ESTIMASI KURVA REGRESI SEMIPARAMETRIK PADA DATA LONGITUDINAL BERDASARKAN ESTIMATOR POLINOMIAL LOKAL

Transkripsi

1 Statistika Vol 1 No 1 Mei 213 ESTIMASI KURVA REGRESI SEMIPARAMETRIK PADA DATA LONGITUDINAL BERDASARKAN ESTIMATOR POLINOMIAL LOKAL Tiani Wahyu Utami 1 Program Studi S1 Statistika Universitas Muhammadiyah Semarang Jl Kedung Mundu Raya no 18 Semarang; tianiutami88@gmailcom ABSTRAK Diberikan model longitudinal + + komponen parametrik komponen nonparametrik yang didekati Polinomial Lokal Estimator Polinomial Lokal diperoleh metode WLS Weighted Least Square Estimasi model pada longitudinal + adalah [ ] [ ] Estimator Polinomial Lokal sangat tergantung pada bandwidth h optimal Penentuan bandwidth optimal menggunakan metode GCV Generalized Cross Validation Selanjutnya model Polinomial Lokal pada longitudinal diaplikasikan memodelkan hubungan pengaruh antara kadar trombosit penderita Demam Berdarah Dengue terhadap kadar hematrokit waktu pemeriksaan dimana kadar hematrokit sebagai komponen nonparametrik waktu pemeriksaan sebagai komponen parametrik Hasil estimasi menujukkan bahwa waktu pemeriksaan berpola kuadratik setiap subjek segkan kadar hematrokit pada subjek 1 mengikuti pola polinomial lokal berorde 1 segkan kadar hematrokit pada subjek 2 mengikuti pola polinomial lokal berorde 4 pada subjek 3 kadar hematrokit memgikuti pola polinomial lokal berorde 4 Model ini mempunyai nilai MSE sebesar koefisien determinasi R % Kata kunci : Data Longitudinal Estimator Polinomial Lokal GCV Semiparametrik WLS PENDAHULUAN Analisis merupakan metode statistika yang telah lama dikembangkan menyelidiki pola hubungan pengaruh variabel prediktor terhadap variabel respon melalui estimasi kurva nya Berkaitan pengestimasian kurva terdapat tiga model yang dapat digunakan yaitu model parametrik model nonparametrik model [2] Dalam beberapa kasus variabel respon diketahui pola hubungannya salah satu variabel prediktor tetapi variabel prediktor yang lain tidak diketahui bentuk pola hubungannya Dalam keadaan seperti ini maka digunakan pendekatan [1] Dalam terdapat jenis longitudinal yang pangamatan dilakukan sebanyak n subjek saling independen setiap subjek diamati secara berulang dalam kurun waktu yang berbeda [3] Data longitudinal memiliki kelebihan diantaranya dalam jumlah subjek yang sama hasil pengukuran error menghasilkan penaksir efek perlakuan yang lebih efisien dikarenakan 3

2 Statistika Vol 1 No 1 Mei 213 pada longitudinal dilakukan estimasi setiap pengamatan lebih powerfull walaupun hanya menggunakan subjek yang lebih sedikit [6] Pengamatan longitudinal diberikan oleh { yij xij tij }; i 12 n; j 12 m Hubungan antara xij tij yij mengikuti model Bentuk kurva yang tidak diketahui diasumsikan smooth atau mulus Estimator kurva diperoleh mengestimasi parameternya [7] Terdapat beberapa pendekatan mengestimasi kurva salah satunya adalah estimator Polinomial Lokal Salah satu kelebihan estimator Polinomial Lokal adalah dapat mengurangi asimtotik bias menghasilkan estimasi yang baik [5] Estimator Polinomial Lokal dapat diperoleh optimasi WLS Weighted Least Square Segkan mengestimasi parameter penghalus bandwidth metode Generalized Cross Validation GCV Penelitian sebelumnya telah banyak dikembangkan mengenai longitudinal yang menggunakan pendekatan spline estimasi kurva nonparametrik [11] maupun model [8] Estimator Polinomial Lokal dalam mengestimasi model nonparametrik diteliti pertama kali menggunakan cross-section [4] Selain itu telah dilakukan juga penelitian tentang estimasi selang kepercayaan kurva nonparametrik error lognormal berdasarkan estimator Polinomial Lokal akan tetapi dalam penelitiannya menggunakan crosssection [9] Penyakit Demam Berdarah Dengue atau Dengue Haemorrhagic Fever DHF adalah penyakit yang disebabkan oleh virus dengue yang ditularkan melalui gigitan nyamuk Aedes aegypti Aedes albopictus Salah satu kriteria laboratorium non spesifik menegakkan diagnosis DBD yang ditetapkan oleh WHO adalah aya Trombositopenia trombosit<1/ml Menurut ahli penyakit infeksi tropis yang banyak meneliti tentang demam berdarah drleonard Nainggolan SpPD-KPT penderita DBD jumlah trombosit menjadi rendah atau kurang dari 1 per mm3 merupakan akibat aya kebocoran plasma di pembuluh darah kapiler sehingga tubuh berupaya menutup celah itu bantuan trombosit Kebocoran itu menyebabkan darah menjadi pekat yang dapat dilihat dari naiknya kadar hematokrit Pada tulisan ini akan dibahas bagaimana mengestimasi kurva pada longitudinal menggunakan estimator Polinomial Lokal Selanjutnya menerapkan model tersebut pada kadar trombosit penderita DBD selama dirawat di Rumah Sakit Haji tahun 211 berdasarkan waktu pemeriksaan kadar hematrokit pasien METODE PENELITIAN Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah sekunder yang diperoleh dari rekam medik Rumah Sakit Haji Surabaya tahun 211 Data tersebut mengenai kadar trombosit penderita DBD Demam Berdarah Dengue yang dipengaruhi oleh kadar hematrokit waktu pemeriksaan selama dirawat di rumah sakit Banyak subjek dari penelitian ini ada tiga subjek yang masing-masing disebut subjek 1 penderitadbd derajat/grade I subjek 2 penderitadbd derajat/grade II subjek 3 penderitadbd derajat/grade III Masing-masing subjek dilakukan pengukuran berulang sebanyak 7 kali pengamatan Metodologi yang dilakukan pada penelitian ini adalah 31

3 Statistika Vol 1 No 1 Mei Mengestimasi kurva longitudinal berdasarkan estimator Polinomial Lokal langkahlangkah sebagai berikut : a Diberikan observasi yang memenuhi model b Menyatakan model dalam bentuk matriks + c Fungsi x ij dapat didekati oleh polinomial berderajat p d Mengestimasi meminimumkan kriteria Weighted Least Square e Mendapatkan bentuk matriks A berukuran NxN cara menyelesaikan persamaan atau f Mensubstitusikan memperoleh estimasi yaitu 2 Menerapkan hasil estimasi menganalisis pengaruh kadar trombosit penderita DBD terhadap waktu pemeriksaan kadar hematrokit langkah sebagai berikut : a Membuat plot berpasangan 123; 12 7 b Menentukan matriks Ah berukuran NxN c Memilih orde polinomial p nilai bandwidth optimal yang meminimumkan GCVh d Memodelkan orde polinomial p nilai bandwidth optimal dari langkah c secara simultan e Menghitung nilai MSEh sebanyak { y ij xij t ij ; i 12 n; j 12 m} y ij menyatakan variabel respon pengamatan subjek ke- i pada waktu ke- j xij t ij menyatakan variabel prediktor Hubungan y ij xij tidak diketahui bentuk fungsinya segkan antara y ij t ij bentuk fungsinya diketahui maka kita dapat memodelkan hubungan antara xij t ij y ij menggunakan model seperti pada persamaan 1 Model tersebut dapat ditulis dalam bentuk : HASIL DAN PEMBAHASAN Estimasi Kurva Semiparametrik pada Data Longitudinal Berdasarkan Estimator Polinomial Lokal Diberikan longitudinal sebanyak n subjek yang setiap subjek diukur m + 1 Persamaan 1 mengandung dua bagian yaitu komponen parametrik komponen nonparametrik Asumsikan bahwa nilai diketahui sehingga dapat dibentuk persamaan : 32

4 Statistika Vol 1 No 1 Mei 213 [ ] Fungsi x ij tidak diketahui bentuknya maka diestimasi menggunakan estimator Polinomial Lokal Untuk menduga x ij pada pengukuran ke-j objek ke-i maka didekati polinomial derajat p xij i xij x 1i xij x 2 i xij x pi 2 p Nilai dugaan adalah Nilai dugaan tersebut dapat diperoleh cara meminimumkan persamaan sehingga diperoleh [ ] Berdasarkan [ ] β [ i 1i 2i pi ]T Xh1 Xh2 C Xhn 1 xi1 x 1 x i 2 x Xhi 1 x x im Dengan demikian sebagai berikut : 3 4 dapat dinyatakan Selanjutnya dicari meminimumkan Weighted Least Square WLS sebagai berikut : 6 Berdasarkan persamaan 5 6 maka estimasi model pada persamaan 1 diperoleh : 7 + Matriks adalah matriks yang berisi fungsi pembobot K adalah fungsi Kernel h adalah bandwidth Nilai dugaan β adalah β yang bila disubstitusikan ke dalam persamaan 3 akan meminimumkan diperoleh : estimator Berikut ini diberikan sifat-sifat yang dimiliki oleh estimator Polinomial Lokal Persamaan 1 dapat diubah kedalam bentuk sebagai berikut : xi1 x p xi 2 x p xim x p didapatkan cara meminimumkan kriteria Weighted Least Square WLS Selanjutnya mendapatkan Polinomial Lokal : 5 2 Persamaaan 2 dapat ditulis menjadi : diperoleh persamaan : + x ij t ij i t ij 1i t ij qi x ij q Estimasi kurva [ [ ] [ [ [ ] + ] adalah ] 8 [ ][ [ ] ] [ [ ] + Berdasarkan persamaan 8 terlihat estimator Polinomial Lokal merupakan estimator linier dalam observasi Selanjutnya akan diperlihatkan estimator Polinomial Lokal mempunyai sifat bias kurva 33

5 Statistika Vol 1 No 1 Mei 213 Berikut akan dicari ekspektasi dari adalah [ ] [ ] Karena maka estimator bias kurva Kriteria GCV merupakan salah satu metode memilih bandwidth yang optimal Fungsi GCV didefinisikan sebagai berikut : GCVℎ [ ] [ ] 9 Nnxm Selanjutnya pemilihan bandwidth optimal mengunakan GCV dilakukan cara mensubstitusikan nilai bandwidth h Є kedalam matrik sehingga diperoleh nilai minimum GCVh Aplikasi Model Semiparametrik Polinomial Lokal Data Longitudinal pada Kadar Trombosit Penderita DBD Estimasi kurva Polinomial Lokal longitudinal diterapakan pada kadar trombosit penderita Demam Berdarah Dengue selama dirawat di Rumah Sakit Haji Pada penelitian ini difokuskan mengetahui hubungan antara waktu pemeriksaan selama dirawat di rumah sakit kadar hematrokit terhadap kadar trombosit penderita Demam Berdarah Dengue DBD Terdapat tiga derajat/grade DBD yang diamati dimana di dalam setiap subjek derajat/grade DBD yang teramati diukur secara berulang dari hari ke hari Kadar trombosit sebagai variabel respon y waktu pemeriksaan t merupakan variabel prediktor komponen parametrik segakan kadar hematrokit x merupakan variabel prediktor komponen nonparametrik pada model Estimasi model Polinomial Lokal sangat bergantung pada pemilihan banwidth optimal derajat polinomial dimana penentuan bandwidth optimal derajat polinomial dapat dilihat pada nilai GCV minimum Langkah awal dalam pemilihan bandwidth optimal orde polinomial adalah menentukan nilai awal bandwidth orde polinomial Adapun cara menentukan nilai awal bandwidth orde polinomial adalah melakukan pemilihan bandwidth optimal orde polinomial pada masing-masing subjek secara parsial Dalam penelitian ini fungsi kernel yang digunakan adalah fungsi Kernel Gaussian Kernel Epachenikov Kernel Kuadrat Setelah dicobakan pada berbagai fungsi kernel tersebut diperoleh model yang paling baik adalah model menggunakan fungsi Kenel Gaussian GCV MSE serta R % Oleh karena itu dalam pemodelan simultan akan digunakan fungi Kernel Gaussian Sebelum melakukan estimasi dilakukan terlebih dahulu pemilihan bandwidth optimum orde polinomial secara simultan Nilai GCV minimum sebesar dimana subjek 1 mempunyai bandwidth optimal sebesar 5 orde polinomial p11 Subjek 2 mempunyai bandwidth optimal sebesar 633 orde polinomial p24 Subjek 3 mempunyai bandwidth optimal sebesar 36 orde polinomial p34 Setelah diperoleh bandwidth optimal orde polinomial masing-masing subjek secara simultan maka estimasi model Polinomial Lokal masing-masing subjek diberikan oleh : 34

6 Statistika Vol 1 No 1 Mei 213 Subjek 1 : Subjek 2 : Subjek 3 : Model tersebut mempunyai nilai MSE koefisien determinasi R % KESIMPULAN Berdasarkan hasil penelitian diperoleh kesimpulan bahwa melalui pendekatan estimator Polinomial Lokal 1 Estimasi model longitudinal adalah sebagai berikut: + [ ] 2 Pola hubungan antara kadar trombosit penderita DBD terhadap kadar trombosit secara bersama-sama dapat dibentuk dalam model Polinomial Lokal kadar hematrokit sebagai komponen nonparametrik waktu pemeriksaan sebagai komponen parametrik Model kadar trombosit yang diestimasi pendekatan Polinomial Lokal diberikan oleh : Subjek 1 : Subjek 2 : Subjek 3 : Model tersebut mempunyai nilai MSE koefisien determinasi R % Dalam penelitian ini permasalahan yang dikaji masih sangat terbatas hanya pada pemodelan pola hubungan antara variabel respon terhadap variabel prediktor pendekatan Polinomial Lokal belum ada menguji signifikansi parameter model yang dihasilkan Pemilihan variabel prediktor yang digunakan dalam penelitian ini hanya satu variabel prediktor komponen parametrik satu variabel prediktor komponen nonparametrik penelitian selanjutnya masih perlu dikembangkan beberapa variabel prediktor dilakukan penelitian tentang uji parameter model dalam Polinomial Lokal DAFTAR PUSTAKA AH Welsh and TY Yee 25 Local Regression for Vector Responses Journal of Statistical Planning and Inference Vol 136: G Wahba 199 Spline Models for Observation Data SIAM: Philadelphia CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics Vol 59 H Basri 29 Estimasi Kurva Nonparametrik pada Data Longitudinal Pendekatan Spline Tesis Jurusan Statistika FMIPA Institut Teknologi Sepuluh November SurabayaRL Eubank 1988 Spline Smoothing and Nonparametric Regression Marcel Dekker: New York H Kuswantoro 25 Model GammaFrailty Data Longitudinal Pendugaan Korelasi Serial Metode Composite Likelihood Tesis Jurusan Statistika FMIPA ITS: Surabaya 35

7 Statistika Vol 1 No 1 Mei 213 H Wu and JT Zhang 26 Nonparametric Regression Methods for Longitudinal Data Analysis A John-Wiley and Sons Inc Publication New Jersey I N Budiantara B Lestari A Islamiyati 21 Estimator Spline Terbobot dalam Nonparametrik Semiparametrik Heteroskedastisitas Data Longitudinal Hibah Penelitian Kompetensi DP2M-Dikti: Jakarta N Chamidah 28 Inferensi Kurva Nonparametrik Berdasarkan Estimator Polinomial Lokal Dengan Error Lognormal J Peneliti Med Eksakta Vol 7 No 1 hal 61-6 IN Budiantara Mulianah 27 Pemilihan Banwidth Optimal Dalam Semiparametrik Kernel Aplikasinya Journal Sains Teknologi SIGMA 1 : L M P Wand M C Jones 1995 Kernel Smoothing Chapman and Hall London S Y Hong 1999 Automatic Bandwith Choice in a Semiparametric Regression Model Statistica Sinica 9 : W P J Diggle Y K Liang S L Zeger 1994 Analysis of Longitudinal Data Oxford Statistical Science Series 13 New York Laome 29 Model Semiparametrik Spline Data Longitudinal pada Kasus Kadar CD4 Penderita HIV Paradigma Vol 13 No2: Hardle 199 Applied Nonparametric Regression Cambridge University Press New York