilan. Kajian simulasi menunjukkan bahwa nilai bias relatif, bias relatif mutlak, KTG relatif, dan KTG metode LTS menghasilkan nilai yang lebih konstan untuk kombinasi pencilan dan ukuran contoh yang besar. Pada aplikasi data yang digunakan juga menunjukkan hasil yang sama dengan simulasi. Namun, metode ini masih memiliki kelemahan jika digunakan untuk ukuran data yang kecil. DAFTAR PUSTAKA Aunuddin Statistika: Rancangan dan Analisis Data. Bogor: IPB Press. Chatterjee S & Hadi AS. 26. Analysis Regression by Example Four Edition. Canada : A Wiley-Interscience Publication. Draper, NR. & Smith.H Analisis Regresi Terapan Edisi ke 2. Sumantri B, penerjemah. Jakarta: Gramedia Pustaka Utama: Terjemahan dari : Applied Regression Analysis. Hines & Montgomery Introduction to Linear Regression Analysis. New York : Willey. Ryan T Modern Regression Methods. New York : A Wiley-Interscience Publication. Rousseeuw,PJ & Leroy. AM Robust Regression and Outlier Detection. Belgium : John Wiley &Sons. Rousseeuw,PJ & Van Driessen.999. A fast algorithm for the minimum covariance determinant estimator. Technometrics 999; 4: Stinstra E. 26. The Model Meta-Model Approach for Simulation-Based Design Optimization. [Desertasi]. Nederlands, Tilburg University. Berdasarkan data kriteria pendugaan dan aplikasi yang didapatkan sejalan dengan hasil simulasi yang telah dilakukan. LTS merupakan metode yang lebih kekar dalam menduga kasus regresi untuk data yang mengandung pencilan.

15 LAMPIRAN 6

16 8 Lampran Bagan prosedur simulasi Tetapkan dan Data Populasi Dibangkitkan dari sebanyak dan yang bersesuaian dengan dengan Tentukan nilai Yi Ukuran contoh acak n=5 Ukuran contoh acak n=3 Ukuran contoh acak n= Ukuran contoh acak n=2 % % % % 5% 5% 5% 5% % % % % 5% 5% 5% 5% 2% 2% 2% 2% Meregresikan semua gugus data dengan menggunakan OLS,LTS, dan LTS Ulangi langkah-langkah di atas untuk setiap ukururan contoh n dan masing-masing proporsi pencilan dan Simpan nilai b o, b, R 2, JKG, dan KTG dari tiap gugus data Menentukan bias relatif, bias relatif mutlak, KTG relatif dan KTG dari tiap kombinasi ukuran data dan pencilan Menentukan metode yang menghasilkan dugaan paling baik

17 9 Lampiran 2 Tabel evaluasi pendugaan nilai pada berbagai proporsi pencilan n p BIAS RELATIF (%) BIAS RELATIF MUTLAK (%) KTG RELATIF KTG Keterangan : n = banyaknya data contoh p = 9

18 Lampiran 3 Tabel evaluasi pendugaan nilai pada berbagai proporsi pencilan n p BIAS RELATIF (%) BIAS RELATIF MUTLAK (%) KTG RELATIF KTG Keterangan : n = banyaknya data contoh p = 9

19 Lampiran 4 Grafik evaluasi pendugaan nilai a. n=5 pada berbagai proporsi pencilan bias relatif b % 5% % 5% 2% (i) abs bias relatif b 5 5 % 5% % 5% 2% (ii) 2. 2 KTG relatif b % 5% % 5% 2% KTG b 5 5 % 5% % 5% 2% (iii) (iv) b. n=3 bias relatif b % 5% % 5% 2% abs bias relatif b 5 % 5% % 5% 2% (i) (ii).5 5 KTG relatif b..5. % 5% % 5% 2% (iii) KTG b 5 % 5% % 5% 2% (iv)

20 2 c. n= bias relatif b % 5% % 5% 2% abs bias relatif b % 5% % 5% 2% (i) (ii).6 6 KTG relatif b.4.2. % 5% % 5% 2% KTG b 4 2 % 5% % 5% 2% (iii) (iv) d. n=2 bias relatif b % 5% % 5% 2% abs bias relatif b % 5% % 5% 2% (i) (ii).4 4 KTG relatif b % 5% % 5% 2% KTG b 3 2 % 5% % 5% 2% (iii) (iv)

21 3 Lampiran 5 Grafik evaluasi pendugaan nilai pada berbagai proporsi pencilan a. n=5 bias relatif b % 5% % 5% 2% abs bias relatif b 5 5 % 5% % 5% 2% (i) (ii) KTG relatif ble % 5% % 5% 2% KTG b % 5% % 5% 2% (iii) (iv) b. n=3 bias relatif b % 5% % 5% 2% abs bias relatif b 5 % 5% % 5% 2% (i) (ii).5 6 KTG relatif b..5. % 5% % 5% 2% KTG b 4 2 % 5% % 5% 2% (iii) (iv)

22 4 c. n= 6 bias relatif b % 5% % 5% 2% abs bias relatif b 5 % 5% % 5% 2% (i) (ii).6 3 KTG relatif b.4.2. % 5% % 5% 2% KTG b 2 % 5% % 5% 2% (iii) (iv) d. n=2 bias relatif b % 5% % 5% 2% abs bias relatif b % 5% % 5% 2% (i) (ii).3.5 KTG relatif b.2.. % 5% % 5% 2% KTG b..5. % 5% % 5% 2% (iii) (iv)

23 Frequency Residual Percent Residual 5 Lampiran 6 Output pada penerapan data riil a. OLS Prediktor Koefisien t Nilai p Intersep Jarak Model : waktu = jarak Sumber R 2 db JK KT F Nilai p Keragaman (adj) Regresi % Sisaan Total Plot sisaan untuk y 99 9 Normal Probability Plot 4 Versus Fits Residual Fitted Value 5 Histogram Versus Order Residual Observation Order 3 35

24 Frequency Residual Percent Residual 6 b. LTS Prediktor Koefisien t Nilai p Intersep jarak Model : waktu = jarak Sumber R 2 db JK KT F Nilai p Keragaman (adj) Regresi % Sisaan Total Plot sisaan untuk y 99 Normal Probability Plot 4 Versus Fits Residual Fitted Value 4,8 Histogram 4 Versus Order 3,6 2 2,4,2-2, Residual Observation Order 6 8

25 Frequency Residual Percent Residual 7 c. LTS Prediktor Koefisien t Nilai p Intersep jarak Model : waktu = jarak Sumber R 2 db JK KT F Nilai p Keragaman (adj) Regresi % Sisaan Total Plot sisaan untuk y 99 Normal Probability Plot 2 Versus Fits Residual Fitted Value 2 Histogram Versus Order, 2 7,5 5, 2,5 -, Residual Observation Order 3 Lampiran 7 Data Kriteria Pendugaan dan untuk Keseluruhan data kriteria b b Sb Sb JKG 4.7x 7 5.2x 7 9.x 7 KTG R 2 (adj) 84% 5% 7%