ESTIMASI PARAMETER MODEL TAHAP AWAL AR(1) REGRESI RESPON BINER LONGITUDINAL. Rohmatul Fajriyah FMIPA UII Yogyakarta dan Subanar FMIPA UGM Yogyakarta

Transkripsi

1 JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 5. No. 3, 78-87, Desember 2002, ISSN : ESTIMASI PARAMETER MODEL TAHAP AWAL AR( REGRESI RESPON BINER LONGITUDINAL Rohmatul Fajriyah FMIPA UII Yogyakarta dan Subanar FMIPA UGM Yogyakarta Abstrak Data yang diperoleh dari hasil pengukuran berulang pada subyek tertentu, biasanya akan berkorelasi. Pada regresi respon biner, jika digunakan model autoregressif order -, AR(, maka diperlukan pengetahuan tentang outome sebelumnya, y 0, yang tak terobservasi. Model untuk menginferensi data dengan model AR(, diantaranya adalah model AR( kondisional. Pada model ini, nilai y diambil sembarang, yau 0 atau. Model di atas 0 akan dibahas dan dibandingkan hasil estimasinya melalui studi simulasi Kata kuni : Data biner berkorelasi, Maximum Likelihood, Dependensi serial.. PENDAHULUAN Dalam perobaan klinis, sering dianalisa data biner yang diperoleh di waktu-waktu yang berurutan untuk menguji hubungan antara probabilas sukses dan kovariat-kovariat yang bergantung pada waktu. Data tersebut diperoleh jika diobservasi satu grup pasien per tahun, misalnya, dan observasi-observasi diambil setiap minggu. Tepatnya, setiap subyek atau individu atau pasien mengalami pengukuran berulang mingguan. Jika data diperoleh dari hasil pengukuran berulang per waktu tertentu, maka data akan berkorelasi tinggi. Pada data seperti ini digunakan model autoregressif ( AR, khususnya model AR(. Misal Y representasi outome pasien ke i dalam minggu ke t. Pada t, maka outome sebelumnya y 0 tentu tak terobservasi. 78

2 Estimasi Parameter Model (Rohmatul Fajriyah dan Subanar Jika diambil Y i0 0, akan timbul masalah dalam pemodelan jika ternyata yang benar adalahy i0, begu sebaliknya. Permasalahan seperti ini dikenal sebagai permasalahan tahap awal. Penting untuk mengetahui bagaimana mengatasi masalah tahap awal pada regresi data respon biner longudinal. Pada tulisan ini, jelasnya, akan dibahas estimasi parameter regresi respon biner longudinal model AR( kondisional, dalam permasalahan tahap awal. 2. DATA LONGITUDINAL Beberapa penelian, mengobservasi variabel respon setiap subyek, beberapa kali untuk beberapa waktu tertentu atau pada keadaaan tertentu. Hasil penelian semaam ini akan menghasilkan data respon berulang. Jika subyek diobservasi berulang beberapa waktu tertentu, maka data hasil observasi berulang semaam ini disebut sebagai data longudinal dan studinya disebut studi longudinal. jika Data longudinal biasanya akan berkorelasi serial dalam subyek. Jelasnya, y merepresentasikan observasi subyek ke - i waktu ke - t, maka subyek i memuat respon berulang sama akibatnya respon berulang ini berkorelasi. y, yau karena observasinya diambil dari subyek yang Selanjutnya, respon biner dari subyek yang diobservasi beberapa kali beberapa waktu tertentu disebut data respon biner longudinal. 3. GLM dan MLE Model-model statistik klasik, untuk menganalisa data regresi, runtun waktu dan longudinal seara umum berguna dalam suasi-suasi dimana datanya Gaussian dan dapat dijelaskan dengan suatu struktur linear. Nelder dan Wedderburn pada tahun 972 memperkenalkan suatu keluarga dari model-model untuk analisis regresi nonstandar dengan respon non normal yang disebut Generalized Linear Models ( GLM 79

3 JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 5. No. 3, 78-87, Desember 2002, ISSN : Maximum likelihood merupakan metode pengestimasian yang sangat populer. Misal X ( X,..., X suatu vektor random observasi-observasi yang distribusi bersamanya adalah suatu fungsi densas ( x Θ n f n pada ruang Eulide berdimensi - n, R n. Vektor parameter Θ yang tak diketahui termuat dalam ruang parameter Ω s R sebagai L( Θ L ( Θ f ( x Θ x. Untuk x tertentu didefinisikan fungsi likelihood dari x n yang dipandang sebagai fungsi dari Θ Ω. 4. MODEL AR( DALAM PERMASALAHAN TAHAP AWAL Sebagaimana telah dikemukakan dimuka, data longudinal merupakan data yang diperoleh dari hasil pengukuran berulang. Data longudinal ini dapat dihimpun seara prospektif, mengikuti subyek berkembang sesuai waktu, atau retrospektif, dengan mengekstraksi pengukuranpengukuran pada setiap subyek dari atatan terdahulunya. Himpunan data longudinal pada satu subyek enderung berinterkorelasi (subyek-subyek biasanya diasumsikan independen,oleh sebab u diperlukan metode statistik khusus agar diperoleh inferensi yang valid. 4.. Model AR( Kondisional Diasumsikan data observasi berulang ( x y,, t,2,..., ni,ada,untuk setiap subyek i,2,..., m, dan distribusi bersyarat dari setiap respon y,merupakan fungsi eksplis dari respon-respon sebelumnya y,..., yi dan kovariat x, juga probabilas bersyarat Pr{ Y,..., Y } Pr{ Y Y } Y merupakan log i i, t i, t linear. Misal y,..., yi disebut sebagai history subyek ke - i pada waktu - t dan dinotasikan dengan y diketahui H,maka H { y, k,..., t } ik. Model yang akan dibahas adalah model dimana distribusi bersyarat dari H hanya bergantung pada satu observasi sebelumnya, y. Jadi, 80

4 Estimasi Parameter Model (Rohmatul Fajriyah dan Subanar h ' ' ( µ x + f ( H ;α ( 4.. atau model ini menyajikan mean bersyarat µ sebagai fungsi dari kovariat x dan respon sebelumnya y. Outome sebelumnya merupakan variabel penjelas tambahan. Dengan demikian, diperoleh ' ( Y H + y, ( 4..2 log Pr x α atau log Pr( Y H x ', ( 4..3 dimana ' x dan adalah vektor berukuran ( + p. Fungsi densas probabilas Y Y duliskan sebagai ( f ( Y y Y y exp y log( + e ( 4..4 Mean dan variansi bersyaratnya ialah ' µ E( Y H a ( θ dan v L dan '' ( Y H a ( θ e + e e Var. ( 2 + e Fungsi likelihood untuk fungsi densas diatas duliskan (, Y f ( Y y Y y ( 4..5 i t log-likelihoodnya l ( (, Y log L, Y log f ( Y y Y y ( 4..6 log Jadi i t Dari persamaan ( 4..4, diperoleh f ( Y y Y y y log ( + e ( 4..7 l (,Y log L (,Y y log( + e i t (

5 JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 5. No. 3, 78-87, Desember 2002, ISSN : log Selanjutnya, persamaan ( 4..7 dapat juga duliskan sebagai f ( Y y Y y y ( µ + ( y log( µ Dengan demikian diperoleh l (,Y log ( 4..9 y log ( µ + ( y log( µ ( 4..0 i t Persamaan terakhir ini lebih mudah diadaptasi ke dalam bentuk matriksnya. Namakan log f ( Y y Y y l ( sebagai berikut S ( S ( i t l dimana S ( ( ( µ dengan h ( Z ' l S ( ( dimana (. Akan diperoleh fungsi sore, ( 4... S diperoleh dengan menggunakan persamaan (..9, yau ' ' ( y log h( Z + ( y log( h( Z ' ' ' ' ' ' y Z h ( Z ( y Z h ( Z ' ' ( h( Z ' ' ' ' Z h ( Z ( ( ( ( y ( ' ' 4, dan mengganti Z ' D ( ( y ( ( 4..2 µ ' ' ' h D ( ( Z µ 82

6 Estimasi Parameter Model (Rohmatul Fajriyah dan Subanar ( ' ' ( h( Z ( h( Z h Seara similar akan diperoleh matriks ' ' ( Z ( h( Z ekspektasi informasi Fisher, G G ( ( 4..3 dimana i t l G ( ( ' ( ( ( ( ( ( ' ' ' ' ' ' Z Z ' ' ' ' Z D ( ( D ( Z Selanjutnya MLE untuk diperoleh dengan metode erasi pada S ( S ( i t 0, dengan mempertimbangkan dua keadaan, yau untuk Y i0 0 dan Y i Contoh Aplikasi Sebagai aplikasi, disini diambil data hasil simulasi untuk model Chan (2000, yang telah dikerjakan Fajriyah (200. Data diatas, merupakan data simulasi pasien peserta program MMT (Methadone Maintenae Treatment di Sydney Barat pada tahun 986. Chan (2000, dalam papernya menyebutkan bahwa, berdasarkan riset doktoralnya, yang dipublikasikan sebagian pada tahun 998, model bagi pasien MMT, ternyata mengikuti model AR(. Hal ini mengakibatkan, diperlukannya pengetahuan tentang Y untuk setiap pasien, yang tentu saja tak terobservasi. i 0 Model tersebut yau: log { Pr( Y, } d ln( t Y, Y ( 4.2. i t i t 83

7 JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 5. No. 3, 78-87, Desember 2002, ISSN : dimana, , , dan berturut-turut adalah intersep, koefisien slope dosis methadone ( dalam miligram, koefisien slope durasi waktu ( dalam minggu dan koefisien slope outome sebelumnya. Alasan digunakannya simulasi oleh Fajriyah (2000, adalah tidak dapat diperolehnya data asli MMT. Berdasarkan perhungan, untuk m 0, n 5, dan ulangan simulasi sebanyak 0 dari data hasil simulasi, estimasi parameter simulasi untuk Y 0 dan Y, masing-masing adalah : i 0 i 0 Simulasi ke- Tabel. Parameter Hasil Simulasi Model 4.2.(

8 Estimasi Parameter Model (Rohmatul Fajriyah dan Subanar Tabel 2. Parameter Hasil Simulasi Model 4.2.( Simulasi Ke Dari kedua tabel hasil simulasi di atas, diperoleh kesimpulan bahwa, untuk sampel keil (m 0, pengambilan nilai Y 0, ternyata lebih mendekati model asli, terutama dari segi interpretasi, dimana hasil ini sejalan dengan kesimpulan Chan (2000, dengan menggunakan sampel asli m 36, maupun hasil simulasinya sendiri dengan pengulangan simulasi sebanyak 00, m 36 dan n 26. Adapun untuk Y, meskipun tidak mendekati model asli, namun i 0 sejalan dengan hasil simulasi Chan (2000 dengan pengulangan simulasi sebanyak 00, m 36 dan n 26. i 0 85

9 JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 5. No. 3, 78-87, Desember 2002, ISSN : KESIMPULAN Data respon biner longudinal, yang diperoleh dari hasil pengukuran berulang pada subyek tertentu, biasanya akan berkorelasi. Jika digunakan model autoregressif order -, AR(, maka pengetahuan tentang outome sebelumnya, y, yang tak terobservasi diperlukan untuk inferensi. 0 Model-model AR( yang dapat digunakan untuk mengakomodasi y, 0 diantaranya adalah, Model AR( Kondisional dan estimasi parameter dilakukan dengan menggunakan metode MLE. DAFTAR PUSTAKA. Azzalini, A, Logisti Regression for Autoorrelated Data wh Appliation to Repeated Measures, Biometrika, 994, 8 : Chan, J. S. K., Inial Stage Problem in Autoregressive Binary Regression, Journal Royal Statistal Soiety, Part 4, 2000, 49 : Chan, J. S. K, and Kuk, A. Y. C, Bell, J and MGilhrist, C, The Analysis of Methadone Clini Data Using Marginal and Condional Logisti Models wh Mixture or Random Effets, Aust. New Zeal. J. Statist, 998, 40 : Diggle, P. J, Liang, K.Y and Zeger, S. L, Analysis of Longudinal Data, Clarendon Press, Oxford, Fahrmeir, L and Tutz, G, Multivariate Statistial Modelling Based on Generalized Linear Models, Springer-Verlag, New York, Fajriyah, R, Estimasi Parameter Beberapa Model Tahap Awal Regresi Respon Biner Longudinal, Tesis S2 Matematika FMIPA UGM, Yogyakarta,

10 Estimasi Parameter Model (Rohmatul Fajriyah dan Subanar 7. Fzmaurie, G. M and Laird, N. M, A Likelihood-Based Method for Analysing Longudinal Binary responses, Biometrika, 993, 80 : Liang, K. Y and Zeger, S. L, A Class of Regression Models for Multivariate Binary Time Series, J. Am. Statist. Ass, 989, 84 : Ware, J. H, Lipsz, S and Speizer, F. E, Issues in the Analyssis of Repeated Categorial Outome, Statist. Med, 988, 3 : , Enylopedia of Statistial Sienes, John Wiley and Sons, 982, Vol. I. 87