Rangkuman Materi UJIAN NASIONAL Disusun Berdasarkan Topik Materi Per Bab. Matematika SMP. Distributed by : Luky, S.Pt

Transkripsi

1 Rangkuman Materi UJIN NSIONL isusun erdasarkan Topik Materi Per ab Matematika SMP istributed by : Luky, S.Pt

2 Matematika

3 ilangan. MM-MM ILNGN. ilangan sli,, 3, 4, 5, 6,, dan seterusnya.. ilangan acah 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, dan seterusnya. 3. ilangan Prima ilangan prima yaitu bilangan asli yang tepat mempunyai faktor, yaitu dan bilangan itu sendiri. Yaitu:, 3, 5, 7,,, dan seterusnya. 4. ilangan ulat,,, 0,,, 3,, dan seterusnya. 5. ilangan Rasional ilangan rasional yaitu bilangan dalam bentuk a, dengan a dan b anggota bilangan bulat b dan b 0. à a = dan b = SIFT OPERSI P ILNGN ULT Misalkan: = {, 3,,,0,,,3, } adalah himpunan bilangan bulat. Sifat operasi penjumlahan pada bilangan bulat. a. Tertutup Untuk a, b maka a + b dengan dibaca anggota himpunan. b. Komutatif a + b = b + a c. sosiatif (a + b) + c = a + (b + c) d. Identitas a + 0 = 0 + a = a dengan 0 adalah unsur identitas. e. Invers (lawan) a + ( a) = ( a) + a = 0 dengan a adalah invers dari a. Sifat operasi pengurangan pada bilangan bulat, yaitu tertutup. a b = a + ( b) Sifat operasi perkalian pada bilangan bulat. a. Tertutup Untuk a, b maka a b b. Komutatif a b = b a c. sosiatif (a b) c = a (b c) d. Identitas a = a = a dengan adalah elemen identitas terhadap perkalian.

4 e. Invers a a = a a = dengan adalah invers dari a terhadap perkalian. a f. istributif terhadap penjumlahan dan pengurangan (a + b) c = (a c) + (b c) (a b) c = (a c) (b c) Sifat operasi pembagian pada bilangan bulat. a : b = a b Sifat yang berlaku adalah sifat distributif terhadap penjumlahan dan pengurangan, yaitu: (a + b) : c = (a : c) + (b : c) (a b) : c = (a : c) (b : c). KPK N FP. KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil). FP (Faktor Persekutuan Terbesar) Tentukan KPK dan FP dari dan 40! Faktorisasi dari bilangan dan 40 dapat dituliskan: = 3 = 3 dan 3 40 = 5 = 5 KPK dari dan 40: = 0. FP dari dan 40: = 4.. ILNGN PEHN ilangan 3, dengan 3 (tiga) sebagai 4 pembilang dan 4 (empat) sebagai penyebut.. Macam-macam entuk Pecahan a. Pecahan biasa.,, , dll. 4 b. Pecahan campuran., c. Pecahan desimal. 0,5; 0,75; dll. d. Persen (%) atau per seratus. 5%, 47%,75%, dll. e. Permil ( 0 / 00 ) atau per seribu. 5 0 / 00, 0 0 / 00, / 00, dll.. Operasi pada ilangan Pecahan a. Penjumlahan Jika penyebut dua pecahan sama: a b a + b + =, c 0 c c c + + = = Jika penyebut dua pecahan berbeda: ara : menggunakan perkalian silang. ( a d) + ( b c) a c + = ; b,d 0 b d b d 3

5 ara : menyamakan penyebutnya. 5 + =... 8 ara : menggunakan perkalian silang = = = = ara : menyamakan penyebutnya. KPK dari 8 dan adalah = = Sifat penjumlahan bilangan pecahan sama seperti sifat penjumlahan pada bilangan bulat. Komutatif a c c a + = + b d d b sosiatif a c e a c e + b d + = + + f b d f b. Pengurangan Jika penyebut kedua pecahan sama a b a - b - =, c 0 c c c Jika penyebut dua pecahan berbeda ara : menggunakan perkalian silang. a c ( a d) - ( b c) - = ; b,d 0 b d b d ara : menyamakan penyebutnya. Sifat pengurangan bilangan pecahan sama seperti sifat pengurangan pada bilangan bulat. c. Perkalian a c a c = ; b,d 0 b d b d d. Pembagian a c a : c : = ; b, c, d 0 b d b : d atau a c a d : = ; b, c, d 0 b d b c 3. Mengurutkan Pecahan Menyamakan penyebut Semakin besar nilai pembilangnya, maka pecahan tersebut akan bernilai semakin besar dan berlaku sebaliknya. Menyamakan pembilang Semakin kecil nilai penyebutnya, maka pecahan tersebut bernilai semakin besar dan berlaku sebaliknya. Perhatikan kelompok pecahan berikut ,,, Jika diurut dari pecahan terkecil ke pecahan terbesar menjadi: ,,,

6 E. PEMNGKTN ( ) m ( a ) m m m a b = a b a a = a m n m+ n a a m n a b m n = a a = b = a m-n m m mn F. PENRIKN KR p p p p a b = a b a b ( ) p p q p q p a c = = a a b a = a G. ENTUK KU c atatan: a 0 =, 0 a = = tidak terdefinisikan ( a) m m a ( a) m m a a - =, m genap, - = -, m ganjil, -m = m a. ilangan lebih dari 0. n a 0. ilangan antara 0 dan. a 0 -n dengan a 0, n bilangan asli. 3,750 = 3, ,0043 = 4,3 0 3 entuk ljabar. PENGERTIN Variabel adalah suatu besaran matematika yang nilainya dapat berubah-ubah. Koefisien adalah suatu nilai yang dilengkapi dengan variabel. Konstanta adalah suatu nilai yang tetap tidak bergantung pada variabel.. a 3 = a a a pqr = p q r. x + y + xy + 0xy + 5 entuk aljabar tersebut terdiri dari: variabel: x dan y, konstanta: 5, koefisien dari x adalah, koefisien dari xy adalah, dan koefisien dari 0xy adalah 0, derajat bentuk aljabar adalah derajat yang tebesar yaitu, suku-suku sejenis adalah suku-suku yang mempunyai variabel sama dan derajat sama, yaitu: xy dan 0xy, x dan y bukan merupakan suku sejenis karena variabelnya berbeda. 5

7 . OPERSI ENTUK LJR. Penjumlahan dan Pengurangan Suku Sejenis entuk aljabar dapat dijumlahkan atau dikurangkan hanya jika suku-sukunya sejenis. 4x + x = (4 + )x = 6x a + b + ab 0ab + 3b Pada bentuk aljabar tersebut, suku-suku yang sejenis adalah b dan 3b. Selain itu juga ab dan 0ab. Jadi a + b + ab - 0ab + 3b = a + b + 3b + ab -0ab = a + ( + 3) b + ( -0) ab = a + 4b + ab. Perkalian dan Pembagian a. Perkalian Operasi perkalian bentuk aljabar dapat dilakukan pada suku yang tidak sejenis. 4p 4q 4pq = (4 4 4) (p q p q) = 64p q b. Pembagian a b a a b a b : ab = = = a ab a b 3. Pemangkatan Sifat-sifat pemangkatan bilangan bulat juga berlaku pada pemangkatan bentuk aljabar. (ab) = ab ab = ( ) (ab ab) = 4(ab) = 4a b Pemangkatan bentuk aljabar dengan bentuk a + b. (a + b) = (a + b)(a + b) = (a + b)a + (a + b)b = a + ab + ab + b = a + ab + b Pemangkatan bentuk aljabar dengan bentuk a b. (a b) = (a b)(a b) = a ab + b Segitiga Pascal dan seterusnya Penggunaannya adalah sebagai berikut. Perpangkatan bentuk aljabar (a + b) n. (a + b) 0 = (gunakan baris pola bilangan Pascal) (a + b) = a + b (gunakan baris pola bilangan Pascal) 6

8 (a + b) = a + ab + b (gunakan baris 3 pola bilangan Pascal) (a + b) 3 = a 3 + 3a b + 3ab + b 3 (gunakan baris 4 pola bilangan Pascal) Pemangkatan bentuk aljabar (a b) n juga mengikuti pola segitiga Pascal. edanya, tanda koefisiennya selalu berganti dari (+) untuk suku ganjil dan ( ) untuk suku genap. (a b) 0 = (a b) = a b (a b) = a ab + b (a b) 3 = a 3 3a b + 3ab b 3. FP N KPK ENTUK LJR Tentukan KPK dan FP dari a 3 b c dan 6a c 3. a 3 b c = 3 a 3 b c 6a c 3 = 3 a c 3 KPK = 3 a 3 b c 3 = a 3 b c 3 FP Faktor-faktor yang sama: dengan, 3 dengan 3, a 3 dengan a, c dengan c 3. Selanjutnya diambil faktor-faktor yang berderajat terkecil, kemudian dikalikan sehingga diperoleh: FP = 3 a c = 6a c. PEHN ENTUK LJR entuk aljabar juga dapat berupa pecahan. a 3 b, x y + z, 5x + x, dan sebagainya. xy + xz Operasi pada pecahan bentuk aljabar.. Penjumlahan dan Pengurangan a a a a 3a + = + = a a b a - b - = - = b a ab ab ab. Perkalian dan Pembagian Perkalian pecahan bentuk aljabar: a c ac = b d bd Pembagian pecahan bentuk aljabar: a c a d ad : = = b d b c bc 3y x 3xy = z z z p p qr pqr : = = s qr s s 3. Pemangkatan Pemangkatan pecahan bentuk aljabar adalah perkalian pecahan bentuk aljabar tersebut dengan dirinya sendiri sebanyak n kali. y y y y = = 3z 3z 3z 9z 7

9 E. PEMFKTORN. entuk distributif ax + ay = a(x + y) ax ay = a(x y) dengan a bisa koefisien atau variabel. 5x + 0y = 5(x + y), a berbentuk koefisien. xy xz = x(y z), x berbentuk variabel.. Selisih kuadrat a b = (a + b)(a b) x 9 = (x + 3)(x 3) 3. Kuadrat sempurna a + ab + b = (a + b) a ab + b = (a b) x + 6x + 9 = (x + 3) x 6x + 9 = (x 3) 4. entuk: x + bx + c = (x + p)(x + q), dengan p + q = b dan pq = c x + 3x + = (x + )(x + ) Ubah 3x menjadi penjumlahan dua suku, misalnya x + x. x + 3x + = x + x + x + = (x + x) + (x + ) = x(x + ) + (x + ) (sifat distributif) = (x + )(x + ) F. PENYEERHNN PEHN ENTUK LJR = = = a, ab a b a b a a b a b : ab dilakukan operasi pembagian x 4x 3 4x 8x 4x( x ) = = + x, dilakukan operasi pemfaktoran dan pembagian = = x -, (x -) (x -) x 3x (x )(x ) dilakukan operasi pemfaktoran dan pembagian. 5. Pemfaktoran ax + bx + c dengan a x + 3x + bila difaktorkan menjadi (x + )(x + ). ara pemfaktorannya sebagai berikut. 8

10 3 Persamaan dan Pertidaksamaan Satu Variabel. PERSMN LINER STU VRIEL (PLSV) Persamaan linear adalah suatu persamaan yang variabel/peubahnya berpangkat (berderajat) paling tinggi (satu). Persamaan linear satu variabel artinya suatu persamaan yang variabel/ peubahnya berpangkat (berderajat) paling tinggi (satu) dan hanya mempunyai satu variabel. entuk Umum Persamaan Linear Satu Variabel ax + b = c engan: a 0 dengan x disebut variabel/peubah, semua suku di sebelah kiri tanda = disebut ruas kiri, semua suku di sebelah kanan tanda = disebut ruas kanan.. Operasi Persamaan Linear Satu Variabel Kedua ruas dalam satu persamaan dapat ditambah ( +), dikurang ( ), dikali ( ), dibagi (:) dengan bilangan yang sama. Setiap perpindahan ruas dari ruas kiri ke ruas kanan atau sebaliknya selalu diikuti dengan perubahan tanda bilangan (dari positif (+) menjadi negatif ( ) dan sebaliknya). Untuk mencari penyelesaian dari PLSV dapat dilakukan dengan cara berikut.. Menambah atau mengurangi kedua ruas persamaan dengan bilangan yang sama. x = 4 x + = 4 + (kedua ruas ditambah ) x = 6. Mengalikan atau membagi kedua ruas persamaan dengan bilangan yang sama. 3x = 9 3x : 3 = 9 : 3 (kedua ruas dibagi 3) x = 3 3. Gabungan dari operasi dan. 3x 3 = 7 + x 3x = 7 + x + 3 (kedua ruas ditambah 3) 3x = 0 + x 3x x = 0 + x x (kedua ruas dikurangi x) x = 0 x : = 0 : (kedua ruas dibagi ) x = 5 Jadi, x = 5 adalah penyelesaian dari 3x 3 = 7 + x. 9

11 . PERTIKSMN LINER STU VRIEL (PtLSV) Pertidaksamaan linear satu variabel artinya suatu pertidaksamaan yang variabel/pe-ubahnya berpangkat (berderajat) paling tinggi (satu) dan hanya mempunyai satu variabel. x + 3 > 4; x 3x - Untuk mencari penyelesaian dari pertidak-samaan linear satu variabel (PtSLV) dapat dilakukan dengan cara:. menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama;. mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama dengan catatan jika dikalikan atau dibagi bilangan negatif, tanda pertidaksamaannya dibalik. x 3x + 4 x - 3x 3x - 3x + 4 (kedua ruas dikurangi 3x) -x 4 - x (kedua ruas dikali, akibatnya tanda pertidaksamaannya - dibalik) x - Jadi, x - adalah penyelesaian dari x 3x ritmetika Sosial. HRG PEMELIN, HRG PENJULN, UNTUNG, N RUGI. Harga pembelian yaitu harga yang didapatkan oleh seorang pedagang ketika membeli barang-barang dagangan.. Harga penjualan yaitu harga yang ditentukan oleh seorang pedagang ketika menjual barang-barang dagangan ke pembeli. 3. Untung (Laba) terjadi jika harga penjualan lebih besar (lebih tinggi) daripada pembelian. 4. Rugi terjadi jika harga penjualan lebih kecil (lebih rendah) daripada harga pembelian. UNTUNG Syarat: harga penjualan > harga pembelian Untung = harga penjualan harga pembelian untung % untung = 00% harga pembelian RUGI Syarat: harga penjualan < harga pembelian Rugi = harga pembelian harga penjualan rugi % rugi = 00% harga pembelian 0

12 HRG PENJULN N HRG PEMELIN Jika untung: Harga penjualan = harga pembelian + untung Harga pembelian = harga penjualan untung Jika rugi: Harga penjualan = harga pembelian rugi Harga pembelian = harga penjualan + rugi. RT (ISKON), RUTO, TR, N NETTO Rabat atau diskon adalah potongan harga. iskon = harga semula harga yang dibayar diskon % diskon = 00% harga semula ruto adalah berat kotor barang. Netto adalah berat bersih barang. Tara adalah berat kemasan. ruto = netto + tara Netto = bruto tara Tara = bruto netto tara %Tara = 00% bruto alam sebuah peti kemasan mangga terdapat keterangan: ruto = 00 kg dan tara = 5 %. iperoleh: ruto = 00 kg Tara = 5%. 00 kg = 5 kg Netto = ruto - tara = 00-5 = 95 kg. UNG TUNGN (UNG NK) Misalnya: esarnya uang yang ditabung adalah M, esar bunga yang diberi bank adalah p%, Lama menabung adalah t tahun. iperoleh: unga selama tahun = p% M unga selama t tahun = ( p% M) t unga selama n bulan = n p% M Jumlah tabungan seluruhnya = M + bunga Perhitungan suku bunga dalam persen bunga dalam setahun Suku bunga = 00% M Seorang nasabah menabung pada sebuah bank sebesar Rp ,00 dengan suku bunga % per tahun. esarnya tabungan setelah 6 bulan adalah. 6 unga = % Rp ,00 = 6% Rp ,00 = Rp90.000,00 Tabungan setelah 6 bulan = tabungan awal + bunga = Rp ,00 + Rp90.000,00 = Rp ,00

13 5 Perbandingan. SKL ukuran pada gambar (peta) Skala = ukuran sebenarnya Skala : n artinya cm pada peta mewakili n cm pada ukuran sebenarnya Skala : artinya cm mewakili cm atau km jarak sebenarnya.. PERNINGN SENILI N ERLIK NILI. Perbandingan Senilai a a a b b b = naik = naik turun turun anyak liter M dan jarak yang ditempuh.. Perbandingan erbalik Nilai a dan b dikatakan berbanding berbalik nilai jika saat nilai a naik maka nilai b turun, begitu juga sebaliknya jika a turun maka nilai b naik. anyak pekerja proyek dan lama waktu mengerjakan proyek.. Sebuah lapangan sepak bola berbentuk persegi panjang berukuran panjang 00 m dan lebar 80 m. Jika dibuat model dengan skala : 500 maka luas lapangan bola pada model adalah. Panjang sebenarnya = 00 m = cm Lebar sebenarnya = 80 m = cm pgambar gambar Skala = = psebenarnya sebenarnya pmodel = skala psebenarnya = cm = 0 cm 500 model = skala sebenarnya = cm = 6 cm 500 Ukuran pada model adalah panjang = 0 cm dan lebar = 6 cm. Luas = panjang lebar = 0 cm 6 cm = 30 cm.. Untuk menjahit 5 karung beras diperlukan benang sepanjang 5 m, maka untuk menjahit 0 karung beras diperlukan benang sepanjang. Misalkan panjang benang yang diperlukan untuk menjahit 0 karung beras adalah. Maka: 5 5 = 0 5 = = = 600

14 6 Himpunan Himpunan adalah kumpulan benda-benda atau objek yang mempunyai ciri yang sama. Nama himpunan ditulis dengan nama huruf kapital dan anggotanya ditulis di antara kurung kurawal ({ }).. NGGOT HIMPUNN nggota himpunan dilambangkan dengan dan jika bukan anggota dilambangkan dengan. anyaknya anggota himpunan dinotasikan dengan n().. Himpunan bilangan bulat, ditulis: = {bilangan bulat} = {,,, 0,,, }. Himpunan bilangan ganjil kurang dari 0, ditulis: = {bilangan ganjil kurang dari 0} atau = {, 3, 5, 7, 9}, maka, 3, 5, 7, 9 sedangkan, 4. anyaknya anggota himpunan adalah n() = 5.. MENYTKN SUTU HIMPUNN adalah himpunan bilangan genap kurang dari 5. itulis:. Menuliskan sifat anggotanya. = {bilangan genap kurang dari 5}. Memberikan notasi pembentuk himpunan. = {x x < 5, x bilangan genap} ibaca: Himpunan beranggotakan x, dengan x kurang dari 5 dan x anggota himpunan bilangan genap. 3. Menyatakan semua anggotanya. = {, 4, 6, 8, 0,, 4}. MM-MM HIMPUNN. Himpunan Kosong Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Himpunan kosong dilambangkan dengan { } atau. K himpunan nama hari yang diawali huruf z. Karena tidak ada nama hari yang diawali huruf z maka K = { }.. Himpunan Terhingga Himpunan terhingga adalah himpunan yang banyak anggotanya terhingga atau terbatas. L himpunan bilangan asli kurang dari 5. itulis: L = {,, 3, 4} 3. Himpunan Tak Terhingga Himpunan tak terhingga adalah himpunan yang banyak anggotanya tak terhingga atau tak terbatas. Himpunan bilangan asli. itulis: = {,, 3, 4, } 3

15 4. Himpunan Semesta Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua anggota himpunan (objek) yang sedang dibicarakan. Notasi S. M = {apel, mangga, pisang, stroberi, anggur} Himpunan semesta yang mungkin dari himpunan di atas adalah: S = {nama buah}. 5. Himpunan agian Himpunan bagian adalah himpunan yang merupakan anggota dari himpunan keseluruhan. Himpunan bagian dilambangkan dengan. Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan. Setiap himpunan merupakan himpunan bagian dari himpunan itu sendiri. iketahui himpunan dengan banyak anggota n() maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari himpunan itu adalah n() iketahui himpunan = {, 3, 5} anyak himpunan bagian yang mungkin dari himpunan adalah n() = 3 = 8 Himpunan bagian dari adalah,, {}, {3}, {5}, {, 3}, {, 5}, {3, 5}.. IGRM VENN iagram Venn adalah diagram yang digunakan untuk menyatakan beberapa himpunan atau hubungan antarhimpunan. uatlah diagram Venn dari himpunan-himpunan berikut! = {,, 3, 4, 5}; = {, 3, 5, 7} S = {bilangan asli kurang dari 8} ari soal, diperoleh S = {,, 3, 4, 5, 6, 7} S E. HUUNGN NTRHIMPUNN. Himpunan Ekuivalen Himpunan ekuivalen dengan himpunan jika n() = n(). = {,, 3, 4}; = {5, 6, 7, 8} Karena n() = n() maka himpunan ekuivalen dengan himpunan.. Himpunan Sama Himpunan dikatakan sama dengan himpunan jika anggota himpunan sama dengan anggota himpunan atau sebaliknya. Jika himpunan sama dengan maka dapat ditulis =. = {a, d, i} dan = {i, d, a} =. 7 4

16 G. IRISN N GUNGN U HIMPUNN Irisan dua himpunan dan adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota himpunan sekaligus. = {x x dan x } Gabungan dua himpunan dan adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota himpunan saja atau anggota saja. = {x x atau x } Irisan dan gabungan dua himpunan dalam diagram Venn. S S iketahui: = {bilangan genap kurang dari } dan = {faktor dari 0}. Tentukan irisan dan gabungan himpunan dan! ari soal diketahui: = {, 4, 6, 8, 0} dan = {,, 5, 0} S S = {, 0} dan = {,, 4, 5, 6, 8, 0} 5 H. SIFT-SIFT OPERSI HIMPUNN. Komutatif. sosiatif 3. istributif = = ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) 4. alil e Morgan ( ) ( ) c c c = c c c =. alam suatu kelas terdapat 40 anak, 4 anak gemar menari, anak gemar menyanyi, dan 0 anak gemar keduanya. anyaknya anak yang tidak gemar keduanya adalah. Misalkan: S = {anak yang ada di kelas}à n(s) = 40 = {anak yang gemar menari}à n() = 4 = {anak yang gemar menyanyi} à n() = = {anak yang gemar menari dan menyanyi} à n( ) = 0 5

17 = {anak yang gemar menari atau menyanyi} ( ) c = {anak yang tidak gemar menari atau menyanyi} engan menggunakan rumus diperoleh: n( ) = n() + n() - n( ) = = 35 n(s) = n( ) + n( ) c 40 = 35 + n( ) c n( ) c = 5 Jadi, banyaknya anak yang tidak gemar menari atau menyanyi adalah 5 anak. alam diagram Venn dapat digambarkan S. Garis 7 Sudut dan Garis Garis adalah deretan/kumpulan titik-titik yang banyaknya tak terhingga, yang saling bersebelah-an dan memanjang ke dua arah.. ua Garis erpotongan Garis g dan berpotongan di titik P. g 4 0. iketahui himpunan berikut. = {b, u, n, d, a} = {i, b, u, n, d, a} = {lima bilangan asli yang pertama} = {bilangan cacah kurang dari 6} = {b, u, n, d, a} à n() = 5 = {i, b, u, n, d, a} à n() = 6 = {lima bilangan asli yang pertama} = {,, 3, 4, 5 } à n() = 5 = {bilangan cacah kurang dari 6} = { 0,,, 3, 4, 5 } à n() = 6 Karena n() = n() = 5 dan n() = n() = 6, maka pasangan himpunan yang ekuivalen adalah dengan dan dengan. 5 P. ua Garis Sejajar Garis g dan tidak berpotongan. g l 3. ua Garis erimpit Garis g dan mempunyai lebih dari satu titik potong. g l. Sudut Sudut adalah daerah yang dibatasi oleh dua buah penggalan garis lurus yang bertemu pada satu titik pangkal. l 6

18 Unsur dan nama sudut Keterangan: O = titik pangkal sudut O, O = kaki sudut O = sudut O. Jenis Sudut erdasarkan esar Sudut Jenis sudut Sudut lancip Sudut siku-siku O O Gambar Keterangan Sudut yang besarnya antara 0 o dan 90 o. Sudut yang besarnya 90 o.. Hubungan ntarsudut ua sudut berpelurus (bersuplemen) α + β = 80 o β α O Sudut dan berpelurus dan jumlahnya 80 o. ua sudut berpenyiku (berkomplemen) β α O Sudut dan berpenyiku dan jumlahnya 90 o. α + β = 90 o Perhatikan gambar di bawah. esar adalah... Sudut tumpul Sudut yang besarnya lebih dari 90 o. Sudut lurus O O Sudut yang besarnya 80 o. 7x o 5x o + = 80 7x + 5x = 80 x = 80 x = 5 esar adalah 7. 5 = 05. 7

19 ua sudut bertolak belakang ua sudut dan besarnya sama yaitu = O erdasarkan gambar di atas diperoleh: O bertolak belakang dengan O, sehingga O = O. O bertolak belakang dengan O, sehingga O = O. Sudut-sudut yang terbentuk oleh dua garis sejajar dipotong sebuah garis l ua sudut sehadap mempunyai besar sudut yang sama. dengan dengan 3 dengan 3 4 dengan 4 = = 3 = 3 4 = 4 g h ua sudut dalam berseberangan mempunyai besar sudut yang sama. 4 dengan 3 dengan, 4 = 3 = ua sudut luar berseberangan mempunyai besar sudut yang sama. dengan 3 dengan 4 = 3 = 4 ua sudut dalam sepihak jumlah sudutnya adalah 80 o. 4 dengan 3 dengan + = 3 + = 80 o 4 80 o ua sudut luar sepihak besar jumlah sudut-nya adalah 80 o. dengan 3 dengan 4 + = + 4 = 80 o 3 80 o Perhatikan gambar di bawah ini! l Jika besar g 3 4 = 05 o maka besar sudut 4 adalah. h 3 4 Sudut dan 4 merupakan sudut luar berseberangan, maka 4 = = 05 o 8

20 8 Relasi dan Fungsi. RELSI Relasi dari himpunan ke himpunan adalah pemasangan anggota himpunan dengan anggota himpunan. Menyatakan Relasi. iagram panah iketahui = {,, 3} dan = {, 3, 6}. Maka relasi yaitu faktor dari dari himpunan ke himpunan dapat dinyatakan dengan diagram panah sebagai berikut: 3. Himpunan pasangan berurutan iketahui = {,, 3} dan = {, 3, 6}. Relasi faktor dari dari himpunan ke himpunan dapat dinyatakan dalam himpunan pasangan berurutan sebagai berikut. {(, ), (, 3), (, 6), (, 6), (3, 3), (3, 6)}. FUNGSI (PEMETN). Pengertian Fungsi (Pemetaan) Fungsi (pemetaan) dari ke adalah suatu relasi yang lebih khusus yang menghubungkan setiap anggota dengan tepat satu anggota Pada contoh, setiap anggota di dipasangkan dengan tepat satu anggota di.. iagram artesius iketahui = {,, 3} dan = {, 3, 6}. Relasi faktor dari dari himpunan ke himpunan dapat dinyatakan dalam diagram artesius disamping omain, Kodomain, dan Range domain adalah daerah asal atau daerah definisi fungsi itu, kodomain adalah daerah kawan, range atau daerah hasil adalah himpunan bagian dari daerah kawan atau kodomain. 9

21 omain: = {,, 3} - Kodomain: = {, 4, 8, 9} - Range: {, 4, 9} 3. anyak Fungsi (Pemetaan) iketahui banyak anggota himpunan adalah n() dan banyak anggota himpunan adalah n(), maka: anyak fungsi dari ke = n() n() anyak fungsi dari ke = n() n() iketahui = {,, 3} dan = {,,, }, maka n() = 3 dan n() = 4. a. anyak fungsi yang mungkin dari ke = n() n() = 4 3 = 64. b. anyak fungsi yang mungkin dari ke = n() n() = 3 4 = Notasi dan Rumus Fungsi Linear a. Notasi fungsi linear Fungsi linear dinotasikan dengan f : x ax + b x variabel. Keterangan: f = nama fungsi x = anggota daerah asal ax + b = bayangan dari x b. Rumus fungsi linear f(x) = ax + b x variabel dan f(x) nilai fungsi. f(x) = x + Nilai fungsi untuk x = adalah f() = ( ) + = 3 c. Grafik fungsi linear iketahui fungsi f(x) = x +. Gambarkan fungsi linear tersebut ke dalam bentuk grafik! iambil nilai x = 0 dan x =. Untuk x = 0 à y = 0 + =. Maka, diperoleh koordinat (0, ) Untuk x = à y = + = 3. Maka, diperoleh koordinat (, 3) y (0, ) (, 3) iketahui pemetaan f : x à 3x. Jika daerah asalnya {,, 0,, } maka daerah hasilnya adalah. x 0

22 iketahui pemetaan f : x à 3x, dengan daerah asal {,, 0,, }. Maka diperoleh: f : à (3 ( )) = + 6 = 8 f : à (3 ( )) = + 3 = 5 f : 0 à (3 0) = 0 = f : à (3 ) = 3 = f : à (3 ) = 6 = 4 aerah hasilnya adalah { 4,,, 5, 8}.. KORESPONENSI STU-STU. Pengertian Korespondensi Satu-satu Himpunan dikatakan berkorespondensi satu-satu dengan himpunan jika setiap anggota dipasangkan dengan tepat satu anggota dan setiap anggota dipasangkan dengan tepat satu anggota. engan demikian, pada korespondensi satu-satu dari himpunan ke himpunan, banyak anggota himpunan dan himpunan harus sama.. anyak Korespondensi Satu-satu iketahui n() = n() = n. Maka banyaknya korespondensi satu-satu yang mungkin antara himpunan dan adalah 3... (n - ) n iketahui himpunan = {,, 3} dan = {a, b, c}. anyaknya korespondensi satusatu yang mungkin untuk himpunan dan adalah 3 = 6. 9 Persamaan Garis Lurus entuk umum persamaan garis lurus: y = mx + c Keterangan: m = gradien c = konstanta Persamaan garis dapat dinyatakan dalam berbagai bentuk dan variabel. y = 3x + dan a = b +. GRIEN Gradien (m) adalah nilai yang menyatakan kemiringan suatu garis.. Garis melalui dua titik (x, y ) dan (x, y ) (x, y ) y O (x, y ) y - y y - y m = = x - x x - x x

23 . Gradien dua garis sejajar Garis g sejajar dengan garis h. Jika gradien garis h adalah m h, maka gradien garis g adalah m = m 3. Gradien dua garis tegak lurus m m g h = - atau g. RUMUS PERSMN GRIS g h - m = m. Persamaan garis yang melaui titik (x, y ) dan bergradien m. y O (x, y ) gradien m x h ( ) y - y = m x - x. Persamaan garis yang melaui titik (x, y ) dan (x, y ). (x, y ) y O (x, y ) x y - y y - y = x - x x - x. Gradien garis yang tegak lurus dengan garis h : 3x 6y + 4 = 0 adalah. 3x - 6y + 4 = 0-6y = -3x - 4 y = x + 3 Gradien garis h adalah m h = ½. Misalkan garis yang ditanyakan adalah garis g, maka gradien garis g adalah mg = - = - = -. m h. Persamaan garis yang melalui titik (, 3) dan sejajar dengan garis 3x + 5y = 5 adalah. 3x + 5y = 5 y = 3 - x Gradien garis tersebut adalah m = -. 5 Karena garis yang dicari sejajar dengan garis 3x + 3 5y = 5, maka gradiennya juga m = -. 5 Karena melalui titik (, 3), maka persamaan garisnya adalah ( ) y - y = m x - x 3 y - 3 = - ( x - ) y - 3 = - x y - 5 = - 3x + 6 3x + 5y =

24 0 Sistem Persamaan Linear ua Variabel Persamaan linear dua variabel adalah suatu persamaan yang variabelnya berpangkat (berderajat) paling tinggi (satu) dan mempunyai dua variabel. 3x + y =3 Sistem persamaan linear dengan dua variabel adalah suatu sistem persamaan yang terdiri atas dua persamaan linear di mana masing-masing persamaan mempunyai dua variabel dan sistem tersebut mempunyai tepat satu penyelesaian. entuk Umum Sistem Persamaan Linear ua Variabel a x + b y = c a x + b y = c dengan x dan y adalah variabel. Menentukan Penyelesaian Sistem Persamaan Linear ua Variabel arilah penyelesaian dari persamaan: y = x x + y = 8 Untuk menentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel tersebut dapat dilakukan dengan metode berikut.. Substitusi Substitusikan persamaan y = x ke dalam persamaan x + y = 8, diperoleh: x + y = 8 x + x = 8 4x = 8 x = Substitusikan x = ke persamaan y = x, diperoleh: x = à y = x = = 4 Jadi, penyelesaiannya adalah x = dan y = 4.. Eliminasi Untuk menentukan nilai y maka x dieliminasi dengan cara: x + y = 3 x + y = 6 x y = 0 x y = 0 3y = 6 y = Untuk menentukan nilai x maka y dieliminasi dengan cara: x + y = 3 x y = 0 + 3x = 3 x = Jadi, penyelesaiannya adalah x = dan y =. 3

25 3. Grafik Menentukan titik potong garis x y = dengan sumbu x dan y. Jika x = 0 maka y =. Jika y = 0 maka x =. Jadi, persamaan garis x y = melalui titik (0, ) dan (, 0). Menentukan titik potong garis x + y = 4 dengan sumbu x dan y. Jika x = 0 maka y =. Jika y = 0 maka x = 4. Jadi persamaan garis x + y = 4 melalui (0, ) dan (4, 0). Gambar grafiknya: y (0, ) (, ) (0, 0) (0, ) (4, 0) x y = erdasarkan gambar grafik tersebut, titik potong garis x y = dan x + y = 4 adalah titik (, ). Jadi penyelesaiannya adalah x = dan y =. x Harga kg salak dan 3 kg jeruk adalah Rp3.000,00, sedangkan harga 3 kg salak dan kg jeruk adalah Rp33.000,00. Harga kg salak dan 5 kg jeruk adalah... Harga kg salak dan 3 kg jeruk adalah Rp3.000,00, sedangkan harga 3 kg salak dan kg jeruk adalah Rp33.000,00. ari permasalahan di atas, dapat diperoleh sistem persamaan linear berikut. Misalkan: harga kg salak dilambangkan s; harga kg jeruk dilambangkan j. iperoleh: s + 3j = s + 9j = s + j = s + 4j = j = j = ila harga kg jeruk adalah Rp6.000,00 maka: s + 3. Rp6.000,00 = Rp3.000,00 s + Rp8.000,00 = Rp3.000,00 s = Rp4.000,00 s = Rp7.000,00 Harga kg salak dan 5 kg jeruk adalah = Rp7.000, Rp6.000,00 = Rp37.000,00. 4

26 Segitiga dan Teorema Pythagoras Segitiga adalah bangun yang dibatasi oleh tiga ruas garis dan mempunyai tiga titik sudut. Perhatikan gambar berikut! b Keterangan: Gambar di atas merupakan segitiga yang dibatasi oleh ruas garis = c, = a, = b dan mempunyai tiga titik sudut, yaitu sudut ( ), sudut ( ), dan sudut ( ). Lambang sebuah segitiga biasanya dinotasikan dengan. Jadi, segitiga dapat ditulis dengan. Jumlah sudut-sudut suatu segitiga adalah 80 o. Jadi, o + + = 80.. JENIS-JENIS SEGITIG. Jenis Segitiga itinjau dari Panjang Sisisisinya Panjang =. Segitiga sama kaki c a =. Mempunyai satu simetri lipat yaitu, tetapi tidak mempunyai simetri putar. Segitiga sama sisi Segitiga sembarang F E Panjang = =. = = = 60 o. Mempunyai tiga simetri lipat yaitu E, F, dan, serta mempunyai tiga simetri putar. Panjang... Jenis Segitiga itinjau dari esar Sudutnya a. Segitiga siku-siku, segitiga yang besar salah satu sudutnya 90 o. b. Segitiga lancip, segitiga yang besar tiaptiap sudutnya kurang dari 90 o. c. Segitiga tumpul, segitiga yang besar salah satu sudutnya lebih dari 90 o.. MM-MM GRIS P SEGITIG Garis E, F, dan merupakan garis tinggi segitiga. Titik tinggi di samping adalah titik O. Garis E, F, dan merupakan garis bagi segitiga. Titik bagi di samping adalah titik O. F F E E 5

27 t Garis E, F, dan merupakan garis berat segitiga. Titik berat di samping adalah titik O. Garis TE, TF, dan T merupakan garis sumbu segitiga. Titik sumbu di samping adalah titik T.. KELILING N LUS SEGITIG Perhatikan gambar di bawah ini! a a t Keliling segitiga : K = + + Luas segitiga : L = alas tinggi = a t L = s( s - a)( s - b)( s - c), dengan s = (a + b + c). a F F t T E E t = tinggi a = alas. TEOREM PYTHGORS Teorema Pythagoras: Pada segitiga siku-siku, berlaku kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi penyikunya. Perhatikan gambar berikut! Teorema Pythagoras untuk segitiga dirumuskan dengan: = + ( ) ( ) ( ). Tripel Pythagoras Tripel Pythagoras adalah tiga pasang bilangan yang memenuhi teorema Pythagoras. Misalkan untuk segitiga siku-siku di atas, tripel Pythagorasnya adalah Tripel tersebut berlaku juga untuk kelipatannya. Misalnya: 6, 8, 0 merupakan kelipatan dari 3, 4, 5. Maka 6, 8, 0 juga merupakan tripel Pythagoras. Jenis Segitiga erdasarkan Ukuran Sisisisinya a = b + c segitiga siku-siku. a < b + c segitiga lancip. a > b + c segitiga tumpul. 6

28 . Sebuah segitiga panjang alasnya adalah 6 cm dan tingginya 0 cm. Luas segitiga itu adalah cm. iketahui: alas = 6 cm, tinggi = 0 cm Luas segitiga: L = alas tinggi = 6 0 = 30 cm. Sebuah segitiga siku-siku di. Jika = cm, dan = 6 cm maka panjang adalah. 6 cm iketahui segitiga sikusiku di, dengan panjang = cm dan = 6 cm. cm engan menggunakan teorema Pythagoras diperoleh panjang, yaitu: ( ) = ( ) + ( ) = + 6 = = 400 = 400 = 0 cm 3. Pada segitiga diketahui panjang sisi-sisi a : b : c = 5 : 7 : 8. Jika keliling segitiga 00 cm maka panjang sisi adalah cm. Misalkan: a = 5x, b = 7x, c = 8x a + b + c = 00 5x + 7x + 8x = 00 0x = 00 x = 0 cm Panjang = b = 7x = 7.0 cm = 70 cm. angun atar. PERSEGI Persegi adalah bangun datar yang dibatasi oleh 4 buah sisi O yang panjangnya sama. Keterangan: Mempunyai 4 buah sisi yang sama panjang: = = =. Mempunyai pasang sisi yang saling sejajar: sejajar dan sejajar. Mempunyai 4 buah sudut siku-siku (besarnya 90 o ) = 90 o Mempunyai 4 sumbu simetri lipat dan 4 simetri putar. Mempunyai garis diagonal yang saling berpotongan tegak lurus yang sama panjangnya. = dan. Mempunyai 8 cara untuk dipasangkan menempati bingkainya. Keliling dan Luas Persegi Misalkan = = = = sisi = s Keliling persegi = 4s Luas persegi = s. PERSEGI PNJNG Persegi panjang adalah bangun datar yang dibatasi oleh 4 buah sisi dengan sisi-sisi yang berha- 7

29 dapan sama panjang dan sejajar, serta sisi-sisi yang bersebelahan saling tegak lurus. O Keterangan: Mempunyai 4 buah sisi dengan sisi-sisi yang berhadapan sama panjang: = dan =. Mempunyai pasang sisi yang saling sejajar: sejajar dan sejajar. Mempunyai 4 buah sudut siku-siku (besarnya 90 o ) = 90 o. Mempunyai buah sumbu simetri lipat dan buah simetri putar. Mempunyai garis diagonal yang saling berpotongan yang panjangnya sama: =. Mempunyai 4 cara untuk dipasangkan menempati bingkainya. Keliling dan Luas Persegi Panjang = = panjang = p dan = = lebar = Keliling = (panjang + lebar) p + Luas = ( ) = panjang lebar = p. JJRGENJNG Jajargenjang adalah bangun datar yang dibatasi oleh 4 buah sisi, dengan sisi-sisi yang saling berhadapan sama panjang dan sejajar. Sisi yang saling bersebelahan tidak saling tegak lurus. Keterangan: Mempunyai 4 buah sisi dengan sisi-sisi yang berhadapan sama panjang: = dan =. Mempunyai pasang sisi yang saling sejajar: sejajar dan sejajar. Mempunyai 4 buah sudut dengan susut-sudut yang berhadapan sama besar: = dan =. Jumlah dua sudut yang berdekatan adalah 80 o. + = + = + = + = 80 o. Mempunyai buah simetri putar tetapi tidak mempunyai simetri lipat. Mempunyai garis diagonal yang saling berpotongan di titik O yang panjangnya tidak sama. iagonal-diagonal tersebut saling membagi sama panjang. O = O dan O = O. Mempunyai cara untuk dipasangkan menempati bingkainya. Keliling dan Luas Jajargenjang = = panjang = p dan = = lebar =. t Keliling = (panjang + lebar) + Luas = ( ) = panjang tinggi = t 8

30 . ELH KETUPT O elah ketupat adalah bangun datar yang dibatasi oleh 4 buah sisi yang panjangnya sama, sisi-sisi yang saling berhadapan saling sejajar, dan sisi-sisinya tidak saling tegak lurus. Keterangan: Mempunyai 4 buah sisi yang sama panjang: = = =. Mempunyai dua pasang sisi yang saling sejajar: sejajar dan sejajar. Mempunyai 4 buah sudut dengan susut-sudut yang berhadapan sama besar: = dan =. Jumlah dua sudut yang berdekatan adalah 80 o. + = + = + = + = 80 o. Mempunyai sumbu simetri lipat dan simetri putar. Mempunyai garis diagonal yang saling berpotongan tegak lurus ( ), tetapi panjangnya berbeda. iagonal-diagonal tersebut saling membagi sama panjang. O = O dan O = O. Mempunyai empat cara untuk dipasangkan menempati bingkainya. Keliling dan Luas elah Ketupat Misalkan = = = = s Keliling = = 4s E. LYNG-LYNG Layang-layang adalah bangun datar segi empat yang dibentuk oleh dua segitiga sama kaki dengan alas yang sama panjang dan berimpit. d d Keterangan: Mempunyai dua pasang sisi yang sama panjang: = dan =. ibentuk oleh buah segitiga sama kaki, yaitu: segitiga dan segitiga. Mempunyai 4 buah sudut yang sepasang sudutnya sama besar ( = ) dan sepasang lainnya tidak. Mempunyai buah sumbu simetri lipat, yaitu. Mempunyai garis diagonal yang saling berpotongan tegak lurus ( ), tetapi panjangnya berbeda. iagonal membagi diagonal sama panjang (O = O). Mempunyai cara untuk dipasangkan menempati bingkainya. Keliling dan Luas Layang-layang = = sisi pendek; = = sisi panjang Keliling = ( + ) Luas = d d Luas = d d engan: d = diagonal = d = diagonal = engan: d = diagonal = d = diagonal = 9

31 F. TRPESIUM Trapesium adalah segi empat dengan sepasang sisi yang berhadapan sejajar. Jenis-jenis Trapesium a. Trapesium siku-siku b. Trapesium sama kaki c. Trapesium sembarang Keliling dan Luas Trapesium Keliling = Luas = ( ) t + t dan merupakan dua sisi sejajar.. Jika luas luas jajargenjang 96 cm maka E : F t F adalah. E cm Luas jajargenjang = E (i) Luas jajargenjang = F (ii) 8 cm engan menggunakan (i) diperoleh: Luas jajargenjang = E 96 = E 96 E = = 8 cm engan menggunakan (ii) diperoleh: Luas jajargenjang = F 96 = 9 F 96 3 F = = cm 9 3 E 8 3 = = F iketahui belah ketupat dengan panjang diagonalnya masing-masing adalah = 4 cm dan = 8 cm. Keliling belah ketupat tersebut adalah. Salah satu sifat belah ketupat adalah keempat sisinya sama panjang. Maka: = = =. = O + O 4 cm 9 cm O = + 9 = = 5 = 5 cm 8 cm Keliling belah ketupat = = 5 cm + 5 cm + 5 cm + 5 cm = 60 cm. 30

32 3 Kesebangunan dan Kekongruenan angun atar. KESENGUNN NGUN TR. ua angun atar yang Sebangun Syarat: a. Panjang sisi-sisi yang bersesuaian pada bangun-bangun tersebut memiliki perbandingan yang senilai. b. Sudut-sudut yang bersesuaian pada bangun-bangun tersebut sama besar. S R 3 cm 6 cm 6 cm cm P Q Perhatikan bangun persegi panjang dan bangun persegi panjang PQRS. Ukuran persegi panjang dan persegi panjang PQRS. Perbandingan panjang kedua bangun di atas adalah: 6 = = PQ Perbandingan lebar kedua bangun di atas adalah: 3 = = PS 6 esar sudut-sudut pada persegi panjang dan persegi panjang PQRS. Kedua bangun tersebut merupakan bangun persegi panjang, sehingga setiap sudutnya merupakan sudut siku-siku. iperoleh: = P; = R; = Q; = S engan demikian, karena kedua syarat dipernuhi, maka persegi panjang sebangun dengan persegi panjang PQRS.. ua Segitiga yang Sebangun Syarat: a. Panjang sisi-sisi yang bersesuaian memiliki perbandingan yang sama. Syarat ini disingkat s.s.s (sisi-sisi-sisi). b. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Syarat ini disingkat sd.sd.sd (sudut-sudutsudut). c. ua sisi yang bersesuaian memiliki perbandingan yang sama dan sudut bersesuaian yang diapit sama besar. Syarat ini disingkat s.sd.s (sisi-sudut-sisi). Kesebangunan dinotasikan dengan ~. a. b. c. 3

33 Rumus: E E E = =. Perhatikan gambar di bawah. = 4 cm dan = 3 cm. Panjang adalah... Pembahasan: Perhatikan gambar berikut. = 4 cm dan = 3 cm. = 3 = 4 9 = 4 =,5 Panjang adalah + = 4 cm +,5 cm = 6,5 cm.. iketahui panjang = cm, = 6 cm, dan = 9 cm. Tentukan panjang E. E E = E = E = 8 E = 6 cm Jadi, panjang E adalah 6 cm.. KEKONGRUENN NGUN TR ua benda atau lebih yang memiliki bentuk dan ukuran yang sama disebut kongruen. Kekongruenan dinotasikan dengan lambang.. ua angun atar yang Kongruen ua bangun atau lebih dikatakan kongruen jika bangun-bangun tersebut memiliki bentuk dan ukuran yang sama serta sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. 75 o 65 o Q R 05 o x Tentukan besar sudut R. Perhatikan bangun trapesium dengan bangun trapesium PQRS. S P 3

34 gar dapat menentukan besar sudut R, terlebih dahulu kita buktikan bangun trapesium kongruen dengan bangun trapesium PQRS. ukti: erdasarkan gambar diperoleh keterangan bahwa panjang: = PQ = PS = QR = RS Panjang sisi-sisi pada bangun trapesium ternyata sama panjang atau bersesuaian dengan panjang sisi-sisi bangun trapesium PQRS. Jadi, terbukti jika bangun trapesium kongruen dengan bangun trapesium PQRS, atau: Trapesium trapesium PQRS. erdasarkan sifat-sifat kekongruenan yang berlaku maka: = Q = 75 = P = 65 = S = 05 = R Pada trapesium berlaku jumlah besar keempat sudutnya adalah 360. engan demikian, = 360 ( ) = = 5 Jadi, besar sudut adalah 5.. ua Segitiga yang Kongruen ila dua buah segitiga kongruen maka dua segitiga tersebut dapat saling menutupi secara tepat. ua buah segitiga dikatakan kongruen bila memenuhi syarat-syarat berikut. a. Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang, disingkat s.s.s (sisi-sisi-sisi). b. ua sisi yang bersesuaian sama panjang dan satu sudut yang diapit oleh kedua sisi tersebut sama besar, disingkat s.sd.s (sisisudut-sisi). c. ua sudut yang bersesuaian sama besar dan satu sisi yang bersesuaian sama panjang, disingkat sd.s.sd (sudut-sisi-sudut). Perhatikan gambar di bawah. Jika dan PQR kongruen, panjang sisi PR adalah... R 0 cm Q P 6 cm 7 cm iketahui dan PQR kongruen. = R = Q engan demikian, = P Sehingga: = PR = 0 cm = QR = 6 cm = PQ = 7 cm Panjang sisi PR adalah 0 cm 33

35 4 Lingkaran dan Garis Singgung Lingkaran. UNSUR-UNSUR LINGKRN Juring O r d E potema Tembereng Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik tetap yang dise-but titik pusat lingkaran. Unsur-unsur pada lingkaran adalah sebagai berikut. Titik O disebut pusat lingkaran Garis O = O = O disebut jari-jari lingkaran dan dilambangkan dengan r. Garis disebut diameter dan dilambangkan dengan d. Garis lurus disebut tali busur. Garis lengkung dan disebut busur dan dilambangkan dengan dan. Garis OE disebut apotema. aerah yang dibatasi oleh dua jari-jari dan satu busur disebut juring. Misalnya: O. aerah yang dibatasi oleh sebuah tali busur dan busur disebut tembereng. Pada gambar, tembereng adalah daerah yang diarsir.. KELILING N LUS LINGKRN Keliling lingkaran: K = pr = pd Luas lingkaran: L = pr = pd 4 Keterangan: p = atau p = 3,4. 7 Pada gambar di bawah ini, panjang diameter lingkaran besar adalah 8 cm. Keliling lingkaran yang diarsir adalah. Jawaban: 4 cm 4 cm 8 cm iameter lingkaran besar: d = 8 cm. iameter lingkaran kecil: d = 4 cm. Keliling daerah yang diarsir = K besar kecil + K = p d p d = = = 88 cm 34

36 . PNJNG USUR N LUS JURING O Panjang busur = keliling lingkaran o 360 O Luas juring O = luas lingkaran o 360 Luas tembereng = L.juring O L. O Hubungan antara sudut pusat, panjang busur, dan luas juring. O panjang busur luas juring O = = o 360 keliling lingkaran luas lingkaran O X Y O, X, dan Y menghadap busur yang sama, yaitu busur. Jadi = X = Y adalah diameter lingkaran. Jika besar = 0 o maka besar O adalah. Hubungan antara sudut pusat, panjang busur, dan luas juring. O panjang busur luas juring O = = O panjang busur luas juring O. SUUT PUST N SUUT KELILING esar sudut pusat adalah dua kali besar sudut keliling yang menghadap busur yang sama. Pada gambar, O adalah sudut pusat dengan sudut kelilingnya salah satunya adalah O. Hubungan sudut pusat dan sudut keliling dapat dituliskan: O = esar dua sudut keliling yang menghadap busur yang sama adalah sama. O dan menghadap busur yang sama, yaitu, di mana O sudut pusat dan sudut keliling. Maka: o o O = = 0 = 40. O dan O saling berpelurus, maka: O + O = 80 o 40 + O = 80 O = 40 o o o E. SEGI EMPT TLI USUR N SUUT N- TR U TLI USUR Segi empat tali busur adalah segi empat yang dibatasi oleh empat tali busur di mana keempat titik sudutnya terletak pada lingkaran. 35

37 Pada segi empat tali busur, jumlah dua sudut yang berhadapan adalah 80 o.. Garis Singgung Persekutuan Luar ua Lingkaran O F r r r r O O o + = 80 o + = 80 Pada gambar di atas, dan diperpanjang sehingga berpotongan di titik E, maka: E = E = ( O - O) F. GRIS SINGGUNG LINGKRN Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran di satu titik dan tegak lurus dengan jari-jari yang melalui titik singgungnya.. Garis Singgung Persekutuan alam ua Lingkaran r r + r O disebut garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran O dan P dan panjangnya: r O ( ) = OP - r + r disebut garis singgung persekutuan luar dua lingkaran O dan P dan panjangnya: ( ) = OP - r - r G. LINGKRN LM N LINGKRN LUR SEGITIG. Lingkaran alam Segitiga b F r d c Misalkan panjang jari-jari dari lingkaran dalam segitiga adalah r d, = c, = a, = b Luas rd = s engan: Luas = s( s -a)( s -b)( s -c) s = a + b + c ( ) r d O E a 36

38 . Lingkaran Luar Segitiga Misalkan panjang jari-jari dari lingkaran dalam segitiga adalah r L, maka b r L r L O c r L a Luas daerah yang diarsir adalah.... (p = 3,4). r L cm a b c = 4 Luas 6 cm Panjang sisi miring segitiga di dalam lingkaran: 6 + = = 400 = 0 Untuk mencari jari-jari lingkaran luar segitiga dapat digunakan cara berikut. abc 6..0 R = = = 0 4L Jadi, jari-jari lingkaran luar segitiga adalah 0 cm. Luas segitiga = 6 = 96cm Luas lingkaran = 3,4 0 0 = 34 cm. Luas daerah yang diarsir = = 8 cm. 5 angun Ruang. KUUS Kubus adalah suatu bangun ruang yang dibatasi oleh enam buah bidang sisi yang kongruen berbentuk persegi. Keterangan: Mempunyai 8 buah titik sudut, yaitu:,,,, E, F, G, dan H. Mempunyai 6 buah sisi yang kongruen berbentuk persegi, yaitu:, FE, GF, HG, HE, dan EFGH. Mempunyai buah rusuk yang sama panjang, yaitu:,,,, F, G, E, H, EF, FG, GH, dan HE. Mempunyai buah diagonal sisi (bidang) yang sama panjang, yaitu:,, G, F, H, G, H, E, EG, dan FH. Mempunyai 4 buah diagonal ruang, yaitu: H, F, E, dan G. Luas dan Volume Kubus Pada kubus dengan rusuk s, maka: Luas permukaan: L = 6s Volume: V = s 3 Rumus-rumus pada kubus: Jumlah panjang rusuknya = s Panjang diagonal sisi = s Panjang diagonal ruang = s 3 E H F G 37

39 . LOK E H p alok adalah suatu bangun ruang yang dibatasi oleh 6 buah persegi panjang yang terdiri dari 3 pasang persegi panjang yang kongruen. Keterangan: Mempunyai 8 buah titik sudut, yaitu:,,,, E, F, G, dan H. Mempunyai 6 buah sisi yang berbentuk persegi panjang yang terdiri dari 3 pasang persegi panjang yang kongruen, yaitu: dan EFGH, FE dan HG, serta GF dan HE. Mempunyai buah rusuk yang dikelompokkan menjadi 3 kelompok rusuk-rusuk yang sama dan sejajar, yaitu: = = EF = GH = panjang = p, = = FG = EH = lebar =, E = F = G = H = tinggi = t. Mempunyai buah diagonal sisi (bidang), yaitu:,, G, F, H, G, H, E, EG, dan FH. Mempunyai 4 buah diagonal ruang yang sama panjang, yaitu: H, F, E, dan G. Luas dan Volume alok Luas permukaan: L = ((p )+(p t)+( t)) Volume: V = p t Jumlah panjang rusuknya = 4 (p + + t) Panjang diagonal sisi depan = p + t Panjang diagonal sisi samping = + t Panjang diagonal sisi alas = p + Panjang diagonal ruang = p + + t F l G t. PRISM Prisma adalah bangun ruang yang dibatasi oleh buah bidang berbentuk segi banyak sejajar serta dibatasi oleh sisi-sisi tegak yang berbentuk segi empat. Macam-macam prisma.. Prisma segitiga (gambar ).. Prisma segi empat (gambar ). 3. Prisma segi-n (gambar 3 prisma segi-5). F E E H J G F E () () (3) Luas dan Volume Prisma Luas permukaan: L = ( L.alas) + L. sisi tegak Volume: V = luas alas tinggi. LIMS Limas adalah bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah alas berbentuk segi-n dan sisi sam-ping berupa segitiga yang bertemu di satu titik. t T F E I G H 38

40 Luas dan Volume Limas Luas permukaan: L = L.alas + L.sisi miring Volume: V = ( luas alas tinggi) 3 F. KERUUT T s t Kerucut adalah bangun ruang berbentuk limas dengan alasnya berbentuk lingkaran. E. TUNG r t d Tabung adalah bangun ruang berbentuk prisma tegak beraturan yang alas dan tutupnya berupa lingkaran. Keterangan: Mempunyai 3 buah bidang sisi, yaitu bidang alas, bidang tutup, dan sisi tegak. idang alas dan bidang tutup berbentuk lingkaran. Sisi tegak berupa bidang lengkung dan disebut selimut tabung. Mempunyai buah rusuk. Tinggi tabung adalah jarak antara titik pusat lingkaran alas dengan titik pusat lingkaran tutup. Jari-jari lingkaran alas dan tutup besarnya sama. Luas dan Volume Tabung Luas permukaan: Luas =.luas alas + luas selimut = pr + prt =pr(r + t) Volume: V = luas alas tinggi = pr t O r Keterangan: Mempunyai buah bidang sisi, yaitu bidang alas dan bidang lengkung yang disebut selimut kerucut. Mempunyai sebuah rusuk dan sebuah titik sudut Tinggi kerucut adalah jarak antara puncak kerucut dengan titik pusat lingkaran alas. Luas dan Volume Kerucut iketahui Luas permukaan: Luas Volume: G. OL s = r + t, maka: = luas alas + luas selimut = pr + prs =pr(r + s) 3 3 V = luas alas tinggi = pr t ola adalah bangun ruang r yang dibatasi oleh sebuah bidang sisi yang berbentuk lengkung. Keterangan: Mempunyai sebuah bidang sisi lengkung. Tidak mempunyai rusuk dan tidak mempunyai titik sudut. Jari-jari bola adalah r. 39

41 Luas dan Volume ola Luas permukaan: 4 Volume: V = r 3 p L = 4pr 3. iketahui sebuah prisma tegak yang alasnya berbentuk belah ketupat dengan panjang diagonal 4 cm dan 0 cm. Jika luas permukaan prisma.00 cm, volume prisma tersebut adalah... cm 3. Luas alas prisma = luas tutup prisma yaitu: 4 0 = 0 cm Panjang sisi belah ketupat = = + 5 = = 69 = 3 cm Misalkan tinggi prisma dilambangkan t. engan demikian: t = t =.00 5t = 780 t = 5 Volume prisma tersebut = 0. 5 =.800 cm 3.. Sebuah aquarium berbentuk tabung tanpa tutup dengan panjang jari-jari alas 4 cm dan tinggi 00 cm. Jika aquarium terbuat dari kaca, luas kaca yang diperlukan untuk membuat aquarium adalah... iketahui aquarium terbuat dari kaca. Luas kaca yang diperlukan untuk membuat aquarium adalah luas selimut + luas alas tabung. iperoleh: = prt + pr = = = 9.46 Jadi, luas kaca yang diperlukan 9.46 cm. 3. Kawat sepanjang 0 m akan dibuat model kerangka balok yang berukuran 5 cm 4 cm 3 cm. anyak model kerangka balok yang dapat dibuat adalah. Panjang kawat yang dibutuhkan untuk membentuk satu balok = 5 cm (4) + 4 cm (4) + 3 cm (4) = 0 cm + 6 cm + cm = 48 cm = 0,48 m = 0,5 m Sedangkan kawat yang tersedia sepanjang 0m. Jadi dari kawat tersebut dapat dibentuk model balok sebanyak: = 0 0 0,5 40

42 6. Statistika Statistika dan Peluang Statistik adalah pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara pengumpulan data, pengolahan data, penyajian data, dan penarikan kesimpulan berdasarkan kumpulan data yang dilakukan. ata adalah suatu informasi yang diperoleh dari pengamatan atau penelitian. Macam-macam data.. ata kuantitatif adalah data berupa angka. data nilai matematika siswa SMP.. ata kualitatif adalah data yang berhubungan dengan kategori yang berupa kata-kata (bukan angka). data tentang warna favorit.. Penyajian ata ata dapat disajikan dengan: a. Tabel Frekuensi b. iagram atang c. iagram Garis d. iagram Lingkaran e. Piktogram. i bawah ini adalah nilai ulangan matematika dari 30 siswa SMP Tabel Frekuensi Nilai Matematika Siswa SMP Nilai Turus Frekuensi II IIII II 7 IIII I 6 IIII 5 IIII I 6 IIII 4 Jumlah 30. Misalnya, data berat badan 40 siswa sebagai berikut. Tabel berat badan 40 siswa No. erat adan anyak Siswa. 8 kg 5. 9 kg kg kg kg 4 Jumlah 40 entuk penyajian data dengan diagram batangnya seperti berikut. 4

43 iagram atang anyak Siswa iagram Garis anyak Siswa erat adan (kg) erat adan (kg) iagram Lingkaran Perhatikan tabel frekuensi yang menyatakan hobi dari 40 siswa SMP berikut. Tabel Frekuensi Hobi 40 Siswa SMP Hobi Frekuensi Olahraga 5 Menyanyi 0 Menari 5 elajar 0 Jumlah o o Menyanyi = 360 = o o elajar = 360 = o o Menari = 360 = o o Olahraga = 360 = menari belajar 5 0 olahraga menyanyi Piktogram Piktogram adalah diagram yang disajikan dalam bentuk gambar atau lambang. Nilai Frekuensi Jumlah = mewakili 0 orang b. Ukuran Pemusatan data ) Mean ( x ) atau rata-rata jumlah nilai data Rata - rata = banyaknya data Tabel di bawah ini menyatakan nilai ulangan matematika. Nilai Jumlah Siswa 5 3 4

44 anyak siswa yang mendapat nilai kurang dari nilai rata-rata adalah... Rata-rata nilainya adalah: ( 5 3) + ( 6 8) + ( 7 ) + ( 8 0) + ( 9 7) = = = 7,5 40 anyak siswa yang mendapat nilai kurang dari nilai rata-rata atau < 7,5 adalah = 3 orang. ) Modus (Mo) Modus (Mo) adalah data yang paling sering muncul atau data yang memiliki frekuensi terbesar. 3) Median dan Kuartil a) Median (Me) adalah nilai tengah dari kumpulan data yang telah diurutkan. ata ganjil: Me = x n+ x ata genap: Me = n + x n + iberikan data sebagai berikut., 4, 4, 5, 9, 8, 7, 4, 6, 3 ata setelah diurutkan:, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9 iketahui n = 0. Karena n = 0 genap, maka: x0 + x0 + x5 + x Me = = = = 4,5 b) Kuartil (Q) adalah aturan membagi data menjadi 4 bagian. Q = kuartil pertama (bawah) Q = kuartil kedua (median) Q 3 = kuartil ketiga (atas) Q Q Q Q = Me = = 6,5 c. Ukuran Penyebaran ata Jangkauan data (range) Range = data terbesar data terkecil Jangkauan kuartil (hamparan) H = Q 3 Q 43