PENENTUAN PREMI MURNI DATA PESERTA ASURANSI BPJS KESEHATAN DAERAH DEPOK DIMAS PRASETYO

Transkripsi

1 PENENTUAN PREMI MURNI DATA PESERTA ASURANSI BPJS KESEHATAN DAERAH DEPOK DIMAS PRASETYO DEPARTEMEN STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2018

2

3 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penentuan Premi Murni Data Peserta Asuransi BPJS Kesehatan Daerah Depok adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain yang telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Februari 2018 Dimas Prasetyo NIM G

4

5 ABSTRAK DIMAS PRASETYO. Penentuan Premi Murni Peserta Asuransi BPJS Kesehatan Daerah Depok. Dibimbing oleh ANANG KURNIA dan YENNI ANGRAINI. Community rating merupakan sistem pengelompokkan peserta berdasarkan karakteristik masyarakat tertentu dengan penilaian premi individu yang sama untuk setiap kelompok. Parameter pembentuk premi salah satunya yaitu premi murni yang dihitung berdasarkan resiko peserta. Penelitian ini bermaksud untuk menentukan premi murni kelompok peserta bukan pekerja berdasarkan data resiko menggunakan data klaim agregat BPJS kesehatan pada periode dengan pengambilan data di daerah Depok. Karakteristik klaim agregat memiliki kemencengan positif dan keragaman yang tinggi, sehingga dasar perhitungan ini dilakukan pendekatan menggunakan teori nilai ekstrim dan transformasi logaritmik. Tahapan penentuan nilai premi murni pada penelitian ini meliputi pengelompokkan peserta, pendugaan sebaran, dan penentuan nilai premi murni. Untuk mendapatkan nilai premi murni aktual, dugaan nilai tengah dan ragam berdasarkan sebaran yang telah diduga ditransformasi balik dengan faktor koreksi Baskerville. Pendugaan premi murni aktual menggunakan 2 model yaitu model klaim agregat dengan sebaran majemuk dan model sebaran klaim agregat. Premi murni dengan pendugaan dengan bias terkecil yaitu premi murni berdasarkan perhitungan sebaran klaim agregat. Premi murni yang dibayarkan setiap bulan pada model pendugaan sebaran klaim agregat di setiap kelompok adalah sebesar Rp 13,105 pada Kelompok 1, Rp 44,165 pada Kelompok 2, Rp 509,914 pada Kelompok 3 dan Rp 7,725,441 pada Kelompok 4. Kata kunci : faktor koreksi Baskerville, klaim agregat, premi murni, teori nilai ekstrim.

6

7 ABSTRACT DIMAS PRASETYO. Estimation on Pure Premium for BPJS Health Insurance Policy Holder in Depok. Supervised by ANANG KURNIA and YENNI ANGRAINI. Community rating is an insurance system which policy holder grouped based on unique characteristic of people having equal premium rate in one group. One of the primary element of premium is net premium which calculated from policy holder risk. The intention of this research is to estimate net premium of non worker group based on aggregacy claim of BPJS kesehatan in with entry data from Depok. Aggregacy claim trait is having positive skewness with high on variance, therefore primary calculation studied further with extreme value theory and logarithmic transformation. Estimation steps of net premium are grouping policy holder, estimate the distribution and calculate the actual net premium. In order to estimate actual net premium, estimated mean and variance from fitted distribution back transform with correction factor Baskerville. Estimation on actual net premium using 2 model which are model of aggregacy claim with joint distribution and model with aggregacy claim distribution. Net premium with lowest bias is calculation of net premium with distribution of aggregacy claim. Net premium which should be paid monthly from net premium model with distribution of aggregacy claim is Rp 13,105 for group 1, Rp 44,165 for group 2, Rp 509,914 for group 3, and Rp 7,725,441 for gorup 4. Keywords : aggregacy claim, Baskerville correction factor, extreme value theory, net premium.

8

9 PENENTUAN PREMI MURNI DATA PESERTA ASURANSI BPJS KESEHATAN DAERAH DEPOK DIMAS PRASETYO Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Statistika pada Departemen Statistika DEPARTEMEN STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2018

10

11

12

13 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat dan karunia-nya sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah yang berjudul Penentuan Premi Murni Data Peserta Asuransi BPJS Kesehatan Daerah Depok. Karya ilmiah ini merupakan salah satu syarat untuk mendapatkan gelar Sarjana Statistika pada Departemen Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor. Penyusunan karya ilmiah ini tidak lepas dari motivasi, saran, dan kerja sama dari berbagai pihak. Oleh sebab itu, penulis mengucapkan terima kasih kepada : 1. Dr. Anang Kurnia, M.Si selaku dosen pembimbing dari Departemen Statistka IPB atas bimbingan serta motivasi yang telah diberikan selama penyusunan karya ilmiah ini. 2. Yenni Angraini, M.Si selaku anggota komisi pembimbing atas bimbingan dan motivasi yang telah diberikan selama penyusunan karya ilmiah ini. 3. Keluarga penulis yang selalu memberikan dukungan. 4. Seluruh dosen Departemen Statistika IPB atas nasihat dan ilmu yang diberikan kepada penulis. 5. Staff Tata Usaha Departemen Statistika IPB atas bantuannya dalam kelancaran administrasi. 6. Rekan-rekan satu bimbingan atas kebersamaan dan bantuannya selama ini. 7. Semua rekan seperjuangan Statistika 49 atas dukungan dan kebersamannya hingga detik ini. Penulis mohon maaf atas segala kekurangan dan kesalahan yang terdapat pada karya ilmiah ini. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi semua pihak. Bogor, Februari 2018 Dimas Prasetyo

14

15 DAFTAR ISI DAFTAR TABEL viii DAFTAR GAMBAR viii DAFTAR LAMPIRAN viii PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 TINJAUAN PUSTAKA 2 Premi Murni 2 Kebaikan Suai Data 4 Teori Nilai Ekstrim 5 Faktor Koreksi Bias 6 METODOLOGI 6 Data 6 Prosedur Analisis Data 7 HASIL DAN PEMBAHASAN 9 Eksplorasi Data 9 Pendugaan Sebaran Data 14 Simulasi Transformasi Balik 17 Pendugaan Nilai Premi Murni berdasarkan Sebaran Majemuk 18 Pendugaan Nilai Premi Murni berdasarkan Sebaran Klaim Agregat 20 SIMPULAN DAN SARAN 21 Simpulan 21 Saran 21 DAFTAR PUSTAKA 21 LAMPIRAN 23 RIWAYAT HIDUP 33

16 DAFTAR TABEL 1. Statistik deskriptif klaim agregat Sebaran pada setiap kelompok dari besaran klaim Sebaran pada setiap kelompok dari klaim agregat Dugaan sebaran Kelompok 4 pada klaim agregat Sebaran besaran klaim pada Kelompok 3 dan 4 setelah pemotongan Nilai rata-rata bias kajian simulasi (%) Dugaan nilai tengah sebaran majemuk dari klaim agregat per tahun Premi murni dugaan per bulan Dugaan nilai tengah klaim agregat Premi murni dugaan per bulan 20 DAFTAR GAMBAR 1. Histogram transformasi klaim agregat serta pengelompokkan data Grafik sebaran frekuensi usia (%) Grafik penyebaran frekuensi jenis kelamin (%) Grafik penyebaran frekuensi golongan pekerjaan (%) Nilai tengah klaim agregat Kelompok 1 berdasarkan kelompok usia Nilai tengah klaim agregat Kelompok 2 berdasarkan kelompok usia Nilai tengah klaim agregat Kelompok 3 berdasarkan kelompok usia Grafik nilai tengah amatan ekstrim Histogram Kelompok 3 beserta dugaan nilai u Nilai tengah persentase bias setiap percobaan (%) 18 DAFTAR LAMPIRAN 1. Grafik Cullen dan Frey Kelompok 1 besaran klaim dan klaim agregat Grafik Cullen dan Frey Kelompok 2 besaran klaim dan klaim agregat Grafik Cullen dan Frey Kelompok 3 besaran klaim dan klaim agregat Hasil uji Anderson Darling beserta parameter penduga Kelompok 1 pada besaran klaim dan klaim agregat Hasil uji Anderson Darling beserta parameter penduga Kelompok 2 pada besaran klaim dan klaim agregat Hasil uji Anderson Darling beserta parameter penduga Kelompok 3 pada besaran klaim dan klaim agregat Densitas kernel dan QQ-plot sebaran Kelompok 4 klaim agregat Hasil uji Anderson Darling beserta parameter penduga Kelompok 3 sebaran klaim agregat setelah pemotongan kelompok Hasil uji Anderson Darling beserta parameter penduga besaran klaim setelah pemotongan kelompok Grafik simulasi Monte Carlo Tabel rata-rata nilai tengah bias simulasi Monte Carlo 32

17 1 PENDAHULUAN Latar Belakang Community rating merupakan sistem pengelompokkan peserta berdasarkan karakteristik masyarakat dengan nilai premi individu yang sama untuk setiap kelompok. Pemerintah memberlakukan community rating pada program Jaminan Kesehatan Nasional (JKN) melalui Badan Penyelenggara Jaminan Sosial (BPJS)(Suhanda 2015). Pemberlakuan sistem ini sesuai dengan fungsi asuransi BPJS kesehatan sebagai asuransi pelindung resiko kesehatan dan penjamin akses terhadap fasilitas kesehatan untuk seluruh masyarakat Indonesia. Hal ini tercantum pada Undang-Undang Nomor 40 Tahun 2004 mengenai sistem jaminan sosial nasional oleh Menkominfo RI (2012). Program JKN diharapkan dapat dimanfaatkan oleh setiap lapisan masyarakat, oleh karena itu BPJS menyesuaikan pengelompokkan masyarakat berdasarkan pekerjaan yang terdiri dari pekerja dan bukan pekerja, serta masyarakat yang kurang mampu yang dinamakan penerima bantuan iuran (PBI). Salah satu parameter pembentuk premi yaitu nilai premi murni. Perhitungan premi murni pada sistem ini menggunakan nilai resiko peserta tanpa mempertimbangkan riwayat kesehatannya. Nilai premi murni merupakan nilai harapan atau nilai tengah dari total resiko atau klaim agregat peserta selama periode waktu tertentu. Nilai premi dengan community rating diperuntukkan bagi kondisi masyarkat, sehingga nilai premi murninya pun harus menyesuaikan dengan kondisi masyarakat tersebut. Penentuan premi murni ini yang secara tidak langsung diatur secara legal oleh Otoritas Jasa Keuangan (OJK) serta didukung oleh undang-undang. Peraturan ini bertujuan melindungi peserta sekaligus pihak asuransi. Pada tahun 2015, BPJS telah merencanakan peninjauan ulang kebijakan kenaikan premi. Hal ini dicantumkan pada Perpres Nomor 111 Tahun 2013 yang menyebutkan bahwa semua premi yang diterbitkan akan dilakukan penyesuaian setiap 2 tahun sekali (Menkominfo RI 2013). Sesuai perencanaan tersebut, BPJS kesehatan tercatat defisit pada akhir tahun Total premi yang masuk sebesar triliun rupiah sedangkan klaim yang perlu dibayar 42.6 triliun rupiah, sehingga rasio klaim yang terjadi sebesar 103 persen. Hal ini diperparah dengan kondisi pada tahun 2015, peserta BPJS yang bertambah sebesar 17 persen dan peningkatan klaim dengan kategori penyakit berat sebesar 30 persen dari dana total. Oleh karena itu, penyesuaian direncanakan terjadi pada awal tahun 2016 (Asril 2015). Setelah dilakukan kajian penyesuaian premi, BPJS menaikkan premi khusus pada kelompok bukan pekerja. Hal ini berkaitan dengan terjadinya kesenjangan terbesar antara manfaat serta klaim terhadap premi terjadi pada kelompok tersebut. Berdasarkan Perpres Nomor 19 Tahun 2016, perubahan nilai premi terjadi pada 3 kelas, yaitu Kelas 3 dari Rp 25,500 menjadi Rp 30,000, Kelas 2 dari Rp 42,500 menjadi Rp 51,000 dan Kelas 1 dari Rp 59,500 menjadi Rp 80,000 (Menkominfo RI 2016). Selanjutnya pada penelitian ini disebutkan kelas sebagai kelompok. Penelitian ini bertujuan memodelkan nilai premi murni terhadap peserta BPJS kesehatan dari daerah Depok. Pemilihan kota Depok sebagai dasar permodelan premi murni didasari 3 alasan yaitu letak daerah, jumlah penduduk dan laju

18 2 pertumbuhan. Letak daerah Depok berada pada provinsi dengan jumlah penduduk terbesar di Indonesia yaitu Jawa Barat dengan jumlah juta. Hal ini ditambah dengan 3 daerah pada provinsi ini dengan kepadatan lebih dari 10,000 orang per km. Depok, Bogor, dan Bekasi berkontribusi 30.8% dari total populasi di provinsi Jawa Barat dengan jumlah sebesar 2,106,100 individu (BPS 2016). Depok memiliki laju pertumbuhan penduduk kedua tertinggi setelah Bekasi sebesar 4.30% di provinsi Jawa Barat pada tahun Kebutuhan akan kesehatan pada daerah Depok lebih tinggi dari daerah lain karena berbanding lurus dengan jumlah, kepadatan, dan laju pertumbuhan penduduk (Christiani et al 2014). Hal ini menunjukkan BPJS mudah menjangkau peserta asuransi di daerah Depok dari fasilitas kesehatan yang lebih mudah ditemukan serta keberagaman penduduk dengan kepadatan tinggi, sehingga kondisi tersebut dapat mewakili model premi murni yang akan digunakan di Indonesia untuk peserta BPJS. Premi murni diduga dari nilai tengah dari klaim agregat. Pendugaan nilai tengah klaim agregat merupakan fungsi perkalian dari nilai tengah besaran dan jumlah klaim. Oleh karena itu besaran dan jumlah klaim perlu diduga sebaran menggunakan kriteria kebaikan suai. Besaran dan jumlah klaim dibagi menjadi beberapa kelompok resiko berdasarkan kriteria nilai klaim agregat peserta. Berdasarkan karakteristik klaim agregat yang memiliki kemencengan positif dan keragaman yang tinggi, pendugaan sebaran akan melibatkan teori nilai ekstrim pada kelompok dengan karakteristik tersebut. TINJAUAN PUSTAKA Premi Murni Premi merupakan biaya tanggungan pemegang polis dengan pertukaran perlindungan dan jaminan dari pihak asuransi. Salah satu elemen pembentuk premi yaitu premi murni. Premi murni ditetapkan berdasarkan profil resiko peserta asuransi dan dilambangkan dengan Pm. Prinsip dasar premi murni sebagai fungsi dari nilai tengah besaran klaim agregat X (Bowers et al 1997). Pm x = E(X) Klaim agregat merupakan sebaran majemuk dari peubah acak N dan M. Peubah acak N merupakan jumlah klaim yang terjadi pada rentang waktu tertentu. Peubah acak M merupakan besaran klaim pada satuan waktu tertentu. Fungsi sebaran kumulatif klaim agregat serta nilai tengah dan ragam menurut Reiss dan Thomas (2007) secara berturut-turut, N n=0. F(n, m) = P( i=1 M i x) = P{N = n}f n N E(X) = E( i=1 M i ) = E(N)E(M). Var(X) = Var(X)E(N) + [E(X)] 2 Var(N).

19 3 Sebaran N mengikuti kaidah proses Poisson seragam. Kejadian dianggap sebagai proses Poisson ketika suatu peluang kejadian terjadi dalam rentang waktu tertentu dengan asumsi tidak ada pengaruh antara kejadian satu dengan lainnya. Maka dari itu peserta BPJS diasumsikan tidak saling mempengaruhi kejadian peserta lainnya dalam rentang waktu 1 tahun. Peubah acak N~Poisson(λ) memiliki fungsi massa peluang p(n; λ) = λn e λ Parameter λ dapat diduga dengan metode kemungkinan maksimum sebagai berikut λ = 1 n n! n i=1 k i. Sebaran M dapat didekati dengan 3 sebaran data yaitu sebaran lognormal(μ, σ 2 ), dan ekstrim pareto terampat atau Generalized Pareto (σ, ξ)(bowers et al 1997) dan gamma (Gamma(α, β)) (Reiss dan Thomas 2007). Peubah acak M~Lognormal(μ, σ 2, γ) memiliki fungsi kepekatan peluang sebagai berikut f(m; μ, σ, γ) = 1 (m γ)σ 2π exp { [ln(m γ) μ]2 2σ 2 } Dengan μ adalah parameter lokasi dan σ adalah parameter skala. Pendugaan fungsi M(μ,σ ) dapat diduga dengan metode kemungkinan maksimum secara berturut-turut μ = 1 n ln (M n i=1 i γ ) (1) σ 2 = 1 n n i=1 ln2 (M i γ ) [ 1 n n i=1 ln2 (M i γ ) ] 2. (2) Parameter γ dapat diperoleh menggunakan bisection method (Aristizabal 2012). Penduga nilai tengah dan ragam berdasarkan prinsip penduga momen pertama dan kedua 3-parameter lognormal yaitu E(M) = γ + exp (μ + σ 2 ) (3) 2 Var(M) = exp(2μ + σ 2)(exp(σ 2) 1). (4) Peubah acak M~Gamma(α, β, γ) menurut Bobee (1991) memiliki fungsi kepekatan peluang sebagai berikut, f(m; α, β, γ) = α Γ(β) α(m γ)β 1 exp[ α(m γ)]. Dengan α adalah parameter bentuk dan β adalah parameter skala. Penduga parameter α, β, dan γ diperoleh dengan memaksimumkan fungsi log-kemungkinan, maka penduga parameter secara berturut-turut α = β N N (m α i=1 i γ ), N β = Nψ(β ) + ln α (m i γ ), i=1

20 4 γ = α N (β 1) N 1 i=1. (x i γ ) Penduga nilai tengah dan ragam berdasarkan prinsip penduga momen pertama dan kedua 3-parameter gamma yaitu E(M) = γ + α β. Var(M) = β α 2. Sebaran pareto terampat atau Generalized Pareto (GP) merupakan sebaran yang menggunakan teori nilai ekstrim. Suatu peubah acak Y ~ Generalized Pareto(ξ, σ), dengan y = m u dan selanjutnya y merupakan nilai ekstrim dengan u merupakan ambang. Sebaran GP memiliki fungsi ekor dan fungsi densitas untuk ξ 0, yaitu F(y) = 1 (1 + ξy σ ) 1 ξ f(y) = 1 (1 ξy ξ 1 )1 σ σ ξ adalah parameter bentuk dan σ adalah parameter skala. Pendugaan parameter ξ dan σ menggunakan metode kemungkinan maksimum, karena dianggap memiliki efisiensi yang baik pada n > 500 (Hosking 1987). Penduga didapatkan dengan memaksimumkan fungsi log-likelihood l(ξ, σ) = n log σ (1 + 1 ) n log (1 + ξy i ) ξ i=1 ; ξ 0 (5) σ l(σ) = n log σ σ 1 n i=1 y i ; ξ = 0. Fungsi l(ξ, σ) bisa diselesaikan secara iteratif dengan algoritme Newton Raphson. Selanjutnya nilai harapan sebaran diduga menggunakan penduga momen dengan parameter dugaan ξ dan σ dari metode kemungkinan maksimum. Nilai tengah dan ragam secara berturut-turut yaitu E(y) = Var(y) = σ 1 ξ (6) σ (1+ξ 2 )(1+2ξ ). (7) Kebaikan Suai Data Kebaikan suai pada penelitian ini menggunakan 2 tahap, yaitu grafik Cullen dan Frey lalu dilanjutkan uji Anderson Darling. Grafik Cullen dan Frey dapat digunakan sebagai indikator sebaran yang akan diuji menggunakan pengukuran kurtosis dan kemencengan. Kedua ukuran data ini rentan terhadap data pencilan serta ragam yang tinggi (Delignette-Muller dan Dutang 2015). Kurtosis menunjukkan ukuran ekor asimptotik dengan acuan kurtosis pada sebaran normal yang bernilai 3. Acuan ini menunjukkan indikator untuk menentukan keluarga sebaran data. Grafik kemencengan dan kurtosis yang dapat mengidentifikasi kecenderungan pola keluarga sebaran yang bersangkutan terutama pada keluarga sebaran skala dan lokasi (Cullen dan Frey 1999). Fungsi dari kemencengan dan

21 5 kurtosis merupakan penduga tak bias jika, (U i ) i ~U menyebar bebas, stokastik dan identik dengan contoh (u i ) i (Casella dan Berger 2002), maka fungsi kemencengan (kc) dan kurtosis (kr) kc(u) = E[(U E(U))3 ] Var(U) 3 2 kr(u) = E[(U E(U))4 ]. Var(U) 2 Uji Anderson Darling memiliki statistik uji, A hit = A 2 = n (F(m) F (m)) 2 F (m)(1 F (m)) F (x) adalah dugaan fungsi sebaran kumulatif dan F(x) adalah fungsi sebaran teoritis. Pengujian dilakukan untuk membandingkan sebaran data teoritis dengan sebaran data empiris, dengan hipotesis awal data tidak menyebar sesuai sebaran data teoritis. dx. Teori Nilai Ekstrim Amatan ekstrim merupakan amatan dengan nilai yang sangat besar atau sangat kecil serta jauh dari nilai tengah. Maka keberadaan amatan ini dapat merusak akurasi dari model yang dibentuk seperti pada kasus metode regresi linear. Akan tetapi, terdapat beberapa kasus yang memerlukan informasi amatan ekstrim, seperti halnya analisis frekuensi banjir (Rossi 1984) dan telah diaplikasikan pada bidang hidrologi, lingkungan hidup, asuransi, komputasi (Maiboroda dan Markovich 2004; Markovich 2007) dan ekonomi (Reiss dan Thomas 2007). Penentuan amatan ekstrim dibedakan menjadi 2 metode, yaitu blok maksima dan pelampauan ambang. Metode blok maksima menentukan amatan ekstrim berdasarkan nilai tertinggi dengan aturan blok tertentu dan menggunakan sebaran Generalized Extreme Value (GEV). Penentuan amatan ekstrim dapat juga dilakukan dengan menentukan batas tertentu, sehingga amatan dengan nilai yang melebihi batas atau ambang disebut sebagai nilai ekstrim. Gugus amatan dengan ciri melebihi ambang ini akan diduga berdasarkan sebaran GP. Cara ini selanjutnya disebut sebagai metode pelampauan ambang. Penentuan u atau ambang menggunakan grafik nilai tengah amatan ekstrim (Coles 2001). Grafik nilai tengah amatan ekstrim merupakan grafik yang memiliki fungsi { u, e(u)}, dimana e(u) = 1 n u n u i=1 (M (i) u). u ditetapkan sebagai nilai ambang ketika kurva plot linear. Kesesuaian u dibantu dengan uji rasio kemungkinan (RK). Uji ini memiliki hipotesis awal ξ = 0, maka sebaran data menyebar eksponensial. Statistik uji RK yaitu RK hit = 2{l 1 (M 1 ) l 2 (M 2 )}.

22 6 l 1 (M 1 ) merupakan model dengan ξ 0 dan l 2 (M 2 ) adalah model dengan ξ = 0. Bila suatu nilai y(i) merupakan statistik tataan dari peubah acak Y, serta memiliki dugaan fungsi sebaran kumulatif data dilambangkan dengan F. F dianggap penduga fungsi sebaran kumulatif empiris F (y) = i n+1. Perbandingan kedua fungsi dalam satu grafik 2 dimensi merupakan salah satu teknik kebaikan suai model yaitu teknik QQ-plot dan PP-plot. QQ-plot merupakan fungsi invers dari F dan F untuk menduga kuantil dari i (n + 1). Sebaran dugaan akan mendekati sebaran empiris atau sebenarnya dapat dilihat dari titik-titik kuantil yang membentuk kurva linear. Teknik lain untuk menduga kebaikan suai model yaitu menggunakan penduga kernel. Faktor Koreksi Bias Prinsip pendugaan premi murni menggunakan data riil sehingga pendugaan hasil transformasi logaritmik perlu dilakukan transformasi balik. Pendugaan akan berbias dengan nilai kurang dari nol atau nilai dugaan lebih rendah dari nilai riil bila ditransformasi balik menggunakan fungsi eksponensial. Bias yang terjadi ditangani dengan menambahkan faktor koreksi pada perhitungan. Nilai premi diharapkan dapat menutupi resiko yang terjadi, maka faktor koreksi dengan nilai bias yang lebih besar dari nol lebih dipertimbangkan dibandingkan faktor koreksi dengan nilai bias yang lebih kecil dari nol. Penelitian ini membandingkan 3 faktor koreksi yaitu faktor koreksi Baskerville (1972), Zeng (2011), dan Snowdon (1991). Selanjutnya, fungsi faktor koreksi secara berturut-turut dilambangkan dengan FK1, FK2, dan FK3. Fungsi faktor koreksi tersebut FK 1 = E(S) Exp (E(Log(S)) + Var(Log(S))2 ) (13) 2 FK 2 = Var(Log(S)) (14) FK 3 = μ μ (15) METODOLOGI Data Data pada penelitian ini merupakan data sekunder dari seluruh peserta asuransi BPJS kesehatan pada wilayah kota Depok. Data berupa profil peserta asuransi beserta riwayat klaim selama satu tahun pada periode , berjumlah total peserta. Uraian kategori peubah yang digunakan pada penelitian yaitu klaim agregat dalam setahun (X), besaran klaim (M) dan jumlah

23 7 klaim (N). Peubah pendukung merupakan usia, jenis kelamin, serta golongan pekerjaan. Golongan pekerjaan merupakan golongan peserta yang dibentuk oleh BPJS pada program JKS, yaitu penerima bantuan iuran (PBI), pekerja penerima upah (PPU), bukan pekerja, dan pekerja bukan penerima upah (Non-PPU). Prosedur Analisis Data Penelitian ini secara garis besar terbagi menjadi empat tahapan yaitu tahapan praproses data, pendugaan sebaran, simulasi faktor koreksi dan penentuan premi murni. Praproses data mencakup proses seleksi peubah, membersihkan data peserta serta pengelompokkan peserta. Pengelompokkan data berdasarkan data klaim agregat. Hasil pengelompokkan diduga sebaran terhadap jumlah klaim, besaran klaim dan klaim agregat. Proses pendugaan nilai riil dilakukan transformasi balik karena besaran klaim dan klaim agregat ditransformasi logaritmik. Perhitungan transformasi balik dengan fungsi eksponensial akan menghasilkan bias yang negatif. Oleh karena itu, fungsi ini perlu ditambahkan faktor koreksi untuk mendapatkan bias yang positif dan terkecil. Untuk menentukan faktor koreksi yang memiliki kriteria tersebut dilakukan simulasi menggunakan kelompok klaim agregat yang telah terbentuk. Penentuan premi murni melalui dua model klaim agregat yaitu dengan menggunakan sebaran majemuk dan perhitungan sebaran klaim agregat. Prosedur analisis data dibantu dengan R x open source program, dengan penggunaan package moments, fitdistrplus dan extremes. Adapun Tahapan-tahapan yang dilakukan dalam penelitian ini yaitu : Tahap praproses data 1. Melakukan seleksi peubah yang diasumsikan mempengaruhi klaim agregat. 2. Pembersihan data klaim agregat dengan usia penduduk lebih dari 100 tahun. Hal ini dikarenakan data dengan usia 75 tahun ke atas memiliki jumlah proporsi sebesar 0.07% yang lebih tinggi dibandingkan dengan rata-rata usia 75 tahun ke atas di provinsi Jawa Barat sebesar 0.01% (BPS 2016). 3. Melihat pola penyebaran data dengan mentransformasikan data klaim agregat dengan transformasi logaritmik. 4. Pengelompokkan data yang ditujukan untuk mendapatkan kelompok resiko yang tepat dari hasil transformasi logaritmik data pada klaim agregat. 5. Mendeskripsikan karakteristik data kelompok untuk memberikan gambaran penyebaran data. Tahap pendugaan sebaran data Pendugaan sebaran terbagi pada menjadi 2 model klaim agregat yaitu menggunakan sebaran majemuk dan tidak menggunakan sebaran majemuk. Pendugaan sebaran pada sebaran majemuk melibatkan jumlah klaim dan besaran klaim. Berikutnya pendugaan yang tidak menggunakan sebaran majemuk berdasarkan sebaran klaim agregat. Adapun tahapan pendugaan kedua model sebagai berikut, 1. Menentukan sebaran jumlah klaim dan besaran klaim pada model sebaran majemuk melalui tahapan pendugaan yaitu

24 8 a. Menentukan parameter sebaran Poisson dari data jumlah klaim tiap kelompok yang dibentuk. Asumsi yang perlu dipenuhi yaitu nilai ragam yang sama dengan nilai tengah setelah dilakukan pendugaan. b. Menentukan sebaran besaran klaim untuk kelompok resiko yang dibentuk dengan tahapan sebagai berikut, i. Melakukan tranformasi logaritmik data besaran klaim dengan tujuan mempermudah pendugaan parameter sebaran data. ii. Melakukan pengindikasian sebaran melalui grafik Cullen dan Frey. iii. Menduga sebaran menggunakan uji Anderson Darling berdasarkan kesimpulan dari grafik Cullen dan Frey. Pada kasus nilai probabilitas Anderson Darling menunjukkan tak tolak H0 lebih dari satu, maka keputusan sebaran berdasarkan nilai Ahit terkecil sebagai kesimpulan dugaan sebaran. c. Pendugaan parameter sebaran pada kelompok resiko menggunakan penduga kemungkinan maksimum, yang selanjutnya diduga nilai tengah dan ragam untuk dilanjutkan dengan transformasi balik menggunakan faktor koreksi 2. Menentukan sebaran klaim agregat pada pendugaan model sebaran klaim agregat. Data klaim agregat karena dijadikan dasar pembentukan kelompok yang telah ditransformasi logaritmik maka tidak perlu dilakukan transformasi lagi. Adapun tahapan yang dilakukan sebagai berikut, a. Melakukan pengindikasian sebaran melalui grafik Cullen dan Frey b. Menduga sebaran menggunakan uji Anderson Darling berdasarkan kesimpulan dari grafik Cullen dan Frey. Kesimpulan dari uji ini menggunakan langkah yang sama dengan pendugaan sebaran besaran klaim. c. Menduga parameter sebaran berdasarkan kesimpulan uji Anderson Darling d. Perhitungan nilai tengah dan ragam setiap kelompok Berdasarkan data kelompok dengan nilai ragam yang lebih tinggi dari kelompok lainnya dengan grafik histogram yang menjulur diindikasikan terdapat sebaran ekstrim. Data dengan sebaran ekstrim didalamnya akan dibentuk menjadi kelompok tersendiri. Adapun tahapan pendugaan sebaran ekstrim sebagai berikut, 1. Menentukan nilai ambang pada klaim agregat dengan grafik nilai tengah amatan ekstrim yang memiliki fungsi { u, e(u)}. Ambang ditentukan pada bentuk kurva pada grafik linear. Penentuan ambang untuk menentukan data ekstrim dan tidaknya, jika data termasuk ekstrim maka sebaran data selanjutnya disebut sebagai sebaran ekor. Data yang tidak termasuk data ekstrim selanjutnya disebut sebagai sebaran badan. 2. Melakukan perbandingan kebaikan suai data dengan kriteria rasio kemungkinan, QQ-plot serta grafik densitas dengan penduga kernel. Untuk mendapatkan ambang dengan kesesuaian terhadap data tinggi serta pertimbangan nilai premi murni yang 3. Menduga parameter ξ dan σ pada data besaran klaim menggunakan penduga kemungkinan maksimum 4. Menduga parameter λ pada data jumlah klaim. 5. Melakukan pendugaan sebaran ulang pada sebaran badan menggunakan langkah pada pendugaan sebaran berdasarkan model sebaran majemuk atau dengan sebaran klaim agregat.

25 9 Tahap simulasi data 1. Pembangkitan satu set data n = 100,000 dengan peubah acak X ~ Normal (156,158; σ 2 ) menggunakan metode Monte Carlo, σ 2 = 10,000, 20,000,..., 100,000 dan variasi σ 2 sebanyak 10 kali. 2. Transformasi logaritmik data bangkitan. 3. Pendugaan parameter untuk sebaran 3-parameter lognormal menggunakan penduga kemungkinan maksimum. 4. Penentuan nilai tengah E(X ) menggunakan transformasi balik dengan faktor koreksi FK1, FK2, FK3 dengan fungsi pada persamaan 13, 14 dan 15. Faktor koreksi ini dibandingkan dengan nilai tanpa faktor koreksi, selanjutnya disebut Tanpa-FK. 5. Pengulangan pembangkitan data pada langkah 1 hingga 3 sebanyak 10 kali. 6. Bentuk grafik persentase bias untuk masing-masing faktor koreksi. 7. Pemilihan faktor koreksi berdasarkan nilai rata-rata persentase bias terkecil dan memiliki kecenderungan bernilai positif. Tahap penentuan premi murni 1. Penentuan premi murni bulanan pada model majemuk melalui tahapan sebagai berikut, a. Transformasi balik nilai tengah besaran klaim dengan faktor koreksi yang dipilih pada tahapan simulasi untuk mendapatkan nilai E(M). b. Perhitungan nilai E(X) dari perkalian E(M) dan E(N) c. Nilai E(X) dengan satuan per tahun untuk mendapatkan per bulan maka dibagi dengan Penentuan premi murni bulanan pada model sebaran klaim agregat melalui tahapan sebagai berikut, a. Transformasi balik nilai klaim agregat untuk menghitung nilai E(X) berdasarkan nilai tengah dan ragam pada setiap kelompok. b. Nilai E(X) dengan satuan per tahun untuk mendapatkan per bulan maka dibagi dengan 12 HASIL DAN PEMBAHASAN Klaim agregat Eksplorasi Data Data klaim agregat merupakan akumulasi data satuan besaran klaim dimulai dari tahun 2014 sampai 2015 akhir. Klaim agregat memiliki rentang sebesar 652 juta rupiah dan ukuran keragaman data 2.59 x Nilai tengah klaim agregat 5.9 juta rupiah serta beberapa pengukuran penyebaran data berdasarkan persentil yaitu persentil 0 persen bernilai Rp 80,000, persentil 25 persen bernilai Rp 330,000, persentil 50 persen bernilai 2.1 juta rupiah, persentil 75 persen bernilai 5.6 juta rupiah, dan persentil 100 persen bernilai 652 juta rupiah. Karena nilai persentil ke-

26 10 75 dan 100 memiliki rentang yang besar, maka data memiliki penyebaran yang menjulur ke arah kanan dengan keragaman yang tinggi. Pendugaan nilai tengah klaim agregat memerlukan informasi mengenai sebaran data beserta parameter dugaannya. Untuk mempermudah melihat pola data dengan keragaman yang tinggi, maka klaim agregat perlu dilakukan transformasi logaritmik (Manning dan Mullahy 2001). Hasil transformasi logaritmik data digunakan histogram untuk melihat pola sebaran frekuensi klaim agregat. Kelompok 1 Kelompok 2 Kelompok 3 Gambar 1 Histogram transformasi klaim agregat serta pengelompokkan data Histogram hasil transformasi logaritmik klaim agregat menunjukkan data dengan sebaran multimodal yang berarti memiliki lebih dari satu puncak (Gambar 1). Hal ini menggambarkan klaim agregat memiliki populasi yang heterogen, sehingga perlu dilakukan pengelompokkan untuk menghomogenkan data. Pengelompokkan ditentukan berdasarkan titik jatuh frekuensi beserta pertimbangan nilai premi murni yang akan terbentuk. Selanjutnya pengelompokkan klaim agregat disebut sebagai kelompok resiko. Kelompok resiko dibagi menurut klaim agregat dengan besaran klaim rendah, sedang dan tinggi. Masing-masing kelompok resiko disebut sebagai Kelompok 1, Kelompok 2, dan Kelompok 3 secara berturut-turut ditunjukkan oleh Gambar 1. Karakteristik Data Tabel 1 Statistik deskriptif klaim agregat Kelompok Resiko Kelompok 1 Kelompok 2 Kelompok 3 Batas Bawah Batas Atas Rata-Rata Simpangan Baku Kemencengan Kurtosis Banyaknya Polis 28,494 42,817 94,203

27 11 Berdasarkan Tabel 1, Kelompok 1 memiliki besaran klaim individu yang rendah, bernilai pada rentang Rp 80,000 hingga Rp 202,000. Kelompok 2 dengan besaran klaim yang sedang, bernilai pada rentang Rp 202,000 hingga 1.3 juta rupiah. Kelompok 3 dengan besaran klaim tinggi, bernilai pada rentang 1.3 juta rupiah hingga 652 juta rupiah. Kelompok resiko memiliki nilai paparan terhadap fluktuasi tinggi pada nilai simpangan baku yang tinggi. Kelompok dengan tingkat resiko tertinggi ditunjukkan pada Kelompok 3. Kemencengan menunjukkan arah kemiringan sebaran, bila nilai kemencengan negatif maka sebaran menceng ke kiri dan sebaliknya bila nilai kemencengan positif maka sebaran menceng ke arah kanan. Kelompok 1 memiliki sebaran yang menceng ke kiri, Kelompok 2 memiliki sebaran yang hampir seimbang dan Kelompok 3 memiliki sebaran menceng ke kanan. Deskriptif bivariat data klaim agregat Analisa resiko asuransi kesehatan berkaitan dengan total biaya kesehatan yang dikeluarkan oleh peserta. Berdasarkan Aizcorbe (2012), penggunaan layanan kesehatan dan biaya kesehatan dibagi dalam 3 komponen dasar dengan salah satunya komponen rumah tangga. Komponen ini meliputi data individu serta keluarga yang meliputi jenis kelamin, usia dan golongan pekerjaan. 30,0 Frekuensi 20,0 10,0 0,0 Kelompok 1 Kelompok 2 Kelompok tahun tahun tahun tahun >59 tahun Gambar 2 Grafik sebaran frekuensi usia (%) Karakteristik data kelompok bila dilihat berdasarkan peubah kelompok usia ditunjukkan pada Gambar 2. Peserta dengan usia lebih dari 59 tahun memiliki frekuensi sebesar 11.7% dan lebih sedikit dari usia kurang dari 59 tahun dengan rata-rata 22.1% pada kelompok 1. Sebagian besar peserta yang melakukan klaim pada kelompok 2 terjadi pada usia antara tahun dengan nilai rata-rata 24.9 %. Sebagian besar peserta pada kelompok 3 melakukan klaim terjadi pada usia lebih dari 30 tahun ke atas dengan nilai rata-rata 21.8%. Frekuensi 80,0 60,0 40,0 20,0 0,0 Perempuan Laki-laki Kelompok 1 Kelompok 2 Kelompok 3 Gambar 3 Grafik penyebaran frekuensi jenis kelamin (%)

28 12 Gambar 3 menampilkan penyebaran jenis kelamin terhadap klaim agregat. Pada ketiga kelompok resiko jenis kelamin perempuan mendominasi seluruh kelompok resiko dengan frekuensi klaim di atas 50% dibandingkan dengan jenis kelamin laki-laki. Kesimpulan sementara jenis kelamin laki-laki memiliki riwayat penyakit yang lebih sedikit pada periode dibandingkan perempuan. Frekuensi 40,0 35,0 30,0 25,0 20,0 15,0 10,0 5,0 0,0 Kelompok 1 Kelompok 2 Kelompok 3 PBI PPU Non-PPU Bukan Pekerja Gambar 4 Grafik penyebaran frekuensi golongan pekerjaan (%) Gambar 4 menunjukkan penyebaran golongan pekerjaan terhadap frekuensi klaim agregat. Berdasarkan pembentukan kelompok resiko pada penelitian ini, penyebaran golongan pekerjaan bentukan BPJS masing-masing memiliki penyebaran yang relatif sama pada setiap kelompoknya. Hal ini menunjukkan penyebaran resiko untuk golongan pekerjaan belum bisa memberikan penjelasan yang cukup. Bila golongan ditinjau berdasarkan penyebaran dalam kelompok resiko, kelompok yang ditanggung pemerintah atau PBI sebesar sepertiga dari total populasi peserta. Begitu juga untuk kelompok PPU yang menempati persentase terbesar pada setiap kelompok resiko. Kelompok bukan pekerja meliputi Non-PPU dan bukan pekerja juga menempati sepertiga frekuensi klaim dari populasi peserta Nilai Tengah (ribu rupiah) tahun tahun tahun tahun >59 tahun Gambar 5 Nilai tengah klaim agregat Kelompok 1 berdasarkan kelompok usia

29 13 Nilai Tengah (Ribu rupiah) tahun tahun tahun tahun >59 tahun Gambar 6 Nilai tengah klaim agregat Kelompok 2 berdasarkan kelompok usia Nilai Tengah (Ribu rupiah) tahun tahun tahun tahun >59 tahun Gambar 7 Nilai tengah klaim agregat Kelompok 3 berdasarkan kelompok usia Gambar 5 menunjukkan nilai rata-rata klaim agregat untuk masing-masing kelompok usia mendekati nilai tengah Kelompok 1 yaitu klaim sebesar Rp 156,158 per tahun dan usia diatas 59 tahun memiliki jumlah klaim terbanyak. Gambar 6 menunjukkan rata-rata Kelompok 2 melakukan klaim lebih dari Rp 500,000 per tahun. Peserta yang melakukan klaim tertinggi pada Kelompok 2 terjadi pada usia lebih dari 59 tahun dengan rata-rata melakukan klaim sebesar Rp 630,000 per tahun Kelompok 3 memiliki rata-rata klaim tertinggi yaitu 8 juta rupiah per tahun ditunjukkan pada Gambar 7. Peserta yang melakukan klaim terbesar pada kelompok 3 terjadi pada usia lebih dari 59 tahun dengan nilai sebesar 13.8 juta rupiah per tahun. Seseorang termasuk ke dalam kategori lanjut usia ketika berumur lebih dari 60 tahun dan termasuk ke dalam fase regresif yang ditandai dengan kemunduran kinerja organ dimulai dari tingkat sel (Carola 1990). Hal ini berdampak terhadap sistem imun dan menyebabkan peserta lanjut usia rentan terhadap penyakit. Klaim agregat akan meningkat seiring meningkatnya resiko penyakit yang akan diderita peserta. Hal ini ditunjukkan pada Gambar 5 hingga Gambar 7, nilai klaim agregat tertinggi terjadi pada kelompok usia diatas 59 tahun atau lanjut usia. Klaim agregat akan meningkat seiring meningkatnya resiko penyakit yang akan diderita peserta sehingga nilai premi murni akan meningkat pula.

30 14 Pendugaan Sebaran Data Pendugaan sebaran jumlah klaim, besaran klaim dan klaim agregat Pendugaan sebaran jumlah klaim diasumsikan mengikuti sebaran Poisson. Dengan asumsi kejadian antar klaim dan waktu kejadian antar klaim bebas. Parameter sebaran Poisson λ diduga menggunakan penduga kemungkinan maksimum terhadap ketiga kelompok. Kelompok 1 diduga terjadi 1 kali klaim dalam 1 tahun. Kelompok 2 diduga terjadi 3 kali klaim per individu dalam 1 tahun. Kelompok 3 diduga terjadi 10 kali klaim per individu dalam 1 tahun. Pendugaan indikasi sebaran besaran klaim menggunakan grafik Cullen dan Frey dari ketiga kelompok resiko. Batas bawah kelompok besaran klaim tidak bernilai nol, maka keluarga sebaran dengan parameter shifted dapat menjadi bahan pertimbangan pemilihan sebaran. Kelompok 1 pada besaran klaim memiliki sebaran yang mendekati sebaran normal serta sebaran lognormal (Lampiran 1). Kelompok 2 pada besaran klaim memiliki kecenderungan menyebar dalam sebaran gamma (Lampiran 2). Kelompok 3 pada besaran klaim memiliki kecenderungan normal, lognormal dan gamma (Lampiran 3). Oleh karena itu sebaran yang menjadi pertimbangan yaitu normal, lognormal, gamma dan sebaran shifted untuk gamma serta lognormal. Pendugaan sebaran besaran klaim dengan kriteria uji statistik Anderson Darling ditampilkan pada Lampiran 4, Lampiran 5 dan Lampiran 6. Ketiga kelompok memiliki nilai Ahit yang lebih tinggi dari batas kritis pada kelima sebaran, maka penentuan sebaran menggunakan nilai Ahit yang lebih kecil. Kelompok 1 dan 3 tidak bisa menggunakan sebaran 3-parameter gamma karena nilai probabilitas uji RK > Kelompok 2 nilai Ahit untuk sebaran gamma, normal dan lognormal tergolong tinggi dibandingkan dengan sebaran 3-parameter. Tabel 2 Sebaran pada setiap kelompok dari besaran klaim Kelompok Besaran Klaim Kelompok 1 Kelompok 2 Kelompok 3 N 28,494 42,817 94,203 Sebaran 3-Parameter 3-Parameter Lognormal Lognormal normal A hit Nilai tengah Ragam Nilai Probabilitas a a Nilai p dari uji rasio kemungkinan Berdasarkan Tabel 2, Kelompok 1 dan 2 menyebar dalam sebaran 3- parameter lognormal dengan masing-masing memiliki jumlah polis sebanyak 28,494 dan 42,817. Selanjutnya pendugaan parameter μ dan σ menggunakan metode kemungkinan maksimum dengan fungsi pada persamaan 1 dan persamaan 2. Kelompok 3 menyebar dalam sebaran normal dengan jumlah polis sebanyak 94,203. Langkah pendugaan sebaran klaim agregat melalui indikasi sebaran dengan grafik Cullen dan Frey lalu dilanjutkan dengan uji Anderson Darling. Sebaran klaim agregat Kelompok 1 diindikasikan menyebar dalam sebaran normal dan lognormal

31 15 (Lampiran 1). Kelompok 2 diindikasikan menyebar dalam sebaran seragam dan beta (Lampiran 2). Kelompok 3 diindikasikan menyebar dengan sebaran lognormal dan gamma (Lampiran 3). Kesimpulan sebaran yang digunakan dari grafik Cullen dan Frey untuk uji Anderson Darling menggunakan sebaran yang sama dengan besaran klaim. Uji Anderson Darling terhadap Kelompok 1, 2 dan 3 pada sebaran klaim agregat ditampilkan pada Lampiran 4, 5 dan 6. Ketiga kelompok pada setiap sebaran yang diujikan memiliki kesimpulan tak tolak H0, maka penentuan sebaran untuk klaim agregat setiap kelompok berdasarkan nilai Ahit yang terkecil. Ketiga kelompok menggunakan sebaran 3 parameter karena uji RK sebaran 3 parameter bernilai < Pendugaan sebaran klaim agregat ketiga kelompok ditampilkan pada Tabel 4 dan 5. Berdasarkan Tabel 3, Kelompok 1 dan 3 pada klaim agregat menyebar dalam sebaran 3 parameter lognormal. Kelompok 2 pada klaim agregat menyebar dalam sebaran 3 parameter gamma. Jumlah polis pada klaim agregat sama dengan jumlah polis pada besaran klaim. Tabel 3 Sebaran pada setiap kelompok dari klaim agregat Kelompok Besaran Klaim Kelompok 1 Kelompok 2 Kelompok 3 N 28,494 42,817 94,203 Sebaran 3-Parameter Lognormal 3-Parameter Gamma 3-Parameter Lognormal A hit Nilai tengah Ragam Nilai Probabilitas a a Nilai p dari uji rasio kemungkinan Metode pelampauan ambang Kelompok 3 memiliki klaim agregat tertinggi dengan nilai berada pada ekor asimptotik positif. Klaim yang terjadi pada kelompok ini memiliki keragaman tertinggi dibandingkan dengan Kelompok 1 dan Kelompok 2 (Tabel 1). Pendugaan sebaran pada kelompok ini dapat didekati dengan sebaran pareto terampat dengan membagi sebaran badan dan ekor serta menggunakan pendekatan metode pelampauan nilai ambang (Reiss dan Thomas 2007). Pembagian Kelompok 3 berdasarkan sebaran badan dan ekor disebut Kelompok 3 dan Kelompok 4 secara berturut-turut. Pendugaan sebaran Kelompok 4 diawali dengan menduga nilai ambang yang tepat untuk menentukan nilai ekstrim atau anggota dari Kelompok 4. Nilai ambang ditentukan melalui grafik nilai tengah amatan ekstrim dengan grafik kurva linear serta jumlah nilai ekstrim dengan perbandingan nilai bias dan ragam yang sesuai.

32 16 Gambar 8 Grafik nilai tengah amatan ekstrim u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 Gambar 9 Histogram Kelompok 3 beserta dugaan nilai u Berdasarkan grafik nilai tengah amatan ekstrim pada Gambar 8, kurva linier terlihat pada u bernilai 17.5 hingga 19. Nilai ambang berikut digunakan sebagai acuan pembagian Kelompok 3 dan Kelompok 4 dengan ambang u 1, u 2, u 3, u 4 dan u 5 bernilai 17, 17.5, 18, 18.3, dan 18.4 (Gambar 9). Kebaikan suai dilanjutkan dengan QQ-plot dan densitas kernel dengan sebaran pareto terampat (Lampiran 7). Nilai ambang ditentukan melalui QQ-plot dan densitas kernel yaitu pada ambang u 2. Pendugaan sebaran dilakukan pada besaran klaim dengan nilai ambang u 2 pada klaim agregat. Tabel 4 Dugaan sebaran Kelompok 4 pada klaim agregat Deskripsi Sebaran Nilai pada klaim agregat nu Bentuk Skala 0.87 Nilai tengah Ragam 0.59 Nilai probabilitas a 0.00 a Uji rasio kemungkinan dengan titik kritis 0.00

33 17 Klaim agregat pada Kelompok 4 menyebar dalam sebaran GP dengan jumlah sebanyak 3610 polis seperti yang ditampilkan pada Tabel 4. Hasil uji RK dengan nilai probabilitas < 0.05 maka kesimpulan tolak H0. Oleh karena itu sebaran Kelompok 4 pada klaim agregat memiliki parameter ξ 0 atau tidak menyebar dalam sebaran eksponensial. Hal ini dilakukan untuk memperkuat pendugaan sebaran GP. Selanjutnya sebaran badan atau sebaran Kelompok 3 sejumlah 90,593 polis pada klaim agregat yang dipotong oleh Kelompok 4 diduga sebarannya menggunakan uji Anderson Darling. Berdasarkan uji RK dengan nilai probabilitas < 0.05 (Lampiran 8), sebaran dengan 3 parameter lebih sesuai dibandingkan sebaran terkait. Sebaran klaim agregat dari Kelompok 3 yaitu sebaran 3 parameter lognormal karena nilai Ahit lebih kecil dari sebaran 3 parameter gamma. Pada tahap pendugaan model klaim agregat menggunakan sebaran majemuk, Kelompok 3 dan 4 yang telah dibentuk dilakukan pendugaan sebaran jumlah klaim dan besaran klaim. Jumlah klaim pada Kelompok 3 memiliki λ bernilai 9.15 dan Kelompok 4 memiliki λ bernilai Pendugaan λ pada Kelompok 3 dan 4 terjadi overdispersi dengan karena nilai ragam yang lebih tinggi dibandingkan nilai tengah atau λ. Kelompok 3 memiliki ragam 190 dan Kelompok 4 memiliki ragam yang lebih tinggi dari nilai λ masing-masing kelompok. Pendugaan sebaran besaran klaim pada Kelompok 3 dan Kelompok 4 menggunakan uji Anderson Darling. Keputusan sebaran Kelompok 3 dan 4 berdasarkan nilai Ahit terkecil (Lampiran 9). Selanjutnya diduga nilai tengah dan ragam berdasarkan parameter penduga sebaran tersebut yang ditampilkan pada Tabel 5. Berdasarkan tabel 5, Kelomopk 3 menyebar dalam sebaran normal dan Kelompok 4 menyebar dalam sebaran 3- parameter gamma. Kelompok 4 memiliki kesimpulan uji RK < 0.05 dan nilai Ahit lebih kecil dari 3-parameter lognormal. Tabel 5 Sebaran besaran klaim pada Kelompok 3 dan 4 setelah pemotongan Kelompok Kelompok 3 Kelompok 4 Besaran Klaim N 90, Sebaran 3-Parameter Normal Gamma A hit Nilai tengah Ragam Nilai Probabilitas a a Nilai p dengan uji rasio kemungkinan Simulasi Transformasi Balik Terdapat dua jenis bias, yaitu underestimate bias dan overestimate bias. Underestimate bias memiliki nilai dugaan yang lebih kecil dari nilai asli serta bernilai negatif. Berikutnya, overestimate bias memiliki nilai dugaan yang lebih besar dari nilai asli serta bernilai positif. Fungsi logaritma perlu ditransformasi balik dengan fungsi eksponensial untuk mendapatkan nilai yang sebenarnya atau riil. Hasil dari transformasi balik ini masih terdapat underestimate bias. Maka dari itu fungsi ini perlu ditambahkan faktor koreksi.

34 18 Faktor koreksi yang terbaik akan berperan untuk mengurangi nilai bias yang terjadi hingga mendekati nilai nol. Untuk mendapatkan faktor koreksi terbaik untuk kasus ini dilakukan simulasi transformasi balik terhadap sebaran 3-parameter lognormal dengan 3 faktor koreksi serta 1 pembanding yaitu Tanpa-FK, FK1, FK2, dan FK3. Hasil kajian simulasi ditampilkan dengan persentase bias yang terjadi pada 10 kali pengulangan untuk setiap ragam serta faktor koreksi yang berbeda (Lampiran 10). Hasil kajian berikut dirata-ratakan untuk melihat kecenderungan pada setiap ragam dan ditampilkan pada Lampiran 11. Terlihat bahwa FK1 dan FK2 memilki nilai persentase bias yang lebih kecil pada σ 2 > 80,000 dibandingkan dengan tanpa-fk dan FK3. Untuk kebutuhan visual ditampilkan grafik dari Lampiran 11 pada Gambar 10. Berdasarkan Gambar 10, tanpa-fk, FK1, dan FK2 memiliki kurva persentase bias yang berhimpit. Hal ini berarti nilai ragam dibawah 60,000 akan menghasilkan ketepatan pendugaan yang hampir sama dengan nilai underestimate bias. Persentase Bias Tanpa-FK FK1 FK2 FK Keragaman data (x 10 4 ) Gambar 10 Nilai tengah persentase bias setiap percobaan (%) Tabel 6 Nilai rata-rata bias kajian simulasi (%) Faktor Koreksi Rata-rata bias Tanpa-FK FK FK FK Untuk mempertegas pemilihan faktor koreksi, hasil kajian dari setiap ragam dirata-ratakan dan ditampilkan pada Tabel 6. FK1 dan FK2 memiliki ketepatan pendugaan yang lebih mendekati nilai riil dibandingkan FK3 dan tanpa-fk. Faktor koreksi selanjutnya yang akan digunakan untuk pendugaan yaitu FK1, karena memiliki nilai rata-rata persentase bias yang paling mendekati nilai 0. Pendugaan Nilai Premi Murni berdasarkan Sebaran Majemuk Perhitungan premi murni berdasarkan nilai tengah klaim agregat yang merupakan sebaran majemuk dari besaran klaim dan jumlah klaim. Dalam hal ini perhitungan nilai tengah sebaran majemuk merupakan perkalian dari nilai tengah

35 19 besaran klaim dan nilai tengah jumlah klaim. Hasil dari pendugaan sebaran besaran klaim pada Kelompok 1 hingga 4 secara berturut-turut memenuhi sebaran 3- parameter lognormal, 3-parameter lognormal, normal dan 3-parameter gamma seperti yang ditampilkan pada Tabel 2 dan Tabel 5 berikut dengan nilai tengah serta ragam masing-masing kelompok, dengan Kelompok 3 menggunakan perhitungan pada Tabel 5. Nilai tengah dan ragam selanjutnya ditransformasi balik menggunakan FK1 yang merupakan faktor koreksi terbaik berdasarkan simulasi transformasi balik pada subbab sebelumnya untuk mendapatkan nilai E(M). Nilai E(N) merupakan nilai λ yang diduga menggunakan sebaran Poisson. Perhitungan premi murni per tahun sebagai berikut, Tabel 7 Dugaan nilai tengah sebaran majemuk dari klaim agregat per tahun Kelompok Resiko E(M) E(N) E(X) a 1 157, , , , ,734, ,881, ,212,830 a Dalam satuan rupiah per polis ,212,830 E(M) dapat diartikan sebagai rata-rata dari setiap besaran klaim yang diajukan, E(N) dapat diartikan sebagai rata-rata banyaknya klaim dalam satu tahun per polis. E(X) masing-masing kelompok merupakan nilai yang diduga akan dikeluarkan oleh BPJS kesehatan per tahun untuk setiap polis. Nilai rata-rata pengeluaran BPJS per polis dalam satu tahun ditampilkan pada Tabel 7. Berdasarkan prinsip premi murni merupakan nilai resiko yang terjadi, maka nilai E(X) merupakan jumlah kewajiban yang dibayarkan oleh polis serta disebut premi murni dalam satuan tahun. Berdasarkan Tabel 7, premi murni yang harus dibayarkan dalam setahun pada Kelompok 3 dan 4 lebih tinggi dibandingkan dengan pengeluaran rata-rata yang dikeluarkan untuk aneka jasa oleh masyarakat Jawa Barat pada tahun 2015 (BPS 2016), dengan rasio antara premi murni per tahun terhadap pengeluaran yang terjadi pada Kelompok 3 dan 4 berturut-turut yaitu 1,072%, dan 5.6 ribu persen. Tabel 8 Premi murni dugaan per bulan Kelompok Premi Resiko murni a 1 13, , ,323, ,934,402 a Dalam satuan rupiah per polis Berdasarkan premi murni per bulan yang ditampilkan pada Tabel 8, total pemasukan pihak BPJS dari premi murni yang terkumpul pada akhir tahun 2016 sebesar 7.6 triliun. Bila dibandingkan dengan resiko yang terjadi pada sejumlah 165,514 polis sebesar 989 miliar, maka persentase rasio pemasukan terhadap resiko yang terjadi sebesar 770%. Kesalahan pendugaan ini salah satunya disebabkan oleh

36 20 pendugaan jumlah klaim yang belum memenuhi asumsi Poisson dimana ragam lebih tinggi daripada nilai tengah. Pendugaan Nilai Premi Murni berdasarkan Sebaran Klaim Agregat Penilaian premi murni berikut berdasarkan perhitungan nilai tengah dari sebaran klaim agregat. Berdasarkan pendugaan sebaran Kelompok 1 hingga 4 secara berturut-turut memenuhi sebaran 3-parameter lognormal, 3-parameter gamma, 3-parameter lognormal dan pareto terampat yang ditampilkan pada Tabel 3 dan Tabel 4. Hasil dugaan sebaran dilakukan pendugaan parameter dan diduga nilai tengah serta ragam. Penduga parameter selanjutnya dilakukan pendugaan nilai tengah dari penduga momen seperti pada Kelompok 1, 2 dan 4 secara berutrut-turut memenuhi persamaan 3, 8, dan 11. Penduga ragam pada Kelompok 1, 2 dan 4 secara berturut-turut memenuhi persamaan 4, 9 dan 12. Kelompok 1 dan 3 menggunakan persamaan yang sama baik untuk nilai tengah maupun ragam. Selanjutnya nilai tengah masing-masing kelas dilakukan transformasi balik dengan FK1 dengan fungsi pada persamaan 13. Maka nilai klaim agregat ditampilkan pada Tabel 9. Tabel 9 Dugaan nilai tengah klaim agregat Kelompok Nilai tengah Nilai ragam Resiko E(X) , , , ,118, ,705,298 Berdasarkan Tabel 9, E(X) pada Kelompok 2, 3 dan 4 bernilai lebih rendah dengan jumlah polis yang sama dibandingkan model sebaran majemuk yang ditampilkan pada Tabel 8. Selanjutnya E(X) sama dengan premi murni atau kewajiban yang dibayarkan oleh polis. Nilai rasio premi murni per tahun terhadap pengeluaran rata-rata pada aneka jasa pada masyarakat Jawa Barat pada Kelompok 3 dan 4 secara berturut-turut yaitu 413%, 6,260%. Rasio Kelompok 3 dan 4 bernilai lebih rendah dibandingkan dengan model dengan sebaran majemuk. Tabel 10 Premi murni dugaan per bulan Kelompok Premi Resiko murni a 1 13, , , ,725,441 a Dalam satuan rupiah per polis Berdasarkan premi murni per bulan yang ditampilkan pada Tabel 10, total pemasukan pihak BPJS dari premi murni yang terkumpul pada akhir tahun 2016 sebesar 916 miliar. Bila dibandingkan dengan resiko yang terjadi pada sejumlah 165,514 polis sebesar 989 miliar, maka persentase rasio pemasukan terhadap resiko yang terjadi sebesar 92,57%. Nilai pendugaan pada model sebaran klaim agregat lebih mendekati resiko yang terjadi dibandingkan dengan model dengan sebaran majemuk.

37 21 SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Berdasarkan rasio pemasukan terhadap resiko yang terjadi dapat dikatakan model pendugaan premi murni dengan sebaran klaim agregat lebih baik dibandingkan dengan model pendugaan premi murni dengan sebaran majemuk. Pada model premi murni dengan perhitungan sebaran klaim agregat terbentuk 4 kelompok resiko dengan premi murni per bulan yaitu sebesar Rp 13,105 pada Kelompok 1, Rp 44,165 pada Kelompok 2, Rp 509,914 pada Kelompok 3, dan Rp 7,725,441 pada Kelompok 4. Saran Pembentukan kelompok resiko 3 dan 4 masih perlu dilakukan peninjauan ulang. Peninjauan dapat melalui dua kajian yaitu penyebaran data waktu antar kejadian klaim serta pemecahan kelompok 4 menjadi beberapa sub kelompok. Selain dari sisi penentuan premi murni perlu juga dilakukan kajian faktor keuntungan yang didapat BPJS dan dana operasional BPJS kesehatan sebagai elemen pembentuk premi. DAFTAR PUSTAKA [BPS] Badan Pusat Statistik Provinsi Jawa Barat dalam Angka Jakarta(ID). [Menkominfo RI] Kementerian Komunikasi dan Informasi RI Undang- Undang Republik Indonesia Nomor 40 Tahun 2004 tentang Sistem Jaminan Sosial Nasional. Jakarta(ID). [Menkominfo RI] Kementrian Komunikasi dan Informasi RI Peraturan Presiden Nomor 111 Tahun Jakarta(ID). [Menkominfo RI] Kementrian Komunikasi dan Informasi RI Peraturan Presiden Nomor 19 Tahun Jakarta(ID). Aizcorbe A, Liebman E, Pack S, Cutler DM, Chernew ME, Rosen AB, Measuring health care costs of individuals with employer-sponsored health insurance in the U.S.: A comparison of survey and claims data. Stat J IAOS. 28(1-2): Asril Pemerintah isyaratkan iuran BPJS naik tahun Kompas. [Internet].[diunduh 2018 Feb 04]. Tersedia pada : /02/27/ /Pemerintah.Isyaratkan.Iuran.BPJS.Naik.Tahun Aristizabal RJ Estimating the Parameters of the Three-Parameter Lognormal Distribution. FIU Electronic Theses and Dissertations. 575.

38 22 Baskerville GL Use of logarithmic regression in the estimation of plant biomass. Canadian Journal of Forestry Research. 2(1): Bowers NL Jr, Gerber HU, Hickman JC, Jones DA, Nesbitt CJ Actuarial Mathemathics. Ed ke-2. Illinois (US): The Society of Actuaries. Bobee B, Ashkar F, The gamma family and derived distributions applied in hydrology. Di dalam : Ganoulis J, editor. Water Resources Engineering Risk Assessment; 1991 Mei 18-28; Porrto Karras, Yunani. Berlin (DE) : Springer-Verlag. hlm Carola R, Harley JP, Noback Human Anatomy and Physiology. Ed ke-2. New York(US): McGraw-Hill Publishing Company. Casella G, Berger RL Statistical Inference. Ed ke-2. Pacific Grove(US) : Wadsworth Group. Christiani C, Tedjo P, Martono B Analisis dampak kepadatan penduduk terhadap kualitas hidup masyarakat provinsi Jawa Tengah. Jurnal ilmiah Serat Acitya. 3(1). Coles S An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values. Ed ke- 3. London(EN) : Springer. Cullen AC, Frey HC Probabilistic Techniques in Exposure Assessment. Ed ke-1. New York(US) : Plenum Publishing Co. Delignette-Muller ML, Dutang C Fitdistrplus : An r package for fitting distributions. Journal Statistics Softwares. 64(4): Hosking JRM, Wallis JR Parameter and Quantile Estimation for the Generalized Pareto Distribution. Technometrics. 29(3) : Maiboroda RE, Markovich NM Estimation of heavy-tailed probability density function with application to Web data. Computational Statistics. 19 : Markovich NM Nonparametric Analysis of Univariate Heavy-Tailed Data. Ed ke-1. West Sussex(EN) : John Wiley & Sons. Manning WG, Mullahy J Estimating log models : to transform or not to transform?. Journal of Health Economics. 20(4): Reiss RD, Thomas M Statistical Analysis of Extreme Values with Applications to Insurance, Finance, Hydrology and Other Fields. Ed ke-3. Berlin(GE) : Birkhausser. Rossi F Two-Component Extreme Value Distribution for Flood Frequency Analysis. Water Resources Research. 20(7): Snowdon PA A ratio estimator for bias correction in logarithmic regressions. Canadian Journal of Forestry Research. 21(5): Suhanda R Jaminan kesehatan dan managed care. Jurnal Kedokteran Syiah Kuala. 15(2). Zeng WS, Tang ZS Bias correction in logarithmic regression and comparison with weighted regression for non-linear models. Nature precedings. 24(2):

39 23 LAMPIRAN Lampiran 1 Grafik Cullen dan Frey Kelompok 1 besaran klaim dan klaim agregat Besaran Klaim Kurtosis Kemencengan Klaim Agregat Kurtosis Kemencengan