OPTIMASI FUNGSI TANPA KENDALA DENGAN ALGORITMA GENETIKA

Transkripsi

1 OPTIMASI FUNGSI TANPA KENDALA DENGAN ALGORITMA GENETIKA SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika Disusun Oleh: Yolenta Asri Astuti Prany NIM : 0400 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 007

2

3

4

5

6 ABSTRAK Secara umum, permasalahan optimasi dalam kehidupan sehari hari lebih sering menggunakan pemrograman linear, karena lebih mudah untuk diselesaikan dari pada dengan menggunakan pemrograman tak linear. Karena pemrograman tak linear selalu menimbulkan kesulitan dalam penanganan analitik dan numerik (teknik konvensional, bahkan untuk fungsi dua variabel pun terkadang sulit untuk diselesaikan. Algoritma Genetika merupakan salah satu teknik yang dapat dipilih untuk menyelesaikan permasalahan pemrograman tak linear tersebut, karena Algoritma Genetika merupakan teknik pencarian stokastik dengan sistem pencarian berdasarkan mekanisme genetika dalam biologi. Pada skripsi ini, generasi baru (anak terbentuk dari rekombinasi dan mutasi dengan menggunakan metode pemotongan satu titik. Pemilihan anak pada proses rekombinasi atau mutasi dilakukan secara acak. Dari percobaan, solusi optimal akan lebih mendekati dengan nilai konvensionalnya pada probabilitas rekombinasi 0.5 dengan probabilitas mutasi Namun, probabilitas tersebut tidak mutlak, karena Algoritma Genetika menggunakan teknik pencarian secara acak. vi

7 ABSTRACT Generally, the optimization problems in daily life is more regular using the linear programming, because it is easier to solved than nonlinear programming. Because nonlinear programming are difficultly in analytic handling and numeric (conventional technique, even for two variables function it is difficult to be solved, sometimes. Genetic Algorithm are one of technique that could be chosen to solved it, because Genetic Algorithm are stochastic search techniques based on the mechanism of genetic on biology. On this mini thesis, a new generation (offspring formed of crossover or mutation with one cut point method. Selection of new generation by crossover and mutation conducted at random. According to the eperiments, it is visible to get the optimal solution close to a value by conventional with crossover probabilities 0.5 and mutation probabilities But, that is not absolute, because the searching technique of Genetic Algorithm are randomly. vii

8 KATA PENGANTAR Puji syukur kepada Bapa di Surga dan Bunda Maria yang memberikan kasih-nya dan melimpahkan karunia-nya sehingga penulisan skripsi ini dapat diselesaikan. Skripsi ini disusun dalam rangka menyelesaikan pendidikan tingkat Sarjana Strata Satu Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta. Penulis dalam menyusun skripsi ini dari awal sampai akhir mendapatkan dukungan dan bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis menyampaikan ucapan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:. Bapak Ig. Aris Dwiatmoko, M.Si selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.. Bapak Drs. HJ Haris Sriwindono, M.Kom selaku Dosen Pembimbing I dan Bapak Y.G Hartono, S.Si selaku Dosen Pembimbing II yang dengan sabar telah banyak membimbing dan memberikan petunjuk dalam penyusunan skripsi ini.. Bapak dan Ibu dosen yang telah memberikan ilmu dan pengetahuan selama masa perkuliahan. 4. Staff fakultas MIPA terima kasih atas dorongan dan pelayanan yang telah diberikan. 5. Bapak dan Mama yang telah memberikan kasih, dorongan semangat, serta doa yang melimpah selama kehidupanku di dunia ini. viii

9 6. Abang dan adikku (Yacobus dan Ade (Nenek Lampir terima kasih untuk kata-kata yang membuatku semakin termotivasi. 7. Keluarga besarku yang tersebar di berbagai kota. Terima kasih atas doa dan bantuan yang telah kalian berikan. 8. T Agusta Dwi Handaru yang telah menambah warna dalam kehidupanku. Terima kasih atas kesabaran dan cinta mu. 9. Sahabat-sahabatku nan jauh di sana: Yulia, Maria, dan Uthe terima kasih buat persahabatan, perhatian dan dukungannya. 0. Teman-teman angkatan 00: Ngq, Debby, Lia, Ika, Sari, Aan, Tato, Bani, Lili, Taim, Ijup, Markus, Feli, Vida (Ipid, Retno, Priska, Galih, Aning, Desy, Rita, Wuri, Deon, Cheea, Nunung, Dani, Palma, dan Asih. Esp. Debby, Lia, dan Ijup yang selalu menemaniku ketika masa-masa ngantukku dengan chating bersama.. Teman-teman kostku (Wisma Lestari esp. Lia, Kawat (thanks atas printernya, M`Nchis, dan M`Mitha yang menjadi setan serta malaikat ketika skripsi ini dibuat. Thanks untuk hari-hari ceria yang telah kita lewati bersama.. Teman seperjuanganku dalam menyusun skripsi (Ipid Manyiiit, terima kasih atas bantuan dan perhatiannya.. Teman-teman kost (tumpangan ku, Ipid (namamu paling banyak terucap, Endra, Primtul, M`Lina, Ine, Maria, Lili. Terima kasih atas tumpangannya, tanpa kalian entah bagaimana nasibku. i

10 4. Teman-teman KKN ku, yang berlomba-lomba untuk menyelesaikan skripsi. Serta warga Caben. Terima kasih untuk dorongan dan semangat yang telah kalian berikan. 5. Teman-teman PW Terima kasih untuk dorongan dan semangat yang telah kalian berikan. 6. Teman-Teman Pondok Baca Kota Baru, tempatku menghilangkan kepenatan belajar. Teruslah berusaha mengembangkan Pondok Baca, upah kalian besar di Surga. 7. Semua pihak yang telah turut membantu hingga skripsi ini selesai yang tidak dapat disebutkan satu persatu. Penulis menyadari masih ada kekurangan, kekeliruan, dan masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu, penulis mengharapkan saran dan kritik yang bersifat membangun demi kemajuan yang akan datang. Semoga penulisan skripsi ini dapat memberikan manfaat bagi pembaca. Yogyakarta, Juli 007 Penulis

11 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING... HALAMAN PENGESAHAN... HALAMAN PERSEMBAHAN... PERNYATAAN KEASLIAN KARYA... ABSTRAK... ABSTRACT... KATA PENGANTAR... DAFTAR ISI... DAFTAR TABEL... DAFTAR GAMBAR i ii iii iv v vi vii viii i iv i BAB I PENDAHULUAN... A. Latar Belakang.... B. Perumusan Masalah... 4 C. Pembatasan Masalah... 4 D. Tujuan Penulisan... 4 E. Metode Penulisan... 5 F. Manfaat Penulisan... 5 G. Sistematika Penulisan... 5 i

12 BAB II OPTIMASI FUNGSI TANPA KENDALA... 7 A. Optimasi Fungsi Satu Variabel Tanpa Kendala Dengan Kalkulus... 7 B. Optimasi Fungsi Beberapa Variabel Tanpa Kendala Dengan Kalkulus... BAB III ALGORITMA GENETIKA A. Latar Belakang Biologi B. Struktur Umum Algoritma Genetika... 5 C. Komponen-komponen Utama Algoritma Genetika Teknik Penyandian Prosedur Inisialisasi Fungsi Evaluasi (fitness function Seleksi Seleksi Roda Rolet Seleksi Rangking Seleksi Turnamen Operator Genetika Rekombinasi (crossover Mutasi Penentuan Parameter ii

13 BAB IV ALGORITMA GENETIKA UNTUK OPTIMASI FUNGSI TANPA KENDALA BAB V PENUTUP... A. Kesimpulan... B. Saran... DAFTAR PUSTAKA... 4 LAMPIRAN... 6 iii

14 DAFTAR TABEL Tabel.. Tabel Istilah dalam Algoritma Genetika... 5 Tabel... Pemetaan nilai biner ke nilai real Tabel.4.. Contoh populasi dengan 5 kromosom yang diberi fitness baru... 6 Tabel 4. Tabel nilai maksimum fungsi f (, = dengan probabilitas rekombinasi 0. dan probabilitas mutasi 0.0 hingga Tabel 4. Tabel nilai maksimum fungsi ( f, = dengan probabilitas rekombinasi 0.5 dan probabilitas mutasi 0.0 hingga Tabel 4. Tabel nilai maksimum fungsi ( f, = dengan probabilitas rekombinasi 0. dan probabilitas mutasi 0.0 hingga Tabel 4.4 Tabel nilai maksimum fungsi ( f, = dengan probabilitas rekombinasi 0.5 dan probabilitas mutasi 0.0 hingga f, = Tabel 4.5 Tabel nilai maksimum fungsi ( dengan probabilitas rekombinasi 0.4 dan probabilitas mutasi 0.0 hingga iv

15 Tabel 4.6 Tabel nilai maksimum fungsi ( f, = dengan probabilitas rekombinasi 0.45 dan probabilitas mutasi 0.0 hingga Tabel 4.7 Tabel nilai maksimum fungsi ( f, = dengan probabilitas rekombinasi 0.5 dan probabilitas mutasi 0.0 hingga Tabel 4.8 Tabel nilai maksimum fungsi ( f, = dengan probabilitas rekombinasi dan probabilitas mutasi Tabel 4.9 Tabel nilai maksimum fungsi (, = 9 f dengan probabilitas rekombinasi 0. dan probabilitas mutasi 0.0 hingga Tabel 4.0 Tabel nilai maksimum fungsi (, = 9 f dengan probabilitas rekombinasi 0.5 dan probabilitas mutasi 0.0 hingga Tabel 4. Tabel nilai maksimum fungsi (, = 9 f dengan probabilitas rekombinasi 0. dan probabilitas mutasi 0.0 hingga Tabel 4. Tabel nilai maksimum fungsi (, = 9 f dengan probabilitas rekombinasi 0.5 dan probabilitas mutasi 0.0 hingga v

16 Tabel 4. Tabel nilai maksimum fungsi (, = 9 f dengan probabilitas rekombinasi 0.4 dan probabilitas mutasi 0.0 hingga Tabel 4.4 Tabel nilai maksimum fungsi (, = 9 f dengan probabilitas rekombinasi 0.45 dan probabilitas mutasi 0.0 hingga Tabel 4.5 Tabel nilai maksimum fungsi (, = 9 f dengan probabilitas rekombinasi 0.5 dan probabilitas mutasi 0.0 hingga Tabel 4.6 Tabel nilai minimum fungsi (, = 9 f dengan probabilitas rekombinasi 0. dan probabilitas mutasi 0.0 hingga Tabel 4.7 Tabel nilai minimum fungsi (, = 9 f dengan probabilitas rekombinasi 0.5 dan probabilitas mutasi 0.0 hingga 0. 9 Tabel 4.8 Tabel nilai minimum fungsi (, = 9 f dengan probabilitas rekombinasi 0. dan probabilitas mutasi 0.0 hingga Tabel 4.9 Tabel nilai minimum fungsi (, = 9 f dengan probabilitas rekombinasi 0.5 dan probabilitas mutasi 0.0 hingga 0. 9 vi

17 Tabel 4.0 Tabel nilai minimum fungsi (, = 9 f dengan probabilitas rekombinasi 0.4 dan probabilitas mutasi 0.0 hingga Tabel 4. Tabel nilai minimum fungsi (, = 9 f dengan probabilitas rekombinasi 0.45 dan probabilitas mutasi 0.0 hingga Tabel 4. Tabel nilai minimum fungsi (, = 9 f dengan probabilitas rekombinasi 0.5 dan probabilitas mutasi 0.0 hingga Tabel 4. Tabel nilai maksimum fungsi (, = 9 f dengan probabilitas rekombinasi dan probabilitas mutasi Tabel 4.4 Tabel nilai minimum fungsi (, = 9 f dengan probabilitas rekombinasi dan probabilitas mutasi ( Tabel 4.5 Tabel nilai maksimum fungsi ( f = e dengan probabilitas rekombinasi 0. dan probabilitas mutasi 0.0 hingga ( Tabel 4.6 Tabel nilai maksimum fungsi ( f = e dengan probabilitas rekombinasi 0.5 dan probabilitas mutasi 0.0 hingga vii

18 ( Tabel 4.7 Tabel nilai maksimum fungsi ( f = e dengan probabilitas rekombinasi 0. dan probabilitas mutasi 0.0 hingga ( Tabel 4.8 Tabel nilai maksimum fungsi ( f = e dengan probabilitas rekombinasi 0.5 dan probabilitas mutasi 0.0 hingga ( Tabel 4.9 Tabel nilai maksimum fungsi ( f = e dengan probabilitas rekombinasi 0.4 dan probabilitas mutasi 0.0 hingga ( Tabel 4.0 Tabel nilai maksimum fungsi ( f = e dengan probabilitas rekombinasi 0.45 dan probabilitas mutasi 0.0 hingga ( Tabel 4. Tabel nilai maksimum fungsi ( f = e dengan probabilitas rekombinasi 0.5 dan probabilitas mutasi 0.0 hingga ( Tabel 4. Tabel nilai maksimum fungsi ( f = e dengan probabilitas mutasi 0.0 dan probabilitas rekombinasi 0. hingga ( Tabel 4. Tabel nilai maksimum fungsi ( f = e dengan probabilitas mutasi 0.0 dan probabilitas rekombinasi 0. hingga viii

19 ( Tabel 4.4 Tabel nilai maksimum fungsi ( f = e dengan probabilitas mutasi 0.0 dan probabilitas rekombinasi 0. hingga ( Tabel 4.5 Tabel nilai maksimum fungsi ( f = e dengan probabilitas mutasi 0.04 dan probabilitas rekombinasi 0. hingga ( Tabel 4.6 Tabel nilai maksimum fungsi ( f = e dengan probabilitas mutasi 0.05 dan probabilitas rekombinasi 0. hingga ( Tabel 4.7 Tabel nilai maksimum fungsi ( f = e dengan probabilitas mutasi 0.06 dan probabilitas rekombinasi 0. hingga ( Tabel 4.8 Tabel nilai maksimum fungsi ( f = e dengan probabilitas mutasi 0.07 dan probabilitas rekombinasi 0. hingga ( Tabel 4.9 Tabel nilai maksimum fungsi ( f = e dengan probabilitas mutasi 0.08 dan probabilitas rekombinasi 0. hingga ( Tabel 4.40 Tabel nilai maksimum fungsi ( f = e dengan probabilitas mutasi 0.09 dan probabilitas rekombinasi 0. hingga i

20 ( Tabel 4.4 Tabel nilai maksimum fungsi ( f = e dengan probabilitas mutasi 0. dan probabilitas rekombinasi 0. hingga

21 DAFTAR GAMBAR Gambar.. Grafik f ( =... 8 Gambar.. titik batas dari I atau f ( = Gambar.. Grafik fungsi f ( = Gambar..4 Grafik fungsi pada selang tertutup [a, b].... Gambar..5 Fungsi kontinu pada selang tertutup [a, b]... 4 Gambar..6 Grafik fungsi f ( = Gambar.. Grafik fungsi f (, y = y y... Gambar.. Grafik fungsi f, = ( Gambar... Ilustrasi Algoritma Genetika Gambar... Representasi string bit Gambar... Representasi panjang kromosom Gambar.4.. Contoh penggunaan metode seleksi roda roulette Gambar.5.. Rekombinasi satu titik... 6 f, = Gambar 4. Grafik fungsi ( Gambar 4. Grafik terjadinya nilai maksimum (, f = dengan probabilitas rekombinasi 0. dan probabilitas mutasi 0.0 hingga i

22 Gambar 4. Grafik terjadinya nilai maksimum (, f = dengan probabilitas rekombinasi 0.5 dan probabilitas mutasi 0.0 hingga Gambar 4.4 Grafik terjadinya nilai maksimum (, f = dengan probabilitas rekombinasi 0. dan probabilitas mutasi 0.0 hingga Gambar 4.5 Grafik terjadinya nilai maksimum (, f = dengan probabilitas rekombinasi 0.5 dan probabilitas mutasi 0.0 hingga Gambar 4.6 Grafik terjadinya nilai maksimum (, f = dengan probabilitas rekombinasi 0.4 dan probabilitas mutasi 0.0 hingga Gambar 4.7 Grafik terjadinya nilai maksimum (, f = dengan probabilitas rekombinasi 0.45 dan probabilitas mutasi 0.0 hingga Gambar 4.8 Grafik terjadinya nilai maksimum (, f = dengan probabilitas rekombinasi 0.5 dan probabilitas mutasi 0.0 hingga Gambar 4.9 Grafik terjadinya nilai maksimum (, f = dengan probabilitas rekombinasi dan probabilitas mutasi ii

23 Gambar 4.0 Grafik fungsi (, = 9 f Gambar 4. Grafik terjadinya nilai maksimum fungsi (, = 9 f dengan probabilitas rekombinasi 0. dan probabilitas mutasi 0.0 hingga Gambar 4. Grafik terjadinya nilai maksimum (, = 9 f dengan probabilitas rekombinasi 0.5 dan probabilitas mutasi 0.0 hingga Gambar 4. Grafik terjadinya nilai maksimum (, = 9 f dengan probabilitas rekombinasi 0. dan probabilitas mutasi 0.0 hingga Gambar 4.4 Grafik terjadinya nilai maksimum (, = 9 f dengan probabilitas rekombinasi 0.5 dan probabilitas mutasi 0.0 hingga Gambar 4.5 Grafik terjadinya nilai maksimum (, = 9 f dengan probabilitas rekombinasi 0.4 dan probabilitas mutasi 0.0 hingga Gambar 4.6 Grafik terjadinya nilai maksimum (, = 9 f dengan probabilitas rekombinasi 0.45 dan probabilitas mutasi 0.0 hingga iii

24 Gambar 4.7 Grafik terjadinya nilai maksimum (, = 9 f dengan probabilitas rekombinasi 0.5 dan probabilitas mutasi 0.0 hingga Gambar 4.8 Grafik terjadinya nilai minimum fungsi (, = 9 f dengan probabilitas rekombinasi 0. dan probabilitas mutasi 0.0 hingga Gambar 4.9 Grafik terjadinya nilai minimum (, = 9 f dengan probabilitas rekombinasi 0.5 dan probabilitas mutasi 0.0 hingga 0. 9 Gambar 4.0 Grafik terjadinya nilai minimum (, = 9 f dengan probabilitas rekombinasi 0. dan probabilitas mutasi 0.0 hingga Gambar 4. Grafik terjadinya nilai minimum (, = 9 f dengan probabilitas rekombinasi 0.5 dan probabilitas mutasi 0.0 hingga 0. 9 Gambar 4. Grafik terjadinya nilai minimum (, = 9 f dengan probabilitas rekombinasi 0.4 dan probabilitas mutasi 0.0 hingga Gambar 4. Grafik terjadinya nilai minimum (, = 9 f dengan probabilitas rekombinasi 0.45 dan probabilitas mutasi 0.0 hingga iv

25 Gambar 4.4 Grafik terjadinya nilai minimum (, = 9 f dengan probabilitas rekombinasi 0.5 dan probabilitas mutasi 0.0 hingga Gambar 4.5 Grafik terjadinya nilai maksimum (, = 9 f dengan probabilitas rekombinasi dan probabilitas mutasi Gambar 4.6 Grafik terjadinya nilai minimum (, = 9 f dengan probabilitas rekombinasi dan probabilitas mutasi ( Gambar 4.7 grafik fungsi ( f, = e ( Gambar 4.8 Grafik nilai maksimum fungsi ( f = e dengan probabilitas rekombinasi 0. dan probabilitas mutasi 0.0 hingga ( Gambar 4.9 Grafik nilai maksimum fungsi ( f = e dengan probabilitas rekombinasi 0.5 dan probabilitas mutasi 0.0 hingga ( Gambar 4.0 Grafik nilai maksimum fungsi ( f = e dengan probabilitas rekombinasi 0. dan probabilitas mutasi 0.0 hingga v

26 ( Gambar 4. Grafik nilai maksimum fungsi ( f = e dengan probabilitas rekombinasi 0.5 dan probabilitas mutasi 0.0 hingga ( Gambar 4. Grafik nilai maksimum fungsi ( f = e dengan probabilitas rekombinasi 0.4 dan probabilitas mutasi 0.0 hingga ( Gambar 4. Grafik nilai maksimum fungsi ( f = e dengan probabilitas rekombinasi 0.45 dan probabilitas mutasi 0.0 hingga ( Gambar 4.4 Grafik nilai maksimum fungsi ( f = e dengan probabilitas rekombinasi 0.5 dan probabilitas mutasi 0.0 hingga ( Gambar 4.5 Grafik nilai maksimum fungsi ( f = e dengan probabilitas mutasi 0.0 dan probabilitas rekombinasi 0. hingga ( Gambar 4.6 Grafik nilai maksimum fungsi ( f = e dengan probabilitas mutasi 0.0 dan probabilitas rekombinasi 0. hingga ( Gambar 4.7 Grafik nilai maksimum fungsi ( f = e dengan probabilitas mutasi 0.0 dan probabilitas rekombinasi 0. hingga vi

27 ( Gambar 4.8 Grafik nilai maksimum fungsi ( f = e dengan probabilitas mutasi 0.04 dan probabilitas rekombinasi 0. hingga ( Gambar 4.9 Grafik nilai maksimum fungsi ( f = e dengan probabilitas mutasi 0.05 dan probabilitas rekombinasi 0. hingga ( Gambar 4.40 Grafik nilai maksimum fungsi ( f = e dengan probabilitas mutasi 0.06 dan probabilitas rekombinasi 0. hingga ( Gambar 4.4 Grafik nilai maksimum fungsi ( f = e dengan probabilitas mutasi 0.07 dan probabilitas rekombinasi 0. hingga ( Gambar 4.4 Grafik nilai maksimum fungsi ( f = e dengan probabilitas mutasi 0.08 dan probabilitas rekombinasi 0. hingga ( Gambar 4.4 Grafik nilai maksimum fungsi ( f = e dengan probabilitas mutasi 0.09 dan probabilitas rekombinasi 0. hingga ( Gambar 4.44 Grafik nilai maksimum fungsi ( f = e dengan probabilitas mutasi 0. dan probabilitas rekombinasi 0. hingga vii

28 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Teori optimasi secara klasik dibangun dengan menggunakan kalkulus diferensial untuk menentukan nilai minimum atau maksimum (optimum dari fungsi dengan kendala atau tanpa kendala. Untuk fungsi tanpa kendala, f( harus memenuhi setiap yang memenuhi pembataspembatas: 0 dimana f( adalah fungsi yang bernilai real dari R n. Jika ada beberapa atau semua fungsi dari f( adalah tidak linear maka masalah tersebut dikatakan pemrograman tak linear. Secara matematis, suatu titik dikatakan pembuat maksimum apabila yang memenuhi f ( f (, terdapat suatu titik = (,,...,, n atau pembuat minimum apabila f ( f (. Secara umum, optimasi pemrograman tak linear selalu menimbulkan kesulitan dalam penangan analitis dan numerik, dan lebih sulit dari pemrograman linear. Walaupun dalam kasus dimana semua kendala adalah linear dan hanya fungsi tujuannya yang tak linear, tetap saja sulit untuk diselesaikan. Oleh sebab itu diperlukan teknik lain yang dapat menyelesaikan masalah optimasi dalam pemrograman tak linear. Algoritma Genetika tergolong dalam algoritma yang bersifat heuristik, sehingga dapat memberikan banyak kemungkinan penyelesaian dan memberikan pertimbangan untuk mengambil suatu keputusan.

29 Sejak tahun 960, mulai berkembang perhatian dalam menirukan kehidupan makhluk hidup untuk menyelesaikan masalah optimasi yang sulit. Saat ini, terdapat tiga topik utama dalam penelitian yang menirukan kehidupan makhluk hidup, yaitu Algoritma Genetika, Pemrograman Evolusi, dan Strategi Evolusi. Diantara ketiga topik tersebut, yang paling sering digunakan adalah Algoritma Genetika. Algoritma Genetika banyak dipakai pada aplikasi bisnis, teknik, maupun bidang keilmuan lainnya. Algoritma Genetika dapat dipakai untuk mendapatkan solusi yang tepat untuk masalah optimasi yang kompleks dan sulit diselesaikan. Menurut Goldberg (989 Algoritma Genetika adalah teknik pencarian stokastik berdasarkan mekanisme seleksi alam dan sifat genetika. Pada dasarnya, Algoritma Genetika merupakan implementasi dari teori evolusi dan teori genetika yang dikemukakan oleh Darwin dalam konsep biologi. Seperti proses evolusi di alam, Algoritma Genetika umumnya terdiri dari tiga operator, yaitu operator reproduksi, operator persilangan (crossover, dan operator mutasi. Suatu individu mempunyai sifat tertentu ditentukan dengan susunan gen dalam kromosom individu tersebut. Dalam Algoritma Genetika, teori genetika tersebut digunakan untuk merepresentasikan setiap solusi dari masalah yang ada. Karena tiap kromosom merupakan solusi dari masalah yang akan diselesaikan, kromosom yang terbaik merupakan pendekatan dari solusi optimal dari masalah yang akan diselesaikan. Berdasarkan pada konsep biologi dari

30 Darwin, dalam menyelesaikan suatu masalah, Algoritma Genetika memulai pekerjaannya dengan sekumpulan solusi yang disebut populasi. Setiap individu pada populasi disebut kromosom yang menggambarkan suatu solusi dari masalah yang akan diselesaikan. Kromosom-kromosom terus berkembang terus menerus yang disebut generasi. Pada setiap generasi, kromosom dievaluasi dengan menggunakan alat ukur yang disebut fitness (tingkat kesesuaian. Nilai fitness dari suatu kromosom akan menunjukkan kualitas kromosom dalam populasi tersebut. Kromosom yang terpilih membentuk kromosom baru, yaitu anak atau keturunan (offspring yang terbentuk dari gabungan dua kromosom generasi sekarang yang bertindak sebagai induk (parent dengan menggunakan operator penyilangan (crossover atau dengan mengubah suatu kromosom dengan menggunakan operator mutasi. Generasi baru dibentuk dengan cara menyeleksi nilai fitness dari kromosom induk dan nilai fitness dari kromosom anak serta menghilangkan kromosom lainnya sehingga ukuran populasi konstan. Setelah melalui beberapa generasi, algoritma ini akan konvergen ke arah kromosom yang terbaik dengan harapan kromosom tersebut merupakan solusi optimal dari masalah yang diselesaikan. Sistem pencarian untuk mendapatkan nilai yang paling optimum pada Algoritma Genetika diharapkan dapat memberikan penyelesaian yang terbaik, dan semakin memudahkan menyelesaikan masalah Optimasi pemrograman tak linear dibandingkan dengan teknik konvensional.

31 4 B. Perumusan Masalah Masalah yang akan dibahas pada skripsi ini adalah :. Bagaimana cara Algoritma Genetika dalam mencari nilai optimum dari masalah optimasi fungsi tanpa kendala?. Bagaimana mendapatkan nilai optimum fungsi tanpa kendala dengan menggunakan Algoritma Genetika? C. Pembatasan Masalah Pembatasan mengenai optimasi fungsi tanpa kendala pada skripsi ini hanya untuk program tak linear dengan dua variabel. Penulis akan menggunakan software aplikasi MATLAB untuk menyelesaikan masalah optimasi tanpa kendala tersebut. D. Tujuan Penulisan Skripsi ini bertujuan untuk memenuhi salah satu persyaratan untuk memperoleh gelar Sarjana Sains dalam bidang matematika. Selain itu skripsi ini bertujuan untuk:. Lebih memahami penerapan Algoritma Genetika dalam menyelesaikan masalah optimasi fungsi tanpa kendala.. Mendapatkan nilai yang paling optimum dari masalah optimasi fungsi tanpa kendala dengan menggunakan Algoritma Genetika.

32 5 E. Metode Penulisan Penulisan skripsi ini menggunakan metode studi pustaka, yaitu dengan menggunakan buku-buku, jurnal-jurnal, dan makalah-makalah yang telah dipublikasikan, sehingga tidak ditemukan hal baru. F. Manfaat Penulisan Manfaat yang diharapkan dari penulisan skripsi ini adalah semakin memperdalam pemahaman akan Algoritma Genetika dalam menyelesaikan masalah optimasi, terutama dalam menyelesaikan masalah optimasi fungsi tanpa kendala, dan dapat mencari nilai optimum dengan menggunakan Algoritma Genetika. G. Sistematika Penulisan BAB I PENDAHULUAN Pada Bab I dipaparkan mengenai latar belakang skripsi ini, perumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan penulisan, metode penulisan, dan manfaat penulisan. BAB II OPTIMASI FUNGSI TANPA KENDALA Bab II dengan judul Optimasi Fungsi Tanpa Kendala terdiri atas dua subbab. Dalam bab ini dibahas mengenai optimasi fungsi satu variabel tanpa kendala dengan kalkulus dan optimasi fungsi beberapa variabel tanpa kendala dengan kalkulus.

33 6 BAB III ALGORITMA GENETIKA Bab III dengan judul Algoritma Genetika terdiri atas empat subbab. Dalam bab ini dibahas mengenai latar belakang biologi, struktur umum Algoritma Genetika, dan komponen komponen utama Algoritma Genetika. BAB IV OPTIMASI FUNGSI TANPA KENDALA DENGAN ALGORITMA GENETIKA Bab IV dengan judul Algoritma Genetika Untuk Optimasi Fungsi tanpa kendala Tanpa Kendala merupakan inti permasalahan yang diangkat dalam skripsi ini. Dalam bab ini akan diperlihatkan contoh contoh permasalahan optimasi tanpa kendala disertai dengan penyelesainnya menggunakan teknik konvensional (kalkulus dan dengan menggunakan Algoritma Genetika. BAB V PENUTUP Bab V merupakan bab terakhir dalam skripsi ini. Bab ini berisi kesimpulan dari skripsi ini dan saran yang diharapkan berguna untuk perkembangan penelitian mengenai optimasi dengan Algoritma Genetika selanjutnya.

34 BAB II OPTIMISASI FUNGSI TANPA KENDALA A. Optimisasi Fungsi Satu Variabel Tanpa Kendala Dengan Kalkulus Definisi.. Misalkan f( adalah fungsi bernilai real yang didefinisikan pada selang I. (Selang I dapat terbatas atau tidak terbatas, tertutup atau terbuka, atau setengah terbuka. Suatu titik di I adalah : a. Pembuat minimum mutlak (global untuk f( pada I jika f ( f ( untuk setiap di I; b. Pembuat minimum mutlak tegas untuk f( pada I jika f ( < f ( untuk setiap di I dan ; c. Pembuat minimum relatif (lokal untuk f( jika ada bilangan positif δ sedemikian hingga f ( f ( untuk setiap di I dimana δ < < δ ; d. Pembuat minimum relatif tegas untuk f( jika ada bilangan positif δ sedemikian hingga f ( < f ( untuk setiap di I dimana δ < < δ dan ; e. Pembuat maksimum mutlak untuk f( pada I jika f ( f ( untuk setiap di I; f. Pembuat maksimum mutlak tegas untuk f( pada I jika f ( > f ( untuk setiap di I dan ; 7

35 8 g. Pembuat maksimum relatif untuk f( jika ada bilangan positif δ sedemikian hingga f ( f ( untuk setiap di I dimana δ < < δ ; h. Pembuat maksimum relatif tegas untuk f( jika ada bilangan positif δ sedemikian hingga f ( > f ( untuk setiap di I dimana δ < < δ dan ; i. Titik kritis dari f( jika f ( ada dan sama dengan nol. Contoh.. Gambar.. Grafik f ( = Pada gambar grafik di atas terlihat bahwa setiap di [-, 4]. Titik = - adalah Pembuat minimum mutlak tegas. Titik = adalah pembuat

36 9 maksimum mutlak. Titik = adalah pembuat maksimum relatif tegas, dan titik = adalah pembuat minimum relatif tegas. Teorema.. Misalkan f( adalah fungsi yang terdiferensialkan pada selang I. Jika adalah pembuat minimum relatif atau pembuat maksimum relatif pada f(, maka salah satu dari yang berikut berlaku: i. adalah titik batas/akhir dari I ii. f ( = 0. y=f( pembuat minimum f ( = 0 I Titik batas dan maksimum ( f ( 0 Gambar.. titik batas dari I atau f ( = 0 Bukti : Misalkan adalah pembuat minimum relatif dari f( dan bukan titik dalam dari I. Berdasarkan hipotesa f ( ada. Akan dibuktikan f ( = 0. f f ( f ( ( = lim (

37 0 Karena f( f( untuk mendekati, f( - f( adalah tak negatif untuk setiap mendekati. Oleh karena itu, karena > 0 untuk <, dan < 0 untuk >, dapat terlihat f ( f ( 0 untuk <, dan f ( f ( 0 untuk >, selama mendekati. Berdasarkan persamaan ( dan persamaan di atas diperoleh f ( 0 dan f ( 0. Hal ini membuktikan bahwa f ( = 0. Untuk pembuat maksimum relatif, bukti analog. Definisi.. Bila suatu titik dalam daerah asal f dan bila f ( = 0 atau f ( tidak ada, maka dikatakan titik kritis dari f. Contoh.. Misalkan f ( = 7 5. Maka f ( = 4. Ditentukan f ( = 0 4 = 0 =. 4 Titik kritis dari f( adalah 4.

38 Gambar.. grafik fungsi f ( = 7 5 Maka f ( = 4. Ditentukan f ( = 0 4 = 0 =. 4 Titik kritis dari f( adalah 4. Teorema.. (Teorema Nilai Ekstrim Jika fungsi f kontinu pada selang tertutup [a, b], maka f mencapai nilai minimum mutlak dan maksimum mutlak pada selang [a, b]. Bukti diluar jangkauan penulis. Lihat buku Analisis Real.

39 Teorema nilai ekstrim dapat tercapai apabila terjadi pada: i. Selang tertutup; dan ii. Fungsi bersifat kontinu pada selang tersebut. Jika kondisi (i dan (ii tidak terpenuhi, maka titik ekstrim belum tentu ada. Jika domain suatu fungsi adalah selang tertutup, untuk menentukan ekstrim mutlak, fungsi tersebut harus diuji tidak hanya pada titik kritis tapi juga pada titik batas selang. Teorema titik kritis menjamin bahwa ekstrim mutlak terjadi di dalam selang. f(c f(a a c d b Gambar..4 Grafik fungsi pada selang tertutup [a, b]. Gambar..4 dapat dilihat bahwa titik batas selang terjadi pada = a dan b, sedangkan titik kritis terjadi pada = c dan d. Nilai maksimum mutlak terjadi pada titik kritis c, dan nilai minimum mutlak terjadi pada titik batas selang a. Maka baik nilai maksimum mutlak atau minimum mutlak terletak dalam selang tertutup [a, b].

40 Teorema.. (Teorema Rolle Misalkan f adalah fungsi yang memenuhi syarat:. f kontinu pada selang tertutup [a, b].. f mempunyai turunan pada selang terbuka (a, b.. f(a = f(b = 0. Maka ada suatu c (a, b sehingga f (c = 0. Bukti : Jika f( = 0 untuk semua pada selang [a, b], maka f ( = 0 untuk semua pada (a, b, sehingga setiap bilangan di antara a dan b dapat diambil sebagai c. Jika f( tidak nol untuk suatu pada selang terbuka (a, b dan karena f kontinu pada selang tertutup [a, b], maka menurut teorema.., f mempunyai nilai maksimum mutlak dan minimum mutlak pada [a, b]. Dari ( diketahui f(a = 0 dan f(b = 0. Selanjutnya f( tidak nol untuk suatu pada (a, b. Maka f akan mempunyai nilai maksimum mutlak yang positif untuk suatu c pada (a, b atau mempunyai nilai minimum mutlak yang negatif di suatu c pada (a, b, atau dua-duanya terjadi. Jadi untuk c = c atau c = c atau keduaduanya, terdapat ekstrim mutlak di titik dalam selang [a, b]. Oleh karena itu ekstrim mutlak f(c juga ekstrim relatif. Karena f (c ada berdasarkan hipotesis, maka menurut teorema.., f (c = 0.

41 4 Teorema..4 (Teorema Nilai Rata-Rata Misalkan f adalah fungsi yang memenuhi syarat:. f kontinu pada selang tertutup [a, b].. f mempunyai turunan pada selang terbuka (a, b. Maka ada suatu c (a, b sehingga f ( b f ( a f ( c =. b a Bukti : y B f( A y=g( a b Gambar..5 fungsi kontinu pada selang tertutup [a,b]. Misalkan fungsi f( untuk [ a, b] seperti ditunjukkan pada gambar..5 Fungsi g( adalah persamaan garis yang melalui titik A dan B. Dibentuk fungsi s( yaitu s( = f ( g( untuk setiap [ a, b]. Karena garis ini mempunyai kemiringan f ( b f ( a b a dan melalui (a, f(a, maka bentuk titik kemiringan untuk persamaannya adalah f ( b f ( a g( f ( a = ( a atau b a f ( b f ( a g( = f ( a ( a b a

42 5 ( ( ( g f s = ( ( ( ( ( ( a a b a f b f a f f s = Perhatikan bahwa s(b = s(a = 0 dan bahwa untuk dalam (a, b a b a f b f f s = ( ( ( (. Menurut teorema.. fungsi s harus mencapai nilai maksimum atau nilai minimum pada [a, b]. Jika kedua nilai tersebut adalah 0, maka s( secara identik adalah 0 pada [a, b], akibatnya 0 ( = s untuk semua dalam (a, b. Jika salah satu nilai maksimum atau minimum tidak sama dengan 0, maka nilai tersebut tercapai pada suatu titik dalam c. Karena s(a = s(b = 0. Dan s mempunyai turunan di setiap titik dari (a, b, sehingga menurut teorema.. 0 ( = c s. Karena diketahui terdapat suatu bilangan c dalam (a, b yang memenuhi 0 ( = c s, maka a b a f b f c f = ( ( ( 0 atau a b a f b f c f = ( ( ( PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

43 6 Teorema..5 Misalkan f (, f (, f ( ada pada selang tertutup [a, b]. Jika, adalah dua titik yang berbeda pada [a, b], maka terdapat titik z tepat berada di antara dan sehingga Bukti : Misalkan suatu fungsi f ( z f ( f ( f ( ( f ( = (. = f ( f ( ( R( ( Pandang F(, F( = f ( f ( f ( ( R( ( Maka dari ( diperoleh F( = 0. Karena F( = 0, maka F(a = F(b = 0. f (, f (, f ( kontinu pada selang tertutup [a, b], maka penjumlahan dan pengurangan fungsi fungsi (F( tersebut juga kontinu pada selang tertutup [a, b], dan F ( = f ( f ( R( (4 terlihat bahwa F( mempunyai turunan. Karena ketiga syarat dari teorema Rolle dipenuhi, maka menurut teorema Rolle, terdapat bilangan z antara dan ( < < z sedemikian sehingga F ( z = 0 (5a Dari (4 diperoleh F ( = 0 (5b

44 7 (5a dan (5b menunjukkan bahwa F ( memenuhi teorema Rolle dalam (, z. Jadi terdapat bilangan z antara dan z sedemikian sehingga F ( z = 0, dan dari (4 diperoleh F ( = f ( R. Karena F ( z = 0, maka R = f ( z. Substitusi R dalam (, maka f ( = f ( f ( ( f ( z(. Definisi.. merupakan cara untuk mengetahui apakah suatu titik di I adalah minimum atau maksimum mutlak atau relatif di I. Namun pada definisi.. tidak diketahui apakah memang benar titik tersebut adalah pembuat minimum / maksimum mutlak tegas atau pembuat minimum / maksimum relatif tegas. Oleh sebab itu diperlukan cara lain yang lebih baik, yaitu teorema..6, yang dapat menentukan apakah pembuat maksimum / minimum (baik mutlak ataupun relatif tersebut tegas atau tidak. Teorema..6 Misalkan f (, f (, f ( kontinu pada selang I dan I adalah titik kritis dari f(. a. Jika f ( 0 untuk setiap I, maka adalah pembuat minimum mutlak dari f( di I. b. Jika f ( > 0 untuk setiap I sedemikian hingga, maka adalah Pembuat minimum mutlak tegas dari f( di I. c. Jika f ( > 0, maka adalah pembuat minimum relatif tegas dari f(.

45 8 d. Jika f ( 0 untuk setiap I, maka adalah pembuat maksimum mutlak dari f( di I. e. Jika f ( < 0 untuk setiap I sedemikian hingga, maka adalah Pembuat maksimum mutlak tegas dari f( di I. f. Jika f ( < 0, maka adalah pembuat maksimum relatif tegas dari f(. Bukti : Bukti (a: Jika I dan, maka berdasarkan teorema..5 dan hipotesa f ( =0 menghasilkan f ( z f ( f ( = (, (6 dimana z adalah titik yang berada tepat di antara dan. Karena itu, jika f ( 0 untuk setiap I, maka f ( f ( untuk setiap I karena ( - 0 untuk setiap I. Bukti (b: Jika I dan, maka berdasarkan teorema..5 dan hipotesa f ( =0 menghasilkan f ( z f ( f ( = (, (7 dimana z adalah titik yang berada tepat di antara dan. Karena itu, jika f ( > 0 untuk setiap I, maka f ( > f ( untuk setiap I karena ( - > 0 untuk setiap I.

46 9 Bukti (c: Jika f ( > 0, kekontinuitas dari f ( mengimplikasikan bahwa ada δ > 0 sehingga f ( > 0 untuk setiap I sedemikian hingga -δ < < δ. Namun persamaan (7 menunjukkan bahwa f( > f( untuk setiap I sedemikian hingga, δ < < δ, dimana adalah satu - satunya pembuat minimum relatif dari f(. Bukti (d: Jika I dan, maka berdasarkan teorema..5 dan hipotesa f ( =0 menghasilkan f ( z f ( f ( = (, (8 dimana z adalah titik yang berada tepat di antara dan. Karena itu, jika f ( 0 untuk setiap I, maka f ( f ( untuk setiap I karena f ( f ( 0 untuk setiap I. Bukti (e: Jika I dan, maka berdasarkan teorema..5 dan hipotesa f ( =0 menghasilkan f ( z f ( f ( = (, (9 dimana z adalah titik yang berada tepat di antara dan. Karena itu, jika f ( < 0 untuk setiap I, maka f ( < f ( untuk setiap I karena f ( f ( 0 untuk setiap I.

47 0 Bukti (f: Jika f ( < 0, kekontinuitasan dari f ( mengimplikasikan bahwa ada δ > 0 sehingga f ( < 0 untuk setiap I sedemikian hingga - δ < < δ. Namun persamaan (9 menunjukkan bahwa f( < f( untuk setiap I sedemikian hingga, δ < < δ, dimana adalah satu - satunya pembuat maksimum relatif dari f(. Contoh.. Tentukan ekstrim mutlak dari fungsi f ( = 4 5 pada selang [,4]. i. Mencari titik kritis Gambar..6 grafik fungsi f ( = 4 5. f ( = 0 4 = 0 = ii. Mengevaluasi f( pada titik akhir dan titik kritis f ( = f ( = 4 5 = 4 5 =

48 f (4 = = 5 Dari langkah 9, dapat disimpulkan bahwa nilai maksimum mutlak terjadi pada titik (4, 5, dan nilai minimum mutlak terjadi pada titik (,. B. Optimisasi Fungsi Beberapa Variabel Tanpa Kendala Dengan Kalkulus Perluasan dari fungsi satu variabel adalah fungsi lebih dari satu variabel dengan mengkombinasikan beberapa teori kalkulus dengan aljabar linear. Oleh sebab itu, untuk permulaan akan dibahas beberapa terminologi dan notasi. Vektor pada R n adalah pasangan terurut n-tupel = (,,, n dari bilangan real i yang disebut dengan komponen dari. Vektor = (,,, n disebut vektor baris, dan vektor = disebut vektor kolom. M n Maka dapat dilihat bahwa fungsi f(,,, n dari n variabel sebagai fungsi f( dari vektor tunggal variabel = (,,, n. Definisi.. Didefinisikan penjumlahan dari dua vektor = (,,, n dan y = (y, y,, y n pada R n dengan y = ( y, y,, n y n, dan perkalian dari dan bilangan real λ dengan λ = ( λ, λ,, λ n.

49 Definisi.. Jika = (,,, n dan y = (y, y,, y n adalah vektor-vektor di R n, maka perkalian titik atau perkalian dalam y didefinisikan sebagai = = = n k k k n n y y y y... y. Akibat.. Perkalian titik adalah linear pada kedua variabel; yaitu,, ( ( ( z y z z y = β α β α ( ( ( z y z y = β α β α, untuk semua vektor, y, z pada R n dan bilangan real β α,. Bukti : (,,, (,,, ( n n n z z z y y y K K = β α β α β α β α z y ( ( ( ( n n n z y z y z y... β α β α β α = K ( n n n n z y z z y z z y z β α β α β α = K ( ( ( n n n n z y z y z y z z z β β β α α α = K K ( ( ( n n n n z y z y z y z z z = K K β α ( ( z y z = β α ( n n n z y z y z y β α β α β α β α =,,,,,, ( ( K K z y ( ( ( ( n n n z y z y z y β α β α β α =... K PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

50 ( α y. βz. αy. βz. αy. βz = K. n n ( α y. αy K. αy. βz. βz. βz = K. n n ( α ( y. y K. y β (.. β. β = K. n n = α ( y β ( z. n n n n n n Definisi.. Dua vektor dan y adalah ortogonal jika y = 0. Definisi..4 Norm atau panjang pada vektor = (,,, n adalah fungsi real pada R n dengan syarat:. 0 untuk setiap vektor di R n.. = 0 jika dan hanya jika adalah vektor nol 0.. α = α untuk setiap vektor di R n dan semua bilangan real α. 4. y y untuk semua vektor, y di R n (ketidaksamaan segitiga. Contoh.. pada vektor = (,,, n adalah / / = (... n = (.

51 4 Definisi..5 Untuk vektor tak nol dan y di R atau R, perkalian titik y secara umum didefinisikan y = y cosθ ( dimana θ [ 0, π ] adalah sudut antara dan y. θ y Untuk vektor dan y di R n dengan n >, formula ( untuk perkalian titik tetap dapat digunakan jika cos θ didefinisikan. Untuk, y R n didefinisikan cosθ = y y Teorema.. Pertidaksamaan Cauchy Schwarz untuk setiap vektor dan y, y y Bukti : Apabila dan y adalah vektor nol, maka 0 0, dimana hal tersebut adalah benar untuk setiap dan y. Jika atau y (salah satunya vektor tak nol, maka dari persamaan ( didapatkan y = y cosθ y,

52 5 karena cosθ untuk setiap nilai pada θ. Pada pertidaksamaan Cauchy Schwarz, cosθ dan cos θ = jika hanya jika terdapat satu vektor yang merupakan kelipatan vektor lainnya. Definisi..6 Jika dan y adalah vektor di R n, panjang atau jarak d (, y di antara dan y didefinisikan sebagai: d (, y y n ( = = i= i y i Definisi..7 Bola B(, r yang berpusat pada dengan radius r adalah himpunan semua vektor y di R n, dimana jarak dari kurang dari r, maka n { y R y < r} B(, r =. Definisi..8 Titik pada sub himpunan D di R n adalah titik dalam dari D jika terdapat r > 0, dimana bola B(, r dalam D. Bagian dalam dari semua titik dalam dari D. Himpunan G di R n terbuka jika o D pada D adalah himpunan o G = G, artinya, jika semua titik dalam himpunan adalah titik titik dalam. Himpunan F di R n

53 6 tertutup jika F mencangkup setiap titik sehingga terdapat barisan { (k } di F dengan lim ( k = 0. k Definisi..9 Himpunan D di R n adalah terbatas jika terdapat suatu konstanta M > 0 sehingga < M untuk setiap D, artinya, D adalah terbatas jika dan hanya jika D termasuk dalam bola besar B(0, M dengan pusat 0. Contoh.. Pada R, himpunan F dengan komponennya adalah titik titik tak nega- tif, yaitu = { =, R 0, 0} ( F, adalah tertutup tapi tidak terbatas. Titik = (, pada F adalah titik dalam dari F jika dan hanya jika > 0, 0 karena bola B(, r termasuk di dalam F walaupun r adalah bilangan > positif terkecil dari,. Definisi..0 Misalkan f ( adalah fungsi yang bernilai real didefinisikan pada sub himpunan D di R n. Titik di D adalah: a Pembuat minimum mutlak untuk f ( pada D jika f ( f ( untuk setiap D; b Pembuat minimum mutlak tegas untuk f ( pada D jika f ( < f ( untuk setiap D, dimana ;

54 7 c Pembuat minimum relatif untuk f ( jika terdapat bilangan positif δ sehingga f ( f ( untuk setiap D dimana B(, δ ; d Pembuat minimum relatif tegas untuk f ( jika terdapat bilangan positif δ sehingga f ( < f ( untuk setiap D dimana B(, δ dan ; e Pembuat maksimum mutlak untuk f ( pada D jika f ( f ( untuk setiap D; f Pembuat maksimum mutlak tegas untuk f ( pada D jika f ( > f ( untuk setiap D, dimana ; g Pembuat maksimum relatif untuk f ( jika terdapat bilangan positif δ sehingga f ( f ( untuk setiap D dimana B(, δ ; h Pembuat maksimum relatif tegas untuk f ( jika terdapat bilangan positif δ sehingga f ( > f ( untuk setiap D dimana B(, δ dan ; i Titik kritis untuk f ( jika turunan parsial pertama dari f ( ada pada f dan ( = 0, i =,,, n. i Teorema.. Misalkan f ( adalah fungsi yang bernilai real dimana semua turunan parsial pertama dari f ( ada pada sub himpunan D di R n. Jika adalah titik dalam

55 8 dari D yang adalah pembuat minimum relatif dari f (, maka adalah titik f kritis dari f (, yaitu, ( = 0, i =,,, n. i Bukti : Karena = (,,..., adalah pembuat minimum relatif untuk f ( dan n titik dalam dari D, terdapat bilangan positif r sehingga bola B(, r termasuk di dalam D dan f ( f ( untuk setiap B(, r. Akan ditunjukkan f i ( = 0 ; f Akan ditunjukkan ( = 0 i dengan menggunakan fungsi satu variabel, yaitu f (,,,...,. Dimana n adalah variabel tetap fungsi,,..., n tersebut. Misalkan fungsi satu variabel g ( didefinisikan sebagai g ( = f (,,,..., n adalah terdiferensialkan dan memenuhi g( g( untuk setiap sedemikian sehingga r < < r. Oleh sebab itu, adalah pembuat minimum relatif untuk g ( pada I = ( r, r. Karena itu, jika bukan titik akhir dari I, berdasarkan teorema.. maka g ( = 0. Tetapi jika f (,,..., = ( f g ( = n

56 9 f f maka ( = 0. Dengan cara yang sama dapat dibuktikan ( = 0 i i untuk i =,,, n. Teorema.. Misalkan, adalah titik pada R n dan f( adalah fungsi n variabel dengan turunan pertama dan turunan parsial kedua pada suatu himpunan terbuka termasuk segmen garis [, ] = { w R n w = t( ;0 t }. Maka terdapat z [, ] sedemikian hingga f ( = f ( f ( ( ( Hf ( z(. Bukti : Jika dari formula Taylor f ( z f ( f f = ( ( ( ( ( dapat ditunjukkan korespodensi formula Taylor untuk fungsi beberapa variabel, maka formula tersebut berlaku untuk fungsi beberapa variabel. Akan dimulai dengan kasus fungsi dua variabel. Misalkan f( = f(, adalah fungsi yang didefinisikan pada R dan bahwa = (, dan = (, adalah titik tetap. Didefinisikan ϕ (t untuk t R dengan ϕ ( t = f ( t( = f ( t(, t( (

57 0 Maka ϕ (t adalah fungsi dari satu variabel t untuk t = 0 dan t = sedemikian hingga ϕ (0 = f ( = f (, ; ϕ = f ( = f (,. ( Jika ϕ (t and ϕ (t adalah kontinu, maka dapat diimplikasikan formula Taylor ( untuk ϕ (t pada titik t = 0, t =. Dengan menggantikan f ( dengan ϕ ( t dan f ( dengan ϕ ( s sehingga dihasilkan ϕ ( s f ( f = ( ϕ (0( 0 ( 0, (4 dimana s adalah titik di antara 0 dan. Jika f( mempunyai turunan pertama dan turunan parsial kedua, maka ϕ (t mempunyai turunan pertama dan turunan parsial kedua dimana dapat dihitung dengan menggunakan aturan rantai sebagai berikut: Jika t R dan w = t (, maka ϕ ( t = f ( w = f ( t( = f ( t(, t(. berdasarkan aturan rantai, ϕ ( t = f ( t( f f ϕ ( t = ( ( ( ( = f ( w (, (5

58 dimana = (, ( ( w w w f f f adalah gradien dari f( yang dievaluasi pada w. Dengan menggunakan aturan rantai, didapatkan. ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f f f f f f f t = = w w w w w w w ϕ Untuk (t ϕ dapat ditunjukkan dengan formula matriks: =, ( ( t ϕ (w f (w f (w f (w f ( ( ( ( w = Hf, (6 dimana Hf(w adalah matriks simetris dari semua pasangan turunan parsial kedua terurut yang dievaluasi pada w. Gunakan (5 dan (6 untuk memperlihatkan (4 sebagai berikut: ( ( ( ( ( ( ( z = Hf f f f, (7 dimana ( z = s dan 0 s. Formula Taylor ini berlaku untuk fungsi dua variabel. Hal ini benar untuk sembarang dan di R jika f( mempunyai turunan pertama dan turunan parsial kedua pada R. Seperti yang terlihat, gradien ( f memainkan peranan seperti turunan pertama dan PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

59 Hessian Hf(z berperan seperti turunan kedua dalam teorema Taylor satu variabel. Jika f( = f(,,, n adalah fungsi n variabel dengan turunan pertama dan turunan parsial kedua pada R n dan jika gradien f dari f( adalah n vektor = n f f f f,...,,, sementara Hessian Hf dari f( adalah matriks n n = Hf n n n n n n f f f f f f f f f L M O M M L, maka formula Taylor benar untuk semua pilihan dan pada R n. Jika fungsi f( tidak terdefinisi pada semua titik di R n, maka formula Taylor tetap bernilai benar untuk dan pada domain dari f(, asalkan f( mempunyai turunan pertama dan turunan parsial kedua pada suatu himpunan terbuka termasuk segmen garis [, ], yaitu } ;0 ( { ], [ = = t t w w. Contoh.. Tentukan maksimum dan minimum dari fungsi, ( = y y y f pada cakram D yaitu y. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

60 Gambar.. grafik fungsi f (, y = y y f f i. Menentukan titik kritis = = 0. y f = 0 = =. f y = y 0 = y y =. Sehingga (, y = (, adalah titik kritis dari cakram terbuka U = {(, y y }. ii. Batas U diparameterkan dengan c ( t = (sin t, cos t, 0 t π.

61 4 Sehingga f ( c ( t = sin t cos t sin t cos t = sin t cos t = g(t. Untuk menentukan maksimum dan minimum dari f pada U, g ( t = 0 hanya jika g ( t = cost sin t 0 = cos t sin t cos t = sin t, yaitu pada saat π 5π t =,. Jadi nilai ekstrim dari f pada U adalah pada 4 4 π 5π titik titik c, c(, dan titik akhir c ( 0 = c(π. ( 4 4 iii. Menentukan nilai f. f ( =, = ( ( π f ( c ( = f (, = ( ( = 4 ( 5 π f c = f (, = ( ( = ( 4 dan f ( c (0 = f ( c(π = f (0, = (0 ( 0 = iv. Bandingkan semua nilai, maka didapatkan minimum mutlak yang terletak pada titik (, dan maksimum mutlak yang terletak pada titik (,.

62 5 Teorema.. merupakan cara untuk mengetahui apakah suatu titik di R n adalah titik kritis. Namun pada teorema.. tidak diketahui apakah titik tersebut adalah pembuat minimum / maksimum mutlak (tegas atau pembuat minimum / maksimum relatif (tegas. Oleh sebab itu diperlukan cara lain yang lebih baik, yaitu teorema..4 yang dapat menentukan apakah pembuat maksimum / minimum (baik mutlak ataupun relatif tersebut tegas atau tidak. Teorema..4 Andaikan adalah titik kritis pada fungsi f( dengan turunan pertama dan turunan parsial kedua pada R n, maka: a adalah pembuat minimum mutlak untuk f( jika ( Hf ( z( untuk setiap R n dan setiap z [, ]; 0 b adalah pembuat minimum mutlak tegas untuk f( jika ( Hf ( z( untuk setiap R n sedemikian hingga > 0 dan setiap z [, ]; c adalah pembuat maksimum mutlak untuk f( jika ( Hf ( z( untuk setiap R n dan setiap z [, ]; 0 d adalah pembuat maksimum mutlak tegas untuk f( jika ( Hf ( z( untuk setiap R n sedemikian hingga < 0 dan setiap z [, ].

63 6 Bukti : Karena adalah titik kritis pada f(, turunan parsial pertama pada f( adalah nol pada, maka f ( = 0. Oleh karena itu, jika adalah sembarang titik pada R n selain (berdasarkan teorema.. maka f ( = f ( ( Hf ( z( 0, dimana z [, ]. Persamaan ini menghasilkan setiap pernyataan yang ada pada teorema..4. Pada pernyataan (a teorema di atas didapatkan f ( f ( = ( Hf ( z( 0, dan juga, f( f( untuk setiap R n. Pada pernyataan (b teorema di atas didapatkan f ( f ( = ( Hf ( z( > 0, dan juga, f( > f( untuk setiap R n sedemikian hingga. Pada pernyataan (c teorema di atas didapatkan f ( f ( = ( Hf ( z( 0, dan juga, f( f( untuk setiap R n. Pada pernyataan (d teorema di atas didapatkan f ( f ( = ( Hf ( z( < 0, dan juga, f( < f( untuk setiap R n sedemikian hingga.

64 7 Pada pembuktian teorema.. telah diketahui bahwa Hessian Hf( dari fungsi f( pada n variabel dengan turunan pertama dan turunan parsial kedua adalah matriks simetris n n. Sehingga sembarang matriks (A simetris n n menentukan fungsi Q A (y pada R n disebut bentuk kuadrat yang berhubungan dengan A Q A = A y R n y y,. Jika f( adalah fungsi n variabel dengan turunan pertama dan turunan parsial kedua, dan jika H = Hf(z adalah Hessian dari f( yang dievaluasi pada titik z, maka H adalah matriks simetris n n. Untuk, yang berhubungan dengan H dievaluasi pada R n, bentuk kuadrat Q H adalah Q H ( = ( Hf ( z(. Hal ini tepat sama dengan pernyataan yang terdapat dalam teorema..4. Definisi.. Andaikan A adalah matriks simetris n n dan Q A = y Ay adalah bentuk kuadrat yang berhubungan dengan A. Maka A dan Q A disebut: a. Semidefinit positif jika = y Ay 0, untuk setiap Q A n y R ; b. Definit positif jika = y Ay > 0, untuk setiap Q A n y R, y 0 ; c. Semidefinit negatif jika = y Ay 0, untuk setiap Q A n y R ; d. Definit negatif jika = y Ay < 0, untuk setiap Q A n y R, y 0 ; e. Tidak definit jika = y Ay > 0, untuk suatu Q A A n y R dan Q ( y < 0 untuk n y R lainnya.

65 8 Teorema..5 Andaikan adalah titik kritis dari fungsi f( dengan turunan pertama dan turunan parsial kedua pada R n dan bahwa Hf( adalah Hessian dari f(. Maka adalah: a. Pembuat minimum mutlak untuk f( jika Hf( adalah semidefinit positif pada R n ; b. Pembuat minimum mutlak tegas untuk f( jika Hf( adalah definit positif pada R n ; c. Pembuat maksimum mutlak untuk f( jika Hf( adalah semidefinit negatif pada R n ; d. Pembuat maksimum mutlak tegas untuk f( jika Hf( adalah definit negatif pada R n. Bukti : Hf ( adalah Hessian dari f(, maka: (a berdasarkan definisi.. Hf ( adalah semidefinit positif jika Q A = y Ay 0, karena ( = ( Hf ( z(, maka berdasarkan teorema..4 Q H adalah pembuat minimum mutlak. (b berdasarkan definisi.. Hf ( adalah definit positif jika Q A = y Ay > 0, maka berdasarkan teorema..4 adalah pembuat minimum mutlak tegas.

66 9 (c berdasarkan definisi.. Hf ( adalah semidefinit negatif jika Q A = y Ay 0, maka berdasarkan teorema..4 adalah pembuat maksimum mutlak. (d berdasarkan definisi.. Hf ( adalah definit negatif jika Q A = y Ay < 0, maka berdasarkan teorema..4 adalah pembuat maksimum mutlak tegas. Teorema..6 Matriks simetris a a A = adalah: a a a. Definit positif jika dan hanya jika a a a > 0, det > 0 ; a a b. Definit negatif jika dan hanya jika a a a < 0, det > 0. a a Bukti : A adalah matriks simetris a A = a a a maka bentuk asosiasi kuadrat dari A adalah Q A ( = A = a a a.